Analise_de_Sistemas_de_Potencia_II[1] - Faltas Simetricas e Assimetricas e Enalise de Estabilidade

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS CENTRO POLITÉCNICO ENGENHARIA ELÉTRICA

NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO VITORIA BARBOZA

1.1. Introdução .......................... ............ ........................... .......................... ........................... ........................... .......................... ........................... .................. .... 1 1.2. Transitórios em Circuitos RL Série .......................... ............. ........................... ........................... .......................... ................... ...... 1 1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas ....................... ............... ........ 4 1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias .................. ............... ... 6 1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas ............................ .............. ........................... .................. ..... 8 1.6. MVA de Curto-Circuito .......................... ............. .......................... ........................... ........................... .......................... ..................... ........ 12 1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito ............................ ................ ............ 13 1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo .......................... ............. ........................... ............................ .................... ...... 14 1.8. Lista de Exercícios ........................... ............. ............................ ........................... ........................... ............................ ........................... ............. 16

2.1. Introdução .......................... ............ ........................... .......................... ........................... ........................... .......................... ........................... ................ .. 21 2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos ............................. .............. ................... .... 21 2.3. Operadores .................................... ....................... .......................... ........................... ........................... .......................... ........................... .................. .... 23 2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos ........................... .............. ........................... ..................... ....... 24 2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de Transformadores Y −∆ ... 26 2.6. Potência em função dos Componentes Simétricos ........................... ............. ............................ ..................... ....... 29 2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência ........................... ............. ............................ .................. .... 31 2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio .......................... ............. ........................... ........................... ............. 32 2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão ............................ .............. ......................... ........... 34 2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas .......................... ............ ............................ ..................... ....... 35 2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Transformadores Trifásicos ............................ .............. ................ .. 38 2.12. Lista de Exercícios .......................... ............ ............................ ........................... ........................... ........................... ........................... .............. 42

3.1. Introdução .......................... ............ ........................... .......................... ........................... ........................... .......................... ........................... ................ .. 47 3.2. Faltas em Geradores em Vazio ........................... ............. ........................... .......................... ........................... ........................ .......... 47

Sistemas de

II

Sumário

Prof. Luciano V. Barboza

3.2.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 48 3.2.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 50 3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 52 3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência ........................................................ 53 3.3.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 55 3.3.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 55 3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 56 3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas ........................................ 57 3.5. Análise de Faltas Assimétricas usando a Matriz Impedância de Barra ................ 60 3.6. Lista de Exercícios ............................................................................................... 61

4.1. Aspectos Gerais .................................................................................................... 65 4.2. O Problema da Estabilidade ................................................................................ 65 4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação ......................................................... 67 4.4. Equação Potência-Ângulo .................................................................................... 71 4.5. Critério da Igualdade de Área para a Estabilidade .............................................. 75 4.6. Aplicações Adicionais ao Critério da Igualdade de Áreas ..................................... 81 4.7. Estudos de Estabilidade para Sistemas Multimáquinas: Estudo Clássico ............. 83 4.8. Solução da Curva de Oscilação ............................................................................ 87 4.9. Fatores que Afetam a Estabilidade Transitória .................................................... 89 4.10. Lista de Exercícios .............................................................................................. 92

Sistemas de Potência II

iv

Quando ocorre uma falta em um sistema de potência, a corrente que circula é determinada pelas forças eletromotrizes internas das máquinas no sistema, por suas impedâncias e pelas impedâncias existentes no sistema entre as máquinas e a falta. As correntes que circulam em uma máquina síncrona imediatamente após a ocorrência de uma falta, após alguns ciclos e o valor em regime permanente diferem consideravelmente devido ao efeito da corrente de armadura sobre o fluxo que gera a tensão da máquina. Este capítulo estuda o cálculo da corrente de falta em diferentes instantes de tempo e explica as mudanças na reatância e na tensão interna da máquina síncrona à medida que a corrente varia desde seu valor inicial até o seu valor em regime permanente.

A seleção de um disjuntor em um sistema elétrico depende não apenas da corrente que ele tem que suportar em regime normal de operação, mas também da corrente máxima momentânea que o percorre durante uma falta e da corrente a interromper sob a tensão da linha na qual se encontra. Para se compreender o cálculo da corrente inicial quando um gerador síncrono é curtocircuitado, considere o que acontece quando uma tensão CA é aplicada a um circuito contendo valores constantes de resistência e indutância, conforme a Figura 1.1. Observe que o ângulo

α

determina o módulo da tensão quando o circuito é fechado.

Figura 1.1. Aplicação de uma tensão CA a um circuito RL série.

A equação para a rede da Figura 1.1 é Sistemas de Potência II

1

Faltas Trifásicas Simétricas


Ri + L

di = Vmax cos(ωt + α ) dt

(1.1)

A solução desta equação é R ⎡ − t ⎤ ⎢ i(t ) = I max ⎢cos(ωt + α − θ) − cos(α − θ)e L ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

onde I max =

Vmax , Z = R + j ωL = Z ∠θ, Z = R 2 + (ωL) 2 e Z

θ

(1.2)

= arctan

ωL

R

.

O primeiro termo na equação (1.2) varia sinusoidalmente com o tempo. O segundo terX

X

mo é não-periódico e decai exponencialmente com uma constante de tempo

τ = L R .

Este

termo não-periódico é chamado componente CC da corrente. O termo sinusoidal é o valor em regime permanente da corrente em um circuito RL. Se o valor do termo em regime permanente não é zero quando t = 0, a componente CC aparece na solução de modo a satisfazer a condição de corrente nula no instante imediatamente anterior ao fechamento da chave S . Observe que a componente CC não existe se o fechamento ocorrer em um ponto da onda de tensão onde

α

− θ = π 2 ou

tante de tempo em que

α

− θ = 0, a componente CC possui seu valor inicial máximo e

α−θ

= − π 2 . Se o fechamento ocorre em um ins-

igual ao valor máximo da componente sinusoidal. As Figuras 1.2 (a) e (b) mostram a corrente em função do tempo para

α−θ

= π2 e

CC pode ter qualquer valor entre zero e

V max

Z

α

− θ = π, respectivamente. A componente

dependendo do valor instantâneo da tensão

quando o circuito é fechado e também do fator de potência da rede. No instante da aplicação da tensão, as componentes CC e de regime permanente têm a mesma amplitude, porém são de sinais opostos de modo a expressar o valor nulo da corrente em t = 0.


2



(a)

(b)

Figura 1.2. Corrente como função do tempo no circuito da Figura 1.1 para: (a) α − θ = π 2 e (b) α − θ = π. A tensão é aplicada em t = 0.

Por outro lado, um gerador síncrono consiste basicamente em um campo magnético girante que gera uma tensão no enrolamento de armadura que possui resistência e reatância. A corrente que circula quando um gerador é curto-circuitado é semelhante àquela que circula quando uma tensão alternada é aplicada subitamente à associação série de um resistor e um indutor. Entretanto, existem diferenças importantes porque a corrente na armadura afeta o campo girante. O efeito de um curto-circuito nos terminais de um gerador a vazio pode ser analisado a partir de um oscilograma da corrente em uma das fases quando este curto-circuito ocorre. Como as tensões de fase estão defasadas entre si de 120 °, o curto-circuito ocorre em diferentes pontos da onda de tensão em cada fase. Por essa razão, a componente CC em cada fase é diferente. Se a componente CC da corrente for eliminada, a curva das correntes de fase será aquela mostrada na Figura 1.3. i c b

a 0

t

Figura 1.3. Oscilograma da corrente em um gerador síncrono a vazio em curto-circuito. A componente CC da corrente foi desprezada.


3



Comparando as Figuras 1.2(a) e 1.3, percebe-se a diferença entre a aplicação de uma tensão alternada a um circuito RL série e a aplicação de um curto-circuito a uma máquina síncrona. Não há componente CC em nenhuma dessas figuras. Numa máquina síncrona, o fluxo no entreferro é muito maior no instante em que ocorre o curto-circuito do que alguns ciclos após. A redução do fluxo é causada pela força magnetomotriz da corrente de armadura, que é chamada reação da armadura . Quando ocorre um curto-circuito nos terminais de uma máquina síncrona, é necessário transcorrer um tempo para reduzir o fluxo no entreferro. À medida que o fluxo diminui, a corrente da armadura diminui porque a tensão gerada pelo fluxo do entreferro determina a corrente que fluirá através da resistência e da reatância de dispersão do enrolamento da armadura.

As reatâncias das máquinas síncronas tratadas em estudos de falta são as reatâncias do eixo direto. Como a resistência normalmente é pequena, a corrente durante uma falta está sempre atrasada com um grande ângulo em relação à tensão. Na Figura 1.3, a distância “0a ” é o valor máximo da corrente de curto-circuito em regime permanente. Este valor de corrente dividido por 2 é o valor eficaz da corrente de curto-circuito em regime permanente. A tensão em vazio do gerador dividida pela corrente em regime permanente é chamada de reatância síncrona do gerador ou reatância síncrona do eixo direto, ou seja,

X d =

EG E = G 0a I

(1.3)

2 Se a envoltória da onda de corrente for retrocedida até o tempo zero e alguns dos primeiros ciclos forem desprezados (onde o decréscimo é muito rápido), a intersecção será a distância “0b”. O valor eficaz desta intersecção é conhecido como corrente transitória . Assim, pode-se definir uma outra reatância para a máquina, chamada de reatância transitória ou reatância transitória do eixo direto


4



X d ′ =

EG E = G 0b I ′

(1.4)

2 O valor eficaz da corrente determinado pela intersecção da envoltória da corrente com o tempo zero é chamado corrente subtransitória . Na Figura 1.3, a corrente subtransitória equivale à distância “0c ” dividida por 2. A corrente subtransitória muitas vezes é denominada de corrente eficaz simétrica inicial , que é uma denominação mais adequada por desprezar a componente CC e tomar o valor eficaz da componente CA da corrente imediatamente após a ocorrência da falta.

X d ′′ =

EG E = G 0c I ′′

(1.5)

2 A corrente subtransitória I ′′ é muito maior do que a corrente em regime permanente I porque a diminuição do fluxo no entreferro causada pela corrente da armadura não pode ocorrer imediatamente. As equações (1.3) a (1.5) permitem determinar a corrente de falta em um gerador quanX

X

X

X

do as suas reatâncias são conhecidas. Se o gerador estiver sem carga quando ocorrer a falta, a máquina é representada pela tensão em vazio em relação ao neutro em série com a reatância apropriada. A resistência pode ser considerada se desejar-se uma precisão maior. Dois geradores estão ligados em paralelo ao lado de baixa tensão de um transformador trifásico ∆−Y, como está mostrado na Figura 1.4. O gerador 1 tem para valores nominais 50 MVA e 13,8 kV. O gerador 2 é de 25 MVA e 13,8 kV. Cada gerador tem uma reatância subtransitória de 25%. O transformador apresenta como valores nominais 75 MVA e 13,8∆ / 69Y kV, com uma reatância de 10%. Antes da falta, a tensão no lado de alta tensão do transformador é 66 kV. O transformador está em vazio e não há corrente circulando entre os geradores. Calcule a corrente subtransitória em cada gerador quando ocorre um curto-circuito trifásico no lado de alta tensão do transformador.


5



Figura 1.4. Diagrama unifilar do Exemplo 1.1.

Considere um gerador com carga quando ocorre uma falta no sistema. A Figura 1.5(a) é o circuito equivalente de um gerador que alimenta uma carga trifásica equilibrada. A impedância externa é mostrada entre os terminais do gerador e o ponto P onde a falta ocorre. A corrente que circula antes da ocorrência da falta no ponto P é I L , a tensão no ponto de falta é V f e a tensão nos terminais do gerador é V t . Sabe-se que o circuito equivalente de um gerador síncrono consiste de sua tensão em vazio em série com a sua reatância síncrona X sinc . Se ocorrer uma falta trifásica no ponto P do sistema, um curto-circuito do ponto P

até a referência não satisfaz as condições para cálculo da corrente subtransitória, uma vez que a reatância do gerador deve ser X d ′′ para a corrente subtransitória I ′′, ou X d ′ para a corrente transitória I ′.

X d ′′

E g ′′

(a) Circuito equivalente em regime permanente

I ′′

(b) Circuito para cálculo da corrente subtransitória

Figura 1.5. Circuitos equivalentes para um gerador alimentando uma carga trifásica equilibrada. A ocorrência de uma falta trifásica em P é simulada pelo fechamento da chave S .

O circuito mostrado na Figura 1.5(b) corrige este erro. A tensão E g ′′ em série com X d ′′ fornece a corrente em regime permanente I L quando a chave S está aberta, e fornece a corrente subtransitória no curto-circuito I ′′ quando a chave S está fechada. Para determi-


6



nar E g ′′, a corrente através de X d ′′ é I L . Portanto, E g′′ = Vt + jX d ′′I L

(1.6)

e esta equação define a tensão interna subtransitória . Analogamente, a corrente transitória I ′ pode ser obtida a partir da tensão interna transitória E g ′ que pode ser determinada

como E g′ = Vt + jX d ′ I L

(1.7)

As tensões internas E g ′′ e E g ′ são determinadas a partir da corrente em regime permanente I L e ambas são iguais à tensão em vazio E g apenas quando I L for nula, isto é, quando E g e V t são iguais. Observe que E g ′′ em série com X d ′′ representa o gerador antes da ocorrência da falta e imediatamente após a falta apenas se a corrente anterior à falta for I L . Por outro lado, E g em série com a reatância síncrona X sinc é o circuito equivalente da máquina em regime permanente para qualquer carga. Para um valor diferente de I L no circuito da Figura 1.5(a), E g permaneceria o mesmo, porém seria necessário um novo valor para E g ′′. Os motores síncronos possuem reatâncias semelhantes às dos geradores. Quando um motor é curto-circuitado, ele não recebe mais energia da rede, porém seu campo permanece energizado e a inércia do seu rotor com sua carga conectada conserva sua rotação por um determinado período de tempo. A tensão interna do motor síncrono faz com que ele forneça corrente para o sistema, agindo como se fosse um gerador. Portanto, as tensões internas transitória e subtransitória para um motor síncrono são E m′′ = Vt − jX d ′′I L E m′ = Vt − jX d ′ I L

(1.8)

Um gerador e um motor síncrono possuem valores nominais de 30 MVA e 13,2 kV e ambos têm reatâncias subtransitórias de 20%. A linha de conexão entre eles Sistemas de Potência II

7



apresenta uma reatância de 10% na base dos valores nominais das máquinas. O motor está consumindo 20 MW com fator de potência 0,8cap com uma tensão de 12,8 kV em seus terminais, quando ocorre uma falta trifásica nos seus terminais. Determinar a corrente subtransitória no gerador, no motor e na falta. Utilize as tensões internas das máquinas. Resolva o Exemplo 1.2 utilizando o teorema de Thèvenin.

Nesta seção será realizado o estudo de faltas trifásicas em redes generalizadas. O estudo será baseado no sistema elétrico mostrado na Figura 1.6(a) e os resultados podem ser generalizados para qualquer tipo de rede. A Figura 1.6(b) é o diagrama de reatâncias deste sistema e para estudar uma falta trifásica na barra 4, pode-se utilizar o mesmo procedimento da seção anterior e designar V f como a tensão na barra 4 antes da falta.

′′ E G 1

1

′′ X G 1

X T T1 X 14 14

′′ E G 2

3

X ′′

G 2

′′ E M

(a) Diagrama unifilar

4

X 34 34

X T T2

2

′′ X M

X 13 13

X 23 23

X T T3

X 24 24

V f

(b) Diagrama de reatâncias Figura 1.6. Diagramas de um sistema elétrico hipotético.

Uma falta trifásica na barra 4 é simulada pela rede mostrada na Figura 1.7 onde as tensões V f e −V f simulam o curto-circuito. Apenas a tensão V f neste ramo não causa corrente no ramo. Com V f e −V f em série, o ramo constitui um curto-circuito, e a corrente ′′ e V f forem no ramo é I f ′′. Se EG′′1, EG′′2 , E M curto-circuitadas, curto-circuitadas, as tensões e correntes serão


8



aquelas devido apenas a −V f . Assim, a única corrente que entra em um nó vinda de uma fonte é a devido a −V f e igual a −I f ′′ na barra 4 ( I f ′′ saindo da barra 4) uma vez que não há corrente neste ramo até a inserção de −V f .

′′ E G 1

′′ X G 1

′′ E G 2

′′ X G 2

′′ E M

′′ X M

I f ′′

−

V f

Figura 1.7. Falta na barra 4 da rede da Figura 1.6 simulada por V f e −V f em série.

