IMPORTANCIA DEL CORRECTO DISEÑO DE LAS TRANSMISIONES POR TORNILLO SIN FIN PARA LOGRAR UNA ADECUADA EFICIENCIA. Soto Berumen L. H.*, Moya Rodríguez J. L. °, Goytisolo Espinosa R. A °°, Machado Rodríguez A. S. ° * Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Autónoma de Zacatecas, México. °Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Cuba, °°Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad “Carlos Rafael Rodríguez” de Cienfuegos. Cuba. Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Carretera a Camajuaní, Km 5, CP 54830, Santa Clara, Villa Clara, Cuba. Email:
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Área Temática:
Diseño de Elementos de Máquinas.
RESUMEN Las transmisiones por tornillo sin fin a pesar de ser unas de las más antiguas usadas por el hombre han sido poco estudiadas y sus métodos de cálculo a las diferentes fallas no están totalmente establecidos. Muchas veces el diseño de una transmisión por tornillo sin fin consiste en un tedioso proceso de prueba y error. Debido a la baja eficiencia de estas transmisiones producto de la fricción generada en el contacto se disipa una elevada cantidad de calor al medio ambiente, contribuyendo negativamente al calentamiento global del planeta. Las investigaciones de la mayoría de los científicos han estado encaminadas al mejoramiento de los materiales y a la lubricación, considerándose la geometría como un aspecto secundario o agotado. En el presente trabajo se hace un análisis de cómo influyen los diferentes aspectos del diseño y la fabricación en la precisión de las transmisiones por tornillo sin fin, en la mancha de contacto y en la eficiencia, haciendo énfasis en la geometría.
PALABRAS CLAVE: Eficiencia, Tornillo sinfín.
Código 200
INTRODUCCIÓN Las transmisiones por tornillo sin fin se caracterizan por su elevada relación de transmisión, alta capacidad, pero su principal desventaja es el alto deslizamiento en la zona del engranamiento, lo cual es la razón esencial para su baja eficiencia. En los últimos años se han realizado numerosas investigaciones sobre este tipo de transmisiones, pero la mayoría han estado encaminadas a buscar mejoras en los materiales a emplear [1] [2] [3] [4] o en la lubricación. Realmente abundan pocos trabajos relacionados con la geometría y la capacidad de carga de estas transmisiones [5] [6] [7]. Por otra parte los procedimientos para el diseño de estas transmisiones a pesar de aparecer en las diferentes normas y libros de texto [8] [9] [10] no son lo suficientemente precisos, obteniéndose en muchas ocasiones transmisiones sobre dimensionadas. En el presente trabajo se analiza como influyen los diferentes parámetros geométricos en la eficiencia de las transmisiones por tornillo sin fin.
PARÁMETROS QUE INFLUYEN EN LA MANCHA O PATRÓN DE CONTACTO DE LAS TRANSMISIONES POR TORNILLO SIN FIN De acuerdo a Höhn [5] en la mancha de contacto de una transmisión por tornillo sin fin influyen los siguientes parámetros: Tolerancias de ensamblaje Calidad de la fabricación del tornillo y la rueda Capacidad de carga Condiciones de operación Dimensiones Este autor diferencia el patrón de contacto ideal del real y establece un modelo y compara los resultados teóricos obtenidos con los reales. Sin embargo no establece la influencia del patrón de contacto en la eficiencia de la transmisión ni cómo influyen los parámetros geométricos en este patrón de contacto. Por su parte Rivero [7] desarrolla un método para la reconversión de reductores de velocidad y establece un procedimiento para calcular la capacidad de carga de la transmisión a partir de la huella de contacto. No obstante no se establece que falla podría presentarse ni la influencia de algunos parámetros geométricos en la huella de contacto, ni cómo influye esta en la eficiencia de la transmisión. Sin lugar a dudas la mancha de contacto juega un papel fundamental no solamente en la capacidad de carga de la transmisión (aspecto abordado por Rivero), sino también en la eficiencia de estas transmisiones, lo cual aun no ha sido tratado en la literatura.
