ECUACIONES TOMO IV.pdf

Tomo IV

Pla Pl an te teo o de E cu aci on es

Planteo de Ecuaciones Ecuaciones

¿Cu ¿Cuá ál es son l as r aíces ces de l a ecu ecu ació aci ón 2 2 = x 2 ? os de esas raíces son evidentes: x = 2 y x = 4. Mas al trazar los gráficos de las funciones y = 2 x y y = x2, constatamos que hay una raíz negativa, como se ve en la figura de la derecha. Nos preguntamos: 1º ¿Es tal raíz un número racional o irracional? 2º ¿Es ¿Es posibl posiblee obtene obtenerla rla por un proce proceso so puram purament entee algebr algebraic aico? o? Estamos condicionados a preferir métodos “algebraicos”, fórmulas tales romo la de la ecuación d 2º grado, o artificios específicos para cada ecuaci6n que enfrentamos. Al adoptar este punto de vista, no obstante, estamos olvidando dos aspectos: a) Una “fórmula cerrada”, como la que existe para ecuaciones 2º, 3º Y 4º grado, es muchas veces una victoria ilusorio; siquiera nos da una idea del orden de la magnitud de las soluciones; b) Todo proceso de resolución de una ecuación recae, tarde o temprano en un cálculo numérico que dará el resultado final, con las aproximaciones deseadas. En el caso en cuestión, la raíz negativa de la ecuación 2x = x2 puede ser obtenida, de modo simple, por el método de las aproximaciones deseadas. El resultado es x = -07666646959, con 10 cifras decimales exactas. Ahora abordemos las preguntas. La primera respuesta es negativa, esto es, la raíz negativa de la ecuación propuesta es un número irracional. Esto se prueba por reducción al absurdo. Supong Supongam amos os que p/q fuese fuese una fracc fracci6n i6n irredu irreducib cible le positiv positivaa tal que 2 –p/q = (- p/q)2 Eliminando denominadores y elevando ambos miembros a la potencia q, tendríamos entonces 2 p.p2q = q 2q Ahora bien, si p es impar, el primer miembro de esta última igualdad es un entero que contiene un número impar de factores iguales a 2, mientras que el segundo miembro contiene un número par (tal vez cero) de (actores 2. Si, al contrario, p es par entonces q será impar; luego el primer miembro es divisible por 2, mas el segundo no lo es. De cualquier manera, se tiene la contradicción: no existe número racional r = p/q tal que 2-r = (-r)2, donde r > 0. La segund segundaa pregun pregunta ta equiva equivale le a indaga indagarr si nuest nuestra ra soluc solución ión negati negativa va es un número número algebr algebraic aico. o. Recordemos que un número (real o complejo) se llama algebraico cuando es raíz de alguna ecuación del tipo p (x) = 0, donde p(x) es un polinomio con coeficiente enteros. Por ejemplo, todo número que se obtiene a partir de números racionales, sometiéndolos a un número finito.de finito.de operacio operaciones nes de adición, adición, sustracc sustracci6n, i6n, multiplica multiplicación, ción, división y extracció extracción n de raíces raíces (de cualquier índice) es algebraico. Un número que no es algebraico se llama trascendente. Por ejemplo, π y e y e son son números trascendentes. La respuesta a la segunda pregunta también es NO. La raíz negativa de la ecuación 2 x = x2 no puede ser obtenida por métodos puramente algebraicos, porque es un número trascendente.

Razonam Razonamii ento M atemáti co

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¿Cu ¿Cuá ál es son l as r aíces ces de l a ecu ecu ació aci ón 2 2 = x 2 ? os de esas raíces son evidentes: x = 2 y x = 4. Mas al trazar los gráficos de las funciones y = 2 x y y = x2, constatamos que hay una raíz negativa, como se ve en la figura de la derecha. Nos preguntamos: 1º ¿Es tal raíz un número racional o irracional? 2º ¿Es ¿Es posibl posiblee obtene obtenerla rla por un proce proceso so puram purament entee algebr algebraic aico? o? Estamos condicionados a preferir métodos “algebraicos”, fórmulas tales romo la de la ecuación d 2º grado, o artificios específicos para cada ecuaci6n que enfrentamos. Al adoptar este punto de vista, no obstante, estamos olvidando dos aspectos: a) Una “fórmula cerrada”, como la que existe para ecuaciones 2º, 3º Y 4º grado, es muchas veces una victoria ilusorio; siquiera nos da una idea del orden de la magnitud de las soluciones; b) Todo proceso de resolución de una ecuación recae, tarde o temprano en un cálculo numérico que dará el resultado final, con las aproximaciones deseadas. En el caso en cuestión, la raíz negativa de la ecuación 2x = x2 puede ser obtenida, de modo simple, por el método de las aproximaciones deseadas. El resultado es x = -07666646959, con 10 cifras decimales exactas. Ahora abordemos las preguntas. La primera respuesta es negativa, esto es, la raíz negativa de la ecuación propuesta es un número irracional. Esto se prueba por reducción al absurdo. Supong Supongam amos os que p/q fuese fuese una fracc fracci6n i6n irredu irreducib cible le positiv positivaa tal que 2 –p/q = (- p/q)2 Eliminando denominadores y elevando ambos miembros a la potencia q, tendríamos entonces 2 p.p2q = q 2q Ahora bien, si p es impar, el primer miembro de esta última igualdad es un entero que contiene un número impar de factores iguales a 2, mientras que el segundo miembro contiene un número par (tal vez cero) de (actores 2. Si, al contrario, p es par entonces q será impar; luego el primer miembro es divisible por 2, mas el segundo no lo es. De cualquier manera, se tiene la contradicción: no existe número racional r = p/q tal que 2-r = (-r)2, donde r > 0. La segund segundaa pregun pregunta ta equiva equivale le a indaga indagarr si nuest nuestra ra soluc solución ión negati negativa va es un número número algebr algebraic aico. o. Recordemos que un número (real o complejo) se llama algebraico cuando es raíz de alguna ecuación del tipo p (x) = 0, donde p(x) es un polinomio con coeficiente enteros. Por ejemplo, todo número que se obtiene a partir de números racionales, sometiéndolos a un número finito.de finito.de operacio operaciones nes de adición, adición, sustracc sustracci6n, i6n, multiplica multiplicación, ción, división y extracció extracción n de raíces raíces (de cualquier índice) es algebraico. Un número que no es algebraico se llama trascendente. Por ejemplo, π y e y e son son números trascendentes. La respuesta a la segunda pregunta también es NO. La raíz negativa de la ecuación 2 x = x2 no puede ser obtenida por métodos puramente algebraicos, porque es un número trascendente.


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Planteo de

Ecuaciones Objetivos 1. Revis Revisar ar los princ principi ipios os básico básicoss para para la resol resoluci ución, ón, princip principalm alment ente, e, de ecua ecuacio ciones nes de prime primero ro y segundo grado.con una incógnita y la resolución de sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas. 2. Ejercitar la capacidad de comprensión de textos (enunciados de los problemas) de diversa índole para su posterior simbolización. 3. Desarrollar la capacidad de abstracción para representar y relacionar simbólicamente los datos de un problema con las variables elegidas para las incógnitas. 4. Comprender y asimilar de manera adecuada la solución de los problemas planteados. 5. Relacionar e interpretar matemáticamente hechos cotidianos.

Introducción En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad… realidad… ¿Cómo “traducir” “traducir” una situación situación real que involucre involucre el aspecto aspecto matemá matemático tico al lenguaje lenguaje propio de la matemática? matemática? Esto no es sencillo, requiere de una gran capacidad capacidad de observación y abstracción. Cierto Ciertoss proble problema mass reales reales pueden pueden ser traduc traducido idoss al lengua lenguaje je algebra algebraico ico media mediante nte una una expres expresión ión numérica llamada ecuación en la que una o más cantidades son desconocidas. Para encontrar dichas cantidade cantidadess debemos debemos ejercitamos ejercitamos previamente previamente en diferente diferentess cuestione cuestioness básicas, básicas, y una de ellas es desa desarro rrolla lla la capa capaci cida dad d de abst abstra racc cció ión n cuan cuanti tita tativ tiva, a, es deci decirr la capa capaci cida dad d para para repr repres esen enta tar r simbólicamente la cantidades y las relaciones existentes entre ellas. El meollo meollo del del asunt asunto, o, sin embargo embargo,, es la dificu dificulta ltad d que un estudi estudiant antee encue encuentra ntra al mome momento nto de enfren enfrentar tar un proble problema ma enunc enunciad iado o en forma forma de texto, texto, cuya cuya soluci solución ón requi requiere ere ineluc ineluctab tablem lement entee la transformación de aquello que está en forma verbal a la forma matemática cuyo lenguaje es simbólico. No es tarea sencilla pero puede serio si ponemos en su realización voluntad y constancia. “Estamos convencidos que la capacidad de plantear y resolver una ecuación refleja, en buena parte, el nivel que ha alcanzado un estudiante en el estudio del álgebra. Más que la asimilación de reglas y procedimientos algorítmicos, requiere tener una comprensión comprensión de las operaciones operaciones elementales elementales con expresiones algebraicas y una iniciativa para emprender un procedimiento de resolución creativo y óptimo. La ecuación, que es la parte sustantiva de las matemáticas, tiene el mayor número de aplicaciones como herramienta de resolución de problemas


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NOCII ONES PREVI NOC PREVI AS Antes de entrar al tema de planteo de ecuaciones daremos algunos alcances teóricos.