As equações nodais na forma matricial para a rede com −V f como única fonte são Y13 Y 14 ⎤ ⎡⎢ V 1 ⎤⎥ ⎥⎢ ⎥ Y23 Y 24 ⎥ ⎢ V 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ Y33 Y34 ⎥⎥ ⎢ V 3 ⎥ ⎢ ⎥ Y43 Y44 ⎥⎦ ⎢− V ⎥ ⎣ f ⎦ 

⎡ 0 ⎤ ⎡Y11 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 Y22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ = ⎢Y ⎢ ⎥ ⎢ 31 Y32 ⎢−I ′′⎥ ⎢Y ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎣ 41 Y42

onde Y 11 =

1 j (XG′′1 + XT 1 )

Y 22 = Y 33 = Y 44 =

1 ′′ + XT 3 ) j (X M

1 j (XG′′2 + XT 2 )

1 jX 14


+

1 jX 24

1

+

jX 13

+ +

+

1 jX 23

1 jX 13

+

1

+

1

1

jX 23

1

Y14 = Y 41 = − jX 14

1

1

Y23 = Y 32 = − jX 23

jX 24

1

(1.9)



Y13 = Y 31 = − jX 13

jX 14

+



+

1 jX 34

Y24 = Y 42 = − jX 24

1

Y34 = Y 43 = − jX 34

1 jX 34

9


e o sobrescrito




indica que as tensões são devido apenas a −V f . O sinal



foi escolhido

para indicar a mudança nas tensões devido à falta. Invertendo a matriz admitância de barra da equação (1.9) , obtém-se a matriz impedânX

X

cia de barra e as tensões nodais devido a −V f são dadas por ⎡ V ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ V 2 ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ V 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−V ⎥ ⎣ f ⎦ 





⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ barra ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢−I ′′⎥ ⎢⎣ f ⎥⎦

(1.10)

Da equação (1.10) , tem-se que X

X

I f ′′ =

V1 = −Z 14 14I f′′ = − 

Z 14 Vf Z 44

V f

V2 = −Z 24 2 4I f′′ = − 

(1.11)

Z 44

Z 24 Vf Z 44

′′ = − V3 = −Z 34 34 I f 

Z 34 V f Z 44

(1.12)

′′ e V Quando a tensão −V curto-circuitada na rede da Figura 1.7 e EG′′1 , EG′′2 , E M f é curto-circuitada f es-

tão no circuito, as correntes e tensões são as que existiam antes da falta. Pelo princípio da superposição, estas tensões anteriores à falta adicionadas aos valores das tensões da equação (1.12) resultam nas tensões existentes após a ocorrência da falta. Normalmente, consiX

X

dera-se a rede sem carga antes da falta. Neste caso, nenhuma corrente circula antes da falta e todas as tensões são iguais a V f . Assim,


10



V1 = V f + V1 = V f − Z 14I f′′ = V f −

⎛ Z 14 Z ⎞ V f = ⎜⎜⎜1 − 14 ⎟⎟⎟V f Z 44 Z 44 ⎟⎠ ⎝

V2 = V f + V2 = V f − Z 24I f′′ = V f −

⎛ Z 24 Z ⎞ V f = ⎜⎜⎜1 − 24 ⎟⎟⎟V f Z 44 Z 44 ⎟⎠ ⎝

V3 = V f + V3 = V f − Z 34I f′′ = V f −

⎛ Z 34 Z ⎞ V f = ⎜⎜⎜1 − 34 ⎟⎟⎟V f Z 44 Z 44 ⎟⎠ ⎝







(1.13)

V4 = V f −V f = 0

Estas tensões existem quando a corrente subtransitória circula e

barra

foi formada para

uma rede que possui valores subtransitórios para as reatâncias das máquinas síncronas. Generalizando as relações anteriores, pode-se afirmar que, para uma falta na barra k , tem-se

I f =

V f

(1.14)

Z kk

e a tensão na barra n após a falta é ⎛ Z ⎞ V n = ⎜⎜⎜1 − nk ⎟⎟⎟V f Z kk ⎠⎟ ⎝

(1.15)

As correntes em qualquer parte do circuito da Figura 1.7 podem ser determinadas através das tensões e das impedâncias. Por exemplo,

′′ = I 13


V1 −V 3 jX 13

′′1 = I G

′′1 −V 1 EG j (XG′′1 + X T 1 )

(1.16)

11



As concessionárias de energia elétrica fornecem os dados para os usuários que devem determinar a corrente de falta de modo a especificar os disjuntores em algum ponto de uma planta industrial ou de um sistema de potência. Normalmente, esses dados incluem os MVA de curto-circuito, onde MVA de curto-circuito = 3 × kV nominal ×I SC × 10−3

(1.17)

Desprezando as resistências e capacitâncias em derivação, o circuito equivalente monofásico de Thèvenin que representa o sistema consiste em uma fem igual à tensão de linha nominal dividida por 3 em série com uma reatância indutiva de kV nominal X TH =

3

× 1000

I SC

(1.18)

Ω

Resolvendo a equação (1.17) para I SC e substituindo na equação (1.18) , tem-se X

X

X

(kV nominal )2 Ω X TH = MVA de curto-circuito

X

(1.19)

Transformando a equação (1.19) para pu, obtém-se X

X

(kV nominal )2 (kV base )2 pu X TH = MVA de curto-circuito MVAbase

(1.20)

Se kV base é igual a kV nominal , convertendo para pu, obtém-se

X TH =


I MVAbase = base pu MVA de curto-circuito I SC

(1.21)

12



Determine a matriz impedância de barra para a rede da Figura 1.8. Os geradores nas barras 1 e 3 possuem valores nominais de 270 e 225 MVA, respectivamente. As reatâncias subtransitórias dos geradores mais as reatâncias dos transformadores que os conectam às barras do sistema são iguais a 0,3 pu cada, usando como base os valores nominais dos geradores. As relações de transformação dos transformadores são tais que a tensão base em cada circuito do gerador é igual à tensão nominal do gerador. Incluir as reatâncias dos geradores e transformadores na matriz. Calcule a corrente subtransitória para uma falta trifásica na barra 4 e as correntes que chegam à barra em falta vindas das barras 3 e 5. A corrente antes da falta pode ser desprezada e todas as tensões são consideradas 1,0 pu antes da ocorrência da falta. A base do sistema é 100 MVA.

Figura 1.8. Diagrama unifilar do Exemplo 1.4.

A corrente subtransitória é a corrente eficaz simétrica inicial e não inclui o componente CC. A inclusão deste componente resulta em um valor eficaz da corrente imediatamente após a falta maior do que a corrente subtransitória. Para disjuntores a óleo acima de 5 kV, a corrente subtransitória multiplicada por 1,6 é considerada como sendo o valor eficaz da corrente cuja força disruptiva o disjuntor deve suportar durante o primeiro ciclo após a ocorrência da falta. Esta corrente é chamada corrente momentânea . A capacidade nominal de interrupção de um disjuntor é especificada em MVA. Os MVA de interrupção são iguais a 3 vezes a tensão da barra à qual o disjuntor está ligado mulSistemas de Potência II

13



tiplicado pela corrente que o disjuntor deve ser capaz de interromper quando os seus contatos se separam. Esta corrente é menor do que a corrente momentânea e depende da velocidade do disjuntor, tal como 8, 5, 3 ou 1,5 ciclos, que é a medida do tempo que transcorre a partir da ocorrência da falta até a extinção do arco. A corrente que o disjuntor deve interromper é assimétrica, pois contém o componente CC. A corrente nominal de interrupção para disjuntores é chamada corrente simétrica de capacidade de interrupção requerida ou corrente nominal simétrica de curto-circuito . A

determinação dessa corrente pode ser realizada utilizando o procedimento simplificado descrito a seguir.

1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo

Este método conhecido como método E/X despreza todas as resistências, todas as cargas estáticas, todas as correntes anteriores à falta e todos os motores de indução abaixo de 50 HP. No cálculo da corrente nominal simétrica de curto-circuito, para os geradores são utilizadas as reatâncias subtransitórias e para os motores síncronos utilizam-se as reatâncias subtransitórias multiplicadas por 1,5. Note que, se não houver motores representados no sistema, a corrente nominal simétrica de curto-circuito é igual à corrente subtransitória. Um gerador de 25 MVA e 13,8 kV com X d ′′ = 15% é conectado através de um transformador a uma barra que alimenta quatro motores idênticos, como mostra a Figura 1.9. A reatância subtransitória X d ′′ de cada motor é 20% na base de 5 MVA e 6,9 kV. Os valores nominais do transformador trifásico são 25 MVA e 13,8/6,9 kV, com uma reatância de dispersão de 10%. A tensão na barra dos motores é 6,9 kV quando ocorre uma falta trifásica no ponto P . Para a falta especificada, calcule: a) a corrente subtransitória na falta; b) a corrente subtransitória no disjuntor A; c) a corrente nominal simétrica de curto-circuito na falta e no disjuntor A.


14



G

P A

Figura 1.9. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.5.


15



1.1. Uma tensão alternada sinusoidal de 60 Hz com valor eficaz de 100 V é aplicada a um circuito RL série pelo fechamento de uma chave. A resistência é 15 Ω e a indutância é 0,12 H. a) Determine o valor do componente CC da corrente no fechamento da chave para um valor da tensão neste instante de 50 V. b) Qual é o valor instantâneo da tensão que produz o máximo componente CC da corrente no fechamento da chave? c) Qual é o valor instantâneo da tensão que resulta na ausência de componente CC da corrente no fechamento da chave? d) Se a chave for fechada quando a tensão instantânea for zero, determine os valores da corrente instantânea após transcorridos 0,5, 1,5 e 5,5 ciclos. 1.2. Um gerador conectado a um transformador por um disjuntor apresenta valores nominais de 100 MVA e 18 kV com reatâncias de X d′′ = 19%, X d′ = 26% e X d = 130%. O transformador trifásico tem valores nominais de 100 MVA e 240Y / 18∆ kV e X = 10%. O gerador está funcionando em vazio e sob tensão nominal quando ocorre

um curto-circuito trifásico no lado AT do transformador. Calcule, em Ampères: a) a corrente eficaz simétrica inicial no disjuntor; b) a corrente de curto-circuito permanente no disjuntor; c) a corrente eficaz simétrica inicial nos enrolamentos do lado AT; d) a corrente eficaz simétrica inicial na linha no lado AT. 1.3. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA e 20 kV, com X d ′′ = 0,2 pu. Ele alimenta uma resistência pura de 400 MW sob 20 kV. Esta carga é

ligada diretamente aos terminais do gerador. Curto-circuitando simultaneamente as três fases da carga, calcule a corrente eficaz simétrica inicial no gerador em pu numa base de 500 MVA e 20 kV.


16



1.4. Um gerador é conectado através de um transformador a um motor síncrono. Reduzidas a uma mesma base, as reatâncias subtransitórias do gerador e do motor são 0,15 pu e 0,35 pu, respectivamente, e a reatância de dispersão do transformador é 0,10 pu. Ocorre uma falta trifásica nos terminais do motor quando a tensão nos terminais do gerador é 0,9 pu e a corrente de saída do gerador é 1,0 pu com um fator de potência 0,8cap. Calcule a corrente subtransitória em pu no ponto de falta, no gerador e no motor. Use a tensão nos terminais do gerador como fasor de referência e obtenha a solução: a) calculando as tensões internas das máquinas; b) usando o teorema de Thèvenin. 1.5. Dois motores síncronos com reatâncias subtransitórias de 0,80 e 0,25 pu, respectivamente, numa base de 480 V e 2 MVA, estão conectados a uma barra. Esta barra está conectada, através de uma linha de transmissão com reatância de 0,023

Ω,

a uma

barra de um sistema de potência. Nesta barra, os MVA de curto-circuito do sistema de potência são 9,6 MVA para uma tensão nominal de 480 V. Para uma tensão na barra do motor igual a 440 V, despreze a corrente de carga e calcule a corrente eficaz simétrica inicial numa falta trifásica na barra do motor. 1.6. A matriz impedância de barra para uma rede de 4 barras, com valores em pu, é ⎡0,15 ⎢ ⎢0,08 ⎢ barra = j ⎢ ⎢0,04 ⎢0,07 ⎣

0,08 0,15 0,06 0,09

0,04 0,06 0,13 0,05

0,07 ⎤ ⎥ 0,09⎥⎥ 0,05⎥⎥ 0,12⎥⎦

Os geradores estão conectados às barras 1 e 2 e suas reatâncias subtransitórias foram incluídas na matriz

. Desprezando a corrente anterior à falta, calcule a corrente

barra

subtransitória em pu no ponto de falta para uma falta trifásica na barra 4. Considere a tensão no ponto de falta igual a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule também a corrente subtransitória em pu no gerador 2, cuja reatância subtransitória é 0,2 pu.


17



1.7. Para a rede mostrada na Figura 1.10, calcule a corrente subtransitória em pu no gerador 1, na linha 1−2 e a tensão nas barras 1 e 3 para uma falta trifásica na barra 2. Considere que nenhuma corrente circula anteriormente à falta e que a tensão na barra 2 antes da falta era 1,0 pu. Resolva usando a matriz impedância de barra. 2

j 0,2

j 0,5

j 0,4

1

3

X ′′ = 0,2

G 1

X ′′ = 0,25

G 2

Figura 1.10. Rede para o Problema 1.7 (valores em pu).

1.8. Para uma falta trifásica na barra 1 da rede sem carga da Figura 1.11 (todas as tensões nodais são iguais a 1,0 pu), calcule a corrente subtransitória na falta, as tensões nas barras 2, 3 e 4 e a corrente no gerador ligado à barra 3. ′′ E G 1

′′ E G 2

′′ E M

Figura 1.11. Rede para o Problema 1.8 (valores em pu).

1.9. Calcule a corrente subtransitória em pu numa falta trifásica na barra 5 na rede da Figura 1.12. Despreze a corrente anterior à falta e considere todas as tensões nodais iguais a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule também a corrente nas linhas 1−5 e 3−5.


18



Figura 1.12. Diagrama de reatâncias para o Problema 1.9 (valores em pu).

1.10. Um gerador de 625 kVA e 2,4 kV com X d ′′ = 0,2 pu é ligado a uma barra através de um disjuntor, como mostrado na Figura 1.13. À mesma barra, através de disjuntores, estão ligados três motores síncronos com valores nominais de 250 HP e 2,4 kV, com fator de potência unitário, 90% de rendimento e X d ′′ = 0,2 pu. Os motores estão funcionando a plena carga, com fator de potência unitário e tensão nominal, com a carga igualmente dividida entre as máquinas. Utilize como base para o sistema 625 kVA e 2,4 kV. a) Calcule a corrente nominal simétrica de curto-circuito em Ampères que deve ser interrompida pelo disjuntor A e B para uma falta trifásica no ponto P . Despreze a corrente anterior à falta. b) Repita o item (a) para uma falta trifásica no ponto Q e para uma falta trifásica no ponto R.

Figura 1.13. Diagrama unifilar para o Problema 1.10.


19




20

Em 1918, uma das mais poderosas ferramentas para tratar com circuitos polifásicos desequilibrados foi apresentada por C. O. Fortescue. Desde então, o método de componentes simétricos tornou-se de grande importância e as faltas assimétricas são todas estudadas por esta abordagem.

De acordo com a teoria de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema trifásico podem ser decompostos em três sistemas equilibrados de fasores denominados componentes simétricos dos fasores originais. Estes conjuntos equilibrados são conhecidos como: •

Componentes de seqüência positiva : consistem de três fasores iguais em módulo, 120°

defasados entre si e tendo seqüência de fases idêntica à dos fasores originais. Utiliza-se o subíndice “1” para designar este conjunto de fasores. •

Componentes de seqüência negativa : consistem de três fasores iguais em módulo, 120°

defasados entre si e tendo seqüência de fases oposta à dos fasores originais. Utiliza-se o subíndice “2” para designar este conjunto de fasores. •

Componentes de seqüência zero : consistem em três fasores iguais em módulo e com o

mesmo ângulo de fase. Utiliza-se o subíndice “0” para designar este conjunto de fasores.

A Figura 2.1 mostra os conjuntos de componentes simétricos para um conjunto genérico de três correntes desequilibradas.


21

Componentes Simétricos


Componentes de seqüência positiva

Componentes de seqüência negativa

Componentes de seqüência zero

Figura 2.1. Três conjuntos de fasores equilibrados que são componentes de três fasores desequilibrados.