EFICIENCIA DE LAS TRANSMISIONES POR TORNILLO SIN FIN Para calcular la eficiencia de las transmisiones por tornillo sin fin la mayoría de las fuentes consultadas establece la siguiente expresión: η =
tan λ tan(λ + ρ )
(1)
Donde: λ es el ángulo de la hélice del tornillo ρ es el ángulo de fricción Normalmente ρ oscila entre 1° y 6° Otros autores [11] plantean que la eficiencia puede calcularse como: η =
(cosα n − f tan λ ) (cosα n − f cot anλ )
(2)
Desde el punto de vista geométrico el parámetro que determina la eficiencia de acuerdo a las investigaciones realizadas hasta el momento es el ángulo λ , ya que: Z .m tan λ = t (3) d t
Donde: Zt número de entradas del tornillo m módulo de la transmisión dt diámetro primitivo del tornillo. De la expresión (3) se puede apreciar que a medida que aumente el número de entradas y el módulo aumenta λ , lo mismo ocurre al disminuir el diámetro primitivo. Para evaluar como influían λ y ρ en la eficiencia, se elaboró una hoja de cálculo en Excel y posteriormente con el curvefix para windows se halló la ecuación de la eficiencia en función del ángulo de hélice y del coeficiente de fricción. En la figura 1 se muestra como varía la eficiencia en función del ángulo de hélice. La función de esta curva es la siguiente: a + bλ (4) η = 1 + cx + d λ 2 Esta es una función racional, cuyos datos son los siguientes: a= 0.33212872 b= 33.048224 c= 0.33074925 d= 0.00024134975
h
l Figura 1. Variación de la eficiencia en función del ángulo de hélice para un ángulo de fricción de 3°. Similar procedimiento se siguió para evaluar la influencia del ángulo de fricción en la eficiencia. En la figura 2 se muestra dicha influencia. En este caso también es una función racional. η =
a + b ρ
1 + cx + d ρ 2
(5)
h
r Figura 2. Variación de la eficiencia en función del ángulo de fricción para un ángulo de hélice de 15°. Los coeficientes de la expresión son los siguientes: a= 99.988638 b= -1.8271858 c= 0.051459843 d= -0.00092356963 Como se ve de las expresiones anteriores no existe una relación establecida entre la eficiencia y la mancha de contacto, ni de cómo influyen en la primera el tipo de perfil, la asimetría y la corrección. Si se diera una corrección positiva al tornillo, su diámetro primitivo aumentaría y por tanto de acuerdo a la expresión 3 disminuiría el valor de λ y por tanto la eficiencia de la transmisión aunque sin embargo aumentaría la rigidez y resistencia de la misma. Esto es un aspecto bastante complejo, más aun si lo analizamos además desde el punto de vista de la velocidad de deslizamiento.
DESLIZAMIENTO EN LAS TRANSMISIONES POR TORNILLO SIN FIN La velocidad de deslizamiento tiene mucho que ver con el coeficiente de fricción y con el ángulo de hélice del tornillo, por tanto tendrá mucho que ver con la eficiencia de la transmisión. La velocidad de deslizamiento (ver figura 3) se calcula por la siguiente expresión: Vdes
=
2
Vt
Donde : Vt – Velocidad periférica del punto de contacto del tornillo Vr – Velocidad periférica del punto de contacto de la rueda.
+
2
Vr
(6)
Figura 3. Deslizamiento en las Transmisiones por tornillo sin fin. Vt =
π .dt .nt
(7)
60000
La velocidad de deslizamiento también se puede calcular por la siguiente expresión: Vdes =
Vt
(8)
cos λ
De la expresión anterior se ve que a medida que disminuye λ disminuye la velocidad de deslizamiento. Por otra parte según Kudriatzev [11] la velocidad de deslizamiento y el coeficiente de fricción están estrechamente ligados. Los autores hallaron la ecuación que relaciona el coeficiente de fricción en función de la velocidad de deslizamiento según los datos experimentales proporcionados por Kudriatzev para tornillos de acero y ruedas de bronce.
f
=
a.b + c.Vdes b + Vdes
d
d
(9)
En esta ecuación los coeficientes son los siguientes: a= -0.0083041672 b= 1.7651983 c= 0.13596957 d= -0.4505393 De la ecuación y su respectiva curva se aprecia la disminución del coeficiente de fricción a medida que aumenta la velocidad de deslizamiento y por tanto un aumento de la eficiencia, en otras palabras, desde el punto de vista del deslizamiento convendría disminuir el valor de λ , sin embargo desde el punto de vista de la ecuación general de la eficiencia convendría aumentarlo. Investigar la interrelación de todos estos parámetros cinemáticos con los parámetros geométricos, la resistencia y la eficiencia es una tarea bastante ardua y requiere de métodos de optimización.
f
Vdes
Figura 4. Variación del coeficiente de fricción en función de la velocidad de deslizamiento para tornillo sin fin de acero y corona de bronce.