¿Qu ¿Qué é es u n a i denti dent i dad? Es una igualdad absoluta que se verifica para todo valor que asuman las variables involucradas. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

Ejemplo: Si a = 1; b =2

⇒

9

9

Si a = 2; b = 2

⇒

16

16

Si a = 3; b = -1

⇒

4

4

¿Qu ¿Qué é es u n a ecuaci cu aci ón ? Es una relac relación ión de iguald igualdad ad que se estab establec lecee entre entre dos expre expresio siones nes algebr algebrai aica cass que tienen tienen como como mínimo una variable. Esta igualdad puede verificarse o no y si es que se verifica, esto ocurre para un valor de su variable o un determinado conjunto de valores asignados a sus variables. Además a las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se llaman soluciones de la ecuación. Así: Se suele decir también que una ecuación es un enunciado abierto o igualdad relativa. De acuerdo a esto, se tiene: Ejemplo: 3x + 12 = 42 Para Para x = 8

; 3(8 3(8)) + 12 = 36 36

Para Para x = 9

; 3(9 3(9)) + 12 = 39 39

Para x =10 =10 ; 3(10) + 12 = 42 Para Para x = 11 ; 3(11) 3(11) + 12 = 45 45 ⋮

⋮

⋮

⋮

Luego el único valor que verifica la igualdad es x = 10 Dadas 2 expresiones algebraicas relacionadas de la siguiente manera: M (x; (x; y; z;…) ;…) 1er. Miembro

=

N (x; (x; y; z;…) ;…) 2do. Miembro

Donde M y N son expresiones matemáticas. Ahora, transponiendo términos podemos llegar a lo siguiente: M (x; (x; y; z;…) z;…) – N (x; (x; y; y; z;…) z;…) = 0 F(x; y; z;…) = 0

⇒

Forma general de una ecuación


100

Planteo de Ecuaciones

ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

Observación:

Ejemplo: (x – 3) (x + 2) (x – 5) = 0 Dependiendo de F(x) una ecuación puede ser:

Ecuaciones Al gebraicas 3

Resolución: x–3=0

∨

x+2=0

∨

x–5=0

x =3

∨

x = -2

∨

x= 5

2

x – 5 x + 3 = 0 Ecuación polimonial 5 x



1 x  2

=0

x  3 – x = 0

Ecuación fraccionaria

2 x – 4 x + 1 = 0

Ecuación exponencial

Log x – x 3 = 0

Ecuación logarítmica

Sen x –

3

=0

Nota:

Ecuación irracional

Ecuaciones Tr ascendentes

1

Entonces: C. S.= {-2; 3; 5}

Ecuación trigonométrica

No debes olvidar que resolver una ecuación significa determinar el conjunto solución

CLASIF I CACIÓN DE L AS ECUACI ONES SEGÚN SUS SOLUCI ONES

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

De acuerdo a ello pueden ser compatibles o incompatibles.

Es aquel valor que admite la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.

Ecuación compatible

Ejemplo: x3 = x

Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. Se subdivide en:

Si: x = 0

⇒

03 = 0

(V)

Si: x = 1

⇒

13 = 1

(V)

Si: x = -1 ⇒ (-1)3 = -1 Si: x = 2

⇒

23 = 2

(V) (F)

Vemos que 0, 1, -1 son soluciones de dicha ecuación.

• Ecuación compatible determinada. • Ecuación compatible indeterminada.

Ecuación compatible determi nada Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplo:

CONJUNT O SOLU CI ÓN DE UNA ECU ACI ÓN (C. S.)

(x – 3) (x + 5)(x – 7) = 0 C. S. = {-5; 3; 7}

Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación:

Ecuación compatible in determi nada

Ejemplo: (x – 3)5 (x + 5) (x – 7)8 = 0

Es aquella que tiene un número ilimitado de

Vemos que las soluciones son: 3; -5; 7; entonces su C. S. = {-5; 3; 7}

elementos en su conjunto solución.

Para determinar el conjunto solución de una ecuación se utiliza el siguiente teorema:

Ejemplo: 2(x – 3) = 2x – 6

Razonamiento M atemáti co

101


Esta igualdad cumple para cualquier valor numérico que se le asigne a la variable x

Ecuación Incompatible Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir no existe valor numérico que asignado a la variable verifique la igualdad. Ejemplos:

5 x  3

Determine las condiciones que debe cumplir el parámetro real a para que la ecuación en x: a2 x – a2 = 3ax – 5a – 2x + 6 Sea: I. Compatible determinada. II. Compatible indeterminada.

• 0x = 5 •

Ejemplo:

III. Incompatible.

+ 5x = 3 +

5 x  3

Resolución: Transponiendo términos tendremos:

•

1 x  3

=0

a2x – 3ax + 2x = a2 – 5a + 6

Observación:

De acuerdo a lo expuesto haremos un estudio de la ecuación: ax = b Dada la ecuación:

a x = b

Donde: x : incógnita a; b : parámetros Podemos indicar que: A. La ecuación será compatible determinada Si: a ≠ 0 B. La ecuación es compatible indeterminada, Si: a = 0 ∧ b = 0

Factorizando: x(a2 – 3a + 2) = a2 – 5a + 6 Despejando: x =

(a  3)(a  2) (a  1)(a  2)

⇒ x

=

a 3 a 1

Ahora pasemos a determinar las condiciones que debe cumplir el parámetro real a para cada caso: I. Para que la ecuación sea compatible determinada deberá ocurrir: a – 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ l II. Para que la ecuación sea compatible indeterminada se tendrá: a – 1 = 0 ∧ a – 3 = 0 a = l ∧ a = 3 III. Para que la ecuación sea incompatible:

C. La ecuación es incompatible,

a – 1 = 0 ∧ a – 3 ≠ 0

Si: a = 0 ∧ b ≠ 0

a = l ∧ a ≠ 3


102


ECUACI ONES LI NEALES Se denomina ecuación lineal a la ecuación polinomial de la forma:

2 x – [-2 x – 2 + 10] = 2(10 – x) + x

Resolución: ax + b = 0

; a ≠ 0

Donde: C.S. = { 

b a

2x + 2x + 2 – 10 = 20 – 2x + x

}

4x – 8 = 20 – x 4x + x = 20 + 8

Ejemplos: • 3x – 9 = 0

⇒ C.S.

• 5x – 7 = 0

7  ⇒ C.S. =   5 

5x = 28

= {3}

Halle x en: 2x + 10 = x + 30

Calcule x en: x  1

Resolución:

2 2x + 10x = x + 30 2x – x = 30 – 10

x 3



x



2

1 6

Multiplicando ambos miembros por 6:

 x  1 x   x 1     6   3   3  2 6 

6

EJERCICIO 2 Calcule x en: + 10 = x +



Resolución:

x = 20

3

5

EJERCICIO 4

EJERCICIO 1

x

28

x=

3(x + 1) + 2x = 3x + 1 20

3x + 3 + 2x = 3x + 1

3

2x = 1 – 3

Resolución: x= -


 x   20   10  = 3  x   3   3  

∴ x

3

x + 30 = 3 x + 20 10 = 2 x x = 5

2 2

= -1

= -1

EJERCICIO 5 Calcule el valor de a en: am m



an n

=l

EJERCICIO 3

Resolución:

Halle x en:

Multiplicando en aspa:


103


n (a  m)  m(a  n ) mn

=1

EJERCICIO 6 Halle x en:

na + nm + ma + mn = mn x=

na + ma = -mn a(n + m) = -mn a=

x



6

x



12

x



7

x 2

+9

Resolución:

 mn nm


 x x x x      9  6 12 7 2 

84x = 84 

∴ a

= 

mn

84x = 14x + 7x + 12x + 42x + 9 × 84

nm

84x = 75x + 9 × 84 9x = 9 × 84 ⇒ x = 84

ECUACIONES CUADRATI CAS Se denomina ecuación cuadrática a la ecuación polinomial de la forma:

Resolución: x2 – 2 x – 3 x +

2

6 =0

; a ≠ 0

ax + bx + c

Ejemplo 1 Resuelva: x2 – 7x – 8 = 0

x

- 3

x

- 2 (x – 3 )(x – 2 ) = 0

Resolución: Factorizando (aspa simple)

De donde C. S. = { 3 ;

x2 – 7x – 8 = 0 x

-8

x

1

Fórmula General ax2 + bx + c

(x – 8) (x + 1) = 0

; a ≠ 0

Multiplicando por (4a):

De donde C. S. = {-1; 8}

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Ejemplo 2

Sumando y restando b2:

Resuelva: x2 –

2 }

4a2x2 +-4abx + b2 – b2 + 4ac = 0 2 x – 3 x +

6 =0

(2ax + b)2 = b 2 – 4ac


104


x2 – 3x – 18 = 0

Despejando:

− ±√ −4 = 2 Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática Donde: b2 – 4ac es el discriminante, además

∴ El

x

-6

x= 6

x

+3

x = -3

menor valor es x = -3

EJERCICIO 2 Halle el mayor valor de x 14

− +√ −4 = 2

x+

− −√ −4 = 2

Resolución:

x

=9

Multiplicando en aspa.

Siendo xl y x2 las raíces de la ecuación.

x 2  14

Ejemplo 3

x

=9

x2 + 14 = 9x

Resuelva aplicando la fórmula general: 4x2 – 5x – 51 = 0

x2 – 9x + 14 = 0

Resolución:

x

-7

x=7

x

-2

x=2

x=

 ( 5)  (5) 2  4(4)(51) 2( 4) 5  841

x=

⇒

8

x=

El mayor valor es x = 7 5  29 8

EJERCICIO 3 Halle x en:

Luego, se obtiene las siguientes respuestas: xl =

x2 =

5  29



8

34



8

5  29 8



17 4

 24 8

x (3x + 4) = 15

Resolución: 3x2 + 4x = 15

= -3

3x2 + 4x – 15 = 0

EJERCICIO 1

3x

-5

x = 5/3

Halle el menor valor de x

x

+3

x = -3

x2 + 10 = 3x + 28

∴ C.S. = {-3 ; 5/3}

EJERCICIO 4

Resolución: x2 – 3x – 18 = 0 Aplicando aspa simple:

Halle x en: x2 – (m + n) x + mn = 0


105


Resolución:

Resolución:

Por aspa simple:

Multiplicando todo por 3x

x - (m + n)x + mn = 0

 3 x    3x  = (x) (3x)  x 3 

(3x) 

x

-m

x=m

x

-n

x=n

∴ C.S = {m; n}

9 + x 2 + 9x 2 = 3x 2 7x2 = -9 ⇒ x2

= 

9

(el cuadrado de un 7 número real es positivo = x ∊ C)

EJERCICIO 5 Halle: x2 en: 3 x



x 3

+ 3x = x ; x ∊ C

SISTEMA DE ECUACIONES Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende obtener en caso que existan. La solución del sistema de ecuaciones es todo conjunto de valores de las incógnitas que verifican a la vez todas las ecuaciones del sistema. Resolver el sistema es precisamente encontrar su solución o demostrar que es INCOMPATIBLE o ABSURDO.

Por ejemplo el sistema: x + y = 10 x–y=2 Es compatible y determinado, puesto que su solución es: x = 6 e y = 4

INDETERMINADA Si tiene un número ilimitado de soluciones.

Por ejemplo, el sistema. Por ejemplo, el sistema: x + 2y = 4 2x + 4y = 5

(1) x+y+z=2

(1)

2x + 2y + 2 = 5

(2)

(2)

Es incompatible porque al multiplicar por 2 la primera ecuación resulta 2x + 4y = 8 lo que contradice a la segunda ecuación. Si el sistema tiene al menos una solución se dice que es COMPATIBLE, y a su vez puede ser:

Es compatible e indeterminado, porque admite un número ilimitado de soluciones como: x = 0; y = 3; z = -1 x = 1; y = 2; z = 1

DETERMINADA Si tiene un número limitado de soluciones.


106


∴

Observación:

x - z = 16

EJERCICIO 2 Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que que sus ecuaciones son simultaneas, indicando con ello que los valores de las incógnitas deben verificarse simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Si:

2x + y = 26 x – y = 10

Halle x. y

Resolución: Si el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones del sistema, generalmente, el sistema es indeterminado.