Cada um dos fasores desequilibrados originais corresponde à soma de seus componentes simétricos, ou seja,

I A = IA1 + IA 2 + I A0

(2.1)

I B = IB 1 + IB 2 + I B 0

(2.2)

I C = IC 1 + IC 2 + I C 0

(2.3)

A síntese de um conjunto de três fasores desequilibrados a partir de três conjuntos de componentes simétricos (Figura 2.1) é mostrada na Figura 2.2.

Figura 2.2. Adição gráfica dos componentes simétricos da Figura 2.1.


22



O resultado da multiplicação de dois números complexos é o produto de seus módulos e a soma de seus ângulos. Se o número complexo que expressa um fasor for multiplicado por um número complexo de módulo unitário e ângulo θ, o número complexo resultante representa um fasor igual ao fasor original defasado de um ângulo θ. O número complexo de módulo unitário e ângulo

θ

é chamado operador e faz com que o

fasor, sobre o qual atua, gire de um ângulo θ. Um operador conhecido é o operador j , que causa uma rotação de 90° no sentido antihorário. Duas aplicações sucessivas do operador j causam uma rotação de 180° no sentido anti-horário. Assim, o operador j pode matematicamente ser expresso como

j = 1,0∠90°

(2.4)

Um outro operador útil é o operador a , que causa uma rotação de 120° no sentido anti-

horário sobre o fasor no qual é aplicado. Dessa forma, tem-se que a = 1,0∠120°

(2.5)

Se o operador a for aplicado duas vezes sucessivas a um fasor, este irá girar de 240° no sentido anti-horário. Três aplicações sucessivas de a causam uma rotação de 360° no sentido anti-horário. Matematicamente, tem-se a × a = a 2 = 1,0∠120° × 1,0∠120 ° = 1,0 ∠ − 120 ° 2

(2.6)

3

a × a = a = 1,0∠ − 120° × 1,0 ∠120 ° = 1,0 ∠0 °

A Figura 2.3 mostra os fasores representando as várias potências do operador a .


23



Figura 2.3. Diagrama fasorial com as várias potências do operador a .

Cada componente simétrico das correntes I B e I C pode ser expresso em termos do operador a e um componente simétrico da corrente I A . De acordo com a Figura 2.1, pode-se escrever

I B1 = a 2I A1

I C 1 = aI A1

I B 2 = aI A 2

I C 2 = a 2I A2

I B 0 = I A0

I C 0 = I A0

(2.7)

Substituindo as equações (2.7) nas equações (2.1) , (2.2) e (2.3) , obtêm-se X

X

X

X

X

I A = IA1 + IA 2 + I A0

X

X

X

(2.8)

I B = a 2I A1 + aI A2 + I A0

(2.9)

I C = aI A1 + a 2I A2 + I A0

(2.10)

ou na forma matricial

⎡1 1 ⎡I A ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢I B ⎥ = ⎢1 a 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢I ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ C⎦


1 ⎤ ⎡I A0 ⎤

⎥⎢ ⎥ a ⎥⎥ ⎢ I A1 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢I ⎥ a ⎦⎥ ⎣ A2 ⎦

(2.11)

24



Definindo

⎡1 1 ⎢ 2 = ⎢⎢1 a ⎢ ⎢⎣1 a

1⎤

⎥ a ⎥⎥ ⎥ a 2 ⎥⎦

(2.12)

tem-se que

−1

1 = 3

⎡1 1 ⎢ ⎢1 a ⎢ ⎢ 2 ⎢⎣1 a

1⎤ ⎥

2⎥

(2.13)

a ⎥ ⎥

a ⎥⎦

e pré-multiplicando ambos os lados da equação (2.11) por X

⎡I A0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ I A1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ A2 ⎦

⎡1 1 1 ⎢⎢ 1 a 3 ⎢⎢ 2 ⎢⎣1 a

−1

X

, obtém-se

1 ⎤ ⎡I A ⎤

⎥⎢ ⎥ a ⎥ ⎢I B ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ a ⎥⎦ ⎣I C ⎦

(2.14)

I A0 =

1 (I A + I B + I C ) 3

(2.15)

I A1 =

1 (I A + aI a I B + a 2I C ) 3

(2.16)

I A2 =

1 (I A + a 2I B + aI C ) 3

(2.17)

2⎥

ou na forma de equações

A partir dos componentes simétricos da corrente I A , pode-se obter, através da equação (2.7) , os componentes simétricos das correntes I B e I C .

X

X

Em um sistema trifásico, tem-se

I A + I B + IC = I N


(2.18)

25



portanto,

I N = 3I A0

(2.19)

Na ausência de um caminho ao neutro em um sistema trifásico, I N é zero e as correntes de linha não contêm componentes de seqüência zero. Assim, uma carga ligada em ∆ não contém componentes de seqüência zero. A equação (2.15) mostra que não existem componentes de seqüência zero se a soma dos X

X

fasores desequilibrados for zero. A soma dos fasores tensão de linha em um sistema trifásico é sempre zero, portanto, os componentes de seqüência zero nunca estão presentes nas tensões de linha, não importando a dimensão do desbalanceamento.

Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para uma carga ligada em ∆ através da linha a é 10 A. Usando a corrente da linha a como referência e considerando que a linha c esteja aberta, calcular os componentes simétricos das correntes de linha.

−∆

No curso de Circuitos III, estudou-se a utilização da regra do ponto para transformadores. Para que as correntes do lado de alta e do lado de baixa tensão estejam em fase é necessário que o sentido da corrente em um enrolamento entre pelo ponto e no outro, saia. A marcação padrão para transformadores monofásicos utiliza H 1 e X 1 nos lados AT e BT, respectivamente, ao invés dos pontos. As outras extremidades dos enrolamentos são marcadas por H 2 e X 2 . A Figura 2.4 mostra a equivalência entre as duas regras. No transformador mostrado, as correntes I p e I s estão em fase. Assim, os terminais H 1 e X 1 são positivos no mesmo instante em relação a H 2 e X 2 .


26



Figura 2.4. Diagrama esquemático de um transformador monofásico.

Os terminais de AT dos transformadores trifásicos são marcados com H 1 , H 2 e H 3 e os de BT, com X 1, X 2 e X 3 . Em transformadores Y −Y e ∆ − ∆, as marcações são tais que as tensões e correntes nos terminais H 1 , H 2 e H 3 estão em fase com as tensões e correntes nos terminais X 1, X 2 e X 3 , respectivamente. Entretanto, em transformadores Y − ∆ e ∆ − Y, sempre há defasagem entre as grandezas do lado de AT e de BT. A Figura 2.5 é o diagrama de ligação de um transformador Y − ∆. A seqüência de fases é direta (ABC ). Os enrolamentos colocados em paralelo estão acoplados magneticamente, pois estão montados sobre o mesmo núcleo. As fases do lado de AT são designadas por letras maiúsculas e as do lado de BT, por letras minúsculas.

Figura 2.5. Diagrama de ligações de um transformador trifásico.

um As normas americanas para designar os terminais H 1 e X 1, H 2 e X 2 e H 3 e X 3 , em

transformador Y − ∆, exigem que as grandezas de seqüência positiva do lado de AT este jam 30° adiantadas em relação às grandezas de seqüência positiva do lado de BT, independentemente de estarem os enrolamentos de alta tensão em Y ou em ∆. Para as grandezas de seqüência negativa, a defasagem deve ser de 30° em atraso. A Figura 2.6 mostra os diagramas fasoriais para os componentes de seqüência das tensões nos dois lados do transformador.


27



Seqüência positiva

Seqüência negativa

Figura 2.6. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das tensões.

Observando os diagramas fasoriais da Figura 2.6, verifica-se que V A1 está 90° atrasada em relação a V a 1 e que V A2 está 90° adiantada em relação a V a 2 . Assim, as relações entre os componentes simétricos das tensões nos dois lados do transformador é VA1 = −jVa1

VA2 = jV a 2

(2.20)

A Figura 2.7 mostra os diagramas fasoriais para os componentes de seqüência das correntes nos dois lados do transformador.



Figura 2.7. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das correntes.

Da Figura 2.7, verifica-se que I A1 está 90° atrasada em relação a I a 1 e que I A2 está 90° adiantada em relação a I a 2 . Assim, as relações entre os componentes simétricos das correntes nos dois lados do transformador é

I A1 = −jI a1

I A2 = jI a 2

(2.21)

A Figura 2.8(a) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de


28



modo que a tensão de seqüência positiva em relação ao neutro V A1 está 30° adiantada em relação à tensão de seqüência positiva em relação ao neutro V b1. Por outro lado, a Figura 2.8(b) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de modo que a tensão de seqüência positiva em relação ao neutro V A1 está 30° adiantada em relação à tensão de seqüência positiva em relação ao neutro V a 1.

A

H 1

X 1

a

B

H 2

X 2

b

C

H 3

X 3

c

(a)

(b)

Figura 2.8. Designações das linhas ligadas a um transformador trifásico Y − ∆ ou ∆ − Y.

Três resistores idênticos, com valor 1,0 pu cada, estão conectados em Y ao lado Y de baixa tensão de um transformador ∆ − Y. As tensões na carga de resistores são Vab = 0,8 pu

Vbc = 1,2 pu

V ca = 1,0 pu

Suponha que não haja ligação do neutro da carga com o neutro do secundário do transformador e que a ligação do transformador seja a da Figura 2.8(a). Calcular as tensões e correntes de linha, em pu, no lado Δ do transformador.

Se os componentes simétricos das tensões e das correntes são conhecidos, a potência em um sistema trifásico pode ser calculada diretamente destas componentes. A potência total em um sistema trifásico é

S = P + jQ = E AI A∗ + E BI B∗ + E C I C∗

(2.22)

onde E A , E B e E C são as tensões de fase e I A , I B e I C são as correntes de fase. Pode ou não haver conexão ao neutro. Em notação matricial


29



∗

S = [E A

⎡I A ⎤ ⎡E A ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ EC ] ⎢I B ⎥ = ⎢E B ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎢E ⎥ ⎣ C⎦ ⎣ C ⎦

EB

T

⎡I A ⎤ ⎢ ⎥ ⎢I B ⎥ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ C ⎦

∗

(2.23)

onde o conjugado de um vetor é o conjugado de cada um de seus componentes. Recordando as equações (2.11) e (2.12) , pode-se escrever a equação (2.23) como X

X

X

X

X

T

S = [ E]

∗ [ I ]

X

(2.24)

onde ⎡E A0 ⎤ ⎢ ⎥ E = ⎢ E A1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢E ⎥ ⎣ A2 ⎦

⎡I A0 ⎤ ⎢ ⎥ I = ⎢ I A1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ A2 ⎦

e

(2.25)

Da álgebra matricial, sabe-se que

T [ E ] = E T

T

(2.26)

e, então,

S = ET

Lembrando que

T

=

T

∗ [ I]

=E

T

T

∗

I ∗

(2.27)

e que a e a 2 são conjugados, tem-se que

S = [ E A0

E A1

⎡1 1 ⎢ E A2 ] ⎢⎢1 a 2 ⎢ ⎢⎣1 a

1 ⎤ ⎡1

1

⎥⎢ a ⎥⎥ ⎢⎢1 a ⎥⎢ a 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 a 2

1 ⎤ ⎡⎢I A∗ 0 ⎤⎥ ⎥

2⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

a ⎥ ⎢ I A∗ 1 ⎥ ⎥ ⎥⎢ a ⎥⎦ ⎢I A∗ 2 ⎥

(2.28)

e observando que


30



T

∗

⎡1 1 ⎢ 2 = ⎢⎢1 a ⎢ ⎣⎢1 a

1 ⎤ ⎡1

1

⎥⎢ a ⎥⎥ ⎢⎢1 a ⎥⎢ a 2 ⎦⎥ ⎣⎢1 a 2

1⎤

⎡1 ⎥ ⎢ a 2 ⎥⎥ = 3 ⎢0 ⎢ ⎥ a ⎦⎥ ⎢⎣0

0 0⎤ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎥⎦

(2.29)

obtém-se

S = 3 [ E A0

E A1

⎡I ∗ ⎤ ⎢ A0 ⎥ ⎢ ⎥ E A2 ] ⎢ I A∗ 1 ⎥ ⎢ ∗ ⎥ ⎢I A2 ⎥ ⎣ ⎦

(2.30)

Assim, finalmente, tem-se que

S = P + jQ = E AI A∗ + E BI B∗ + E C I C∗ = 3E A0I A∗ 0 + 3E A1I A∗ 1 + 3E A2I A∗ 2

(2.31)

que é a potência trifásica calculada em função dos componentes simétricos das tensões e das correntes.

Em qualquer parte de um circuito, a queda de tensão causada pela corrente de uma determinada seqüência depende da impedância do circuito para a corrente dessa seqüência. A impedância de uma rede equilibrada para a corrente de uma seqüência pode ser diferente da impedância para a corrente de outra seqüência. A impedância de um circuito, quando estão circulando apenas correntes de seqüência positiva, é chamada impedância de seqüência positiva . Analogamente, quando apenas correntes de seqüência negativa estão presentes, a impedância é chamada impedância de seqüência negativa . Quando estão presentes apenas correntes de seqüência zero, a

impedância é chamada impedância de seqüência zero. A análise de uma falta assimétrica em um sistema simétrico consiste em determinar os componentes simétricos das correntes desequilibradas que estão circulando. Uma vez que as correntes componentes de uma seqüência causam queda de tensão somente da mesma seSistemas de Potência II

31



qüência e são independentes das correntes de outras seqüências, em um sistema equilibrado, consideram-se as correntes de qualquer seqüência circulando em um circuito independente composto por impedâncias para as correntes apenas daquela seqüência. O circuito monofásico equivalente, composto somente das impedâncias para a corrente daquela seqüência, é chamado circuito de seqüência para aquela seqüência.

Um gerador em vazio, aterrado através de uma impedância Z n , é mostrado na Figura 2.9. Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, as correntes I a , I b e I c circulam nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é I n .

Figura 2.9. Diagrama de um gerador em vazio aterrado através de uma impedância.

As tensões geradas são somente de seqüência positiva, pois os geradores são projetados para fornecer tensões trifásicas equilibradas. Portanto, a rede de seqüência positiva é composta por uma fem em série com a impedância de seqüência positiva do gerador. As redes de seqüência negativa e zero não contêm forças eletromotrizes, incluindo somente as impedâncias do gerador para as correntes de seqüência negativa e zero, respectivamente. Os circuitos de seqüência para os geradores são mostrados na Figura 2.10. A fem gerada na rede de seqüência positiva é a tensão nos terminais do gerador em vazio em relação ao neutro, que é também igual às tensões atrás das reatâncias transitória ou subtransitória, pois o gerador está em vazio. A barra de referência para as redes de seqüência positiva e negativa é


32



o neutro do gerador. Para a rede de seqüência zero, a barra de referência é o terra do sistema.



Seqüência zero

Figura 2.10. Circuitos de seqüência para geradores em vazio

A corrente que circula na impedância Z n entre o neutro do gerador e a terra é 3I a 0 . Pela Figura 2.10, nota-se que a queda de tensão de seqüência zero é −3I a 0Z n − I a 0Z g 0 , onde Z g 0 é a impedância de seqüência zero por fase do gerador. A rede de seqüência zero que é

um circuito monofásico no qual se supõe que circule apenas a corrente de seqüência zero deve, portanto, ter uma impedância de 3Z n + Z g 0 . A impedância total de seqüência zero, pela qual circula I a 0 é, portanto,

Z 0 = 3Z n + Z g 0 Sistemas de Potência II

(2.32) 33



Da Figura 2.10, pode-se deduzir as relações para os componentes de seqüência das tensões na fase a

Va 1 = E a − Z 1I a 1

(2.33)

Va 2 = −Z 2I a 2

(2.34)

Va 0 = −Z 0I a 0

(2.35)

onde E a é a tensão em vazio de seqüência positiva em relação ao neutro, Z 1 e Z 2 são as impedâncias de seqüência positiva e negativa do gerador e Z 0 é definida pela equação (2.32) .

X

X

As impedâncias de seqüência positiva e negativa de circuitos lineares, simétricos e estáticos são idênticas porque a impedância de tais circuitos é independente da seqüência de fases, desde que as tensões aplicadas sejam equilibradas. Portanto, as impedâncias de seqüência positiva e negativa de uma linha de transmissão transposta são iguais. Quando apenas a corrente de seqüência zero circula por uma linha de transmissão, ela é a mesma em todas as fases. A corrente retorna pela terra, por cabos de cobertura ou por ambos. Como as correntes de seqüência zero são iguais (módulo e ângulo) nas três fases, o campo magnético devido a estas correntes é muito diferente daqueles produzidos pelas correntes de seqüência positiva e negativa. Esta diferença resulta em reatâncias indutivas de seqüência zero para linhas de transmissão aéreas de 2 a 3,5 vezes maiores que as reatâncias de seqüência positiva. A Figura 2.11 apresenta as impedâncias de seqüência para linhas de transmissão transpostas.


