Einführungin die
Vektor- und TensorrechnungI
nachderVorlesung von Prof. Paul Wagner lnstirutftir Experimentalphysik Universität Wien
Inhaltsverzeichnrs 1
Einfühu]ls
1
2
Der efil1e Vektorraum
3
2.I
3
Summevon Vek'o
2.2 Produkt einesVektorsmit einemSkala.r
3
EUKLIDscher
5
Vektorraum
3.1 Skalars Produkuweier Vektoren. . .
5
3.2 Realisierungen
5
Volumen und Winkel
7
4.1 Eimchub:Dererminanten
7
4 . 2 V o l u m €u n dW i n k e. l. . . . . . .
..
8
5 Vektorbasen ünd VektorkompoEent€n
11
6 Ko- und kontraa?riante
lz
VektorbaseD
7 Tfänsformationsv$halten
2l
8 Tensoren
25
9 Tensoralsebra
27
10 Pseudotensoren
33
11 \/ektolie|le3
zT
Produkt
12 Tensorfelder, Fluß und ZirkülatioD 12.1 Wegitrtegal r 2 . 2O b e r f l ä . h e n i n t e s r a . l 1 2 . 3V o l u m s i n t e g r a . l 13 Vektoranalysis
4a ........41 ..._.......
42
......42 43
IV
IN}IA LTSVERZEICHNIS
14 Integralsätze 1 4 . 1W e g i n t e $ a l 1 4 . 2O b e r f l i h h e n i n t e g r a t 1 4 . 3Y o l u m s i n t e g r a l
4E ........ ............47 ......48
15 Anwendung in der Physik 1 5 . 1Z u s a m m e n h ä n g eMnedneg e n . 1 5 . 2D a s , i - F e l d € i n e s t r o m d u r c h d o s s l€eni e tn 15.3Das t-Fetd einerelektrischen Pünktladuns 1 5 . 4F e s t k ö r p e r - R o t ä tW i oi n r b, € l. . 1 5 . 5A l l s e i t i g ee l a s t i s cAhues d e h n u n g
4b
4s .....49 ........ ......
S0 52
.....54 ............
55
Einführung Skalare:M*se, Temperatur,Dichte, . . . (raft, . . . Beschleunigune, Vektoren:Ge€chwindigkeit, Drehimpük ü. ä. mit Pseudovektoren: Schraubenregel TensodelleGrößensind vom Bezugssystem unabhängig,es kann6ichdabeium Ska. la.e, Vektorenoder TensorenhöhererOrdnung handeln. Ein Naiurgesetzst€llt eineBeziehungzwischentensoriellenGrößenher und ist somit ebealallsvom Bezugssyst"m unabhangig,z. B.: ?i = nö Da rensorielleGrößenvom B€zugssystem unabhängigsind, ist illl Tlansformationsverhätten entscheidend. Bemerkung Unter dem Symboly't soll im loleendenText sieis die positiveWurzel verstanden
ITAP1TEL 1. EINFÜHRUTYG
Kapitel 2
Der affine Vektorraunr 2 . L Summe von Vektoren
Abbildung 2.1:Parallelogramm*Ilegel
a+t=i+d d+{o+cl=(a+01+c
(Kommutativität) (Assoriaiiviiäi) (neutra]esElemeat) (inversesEiement)
(2.1)
AbbilduB 2.2: InversesDl€meni
2.2 Produkt eines Vektors mit einem Skalar Abbildung2.3:Vektormit einemSkalarmultipliziert
Rechenregeln: a(Bd) = (ap)d
a'B€R
(a+B)d=üd+Pa d,B€R d @ + i ) = d d +a i a€rR Eine Menge von El€melter, lür die die Rechenregeln2.1 und 2.2 erkl2irt sind, aennt man ein€n dfin€n Vektornun. amnerVektonaum = {s-,t,. ..lR€chemegeln 2.1 und 2.2 erklärt}
KAPITEL 2. DER AFFINEVEI{TORRATJM
Kapitel 3
EUKLIDscher Vektorraum 3 . 1 SkalaresProdukt zweier Vektoren
Abbildung3.1: SkalaresProdukt
ä . b= o A .o B ,
oB,oF=oa,oa to d,.D-ata ol
).triat=t).;i+ta.al o . o = u , 0 D e u e D l g?
o=u
EIrKLIDscher vekiorraum= {4 Ä .. .lRechenreseln 2.1,2.2und 3.1erkläri}
3.2
Realisierungen
1. Vektoren der AEschauuns (serader Strich mit Pfeilspitze) 2. Tiipel rceller Zallen d = (at , a,, a3), b = (h, b,, b3) ä + b = (at + bLa2 + b2,q + 6) 1 . o--
(.\d1,.\a',.\d3)
0= (0,0,0) (-{) = (-or, -oz, -as) ä ö = (drö1 + a,ö! + dBü3)
( 31 )
KAPITEL 3. IUK LIDSCHERVEKTORRAUM
Kapitel 4
Volumen und Winkel 4.L
Einschub: Determinanten
Eine Matix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eeispiel 1 (4 x 3-Matrix) /0 5 -8 3 \
I z z r r -s6 Il \ 1 4
o
Im folgendensind nur quadratischeMatrizen vor Interesse. Beispier 2 (2 x 2-Matrix)
a " ' t . ' r 1 . \ =di1Jl "= " a - 0 " vs \,/
lc
Merk6atz 4.1 (Regel von sanusr) Diese Regel, um die DetermiDant€ zu berechnen, läßi sich nur bei 3 x 3-Matizer I a,,
a,"
a,. \a'.
a,"
,-. | u2t,,/urr;I%>['2r-\q22 ---'-,--X.'X ,./-- = drrd?zd3J at2o23a37 J oßox d32w\ + | - or3o?2o3r - 4tro23s32' at2az\a33 )/ßu z/o3,,,,4$
Merksatz 4.2 Man kann die Regel von Sarrus aüch mit Hitfe der Pemutationen des Zahtenrripels (1,2,3)formuliereü.
KAPI'TDL 4. VOLUMEN UND WINKEL
r l : 2 . 3 J- + { 2 .i l e l \
Ausgegs üipct
_
\
?
J
'
.
.
I 1 z . l . r 1.
.
\
.
2
4
.
-
\
gerade Pehuialion
ungeFde Permu|ation
( 3 . 2 l L J / ( 3 . 1 , 2 J-
-
ung€rade Pe.nutalion
sefade Permuration
+
Llndizes immer1,2,3.
-
2.Indizes:geradePermutatjonder l.Indiz6 l.Indizesimmer 1,2,3. 2-Indizes:üngeradePermutationder l.Indizes
rr,f2r üngerade Pelnurarion
Merksatz 4.3 Berechnungder Determinanteeiner n x n Mairix : ' ' " \
/ " ' ' ' " I
d " rI \
4.2
d2r
a2?
o2n
I
l=L,,"",".."", Qnt
o12
aT
-;: , /
Ia,"o,/,...o"
, ".n.t s".;".