Sumando las dos ecuaciones: 2x + y = 26

Si las ecuaciones del sistema son de primer grado, el sistema se llama lineal; si al menos una de las ecuaciones es de 'segundo grado, se llama cuadrático, etc.

x – y = 10 3x = 36 x = 12 Reemplazando en la segunda ecuación:

Seguramente recordarás que hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

12 – y = 10 y= 2

Método de reducción o de Gauss. Método de sustitución. Método de igualación.

x2 – y2 = 12

Si:

x– y =2 Hallar el valor de x.

Resolución: x2 – l = (x + y) (x – y) = 12 2 ⇒ x +

x + y = 28 y + z = 12

y=6

Luego:

x+y=6

; Halle x – z

x–y=2

Resolución:

2x = 8

Restando las 2 ecuaciones: x + y = 28

= 24

EJERCICIO 3

EJERCICIO 1 Si:

xy =12 × 2 = 24

∴ xy

Método de determinante. Vamos a resolver, a continuación, algunos ejercicios empleando indistintamente los tres primeros métodos y daremos al final de los ejercicios un breve alcance acerca del cuarto método.

⇒

∴ x

=4

1y + z = 12


107


Ej ercicios Propuestos I).- Halle el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones: 1

1.- 2x +



3

2.-

8x + 7y = 22

x 3

1

3.-

=2 +

a

xb  a



x  y = 6

x x  y = 2

a

xa  b

a

4.-

d

5.- x - [m (- n + 1)] + 1 = mx 2

3



x

2x

a +

b =4

2 a + 3 b = 12

4.- (m + x) [n - m] = 1

6.-

7

–1 3.-

2.- 4x +

50

7x – 8y =

5.- Si:

= 10 6.-

a  b –

a  b = 2

a  b +

a  b = 6

a + b = 10 b + c = 12

II).- Despeje x en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1.- 30x2 + x 2 = 20 2 + (50 – x)2 2.-

x ( x  1) 2

3.- x +

4.-

a +c = 8 7.-

x + y + z = 12 x–y+z=8

= 66

z= 4

16x 2 9

+ 2 = 2x2

(100  x )20



3x

8.-

15x

1 x 1

100  x



1



y



y

1

1 8



z

1 2

5.- (x – 1)2 + x 2 + (x+1)2 = (x+2)2 + (x+3)2 1 z III).- Resue.lva los siguientes sistemas de ecuaciones

3x + y = 8 x–y=4

1 x



1 4

IV).- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Crámer: 1.-

1.-



4x + 3y = -2 3x + 4y = -5

2.-

3a + 4b = 10 2a + 6b = 10


108


3.-

2x + y = 14 3x – 2y = 7

4.-

3m + 2n + 2p = -1 4m – n + p = -3 2m + n + 4p = 2

5.-

3x + 3y + z = 2 4x + 2y = -2

V).- Resuelva para valores enteros (Dé la solución general) 1.- 49x + 99y = 1034 2.- 33x + 32y = 553 3.- 18x + 17y = 55 4.- 3x + 7y = 83 5.- 9x + 5y = 101

5x + y + z = -2

El Ar te de Plantear una Ecuación Un problema muy remoto que se solían plantear los juristas romanos decía: "Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas que le dejó su marido. Si nacía una niña, la madre, de acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño, la madre recibía la mitad de la parte del hijo. Pero ¡nacieron mellizos: un niño y una niña!"

Observemos el siguiente esquema:

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta a S/.500 cada parte. ∴

El reparto debe efectuarse del siguiente modo Niña

→ S/.500

Mamá

→ S/.1000

Niño

→ S/.2000

Como podemos observar, para resolver el problema, luego de interpretar adecuadamente el texto, hemos ido transformando las condiciones en una igualdad que bien pudo haberse incluido variables para originar una ecuación. ¿Cómo hay que dividir la herencia para cumplir con las condiciones impuestas por dicha ley?

Niña x

mamá +

2x

niño +

4x = 3500 7x = 3500

Resolución:

∴ x

= 500


109


Veamos otro caso:

Resolución

El Combate de Tir ar de una Cuerda

En el último caso se puede reemplazar al perro por 2 señoritas y un joven (y esto gracias a la parte II) entonces tendremos un enfrentamiento entre cinco señoritas más un joven a la izquierda y cuatro jóvenes a la derecha.

I.- Cuatro jóvenes jalan la soga tan fuerte como cinco señoritas

II.- Dos señoritas y un joven jalan la soga tan fuerte como un perro

III.- El perro y tres señoritas se enfrentan ahora con cuatro jóvenes

Luego, se deduce que el grupo de 5 señoritas y 1 joven ganará el lance. El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamente importante para la resolución de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos, variables o incógnitas. A continuación, resolveremos a modo de ejercicio la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica matemática.

¿Qué lado ganará en este último caso?

ENUNCIADO (Forma Verbal) * La suma de dos números consecutivos más 3 * Yo tengo S/. 20 más que tú

EXPRESIÓN MATEMÁTICA (Forma Simbólica) ⇒

(x) + (x + 1) + 3

Lo que yo lo que tú Tengo = 20 + tienes 2

* El cuadrado de la suma de dos números x é y

⇒ (x + y)

* La suma de los cuadrados de dos números x é y

⇒ x

* El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20.

⇒

4y + 20;

* El cuádruple, de lo que tengo aumentado en 20.

⇒

4(y+20);

2

yo: 20 + x tú: x

+ y2 tengo: y tengo: y


110


* Yo tengo S/.40 menos que tú o también se dice tú tienes S/.40 más que yo.

* A excede a B en 4; lo cual se puede enunciar como: A es mayor que B en 4. El exceso de A sobre B es 4. B es excedido por A en 4. La diferencia entre A y B es 4.

⇒ y = x – 40;

yo : x – 40 tú : x

⇒A

–B=4

A: x + 4 B: x

= 2B

A: 2K B: K

* A es el doble de B o equivalentemente: A es dos veces B. B es la mitad de A. ⇒A

Aquí también podemos afirmar que A tiene una vez más de lo que posee B. Entonces la frase equivale a

* A es dos veces más que B, o A es dos veces mayor que B.

⇒

A tiene el triple de lo que tiene B ó A tiene dos veces más de lo que tiene B. En resumen: Una vez más < > el doble. Dos veces más < > el triple. Tres veces más < > el cuádruple * A es a B como 3 es a 5. la relación entre A y B es 3/5 A y B están en la razón de 3 a 5. A es a 3 como B es a 5.

⇒

A B



3 5

;

A: 3k

y

B: 5k


111


rojas

* Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.

⇒

* Tres menos dos veces un número x.

⇒ 3

* Tres menos de dos veces un número x.

⇒ 2x

* El producto de cinco números consecutivos es m. * Tú tienes el doble de mi dinero que es S/.30 más que el dinero de él. * Si tú me das S/.20, entonces tendremos igual cantidad de dinero.



azules

3 4

; rojas: 3k y azules: 4k

- 2x –3

⇒ (x)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m

(a – 2)(a – 1) (a) (a + 1)(a + 2) = m El: ⇒ Yo: Tú: ⇒

x 30 + x 2(30 + x)

Yo : S/. a Tú : a + 40

;

Tú: Yo: El:

2k k k-30

notemos que si tú me das S/.20, entonces tendremos Lo mismo

Conclusión: Ahora podemos concluir que en líneas generales plantear una ecuación consiste básicamente en realizar la tarea que indica el siguiente esquema

Forma Verbal Enunciado

Forma Simbólica Traducción

Lenguaje matemático

Veamos la aplicación en algunos ejemplos.

6x - 3x = 9

Ejemplo 1

3x = 9

x= 3

Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es nueve soles más de lo que tú tendrás. ¿Cuánto más que tú es lo que tengo?

Luego: Yo

⇒ 9

Tú

⇒ S/.3

+ 3(3) = 18

∴ 18 – 3 = S/.15

Resolución: Tú Tenías

Tú Tienes

Tú Tendrás

2x

x

3x

Si tuvieras: x + 2x+ 3x = 6x

Lo que yo tengo

Ejemplo 2 En un salón de clase, si los alumnos se sientan de 3 en 3 se quedarían de pie 8 alumnos. En cambio, si se sientan de 4 en 4, una carpeta quedaría vacía. Halle el número de alumnos.


112


Según Pedro; si Carlos le da 10 canicas, dice que tendría el triple de las que le queden a Carlos.

Resolución: Sea el número de carpetas igual a n.

Caso 1

Caso 2

3

4

3

4

3

4

⋮

⋮

⋮

⋮

3

4

3

vacía

n Carpetas

Carlos

Pedro

a

a + 10 +10

a – 10

n Carpetas

+8 de pie

⇒ a

a + 20

+ 20 = 3(a – 10)

Resolviendo a = 25 ∴

# Canicas de Carlos: 25 # Canicas de Pedro: 35

Ejemplo 4

# De alumnos 3(n) + 8 = 4(n – 1)

∴ # alumnos: 3(12) + 8 = 44

Halle un número entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del número sobre 8.

Ejemplo 3

Resolución:

Resolviendo: n = 12 carpetas

Recordando que el exceso equivale a una diferencia entre dos cantidades y siendo n el número en referencia podemos plantear:

¿Cuántas canicas tienen Carlos y Pedro?

Resolución: Según Carlos, si Pedro le entrega 5 canicas quedarían igualados; entonces deducimos que Pedro tiene más canicas que Carlos, exactamente 10 canicas más. Así:

Por dato:

décuplo

n2 – 119 = 10(n – 8) n2 – 10n – 39 = 0

Carlos

Pedro

a

a + 10

n

-13

→ n

= 13

n

+3

→n=

-3 se descarta


113


Recuerde que n es positiva, por dato. ∴ El número es 13.

Ej ercicios Propuestos PROBLEMA 1

Resolución:

En una feria, Isabel juega el “tiro al blanco” con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá a soles y pagará b soles por cada uno de los que falle. Después de n tiros ha recibido c soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?

Resolución:

Hombres

3n

4n

Antes:

-6 Ahora: Luego:

Efectúa n tiros

Mujeres

3n  6 4n  3

+3

3n – 6



3

⇒

5

4n + 3 n = 13

Entonces, ahora hay 33 mujeres y 55 hombres. Acierta

No acierta

x Tiros

n–x Tiros

C/u:S/. a

C/u: S/. b

Digamos que deben llegar x mujeres para que la relación sea de 1 a 1. Cuando dos cantidades están en relación de 1 a 1 significa que deben ser iguales. ⇒ 33

Como recibe una cantidad de e soles, se deduce que lo que él gana por los aciertos es mayor de lo que él paga por los que no acierta; por lo tanto, la diferencia es lo que recibe. Recibe: ax – b(n – x) = c ∴ x

=

bn  c a  b

+ x = 55

x = 22

PROBLEMA 3 Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

Resolución: Sea x el número de escalones de la escalera.