INFLUENCIA DE LA EFICIENCIA DE LA TRANSMISIÓN EN EL CALOR GENERADO AL MEDIO AMBIENTE La cantidad de calor generado al medio ambiente en función de la eficiencia viene expresado por la siguiente expresión: Q
=
860.(1 − η ) N
(10)
Donde: Q – cantidad de calor generado en Kcal/h η – Eficiencia de la transmisión N – Potencia transmitida. En la figura 5 se muestra como varía el calor generado en función de la eficiencia de la transmisión. Para una potencia dada de 50 Kw esta gráfica responde a una función lineal: Q
Donde: a= 43000 b= -430
=
a + b.η
(11)
Q
h Figura 5. Variación de la cantidad de calor emitido al medio ambiente en función de la eficiencia de una transmisión por tornillo sin fin.
CONCLUSIONES Las transmisiones por tornillo sin fin generan una gran cantidad de calor a la atmósfera, la cual depende estrechamente de le eficiencia de estas transmisiones, un ligero incremento de la eficiencia puede contribuir a disminuir considerablemente a disminuir la cantidad de calor generado. Existen dos vías para aumentar la eficiencia de estas transmisiones: mejorar el material y las condiciones de lubricación u optimizar los parámetros geométricos. Corrigiendo positivamente el tornillo y manteniendo los parámetros de la corona inalterables o corrigiendo negativamente la corona se puede aumentar la resistencia en conjunto de la transmisión, pero a costa de una disminución de la eficiencia.
REFERENCIAS 1. Jacek Andreas “Increase in load currying capacity of worm gears by optimization of the bronze of worm gears” ph thesis. Germany Nov. 2000. 2. Nass V. “Load carrying capacity increase of worm gears by optimization of the worm gear bronze”. Ph tlesis – ISBN 3-89193-120-V. 3. Boehmer Th. “Development of standard test for worm gears for the testing of lubricating and materials” Ph theses – ISBN 3-89194-090-4. 4. Shanf K.J. “Contact and elastohydrodynanic analysis of worm gears”. Proc Inst. Mech. Engrs. Vol 215. Part C, año 2001. 5. Höhn B. “Determination and Optimization of the contact pattern of worn gears”. Gear technology Marzo-Abril2003. 6. Sirene C. et al “Modelo matemático para el cálculo de las trasmisiones sinfín cilíndricas”. Revista Ingeniería Mecánica, Volumen 4, año 2001, La Habana, Cuba
7. Rivero G. et al “Capacidad de carga de las transmisiones por tornillo sinfín y corona”. Revista Ingeniería Mecánica, Vol. 3, año 2002, La Habana, Cuba. 8. Dobrovolski V. et al “Elementos de Máquina”. Editorial MIR. Moscú 1980. 9. Reshetor O. “Detali Mashin”. Editorial Mashinostroienie, Moscú. 1975. 10. www. roymech.co.uk. 11. Kudriatzev V.N. “Detali Mashin” .Editorial Mashinostroienie. Leningrado 1980.
UNIDADES Y NOMENCLATURA η
λ ρ
Zt m dt Vdes Vt Vr Q N
Eficiencia (adimensional) Ángulo de la hélice del tornillo (grados) Ángulo de fricción (grados) Número de entradas del tornillo (adimensional) Módulo de la transmisión (mm) Diámetro primitivo del tornillo (mm) Velocidad de deslizamiento (m/seg.) Velocidad periférica del punto de contacto del tornillo (m/seg.) Velocidad periférica del punto de contacto de la rueda (m/seg.) Cantidad de calor generado (Kcal/h) Potencia transmitida (Kw)
