Ejemplos Prog. Lineal

Ejemplo 1 Una empresa desarrolladora iniciará un proyecto urbano en un terreno de 4 hectáreas. En él se construirán dos tipos distintos de casas: las viviendas tipo I que ocupan una superfcie de 27 m 2 y tendrán un costo de !"## y las viviendas tipo II que ocupan 2 m 2 y con un costo de !$#. %os estudios de mercado indican que la demanda má&ima de viviendas de tipo I es de ' unidades# mientras mientras que para las de tipo II corresponde corresponde a '2 unidades# y además la demanda má&ima combinada es de '7 unidades. (e desea determinar la combinaci)n )ptima de viviendas para lo*rar un in*reso má&imo. Planteamiento del modelo +ara solucionar este problema es necesario el planteamiento de un modelo de +ro*ramaci)n %ineal# que cuente con la si*uiente ,ormulaci)n: Una ,unci)n ob-etivo a ma&imiar ma&  / c'&' 0 c2&2 0 1 0 cn&n su-eta a las restricciones * -&'# &2# 1# &n3 / a -' 0 a -2 0 1 0 a -n  b - # - / '# 2# 1# m 5ue también puede e&presarse en ,orma matricial: ma&  / c 6 x saAxb onde x es el vector de variables de decisi)n# c el vector de coefcientes del ob-etivo# A es la matri de coefcientes tecnol)*icos y b el vector de constantes. El primer paso consiste en determinar las variables de decisi)n. Este paso es de vital importancia pues una elecci)n inadecuada de las variables hará imposible la resoluci)n del problema. +or lo *eneral# estas variables representan los bienes que consumirá o producirá la empresa. En nuestro problema# los in*resos que ten*a la empresa dependerándel tipo de casas que construya. +or esto las variables de decisi)n son: &': n8mero de viviendas tipo I por construir &2: n8mero de viviendas tipo II por construir El si*uiente paso es identifcar las restricciones# que limitan las decisiones admisibles que se pueden tomar. %as restricciones pueden tomar la ,orma de i*ualdades# en caso de que se desee alcanar un valor espec9fco# o de desi*ualdades# cuando dicho valor deba ser e&cedido o no# se*8n el caso. En nuestro problema tenemos una restricci)n por el uso del terreno y tres por la demanda del mercado:

ada vivienda tipo I ocupa 27 m 2# las de tipo II ocupan 2 m 2 y en con-unto no deben e&ceder las 4 ha. 27 &' 0 2 &2  4# emanda de viviendas tipo I. 27 &' 0 2 &2  ' emanda de viviendas tipo II. 27 &' 0 2 &2  '2 emanda combinada. 27 &' 0 2 &2  '7 ;inalmente planteamos la ,unci)n ob-etivo# en este caso es ma&imiar el in*reso# en miles de pesos. ma&  / " & ' 0 $ &2 Solución gráfca
Ejemplo 1

Sea una compañía maderera que posee dos talleres de contrachapado, donde se producen los tres mismos tipos de tableros, hallar el número de días que debe operar cada taller durante un semestre para proporcionar de la manera más económica los tableros requeridos. La tabla 1 muestra la producción y costo diarios por taller.

Con los datos contenidos en la tabla podemos determinar tanto la función obeti!o como las restricciones que inter!ienen en el problema" #inimi$ar C%&'''(1)*'''(*

+1

condicionado a las si-uientes restricciones" 1''(1 )*'(*  *''' /'(0 )'(*  &*''

+*

2'(1 )2'(*  &2'' y con (1  ',(*  '. 3n la fi-ura 1, se encuentra achurado el espacio solución limitado por las -ráficas de las tra$as de los planos de las restricciones4 asimismo, con línea punteada, se encuentra -raficada la pendiente de la función obeti!o. 5l despla$ar la función obeti!o hacia el polí-ono e intersectarse, como se muestra en la fi-ura *, se obtiene la solución óptima, que resulta ser x 1 % 1' y x * % '.

5l sustituir los !alores de x 1 y (* en la función obeti!o de costo inicialmente planteada, se tiene que el costo mínimo de producción sería" C% &'''+1' ) *'''+6'

C % 71&' '''