PROBLEMA 2 En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1.


114


En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso, por lo tanto: x



4

x 5

Resolución: Supongamos que intercambiamos x manzanas.

=3

Resolviendo: x = 60 ∴ La escalera tiene 60 escalones

PROBLEMA 4 Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros, gasto S/.44; pero si compro 7 lapiceros y 3 cuadernos, gasto S/.36. ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuánto 1 lapicero?

Resolución: Costo de 1 cuaderno: S/. C

Por 1 manzana que intercambiamos de cada caja, la que sale de la 1ra. caja pesa 10 g y la que sale dela 2da., pesa 25 g; entonces la 1ra. caja gana 15 g y la 2da., pierde 15 g. Luego si intercambiamos x manzanas, la 1ra. Caja gana 15x g y la 2da., pierde 15x g, entonces ambas cajas tendrán el mismo peso.

Costo de 1 lapicero: S/. L De los datos:

Es decir: 840 + 15x = 1350 – 15x

7C + 3L = 44 … (1)

x = 17

3C + 7L = 36 … (2) (1) + (2): 10(C + L) = 80 ⇒ C + L = 8 (1) - (2): 4(C – L) = 8

⇒ C

+

–L=2 2C = 10 C = 51 L = 31

Por lo tanto: 1 cuaderno cuesta: S/. 5

PROBLEMA 6 Lo que tú ganas y lo que yo gano suman S/.600. Si tú ganaras S/.80 más y yo S/.80 menos, tendríamos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenemos cada uno?

Resolución: De los datos podemos plantear lo siguiente: Tú

Yo +

1 lapicero cuesta: S/. 3 +80

PROBLEMA 5 Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10 g cada una y otro cajón con 54 manzanas de 25 g cada una. ¿Cuántas manzanas deben intercambiarse para que, sin variar el número de manzanas de cada cajón, ambas adquieran el mismo peso?

= 600 -80

=

Entonces, de la condición final, retrocedemos así:


115


Tú 220

+

Yo

Compra

380

19

-80 300

∴ Yo

+80 =

300

Le regalan +

4

× 17

= 600

323

Recibe =

23

× 17 +

68

× 17 =

391

Estas dos cantidades serían iguales

Entonces el número de carteras que compró es

tengo S/.380 y tu tienes S/.220

323.

PROBLEMA 7 El papá de José acude al hipódromo con S/.4300 y cuando ya ha perdido S/.700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿Ganó o perdió? ¿Cuánto?

Además por el dato, el costo de cada cartera es de S/.75 ∴ Inversión = 323(75) = S/.24225

PROBLEMA 9 Halle dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. Dé como respuesta el consecutivo del mayor de dichos números.

Resolución: Al inicio tenía: S/.4300 Dinero: S/. 4300

Resolución: No ha perdido: x

Ha perdido: x + 700

⇒ 2x + 700 = 4300

x = 1800

Sean los números: n y (n + 1) Luego, del enunciado planteamos:

Entonces, le queda: S/. 1 800, Luego apuesta lo que le queda y lo triplica: ⇒ 3(1800) = 5400

Ahora tiene: S/. 5400

n + (n + 1) =

1 4

(n) +

5 3

(n + 1) ⇒ n = 8

Los números son: 8 y 9 ∴ El consecutivo del mayor es 10

∴ Ganó: 5 400 – 4 300 = 1 100 soles

PROBLEMA 10

PROBLEMAS

En una granja se observa 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie?

Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra. Si recibió en total 391 carteras, ¿cuál fue la inversión del comerciante?

Resolución: Del enunciado:

Resolución: Sea el número de cerdos igual a x entonces, como en total son 40 animales, el número de gallinas es igual a 40-x (estamos usando sólo una variable) . Luego, el número total de patas es 100 y sabemos que cada cerdo tiene 4 patas y cada


116


gallina tiene 2 patas, entonces podemos plantear:

Por dato, en total tengo 56 soles Entonces:

4x + 2(40 – x) = 100

10(x + 2) + 2x = 56 10x + 20 + 2x = 56

4x + 80 – 2x = 100 ⇒ x

x =3

= 10

Luego:

Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas. Nos piden la diferencia de estos números, es decir, ∴ 30

# monedas de 10 soles = 5 # monedas de 2 soles = 3

– 10 = 20.

∴ Tengo 5 + 3 = 8 monedas

Nota:

PROBLEMA 12 Estimado lector, lo que se ha explicado en la resolución del problema 10, se puede esquematizar en el siguiente cuadro:

Cerdos

Gallinas

# animales:

x

40 – x

# patas:

4x

80 – 2x

Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en las sillas como en las mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos artículos vendió, si las mesas las vende a S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 9 600 en total?

Resolución: Sea el número de mesas que vendió igual a x entonces el número de sillas es igual a x + 3.

Total de patas: 40x + 80 – 2x = 100 ⇒ x = 10 De la recaudación total, que es 9 600 soles, a las sillas le corresponde 4 800 soles y a las mesas también 4800 soles, esto es, según el dato del problema.

Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas Nos piden: 30 – 10 = 20

Cada mesa lo vendió en

PROBLEMA 11 Tengo 56 soles entre monedas 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad de monedas que tengo.

Resolución: Sea el número de monedas de 2 soles igual a x, entonces:

# monedas: Valor en soles

Monedas de S/. 10

Monedas de S/. 2

x+2

x

10(x + 2)

2(x)

Cada silla lo vendió en

4800 x

soles

4800 soles x3

Pero, por dato, cada mesa lo vende a 360 soles más que cada silla. Esto significa que la diferencia de precios es de 360 soles, entonces planteamos la siguiente ecuación: 4800 x

–

4800 x3

Simplificando:

= 360 40 x



40 x3

=3

Resolviendo: x = 5


117


∴ Vendió 5 mesas y 8 sillas, o sea que vendió:

Nota:

5 + 8 = 13 artículos. Este problema se puede resolver, utilizando un grafico y considerando las ecuaciones (1) y (2)

PROBLEMA 13

120x

Para ganar S/.180 en la rifa de un televisor, se hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y originándose así una pérdida de S/.45. ¿Cuál es el valor de dicho televisor?

75x Se observa que:

Resolución: En este ejercicio nos sugieren comparar el valor del televisor con el de la venta de cierta cantidad de boletos. Cuando hay ganancia es porque lo que se obtiene de la venta excede al costo del televisor y cuando hay pérdida es el caso inverso.

Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles

 Costo   + 180 T . V .  

Entonces: 120x = 

… (1)

Pero, sólo se vendió 75 boletos y se perdió 45

 Costo   – 45 soles, entonces: 75x =  T . V .  

… (2)

Restamos miembro a miembro (1) y (2):

 Costo    Costo    180     45  T.V.   T.V.  

120x – 75x = 

45x = 225 x= 5 Reemplazamos en (1):

 Costo   + 180  T.V. 

120(5) = 

costo del TV es 420 soles

180 45

120x = 75x + 45 +180 45x = 225 x =5

∴ Costo

T.V. = 75(5) + 45 = 420 soles

PROBLEMA 14

Sea el precio de cada boleto: x soles

∴ El

Costo T.V.

Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8, le faltaría S/.12 y si adquiere entradas de S/.5, le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tienen el matrimonio?

Resolución: Sea el número total de personas igual a x; si compra entradas de 8 soles le faltaría 12 soles; entonces el dinero que tiene no le alcanza, por lo tanto: 8x = (Dinero que tienen) + 12 … (1) Si compra entradas de 5 soles, le sobraría 15 soles, asea: (Dinero que tienen) = 5x +15

… (2)

Reemplazamos (2) en (1): 8x = (5x + 15) + 12 3x = 27

⇒

x= 9

Entonces son 9 personas en total, incluidos el papá y la mamá. ∴ El número de hijos es: 9 – 2 = 7


118


∴ Hay 12 niños

Conclusión:

PROBLEMA 16 Graficamente 8x Dinero 5x

12

Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy entonces me quedaría sin dinero alguno; pero en cambio, si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar S/.10 más de lo que gasté realmente ayer. ¿Cuánto gasté ayer?

15

Resolución: Entonces

5x + 15 + 12 = 8x Sea lo que gastó ayer igual a 2x x =9

∴ #

De la primera parte: "Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy y me quedaría sin dinero", tenemos:

hijos = 9 – 2 = 7

Ayer Hoy mañana

PROBLEMA 15 Si a cada niño de los que tengo le entrego tantos caramelos como niños hay, me faltaría 12 caramelos; pero si le entrego a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sobraría lo mismo que me faltaba. ¿Cuántos niños tengo?

2x

2x

x

⇒

Total = 5x

… (1)

La suma 5x se acabaría. Luego: "Si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar 10 soles más de lo que gasté realmente ayer", entonces:

Resolución: Ayer

Hoy

Sea el número de niños igual a x. x Sea el número de caramelos que tiene igual a C. Si a cada niño le entrega tantos caramelos como niños hay, es decir, x caramelos, faltaría 12 caramelos. Esto significa que los caramelos que se dispone no alcanzarían, es decir:

2x + 10 ⇒ Total = 3x + 10

… (2)

Como el total es el mismo, igualamos (1) y (2): 5x = 3x + 10 x= 5 ∴ Ayer gasté: 2(5) = S/.10

x . x = C + 12 … (1) Pero, si le entrega a cada niño 2 caramelos menos, es decir x-2 caramelos, sobraría 12 caramelos, es decir: C = x (x – 2) + 12

… (2)

Reemplazamos (2) en (1): x2 = (x 2 – 2x + 12) + 12 x = 12

PROBLEMA 17 Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos S/. 60. ¿Cuánto tenemos entre ambos?


119


Resolución: Sea lo que yo tenía igual a x soles y lo que yo tengo igual a y soles.

Luego, de la condición final del problema:

Entonces, según las condiciones:

Al Inicio

Al Final

x

y

2y

3x

Yo El

Esto significa que cada vaca cuesta como 7 y que cada caballo como 2. Digamos que sean 7 soles y 2 soles respectivamente.

 Pago total   por las vacas = 2  

 Pago total   por los caballos  

7(x) = 2[2(x + 30)] 7x = 4x + 120

Luego, por dato, lo que él tenía (2y) y lo que yo tengo (y) suman 60 soles, es decir: 2y + y = 60 ⇒ y = 20

x = 40 ∴ Total

de animales = 4(40) + 60 = S/.220

PROBLEMA 19

Además, el total al inicio y el total al final deben ser iguales, es decir: x + 2y = y + 3x x + 2 (20) = 20 + 3x ⇒ x = 10 Entonces yo tengo 20 soles y él tiene 30 soles. ∴ Entre ambos tenemos 20 + 30 = 50 soles

PROBLEMA 18 Un ganadero compró 30 caballos más que vacas y tantos cerdos como vacas y caballos juntos; además por 2 vacas pagó tanto como por 7 caballos. ¿Cuántos animales compró sabiendo que pagó por el total de vacas el doble que por los caballos?

