Ejemplo de cálculo de asentamientos por consolidación, caso preconsolidado
Se necesita determinar el asentamiento por consolidación de una zapata cuadrada de lado B=2 m, que transmite una carga neta qn=300 kPa a una profundidad de desplante D=2 m en el perfil de suelo mostrado en la figura. Superficialmente, se encuentra un estrato de arena limosa densa de 2 m de espesor, seguidamente se ubica un estrato de arcilla poco plástica de 8 m de espesor y bajo este un estrato de roca blanda impermeable. El nivel freático se encuentra a una profundidad z w=1 m bajo la superficie del terreno. 3 La arena tiene un peso unitario =20,0 kN/m y todo el espesor del estrato está saturado. Con muestras de la arcilla extraídas a una profundidad de 6 m, se obtuvieron las propiedades mostradas en la figura. Debido a la variación del nivel freático, la presión de preconsolidación de la arcilla ’PC varía linealmente entre 100 kPa en la parte superior y 180 kPa en la parte inferior del estrato.
m 0 , 2
m 1
Arena limosa densa
sat=20,0 kN/m3 2,0 m
m 0 , 8
w=32,0% Gs=2,8 Cc=0,19 Cr=0,01 A=0,55
Arcilla CL
Roca blanda
Solución Ecuaciones generales
El cálculo del asentamiento por consolidación, s c, de un estrato arcilloso de espesor H que produce un incremento uniforme del esfuerzo vertical se realiza según la ecuación general: e sc H 1 e0 H: espesor inicial del estrato compresible e0: relación de vacíos inicial promedio del estrato Δe: reducción en la relación de vacíos que produce la carga neta del cimiento Si dentro del estrato se da una variación considerable de los esfuerzos que producen los asentamientos, es conveniente n
dividir el cálculo en n sub-estratos de espesor h j, tal que H
h . Se considera que ½B ≤h ≤B (B=ancho de la placa) es j
j
j1
suficientemente preciso. El asentamiento total, s c, es la suma de las contribuciones de cada sub-estrato, Δscj: n
sc
n
e j
s 1 e cj
j1
j1
h j
0 j
h j = espesor, e 0j = relación de vacíos inicial promedio y e j = cambio en la relación de vacíos del sub-estrato j. El cambio en la relación de vacíos e se determina con base en los parámetros de la curva de compresión del suelo, el esfuerzo efectivo inicial ’v0 y el incremento del esfuerzo vertical que produce el cimiento, v. Los parámetros del suelo y las fórmulas usadas para el cálculo de e se muestran en el cuadro siguiente, según el tipo de suelo:
Normalmente consolidado ( ’v0 = ’PC; OCR=1)
' v e C c log v0 'v 0 Cc: índice de compresión
a.
Preconsolidado ( ( ’v0 < ’PC ; OCR>1) +v ’PC b. ’v0 + +v > ’PC ’v0 +
' v e Cr log log v 0 'v 0
' ' v e Cr log log PC C c log log v 0 'v0 'PC
Cr: índice de recompresión/expansión ’PC: presión (esfuerzo efectivo vertical) de preconsolidación
El incremento del esfuerzo vertical que produce el cimiento, v, se determina mediante la teoría elástica para una placa rectangular sobre un suelo en condición no drenada, c on razón de Poisson ν=0,5 (solución Newmark). Dado que el suelo está preconsolidado y es recomendable sub-dividirlo, en el cálculo de asentamientos deberá determinarse el conjunto de parámetros para cada sub-estrato (j) que se detalla en el cuadro siguiente.
