Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
Unidad II - Álgebra de vectores
2.5. Ecuaciones de rectas y planos Habíamos mencionado que una recta en el plano, se expresa a través de su pendiente m , sin embargo, en el espacio no es suficiente la información de la pendiente para ubicar a una línea recta, lo conveniente es realizarla a través de vectores. En la región R , el vector v a, b proporcionaba la dirección y permitía establecer las ecuaciones 2
paramétricas x t x1 at , y t y1 bt . 3 En el espacio R , un vector se expresa como
v
a, b, c por lo que, de manera similar a la región R 2 ,
podríamos realizar la deducción de las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, resultando en la siguiente definición:
Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio Sea P x1 , y1 , z 1 un punto en el espacio que además está sobre una recta L y sea
v
a, b, c
3
el vector de dirección en R para la recta. Las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio están dadas por las expresiones:
x t x1 at y t y1 bt z t z1 ct De donde, podemos tener otra expresión de la misma recta a través de las simétricas:
x x1 a
y y1 b
ecuaciones
z z 1 c
Ejemplo 01: Encontrar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto 1, 2, 4 y es paralela a v 2, 4, 4 Las ecuaciones paramétricas paramétricas se definen por:
x t 1 2t
y t 2 4t
z t 4 4t
Y las simétricas:
x 1 2
y2 4
z 4
4 1 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
0
v
k 5
10 10 5 2
j
4 6
0 8
i
Figura 1. Recta en el espacio del ejemplo 01
Ejercicios: a) Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos
2,1,0
y
1,3,5 b) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto
3,0,2 y
es
paralela al vector v 6 j 3k y dibujar la recta para al menos tres valores de t . c) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos 0, 4,3 , 1, 2,5 y que sea paralela a un vector unitario
u
, según se muestra en la siguiente figura:
6 4 2 0 10
2 15 10
5
v 5 0
0 5
2 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
Planos en el espacio Un plano en el espacio, podría definirse como una sucesión infinita de rectas que tienen la misma orientación. El plano, puede ser descrito a través una ecuación de la forma ax by cz d 0 Para determinar la ecuación de un plano, requerimos de conocer un punto contenido dentro del plano y un vector (no nulo) que sea normal al plano. Consideremos un plano que contiene al punto P x1 , y1 , z 1 y un vector normal n a, b, c . Este plano consiste de todos los puntos Q x, y, z para los cuales n es normal. Sobre el plano, ubicamos a P y Q y construimos el vector PQ . De acuerdo a la propiedad de dos vectores que son ortogonales, debe de cumplirse que n PQ 0 , si las componentes del vector PQ son
x x1 , y y1 , z z 1 , el producto interno n PQ quedará definido como: a, b, c x x1 , y y1 , z z 1 a x x 1 b y y 1 c z z 1
Que es conocida como la ecuación canónica del plano. Si desarrollamos la expresión anterior:
ax ax1 by by1 cz cz1 0 x1 , y1 , z1 , a, b, c son valores conocidos, por lo tanto, podemos hacer la siguiente igualación: d ax1 by1 cz1 ax by cz d 0 La cual, es la ecuación general de un plano en el espacio . Los términos a, b, c son las componentes del vector que es normal al plano, por lo cual, también se le denominan números directores del plano.
Obtención de la ecuación de un plano a partir de un punto contenido en el plano y un vector normal al plano
Ejemplo 02: Determinar la ecuación del plano que contiene al punto P 3,2,1 y que es normal al vector n 3, 5, 4 De la ecuación canónica del plano a x x1 b y y 1 c z z1 0 conocemos los siguientes datos:
x1 3, y1 2, z1 1, a 3, b 5, c 4 , por lo que sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos la ecuación canónica: 3 x 3 5 y 2 4 z 1 0
3 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
Si desarrollamos la expresión anterior obtendremos la ecuación general del plano:
3 x 3 5 y 2 4 z 1 0 3 x 5 y 4 z 9 10 4 0 3 x 5 y 4 z 3 0
Figura 3. Perspectiva 1 del plano del ejemplo 2
Figura 4. Perspectiva 2 del plano del ejemplo 2
4 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
Ejemplo 03: Determinar las ecuación canónica y general de un plano en el espacio, el cual contiene a los puntos 2,1,1 , 0, 4,1 , 2,1, 4 Sabemos que el plano contiene a estos tres puntos con los cuales podemos crear dos vectores que tengan el mismo punto inicial y que además estarán sobre el plano. El producto vectorial entre estos dos vectores nos dará como resultado un vector normal a ellos, y por consiguiente al plano.
4
k
3
4
2 3
1 2
j 1
2 0 i 1 2
1
Creamos los vectores:
vab 0 2, 4 1,1 1 2,3, 0 vac 2 2,1 1, 4 1 4, 0,3
c
4 3
k
4
El vector normal a vab y vac será:
2 3
1 2
i
j 1
2
vab vac 2 3
0 i 1
a
6
k 0 9i 6 j 12k
4 0 3
1
2
j
a9
0
b6
c 12
4 5
2
ab ac
Tomando cualquiera de los puntos contenidos en el plano, podemos formar ambas ecuaciones. Considerando el punto 2,1, 4 la ecuación canónica será:
10
9 x 2 6 y 1 12 z 4 9 x 2 6 y 1 12 z 4 5
c
a
Y la ecuación general , se obtiene desarrollando la ecuación canónica: 9 x 6 y 12 z 36 0
5 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
6 de 7
Cálculo vectorial – Unidad II
2.5. Ecuaciones de rectas y planos
M.C. Ángel León
Ejercicios: a) Un plano en el espacio contiene al punto 1,3, 4 y al punto 0,1,6 e intersecta al eje k en 5 unidades. Determine la ecuación general del plano. b) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto 2,5,7 y el vector v 1,3,7 c) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto
1,9, 2
y es paralelo al plano
5 x 7 y 12z 5 0 .
d) Para el plano 4 x 3 y 2 z 7 0 encuentre al menos 4 puntos contenidos en el.
7 de 7