,, / 1nd Lo.d, a*,,ej,.c".
rc. (1,r,...,ß)
Kn (r,,, . ,n)
Volumen und Winkel
DeffDition 4.1 VolumeneinesParallelotops? aufgespanntvon A, är, . . ., ä". y ( e ): = v l o e r ( a i . d J l l Beispiel 3 Der Ausdruckdet(ä; di ) nimmt für drei Vektorenä, i, c-bzw.d-r,är, ä3 folsende Gestaltan: I d.d d.b
I a! ot
b. : )
o! a2 at.a1 \
I o , a \ o , a , a , a 3 | \a3 a\ a3 02 a3qJ
Definition 4.2 Den zwischerden VekioreDo-und 6'eingeschlossenen Winkel tegt man folsenderma8en{est:
;.i cos(4d,0 J := --:.E-
\/@t.l h"l
Beispiel 4 Setztman in die GleichungdesVolumensaus Deliniiion 4.1 mit p = 1 ei4, so e.hält
Auf dieseWeise deffnie.t man die LänBe eines Vektors. Deffnition 4.3
läl:=t4t
3Überh.srifl; im 2-dinensionalcn RäM: PTall€toAtum;
im 3-dihensionat€n Fäu6: paauel,
9
4.2. YOLUMEN WD WINKEL
Winkd (DeDaraus lolgt ftir den zwischen den Vektoren ä und 5'eingeschlossenen finition 4.2 auf der vorhedgenSeite):
cos@,61=-ti:t-
=r d.t= ,o-lt\lcosvd.i)
\/--= O:iA öF überein DieseFormulierungdesSkalarenProduktsstimmt auchmitder Anschauung wie ein Ve4leich mit Abbildung 3.r auf Seite5 zeist. ldl lri
= ä ö:-tat4 o'ltt_ Beispiel 5 Setztman in die Gleichungde6VolümenealrsDefinition4.1 auf der vorherigenSeite mit p = 2 ein, so erhält matr: | / - - - r \ l a
d.
o
v ( i ) : l to. e cI l i ^ - xn r i ll ll \"?r | \-,/l + = l d 2 p- @ . 6 ) r l l,-,',r,'
,- r."
l d l l b .l a s ( L ä , 6 )
= | d?tit'?- tdt'? tit?cos,zd-.i) | t
l
= ial,ltlrl1 - cosr(zä, i) | sin'(zö,5)
144= ldlliil6ir(zo-, i)l
Abbildung 4.1: F]ächeeinesPa.rallelogramms
l0
I{APITEL 4. VOLUMENUND WINKEL
Kapitel 5
Vektorbasen und Vektorkomponenten wennes (4r,...,d") I (0,...,0) eibt, vektoren4,..., ä" sind linearabhänsie, sodaßarär + + a";'" = 0 eilt. Andernfallsheißendie Vektorena-r,. . . , dn lineor Beispiel 6 (Drei Vektoren in einer Dbene)
Abbildune 5.1:Drei Vekloren in €iner Ebene
&=
a1ü + d2az +
adt t azdz- dz=d
D.h. die VekioreDsitrd linear abhängig. Beispiel 7 (Drei vektoren im Raum)
Abbildune5.2: Drei Vektoreuim Raum
dr, a-r,ög sind linear unabh:ingig, da alle Kombinatiotren von a-1und ä2 in der von d1 und d2 aufsespannteDEbeoe liesen. D.h. A kann nicht als Kombination von al und dz dargestellt werden.
12
KAPITEL 5. VEI{TORBASEN UN' VEKTORKOMPONENTEN
Defiaition 5.2 Ein Vektoüaum ist n-dimensional,wennesnaximal n linea. unabhängigeVektoren sibi, und n + 1 Vektoren immer linear abhängigsind. Für einen n-dimensionalen_Vektorraum gilt also:
)A + air-r+ . + a"s-"= 0.
Ohne Beschränkungder Allgemeinheiisoll .\ I 0 sein,dann gilt:
o'= +ri
..-+s;".
DefiDitioD 5.3 DeffDition 5.4 (EINSTEINsche a = o ' 9 1+
+a-lli = Lo'g=:
Summenkonvention) a"9,
(kovdiant) J-i.. . Basisveki,oren ll' .. . fiomponeniendes Vektoß ä' (kontravariant) Xommt in einemProdükt zneimal der selbeIndex einmal oben und einmatunten vo., so wird darübersummiert. Beispier 8 (n=2)
Summevon Vektoren:
d+b =_
(dil + (ui) a|!'t + a'zi, + a3fu+ btsl + 62i, + b3iB (a' + b\)i1+ (a'z+b'z)i, + (a3+ ö3)s-3
(a'+ ö')t'r Produkt mit €inemSkalar: ao = : =
a\a'91+ a-!12+ a-93) aa gr + oo 92 + oa-gr (aor)g-r
Skalarprodukt: a0
=
\d'9,) \ysj)
: '
(o1ei+ a'ze-,+ csel) . (ü'g-.+ ö'?g-, + ö"s-u) dt b1lit it + otb2i, iz + a\b3it .i3 + o'zb1st'? ! +a'?b'?i'zi2I a')b3i'zir a3br + fu ^ + a3b'?s'3. i2 + a3bzh.s'3 a , ui t . i j
:
rsprid: ,,o ob€n i"i es hand€k sich bei i nicht um einer Expobenr.n, soDde.n um einen hocb-
13 Definition 5.5 i' it =, gi.i c;l.
Metrikkoeffizient
I tr, .v,, :tt" \ (tt) = | tr szt tz. I \ !i31 932 ca\ ,/
kr)...
Matrix der Metdkkoefizicnten
werden: Das Skalap.odukt kann somit auf folsendeArt geschrieben d.6 = "iF At . ij = aitl slj. LäDgeeinesVekiors:
ldl= ld? = ls,i"'a Winkel zwischenzwei Vekloren:
co4ta,6)=
======;_---_"==-
Länge€inesBasisvektors: lqi=Vh
h=\/9ü
Volümend€sParallelotopsaufgespanntvon dea Basisvektoren:
vr"r= i/ll"tO-,.r;l =
ldei(erj)l
Definition 5.6 det(s;1)=:e Dd
Volümen des Parallelotops, aufgespannt von den Basisvektoren, ergibt sich
Die physikalisch€Komponente ist die taisächliche Länge einer Komponente.
,,,lIrÄ=,,', BNisvektoE
d-'...
physikalischeKomponenie (koniravaiant.)
14
KAPITEL 5, VEKTORBASENUND VEI{TORKOMPONENT'N
Beispiel e ( zY{eidimensional) Wtu nehmenfolgendeBasisvektoren als gegebenan:
lirl = 2,lirl = 3,ti|, i2 = ßDo
'ir=a 'iz=s = 2. 3. i = 3 1 = it. i, = ldrlle-,lG(60") / 4 3 ) \3 e./ Wir nehmenweiierszweiVektoreno-und i'au:
a=4ir+2i,
(d,)= (4;2)
( 6 ,= ) (-1;2) d i = s i r a i u = 4 4 | . l ) - 3 . 4 . 2 i 9 . 2 . : - t t + g . 2 . 2. - 1 6 + 2 4 - ct , 9 6 = 3 8 otbt-o'?bz- -4+4= 0 tr fätsch, l(i.b da d;everw.ndere tormelnur tür orthonormierte Baseneilt.)
= (8;6) G-i) = (arvlE;) = (drls-,D
(ö-,)- (örvlt;l)= (0,1e-, )= (_2;6) Deffnition 5.8 (Odhorcrmierte Basis) Die Bdisvektorcn einer o*honormiertenBasis (Ca.rtesisches Koordinatensystem) haben alle die L?inBeEins und steheDpaa.weise seDkrechtadeinander.
15 Darausfolgt: Deffnition 5.9 (KRONE CKER Delta)
/ r 0
=(s-;gl)-l (g;r)
l o t
: ..
