Guia 6 Ejercicios Resueltos de metodo de cross estructuras simetricas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS

Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas

Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3

Año: 2009

Corregido: GUTAWSKI Alex

 Ejercicio Nº1:

q = 2t/m 1t 2

4

4I°

2´

I°

I°

1´

1

En las estructuras simétricas cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de efectos. q = 2t/m

q = 1t / m

q = 1t/m

0,5t

0,5t 2

I°

4I°

4

2´

simetrico 1

I°

1´

0,5t 2

4I°

4

2´

0,5t

I°

asimetrico 1

Estructuras 2009

I°

1´

METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS

Pág. 1


ESTRUCTURAS



Año: 2009


CARGA SIMETRICA: Si consideramos la barra que corta el eje de simetría, como el momento flector es simétrico, podemos suponer que en un determinado instante sobre la barra actúan dos momentos. Consideramos que soltamos dos nudos a la vez y analicemos que ocurre con el coeficiente de rigidez angular de la barra, si EJ = cte. M =

2 EJ l AA′

[ 2ω + ω `]

⇒ M = α AA` =

si

ω

=1

ω

`= − 1

2 EJ l AA′

Se deberá entonces entonces resolver resolver una estructura estructura que sea sea la mitad de la estructura original. Con los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de simetría extender a toda la estructura.

-0,50 -3,00

2

10,67

-0,50

-3,00

-3,83

-3,83

6,84

4I°

4

-6,84

2´

-3,83

6,84

3,00 3,83

I°

simetrico -1,92 1

I°

1,92 1´

-1,92

CARGA ASIMETRICA: Por condición de simetría el punto 4 no puede descender y además en ese punto el momento flector es nulo. Bajo estas condiciones se puede considerar que hay un apoyo con una articulación y se resuelve la mitad de la estructura solamente. M B

=

2 EJ l B B ′

=

(2ω + ω ′)

⇒ M B = α BB ′ =

como lBB ′

=

2 lBA

Estructuras 2009

si ω = ω ′ = 1

6 EJ l B B ′ ⇒

α

BA

=

3 EJ l B A METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS

Pág. 2


ESTRUCTURAS



Año: 2009


Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:

-0,75

-0,75 1,00

-0,75

-0,25

-0,25

-0,75

1,00

-0,25

-0,25 0,75

0,88

-0,12 -0,12

1,00

Ecuaciones de compatibilidad 0 0,18 + k 1 ⋅ (−0,82) = 0 ⇒ k 1

H 0

+ k 1 H 1 =

=

0,22

Momentos flectores Las solicitaciones serán entonces: o

1

M = M + k M 1 i k i k i k

M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm

M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm ´Momentos flectores finales

Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = -1,92 + 0,07 = -1,85tm M21 = -3,83 - 0,08 = -3,91tm M24 = 6,84 - 0,91= 5,93tm M2v = -3,00+1,00 = -2,00tm

Estructuras 2009

M12 = 1,92 + 0,07 = 1,99tm M21 = 3,83 - 0,08 = 3,75tm M24 = -6,84 - 0,91 = -7,75tm M2v = 3,00+1,00 = 4,00tm


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ESTRUCTURAS



Año: 2009


DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 6,64tm 5,93tm

4tm 2tm

3,75tm

3,91tm

6,64tm 1,85tm

1,99tm

DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE 7,09t

4t

1t

2,88t 2,88t 8,91t

Estructuras 2009


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ESTRUCTURAS



Año: 2009


DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL

-2,88t

-8,09t -12,91t

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE q = 2t/m 1t 2

4I°

4

2´

I°

I°

1´

1

8,09t

2,88t

2,88t 12,91t

1,85tm

Estructuras 2009

1,99tm


Pág. 5


ESTRUCTURAS



Año: 2009


 Ejercicio Nº2:

q = 1,5t/m

0,5t

3I°

5I°

3I°

I°

I°

1´

1

q = 1,5t/m

q = 0,75t/m 0,25t

3I°

0,25t

3I°

5I°

simetrico

I°

q = 0,75t/m

I°

1´

1

0,25t

0,25t

q = 0,75t/m

q = 0,75t/m

3I°

5I°

3I°

asimetrico

I°

1

I°

1´

CARGA SIMETRICA: Cuando el eje de simetría corta un apoyo, dada la simetría, el nudo del eje no tendrá rotación. Luego se está comportando como un empotramiento y puede ser resuelta la mitad de la estructura a la cual se la l a considera como empotrada en el apoyo de referencia.