34



Barra de referência

E a ′1

E a1

E a ′ 2

E a 2

E a 0

I a 0

E a ′ 0

Z 0



Seqüência zero

Figura 2.11. Impedâncias de seqüência para linhas de transmissão transpostas.

A Figura 2.12 mostra uma carga estática conectada em Y. A impedância de cada fase é Z f e a impedância de neutro é Z n . Da figura 2.12, têm-se que

Va = Z f I a + Z n I n = Z f I a + Z n (I a + I b + I c ) = (Z f + Z n )I a + Z n I b + Z n Ic (2.36)

Figura 2.12. Carga estática conectada em Y.

Equações análogas podem ser determinadas para Vb e V c . Assim,

Vb = Z n I a + (Z f + Z n )I b + Z n I c

(2.37)

Vc = Z n I a + Z n I b + (Z f + Z n )I c

(2.38)

Escrevendo na forma matricial, tem-se


35



⎡Z + Z ⎡Va ⎤ n ⎢ f ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vb ⎥ = ⎢ Zn ⎢ ⎥ ⎢ Z ⎢V ⎥ n ⎢⎣ ⎣ c⎦

Zn

⎤ ⎡I ⎤ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎥ Z n ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ b ⎥ Z f + Z n ⎥⎥⎦ ⎢⎣I c ⎥⎦

Zn

Z f + Zn Zn

(2.39)

Escrevendo a equação (2.39) em função dos componentes simétricos das tensões e das X

X

correntes, obtém-se

⎡Z + Z ⎡Va 0 ⎤ n ⎢ f ⎢ ⎥ ⎢Va 1 ⎥ = ⎢ Z n ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Z ⎢V ⎥ n ⎢⎣ ⎣ a2 ⎦

onde

⎡1 1 ⎢ 2 = ⎢⎢1 a ⎢ ⎢⎣1 a

Zn

⎤ ⎡I ⎤ ⎥ ⎢ a 0 ⎥ ⎥ Zn ⎥⎥ ⎢I ⎢ a 1 ⎥ Z f + Z n ⎥⎦⎥ ⎢⎣I a 2 ⎥⎦

Zn

Z f + Zn Zn

(2.40)

1⎤

⎥ a ⎥⎥ ⎥ a 2 ⎥⎦

−1

Pré-multiplicando a equação (2.40) por X

⎡Va 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢Va 1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢V ⎥ ⎣ a2 ⎦

X

⎡Z + Z n ⎢ f −1 ⎢ ⎢ Zn ⎢ Z n ⎣⎢

, obtém-se

Zn

⎤ ⎥ ⎥ Zn ⎥ Z f + Z n ⎥⎦⎥

Zn

Z f + Zn Zn

⎡ I a 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ I a ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ a 2 ⎦

(2.41)

ou

⎡Va 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢V a 1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢V ⎥ ⎣ a2 ⎦

onde S

=

⎡Z + Z n ⎢ f −1 ⎢ ⎢ Zn ⎢ Z n ⎢⎣

A matriz impedância


Zn Z f + Zn Zn

S

⎡I a 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ I S a 1 ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ a 2 ⎦

(2.42)

⎤ ⎥ Z n ⎥⎥ Z f + Z n ⎥⎥⎦

(2.43)

Z n

definida na equação (2.43) é chamada matriz de impedâncias X

X

36



de seqüência . Ela pode ser obtida por

S

⎡1 1 ⎡Z 0 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ 1 = ⎢Z 1 ⎥ = ⎢⎢1 a ⎢ ⎥ 3⎢ 2 ⎢Z ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ 2⎦

1 ⎤ ⎡Z f + Z n ⎥

⎢ a 2 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ a ⎥⎦ ⎢⎣

⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎥ ⎥⎢ 2 ⎢ ⎥ Z n ⎥ ⎢1 a a ⎥⎥ Z f + Z n ⎥⎥⎦ ⎢⎢1 a a 2 ⎥⎥ ⎣ ⎦

Zn

Z n

Zn

Z f + Zn

Zn

Zn

⎡Z + 3Z 0 n ⎢ f ⎢ 0 Z f S = ⎢ ⎢ 0 0 ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Z f ⎦⎥

0 0

(2.44)

A partir das equações (2.42) e (2.44) , pode-se escrever que X

X

X

X

Va 0 = (Z f + 3Z n )I a 0

Va 1 = Z f I a 1

(2.45)

Va 2 = Z f I a 2

De onde se conclui que

Z 0 = Z f + 3Z n

Z 1 = Z f

Z 2 = Z f

(2.46)

A Figura 2.13 mostra as impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em Y.



Seqüência zero

Figura 2.13. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em Y.

Se a carga estiver conectada em ∆, não haverá correntes de seqüência zero circulando


37



pela rede de seqüência zero devido à ausência do neutro. Se a impedância por fase for Z ∆ , transformando a carga para uma conexão equivalente em Y, tem-se

Z f =

Z ∆

(2.47)

3

A Figura 2.14 mostra as impedâncias de seqüência de uma carga passiva ligada em ∆.

Z1

=

Z f

=

Z ∆ 3


Z 2 = Z f =

Z ∆ 3


Z 0 = Z f =

Z ∆ 3

Seqüência zero

Figura 2.14. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em ∆.

Quando apenas correntes de seqüência positiva ou negativa circulam por um transformador, o seu comportamento é idêntico ao estudado no curso de Sistemas de Potência I, ou seja, a oposição à circulação destas correntes é a própria impedância Z T do transformador. A Figura 2.15 mostra as redes de seqüência positiva e negativa para um transformador trifásico.



Figura 2.15. Redes de seqüência para um transformador trifásico.


38



O valor da impedância de seqüência zero de transformadores trifásicos também é a impedância de dispersão do transformador X T . Porém, os circuitos de seqüência zero de transformadores trifásicos requerem um estudo mais detalhado em função dos enrolamentos do primário e do secundário poderem estar conectados em Y ou ∆. Cinco possibilidades serão analisadas a seguir.

com apenas um neutro aterrado: se qualquer um dos neutros de um banco Banco Y −Y Y−Y não estiver aterrado, a corrente de seqüência zero não pode circular em nenhum dos enrolamentos. A ausência de caminho em um enrolamento impede a passagem da corrente no outro. Assim, existe um circuito aberto para a corrente de seqüência zero entre as duas partes do sistema ligadas pelo transformador.

ambos os neutro aterrados : neste caso, existe um caminho, através do transBanco Y −Y formador, para as correntes de seqüência zero em ambos os enrolamentos. Como a corrente de seqüência zero pode seguir um caminho completo por fora do transformador em ambos os lados, ela também poderá circular em ambos os enrolamentos do transformador. Assim, os dois lados do transformador são interligados pela impedância de seqüência zero do transformador. Banco Y − ∆, Y aterrado: se o neutro de um banco Y − ∆ estiver aterrado, as corren-

tes de seqüência zero possuem um caminho para a terra através da ligação Y porque as correspondentes correntes induzidas podem circular no ∆. A corrente de seqüência zero, que circula no ∆ para equilibrar a corrente de seqüência zero no Y, não pode circular nas linhas ligadas ao ∆. O circuito equivalente oferece um caminho a partir do Y, através da impedância de dispersão do transformador, até a barra de referência. Deve existir um circuito aberto entre a linha e a barra de referência no lado ∆. Se a ligação do neutro à terra apresenta uma impedância Z n , o circuito equivalente de seqüência zero deve ter uma impedância de 3Z n em série com a impedância de dispersão do transformador para ligar a linha no lado Y até a terra. Banco Y − ∆, Y não-aterrado: um Y não-aterrado é o caso onde a impedância Z n , en-

tre o neutro e a terra, é infinita. Assim, a impedância 3Z n do caso anterior torna-se infiniSistemas de Potência II

39



ta. A corrente de seqüência zero não pode circular nos enrolamentos do transformador.

Banco

∆ − ∆:

como o circuito ∆ não oferece caminho de retorno para as correntes de

seqüência zero, essas correntes não podem circular em bancos ∆ − ∆, embora ela possa circular nos enrolamentos ∆. A Figura 2.16 mostra os circuitos de seqüência zero para as diferentes conexões de transformadores trifásicos.

Ligação

Seqüência zero

−

−

−

−

− Figura 2.16. Circuitos de seqüência zero para transformadores trifásicos.


40



Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra o diagrama unifilar da Figura 2.17. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por dois motores equivalentes. O neutro do motor M 1 está aterrado através de uma reatância de 0,4

Ω.

O neutro do motor M 2 não está aterrado. As entradas nominais para os motores

são 200 MVA para M 1 e 100 MVA para M 2 . Para ambos os motores X ′′ = 20%. O transformador trifásico T 1, de 350 MVA, 230/20 kV, apresenta reatância de 10%. O transformador T 2 é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA, 127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é 0,5

Ω/km.

Considere a reatância de seqüência negativa de cada máquina igual à sua

reatância subtransitória. Para o gerador e os motores, considere a reatância de seqüência zero igual a 5%. No neutro do gerador está presente um reator de limitação de corrente de 0,4

Ω.

A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 1,5

Ω/km.

Trace os

diagramas de seqüências positiva, negativa e zero com todas as reatâncias em pu. Escolha os valores nominais do gerador como base no circuito deste.

Figura 2.17. Diagrama unifilar para o Exemplo 2.3.


41



2.1. Sendo Va1 = 50∠0° V, Va 2 = 20∠90° V e V a 0 = 10∠180 ° V, calcule as tensões em relação ao neutro Va , Vb e V c . Apresente também o resultado na forma de um diagrama. 2.2. Quando um gerador tem o terminal a aberto e os outros dois terminais estão ligados entre si com um curto-circuito desta conexão com a terra, os valores típicos para os componentes

simétricos

da

corrente

na

fase

a são

I a 1 = 600∠ − 90 ° A,

I a 2 = 250∠90° A e I a 2 = 350∠90 ° A. Calcule as correntes para a terra e a corrente

em cada fase do gerador. 2.3. Calcule

os

componentes

simétricos

das

três

correntes

I a = 10∠0° A,

I b = 10∠ − 130° A e I c = 10∠130 ° A.

2.4. As correntes que circulam nas linhas para uma carga equilibrada, ligada em ∆, são I a = 100∠0° A, I b = 141, 4∠ − 135 ° A e I c = 100 ∠90 ° A. Determine as defasagens en-

ter I a e I ab , I b e I bc e I c e I ca .

2.5. As tensões nos terminais de uma carga equilibrada consistindo em três resistores de 10

Ω,

ligados em Y, são Vab = 100∠0° V, Vbc = 80,8∠ − 121, 44 ° V e V ca = 90∠130 ° V.

Determine as defasagens entre Vab e Va , Vbc e Vb e Vca e Vc . Suponha que o neutro da carga não está aterrado. Calcule também a potência consumida nos três resistores usando os componentes simétricos das correntes e tensões. Verifique a resposta. 2.6. Uma carga trifásica consiste de uma carga equilibrada conectada em ∆ em paralelo com uma outra ligada em Y. A impedância por fase da carga em

∆

é

Z ∆ = (6 + j 6) Ω e a impedância por fase da carga em Y vale Z Y = (2 + j 2) Ω. O

neutro da carga conectada em Y está aterrado através de uma impedância Z n = j 1 Ω. Um conjunto de tensões de fase desequilibradas Van , Vbn e V cn com com

ponentes simétricos de seqüência iguais a Van 0 = 10∠60° V, V an1 = 100 ∠0 ° V e Sistemas de Potência II

42



V an 2 = 15∠ − 160 ° V são aplicadas à carga trifásica descrita acima.

a) Construa os diagramas de seqüência positiva, negativa e zero. b) Calcule a potência complexa por seqüência fornecida às cargas em ∆ e em Y. c) Calcule a potência complexa total fornecida à carga trifásica. 2.7. Suponha que as correntes especificadas no Exercício 2.4 estejam circulando por uma linha de transmissão conectada ao lado Y de um transformador Y − ∆ com valores nominais 10 MVA e 66 Y/13,2

∆

kV. A carga está conectada ao lado

∆

do transfor-

mador. Calcule as correntes que circulam nas linhas da carga convertendo em pu os componentes simétricos das correntes na base dos valores nominais do transformador e defasando os componentes de acordo com a equação (2.21) . Verifique os resultados X

calculando as correntes em cada fase dos enrolamentos

X

∆,

em A, diretamente a partir

das correntes no lado Y multiplicando pela relação de espiras dos enrolamentos. Complete a verificação calculando as correntes de linha em função das correntes de fase no lado

∆.

2.8. São aplicadas tensões de linha trifásicas equilibradas de 100 V a uma carga ligada em Y consistindo de três resistores. O neutro da carga não está aterrado. A resistência na fase a é 10

Ω,

na fase b é 20

Ω

e na fase c é 30

Ω.

Escolhendo V ab como referência,

calcule a corrente na fase a e a tensão V a .

2.9. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está apresentado na Figura 2.19. Os geradores e transformadores apresentam as seguintes características: Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 5% Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 5% Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 5% Transformador 1: 25 MVA, 220Y / 13,8Δ kV, X = 10% Transformador 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X = 10% Transformador 3: 35 MVA, 220Y / 22Y kV, X = 10% Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero para o sistema. Coloque todos os valores em pu na base de 50 MVA e 13,8 kV no circuito do gerador 1. Os neuSistemas de Potência II

43



tros dos geradores 1 e 3 são ligados à terra através de reatores de limitação de corrente, cada um com uma reatância de 5% na base da máquina a qual é conectado. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 210

Ω

de A até B e 250

Ω

de B até

C .


2.10. Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero do sistema elétrico apresentado na Figura 2.20. Represente as reatâncias em pu em uma base de 50 MVA e 138 kV na linha de 40

Ω.

As características dos geradores, motores e transformadores

são: Gerador 1: 20 MVA, 18 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 8% Gerador 2: 20 MVA, 18 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 8% Motor síncrono: 30 MVA, 13,8 kV, X ′′ = 20%, X 2 = 20% e X 0 = 8% Transformadores Y−Y: 20 MVA, 138Y / 20Y kV, X = 10% Transformadores Y−∆: 15 MVA, 138Y / 13,8 ∆ kV, X = 10% Os neutros das máquinas estão aterrados através de reatores de limitação de corrente, tendo reatâncias de 5% na base da máquina a qual estão conectados. As reatâncias de seqüência zero das linhas de transmissão valem três vezes as suas reatâncias de seqüência positiva.


44





45




46

A maioria das faltas que ocorre em sistemas elétricos é assimétrica podendo constituir-se em curto-circuitos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. O caminho para a corrente de falta pode ou não conter uma impedância. Como qualquer falta assimétrica provoca o fluxo de correntes desequilibradas no sistema, o método dos componentes simétricos é muito útil na determinação das correntes e tensões no sistema após a ocorrência de uma falta assimétrica.

Do capítulo 2, seção 2.8, equações (2.33), (2.34) e (2.35), pode-se escrever, em notação matricial, a relação para os componentes simétricos das tensões na fase a em um gerador em vazio como

⎡Va 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡Z 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢V 1 ⎥ = ⎢E ⎥ − ⎢ 0 ⎢ a ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ ⎢V ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎣ a2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

0

0 ⎤ ⎡I a 0 ⎤

Z1

0 ⎥ ⎢I a 1 ⎥

0

⎥⎢

⎥

⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ Z 2 ⎦ ⎣I a 2 ⎥⎦

(3.1)

onde Va 0 , Va1 e V a 2 são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, da tensão da fase a , E a é a tensão em vazio da fase a , Z 0 , Z 1 e Z 2 são as impedâncias de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, do gerador, I a 0 , I a 1 e I a 2 são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente,

da corrente da fase a .


47

Faltas Assimétricas


3.2.1. Falta entre Fase e Terra

O circuito para uma falta fase-terra em um gerador em vazio ligado em Y, com seu neutro aterrado através de uma reatância, é mostrado na Figura 3.1, onde a falta ocorre na fase a .

Figura 3.1. Diagrama para uma falta fase-terra em um gerador em vazio.