\3 r r a m=;
3 ! l sä?,/
o. ' j : = Il o r a . l i s ir + i
€inerorthonormiertenBaiis werdenmit 4, Die Basisvektoren Für das Skaldp.oduki,gilt:
.., 4 bezeichnei
a . i = s , , " i t i = " 1 1 ,+t " 2 h 2+ . . + a " l " Für die LängeeinesVektoN gilt somit:
='/d.d= J tar9+7eP+.. +@F @\ Beispiel l0 Basisin Bezugauf eineorihonormierteBasis. Wir erzeugeneineschiefwinkelige dr=€t
iz=4+Ez g'z=4*dz+Ez
6={r w r r n p n m P nz w P rv F I I o t e Dd n n a ' ) a n : 1-
rj
rr -
-_'
-"r
i 'r
h = -5i2+ 4i3= -;r - F4+4Fa Basenverschiedene I(omponenten. D-h.der selbeVektorhat in denverschiedenen Schiefwink€lieeB6is
( d ' )= ( 0 ; r ; r ) (ö')= (0;-5;4)
/ r r r \ r s " , 1 =zl zt l \ r 2 3 /
Orthonoxmi€rteBasis ( d , )= ( 2 ; 2 ; 1 ) ( 6 , )= ( - t ; - 1 ; 4 )
/ r o o \ { e , jl ro l o l = 6 , ' \ 0 0 r /
Skalarprodukt: Basis Schiefwinkelige i.g
=
srraiv
= 1.0.01 ) 1.0.4 + . 0 (. - 5 + + 1 . 1 .+ 0 2 l . ( - 5 )+ 2 . r ' 4 + 1 . 1 . 0 + 2 .(1- 5 ) + 31 . 4 = 0 + 0 +0 + 0 - r 0 +8 + 0- 1 0 +1 2
16
KAPITEL S, YüK"ORB"{SEN
UND Y',K?ORI{O,\,IPONEN?Er\r
O honormierteBasis o o
=
9 ija- b)
-
diia'&
-
2.( 1)+2.(,1)+1.4
PhysikalischeKoDponeDienl SchiefwinkeligeBalis
OrthonormierieBasis
ta'tt = ro:,/i: rtt l b - i t . t 0 : - ! , . / ta J 3 ,
rc.it i-')
1212I = 1o,, t t: 1.4\ ,t,i)
Kapitel 6
I{ovariante und kontravariante Vektorbasen und Komponenten Gesebensei eine kovariani,eVeklorbasis,-i. Wir wollen diese koväiante in eine kontravarianieVektorbasisüberführen:
Dabei wird folgenderZusammenhang festgelegi: i'
ij = 6'j
G"omrrfischeverdns.hauli"Lung der D"nni,ior: 9-" ,/ d" k:.'::: i1 v-" r-' Y ! o-3senk.echiauf;, und d-' 9 92=u ) Man führt folgendeBezeichnungen einl r'ld ,ij
=
9,k
=
Ati s-j
i' .trn = ,t;:n't. 6* Aij6k
I c'k
18
KAPITEL 6. KO- UND KONTRAVARIANTE VEKTORBASEN
Einschub: j = 1 . A t . 1 + A 2 . 0 +A 3 . 0 -A r j = 2 , A t . 0+ A 2 .| + A 3 O . - A2 j = 3 . A 1. 0 + A 2 . 0 +A 3 . t = A 3 Darausfolgt:
Analog dau gili:
Setzt man nun diesesErgebDisin die ursprünslichecleichüng €in, erhäll manl g. = gl gj Dzw. gk = !)kt!..
Muliiplizi€rt man die beidenGleichüngenmit€inander,so erhält man: c
ck = 6i* = 0'k =
lt 'gktgj 9 gti gxLitl g" gkr
Da da-sSkalarprodüktkommutativist, gilt gnj = gjr. Damit erhält man:
Einschub: Produki zweierMatrizen:
f " , i " , , ) . ( b , t , , \ _ / a r r o , r + . r z h o r r ü r+a a r z ö :\a \ "tt
"tzI\l"
0,, /-
\ o z r ü r r ra z z b t a z t b t z +o n b z z)
ki;)(ü;;)= kr;6ir) Zwei Mairizen deren Produkt die Einheiismairixliefe , heißenzüeinanderinvers. Aus (d'a) = (9ti91p)ka.nnsomit geschtossen werden,daß die Matrix der kovarianten Metrikkoef$zierien invers ist zur Ma.trix der kontravarianten Metrikkoeffzienten md umgekehrt. Urll beispielsweiseeine kovariante Vektorba€is ir €iae kontravariarte V€kiorba.sis überzuführen, enechnet man zunäi,chstaus den kova.rianten Basisvektoren 9rl die Matrix der kovariante! M€trikkoeffzierten (9ü). Invertiert man diese,so erhält man die Matrix der kotrtravadanteD Metrikko€mzienten(gtj), mit welcherman nun die kontravarianter Basisvektorennach der zuvor sefunderen B€ziehunI il = sii ij Beispiel ll Es sei eine kovaxianieBasisgegeben:
6=4,i,=€t+8,
k " ) (- i ; )
19 ergibt: Die Matrixinversion -t \ .. / t (s'r)= I -, ,. . I/ \ '
( 11z \) \ / - 2t
-r \ ( r . 2 + 1 . ( - 1 l 1 .( - 1 )+ 1 . 1 t ) - \ 1 . 2+ 2 .( - 1 ) 1 . ( - 1 ) + 2 . 1
ät)
Somit gilti
i, = s',it + c,,i, = 2it + (-I)i2 = 2i1- i2, d, - q,rd +ousi=t-rts- + rer,= -si + er?ll:.ö = i
ii.dj =0 fa s (r+j) kovaD.h. die neueBasis ist iatszichlichkontravariantzür urspdnglich gegebenen rianten Vektorbasis. von kontra- und kovariantenKomponentenvon Vekforen: Zusammenhang a=o'qi = a 9i9' a"oi a'=
o'g d,g'9 a q''
l9'
aig'
Analog erh:i,lt man:
Es gilt also: K omponenten Basisltehtoren d' = aiq' dti = d'gij
S' = C'Ct 9j = cijg
rnd austauschen D.h. man kann Indiz€s,,hinauf-"bzw. ,,hiDunterziehen" Rechenreeeln: aj = d;jai aj = g'ja aj = sirdi
(nur austauschen) (,,hinaufzehen"und austauschen) (,.hinunterziehen" und ausiauschen)
Beispiel 12 siisiE=s;k=8h
+
(gti)(9*/)=(',j)
di&cr Awdtuck stcht nicht nu. fitr dü ,,hituntcdicsondern ß! hen r ein6 t ex €ins Metrikkoefizi€nte! Nch gleich den A6druck der Mät.iremnltipliFätion aüf d€! vö.he.igen seite.
Beispier 13. fi. b= g;ialV = o,iU
20
KAPITEL 6, TO, UND KON?RAVAnI NTO VEI{?ORBAS'N
Kapitel 7
Tbansfor mat io nsverhalt en taDsformalionvon e, ir 9=rbzw. voDs-rin tr. 9r=sr'9r+gr'92 92=52'9r+92'92
Alleem€ingili: ik = atki' (Ej) ist die tansformationsmatrix Iür di€kovariant€n Ba€isvektoren. (ora)i6t die Tlansformationsmairix Iür diekortrava artenBasisv€ktoren. miteiDander, so erhäItman: Multipliziertmandie beidenobigenGleichungen i, .io 6ik
=
sojarü . it
=
giiak 6,
6;k = soJvr* +
(sJ)(äl) = (d,j)
Mät.iz€nplodukr
D.h. die tansformaiionsmatrizen sind invers. Ttatrsformaiionvon Vektorkomponenten: A - A's-,= Atit = A ik :.ati'
Nij N ejait Aj6jt Aait
= = = = =
freijij -A s;i -,t: qiail -"t 6it -4
7
=
diLAi
(ma.o ,,dividiert" durch sl) \di
22
KAPITEL 7, TRÄNSFORMÄTIONSVERHALTEN
gili: Ana.log ^:st^A^ D.h. die Vektorkomporenten iransformiercn sichwiedieBaeisvektoren.
kovarianteGrö3en
kortravaxianteGrößen ,,hinunterziehen" i'eü = e;
ii = str ii
. , m n a u r z l e n e bg- i g ! = 9 /
I
i" =dr iJ I
I
koniravarianteG$ßen
ko%rianie Größen
= 9] ,hinunterziehen"g-i9-i1
furj) ioi inv€N zu (e'j), (trj) ist inven zu (trj) und (pii) ist inverszu (arj). Beispiel 14 (Massenpunkt auf schiefer Ebene) Die Eben€sol um 45d sesenüberder Waagrechtengeneistsein, es sei eine orthorormierte VektorbasiBr-.,t2 eeeebe_n. weitersgilr:9-, = "-r und gi = är. Ebenfalls gegebenis, der Schwerkrafr vek'or Ii und der VeNchiebunssveki,or S.
(rr) = (0,-2) (r) i (2,2) Da dieBasisvekior€n g-,eineorthonormierte Vektotbasis bildengilt: / 1 0 \
t s r i r = ( 0r /
Für die Arbeit ,,1{olet somii: A = R . S = lri(i Si = KrSr + K2la = -4 Tta$Iormation: 9 r = a \ - g r+ a t ' 9 2 = C r + S z= e r + e 2 91 = S2-gt+ ar'92= -gr + 92 = -eI+ e2 Darausfolgi: / I rq'r=\_1
1 \ t/
Für {9,j) erhälr nan urrer VerweDdung der B.ziebung91; = e;,.f;: , / 2 0 \
rerir= 0 2 \ /
Duch Mairixinve6ion von (si) erh:nt nan (orj): / 1 _ 1 \
( u '=Jl)? , ' l \ a a I
Probe:
( r ,i ) ( i
_! !