#(j)
h j
z j
z j+1
'v0j,prom
e0j,prom
'PCj,prom vj,prom
e j
scj
Nota: El subíndice “prom” indica el valor promedio del parámetro en el sub-estrato analizado. z j+1=z j+h j
'v0 j,prom 12 'v0 (z j ) 'v 0 (z j1 ) 'v0 12 (z j z j1 ) 'PCj,prom 12 'PC (z j ) 'PC (z j1 ) vj,prom 12 v (z j ) v (z j1 )
Esfuerzos iniciales en el estrato de arcilla
El peso unitario de la arcilla se determina con la información suministrada. G (1 wsat ) 2,80 * 1,32 sat s w → sat 9,81 19,1 kN/ m3 1 wsatGs 1 0,32 * 2,80 Los valores de esfuerzos dentro del estrato de arcilla (z ≥ 2 m), en kPa, están dados por las siguientes ecuaciones: v0 arena Harena + arcilla(z Harena ) Esfuerzo vertical total 20,0*2,0 + 19,1*(z – 2,0) v0=19,1*(z) + 1,80
w (z zw ) 'v0 v0 u0 u0
Presión de poro Esfuerzo vertical efectivo Presión de preconsolidación
9,81*(z – 1,0)
u0=9,81*(z) – 9,81
19,1*(z) + 1,80 – [9,81*(z) – 9,81] ’v0=9,29*(z) + 11,61
100
Variación lineal entre 100 y 180
(180 100) 8
(z 2,0)
’PC=10,0*(z) + 80
Para el análisis posterior, se define una “profundidad neta”, z’, medida a partir del nivel de desplante de la placa o dentro del estrato de arcilla, z’=z–2,0 m. Los valores de los esfuerzos a distintas profundidades, z j o z’ j se presentan en el cuadro siguiente, en el que se resaltan los datos de la profundidad media (z= 6 m). Los esfuerzos iniciales y la presión de preconsolidación del estrato de arcilla se muestran en la figura adjunta. Dado que B=2 m, para los cálculos posteriores con ½B≤h j≤B (1 m ≤ h j ≤ 2 m), se presentan los valores de esfuerzos cada 0,50 m. z j (m) z' j (m) 'v0 (kPa) 'PC (kPa) 2,0
0,0
30,2
Esfuerzo (kPa)
100,0
2,5
0,5
34,8
105,0
3,0
1,0
39,5
110,0
3,5
1,5
44,1
115,0
4,0
2,0
48,8
120,0
4,5
2,5
53,4
125,0
5,0
3,0
58,1
130,0
5,5
3,5
62,7
135,0
6,0
4,0
67,4
140,0
6,5
4,5
72,0
145,0
7,0
5,0
76,6
150,0
7,5
5,5
81,3
155,0
8,0
6,0
85,9
160,0
8,5
6,5
90,6
165,0
9,0
7,0
95,2
170,0
9,5
7,5
99,9
175,0
10,0
8,0
104,5
180,0
0
0
50
100
150
200
1
v0
u0 'v0
2 3 ) 4 m ( d a 5 d i d n u f o 6 r P
7 8 9 10
'PC
Parámetros de la curva de compresión de la arcilla
La curva de compresión, en la representación log( ’v) –e es una línea recta definida por una ecuación general de la forma: e = er C * log( 'v / 'r ) Los parámetros (’r, er) son las coordenadas de un punto (referencia) de la línea y –C es la pendiente. El valor absoluto de la pendiente, C, es denominado “índice”.