As condições na falta são

Ib = 0

I c = 0

V a = 0

(3.2)

Os componentes simétricos da corrente na fase a são

⎡1 1 ⎡I a 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎢ I 1 ⎥ = ⎢1 a ⎢ ⎢ a ⎥ 3 ⎢ 2 ⎢I ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ a2 ⎦

1 ⎤ ⎡ I a ⎤ ⎥ ⎢

⎥

a 2 ⎥⎥ ⎢I b = 0⎥

(3.3)

1 I a 3

(3.4)

⎢ ⎥ ⎥ ⎢I ⎥ = 0 a ⎦⎥ ⎣ c ⎦

o que resulta em

I a 1 = I a 2 = I a 0 =

Para que os três componentes simétricos da corrente na fase a sejam iguais, os circuitos de seqüência do gerador devem ser conectados em série, como mostra a Figura 3.2. Sistemas de Potência II

48



Figura 3.2. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-terra.

Da Figura 3.2, tem-se que

I a1 = I a 2 = I a 0 =

E a Z 1 + Z 2 + Z 0

(3.5)

Se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de seqüência zero estará aberta e Z 0 será infinita. Assim, as correntes I a1, I a 2 e I a 0 serão nulas e, portanto, a corrente na fase a será zero. Esta mesma conclusão pode ser obtida analisando o circuito da Figura 3.1. Note que se não há ligação entre a terra e o neutro do gerador, não existe caminho para a corrente na falta.

Um gerador tem valores nominais de 20 MVA, 13,8 kV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de seqüência negativa e zero são, respectivamente, 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. Calcule a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitórias quando ocorre uma falta fase-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com tensão nominal.


49



3.2.2. Falta entre Fase e Fase

O circuito para uma falta fase-fase em um gerador ligado em Y, com aterramento, sem carga é mostrado na Figura 3.3. As fases em falta são b e c .

Figura 3.3. Diagrama para uma falta fase-fase em um gerador em vazio.

As condições para a falta são

Vb = Vc

Ia = 0

I c = −I b

(3.6)

Os componentes simétricos da tensão na fase a são

⎡1 1 ⎡Va 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎢V 1 ⎥ = ⎢1 a ⎢ a ⎥ 3 ⎢⎢ 2 ⎢V ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ a2 ⎦

1 ⎤ ⎡ V a ⎥

⎤ ⎢ ⎥ a 2 ⎥⎥ ⎢ Vb ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ a ⎥⎦ ⎣V c = V b ⎥⎦

(3.7)

resultando em Va1 = V a 2 .

Para os componentes simétricos da corrente na fase a , tem-se

⎡1 1 ⎡I a 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎢ I 1 ⎥ = ⎢1 a ⎢ ⎢ a ⎥ 3 ⎢ 2 ⎢I ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ a2 ⎦


1 ⎤ ⎡ I a = 0 ⎤ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ⎥ Ib ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = − I I a ⎦⎥ ⎣ c b⎦ 2⎥

(3.8)

50



o que fornece I a 0 = 0 e I a 2 = −I a 1 .

Havendo conexão entre o neutro do gerador e a terra, Z 0 será finito, e assim

Va 0 = −Z 0I a 0 = 0

(3.9)

Com V a 0 igual à zero, a rede de seqüência zero está em curto-circuito e, portanto, não influi na falta, não sendo usada. Com Va 1 e V a 2 iguais e com I a 1 igual a −I a 2 , deve-se conectar as redes de seqüência positiva e negativa em paralelo, conforme mostra a Figura 3.4.

Figura 3.4. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase.

Da figura 3.4, tem-se que

I a 1 =

E a Z 1 + Z 2

(3.10)

Como a falta não envolve a terra, não existe corrente para a terra. Na dedução das equações, encontrou-se I a 0 = 0. Este resultado confirma o fato de não haver corrente no neutro, pois a corrente I n é igual a 3I a 0 .

Calcule as correntes e as tensões de linha subtransitórias na falta quando ocorre uma falta fase-fase os terminais do gerador do Exemplo 3.1. O gerador está em vazio e operando com tensão nominal quando a falta ocorre.


51



3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra

A Figura 3.5 mostra o circuito para uma falta entre duas fases e terra em um gerador ligado em Y e em vazio, com o neutro aterrado. As fases em falta são b e c .

Figura 3.5. Diagrama para uma falta fase-fase-terra em um gerador em vazio.

As condições na falta são

Vb = 0

Vc = 0

I a = 0

(3.11)

Os componentes simétricos da tensão na fase a são

⎡1 1 ⎡Va 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎢V ⎥ = ⎢1 a ⎢ ⎢ a 1 ⎥ 3 ⎢ 2 ⎢V ⎥ ⎢⎣1 a ⎣ a2 ⎦

1 ⎤ ⎡ V a ⎤ ⎥ ⎢

⎥

a 2 ⎥⎥ ⎢Vb = 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢V = a ⎥⎦ ⎣ c

(3.12)

⎥ 0⎥⎦

o que fornece 1 3

Va 1 = Va 2 = Va 0 = Va

(3.13)

Para que os três componentes simétricos da tensão na fase a sejam iguais, os circuitos de seqüência do gerador devem ser conectados em paralelo, como mostra a Figura 3.6.


52



E a

3Z n

Z 2

V a 1

V a 2 I a 2

Z 1

Z 0

V a 0 Z g 0

I a 1

I a0

Figura 3.6. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase e terra.

Da Figura 3.6, pode-se escrever que

I a 1 =

E a Z ⋅ Z 0 Z 1 + 2 Z 2 + Z 0

(3.14)

O esquema de conexão das redes de seqüência mostra que a corrente de seqüência positiva I a 1 é determinada pela tensão E a aplicada em Z 1 em série com a combinação em paralelo de Z 2 e Z 0 . Na ausência de uma conexão com a terra no gerador, nenhuma corrente flui para a terra na falta. Neste caso, Z 0 é infinita e I a 0 é nula. Do ponto de vista da corrente, o resultado é o mesmo de uma falta fase-fase. A equação (3.14) , para uma falta fase-fase e terra, tende X

X

à equação (3.10) , para uma falta fase-fase, quando Z 0 tende para o infinito. X

X

Calcule as correntes e tensões de linha subtransitória na falta quando ocorre um curto-circuito entre duas fases e terra nos terminais do gerador do Exemplo 3.1. O gerador estava operando em vazio e com tensão nominal quando a falta ocorre.

A Figura 3.7 mostra os três condutores do sistema trifásico na parte da rede onde ocorre a falta. As correntes I a , I b e I c são as correntes que saem do sistema originalmente equilibrado para a falta, através de fios hipotéticos.


53



a I a

b I b

c I c

Figura 3.7. Três condutores do sistema trifásico.

As tensões de fase no local da falta serão designadas por Va , Vb e V c . A tensão de fase da fase a antes da ocorrência da falta, no local da falta, será chamada V f , que é uma tensão de seqüência positiva porque o sistema está equilibrado antes da ocorrência da falta. Como as redes de seqüência são circuitos lineares, cada uma delas pode ser substituída pelo seu equivalente Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta. A fem do único gerador no circuito equivalente de Thèvenin de seqüência positiva é V f , a tensão de fase pré-falta no ponto de falta. A impedância Z 1 do circuito equivalente é a impedância entre o ponto de falta e a barra de referência na rede de seqüência positiva, com todas as fem curto-circuitadas. Analogamente, as impedâncias Z 2 e Z 0 são as impedâncias entre o ponto de falta e a barra de referência nas redes de seqüência negativa e zero, respectivamente. Dessa forma, a equação matricial para os componentes simétricos da tensão de falta na fase a é semelhante àquela para geradores em vazio, equação (3.1) , exceto com a substituiX

X

ção de E a por V f .

⎡Va 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡Z 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢V 1 ⎥ = ⎢V ⎥ − ⎢ 0 ⎢ a ⎥ ⎢ f ⎥ ⎢ ⎢V ⎥ ⎢0⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ a2 ⎦

0 Z1

0

⎤ ⎡I a 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢I a 1 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ Z 2 ⎦ ⎣I a 2 ⎥⎦

0 0

(3.15)

onde Z 1, Z 2 e Z 0 correspondem às impedâncias de Thèvenin entre o ponto de falta e a barra de referência.


54



3.3.1. Falta entre Fase e Terra

Para uma falta fase-terra, os fios hipotéticos do sistema elétrico são conectados como mostra a Figura 3.8.

a I a

b I b

c I c

Figura 3.8. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-terra.

As relações existentes nesta falta são

Ib = 0

I c = 0

V a = 0

(3.16)

Estas relações são as mesmas que se aplicaram à falta fase-terra em um gerador em vazio. Assim, as relações para os componentes simétricos da corrente na fase a devem ser os mesmos, exceto pela troca de E a por V f e os equivalentes Thèvenin de seqüência positiva, negativa e zero também devem ser interligados em série.

I a 1 = I a 2 = I a 0 I a 1 =

V f

(3.17)

Z 1 + Z 2 + Z 0

3.3.2. Falta entre Fase e Fase

Para uma falta entre fase e fase, os fios hipotéticos das três linhas na falta são conectados como é mostrado na Figura 3.9.


55



a I a

b I b

c I c

Figura 3.9. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase.

As relações existentes neste tipo de falta são

Vb = Vc

Ia = 0

I c = −I b

(3.18)

As relações anteriores são idênticas, em forma, àquelas que se aplicam a uma falta fasefase em um gerador em vazio. Dessa forma, os equivalentes Thèvenin das redes de seqüência positiva e negativa devem ser conectados em paralelo e a rede de seqüência zero não participa da falta. As relações matemáticas para a falta são

Va 1 = V a 2 I a 1 =

V f

(3.19)

Z 1 + Z 2

3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra

Para uma falta entre duas fases e terra, os fios são conectados como mostra a Figura 3.10.


56



Figura 3.10. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase e terra.

As relações na falta são

Vb = 0

Vc = 0

I a = 0

(3.20)

Por comparação com a dedução realizada na Seção 3.2.3, tem-se

Va 1 = Va 2 = V a 0 I a 1 = Z 1 +

V f Z 2 ⋅ Z 0

(3.21)

Z 2 + Z 0

As equações (3.20) e (3.21) indicam que os equivalentes Thèvenin das redes de seqüênX

X

X

X

cia positiva, negativa e zero devem ser conectados em paralelo no ponto de falta para simular uma falta entre duas fases e terra.

Nas seções anteriores, viu-se que as redes de seqüência de um sistema elétrico podem ser interconectadas de modo que a solução da rede resultante forneça os componentes simétricos das correntes e tensões na falta. Na Figura 3.11 são mostradas as conexões das redes de seqüência para simular os diferentes tipos de falta, inclusive a falta trifásica simétrica. As redes de seqüência estão indicadas por um retângulo em cujo interior há uma linha grossa que representa a barra de referência e um ponto P que indica o ponto de falta. A rede de Sistemas de Potência II

57



seqüência positiva é a única que contém fem que representam as tensões internas das máquinas.

Falta trifásica Falta fase-fase

Falta fase-fase e terra

Falta fase-terra Figura 3.11. Conexões das redes de seqüência para simular os diferentes tipos de falta.

O circuito de Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta para a rede de seqüência positiva é equivalente somente em efeito à rede original de seqüência positiva. No circuito equivalente não há correntes circulando anteriormente a ocorrência da falta. Entretanto, na rede original de seqüência positiva, se houver diferença de fase ou de amplitude entre as fem , haverá corrente circulando antes da falta. Esta corrente é a corrente de carga pré-falta. Dessa forma, para uma determinação mais correta das correntes de seqüência positiva no sistema original, deve-se incluir a componente de corrente pré-falta à corrente durante a falta.

Um grupo de motores síncronos idênticos é conectado através de um transformador a uma barra de 4,16 kV em local afastado das usinas geradoras de um sistema de potência. Os motores são de 600 V e operam com rendimento de 89,5% quando em plena Sistemas de Potência II

58



carga com fator de potência unitário e tensão nominal. A soma de suas potências de saída é de 4.476 kW (6.000 HP). As reatâncias em pu do motor equivalente, com base em seus próprios kVA nominais de entrada, são X ′′ = 0,2 pu, X 2 = 0,2 pu e X 0 = 0,04 pu e está aterrado através de uma reatância de 0,02 pu. Os motores estão conectados ao barramento de 4,16 kV através de um banco de transformadores composto de três unidades monofásicas, cada uma com 2.400 / 600 V, 2.500 kVA. Os enrolamentos de 600 V são ligados em Δ e os enrolamentos de 2.400 V são conectados em Y. A reatância de dispersão de cada transformador é de 10%. O sistema de potência que fornece os 4,16 kV para o barramento é representado por um gerador

equivalente

de

Thèvenin

de

7.500 kVA,

4,16 kV,

com

reatâncias

de

X ′′ = X 2 = 0,1 pu, X 0 = 0,05 pu e X n entre neutro e terra igual à 0,05 pu.

Cada um dos motores idênticos está alimentando uma parcela igual de uma carga total de 3.730 kW (5.000 HP) e está operando com tensão nominal, com fator de potência de 85% atrasado e com rendimento de 88%, quando ocorre uma falta fase-terra no lado de baixa tensão do banco de transformadores. Considere o grupo de motores como um único motor equivalente. Calcule as correntes subtransitórias de linha em todas as partes do sistema de energia. O diagrama unifilar do sistema elétrico está mostrado na Figura 3.12 e o esquema de ligação do transformador, na Figura 3.13.

Figura 3.13. Ligação do banco de transformadores do Exemplo 3.4. Figura 3.12. Diagrama unifilar para o Exemplo 3.4.


59



No Capítulo 1, usamos a matriz impedância de barras para determinar as correntes e tensões na ocorrência de uma falta trifásica. O método pode facilmente ser estendido a faltas assimétricas, notando que as redes de seqüência positiva, negativa e zero podem ser representadas por redes equivalentes de impedâncias de barras. Assim, para uma falta fase-terra na barra 3 de um sistema hipotético tem-se

I a 1 =

V f Z 331 + Z 33 2 + Z 33 0

(3.22)

onde Z 331 , Z 332 e Z 330 são as impedâncias próprias da barra 3 de seqüência positiva, negativa e zero, respectivamente. As admitâncias de transferência permitem calcular as tensões nas outras barras do sistema elétrico, com as quais se podem determinar as correntes de linha.

Calcule as correntes subtransitórias para uma falta fase-terra, primeiro na barra 1 e depois na barra 2, no sistema elétrico do Exemplo 3.4. Use a matriz impedância de barra e calcule também a tensão na barra 2 com a barra 1 em falta.


60



3.1. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA, 22 kV. Ele é conectado em Y, solidamente aterrado e está operando em vazio com tensão nominal. Ele está isolado

do

restante

do

sistema.

Suas

reatâncias

são

X ′′ = X 2 = 0,15 pu e

X 0 = 0,05 pu. Calcule:

a) a corrente subtransitória de linha para uma falta trifásica; b) a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra; c) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases; d) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases e terra. 3.2. Calcule o valor da reatância indutiva em

Ω

que deve ser inserida no aterramento do

neutro do gerador do Exercício 3.1 para limitar a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra ao valor da corrente para uma falta trifásica. 3.3. Com a reatância indutiva obtida no Exercício 3.2 inserida no neutro do gerador do Problema 3.1, calcule as correntes subtransitórias de linha para: a) uma falta fase-terra; b) uma falta entre duas fases; c) uma falta fase-fase e terra. 3.4. Qual o valor da resistência em

Ω

que conectada o neutro do gerador do Exercício 3.1

limita a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra ao valor obtido para a falta trifásica? 3.5. Um gerador de 100 MVA, 18 kV, tendo X ′′ = X 2 = 20% e X 0 = 5%, está para ser conectado a um sistema de potência. O gerador possui um reator limitante de corrente de 0,162

Ω

no neutro. Antes de ser conectado ao sistema, sua tensão é ajustada pa-

ra 16 kV quando ocorre uma falta fase-fase-terra nos terminais b e c . Calcule o valor eficaz da corrente simétrica inicial para a terra na linha b.


61



3.6. As reatâncias de um gerador de 100 MVA, 20 kV são X ′′ = X 2 = 20% e X 0 = 5%. O gerador está conectado a um transformador Δ Y de 100 MVA, 20Δ −

−

230Y kV, com

uma reatância de 10%. O neutro do transformador está solidamente aterrado. Quando a tensão terminal do gerador é de 20 kV, ocorre no transformador uma falta faseterra no lado de alta tensão que estava aberto. Determine o valor eficaz inicial das correntes simétricas em todas as fases do gerador. A conexão do transformador está apresentada na Figura 3.14.

Figura 3.14. Ligação do trafo do Problema 3.6.

Figura 3.15. Ligação do trafo do Problema 3.7.