\ _ rä ? ) / - \
,3 von Ii uud 'i boechnen: Komponenier Somitka.nnmandie transformie.tetr * -a, Iii S- - oii,9j
(r') = (-1,-1) (S;)= (2,0)
Für dic ^rbeii. .4 folgt somit:
- .( - 1 ). 0 : - l A = r i .S = i i j K t s j= 2 . ( - l ) . 2 + 0 . ( 1 ) . 0 + 0 ( - r ) 2 - t 2
24
I{APITEL 7. "RANSFORMA?IONSV'RI-IAITEN
Kapitel 8
Tensoren Deffnition 8.1 Ein Tensor€ßier Stufe liegt vor, fals 1-; = slj Aj bzw. A-'= 4Uj urd (qj) isi inverszu (a-'r) sili, wobei,4r bzw. ,4r die konrra_l,*. ko"u,iu"i"n x"mpoi"ot"n Deffnitior 8.2 Ein Tensorzn'eiierStufeliegi vor, falls i; = q;*qrrrH bzw. ,li = d-r.iAit^rgilt. Defftrition 8.3 EiET€nsorp-terStufeliegtvor.fallstl,i'i,
i"=ai,i'Aj..E,j"...aieietitjajs..-ip
glll.
Ein lensor^0.Stufe isr ein Skatac{0 Indizes=+ a = r: d. h. -in SkatarisL bpzüglich einer Transformationitrvariant). Rechenregeln am BeispieldesTensors?tie: Tijk = njk sti ,,hinaufzieh€n,, ,I\jk = TLikgh ,,hirunterzi€len,, ft* = /j*dri Ausrausch Beispiet 15 Behaupiung: Die Marrix der t\4arikkoefrzienren {s,rj isr ein Teosor.Na.h der obisenD"ffnici_ on e,Destensorszwe'ierS,ufemüß,e"i€ dann tolg"ndes Transformariänsv"rhahen aufweiser:g-jj = ojrajrgg Beweis: Es giltl
Multiplizierr män die beidenobisenGleichungenmiteinander,so e.hälr man: 9i gk : Si,g+ 9j 9t h. (erj) weist das richtise Tla$formaiionsverhatten auf und isr daher ein Tensor, ?. der sogenamteMetriktensor.
KAPITEL 8. TENSOREN Nach den Rechenregeln für l'ensorengili:
entspricht auch dem Produkt de. Ma*ix de. kG nir dc. Matrix der kontravarianten Melrik koetnrienten d€rcn Ergebnis die Eioheirsm.t.ix isr.
['.:
it i-
(wa]rrcAcsas€)
Kapitel 9
Tensoralgebra Addition eleichetiger Tensoren: Aiik+Biik=Ciik Spezia.Ua]l: n +n =. <+ t+D=. Produkt beliebigerTensoren: TeDsorielles
Spezia.Uälle: I. Dyadieche$Prodük1i?*"i"" v"tto""n a,a'
a = l' ' 1 t ' = / 9 ' l \ a 2 /
\ D , /
.-'t. _- ( " , t , " , k \ y qrb, arbz) 2. Ein€r der beiden Tensoren ist ein Skalar (Tensor o.Siufe) ^.4'j=B"i Spezialfall: )ai=bi c
\d=h
Verjüngutrgeires Temors: I"ik-+T"ij=Ui B€ispiel 16 (Spur eher Matri'c)
(i'j)=
/ 11, r1, 1r" \ P" l --+r t t + t2z + t" s = t | r,; *, r3r 13, r3s \ /
verjünsuns einest€nsoiellen Produkis (Überschiebung): A:ik Bh. = Cijkhn -+ ,+ik Brr* = 6ii*,r^ {hiebung
KAPITEL 9. T,SNSOAA'GEBRA Spezialfälle: 1. Übe$chiebüngdes dyadischenProdukts aibi -ti i -+ etbi = t1i = ^ !.,/\,/
Staldp.ödukt """ ä ""d t
SPur de. Ma&ix aes dyadischen Prcdtkts
a i=.\
2. Einem Vektor wird ein andererVektor zugeordnet bi.-Tija:.
Beispiel 1? (aus der Elastizitätstheorie) Wir beimchten ein Teilvoturnen eines elastisch veformten Festkörp€rs.
d/ disteht senkrechtauf das Fiächenelement ldil=df dli siehi im allgemeinen nichi senkrecht auf dd Flächenelement. dl = fi.df ä . . . Normale!-Einheitsvektor d/( = r" dJ r . .. SpaDnungsveklor tm allg"meinengilr,d-I?isr nicht parallel zu d/l d.I(,= ?lrdf* =TtknkdJ + n=
TiL nk
SPannüngsteruol
beschreibtdie Spannungenim Fe€tköIper. Der Spannungstensor Als Basissei eine orthonormierieBaßisgewähtt(+ dlß = dt*). dKt =Tikdlk dK\ = dKz = dK3 =
\ih+TndJ2+Tt3df3 :r2rd.h+T22dl2 +T2adt' ^1dh +T32df2+%adf3
dt wirkendenKlaft. 4edtl: t-te Xomponenteder auf das Fl:ichenelemeni
/dt\
s€nkrechtauf 4 Bteht,gilt: di = I Falls das Fl:i.henetement
0
|
\ o /
i "''\
Darausfol8i: dK' = | ",r
ldJ
\"3'l
(d.h.: nr ist die Komponenteder Kraft die in x-Richtungzieht, ?rr kt di€ Komponetrteder Krajt die in y-Richtungzieht,usw.)
/ o\
- l d/ FallsdasFlzi.hendemenr.s€nkrchrauft?stebt.sil,:dI
|'
\ 0,/
| r,"\
I r.
\r-l
ld/
29 4* : ite Komponente der auf ein zur k-Achse senkrechl stehendesFlichen€Iement wirkendenKraft pro Fläche. Die KomponentenT1r,T22 und ?33stellenreine D€hnungenbzw Kompressionen Die Xomponenten4r,Ä3
da.r' und ?,3 stellenScherungen
NuI) bara.brenwir FinenSIab:
(di)=
/ |
0 \ 0 |
des Stabs witken, d h lil - 4, = 0 Es sollenkeinelftäfie auf die Seitenflächen = (r 1,2,3). Es sollen auch keine Scherungskräftewirken, d. h. Tr3 = I% = 0' Es verbleibta.lsonur die (omponerte T3s. dK; =T;adJp
/
o
\
0 dÄr= | | rledl \ /
d/?l=tu.ldl-=A3dl (qi) = D.h.?$isider Druckbzw.Zugpaufder Stabqüerschnitt
/ o o o \
l l oo o p / \ o o
Beispiel 18 (Kräfte auf ruhende Flüssigkeiten) da sich In Flüssigkeitenstehi die Krafi immer senkrechiauf das Flächedelement, ({ießen) würde. die Flüssiekaitsonstbew€gen Steht €ine Flüssigkeituntet Druck so gili: Da Flüssiskeitenmeistkomptimie werden,wurdeaufder r€chtenSeiteder obiger Gleichüng€in Mit1u6geschdeben. Beispielwissen: Augemeinsilt, wie wir schonaus dem vorhergehenden dKi = Tikdlk. In diesemBeßpielgilt: Da. die Kräfte immer senkrdhi äuf die Flächenelementesiehen gilt weiters:
(-P (4*)= | 0 \ 0
o
-p 0
o 0 - p
30
K APIT EL 9. ?ENSORA'GEBR]{
Mit Hilfe des Tensorbegriffs kann man auch ein verallgemeinertes HOOKEsches Gesetzaufstellen: Tensor de. Elalizitätsmoduln. Di€ Indires A und I steh€n unten, da es sich un ein oft honomiete a6i handelt.