e Estado actual
1 e0 ePC
Estado histórico
Cr
R e c om p r e s ió n
C o m p r e s i ó n v i r g e Cc n
1
'v0
'PC
La curva de un suelo preconsolidado consiste de dos segmentos lineales, tal como se muestra en la figura. El primero es válido para el intervalo de esfuerzos de recompresión (’v0’’PC) y el segundo para el intervalo de esfuerzos de compresión virgen (’v0>’PC). Los valores de las coordenadas del punto de referencia y las pendientes (índices) de los segmentos de la curva de compresión son los siguientes:
Segmento
Intervalo de esfuerzos
Recompresión Compresión virgen
’v0’v’PC ’v>’PC
Parámetros er C ’r ’v0 e0 Cr ’PC ePC Cc
Ecuación
e=e0 –Cr*log(’v/’v0) e=ePC –Cc*log(’v/’PC)
log( ')
El punto de intersección de los dos segmentos está en las coordenadas ( ’PC, ePC). ePC es la relación de vacíos mínima histórica, que corresponde a la presión de preconsolidación, ’PC. El parámetro e PC es la coordenada del último punto del segmento de recompresión; por lo tanto: ePC=e0 –Cr*log(’PC/’v0) Los valores de los parámetros de la curva de compresión de la arcilla se obtienen a partir de los datos de la muestra de suelo, correspondientes a la profundidad media del estrato (z=6 m o z’=4 m). Estos son: w n=32,0%; Gs=2,80; Cc=0,19; Cr=0,01; ’v0=67,4 kPa; ’PC=140 kPa. La relación de vacíos in situ de la muestra se determina mediante la ecuación: e0=wnGs=0,32*2,80; e0=0,896. Los valores anteriores de los parámetros serían los necesarios para calcular el asentamiento con un solo estrato de todo el espesor, H. Sin embargo, cuando se realiza el cálculo con sub-divisiones del espesor compresible, se deben obtener los valores promedio específicos de relaciones de vacíos e 0,prom y ePC,prom de cada sub-estrato. Para ese propósito, se deben determinar y aplicar las ecuaciones de los dos segmentos de la curva de compresión específica, los cuales se obtienen con los datos de la muestra. Los r esultados se presentan en el siguiente cuadro. Característica Ecuación aplicada Valores para z = 6 m Segmento de recompresión ( ’v0<’v<’PC) e = 0,896 – 0,01*log(’v/67,4) e = 0,914 – 0,01*log(’v) Relación de vacíos mínima histórica, e PC ePC = 0,896 – 0,01*log(140/67,4) ePC = 0,893 Segmento de compresión virgen ( ’v>’PC) e = 0,893 – 0,19*log(’v/140) e = 1,300 – 0,19*log(’v) La curva compuesta por los dos segmentos (recompresión y compresión virgen) para z= 6 m obtenidas a partir de la información de la muestra se presenta en la figura adjunta. Se puede observar que la relación de vacíos actual (e 0) es muy similar al valor mínimo histórico (e PC). Esto se debe a que cuando ocurre la reducción del esfuerzo efectivo vertical que deja al suelo preconsolidado, el cambio de volumen correspondiente es una expansión o aumento del volumen de vacíos de baja magnitud, similar a un “rebote elástico” de la fase sólida. La ecuación del segmento de compresión virgen de la curva de compresión permite calcular el valor de la relación de vacíos in situ de un suelo normalmente consolidado en función del esfuerzo vertical efectivo,
0,95 'v0,e0 'PC,ePC
e , s 0,90 o e0 í c ePC a v e d n ó i c a l e R 0,85
R ec o m pr es i ó n
Cr 1
C o m p r e s i ó n v i r g e n
Cc
1 0,80 10
'
v0
100
'
PC
Esfuerzo efectivo vertical, 'v
1000