3.7. Um gerador alimenta um motor através de um transformador Y Δ. O gerador está −

conectado ao lado Y do transformador. Ocorre uma falta entre os terminais do motor e do transformador. Os componentes simétricos da corrente subtransitória do motor compopara a falta são I a1 = (−0,8 − j 2,6) pu, I a 2 = −j 2,0 pu e I a 0 = −j 3,0 pu. Os

nentes

simétricos

da

corrente

do

transformador

para

a

falta

são

I a1 = (−0,8 − j 0,4) pu, I a 2 = −j 1,0 pu e I a 0 = 0. Suponha X ′′ = X 2 para o motor e

para o gerador. Descreva o tipo de falta. A ligação do transformador está mostrada na Figura 3.15. Calcule: a) a corrente antes da falta, se existe, na linha a ; b) a corrente subtransitória, em pu, na falta; c) a corrente subtransitória, em pu, em cada fase do gerador. 3.8. Calcule as correntes subtransitórias em todas as partes do sistema do Exemplo 3.4, desprezando a corrente antes da falta e supondo uma falta fase-fase no lado de baixa tensão do transformador. 3.9. Repita o Exercício 3.8 para uma falta fase-fase-terra.


62



3.10. Dois geradores G1 e G 2 são conectados através dos transformadores T1 e T 2 a um barramento de alta tensão que alimenta uma linha de transmissão. A linha está em aberto no extremo distante dos transformadores, no qual ocorre uma falta. A tensão pré-falta no ponto de falta é de 515 kV. Os valores nominais e as reatâncias dos equipamentos são: G 1 : 1.000 MVA, 20 kV, X S B

B

B

B

G 2 : 800 MVA, 22 kV, X S B

B

B

B

=

=

100%, X ′′ = X 2 = 10% e X 0 = 5%

120%, X ′′ = X 2 = 15% e X 0 = 8%

T 1 : 1.000 MVA, 500Y / 20Δ kV, X = 17,5% B

B

T 2 : 800 MVA, 500Y / 22Y kV, X = 16% B

B

Linha: X 1 = X 2 = 15%, X 2 = 40% na base de 1.500 MVA, 500 kV O neutro do gerador 1 está aterrado através de uma reatância de 0,04

Ω.

O neutro de

G 2 não está aterrado. Os neutros de todos os transformadores estão solidamente ater-

rados. Usando uma base de 1.000 MVA, 500 kV na linha de transmissão e desprezando a corrente pré-falta, determine a corrente subtransitória no gerador G 1: a) na fase c para uma falta trifásica; b) na fase b uma falta fase-fase nas linhas B e C ; c) na fase a para uma falta fase-fase-terra nas linhas B e C ; d) na fase c para uma falta fase-terra na linha A. O esquema de ligação do transformador 1 está mostrado na Figura 3.16.

Figura 3.16. Conexão do transformador 1 para o Exercício 3.10.


63




64

Quando os geradores CA eram acionados por máquinas a vapor, um dos principais problemas na operação do sistema era o das oscilações. As variações periódicas no conjugado aplicado ao gerador causavam variações periódicas na velocidade. As variações resultantes de tensão e freqüência eram transmitidas aos motores conectados ao sistema. As oscilações nos motores, causadas pelas variações de tensão e freqüência, algumas vezes causavam a inteira perda de sincronismo dos motores se as suas freqüências naturais de oscilação coincidissem com a freqüência de oscilação causada pelas máquinas que acionavam os geradores. O uso de turbinas reduziu o problema das oscilações, embora ainda esteja presente quando a máquina primária é uma máquina diesel. A conservação do sincronismo das várias partes de um sistema de potência torna-se cada vez mais difícil à medida que os sistemas e interligações entre sistemas crescem. Em estudos de estabilidade, um conceito importante é o de barra infinita . Um barramento infinito, para fins de estudo de estabilidade, pode ser considerado como uma barra na qual está localizada uma máquina de tensão interna constante, tendo impedância zero e inércia infinita. O ponto de conexão de um gerador a um sistema de grande porte pode ser considerado como tal barra.

A estabilidade de um sistema de potência pode ser definida como a propriedade do sistema que permite as máquinas síncronas desse sistema responder a um distúrbio, a partir de uma condição normal de operação, de modo a retornarem a uma condição de operação novamente normal. Os estudos de estabilidade são classificados em três tipos, dependendo da natureza e ordem de grandeza do distúrbio: estabilidade transitória , estabilidade dinâmica e estabilidade em regime permanente .

Os estudos de estabilidade transitória constituem a principal metodologia analítica para estudos do comportamento dinâmico-eletromecânico do sistema. Estes estudos indicam se o


65

Estabilidade de Sistemas de Potência


sistema permanecerá em sincronismo após distúrbios significativos, tais como faltas no sistema de transmissão, variações rápidas de demanda ou perdas de unidades geradoras. Uma analogia mecânica para o problema da estabilidade transitória pode ser visto na Figura 4.1. Um determinado número de massas representando as máquinas síncronas é interconectado por fios de elástico representando as linhas de transmissão. Estando o sistema em repouso em uma determinada posição, suponha que um dos elásticos seja cortado representando a perda de uma linha de transmissão. Como resultado, as massas ficarão sujeitas a oscilações transitórias e as forças atuantes no sistema variam em intensidade. O sistema então se deslocará para uma outra posição de repouso ou, devido à nova configuração de forças, mais alguns elásticos podem se romper representado um colapso na rede. Assim, para uma determinada perturbação, deseja-se saber se o sistema possui estabilidade transitória ou se ele fica instável.

Figura 4.1. Análogo mecânico da estabilidade transitória em sistemas de potência.

Os estudos de estabilidade dinâmica e em regime permanente são menos extensivos e envolvem uma ou algumas poucas máquinas que sofrem variações lentas ou graduais nas condições de operação. A distinção entre os estudos de estabilidade dinâmica e em regime permanente é, na realidade, artificial visto que os problemas são os mesmos em natureza, diferem somente no grau de detalhamento das máquinas. Em estudos dinâmicos, o sistema de excitação e o sistema turbina-regulador são representados em conjunto com modelos de máquinas síncronas que provêm às variações de enlace de fluxo no entreferro da máquina. Problemas de estabilidade em regime permanente usam um modelo simples do gerador que é modelado como uma fonte de tensão constante. Estudos de estabilidade transitória são mais comumente empregados por refletirem a sua grande importância na prática. Estes problemas envolvem grandes perturbações que não permitem procedimentos de linearização e as equações algébrico-diferenciais devem ser resolvidas por métodos diretos ou procedimentos numéricos.


66



Em todos os estudos de estabilidade, o objetivo é determinar se os rotores das máquinas, sendo perturbados, retornam ou não à operação com velocidade constante. Isto, portanto, significa que as velocidades dos rotores se desviam temporariamente da velocidade síncrona.

A equação que descreve o movimento do rotor de um gerador síncrono está baseada no princípio da dinâmica (2ª lei de Newton): o torque de aceleração é igual ao produto do momento de inércia do rotor pela sua aceleração angular . Matematicamente, tem-se

J

d 2θm dt 2

(4.1)

= Ta = T m − T e

onde J é o momento de inércia total das massas do rotor, em kg.m 2 ; P

θm

P

é a posição angular do rotor em relação a um eixo estacionário, em rad;

t é o tempo, em segundos; T m

é o torque mecânico aplicado ao gerador pela máquina primária, em N.m;

T e

é o torque elétrico resultante, em N.m;

T a

é o torque de aceleração resultante, em N.m.

O ângulo θm é uma medida absoluta do ângulo do rotor visto que é medido em relação a um eixo de referência estacionário sobre o rotor. Conseqüentemente, cresce continuamente com o tempo e com velocidade síncrona constante. Dessa forma, pode-se medir a posição angular do rotor em relação a um eixo de referência que gira em velocidade síncrona. Portanto, θm = ωm sinc t + δ m

(4.2)

onde ωm sinc é a velocidade síncrona da máquina, em rad/s;


67


δ m


é a posição angular do rotor em relação a um eixo de referência girando na velocidade síncrona, em rad.

As derivadas da equação (4.2) em relação ao tempo fornecem X

X

d θm dt

= ωm sinc +

d 2θm dt 2

=

d δm

dt

(4.3)

d 2δ m

(4.4)

dt 2

A equação (4.3) indica que a velocidade angular do rotor d θm / d t é constante e igual à X

X

velocidade síncrona somente quando d δ m / d t é zero. Portanto, o termo d δ m / d t representa o desvio de sincronismo da velocidade do rotor. Por outro lado, a equação (4.4) representa X

X

a aceleração do rotor. Substituindo a equação (4.4) na equação (4.1) , obtém-se X

X

X

J

d 2δ m dt 2

X

(4.5)

= Ta = T m − T e

Multiplicando a equação (4.5) por ωm , obtém-se X

X

J ωm

d 2δ m dt 2

= Ta ωm = T m ωm − T e ωm

(4.6)

Recordando que o termo J ωm é o momento angular do rotor (M ) e que potência é igual ao produto do torque pela velocidade angular, a equação (4.6) transforma-se em X

M

d 2δ m dt 2

= Pa = P m − P e

X

(4.7)

onde P m é a potência mecânica de entrada no eixo da máquina menos as perdas rotacionais;


68



P e

é a potência elétrica de saída do gerador mais as perdas elétricas;

P a

é a potência de aceleração do rotor que leva em conta a diferença entre Pm e P e .

Normalmente, desprezam-se as perdas rotacionais e perdas por efeito Joule na armadura, de modo que se considera P m como a potência mecânica suprida pela máquina primária e P e como a potência elétrica de saída. Em dados de geradores síncronos, um parâmetro relacionado à estabilidade é a constante H , que é definida como 1 energia cinética armazenada na velocidade síncrona 2 M ωm sinc = H = S nom potência nominal da máquina

(4.8)

onde S nom é a potência nominal da máquina, em MVA; H é expresso em MJ/MVA ou pu-s.

A Tabela 4.1 apresenta valores típicos para a constante H . Tabela 4.1. Constantes H típicas de máquinas síncronas.

Tipo de máquina

Constante H (MJ/MVA)

Gerador turbinado: Condensado 1800 rpm 1300 rpm Não condensado 3600 rpm Gerador roda d’água: Baixa velocidade Alta velocidade Condensador síncrono: Grande Pequeno Motor síncrono com carga

6–9 4–7 3–4 2–3 2–4 1,25 1,00 1–5

Resolvendo para M a equação (4.8) , obtém-se X

X

M =


2HS nom ωm sinc

(4.9)

69



Substituindo a equação (4.9) na equação (4.7) , tem-se X

2HS nom d 2δm ωmsinc

dt 2

X

X

2H d 2δ m

ou

= Pa = Pm − P e

X

ωm sinc dt 2

=

Pa S nom

=

Pm S nom

−

Pe S nom

(4.10)

ou simplesmente 2H d 2δ m ωm sinc dt 2

= Pa = Pm − P e

(4.11)

observando que na equação (4.11) , os valores de Pa , Pm e P e estão expressos em pu. X

X

Para um gerador com P pólos, a relação entre as grandezas elétricas e mecânicas é

δ=

P δm

2

e

ωsinc =

P ωm sinc

2

(4.12)

Substituindo as equações (4.12) na equação (4.11) , tem-se X

X

2H d 2δ ωsinc dt 2

X

X

= Pa = Pm − P e

(4.13)

A equação (4.13) , equação de oscilação da máquina, é a equação que descreve as dinâX

X

micas rotacionais das máquinas síncronas em estudos de estabilidade transitória. É uma equação diferencial de segunda ordem, que pode ser escrita como duas equações diferenciais de primeira ordem ⎧ d ω ωsinc ⎪ ⎪ = (Pm − P e ) ⎪ ⎪ dt H 2 ⎪ ⎨ ⎪ d δ ⎪ ⎪ = ω − ωsinc ⎪ ⎪ ⎩ dt

(4.14)

Quando a equação de oscilação é resolvida, obtém-se δ como uma função do tempo. Este Sistemas de Potência II

70



gráfico é chamado de curva de oscilação da máquina e a análise das curvas de oscilação de todas as máquinas do sistema indicam se as mesmas permanecem em sincronismo após a ocorrência de um distúrbio. Os MVA usados na equação (4.8) correspondem ao valor nominal da máquina. Em um X

X

estudo de estabilidade de um sistema de potência com muitas máquinas síncronas, somente um MVA é escolhido como base para todo o sistema. Como o lado direito da equação de oscilação está expresso em pu, o lado esquerdo desta equação também deve estar em pu na base correta. Para corrigir o valor de H para a base correta de potência, utiliza-se a relação

H corrig = H maq

S maq

S base sist

(4.15)

onde o subíndice maq indica os dados nominais da máquina e S base sist é a potência base escolhida para o sistema. Duas unidades geradoras de 60 Hz operam em paralelo em uma usina e possuem os seguintes valores nominais: Unidade 1: 500 MVA, fp = 0,85a tr , 20 kV, 3.600 rpm, H 1 = 4,8 MJ/MVA Unidade 2: 1.000 MVA, fp = 0,9a tr , 22 kV, 1.800 rpm, H 2 = 3,2 MJ/MVA. Determine a equação de oscilação da usina considerando que as duas unidades oscilem juntas e em uma base de 100 MVA.

Na equação de oscilação para o gerador, a potência mecânica de entrada fornecida pela máquina primária P m é considerada constante. Esta consideração é razoável, pois aguardam-se modificações nas condições da rede elétrica antes que as ações de controle possam causar reação da turbina. Como P m na equação (4.13) é constante, a potência elétrica de X

X

saída P e determina as condições para que o rotor acelere, desacelere ou permaneça na velocidade síncrona. Quando P e iguala-se a P m , a máquina opera na velocidade síncrona em


71



regime permanente; quando P e muda deste valor, o rotor desvia-se da velocidade síncrona. Mudanças em P e são determinadas por modificações na rede de transmissão e cargas do sistema para o qual o gerador fornece potência. Distúrbios na rede elétrica resultante de variações severas de carga, faltas na rede ou operação de disjuntores podem causar variações rápidas à potência de saída do gerador P e e, neste caso, existem transitórios eletromecânicos. A máquina é representada, para fins de estudo de estabilidade transitória, pela sua tensão interna E ′ em série com a reatância transitória X d ′ , como mostrado na Figura 4.2(a), na qual V t é a tensão terminal. A Figura 4.2(b) mostra o diagrama fasorial aplicável à Figura 4.2(a). Como cada máquina deve ser considerada em relação ao sistema do qual faz parte, os ângulos fasoriais das variáveis das máquinas são medidos com respeito à referência comum do sistema. X d ′

E ′

jX d ′ I E ′

(a)

(b)

Figura 4.2. Diagrama fasorial de uma máquina síncrona para estudos de estabilidade transitória.

A Figura 4.3 representa esquematicamente um gerador, na barra 1, suprindo potência através de um sistema de transmissão ao receptor, no barramento 2. O retângulo representa o sistema de transmissão composto por transformadores, linhas de transmissão, capacitores e inclusive as reatâncias transitórias do gerador e do receptor. A tensão E 1′ representa a tensão transitória interna do gerador. A tensão E 2′ no receptor é a de um barramento infinito ou a tensão transitória interna de um motor síncrono, cuja reatância transitória está incluída na rede.