(beschrcibtSpannunsen,sieheBeispiel1Z) 4j . . . Spannungsiensor t/rj .. . Veüeüunssiensor(beschreibtVerzerrungen) Der Spannunestensor ist symmetrisch,d.h. 4j = 4i. Das Selbesih für den Verzerrunsstensor. Man schreibtdafür: Ty,U4t Ds gilt somii: Ti,j = )i-ikrUkt Auch ,\ ist bezüslichtj und ll symmeirisch.Das har zur Fotge,daß der Tensorder Ela.stizitätsmoduln nur 2l uDabhängige Kompon€ntenhat. 2r unabh:insige Kompotrenien treten z. B. bei iriklinen Kdstalen a,rf. Eine unabhengige Komponentehabenz. B. eineFtüssigkeitoder ein Gas (die Kompressibilitäi) Zw€i umbhängigeKomponenienhabenz. B. isoirope Festkörper. Ein solchesPaar bilden z. B. der Elastizitätsmodülund di€ euerkonrrakrionszäht oder der (ompressionsmodulund der Torsionsmodul.Das letzte paar isi zwar arx_ schaulicherab€r scblechterzu messen. Beispiel 19 (Starrer Körper)
d... Winkel8eschwindigkeitsv€ktor i... Drehimpulsvektor Für eineKugel gilt: ii= I.u;= 1.6;i.ui / 1 0
0 \
(4j) = | 0 1 o I \ 0 0 1 / Beispiel 20 (K
stalloptik)
l.r,, . ur€rektflsche versctllebun g ,E... elekirische Feldstäke Für isotrcpe Dielekirika gili folsende Beziehung:
DllE+D=€.8 Di=€
Ei - €.6ij Ej
/ € 0 0 \ lEul:lu e u I \ 0 0 € /
31 Beispiel 21 (elektrische Leitfühiekait)
7. .. stromdichie -d... elektrischeFeldstärke Für Leiter deren elekt.ischeLeitfühigkeitin alle Richtunsengieichgüt ist silt: j;=o
fi - o.6;l lli
(a,j):l
/ d 0 0 d \ 0 0
0 \ o l a /
KAPITEL 9.'IENSONALGEBR,A
Kapitel 10
Pseudotensoren Deffnition 10.1 (Synmetrische und aatisymmetlische Tensoren) Gitt rü^ = ?tik, so heißi ein Tcnsorsymmetrischbezüglichdcr Indizost und j. = -?j'k, so heißt ein Tensor antisymmetisch bezüglichder lndizes cilt rjt t und j. Tensorendie bezüslichaller Indexpaaresymmet sch bzw. aniisymmetdschsind, werdenals vollsiändigsymmeirischbzw. vollständigantisymmetrisch bezeichnet. Beispiel 22 Gegebensei ein Tensor?ü im dreidimensionalen Rauml / T1I 712 Tß \
ei=l r^ r- r* l. rzz rn \rs
l
Ist der Tensor symmetrisch\Tti = \11, so besilzt er sechsunabhängieeI{omIst der Tensor antisymmetdsch\T,j = -1:j), s., Lesiizt er nur drei unabhängige Xomponenlen,daja 1.1r= -r,1i selt€n muß, was nur für 4i = 0 erfüllt isi. Bdspiel 23 Ein vollst:indigänbisymmeirisch€r Tensordritter Stufe ?ir besiizl im dreidim€nsionalenRaüm nur eineunabhänBige ltomponente,da alleXomponentenbei denen mindestenszwei Indiresgleichsind detr Wert 0 hab€[. Für die verbleibenden sechs (omponenien die einenvon 0 ve$chi€denenWefi habenköruen gili: 7'123_ _7 2r3- T 23\, _T's2r= T3 !2 : _T'r32_ T'r23 Defiüitioü 10.2 ( Koväriärter €-Tensor) €tik= lG - €l;,j, k)
4,j,k)=
[ 1 -1 \ ( 0
falls (r,j, ]) eitreeeradePermuiation von (1,2,3) ist falls(i,j,*) eineuneerade Permutation von (1,2,3)ist sonsi (d. h. ftu den Fall das zwei Irdizes sleichsind)
Nach den RrcLenregeln für Tensoren siltl €t^"
= €ijkgilgi^gk..
Daxaus ergibt sich na.h einigeDUmformunsen folgende Beziehuns fi.ir den kontra vaxianten E-Tensor:
r'rk=I s(;,i,rrl \/e
34
I(AP ITEL 1O. PSEUDOTFNSOREN
Bei dieser Definiiion nimmi man 9 > 0 a.n,dies muß alierdings nichi immer der Fall sein. Ein Beispielin dem diesnicht zutdfit stellt der MINKOWSKI-Raüm dar. Für
tansformationsve.haliender Mei,Iikkoeffizienren: Mairizennultiplikation '2.-
i,: = s,"si grt = st-sxtsi
Mattzenmultiplikation
(i;) = 1"1110,tr."r, Es gilt: c=A.B
+
d e r ( c )= d e r ( l ). d e t ( B )
Damti erhältman: dei(s-,j)= det(s,j)ldet(d,j J], g
vc =
det\s,' )1. \/!
Alleemeingilt: l) = ). s8n(,\) scol^) =
I I t _1
falls.l>o taLls.\ I 0
V?= ssnldet(glj)ldet(qi)vA llansformationsverhalten des e-Tensos: Es gilt semäßDefinition: 61,3 = v6 = ssnldet(sri)ldet(si)rE = = ssnldet(q,r)]vEqlrs, ^ s" e(t, m, n) = = senldet(qr)l6r* srrs,-q" (über I,/n und n sol summieri w€rden) Jn.(t,n,n) erua : o"ar-q"er-"senldet(arr)] Das heißt der €-Tensor zeigi, bis auf das Vorz€ichender Determinate der Tlansformatioßmatrix, das Trausfomationsv€rha.lien €ines Tensors. Isi das Vorzeichen der Determinanteder Transformationsmatrixein Minus, so stimmr das T}ans formationsverhalten nicht ganz mit dem eines Tensors übeiein. Dies hat aber zu. Folse, daß ein Lid.ssystem in ein Rechtssystemüberge{ühri wüd bzw. umgekehrr (Spieselunsstra.nsformation).
