INTRODUCCION
En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil. En el uso uso está estánd ndar ar del del sistema sistema de coordena coordenadas das,, una una o dos dos varia variabl bles es (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son considera consideradas das como variables independientes, mientras ue la restante es la variable dependiente, dependiente, con el valor de ésta siendo euivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. !s" por ejemplo la e#presión de un punto cualuiera
euivale a la e#presión
.
ECUACIÓN VECTORIAL NO PARAMÉTRICA $emos visto, ue si un lugar geométrico tiene una representación anal"tica, la cual es una sola ecuación ue contiene dos variables. !%ora veremos la representación anal"tica de una curva utilizando dos ecuaciones, ue se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. &eciben este nombre auellas ecuaciones en ue las variables # y y, cada una separadamente, están e#presadas en función de la misma tercera variable. 'egn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general # * + (z) y * + (z) Es muy importante aclarar ue cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo
De la elipse. Una elipse con centro en el origen de coordenadas y ue se interseue con el eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica ue
Una e#presión paramétrica es
.
.
Un segmento de recta de 10cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P(x,y) situado sobre el segmento A B a 4cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta
Este problema nos %ace ver ue toda elipse como la ue acabamos de ver con semiejes a y b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramétricas # * a cos y * b sen 'i la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son # * b cos y * a sen
De la circunferencia. -ara el caso de una circunferencia de radio a y parámetro !, también con centro en el origen. 'i P(x, y) es un punto cualuiera de la curva, las ecuaciones paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son onsiderando a P un punto cualuiera de la curva y a como el radio de la circunferencia, tendremos las ecuaciones paramétricas y * a sen # * a cos En este caso observamos ue el coeficiente a es el mismo, puesto ue representa el radio de la circunferencia.
Ecuación paramétrica de la circunferencia goniométrica. /a variable t es el ángulo y sus puntos son (#, y) * (cost , sint ).Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica ue
Una e#presión paramétrica es
De la hipér!la. 0razamos dos circunferencias concéntricas con centro comn en el origen, de radio 1! * a , y de radio 12 * b y consideramos un punto -(#, y) cualuiera, segn la figura siguiente
3ue son las ecuaciones paramétricas de la %ipérbola %orizontal con centro en el origen. -ara obtener la ecuación rectangular de una curva a partir de las ecuaciones paramétricas, se obtiene normalmente eliminando el parámetro, mediante procedimientos y conocimientos vistos en álgebra y en la geometr"a y trigonometr"a.
ECUACIONE" VECTORIALE" PAR#METRICA" &eciben este nombre auellas ecuaciones en ue las variables # y y, cada una separadamente, están e#presadas en función de la misma tercera variable. 'egn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general # * + (z) y * + (z) Es muy importante aclarar ue cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos. En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a #, y, ue representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos as" determinados resulta una curva, ue es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.
Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también ueda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta. onsideremos una recta l en el espacio, sea un ! punto de l y paralelo a l.
Un punto
un vector
estará en la recta l si y solo si !- es paralelo a
, es
decir, para cualuier . 4bserve ue si , entonces ! * -, si colocamos un sistema coordenado de tal forma ue el origen 4, coincida con el punto inicial del vector
.
Empleando vectores coordenados, la ecuación como
puede escribirse
(5) /a ecuación (5) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l ue pasa por el punto ! y es paralela al vector 'i
,
y
.
, entonces
de la igualdad anterior se tiene ue (6)
/as ecuaciones (6) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l ue pasa por el punto ! y es paralela al vector
. !l darle valores a
un punto espec"fico. 'i en las ecuaciones (6) despejamos el parámetro
tenemos ue
obtenemos
-or consiguiente,
(7)
/as ecuaciones (7) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta ue pasa por el punto ! y es paralela al vector
.
Un plano ueda determinado si conocemos un punto ! del plano y dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre si,
y
.
'ea p un punto cualuiera del plano ue pasa por ! y es paralelo a los vectores y ( paralelos) el plano
no es mltiplo escalar de puesto ue y no son determinado por los puntos o, 8 y 9 es el conjunto de
todos los puntos ue son combinaciones lineales de
y
.
El plano paralelo a y contiene al punto ! puede verse como una traslación del plano %asta !. 2e esta manera
visto en términos de vectores coordenados es
Es la ecuación vectorial del plano vectores no paralelos
y
ue pasa por ! y es paralelo a los
.
/as ecuaciones paramétricas del plano
Vec$!r P!sici%n & C!'p!nen$es (e un )ec$!r 'i un vector tiene su origen en el origen de un sistema de coordenadas se llama vector posición. 'e llaman componentes del vector a las coordenadas del e#tremo del vector.
El origen del vector del gráfico anterior es el origen de coordenadas, el e#tremo del vector es el punto (:,7). -ara ese vector decimos ue sus componentes son (:,7) están indicadas, en el gráfico, por la longitud de los segmentos punteados.
Vec$!r )el!ci(a(
/a velocidad es una magnitud f"sica de carácter vectorial ue e#presa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. 'e representa por o . 'us dimensiones son ;/<=;0<. 'u unidad en el 'istema >nternacional es el m=s. En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez. 2e igual forma ue la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.
Vec$!r aceleraci%n /a aceleración es una magnitud vectorial ue nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. En el conte#to de la mecánica vectorial ne?toniana se representa normalmente por o y su módulo por . 'us dimensiones son . 'u unidad en el 'istema >nternacional es el m=s6. En la mecánica ne?toniana, para un cuerpo con masa constante, la aceleración del cuerpo es proporcional a la fuerza ue acta sobre él mismo (segunda ley de @e?ton)
2onde + es la fuerza resultante ue acta sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo, y a es la aceleración. /a relación anterior es válida en cualuier sistema de referencia inercial.
2efinición de la aceleración de una part"cula en un movimiento cualuiera. 4bsérvese ue la aceleración no es tangente a la trayectoria.
*I*LIO+RA,IA"
A%ttp==tescicalculo7.files.?ordpress.com=6155=1B=apuntesCcalculoCvectorialC 6155.pdf A%ttp==recursostic.educacion.es=descartes=?eb=materialesAdidacticos=E2!2A7e soAmovimientosAplan A es.wikipedia.org/wiki/Ecuacin!paramétrica
CONCLU"IONE"
En este trabajo se presentan ventanas en las ue se presentan de diferentes curvas cartesianas cuando están dadas mediante su ecuación en forma paramétrica, para la construcción de conceptos matemáticos no solo basta trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino ue se deben realizar las tareas de conversión entre distintas representación. 'on éstas tareas las ue propiciarán la construcción de los conceptos matemáticos también se induce la conversión del registro algebraico al registro gráfico. !demás, los gráficos de la curvas para ue 'E puedan %allar las respectivas ecuaciones cartesianas, de una lista de ecuaciones propuestas, y as" trabajar la conversión en sentido contrario, es decir del registro gráfico al algebraico.