E 1′

E 2′

Figura 4.3. Diagrama esquemático para estudos de estabilidade. As reatâncias transitórias associadas ao gerador e ao receptor estão incluídas na rede de transmissão. Sistemas de Potência II

72



A matriz admitância de barra para a rede é ⎡Y11 Y 12 ⎤ ⎢ ⎥ = barra ⎢⎣Y21 Y 22 ⎥⎦

(4.16)

Do curso de Sistemas de Potência I, sabe-se que ∗

∑

⎛ nb ⎞ ∗ S k = Pk + jQk = E kI k = E k ⎜ Y kmE m ⎟ ⎝ m =1 ⎠

(4.17)

na qual fazendo-se k e m iguais a 1 e 2, respectivamente, pode-se reescrevê-la como P1 + jQ1 = E1′(Y11E1′ )∗ + E1′(Y12 E2′ )∗

(4.18)

Por outro lado, tem-se que E 1′ = E 1′ ∠δ1

E 2′ = E 2′ ∠δ 2

Y11 = G11 + jB11

Y12 = Y12 ∠θ12

(4.19)

que substituindo na equação (4.18) , fornece para a potência ativa X

X

2

P1 = E 1′ G11 + E 1′ E 2′ Y12 cos( δ1 − δ2 − θ12 )

(4.20)

Fazendo

δ = δ1 − δ2

e

γ = θ12 −

π

2

(4.21)

e substituindo as equações (4.21) na equação (4.20) , obtém-se X

X

X

2

X

P1 = E 1′ G11 + E 1′ E 2′ Y12 sen( δ − γ )


(4.22) 73



A equação (4.22) pode ser reescrita de uma forma mais simples como X

X

Pe = Pc + P max

sen( δ − γ )

(4.23)

onde P 1 foi substituído por P e pois P 1 é a potência elétrica de saída do gerador e 2

Pc = E 1′ G11

e

Pmax = E 1′ E 2′ Y12

(4.24)

A equação (4.23) é conhecida como equação potência-ângulo. O gráfico da equação X

X

(4.23) em função de δ é conhecido como curva potência-ângulo. Os valores Pc , P max e γ são

X

X

constantes para uma determinada configuração da rede elétrica e magnitudes de tensões constantes E 1′ e E 2′ . Quando a rede é considerada sem resistência, todos os elementos de

barra

são suscep-

tâncias e, portanto, tanto G 11 como γ são zero. A equação potência-ângulo em uma rede puramente reativa é

Pe = Pmax

sen δ = E 1′ E 2′ Y12 sen δ =

E 1′ E 2′ X 12

sen δ

(4.25)

onde X 12 é a reatância de transferência entre as tensões E 1′ e E 2′ . O diagrama unifilar da Figura 4.4 mostra um gerador de 60 Hz, cuja constante H vale 5 MJ/MVA, conectado através de uma linha de transmissão paralela a um grande sistema metropolitano considerado como uma barra infinita. A máquina está fornecendo 1,0 pu de potência e tanto a tensão terminal como a tensão na barra infinita são 1,0 pu. Os valores no diagrama indicam os valores das reatâncias em pu em uma base comum ao sistema. A reatância transitória do gerador é 0,20 pu. Determine a equação potência-ângulo para o sistema nas condições de operação e a equação de oscilação para o gerador.


74


X d ′


=

j 0,2

Figura 4.4. Diagrama unifilar para o Exemplo 4.2. O ponto P está no centro da linha.

O sistema do Exemplo 4.2 está operando nas condições indicadas quando uma falta trifásica ocorre no ponto P (meio da linha) mostrado na Figura 4.4. Determine a equação potência-ângulo para o sistema nas condições de falta, a correspondente equação de oscilação, a potência inicial de aceleração e a aceleração inicial do rotor. A falta no sistema do Exemplo 4.3 é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores nos terminais da linha afetada. Determine a equação potência-ângulo e a equação de oscilação para o período pós-falta.

Considere o sistema mostrado na Figura 4.5. Inicialmente, o disjuntor A está fechado e o disjuntor B aberto. Ocorre uma falta trifásica no ponto P e é eliminada pelo disjuntor A após um curto período de tempo. Portanto, o sistema de transmissão permanece inalterado, exceto durante a ocorrência da falta. O curto-circuito efetiva-se sobre o barramento e, portanto, a potência elétrica de saída do gerador é zero até a falta ser eliminada.

Figura 4.5. Diagrama unifilar de um sistema elétrico para a análise do critério de área iguais.

As condições físicas antes, durante e após a falta podem ser mais bem compreendidas a partir das curvas potência-ângulo das Figuras 4.6. Sistemas de Potência II

75



P max sen δ P max sen δ

P max sen δ

(a)

(b)

(c)

Figuras 4.6. Curvas potência-ângulo para o gerador da Figura 4.5. As áreas A1 e A2 são iguais às áreas A3 e A4 .

Inicialmente, o gerador está operando na velocidade síncrona com um ângulo de rotor δ 0 e a potência mecânica de entrada P m igual à potência elétrica de saída P e , como indicado no ponto “a ” da Figura 4.6(a). Quando a falta ocorre, no tempo t = 0, a potência elétrica de saída torna-se subitamente nula, enquanto a potência mecânica de entrada se mantém inalterada, como indicado no ponto “b” na Figura 4.6(b). Isto resulta em uma potência de aceleração igual a P m . Chamando o tempo para a eliminação da falta de t c , então para o tempo t menor que t c , a aceleração é constante e igual a d 2δ dt 2

=

ωsinc

2H

(4.26)

P m

Quando a falta está presente, a velocidade cresce acima da velocidade síncrona e, este acréscimo, é obtido integrando a equação (4.26) , resultando em X

d δ dt

t

=

∫ 2H

ωsinc

0

X

Pm dt =

ωsinc P m

2H

t

(4.27)

A posição angular do rotor é dada por t

δ =

∫ 2H 0


ωsinc

Pm tdt =

ω sinc P m

4H

t 2 + δ 0

(4.28)

76



A equação (4.27) indica que a velocidade do rotor, relativa à velocidade síncrona, auX

X

menta linearmente com o tempo quando o ângulo do rotor avança de δ 0 para o ângulo de abertura δ c . Na Figura 4.6(b), o ângulo δ vai do ponto “b” para o ponto “c ”. No instante de eliminação da falta, o aumento na velocidade do rotor e a abertura angular entre o gerador e o barramento infinito são dados, respectivamente, por d δ dt

(tc ) =

ωsinc P m

2H

tc

e

δ c =

ω sinc P m

4H

t c2 + δ 0

(4.29)

Quando a falta é eliminada no ângulo δ c , a potência elétrica de saída abruptamente aumenta para um valor correspondente ao ponto “ d ” sobre a curva potência-ângulo. Em “d ”, a potência elétrica de saída excede a potência mecânica de entrada e, portanto, a potência de aceleração é negativa. Em conseqüência, o rotor diminui a velocidade à medida que P e vai do ponto “d ” para “e ”, na Figura 4.6(c). No ponto “e ”, a velocidade do rotor é novamente a síncrona, embora o ângulo do rotor tenha avançado para δ x . O ângulo δ x é determinado com base no fato de que as áreas A1 e A2 devem ser iguais (será explicado adiante). A potência de aceleração em “ e ” é ainda negativa e, portanto, o rotor não pode permanecer em velocidade síncrona, mas deve continuar a diminuir a velocidade. O ângulo do rotor move-se, a partir de δ x em “e ’’, ao longo da curva potência-ângulo para o ponto “a ”, na Figura 4.6(c), onde a velocidade do rotor é menor do que a síncrona. Do ponto “ a ” ao “ f ”, a potência mecânica excede a potência elétrica e a velocidade do rotor aumenta novamente até alcançar o sincronismo em “ f ”. O ponto “f ” está alocado de modo que as áreas A3

e A4 sejam iguais. Na ausência de amortecimento, o rotor iria continuar a oscilar na

seqüência “f −a −e ”, “e −a − f ”, ..., com velocidade síncrona ocorrendo nos pontos “e ” e “f ”. A seguir será mostrado que as áreas A1 e A2 , na Figura 4.6(b), e A3 e A4 , na Figura 4.6(c), devem ser iguais. Em um sistema onde uma máquina oscila em relação a um barramento infinito, pode-se usar este princípio, chamado critério de igualdade de áreas , para determinar a estabilidade do sistema nas condições transitórias sem resolver a equação de oscilação. Embora não aplicável a sistemas multimáquinas, o método ajuda no entendimento de como certos fatores influenciam na estabilidade transitória de um sistema.


77



A dedução do critério de igualdade de áreas é feita para um sistema composto de uma máquina e um barramento infinito, embora também se aplique a um sistema de duas máquinas. A equação de oscilação para a máquina conectada ao barramento é 2H d 2δ ωsinc dt 2

= Pm − P e

(4.30)

= Pm − P e

(4.31)

A equação (4.30) pode ser reescrita como X

X

2H d ω ωsinc dt

Multiplicando a equação (4.31) por d δ / dt = ω − ωsinc e realizando-se simplificações, X

X

tem-se 2H ωsinc

(ω − ωsinc )d ω = (Pm − Pe ) dδ

(4.32)

A equação (4.32) pode ser integrada entre δ0 e δ x , Figura 4.6(b), resultando em X

X

H ⎡ 2 2 ω(δx ) − ωsinc ) − ( ω(δ 0 ) − ω sinc ) ⎤ = ( ⎦ ωsinc ⎣

δ x

∫ (P

m

− Pe ) d δ

(4.33)

δ 0

Observe que, quando o ângulo δ vale δ0 e δ x , a velocidade do rotor é a síncrona (ωsinc ). Assim, a equação (4.33) se reduz a X

X

δ x

∫ (P

m

− Pe )d δ = 0

(4.34)

δ 0

A integral acima pode ser realizada em duas etapas, isto é,


78


∫

δx


(Pm − Pe ) d δ =

δ0

∫

δc

(Pm − Pe ) d δ +

δ0

δ x

∫ (P

m

− Pe ) d δ = 0

(4.35)

δ c

A equação (4.35) pode ser reescrita como X

X

∫

δc

δ0

(Pm − Pe )d δ =

δ x

∫ (P

m

− Pe ) d δ

(4.36)

δ c

A integral da esquerda aplica-se ao período de falta, enquanto a integral da direita é adequada ao período imediatamente pós-falta, até o ponto de máxima oscilação δ x . Na Figura 4.6(b), P e é zero durante a falta. A área A1 é dada pela expressão do lado esquerdo e a área A2 é a expressão do lado direito da equação (4.36) , portanto, as duas áreas A1 e A2 X

X

são iguais. Sendo a velocidade do rotor a síncrona em δ x e também em δ y , na Figura 4.6(c), as mesmas razões anteriores indicam que A3 e A4 são também iguais. As áreas A1 e A4 correspondem ao aumento da energia cinética do rotor quando este está acelerando, enquanto as áreas A2 e A3 correspondem ao decréscimo de energia cinética do rotor quando este está desacelerando. Portanto, o critério da igualdade de áreas especifica que a quantidade de energia cinética adicionada ao rotor, que se segue a uma falta, deve ser removida após a falta para restabelecer o rotor à velocidade síncrona. A área A1 é dependente do tempo necessário para eliminar a falta. Se houver um atraso na eliminação da falta, o ângulo δ c aumenta, conseqüentemente, a área A1 aumenta e o critério da igualdade de áreas requer que a área A2 também aumente para restabelecer o rotor à velocidade síncrona, fazendo com que o ângulo de oscilação máximo δ x também aumente. Se o atraso na eliminação é retardado de modo que o ângulo do rotor oscile além do ângulo δ max , na Figura 4.6, então a velocidade do rotor naquele ponto sobre a curva potência-ângulo está acima da velocidade síncrona quando a potência de aceleração positiva é novamente encontrada. Sob a influência desta potência de aceleração positiva, o ângulo δ aumentará sem limite e resultará em instabilidade. Portanto, existe um ângulo crítico para a eliminação da falta e que satisfaz o critério de igualdade de áreas para a estabilidade. Este ângulo, chamado ângulo crítico de abertura e denotado por δ cr , está indicado na Figura Sistemas de Potência II

79



4.7. O tempo crítico para remover a falta é chamado tempo crítico de abertura , t cr .

Pe

=

P max sen δ

Figura 4.7. Curva ângulo-potência indicando o ângulo crítico de abertura δ cr . As áreas A1 e A2 são iguais.

Na Figura 4.7, o ângulo de abertura e o tempo crítico de abertura podem ser calculados como segue. A área A1 é δ cr

A1 =

∫

Pm d δ = Pm (δ cr − δ 0)

(4.37)

δ 0

e a área A2 é δ max

A2 =

∫

(Pmax sen δ − Pm )d δ = Pmax (cos δcr − cos δmax ) − Pm (δmax − δ cr )

(4.38)

δ cr

Igualando as equações (4.37) e (4.38) , obtém-se X

X

X

X

cos δcr =

P m P max

(δmax − δ 0 ) + cos δ max

(4.39)

sen δ 0

(4.40)

Da curva potência- ângulo da Figura 4.7, tem-se que δmax = π − δ 0

e

Pm = P max

Substituindo as equações (4.40) na equação (4.39) , obtém-se para o ângulo crítico de X

X

X

X

abertura


80



δcr =

arccos[(π − 2δ0 )sen δ0 − cos δ 0 ]

(4.41)

Este valor de δ cr pode ser substituído na equação (4.29) , o que permite determinar o X

X

valor do tempo crítico de abertura como

t cr =

4H

(δcr − δ 0 )

ωsinc P m

(4.42)

Calcule o ângulo crítico de abertura e o tempo crítico de abertura para o sistema da Figura 4.5 quando o sistema está sujeito a uma falta trifásica no ponto P da linha de transmissão curta. As condições iniciais são as mesmas do Exemplo 4.2 e H vale 5 MJ/MVA.

Embora o critério de igualdade de áreas possa ser aplicado somente ao caso de duas máquinas ou uma máquina e um barramento infinito, ele é muito útil para se entender o que acontece quando uma falta ocorre. Quando um gerador supre potência a um barramento infinito através de duas linhas de transmissão em paralelo, a abertura de uma das linhas pode causar a perda de sincronismo do gerador, embora a carga possa ser suprida pela linha não eliminada nas condições de regime permanente. Se um curto-circuito trifásico ocorre no barramento ao qual as duas linhas estão conectadas, nenhuma potência pode ser transmitida por qualquer das linhas. Entretanto, se a falta é no terminal de uma das linhas, a abertura de disjuntores em ambas as extremidades da linha isolará a falta no sistema e permitirá a potência fluir através da outra linha. Quando uma falta trifásica ocorrer em algum ponto do circuito duplo das linhas que não sejam os barramentos ou os extremos das linhas, existirá alguma impedância entre os barramentos e a falta. Portanto, alguma potência é transmitida apesar da existência da falta no sistema. Quando a potência é transmitida durante a falta, o critério de igualdade de áreas é aplicado como mostrado na Figura 4.8, a qual é similar às curvas potência-ângulo dos Exem-


81



plos 4.2, 4.3 e 4.4. Antes da falta, P max sen δ é a potência que pode ser transmitida; durante a falta, r1P max sen δ é a potência que pode ser transmitida; e após a falta ser eliminada δ é a potência que pode ser transmitida. Neste caso, δ cr inno instante δ = δ cr , r2P max sen

dica o ângulo crítico de abertura. Avaliando as áreas A1 e A2 , pode-se determinar que

cos δ cr =

⎛ P m ⎜⎜ ⎜⎝ P

⎟⎟⎞(δ 1 cos δ 0 ⎟⎟ max − δ0 ) + r2 cos δ max − r ⎠ max r2 − r 1

(4.43)

P

P max sen δ r2 P max sen δ r1P max sen δ A2 P m A1

0

0

cr

max

180°

Figura 4.8. Critério de igualdade de áreas aplicado à eliminação de falta quando a potência é transmitida durante a falta. As áreas A1 e A2 são iguais.

Para o sistema e a localização da falta indicados na Figura 4.5, os valores são r 1 = 0 e r 2 = 1, e a equação (4.43) se reduz à equação (4.39) . X

X

X

X

Independente de sua localização, as faltas de curto-circuito que não envolvem as três fases permitem a transmissão de alguma potência porque elas são representadas conectando alguma impedância entre o ponto de falta e a barra de referência. Quanto maior a impedância colocada em paralelo com a rede de seqüência positiva para simular a falta, maior é a potência transmitida durante a falta. A potência transmitida durante a falta influi no valor de A1 , isto é, valores pequenos de r 1 resultam em grandes distúrbios ao sistema com pequena potência transmitida e um grande valor para A1 . Na ordem crescente de severidade, as faltas podem ser classificadas na seguinte seqüência: • Falta fase-terra • Falta entre duas fases • Falta entre duas fases e terra • Falta trifásica


82



A falta fase-terra ocorre mais freqüentemente e a falta trifásica é a menos freqüente. Para completa confiabilidade, um sistema deve ser projetado considerando a estabilidade transitória para uma falta trifásica na pior localização. Determine o ângulo crítico de abertura para a falta trifásica descrita nos Exemplos 4.3 e 4.4, quando a configuração inicial do sistema e condições de operação préfalta são como descritas no Exemplo 4.2.

O critério da igualdade de áreas não pode ser usado diretamente em sistemas com três ou mais máquinas. Quando um sistema multimáquinas opera sob condições eletromecânicas transitórias, as oscilações entre máquinas ocorrem através do sistema de transmissão que as conecta. Para facilitar a modelagem do problema, utilizam-se as seguintes considerações: • A freqüência do sistema de transmissão não é perturbada pela freqüência de oscilação

e, portanto, os parâmetros da rede em 60 Hz não se alteram. • A potência mecânica de entrada para cada máquina permanece constante durante a

solução da curva de oscilação. • A potência amortecedora é desprezada. • Cada máquina pode ser representada por uma reatância transitória constante em sé-

rie com uma tensão interna transitória constante. • O ângulo mecânico do rotor de cada máquina coincide com o ângulo de fase elétrico

da tensão transitória interna. • Todas as cargas devem ser consideradas como impedâncias em derivação para a terra

e com valores determinados pelas condições pré-falta. O modelo de sistema para fins de estabilidade baseado nestas considerações é chamado modelo clássico de estabilidade e estudos que usam este modelo chamam-se estudos clássicos de estabilidade .