35 Beispiel24 dr'e-: und ä:' C"*"1* *i eine orthonormi€rteBasisbesiehendaus den Vektorer Weiters sei die folgende tansformationsmatrix gegeben:
/-1 o o\ (qj)= { 0 1 o I
\ 0 det(sji) = -1
0 1 /
ia=.1e' bilden gilil Für den Fall, daß die Vektorenär, e-rund 4 ein R€chissvstem Die iransformierten Basisvekioren9'i bilden ein Linkssvstem Ds handelt sich hier also um eine Spieeelunesiränsformation Spezialfall: ercierStu{e(Pseudovekto,1-,('ar)' Gegebensei ein Pseudotensor
Ä = ssnldet(q')l q/ Aj Spieg€lungstra.nsformalion:
( a , i=) l
/-1 o 0 -r
\ 0 det(si') = -1
0
o \ 0 I -1 /
Damiti
,'=tl!lj'r,
von,4ä'd€rtsi'hum r80" d.h.dicFichtun8
Definition 10.3 (winkelgeschwindigkeitsvektor d) Länee:ldl - winkelseschwindiskeit(#)r Richtung: Paxallel zur Drehachse Richtunlssinn (Orientieruns):semäßSchraube esel'? Man unterscheidet zwei Arten von Vektorer, die axialen Vekiorcn (Pseüdovekioreü) und die polaren Vektoren (,,normale" Vektoren)'
2;.h. hatrdelt €5 sich bei der Vektorb*b um €in R*htssvstem so v€nde mat dG Re€hts jedoch rm ein Link55v'L"m so send" mdn die sch'aubenFsel d, hddelt 's sicb bei der Bsis ein P*udovekror i'r' d"r winh'tgsch(indiskei's'ktor folSt' daß "t otraus Li.**r'-"ü."*or
36
K APITEL ] O. PSEUDOTENSOREN
Kapitel 11
Vektorielles Produkt Definition 11.1 (vektorielles Prcdukt 'on a nlit i) (d x b)t = €ijkd b. G *i), = "'iuojbo desvektori€ll€nProdukts: Ttansformaiionsvexhalien S i n da ' u n J , p o l a r ev e l , o r - n . s o , .dr - l ü . i n r x i a h r v e k r o r , ki A ein polarerVekior und ö ein anialerVektor so ist d x ö ein potarerVektor. Ist eine orthonormierleBasis(erj = drj;9 = 1) gegeben,dann gilt: (d x E)1= e1z*2ba + e*za3bz= a2b3- a3b2 = a3ö1- arö3 (d xi)2= ezzlazbr+ ez13drr3 =arb2 -a2b1 (äx ö-):- e:rrarö'+ e:2ra2b1 let axö:detla, \ör
e2 e3 c, o. ö:, ö3
= e'*zbz* äza$r'l dzarb2- E3a2b\- ö2atba drqb2
Geomctrische Veranschaulichurs (altgemein, nichi nur auf orthonormierte Bs€n ircDrungvondxo: U m e j n e A u s s ä g eü b e r d i e R i c h r u n s r o n ; , folsendes Skalaxprodukt: ä. (ä x ö-)= or€tiaajö,, = eiiko;atbx = . l ? 3 o , o , ö " + . ? r ra " a . b , + , 3 2 o " a , b ,
D'rrcren ru könn"n bFtra.htcn wir
t3"' Ja3o?or
+q/alo3D2
-i
--
| :ta?o1h
=
-*
+ t o 2 or b - a 3 d r b| + q o t b z- o ( 3 b 2+ a ß 2 6 - d r o r ö 3 l = 0
D.h. das Skalarp.odukiisi 0. Daraüslolst: (ä x t)rA. Analoge gilt für du Skat".p.oa"Lt d. 1a " a';. ,luch in diesemla.lt ist das Skalar, pmdukt 0. D.h. auchfü teili: (ä x t)-Li. Bemerkuüg Bei de! Mr tilpikaiion von etwd Antisymmeirischem(2.B. €tir) mii eiwd Symmetrischem(2.8. a;a;61) erhäli man irEmer0. Länge von d' x t: lä x il, = l(a x i)r (ä x i\i | = \eii,"ßjbkeit^sft ^l = l€djle'!,r-oj ößorö- |
38
KAPITEL 11. VEKTORIELLES PRODUKT
Einschub: Überschiebungvo! e-Tensor€n:
_ v,
",.",
Je
- ,
:
2. D.h. für t + j erh:ilt man immer 0 (vgl. ,,i). - 3 ' ? r € ":-- V ' : ? ? - | [ . . . " ' /' J) " ^ - . . 2 3- -vr rE . L : : 1 a=e.'tE-'=z ( -.-" /r-' )
3. e,;ie'kt= 6ik6it- 6.t6k r & l * , r k t | i
r t j
r i
xj
Mit diesemWis€enkönnenwir nun die Längevon o-x Sberechnen. Id x 612= l€üjkeÄt^ai bkafi^l = l(6jt6k^ - 6j^ 6kL) "j bhaft^l = la'hnatbn- a-btdtbnl
= lä,i,_ la.E),1 = d,i, - ldPl,rcos,(Ld,i)l = lal?lirlsin,zd, i)l
Darausfolgt:
i)l lax dl= läjltllsin(rä, Di€s entspricht dem Flächeninhaltdes von den Vektoreno-und d'aufgespannten Para]lelograinms. Richtungssinnvon d'x i: ä, ö'und äx 6'folgenso aufeinanderwie die Basisvektoren 9-1, s-2und s-3,gleichgültig ob es sich um ein Liqks- oder Rechtssystemhatrd€lt. PhysikalischeAnwendungeD: RotierendeSysteme: Rechis€ystem Linkssy3iem
39 Für einen Körper der sich in Bezug auf ein rotierendesSystemnicht rclativ zu diesembewegt,gilt folgendeFormel:
Für die Zeniifugalkraft gitt: lz=-rux\axt). Für die CORIOLlSkraft sili, rc=-tm\uevret) ElektronagnetiscJre Felder: Ein elektromagneiisches F€ldi6t durch den elekirischerFeldsiärkevekior i und den Vektor der maenetischen Induktion -d gegeben. Dabeiisi der el€ktrischeFeldstärkevektor ein polarer Vektor üIld der Vektor der magnetischenIndukiioD €ir axialer Für dje LORENTZkraft eili dann: FL-qE+q(6tE) EigenschaJten dei v€kioriellenProdulcts: (5'x d)r = = = =
e;31tsoß -€ikiahV (Minus, da die Indizesj und i v€rtauschtwurd€n) -€tj*at!h (es wurden einfachdie Indizesj und Ä umbenannt) _(ä x 6)r
Es gili also: Daraus folgt sofort: ,\o=.-(dxdJ
+
aya=v.
Da.svektorielleProdukt iBi also nicht komnlurauv. Das vekto elle Produkt ist aber bezügtichder Multiplikation mit ein€m Skalax . = aei,*oib*-o1o-"4-;,. Iraa) x ö-lr e;i*looi)bk i-; ("')' Das v€ktorielleProduki ist auch disiributivr
ä x ( i + c - -) ( ä xi ) + ( a x a ) . HöhereVektorproduktel Eniwicklungssatz: läx (d x d)l; = e;;kai(ä'x;)a = eijkej Ekt^b&^ = ekij €kt^ajbLc^ = (6tt6jn - 6ttu6jtlaib&= b;an c- - c;atbt = L t a. c l 0 _ ( a . o , c j r Es gili also:
ä x (ix d) = (d.ö)i- (ä. i)":
KAPITEL 11, VEKTORIELLES PRODUKT
40 Spatprodukt: o.{o\cl=otovct, = o €tikd c' = €tjka'Yr'
/dl
61 cr\
\ 4 3
6 3 C /
=y'idet,l o'z b'z c'z I aufgespanntvon den Vektorena-,ä-und c-in Für da"sVolumeneinesParallelepipeds einer orthonormierienBaiis (vf = 1) gilt:
t r - - l - -4 - 0' -o r c I
t a a
\
("r= la"tI r-a a-o-t'a I
\ u o t b d d J
\
ll d." rll l ( ö:l ' , ", :h : l "l \a /, 'lb ,' c", \l l l t\"
\
f
"""./\"^t"n))
/" a."\
/ 'r-"' \
\c,
\.3
- , d . r l ö r6 z, " l a " r l . ' U r l ", cal ö3 cal \
T- r/ *;-;,lT = . 1 +l lt . ' o ," , l l \
L \ ' " a "" " / J
ltta\ /a d, ä, c, I \d3 ä3 cal Dafausfolgt unter Bezugoahme auf dar Spatprodukt: =deil
(s; = a. (5'xc-). DieseFormelsilb wie rvir ausder DefinitiondesSpaiproduktsersehenkönnennicht nur für orthonormierteBasensonderauch für allgemeineBasen. Es folst nun die Herleituns d€I Formeln für weiter€ höh€rc Vektorprodukte:
{ä x i) . (c'xi) = (dx i),(dx i)r
= "tjuoib*ea^Cd^ - (üi 6^k - 6Lk6*i)ejbkCdn - atb^c, ü" - a^üc,d.^
: (ä.;)(i. i) - (ä.i)(t.r) x d')jk-x i)a [(d x ü-)x (dx d-)];= e;;k(a-
= ",,qnI^ atb_{*c"d, = e* ; t e"^' er'^ arb- c.d. = (6!6 j. ,6t 6j\€J.'^aü^c"d.
--%"dt
1;" i),
- !'^"'t^"4' (,-,-6i,
= \a x b)r dj ct - (d x b )l cj d. \ _ ! - \ - ! -
(öxi);
(äxi).;
, t\d, I;) ,t-y,. t(d < i') . Äld, (ä x i) x G'x d=)- ätdiäx i)l - ita(ä x i)l
Kapitel 12
Tensorfelder, Fluß und Zirkulation Man spricht von einem s,taloren1el4 wenn folgendeBeziehunssilr: ) = .\(ci). Flächenfür die I = constänseilt heißenN,,edüldc^en. Man spricüt von einem yeÄtorl€rd,wennlolg€ndeBeziehunggili: "-= "-('i)
L2.L
Wegintegral
Für dasWegintegral(Linien- bzw.I{urveniniegral)über eineXurve C imVekrorfeld
t-,-
\\l rr-
€g"'-^ Aus der Zeichnungkann man erkennen,daß folgendeBeziehutrggitt: lim)
u- ^i
= , u-ds;.