Resolución:

Los ahorros de un niño consta de (p+1), (3p–5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros?, si al cambiarlo en monedas de 25 soles, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles.

Resolución: Recuerda que si multiplicamos el número de monedas de una denominación por el valor en soles de cada moneda, nos resulta el monto en soles. Entonces, el niño tiene:

De 5 soles

De 10 soles

De 20 soles

# p+1 3p – 5 p+3 monedas Monto 5(p + 1) 10(3p – 5) 20(p + 3) en soles

Sea el número de vacas igual a x. Total ahorrado

Entonces: # vacas #caballos x

x + 30

# cerdos 2x+30

Total ⇒ 4x

+ 30

Además: "Por 2 vacas pagó tanto como por 7 caballos", es decir: 2.(V) = 7.(C)

⇒ 5(p + l) + 10(3p – 5) + 20(p + 3)

Total ahorrado = 55p + 15

… (1)

Luego, al cambiar el total de sus ahorros en monedas de 25 soles, el número de monedas que obtiene, según el dato, es 2(p + 1). Entonces: el total ahorrado = 25. 2(p + 1) = 50p + 50

… (2)


120


Pero entendemos que sólo se ha cambiado el tipo de moneda mas no el total ahorrado, lo que significa que debemos igualar (1) y (2) así: 55p + 15 = 50p + 50 ⇒ p = 7 Reemplazamos p =7 en (2) ∴ Total ahorrado = 400 soles

PROBLEMA 20

En una familia se cuentan varios niños y niñas. Alguien les preguntó: "¿Cuántos son?" y la niña mayor responde que tiene tantos hermanos como 5 veces el número de hermanas; pero el niño mayor dijo que tenía tantos hermanas como 3 veces el número de hermanas. ¿Cuántos niños son en total?

Resolución:

Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yo tengo y tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para tener el doble de lo que tienes, resulta que lo mío y lo tuyo estarían en la relación de 5 a 4. ¿En qué relación se encontraban nuestras cantidades iniciales?

Resolución: Sea lo que:

PROBLEMA 21

Sea el número de hermanas de la niña mayor igual a x. Primero, la niña mayor dice que tiene tantos hermanos como 5 veces el número de hermanas, o sea: Niña mayor

Yo tengo =

x

Tú tienes =

y

Hermanas

Hermanos

x

5x

Donde, por condición del problema, x > y Te falta para tener lo que yo tengo = x – y Me falta para tener el doble de lo que tienes = 2y – x Luego, si yo te doy x yo tendría:

Entonces podemos deducir que:

– y y tú me das 2x – y,

Total de varones = 5x Total de mujeres = x + 1

x - (x – y) + (2y – x) = 3y – x A partir de esto, podemos indicar: Tú tendrías =

y + (x – y) - (2y – x) = 2x – 2y

Niño mayor

Entonces, la relación sería de 5 a 4, es decir: 3y  x 2x  2 y



5

Hermanas

5x – 1

x+1

4

De esta ecuación obtenemos: ∴

Hermanos

x y



11 7

Las cantidades iniciales estaban en la relación del 11 a 7

Luego, de lo que dice el niño mayor planteamos: 5x – 1 = 3(x + 1) x= 2


121


Finalmente, el número total de niños, entre varones y mujeres, es: 6x+ 1 = 6(2) +1= 13

PROBLEMA 22 En una fiesta hay tantos caballeros bailando como damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salen a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas personas habían inicialmente?

Resolución: Sabemos que en una fiesta, donde hay damas y caballeros, lo más lógico es que se baile en pareja, entonces podemos afirmar que: # Caballeros que bailan = # damas que bailan Luego, según los datos:

Caballeros

Damas

Bailan

n

n

No Bailan

0

n

Total:

n

2n

Luego, se retiran 20 caballeros y 70 damas entonces quedan: Caballeros

Damas

n – 20

2n – 70

palitos como tiene éste y lo mismo se hizo del tercero al primero, resultado al final los tres grupos con igual cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía el primer grupo al inicio?

Resolución: Nos piden averiguar primer grupo al inicio. Digamos que al inicio el número de palitos que había en cada grupo era: 1er. Grupo

2do. Grupo

3er. Grupo

x

y

z

Luego, del primero se pasa y palitos al segundo grupo, quedando así: 1er. Grupo

2do. Grupo

3er. Grupo

x–y

2y

z

Después, del segundo se pasa z palitos al tercer grupo, quedando así: 1er. Grupo

2do. Grupo

3er. Grupo

x–y

2y – z

2z

Finalmente, del tercero se pasa x – y palitos al primer grupo y quedan cada uno de los grupos con igual número de palitos, es decir con 48 + 3 = 16 palitos. Así:

Pero, por dato nadie se queda sin bailar, entonces el número de caballeros y damas que quedan son iguales, es decir:

1er. Grupo

2do. Grupo

3er. Grupo

2x – 2y

2y – z

2z – (x – y)

n – 20 = 2n - 70 ⇒ n = 50

16

16

16

∴ El

número total de personas que inicialmente fue 3n = 3(50) = 150

PROBLEMA 23 Se tiene 48 palitos de fósforos divididos en 3 grupos. Del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como tiene éste; luego, del segundo grupo se pasan al tercero tantos

Entonces: x–y

=

8

… (1)

2y – z

=

16

… (2)

2z – x + y

=

16

… (3)

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1)


122


y (3):

2z = 24 ⇒

z = 12

Reemplazamos z = 12 en (2): y = 14 Reemplazamos y = 14 en (1): x = 22 ∴ Al

inicio, en el primer grupo había 22 palitos

operaciones contrarias a las ya indicadas, por ejemplo, si en la ida se multiplicó por 2 ahora en el regreso se divide entre 2. Además, recuerda que en todo momento, el total de palitos es 48, es decir la suma de lo que hay en los tres grupos debe ser 48 palitos. Entonces regresamos de abajo hacia arriba, en el gráfico:

Nota:

El problema 23 se ha resuleto utilizando tres variables (x, y, z) para representar a las cantidades iniciales de palitos en cada grupo, ya que éstas eran desconocidas. Finalmente se llegó a plantear tres ecuaciones. Es decir, se ha dado una solución algebraica al problema.

Ahora lo que vamos a ver, amigo lector, es otra forma, otro método para resolver el problema, de modo que no se emplee variables. Esto es utilizando un procedimiento regresivo. Es decir, de las condiciones finales vamos a regresar a las condiciones iniciales. Cuando en el problema se afirma que del primer grupo se pasa al segundo tantos palitos como hay en éste se entiende que se le está duplicando la cantidad de palitos del segundo grupo. Así mismo ocurre, cuando se pasa palitos del 2° al 3° y del 3° al 1º. Podemos indicar lo que ocurre, en el siguiente gráfico:

∴ Al

inicio en el primer grupo había 22 palitos.

PROBLEMA 24 Cada vez que Raúl se cruza con Marcos, éste le duplica el dinero que lleva Raúl en ese momento y en retribución, Raúl le entrega 10 soles. Si se han cruzado 3 veces luego de los cuales Raúl tiene 250 soles y Marcos 100 soles. ¿Cuánto tenía cada uno al inicio?

Resolución: Sea al inicio:

Por Dato, al final

Raúl

Marcos

Raúl

Marcos

x

y

250

100

Pero entendemos que el total de dinero al inicio y al final deben ser iguales, es decir: x + y = 250 + 100

Ahora, lo que tenemos que hacer es regresar, del final al inicio. Para ello realizamos

… (1)

Cada vez que Raúl se ha cruzado con Marcos, el dinero que tenía Raúl, primero fue duplicado y después fue disminuido en 10 soles.


123


Raúl empezó con x soles, después del primer cruce tiene 2x - 10. Después del segundo cruce tiene 2(2x - 10) - 10 y luego del tercer cruce tiene: 2[2(2x – 10) - 10] - 10 = 250 Resolviendo:

… (2)

x = 40

• Después 4 de ellos dejan el juego por el baile. • Uno deja la charla por el juego. • Dos dejan el baile por la charla. Resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

Reemplazando x = 40 en (1), se obtiene:

Resolución:

y = 310 ∴ Al

inicio, Raúl tiene 40 soles y Marcos 310

soles

Conclusiones:

Al inicio bailan la cuarta parte del total de personas. Al final el número de los que bailan, juegan y charlan, son iguales. Es decir, el total queda dividido en tres partes iguales. Por eso es conveniente que el número total de personas tenga cuarta y tercera parte, es decir que sean como 12. Sea el número total de personas igual a 12x.

Hemos calculado lo que tenia Raúl, al inicio, mediante la ecuacion (2), pero ahora vamos a calcularlo usando un procedimiento regresivo. Como en el proceso de ida, cada vez que se crusaban, el dinero de Raúl primero fue duplicado y despues disminuido en 10 soles. Ahora en el proceso de regreso, hacemos lo contrario, primero sumamos 10 soles y despues dividimos entre 2. Así lo hacemos tres veces consecutivas a partir 250 soles. Al final 250

Entonces al inicio bailan: 3x Al final bailan: 4x Luego:

Al inicio 130

+10 +2

70 +10 +2

40

Para las personas plantear:

que

bailan, podemos

+10 +2 3x + 4 – 2 = 4x

Entonces, al inicio Raúl tenia 40 soles Resolviendo: x = 2 Fijate que se obtiene lo mismo que en la ecuacion (2).

∴ El número total de personas es 12(2) = 24

PROBLEMA 26 PROBLEMA 25 En una reunión, unos estamos jugando, otros charlando y bailando la cuarta parte de los reunidos.

Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el segundo, en 3 horas. Si cada cirio se quemó en forma constante. ¿Dentro de cuántas horas, después de haber encendido los cirios, la


124


altura del primero es el doble que la altura del segundo?

Resolución: Según los datos iniciales, los cirios son de igual altura, la cual equivale a la unidad. Uno se consume en 4 horas y el otro, en 3 horas.

PROBLEMA 27 De dos velas de igual calidad una tiene 24cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total?

Resolución: Cuando se afirma que son de igual calidad significa que si se prenden simultáneamente, entonces, después de un cierto tiempo lo consumido en uno es igual a lo consumido en el otro. Después de t horas de haber encendido ambos cirios, se consumen así:

Para el primero: En 1 hora ⇒

Para el segundo:

1

En 1 hora ⇒

4

En t hora ⇒ t.

1

1 3

En t hora ⇒ t.