Para estudos de estabilidade multimáquinas, dois passos preliminares são necessários: • As condições pré-falta em regime permanente para o sistema são determinadas usan-


83



do um programa de fluxo de carga. • A representação da rede pré-falta é determinada e, então, modificada para considerar

as condições de falta e pós-falta. No primeiro passo, obtêm-se os valores de potência e tensão complexa em cada terminal de gerador e barras de carga. A tensão interna transitória de cada gerador é ′ I E ′ = Vt + jX d

(4.44)

onde V t é a tensão terminal e I é a corrente de saída. Cada carga é convertida em uma admitância constante para a terra como

Y L =

PL − jQ L V L

2

(4.45)

onde PL + jQ L é a carga e V L é a magnitude da tensão na barra. A matriz admitância de barra

, usada no fluxo de potência para a condição pré-falta, é aumentada para in-

barra

cluir as reatâncias transitórias dos geradores e as admitâncias das cargas em derivação, como mostra a Figura 4.9. Observe que a corrente injetada é zero em todas as barras, exceto nas barras internas dos geradores.

X d ′ 1

X d ′ 2

X d ′ 3 E 1′ E 2′ E 3′

Figura 4.9. Rede aumentada de um sistema elétrico de potência.


84



No segundo passo, determinam-se as matrizes admitâncias de barra modificadas correspondentes às condições de falta e pós-falta. Como somente as barras internas dos geradores têm injeções, todas as demais barras podem ser eliminadas reduzindo as dimensões das matrizes ao número de geradores. Durante e após a falta, a potência de cada gerador é calculada pela sua correspondente equação potência-ângulo. Por exemplo, da Figura 4.9, tem-se 2

Pe 1 = E 1′ G11 + E 1′ E 2′ Y12

δ13 − θ13 ) cos(δ12 − θ12 ) + E1′ E 3′ Y13 cos(

(4.46)

onde δ12 = δ1 − δ2 e δ13 = δ1 − δ3 . Equações similares podem ser escritas para Pe 2 e P e 3 com os valores Y ij retirados da matriz admitância para as condições de falta e pós-falta. As equações potência-ângulo tomam parte nas equações de oscilação, resultando em 2H i d 2δ i ωsinc dt 2

= Pmi − Pe i

i = 1,2,3

(4.47)

para representar o movimento de cada rotor para os períodos de falta e pós-falta. As soluções destas equações dependem da localização e da duração da falta e da

barra

que resulta

quando a linha em falta é removida. Um sistema de transmissão de 230 kV, 60 Hz, tem dois geradores e um barramento infinito como mostra a Figura 4.10. Os dados dos circuitos são fornecidos na Tabela 4.2 e os dados das barras, na Tabela 4.3. Uma falta trifásica ocorre na linha 4 −5 próxima à barra 4. Determine a equação de oscilação para cada máquina durante o período de falta. Os geradores com valores de reatância e constante H numa base de 100 MVA e 230 kV, são: Gerador 1: 400 MVA, 20 kV, X d ′ = 0,067 pu, H = 11,2 MJ/MVA Gerador 2: 250 MVA, 18 kV, X d ′ = 0,1 pu, H = 8,0 MJ/MVA


85



4

3

1 Gerador 1

L4

5

2

L5

Gerador 2

Figura 4.10. Diagrama unifilar para o Exemplo 4.7. Tabela 4.2. Dados dos circuitos para o Exemplo 4.7. Valores em pu numa base de 100 MVA, 230 kV. Barras

Z série

De

Para

Circ

R

X

C shunt

1

4

1

0,000

0,022

0,000

2

5

1

0,000

0,040

0,000

3

4

1

0,007

0,040

0,082

3

5

1

0,008

0,047

0,098

3

5

2

0,008

0,047

0,098

4

5

1

0,018

0,110

0,226

Tabela 4.3. Dados das barras para o Exemplo 4.7. Valores em pu numa base de 100 MVA, 230 kV. Geração Barra

Tipo

|V |

1

1

1,030

3,50

2

1

1,020

1,85

3

2

1,000

4 5

ângulo

P

Carga Q

P

Q

0

1,00

0,44

0

0,50

0,16

0°

A falta trifásica no Exemplo 4.7 é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores nos terminais da linha em falta. Determine a equação de oscilação para cada máquina para o período pós-falta.


86



O método de Euler aperfeiçoado (estudado no Curso de Cálculo Numérico) consiste na geração de aproximações para a solução da equação diferencial dx dt

= f (x )

(4.48)

no intervalo [a, b ] com x (t 0 ) = x 0 , utilizando o seguinte conjunto de equações

f (x i ) =

dx

(t i )

dt

(4.49)

x f = x i + f (x i ) ∆ t

(4.50)

t f = t i + ∆t

(4.51)

f (x f ) =

dx

(t f )

dt

f (x i ) + f (x f ) ∆t x i +∆t = x i +

2

(4.52) (4.53)

onde Δt é o passo de integração; os subíndices i e f referem-se aos extremos do intervalo de integração. Para o caso da estabilidade transitória em sistemas de potência, a equação de oscilação a ser resolvida é 2H d 2δ ωsinc dt 2

= Pa = Pm − P e

(4.54)

que, de acordo com a equação (4.14) , pode ser desmembrada em duas equações diferenciais X

X

de primeira ordem


87



⎧ ω d ω ⎪ ⎪ = sinc (Pm − P e ) ⎪ ⎪ dt H 2 ⎪ ⎨ ⎪ d δ ⎪ ⎪ = ω − ω sinc ⎪ ⎪ dt ⎩

(4.55)

Utilizando o conjunto de equações (4.49) - (4.53) às equações (4.55) , obtém-se o seguinte X

X

X

X

X

X

conjunto de equações ⎧ ω sinc d ωi ⎪ ⎪ = (Pm − P e i ) ⎪ ⎪ dt H 2 ⎪ ⎨ ⎪ d δ i ⎪ ⎪ = ωi − ωsinc ⎪ ⎪ dt ⎩

(4.56)

⎧ d ωi ⎪ ⎪ = + ∆t ω ω f i ⎪ ⎪ dt ⎪ ⎨ ⎪ d δ i ⎪ ⎪ = + ∆t δ δ f i ⎪ ⎪ dt ⎩

(4.57)

⎧ d ω f ⎪ ωsinc ⎪ (Pm − P e f ) = ⎪ ⎪ 2 dt H ⎪ ⎨ ⎪ d δ f ⎪ ⎪ = ω f − ω sinc ⎪ ⎪ dt ⎪ ⎩

(4.58)

⎧ ⎪ d ωi d ω f ⎪ + ⎪ ⎪ dt dt ∆t ⎪ ωi +∆t = ωi + ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ d δ i d δ f ⎪ + ⎪ ⎪ dt dt ∆t ⎪ δi +∆t = δ i + ⎪ ⎪ 2 ⎩

(4.59)

A seqüência de equações (4.56) - (4.59) começa em t = 0 (início da falta) com valores iX

X

X

X

niciais para δ0 e ω 0 , e continua iterativamente até t = T (tempo final de análise). Monte uma tabela com os valores do ângulo δ 2 do rotor da máquina 2 para uma falta no sistema de 60 Hz dos Exemplos 4.7 e 4.8. A falta é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores localizados nos extremos da linha em falta em 0,25 s.


88



Existem dois fatores que atuam como referência para a estabilidade de uma unidade geradora em um sistema de potência. São a oscilação angular da máquina durante e após a falta e o tempo crítico de abertura (eliminação da falta). Das equações que foram desenvolvidas neste capítulo, nota-se o efeito direto da constante H e da reatância transitória ′ da unidade geradora nestes fatores. X d

Analisando a equação (4.28) , observa-se que, quanto menor for a constante H , maior seX

X

rá a oscilação angular. Por outro lado, a equação (4.24) indica que P max diminui à medida X

X

que a reatância transitória da máquina aumenta. Isto resulta porque a reatância transitória forma parte da reatância série total do sistema e é o inverso da admitância de transferência. Da Figura 4.8, observa-se que todas as curvas de potência diminuem quando P max diminui. Em concordância, para uma potência no eixo P m , o ângulo inicial do rotor δ 0 aumenta, δ max diminui e uma menor diferença entre δ0 e δ cr existe para uma menor P max . O resultado é que uma P max menor faz com que a máquina oscile com um ângulo menor desde a sua posição original antes de alcançar o ângulo crítico de abertura. Assim, qualquer procedimento que diminua a constante H e aumente a reatância transitória de uma máquina causa um decréscimo no tempo crítico de abertura, diminuindo a probabilidade de sustentação da estabilidade sob condições transitórias. Como os sistemas de energia estão continuamente crescendo, existe uma necessidade de usar unidades de geração cada vez maiores. Estas grandes unidades possuem avançados sistemas de refrigeração que permitem maiores capacidades de potência nominal sem comparável aumento em tamanho do rotor. Isto resulta em constantes H menores criando um impacto negativo na estabilidade da unidade geradora. Ao mesmo tempo, este processo de aumento de valores nominais tende a resultar em maiores reatâncias transitórias e síncronas, o que torna a tarefa de projetar sistemas confiáveis e estáveis cada vez mais competitiva. Por outro lado, as técnicas de controle de estabilidade e projeto de sistemas de transmissão também têm evoluído com o objetivo de aumentar a estabilidade geral do sistema. Os esquemas de controle incluem: • sistema de excitação • controle da válvula da turbina • circuitos disjuntores com operação monopolar Sistemas de Potência II

89



• rápidos tempos de eliminação de faltas.

A estratégia de projeto de sistemas elétricos, buscando a diminuição da reatância dos sistemas, inclui: • mínimas reatâncias para transformadores • capacitores para compensação série das linhas • linhas de transmissão adicionais.

Quando uma falta ocorre em um sistema, as tensões em todas as barras diminuem. Nos terminais do gerador, a tensão menor é percebida pelos reguladores automáticos de tensão que atuam no sistema de excitação para restabelecer a tensão terminal do gerador. O efeito do sistema de excitação é reduzir o ângulo de oscilação inicial do rotor logo após a falta. Isto é compensado pela elevação da tensão aplicada ao enrolamento de campo do gerador. O aumento do fluxo no entreferro produz um torque freiante sobre o rotor que tende a diminuir o seu movimento. Sistemas modernos de excitação respondem rapidamente à redução de tensão no barramento do gerador, produzindo um ganho de meio a um e meio ciclo no tempo crítico de abertura para falhas trifásicas no barramento de alta tensão do transformador de ajuste do gerador. Sistemas modernos de reguladores de turbinas hidráulicas têm a habilidade de fechar a válvula da turbina para reduzir a aceleração da unidade durante falhas severas do sistema próximas à unidade. Imediatamente à detecção da diferença entre as potências mecânicas de entrada e elétrica de saída, a ação do controle inicia o fechamento da válvula que reduz a potência de entrada. O ganho de um a dois ciclos no tempo crítico de abertura pode ser conseguido. Reduzindo a reatância do sistema durante as condições de falta, aumenta r1P max , decrescendo a área de aceleração da Figura 4.8 e, conseqüentemente, melhorando as condições de estabilidade. Como as falhas monofásicas ocorrem mais freqüentemente, esquemas de relés permitindo a operação independente ou seletiva de pólos de disjuntores podem ser usados para eliminar a fase em falta, mantendo as demais intactas. A operação com pólo independente de disjuntores pode estender o tempo crítico de abertura por 2 a 5 ciclos. Tais ganhos em tempo crítico podem ser importantes, especialmente se os tempos de eliminação de falha de retaguarda são problemas para a estabilidade do sistema.


90



A redução da reatância de uma linha de transmissão é um outro meio para aumentar P max . A compensação de reatância de linha por capacitores série é também econômica para

aumentar a estabilidade. Aumentar o número de linhas de transmissão paralelas também é uma forma de reduzir a reatância. Em circuitos paralelos, alguma potência pode ser transferida pela linha em funcionamento até mesmo durante uma falha trifásica na outra, a menos que a falta ocorra no barramento de paralelismo. A potência transferida é subtraída da potência mecânica de entrada para se obter a potência de aceleração. Assim, o aumento na potência transferida durante uma falta significa menos potência de aceleração para a máquina e aumento de chances de se manter a estabilidade do sistema.


91



4.1. Um turbogerador de 60 Hz com valores nominais de 500 MVA e 22 kV tem uma constante de inércia H = 7,5 MJ/MVA. A potência elétrica desenvolvida é 400 MW quando a entrada menos as perdas rotativas vale 740.000 HP. Se a aceleração é constante para um período de 15 ciclos, encontre a mudança em δ em graus elétricos naquele período e a velocidade em rotações por minuto no fim dos 15 ciclos. Suponha que o gerador está sincronizado com um sistema de grande porte e não tem torque de aceleração antes do início do período correspondente aos 15 ciclos. 4.2. O gerador do Exercício 4.1 está fornecendo potência nominal com um fator de potência de 0,8atr quando uma falha reduz a potência elétrica de saída em 40%. Determine o torque de aceleração em Newton.metro no momento em que a falha ocorre. Despreze as perdas e considere a potência de entrada no eixo constante. 4.3. Um gerador com H = 6 MJ/MVA está conectado a um motor síncrono tendo H = 4 MJ/MVA através de uma rede de reatâncias. O gerador está entregando uma

potência de 1,0 pu ao motor quando uma falha ocorre, reduzindo a potência entregue. No momento em que a potência entregue fica reduzida a 0,4 pu, determine a aceleração angular do gerador em relação ao motor. 4.4. Um sistema é idêntico àquele do Exemplo 4.2 com exceção da impedância de cada uma das linhas de transmissão que é de j 0,5 pu e a potência entregue que é 0,8 pu quando tanto a tensão nos terminais da máquina como a tensão do barramento infinito são 1,0 pu. Determine a equação do potência-ângulo do sistema durante as condições de operação especificadas. 4.5. Se uma falha trifásica ocorre sobre o sistema de potência do Exercício 4.4 em um ponto sobre uma das linhas de transmissão a uma distância de 30% do comprimento da linha a partir do terminal de alimentação da linha, determine: a) a equação do ângulo-potência durante a falha; b) a equação de oscilação


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Considere que o sistema está operando sob as condições especificadas no Problema 5, quando da ocorrência da falta, e que H = 5 MJ/MVA. 4.6. Um gerador com H = 6 MJ/MVA está entregando uma potência de 1,0 pu a um barramento infinito através de uma rede puramente reativa quando a ocorrência de uma falha reduz a potência de saída do gerador a zero. A potência máxima que poderia ser entregue é 2,5 pu. As condições originais da rede são restauradas quando a falha é eliminada. Determine o ângulo crítico de abertura. 4.7. Um gerador de 60 Hz com uma constante de inércia H = 6 MJ/MVA está suprindo 60% de P max a um barramento infinito através de uma rede reativa. Uma falha ocorre aumentando a reatância da rede entre a tensão interna do gerador e o barramento infinito em 400%. A máxima potência que pode ser entregue quando a falha é eliminada vale 80% do valor máximo original. Determine o ângulo crítico de abertura para as condições descritas. Se P m igual a 0,6P max é uma potência de 1,0 pu, encontre também o tempo crítico de abertura. 4.8. Para o sistema e para as condições de falha descritas nos Exercícios 4.4 e 4.5, determine a equação potência-ângulo se a falta é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores em ambos os terminais da linha em falha aos 4,5 ciclos após a ocorrência da falha. Então, trace a curva de oscilação do gerador até t = 0,25 segundos. 4.9. Calcule a curva de oscilação para a máquina 1 dos Exemplos 4.7 a 4.9 para uma falha eliminada aos 0,05 segundos e pelo método descrito na Seção 4.8. Utilize ∆t = 0,01 s. 4.10. Uma falha trifásica ocorre sobre a linha 4−5, próxima à barra 5 do sistema do Exemplo 4.7 e é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores em ambos os terminais da linha após 4,5 ciclos da ocorrência da falha. Para esta situação, prepare uma tabela como a do Exemplo 4.9 para traçar a curva de oscilação da máquina 2 até t = 0,3 s.


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Analise_de_Sistemas_de_Potencia_II[1] - Faltas Simetricas e Assimetricas e Enalise de Estabilidade

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