Wählt man für C di€ ParameterdaNtellung, so ergibt sich: ,i - cj(r) mit r e [rr,r,]. Hierbei ist & = Pr(rr) der Anfanss-und p, - r'r(rr) der Endpunki der Kurve C. Man kann beweisen,daß folgendeBeziehunssitt:
42
KAPITDL 12. TENSORFELDER,FLI]SS UNDZIRKULATION
Ist Pl - Pr, so spdchi man von einem Ringintegral (auch Zirkutation genanDr) und schreibtda.{ür:
{ t ae. Beispier25 (wirbel)
i,4-.F\1 r\ -,rlUl; -/d
f aa;+o Beispiel 26 (Lineare Strömurs)
\)?Grc
\\:J \r\ \
f ;ae-o L2.2
Oberflächenintegral
9^-^J .'K\Yfu\t >t/xry
\wzt4r'\ Für das Flächenint€grälüber die Fläche.F im Vektorfeldt ergibr sich: -
tl
tirf.L6. ^t = Il idt lst die Fläicheitr siche$chlossen(2.8. eine Kugetoberfläche), so spricbi man auch von einem Ringiniegralüber die FlächeF und schreibtdafür:
9'nr L 2 . 3 Volumsintegral Für das Volumsintegra.tüber das Volumen y irn Skalarfeld p ergibr sich:
tiff':.Lp-^'= lll ed' "r" v
Kapitel 13
Vektoranalvsis in kartesischen Koordinaten
ro.
DeSnition 13.1 (Nabla-Operator V)
(v),=v= ar, Deffnition 13.2 (Laplac+operator
^)
l=v,vr=i.i Definition 13,3 (Gradient eines Skalars ,l)
ar
/ a a \ I ar I
(sradI)r = vr.\ = ;: = | # | I ä t , \3;'/
Deturition 13.4 (Divergenzeinesvektors fl Aut ölt öu, orvu=vrui=-=-+-+=j OIt O3:1 Otz
Deffnition
13"5 (Rotation
0u" dt:3
eiües Vektors
^-.
/ esa ,!'
qca \
I
ot'
:+
€+
( r o t , ) i = E , j r v j u * = e- i , * = = |
.
dr'
t)
|
1'r
Y'1
\
|
t
\ 7 ? _ " " l: \
€ijr nimmt nur die Werte+1 an, da wir von einemkartBischenKoordinareßystem aüsgeheD.
44
KAPITEL 13, VEKTOBANALYSß
Eigenscha.ften und Rechenregeln: 1. div()4 = q (.\?,r) Prodtkkegel
=?iViÄ+^V!r $ad.\
div d
= (eräd.\) + )(div4 r.
L I o ! l r o r u J l i= E r J ( v r € k l n V u m (.orOr = Ekij€khvjulJ^ = tolojm - oif,ojt)vj vt rm = Vm V; u- - V V ?,i
=Vv-un-VVur = {crad(divr) _ ^d)r
6.jr darf vo€ezogenwerden,da e3 sich um eine KonstaDte ha!delt.
Man darf die Nabla-Opera.toren auch ve*auschen.
3. Fot (erad))li = €iJ;,VjV& .\ (sFd-\)r
Da aber eij/. vollständig antisymmetrisch und Vj Vr symmetrisch ist, gilt: rot (srad.\) = 0. 4. div (rot 4 = v. 6rj,,Vj ?r, = Eü*Vi Vj uß punkt anstellen, Man kann nun die selbeÜberlegungwie im vorhergeh€ndeD dabergilt: div (rot u') = 0.
Kapitel 14
Integralsätze L4.L
Wegintegral
,'.{
'i.V \ \ )
Man kannzeigen: .\(P,)- )(4J. / (sradr)ds-=
Dahereilt für ,- = grad,\ I / rdr= \(Pr) - )(P1).
.I
.I wird als skalaresPotential bereichner. Foleelungen: r. Falls"-= srad ) =f /ids-ist c
wegunabhängis.
2. Fallso-= $ad.\ + f dds*= 0. c Anschauliche Bedeutungdescndienier: Ein Kürvenstück welchesso kurz ist, daß die Anderung von grad ) verna.cht:issisbar klein ist, geht h €in€r Punlt über.
4ö
KAPITEL 14, INTEGRALSÄTZE
srad.\. as-=.\(P,)- .\(Pr) Es sill,^s-- i. ^'6, wobeilil = 1 sitt. Darausrotsi: /. sräd) . as = ^(P,) - ^(P1)
t.n."a.r=l1&l:1111
(r4.1)
Dar Bruchaufder re"hrcoSeiregibr die Änderungvon \ pro Längen€inbFil rr Richrunsvon t an. Dic Änderutrswird maximal.wennI parall"tzu gra.d\ srehr. Andcrprspilskommt ps zu keinerAnderungvon ,\. wcnn I normal aufgrad A sreht. Folgerungen: L. grad) isr parallelzur Richruned"r mar;malen Änderungvon \. 2. Angenommen: f.grad Ä = 0 SkalarprcdDkt
Dies ist rur möslich,wentr .\(Pr) = Ä(P,) sitr (siehe14.1). DieserFall kann aber nur dann einircten, wenl & und P? auf einer Niveaud:iche liegen. Das heißt i smd.\ ist nur dann gleich Nul], wern i ianseniial zu €iner Niveaufläche lieei. Somii silt also srad.\ steht senkr€cht aut die Niveaufl:i.betr. 3. Angenommen:f stehi senkrechtauf eineNiveaufl:iche. Dann eilt i ist parallel zu grad). Darausfolgt: f gra.d,\ = lgrad)l. Es gitt
= )(P?)Ä-L(&) ls"ud.\l lgrad.rl.ista.lsodie Änderungvon.l pro Längeneinheitin Richrungder maxi. malen And€rung, dieseverläuft senkrechrzu den Niveauflächen.
I'R=!..a t.rz----*-\
14.2. OBERFLÄCHENINTEGRAL
14.2 Oberflächenintegral II tai F
Satz 14.1 (Stokes) tf
-
t
ll rord d.J= 6 ddE F
n
Ä$
Rd(F)
,Rd(F) ist die Kuwe enilangdesRanderder FlächeI'und la d€r Normaleneinheirsvekror. Für diesengilr: ln. = L Falls ,- = rot ä gilt, 60 folgt daraus: llüdl=0dd| \..-?J
Zi.kul6tion
ä wird als Vektorpoteniialbez€ichnei. Für eine in sich geschlossene F]äche(2.B. eine Kugeloberfiäiche) gilt, für tr-= roi ä folgendeBeziehurgl
a idl =0 Fü kleineFlächengilt:
tora-l\I=
tp ad$ Rd(F)
Weitersgilil
Somit erhält man: fi.rotd'.At = 0 AdsRd(^r) I
/-.Rd(^!)
Der Ausdruck auf der rechten Seite gibt die Zükr arion voD a um ^l
pro Fl:icheE_
48
K APITEL 14. IN'I:EGRALSÄTZE
Folgerungen: 1- rot a steht senkrccht auf die Fläche der maximalen Zirkulation. 2. AnDahmerDer Normaleneinheitsvektor A stehe normal auf die Fläche der maximalenZirkulation.Darausfolgi: n l l r o tä ) n
( o t o - = i r o t d ) - ü1- 9 dfd E
ikä:a.p!öi(ukt
\-vmqimale Zirkul.rion pF Flüch.neirheit
lrotdl gibt also die Zirkülation von ä pro Fl?icheneinheit um die Flache der maximalen Zirkula.tion an. roiä gibt die Richtung der Wirbelachse an. Als Wirbelstärke bezeichnetmaD die maximal€ Zirkulation prc Flächeneinheit.