4

1 3

Por condición del problema, ahora la altura del primero es el doble de la del segundo, es decir: 1 –

t 4

 

= 2 1 

t 



3 

∴ Resolviendo: t =

12 5

=2

2 5

Sea x la longitud de la vela mayor. Según el enunciado del problema, la vela menor duró 150 minutos. Entonces cuando le falte 30 minutos para terminarse, ya habrá transcurrido 120 minutos en ambas velas y en ese instante tendremos:

Según el problema, en este momento, la altura de la vela mayor es 4 veces la altura de la menor; por lo tanto, su tiempo de duración será 4 veces el tiempo de la menor, veamos:

horas.


125


 200   200   – 12   = 90  n   n  6 

12 

Simplificando:

80



n

80 n6

=3

Resolviendo: n = 10 ∴ Cada pelota vale:

200 10

= 20 soles

PROBLEMA 29 Del gráfico:

x cm

→ 240

24cm ⇒ x

=

→ 90

minutos

minutos

24  240 90

∴ x = 64cm

PROBLEMA 28

Dos negociantes de vino ingresaron, por una de las fronteras del Perú, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro, 20, todos de la misma calidad. Como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de aduana, el primero paga con 6 botellas y recibe 80 soles de vuelto y el segundo paga con 2 botellas de vino pero recibe 40 soles de vuelto. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino?

Resolución:

Si por S/.200 dieran 6 pelotas más de las que dan, la docena costaría S/.90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota?

Sean

a → valor del impuesto de cada botella b → valor de cada botella de vino

Resolución: En el problema hay dos casos que analizar, un caso real (dan) y un caso supuesto (dieran). Sea n el número de pelotas que dan por 200 soles, entonces:

# pelotas

Dan

Dieran

n

n+6

200 Precio de S/. 1 pelota n 200  Precio de S/.12    1 docena  n 

S/.

200 n6  200 

S/.12 

  n  6 

Según el problema, en el caso supuesto, la docena costaría 90 soles menos. Su planteamiento es:

El 1º tenía

El 2º tenía

64 botellas

20 botellas

El 1er. negociante sólo paga impuestos por 58 botellas, ya que 6 botellas las utiliza para el pago de dichos impuestos y todavía recibe 80 soles de vuelto; por eso planteamos la siguiente ecuación. 6b = 58a + 80 … (1) El 2do. negociante sólo paga impuestos por 18 botellas, ya que 2 botellas las usa para el pago de impuestos y recibe 40 soles de vuelto, entonces. 2b = 18a + 40 …(2)


126


Simplificando las tenemos:

ecuaciones

(1)

y

(2),

PROBLEMA 31

3b

= 29a + 40

b

= 9a + 20

Resolviendo: a = 10; b = 110 ∴ El

precio de cada botella de vino es 110

soles

PROBLEMA 30 Un salón está iluminado por 48 focos y otro salón está a oscuras. Si en el primer salón se apaga 4 focos y en el segundo se enciende 2, y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es:

Según el enunciado, en cada operación, en el primer salón se apagan 4 focos y en el segundo se encienden 2 focos. Entonces después de n operaciones, se han apagado 4n focos en el primero y se han encendido 2n focos en el segundo salón. Así tendremos:

al inicio

1er salón

2do salón

48

0 -4n

# fo cos enc. al final

Resolución: Sea x puntos la ventaja que le dio Carmen a María. Según los datos, se está comparando un caso real con otro supuesto, además, Carmen ha ganado, es decir, Carmen ya hizo los 21 puntos y María todavía.

Caso Real:

Caso Supuesto:

+2n Del gráfico:

48 – 4n

2n x – 3 + 10 + 6 = 21 ⇒ x = 8

Pero, al final ambos salones quedan con igual número de focos encendidos, es decir:

∴ La ventaja fue 8 puntos.

PROBLEMA 32

48 – 4n = 2n ⇒ n = 8

En un viaje realizado fuera de la ciudad, pude observar:

Reemplazando: n = 8

Al Final

Al finalizar el juego de pin-pong, Carmen comenta a María: "Si te hubiera dado tres puntos menos de ventaja, te habría ganado con una diferencia de seis puntos". Se sabe que María anotó 10 puntos (sin contar con la ventaja dada) y el juego de pin-pong es hasta los 21 puntos, ¿cuántos puntos de ventaja dio Carmen a María?

Así podemos graficar:

Resolución:

# fo cos enc.

∴ Total de focos encendidos: 32

1er salón

2do salón

48

0

• Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde • Cuando llovía en la tarde, estaba despejada la mañana


127


• Hubo 5 tardes despejadas

La ecuación (a) tiene dos variables (x e y), las cuales sólo pueden admitir valores enteros positivos. Dicha ecuación recibe el nombre de

• Hubo 6 mañanas despejadas ¿Cuántos días duró mi viaje?

Resolución:

Ecuación Diofántica.

Sea n el número de días, entonces hubo n mañanas y n tardes. Ordenando los datos en una tabla tenemos:

Despejadas

Lluviosas (7)

6

n–6

5

n–5

# mañanas (n) # tardes (n)

Para resolver la ecuación tenemos que encontrar valores enteros positivos para x é y de modo que se cumpla con la igualdad. Es posible que una ecuación diofántica tenga más .de una solución, eso depende de las condiciones de cada problema (se debe relacionar siempre los resultados con la realidad). En este caso, vamos a utilizar propiedades de los múltiplos, veamos:

Según el dato, llovió 7 veces: (n – 6) + (n – 5) = 7

11x + 14y = 258

n =9 ∴ El

11x + 11y + 3y = 11(23) + 5

viaje duró 9 días

o

o

o

11 + 11 + 3y = 11+ 5

PROBLEMA 33 o

Podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana de sol gasto S/.9 en helados y cada mañana fría gasto S/.6 en café. Si ya tengo ahorrado 5/.258, ¿durante cuántos días ahorré? (sólo hay mañanas frías o soleadas).

Resolución: Sean

x mañanas soleadas y mañanas frías

3y = 11 + 5 o

y=

11 5 3

o

pero 11 = 0, 11,22,33,44,…

Lo que tenemos que hacer es reemplazar un 11 de modo que obtengamos para y un valor entero positivo. Evaluando, al reemplazar 22 se obtiene y =9

Entonces el número de días es: x + y

# días Ahorro diario

Mañanas soleadas

Mañanas frias

x

y

20 – 9 = 11

20 – 6 = 14

Luego el ahorro total, en soles, es 258: 11x + 14y = 258

Ahora, reemplazamos y = 9 en ( α): 11x + 14(9) = 258 ⇒ x = 12

∴ El número de días que ahorré es 12 + 9=21

...... (α)


128


Evaluamos para a = 1 en (α):

Nota:

19 + 9b = 100 ⇒ b = 9 Si seguimos evaluando con los múltiplos de 11, al reemplazar 55 obtenemos y = 20 y luego en (α), obtenemos x = -2. Pero sabemos que x no puede ser negativo por lo tanto descartamos esta solución. De la misma forma, si evaluamos para 88, obtenemos y = 31 y x = -16. Perú también, esta solución queda descartada. Entonces podemos asegurar que la única solución valida es x = 12, y = 9.

PROBLEMA 34 Hace muchos años pudo comprarse pavos a S/.10, patos a S/.5 y pollos a S/.0,5. Si en total se pudo comprar 100 animales, entre pavos, patos y pollos, con S/.100, ¿cuantos fueron los animales de cada especie?

Luego, reemplazamos a = l y b = 9 en (1): 1 + 9 + c = 100 ⇒ ∴ Fueron:

1 pavo, 9 patos y 90 pollos.

Nota: Si seguimos evaluando en (α) , p a r a a y b veremos que no hay más soluciones enteras positivas. La ecuación (α) también se puede resolver usando múltiplos, veamos: 19a + 9b = 100 18a + a + 9b = 99 + 1 o

Resolución:

o

o

9 +a + 9 = 9 +1

Sea: # pavos

# patos

#pollos

a

b

c

c/u: S/.10

c/u: S/.5

c/u: S/. ½

Pudo comprarse 100 animales: ⇒

c = 90

a + b + c = 100

… (1)

o

a= 9 +1

⇒ a

= 1, 10, 19, 28,…

Pero evaluando en la ecuación (α) la igualdad solo verifica para a = 1 y se obtiene B = 9 Luego, al reemplazar a = 1 y b = 9 la ecuación (1), se obtiene c = 90

Además, el gasto total fue 100 soles

PROBLEMA 35 10a + 5b +

c 2

= 100

Un negociante cambia 2 monedas de S/. 1 y le dan monedas de 25 céntimos y de 10 céntimos.

Multiplicamos por 2: 20a + 10b + c = 200

..... (2)

Restamos (2) - (1): 19ª + 9b = 100 … (α) La ecuación (a) es también una ecuación diofántica donde las variables a y b son enteros positivos.

¿Cuántas monedas como máximo entonces dicho comerciante?

recibe

Resolución: Según el enunciado, podemos plantear que el valor del dinero que el comerciante entrega debe ser igual al valor de lo que le dan. Es decir:


129


2 monedas de 1 sol

x monedas de 25 céntimos

=

+

y monedas de 10 céntimos

Si expresamos todo en céntimos, tendremos: 200 = 25x + 10y Simplificando: 5x + 2y = 40 … (α) Nuevamente estamos frente a una ecuación diofántica, donde x é y son variables que sólo pueden admitir valores enteros positivos. Pero en el problema queremos calcular el número máximo de monedas que recibe el comerciante. Entonces, para que esto ocurra, el comerciante debe recibir más monedas de 10 céntimos que de 25 céntimos. Es decir que y debe admitir su mayor valor y x su menor valor. Es decir: 5x

+

⇓

2y = 40

PROBLEMA 36 Pedro reparte 26 caramelos entre sus 4 sobrinos. Comen, cada uno de los cuatro, varios caramelos. Al cabo de una hora Pedro comprueba que le queda a cada uno el mismo número. Si el mayor había comido tantos como el tercero; el segundo comió la mitad de su número inicial y el cuarto comió tantos como los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió el menor de los sobrinos?

Resolución: Sea a el número de caramelos que le quedó a cada uno al final, y sea x el número de caramelos que comió el mayor. Entonces, según el enunciado, regresando del final al inicio:

Inicio x+a Mayor 2a Segundo Tercero x + a 2x + 2a Menor

⇓

es par 2y

x

a

a

a

x

a

2x + a

a

2x + 3a = 13

Analizando la ecuación:

+

Final

Total: 4x + 6a = 26

Mínimo Máximo

5x

Comieron

es par =

40

Debe ser par ⇒ x = 2, 4, 6,…

Empezamos dándole un valor mínimo a x: es decir x = 2, y luego reemplazamos para obtener el valor máximo de y, así: 5(2) + 2y = 40 ⇒ y = 15 ∴ El número máximo de monedas es:

2 + 15 = 17

⇒

2

3

(es la solución)

5

1

(se descarta ya que 1 no es varios)

x=2

y

a =3

∴ El menor recibió: 2(2) + 2(3) = 10 caramelos

PROBLEMA 37 Luego de gastar exactamente la mitad de su dinero, Tania observa que tiene tantos centavos como pesos tenía al entrar a la tienda y tantos pesos como la mitad de los centavos que había tenido. ¿Cuánto dinero (en centavos) tendría finalmente, si lograse ganar tantos centavos como pesos tiene y tantos pesos como centavos tiene, sabiendo que la cantidad que tenía al inicio es lo mínimo posible?