’v, o indirectamente, en función de la profundidad. Si el suelo fuese normalmente consolidado , al usar ’v=’v0 en última ecuación del cuadro anterior, se obtendría el valor de la relación de vacíos correspondiente a ese caso. Por ejemplo, al usar la ecuación con el valor para z=6 m, ’v=67,4 kPa se obtiene e=0,953. E s evidente que ese no es el valor correcto de la relación de vacíos in situ para z=6 m, (e 0=0,896) y, por consiguiente, en un suelo preconsolidado , la relación de vacíos actual (e0) no se determina directamente con la ecuación del segmento de compresión virgen. En lugar de la relación de vacíos in situ actual, la ecuación del segmento de compresión virgen de la curva de un suelo preconsolidado permite calcular la relación de vacíos mínima histórica, e PC, cuando el valor del esfuerzo vertical es la presión de preconsolidación, ’PC. Por lo tanto, la ecuación obtenida permite calcular el valor de la relación de vacíos mínima histórica para cualquier profundidad, e PC(z), al introducir ’v=’PC(z) en la ecuación del segmento de compresión virgen. Se re-escribe la ecuación como: ePC (z) 1,300 0,19 *log 'PC (z) El valor de la relación de vacíos in situ actual a cualquier otra profundidad distinta de la muestra ensayada, e 0(z), debe tomar en cuenta la expansión o “rebote elástico” , que depende de la presión de preconsolidación, del esfuerzo efectivo actual ’v0 y del índice de recompresión, C r. La expansión está dada por la diferencia e 0 – ePC. Invirtiendo la ecuación para la relación de vacíos mínima histórica e PC del cuadro anterior, se puede demostrar fác ilmente que:
e0
' ePC Cr *log PC 'v0
Sustituyendo la ecuación de e PC(z) y Cr=0,01 se obtiene la siguiente expresión general:
'PC ' v0
e 0 (z) 1,300 0,19 * log('PC ) 0,01* log
Esta ecuación se simplifica a la siguiente expresión: e0(z) = 1,300 – 0,18*log(’PC) – 0,01*log(’v0) Los cálculos de las relaciones de vacíos e 0 y ePC se muestran en el siguiente cuadro y la figura adjunta. z j (m) 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 Promedio
'v0 (kPa) 30,2 34,8 39,5 44,1 48,8 53,4 58,1 62,7 67,4 72,0 76,6 81,3 85,9 90,6 95,2 99,9 104,5 67,4
e0 0,926 0,921 0,917 0,913 0,909 0,906 0,902 0,899 0,896 0,893 0,890 0,887 0,885 0,882 0,879 0,877 0,874 0,898
'PC (kPa) 100,0 105,0 110,0 115,0 120,0 125,0 130,0 135,0 140,0 145,0 150,0 155,0 160,0 165,0 170,0 175,0 180,0 140,0
ePC 0,921 0,917 0,913 0,909 0,906 0,902 0,899 0,896 0,893 0,890 0,887 0,884 0,882 0,879 0,877 0,874 0,872 0,894
Estados inicial y de preconsolidación 0,95
z=2 m
e , s 0,90 o í c a v e d n ó i c a l e R 0,85
0,80 10
'v0,e0 'PC,ePC
z=6 m z=10 m
e0
ePC
100
1000
Esfuerzo efectivo vertical, 'v
La combinación de relación de vacíos con el esfuerzo efectivo v ertical in situ permite identificar los estados actual ( ’v0,e0) y de máxima compresión histórica ( ’PC,ePC) tal como se muestra en la figura.
Incremento de esfuerzos
El incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de una placa rectangular de dimensiones LxB (L= 2,0 m y B= 2,0 m), se determina con la fórmula de Newmark. La placa se subdivide en cuatro áreas rectangulares de dimension es axb, con a=L/2 y b=B/2 (a= 1,0 m y b= 1,0 m) para determinar el factor de influencia de cada una, I s. Para el cálculo del incremento de esfuerzo según esta fórmula, la profundidad debe medirse desde el nivel de desplante de la placa. Esto define una nueva variable de profundidad z’ = z – 2,0 m, medida dentro del estrato de arcilla. Para obtener el incremento de esfuerzo bajo el centro de la placa rectangular de dimensiones, ésta se subdivide en cuatro placas de dimensiones y carga. En la fórmula de Newmark se utilizan los parámetros normalizados m=a/z’ y n=b/z’. El valor del factor de influencia es tá dao por:
I s
2 2 2mn m 2 n2 2 1 2mn(m n 1) x 2 2 tan m 2 n2 1 m 2 n2 4 m n 1 m2n2 m2 n2 1 1 2
1
1
2
El incremento de esfuerzo es igual a cuatro veces el factor de influencia de un área de la subdivisión de la placa, I s, multiplicado por la carga neta q que esta transmite (q= 300 kPa). = 4Isq El cuadro siguiente presenta los resultados de los cálculos del incremento del esfuerzo vertical y del esfuerzo efectivo vertical final. La figura adjunta muestra la variación de los esfuerzos dadas por las ecuaciones y cuadros anteriores. z'(m) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0
m
n
2,000 1,000 0,667 0,500 0,400 0,333 0,286 0,250 0,222 0,200 0,182 0,167 0,154 0,143 0,133 0,125
2,000 1,000 0,667 0,500 0,400 0,333 0,286 0,250 0,222 0,200 0,182 0,167 0,154 0,143 0,133 0,125
I=4Is 1,000 0,930 0,701 0,484 0,336 0,241 0,179 0,137 0,108 0,087 0,072 0,060 0,051 0,043 0,038 0,033 0,029
v(kPa)
300,0 279,0 210,3 145,2 100,8 72,3 53,7 41,2 32,4 26,1 21,5 18,0 15,2 13,0 11,3 9,9 8,7
v0+
’
v(kPa)
Esfuerzos (kPa)
330,2 313,8 249,7 189,4 149,6 125,7 111,7 103,9 99,8 98,1 98,1 99,2 101,1 103,6 106,5 109,8 113,2
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340
0
Recompresión
Compresión virgen
1 ) m ( ' z , a l l i c r a n e d a d i d n u f o r P
2 3 4 5 6
'v0 'PC v 'v0+v
7 8
En la figura se observan dos zonas dentro del estrato de arcilla que tendrán comportamiento distinto ante el incremento de esfuerzo. En la franja de profundidades más someras (z’< 2,5 m) el esfuerzo final excederá la presión de preconsolidación y, consecuentemente, se producirán deformaciones por recompresión y compresión virgen y la contribución al asentamiento total será la más importante. Bajo esa profundidad, el suelo solo experimentará recompresión, por lo cual la contribución al asentamiento total será mucho menor. Cálculo del asentamiento total de consolidación, s c
Para el cálculo del asentamiento se combina toda la información anterior y se calcula el cambio en la relación de vacíos e que corresponde a cada incremento de esfuerzo v. Se debe aplicar la ecuación que corresponda con la condición que genera el incremento (recompresión solamente o recompresión + compresión virgen). El cálculo se realizará con una división del estrato de arcilla en sub-estratos de distinto espesor, h j., usando la fórmula presentada anteriormente: e j scj sc h j 1 e0 j j j
e j es el cambio total en la relación de vacíos en cada sub-estrato. Este cambio depende del valor del esfuerzo efectivo final ’v0 +v, con respecto a la presión de preconsolidación, ’PC, tal como se indica en el siguiente cuadro. Caso según el esfuerzo final
a. ’v0 +’ ’PC
Cambios
Sólo recompresión
Ecuación general para e
Ecuación de este ejemplo
b. ’v0 +’ > ’PC Recompresión + compresión virgen Recompresión (RC) Compresión virgen (CV)
' v e C r log v0 ' v0 ' v e 0,01* log v0 ' v 0
eRC Cr log OCR eRC 0,01* log OCR
' v e CV C c log v0 ' PC ' v e CV 0,19 * log v0 'PC
En el siguiente cuadro se presentan los resultados con diferentes valores del espesor ΔH j. h j z j z j+1 z jmed 'v0 'PC OCR (m) (m) (m) (m) (kPa) (kPa) 8,0 2,0 10,0
6,0
e0j
ePCj
67,4 140,0 2,08 0,900 0,896
'v (kPa) 154,4
'v0+'v (kPa) 221,7
e (RC) 0,003
e (CV) 0,038
e j (Total)
efj
scj(m)
0,041 0,859 0,173 Total 0,173
4,0
2,0
6,0
4,0
48,8 120,0 2,46 0,911 0,907
166,2
215,0
0,004
0,048
0,052 0,859 0,109
6,0 10,0
8,0
85,9 160,0 1,86 0,885 0,882
20,6