14.3 Volumsintegral fil ),du v
satz 1a.2 (Gauß)
lllanaa,=ffaai v Rdlv) Für kleineVoluminagiltl di,td. av = $ ddi
n
a*a=[ flaai Der Ausdruck auf der rcchten Seite gibt den Fluß aus dem Volumen ^, pro Volumseinheiian {Quell6t:irke). div,D = 0 .1 ss g;6i l(.;ne magneiisch€nMonopole
Kapitel 15
Anwendung in der Physik Es sili: lot erad.l = 0 div.ot a-= 0 Damit: t= grad) + rot !-- 0 ü=rotä=+divr-=0 Eine l}age die sich an dieserStelle aufdrängtis[, ob auch die Umkehrungdieser beidenBeziehurgenrichiig ist.
15.1
Zusammenhängende Mengen
0-zusammenhängend 0 zusammenh:ineeqd oder auch wegzusammenhängend bedeutei,da8 je zwei Purkie einer Mengedu.ch €ineXurve verbundenwerdenkönnen,die ganz in der Mengeliegt.
0 zusammenhängerd
nicht 0-zusammenhängend
1-zusammenhäng€trd Eine Metrgeheißt 1-zusammenhäDg€nd, wenn sich jede geschlosseneKurve auf einen PuDki d€r Mengezusammenziehen läßx.
geschlossenen KuNen l-züsanmenhängend aber nicht GzusammeDh:itrg€nd
0 zusammmhärsendaber nicht 1-zusammetrhängend
50
KAPITEL 15. ÄNWENDUNG IN DER PIiYffK 2-zusammenhängend Eine Mengeheißü2-zusammenhängetrd, \r'ennsich jede geschtossene Fläche (2.B. eineKugeloberfläche; nicltjedoch die OberfiächeeinesTorus),aufeinen Punkt der Meagezusammenziehen läßt-
he.ausgenommenesVolümen 0- u.d l-zusammenhzineend aber nicht 2-züsmmenhtugend
Xörperisidürchbohrr 0- und 2-züsammenhängend al,er nicht 1 zusammenhä;send
Man kann zeigen: 1 Auf einer l-zusammenh:hsetrden Mensegitt: ,-= gradl <=.+ roit=
0
2. Aufeiner 2-zusammenhängenden Mengeeili: t= rotä <+
div "'= 0
Folgenngen: l rott = 0-auf einer l-zusammenhängenden Menge + Di€ Zirkutation tzhgs einer geschlossenen I{ü[ve ist 0. 2. div."-= 0 auf einü 2-zusammenhängenden Menge=+ Der Fluß aus €in€r g€, schlosserenFl:i.chei6i 0.
L5.2
Oas .d-f'eld eines stromdurchflossenen Leiters
Es gilt:
dri",a tdt* 3
tdl
15.2. DAS E-FELD EINESST-&OMDIIRCTIF,OSSETYEN IEI?ERS Esgeltenfolgende Beziehungen:
ri+ri
ri+zi
ö3 = 'j,
a_
(?)
Aüs der Definitior von F ist sofort zu erkennen,daß t für c1 definiert isi. Ii.d:-
r iU+-rxi t +
_-r2+0=o ri+ri
Darausfolet: tId:
rt -
Et-,-n v lri + rii' 1 ri \/ + si )dl
;i t
AA,
4!a \
93' I \ 98" öBz
AB2
Ot2
OIB
ah* /
}Bt
-O= I3
0Bz
-=u
^
dlr
-.rr? + rll - l-cr" .2r"l Ab -=--# or2 \ri + ri). Danit e€ibt sich: / 0 \ roiB = I 0 I \ 0 /
52
KAPITEL 15. ANI4/ENDUNGIN 'ER PI{YSß
Wir berechnennun die Zirkulation um den Leiter. Die Kurved seieinKreis.
{ da"-=Li- | a-. a"=tirlttB.^s d a- d l l a '
= , .ü m t ^ s \--...!-
2ntdl =2ndB
=2rc+0 Es gilt also, daß die Zirkulation ungleich0 ist, obwohl roi i = 0. DieserUmstand beruhl,darauf, daß die be,rachrde Mengenicht r ,usamrnerhäDgend ist, denn fü. rr = U und r, - 0 isr B Dichr deffnierrund der Leiier dabFr nicbt in der Men_ ge enthaltan. Durch ,,Herausrehmen,, einer Halbebenekann der t_zusammenhang herg€st€lltwerdeD.
15.3 Das .d-f'eld einer elektrischen punk adung Es gili:
Elli,'rndlEl c( +
Es gelten folgende Beziehungen:
rt(;=+4+€F',
t,"4+@'
,/t4;4+W
o=l'" Aus der Definition von t ist soforr zu erkemen, daß i für cl = ,? : ca = 0 nicht definiert ist.
15.3, DAS E FELD EINER EIA("RISCIIEN PUNI{"IÄDUNG
IEP=E?+Ei+El (ri+rr+r.il"
ri+ tZJ _ - c('i+ (n?+,?+,3Y -
@i+ a3+aZY
Daaus folgt:
aEr
.. a
aE2
olvl1=-+-+Ot2
öE3 Ou3
c ( 8 1 +! 3 + ' Z ) 4- c q . g ( E l + 1 7 + f ; ' . 2 q (x?+ c1,+?il3 . ( r ?+ 1 3+ r : ) : - 3 c ( x+? ! 3 + 1 3 ) i. x ?
0Er Ac1
(.?E?fi5'-
0Ez
c(c?+ aZ+ 'b* - lc(cl+fi+ z!1r' cl
6Es
c(c?+13+ r2),- 3c(al + xl + x!)+. n!
Damit er8ibt sich:
3 c ( r i - r ; + 1 3 r ; q c r r i _ - r : J . _ r 3 ) i { r ? - {r33rl (ci+ rt + r:]r _ - 34c?+ c3+ c:); - 3c(z?+E3+xil4
d vf_
ü+"Fi5--
(ri+.2+a3]F 0 Wir berechnennü den Fluß O auseiner konzentrischen Kuselflächerund um die
o=rimlr-.^i
=f
.lim) Af Kugelobed:icbe
KAPITEL 15. /NWEADUNG ]N DER PIiY5'1K
Es gilt.aiso.daß der fluß unghi.h 0 isr. ob$ohtdi! f- = 0. Dieser Umsrandbe_ n rL. anorrchwre rm vorherigerBeispi€ldaraul daß die bekacbrete \4enee nichr 2-zusammenhängend ist, denn ftu den Mirtetpunkr der bet.achtetenKuea,".r* di" Punkuadungselbstdivergierrdas Fetd. Durch ,,Herausnehmen,, "ir* irriU"iJi" kann der 2-zusammenhang hersesteltrwerden.
15,4
Festkörper-Rotation,
Es gilt:
trtuDd ro( 14
Es g€lienfolgendeBeziehungenl u1= -ct2,
1J2=ctL, ?s=0,
D. d . = - c r 2 a r + c c t b + 0 = 0 uaraüsrotge:utd.
c ' 7 +c a ? = .t/,i + "3 /9!!
9g1\
rorr= | g'_-q4 | \\ Ala _ tu! | d.r ar) /
ö,s
ö,2 or3
ö,2
öut 0tz
0q
öv
- = - = l l
dr3
dr1
d=
( ; )
.Wirbel
15,5. ALLSEITIGE ELASTISCIIEAUSDEI{NÜNG Damitergibtsich: / 0 \ rott= I 0 |
\ 2 "l
Irot lJ-l= 2c nun die Zitkülation. Wir berechDen Die Kurve C seiein Xreis. Ords=llm)
U As
= Lirn)- u ^s
2"61
= | .2nld-l = dil.2"ld-l = hclil2
Für die Zirkulaiion pro Flächeer8ibi sich somii:
2rcli12 . nldl'z Aiso:lrotr-l= 2c = Wirbelstä.rke
15.5 Allseitige elastischeAusdehnung Es gelten folgendeBeziehungeD:
?ut. öuz öuz ^ ,^ ,. =,tc + U orvrJ= + + Ort
Or2
OI3
55
56
RAPITEL 15. ANMNDUTNG IN DER PTIYS]J(
Wir berechnen nun den Fluß:
ot ,,{".,'ot='u"E"i
Tür d"r l luB pro \olllmF! rgrLrsi"h .ornil
Älso:div r-= 3c: Quellensiärke