130


Observación: 1 peso < > 100 centavos

Resolución:

Resolución:

Si la profundidad del estanque es x metros, entonces, según el enunciado, podemos graficar:

Sea lo que tenía: a pesos, entonces: Pesos

Centavos

Tenía:

a

y

2b

Tiene:

b

y

a

Si ganase:

a

y

b

a+b

y

a+b

Tendría:

Según el enunciado, ella gastó la mitad de su dinero. Entonces, lo que tiene es igual a la mitad de lo que tenía, lo cual expresado en centavos es: 100b + a = ½ (100a + 2b)

99b = 49a

b



99 49

Pero por dato lo que tenía al inicio es lo mínimo posible. Entonces a y b deben ser mínimos: ⇒

a = 99

y

b = 49

Pesos 148

Resolviendo: x = 1,5 ∴ La profundidad del estanque es 1,5 metros.

Centavos y

Se divide un terreno rectangular en parcelas lográndose 108 parcelas cuadradas de 121 m2 cada uno. En cada esquina de las parcelas, se coloca un poste, empleándose en total 130 postes. Halle la diferencia entre el largo y el ancho del terreno rectangular.

Resolución: Sean m parcelas a lo largo del terreno y n parcelas a lo ancho.

Finalmente, si lograse ganar:

Tendría

(x + 1)2 = x 2 + 4

PROBLEMA 39

Operando, obtenemos:

a

Por el teorema de Pitágoras:

148

Entonces, a lo largo se cuenta (m + 1) postes y lo ancho se cuenta (n + 1) postes. Gráficamente:

∴ Tendría 148×100 + 148 = 14948 centavos

PROBLEMA 38 En un estanque donde hay gansos y cisnes, se observa la parte superior de un loto, 1 m por encima de la superficie del agua. Forzado por el viento se inclina desde su base y la parte superior desapareció a 2 m hacia un lado. ¿Cuál es la profundidad del estanque?


131


Para el número de parcelas planteamos: m . n = 108

Digamos que en el lado del primero hay n alumnos, entonces en el lado del segundo habrá 2n alumnos, así:

… (1)

Para el número de postes: (m + 1)(n + 1) = 130

… (2)

Resolviendo, en forma simultánea, ecuaciones (1) y (2), obtenemos: m = 12

y

las

n = 91

Finalmente, las dimensiones del terreno son: Largo = 11m = 11(12) = 132 metros Ancho = 11n = 11(9) = 99 metros

⇒ Total de alumnos del salón = n

2

+ 4n 2 = 5n 2

Si en el salón hubiera 20 alumnos más, formaría un sólo cuadrado compacto así:

La diferencia entre el largo y el ancho es: ∴ 132 - 99 = 33 metros

PROBLEMA 40 Con los alumnos de un salón se formaron 2 cuadrados compactos y se observa que el número de alumnos ubicados en cada lado del primero y segundo cuadrado se encuentran en la relación de 1 a 2. Si en el salón hubiera 20 alumnos más, se formaría un sólo cuadrado compacto. Halle la cantidad de alumnos del salón si es la menor posible. Un ejemplo de cuadrado compacto visto de arriba hacia abajo es:

Total de alumnos = k 2 Entonces, ecuación:

podemos

plantear

5n2 + 20 = k 2

la

siguiente

....... (α)

Analizando con múltiplos: 5n2 + 20 = k2 5

5

Debe ser 5

Tiene 5 alumnos en cada lado.

Por condición del problema valor posible: (n ∊ Z+)

En total de alumnos es 52 = 25 alumnos.

Si k = 5, entonces n = l, pero n tiene que ser mayor que 1 para que se forme el cuadrado pequeño. Entonces descartamos esta solución.

El cuadrado se dice que es compacto, por que en su interior también está lleno de alumnos. Según el problema, con los alumnos del salón se formaron 2 cuadrados compactos.

Si k =10 entonces en (α) 5n2 + 20 = 100 ⇒ n = 4 (este valor Si es posible) ∴ Total de alumnos del salón: 5n

2

= 5(4)2 = 80


132


Ej ercicios Propuestos 01.- Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que pudo haber aumentado a lo que repartió para que cada mendigo hubiese recibido exactamente S/.10 más de lo que recibió? A) S/.120

B) S/.140

D) S/.130

E) S/.150

C) S/.160

02.- Se tiene un número impar, se le añade el par de números impares que le anteceden y los tres números pares que son inmediatamente anteriores a dicho número, dando un resultado de 939 unidades. Halle la suma de cifras del número impar mencionado. A) 26

B) 15

D) 19

E) 20

C) 13

03.- Para envasar 15 000 litros de aceite se disponen de botellas de 1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite no sobró ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas habían en total? A) 14600

B) 18600

D) 24200

E) 16000

C) 27 000

04.- Sobre un estante se pueden colocar 24 libros de RM y 20 libros de RV ó 36 libros de RM y 15 libros de RV. ¿Cuántos de RM únicamente entrarían en el estante? A) 8

B) 24

D) 120

E) 72

C) 240

05.- Con 195 soles se compraron chompas de 7, 8 y 13 soles respectivamente. ¿Cuántas chompas se compraron si en total se compraron el máximo número de chompas y por lo menos se compró uno de cada precio? A) 23

B) 30

D) 26

E) 25

C) 24

06.- Con motivo de su cumpleaños, los hijos de la señora María decidieron hacerle un regalo. Magaly propuso dar cada uno S/.6, pero faltó S/.8 para compr.ar el regalo, por lo que decidieron optar por contribuir cada uno con S/.7, de esta manera compraron un regalo cuyo precio era la mitad del primero y aún sobró S/.20. ¿Cuál es la suma de los precios de los dos regalos? A) S/.44

B) S/.22

D) S/.72

E) S/.66

C) S/.60

07.- Con billetes de 100 soles y de 50 soles se pagó una deuda de 2 800 soles. El número de billetes de 50 soles excede en 8 al número de billetes de 100 soles. Si los billetes que tenemos de 100 soles, los contaríamos como billetes de 50 soles y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos? A) S/.4 500

B) S/.2 900

C) S/.3 200

D) S/.3 800

E) S/.4 200

08.- Un comerciante tiene al inicio del día 8 lapiceros de 10 soles cada uno y 4 lapiceros de 20 soles cada uno; si al final del día tiene 120


133


soles, ¿cuántos lapiceros le sobran si le quedan por lo menos 1 lapicero de cada precio? A) 4

B) 5

D) 2

E) 3

B) 10

D) 20

E) 8

B) S/.115

D) S/.125

E) S/.130

C) S/.152

C) 6

09.- En una granja, por cada gallina hay tres pavos y por cada pavo hay 4 patos. Si en total se han contado 160 patas de animales, ¿cuántos pavos hay? A) 14

A) S/.120

C) 15

13.- Tres jugadores A, B y C convienen en que el perdedor de cada partida; duplicará el dinero de los otros dos. Pierden una partida cada uno en orden alfabético y al final cada uno se queda con 40 soles. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno? A) 65; 35 y 20 soles. B) 100; 30 y 18 soles. C) 80; 45 y 23 soles.

10.- Un caminante ha recorrido 1 000 metros unas veces avanzando otras retrocediendo. Si sólo ha avanzado 350 metros, ¿cuántos metros recorrió retrocediendo? A) 300m

B) 425 m

D) 280m

E) 345m

C) 325 m

11.- Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros por segundo. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? A) 4 min 37 seg.

B) 3 min 21 seg.

C) 4 min 38 seg.

D) 5 min 24 seg.

E) 3 min 42 seg.

12.- Un maestro y su ayudante trabajan juntos. El primero gana 25 soles por día más que el segundo. Si después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe 1 050 soles y el segundo, 875 soles. ¿Cuál es el jornal del ayudante?

D) 96; 30 y 14 soles. E) 41; 23 y 16 soles.

14.- La regla de juego de cierta competencia de azar es que el perdedor de cada partida duplique el dinero de los otros participantes y además les dará S/.10. Si hay 3 personas que están jugando y cada uno pierde una partida y al final tienen cada uno S/.70, halle el dinero inicial del participante que tuvo mayor cantidad. A) S/.120

B) S/.180

D) S/.140

E) S/.220

C) S/.110

15.- Maríbel va al cine con sus primas y al querer sacar entradas para mezanine de 30 soles cada una, observa que le falta dinero para 3 de ellas, por tal motivo tiene que sacar entradas de 15 soles cada una, entrando todas al cine y sobrándole aún 30 soles para las gaseosas. ¿Cuántas primas fueron al cine con Maribel? A) 6

B) 7

D) 9

E) 10

C) 8


134


16.- Si compro 2 revistas gastaría 2 soles más que si comprara 3 periódicos. Pero si comprara 5 periódicos gastaría 2 soles más que si comprara 2 revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico?

20.- En una familia, el hermano mayor dice: "Mis hermanos son el doble de mis hermanas" . Y la hermana mayor dice: "Tengo 5 hermanos más que hermanas" ¿Cuántas hijas tiene la familia?

A) S/.4

B) S/. 3

A) 9

B) 11

D) S/. 1,5

E) S/. 2

D) 10

E) 8

C) S/. 5

17.- Entre pollos, patos y pavos un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, 4 patos más y 7 pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. El número de pollos que tiene es: A) 42

B) 33

D) 35

E) 40

C) 39

18.- Milagros viaja en el último vagón de un tren, el cual tiene 9 vagones, cuando avanza de un vagón a otro tiene que pagar S/.16 y cuando retrocede de un vagón a otro le pagan S/.12. Si para llegar al primer vagón realizó 24 cambios de vagones, calcule la cantidad que tenía inicialmente si es igual a la suma de lo que pagó y cobró, además lo que pagó excede a lo que cobró en 10 veces la cantidad que pagó por avanzar un vagón. A) S/. 350

B) S/. 352

D) S/. 344

E) S/. 426

B) 3

D) 1

E) 0

21.- "Pagué 12 centavos por los duraznos que compré al almacenero" , explicó la cocinera, "pero me dió dos duraznos extra, porque eran muy pequeños, eso hizo que en total pagara un centavo menos por docena que el primer precio que me dio" . ¿Cuántos duraznos compró la cocinera? A) 14

B) 20

D) 12

E) 16

C) 18

22.- Si tú me dieras 2 de tus canicas, tendríamos la misma cantidad; en cambio, si yo te diera 3 de las mías, tú tendrías el doble de los que a mí me quedaría. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos? A) 40

B) 30

D) 60

E) 42

C) 35

C) S/. 298 23.- María, cada día, gasta la mitad de lo que tiene más 2 soles. Si después de 3 días le queda 30 soles, ¿cuánto tenía al inicio?