106,5
0,001
0,000
0,001 0,884 0,002 Total 0,111
2,0
2,0
4,0
3,0
39,5 110,0 2,79 0,918 0,913
200,4
239,9
0,004
0,064
0,069 0,849 0,072
4,0
6,0
5,0
58,1 130,0 2,24 0,903 0,899
66,6
124,7
0,003
0,000
0,003 0,899 0,003
6,0
8,0
7,0
76,6 150,0 1,96 0,890 0,887
23,8
100,5
0,001
0,000
0,001 0,889 0,001
8,0 10,0
9,0
95,2 170,0 1,79 0,879 0,877
12,0
107,2
0,001
0,000
0,001 0,879 0,001 Total 0,077
1,0
2,0
3,0
2,5
34,8 105,0 3,01 0,921 0,917
255,1
290,0
0,005
0,084
0,089 0,833 0,046
3,0
4,0
3,5
44,1 115,0 2,61 0,913 0,909
155,5
199,7
0,004
0,046
0,050 0,864 0,026
4,0
5,0
4,5
53,4 125,0 2,34 0,906 0,902
77,3
130,7
0,004
0,004
0,007 0,899 0,004
5,0
6,0
5,5
62,7 135,0 2,15 0,899 0,896
43,1
105,8
0,002
0,000
0,002 0,897 0,001
6,0
7,0
6,5
72,0 145,0 2,01 0,893 0,890
27,0
98,9
0,001
0,000
0,001 0,892 0,001
7,0
8,0
7,5
81,3 155,0 1,91 0,887 0,884
18,3
99,6
0,001
0,000
0,001 0,886 0,000
8,0
9,0
8,5
90,6 165,0 1,82 0,882 0,879
13,3
103,8
0,001
0,000
0,001 0,881 0,000
9,0 10,0
9,5
99,9 175,0 1,75 0,877 0,874
10,0
109,9
0,000
0,000
0,000 0,876 0,000 Total 0,079
Se observa que el cálculo basado en un solo estrato de 8 m de espesor produce un resultado muy conservador. El asentamiento para h j=H=8 m (sc=0,173 m) es más del doble del que se obtiene con mayor precisión al definir estratos de espesor h j = 1,0 m (s c=0,079 m). También se puede observar que el cálculo con h j = 2,0 m es bastante preciso (s c=0,077 m). En general, se puede comprobar que el cálculo de asentamientos con ½B < h j
El asentamiento total de consolidación calculado según la ecuación presentada al inicio se basa en el ensayo de consolidación y asume que la carga o esfuerzo es uniforme en tanto en la profundidad como en el sentido horizontal
dentro del suelo. El área de un cimiento aislado tipo placa es finita en comparación con la extensión horizontal del estrato compresible, por lo el cálculo del asentamiento debe modificarse con el factor de corrección de Skempton, llamado “coeficiente de asentamiento”, el cual es función del ancho del área cargada, el espesor compresible y el parámetro A de presión de poro. La corrección se realiza mediante el gráfico para placa circular, ya que no se tiene el caso de una placa cuadrada. Con base 2 en el área de la placa cuadrada (4 m ), se obtiene un diámetro de placa circular equivalente B eq=2,26 m y para consultar el gráfico se usaría la curva correspondiente a una razón de espesor compresible H/B=3,50, con el valor del parámetro de presión de poro (A = 0,55). Puesto que el gráfico no incluye una curva para H/B=3,50 se obtienen los valores del coeficiente para distintas razones H/B, con los cuales se elabora otro gráfico y se interpola el valor buscado.
1,00
, o t n e i m a t n e s a e d e t n e i c i f e o C
0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,67 0,65 0
1
2
3
3,5
4
5
Razón H/B Para la razón H/B=3,50 se obtiene un coeficiente de corrección = 0,67. Por lo tanto, el asentamiento corregido final será: scf = sc = 0,67*0,079 m scf = 0,053 m Comentario final
Aunque el suelo está preconsolidado y, por lo tanto, es menos susceptible a los cambios volumétricos, se observa que la magnitud del asentamiento final por consolidación es considerable (5,3 cm). Este valor excede la s tolerancias estructurales usuales y, en caso de presentarse en una cimentación aislada de un edificio, produciría efectos negativos tales como agrietamiento por flexión de elementos estructurales, especialmente de vigas.