Estructuras 2009


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ESTRUCTURAS



Año: 2009


0,25

-0,87 -1,93

-0,13

1,125

-1,125

0,48

0,24

1,60

-0,88

0,07

0,04

CARGA ASIMETRICA: Cuando el eje de simetría corta un apoyo, por condición de carga, en el apoyo es nulo el momento flector; por lo tanto podemos considerar considerar que existe una articulación y calcular con esta condición la mitad de la l a viga solamente. Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán: -0,25

-0,83

-0,83 0,94

-0,17

-0,57

-0,17

-0,83

1,00

-0,12

-0,17 0,83

0,92

-0,08 -0,06

Estructuras 2009


1,00

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ESTRUCTURAS



Año: 2009


Ecuaciones de compatibilidad H 0

+ k 1 H 1 = 0

− 0, 41 + k 1 ⋅ ( −0,88) = 0 ⇒ k 1 = −0,46


1


M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm

M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm ´Momentos flectores finales

Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0,04 - 0,48 = -0,44tm M21 = 0,07 - 0,50 = -0,43tm M24 = 1,60 - 0,19= 1,41tm M2v = 0,25-0,25 = 0,00tm M23 = -1,93 + 0,94= -0,99tm M42 = -0,88 + 0,00= -0,88tm

Estructuras 2009

M12 = -0,04 - 0,48 = -0,52tm M21 = -0,07 - 0,50 = -0,57tm M24 = -1,60 - 0,19= -1,79tm M2v = -0,25-0,25 = 0,50tm M23 = 1,93 + 0,94= 2,87tm M42 = 0,88 + 0,00= 0,88tm


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ESTRUCTURAS

Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas


Año: 2009

Corregido:GUTAWSKI Corregido:GUTAWSKI Alex

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 2,87tm

1,79tm 0,88tm

0,99tm

0,57tm

0,43tm

0,44tm 0,52tm

DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE 3,72t

2,43t 1,95t

0,17t

2,08t

0,22t

2,07t 0,27t

2,22t

2,55t

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ESTRUCTURAS



Año: 2009



-0,22t

-4,51t

-6,57t

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

q = 1,5t/m

3I°

5I°

3I°

0,17t

4,02t

2,28t

I°

I°

1´

1

0,27t

0,22t 4,51t 0,44tm

Estructuras 2009

0,5t

6,27t 0,52tm


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ESTRUCTURAS



Año: 2009


 Ejercicio Nº3: q = 2t/m 2t

2t 3

5I°

2

3´

5I°

I°

1

q = 2t/m

q = 1t/m

q = 1t/m 2t

2t 3

5I°

2

5I°

3´

simetrico I°

1

q = 1t/m q = 1t/m 3

5I°

2

5I°

3´

asimetrico I°

1

CARGA SIMETRICA:El nudo 4 no puede tener rotación ni desplazamiento, luego, se lo considera como empotrado y se resuelve la mitad de la estructura. Se debe, sin embargo, tener en cuenta que en la columna actúa un esfuerzo normal que es el doble del esfuerzo de corte que actúa en el empotramiento.

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ESTRUCTURAS



-2,50

Año: 2009

-1,00


2,50

-6,25

1,25 -5,00

CARGA ASIMETRICA: Podremos resolver una estructura que sea la mitad de la original, en la cual el coeficiente de rigidez de la columna que pasa por el eje de simetría tiene un momento de inercia que vale la mitad del original y por lo tanto su coeficiente de rigidez valdrá la mitad del original. Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:

-0,90 0,50

-1,00 -0,50 0,11 -0,11 0,02 -0,02 -0,50

-0,25 0,22 -0,05 0,04 -0,01 0,01 -0,04

-0,10 0,02 0,01 0,01 0,04

-0,90 -1,00 -0,45 0,45 -0,10 0,10 -0,02 0,02 0,00

0,01

Estructuras 2009


-0,90 0,22 -0,20 0,05 -0,04 0,01 -0,01 -0,87

-0,10 1,00 -0,10 -0,02 -0,01 0,87

0,94 -0,01 -0,05 1,00

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ESTRUCTURAS



Año: 2009


Ecuaciones de compatibilidad 0 0,01 + k 1 ⋅ 0,72 = 0 ⇒ k 1

H 0

+ k 1 H 1 =

= −0,01


1


M12 = 0,02-0,01 *1,88 = 0tm M21 = 0,08-0,01 * 1,74= 0,06tm M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= 0,00= -0,50tm M2v = 0,50-0,01*0,.00= 0,50tm

M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm M3v = 0,50-0,01 * 0,00 = 0,50tm ´Momentos flectores finales

Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0tm M21 = 0+ 0,06 = 0,06tm M23 = -5,00- 0,05= -5,05tm M32 = -0,50+2,50 = 2,00tm M3v = 0,50 - 2,50= -2,00tm

Estructuras 2009

M23 = 5,00 - 0,05 = 4,95tm M32 = -0,50 - 2,50 = -3,00tm M3v = 2,50 + 0,50= 3,00tm


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ESTRUCTURAS



Año: 2009


DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 5,05tm

4,95tm 3tm

2tm

0,06tm

0tm

DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE

5,39t 4t

4,39t

2t

2t

5,61t

Estructuras 2009


4,61t

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ESTRUCTURAS



Año: 2009



-11t

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE q = 2t/m 2t

2t 3

5I°

2

5I°

3´

8,61t

6,39t

I°

1

0,012t 11t

Estructuras 2009


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Guia 6 Ejercicios Resueltos de metodo de cross estructuras simetricas

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