19.- En un salón de clases, hay 6 asientos desocupados, 9 estudiantes sentados y 3 estudiantes de pie al lado de la pizarra. Si 7 estudiantes salen del salón y 8 entran, ¿cuántos asientos desocupados habrá cuando se sientan todos los alumnos? A) 4

C) 3

C) 2

A) 234

B) 300

D) 240

E) 215

C) 268

24.- Se lanza 3 dados simultáneamente. El triple del resultado del primer dado, más el doble del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuántos posibles resultados pudieron darse?


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A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C)3

D) p –

25.- Una sala tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. A) 150 m2

B) 180 m2

D) 170 m2

E) 120 m2

C) 160 m2

26.- Dos señoras llevan al mercado 100 manzanas. Una de ellas tenía mayor número de manzanas que la otra; no obstante, ambas obtuvieron iguales sumas de dinero. Una de ellas le dice a la otra: "Si yo hubiese tenido la cantidad de manzanas que tú tuviste y tú la cantidad que yo tuve, hubiésemos recibido respectivamente 15 y 20/3 soles" ¿Cuántas manzanas tenía cada una? A) 30 y 70

B) 45 y 55

D) 40 y 60

E) 48 y 52

C) 20 y 80

27.- Un comerciante compró 2 500 botellas a 20 soles el ciento. En el camino se el rompieron 190 botellas y luego regala 5 botellas por cada 100 que vendía. ¿En cuánto vendió el ciento si en total ganó 116 soles? A) S/.30

B) S/.32

D) S/.28

E) S/.26

C) S/.25

A) n –

P 2

B) n –

P 7

C) n –

P n

7

E) p –

n 7 p

29.- Un tren al final de su recorrido llega con 40 adultos y 30 niños con una recaudación de 20 soles. Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de 0,2 y 0,1 soles respectivamente. ¿Con cuántos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada parada suben 3 adultos con 2 niños y bajan 2 adultos junto con 5 niños? A) 160

B) 70

D) 120

E) 90

C) 80

30.- Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada limón había bajado en S/.2, compró 4 limones más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿cuánto gastó en la compra de limones? A) S/.10

B) S/.60

D) S/.48

E) S/.72

C) S/.64

31.- Un poste de a metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pinta b metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintado de blanco? A)

28.- Un estudiante gasta 7 soles en pasajes cuando va a una conferencia. Si en n días ha gastado p soles. ¿Cuántos días no asistió a la conferencia durante los n días?

n

D)

a  2 b 2 a 2  b

B)

E)

a  b 2

C)

a  b 2

a 2  b

32.- Un vendedor afirma que como hoy vendió cada caramelo a 10 céntimos más que ayer, vendió 10 caramelos menos que ayer. Además


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hoy vendió tantos caramelos como céntimos cobró por cada uno. Respecto a la venta de ayer, ¿cuánto ganó o perdió hoy día? A) ganó 10 céntimos. B) ganó S/. 1 C) perdió S/. l.

costo hubiera sido 180 soles; pero, si por la tela de la segunda calidad hubiera pagado el precio de la primera, el costo hubiera sido 120 soles. ¿Cuántos metros compró de cada calidad? A) 10 m y 16 m

B) 14m y 20m

C) 8 m y 14 m

D) 18 m y 12 m

E) 11 m y 17 m

D) perdió 10 céntimos. E) no gana ni pierde.

33.- De un grupo de caramelos retiro 5 y el resto los reparto entre un grupo de niños a quienes les doy 11 caramelos a cada uno, menos al último a quien le doy 15. Si antes de repartirlos retirase 20 caramelos más ahora sólo podría darles 9 caramelos a todos menos al último a quien ahora sólo podrían darle 5 caramelos. ¿Cuántos niños hay? A) 6

B) 9

D) 75

E) 30

C) 11

34.- En el tercer día de su viaje, una nave del planeta Pin llega al planeta Pum. Al bajar a la superficie uno de sus tripulantes le dice a su compañero: "Los habitantes de este planeta, aunque tienen 20 dedos en total como nosotros, tiene una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad" ¿Cuántas extremidades tienen los habitantes del planeta Pum? A) 5

B) 4

D) 6

E) 10

36.- Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de gozne y la punta tocando el piso en un punto localizado a 20 pies de la base. Se reparó, pero se rompió de nuevo. Esta vez en un punto localizado 5 pies más abajo que la vez anterior y la punta tocando el piso a 30 pies de la base. ¿Qué longitud tenía el asta? A) 43 pies

B) 55 pies

D) 50 pies

E) 62 pies

C) 58 pies

37.- Si se corta una banda de un centímetro de ancho de todo el contorno de una hoja rectangular de papel, su área disminuye en 66 cm2; si, además, se sabe que el largo excede al ancho en 5 cm antes de cortarse, ¿cuál es el largo y el ancho de la hoja original del papel? A) 20 cm y 26 cm

B) 30 cm y 35 cm

C) 21 cm y 25 cm

D) 17 cm y 22 cm

E) 15 cm y 20 cm

C) 3

35.- Un comerciante compró telas de dos calidades por el valor de 300 soles. De la primera calidad adquiere 6m más que de la segunda. Si por la tela de la primera calidad hubiera pagado el precio de la segunda, su

38.- Si se posaran (n – 1) jilgueros en cada uno de los n postes, sobrarían 10 jilgueros; pero si en cada poste se posaran 3 jilgueros más, quedarían 2 postes vacíos. ¿Cuánto es la mitad del número de postes? A) 14

B) 10

D) 12

E) 7

C) 8


137


39.- Un terreno tiene forma rectangular. Si tuviera 5 metros más de largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 2 metros menos de largo y 2 metros menos de ancho, el área disminuiría en 46 m2. Halle el área del terreno y dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 5

B) 7

D) 6

E) 9

40.- Al regalar el Sr. Pérez tantas veces 5 céntimos de soles como soles tenía en su bolsillo, le quedó 38 soles. ¿Cuántos soles le hubiera quedado si hubiera regalado tantas veces 50 céntimos como la mitad del número de soles que tenía?

C) 8

A) 20

B) 30

D) 25

E) 40

C) 35

CLAVES

1)

E

2)

B

3)

B

4)

E

5)

D

6)

E

7)

C

8)

E

9)

C

10) C

11) A

12) D

13) A

14) A

15) B

16) E

17) D

18) B

19) C

20) C

21) E

22) B

23) C

24) D

25) B

26) D

27) D

28) B

29) E

30) D

31) A

32) B

33) A

34) B

35) D

36) D

37) E

38) E

39) D

40) B


138


Los babilonios ya conocían reglas para resolver ecuaciones de segundo grado en forma de problemas (1 700 a.n.e.), como el de hallar 2 números conociendo su suma y su producto. Más adelante los griegos perfeccionaron ese conocimiento pues demostraron tales reglas y consiguieron, mediante la utilización de procedimientos geométricos, obtener raíces irracionales aún en una época en que los números irracionales todavía no eran conocidos. En 1 494 el monje Luca Pacioli, amigo de Leonardo da Vinci, renombrado profesor de matemática, escribió el libro Suma de Aritmética y Geom~tría un buen compendio de matemática, que contiene nociones de cálculo aritmético, radicales, problemas con ecuaciones de primer grado y segundo grado. Hasta la aparición del álgebra de Raphael Bombelli, en 1 752, el libro de Luca Pacioli tuvo gran divulgación y prestigio. Como era costumbre, la incógnita que hoy llamamos x, en él se denominaba "la cosa" mientras que x 2 era "censo", x3 era "cubo" y x 4 "censo censo". El Algebra en esa época era llamada "el arte de la cosa", después de enseñar, enforma de versos, la regla para resolver la ecuación de segundo grado, Pacioli afirmaba que no podía haber regla general para la solución de una ecuación cúbica. Muchos matemáticos, entre ellos Girolamo Cardano, creyeron esa afirmación perentoria de Pacioli, por lo menos, uno no la creyó. Scipione Ferro (1465 -1 526), profesor de la Universidad de Bolonia, personaje sobre cuya vida muy poco se conoce, fue quien pudo resolver la ecuación cúbica. Hasta donde se sabe, nadie superó su logro, al resolver un problema que haya desafiado el ingenio de los matemáticos por más tiempo. Lo curioso es que Ferro nunca publicó su solución. Se sabe que él comunicó a dos personas el secreto de la solución uno era Annibale Della Nave (más tarde su yerno y sucesor en la silla de Matemática en Bolonia) y Antonio María Fiore, a este último le dio la regla pero no la prueba. Probablemente el descubrimiento haya sido en 1 515. En 1 535 Fiore tuvo la infeliz idea de desafiar a Tartaglia (Nicolo Fontana) para una contienda matemática. Tartaglia era profesor en Venecia y ya había derrotado a otros desafiantes. Fiore propuso 30 problemas, todos tenían que ver con ecuaciones de 3er. grado. Tartaglia hizo también su lista de naturaleza más variada. La única arma de Fiore era la fórmula de Ferro. Las de Tartaglia eran su sólido conocimiento y su inteligencia. Ocho días antes del encuentro, después de largos intentos, a Tartaglia se le ocurrió cómo deducir la fórmula de la ecuación de 3er. grado. Sin duda esto fue un descubrimiento notable, pero no tanto como el de Ferro. Llegó la hora de la contienda y Tartaglia resolvió de un golpe los 30 problemas de Fiore, ganó la Contienda y rehusó magnánimamente los 30 banquetes estipulados como recompensa al ganador. Luego el doctor Girolamo Cardano, al enterarse de este incidente, se interesa por conocer más de cerca f los ~utores de la solución de la ecuación cúbica, que Pacioli juzgara imposible. Cardano hizo todo lo posible para llevar a Tartaglia a su casa y una vez allí, mediante la promesa de guardar el secreto, o tuvo de él, en 1 539 la regla pararesolver la ecuación x 3 + px = q. La vida de Nicoló Tartaglia (1 499 + 58 = 1 557) fue muy difícil. Nacido en Brescia, quedó huérfano de padre a los seis años y fue criado, con sus tres hermanos por una madre devota y paupérrima. A los 14 años, en el saqueo de Brescia por las tropas francesas, se refugió en la Catedral pero, allí mismo, fue herido seriamente en el rostro por golpes de sable que le dejaron desfigurado y, por largo tiempo, casi sin poder hablar.


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ECUACIONES TOMO IV.pdf

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