Ecuaciones diferenciales parciales En matemáticas una matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de parciales de u respecto respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. roblemas típicos son la propa!ación del sonido o sonido o del calor, calor, la electrostática, electrostática, la electrodinámica, electrodinámica, la dinámica de fluidos, fluidos , la elasticidad, elasticidad, la mecánica cuántica y cuántica y muc"os otros. #i u representa la variable dependiente y x y y las variables independientes, independientes, entonces la forma !eneral de una ecuación lineal de derivadas parciales son dos variables independientes, independientes, x y y, es $%&u ' %&u ' %&u ' *%u ' E%u ' fu + %x&
%x%y
%y&
%x
%y
En que $, , -, son funciones de x y de y. uando (x, y)+ la ecuación se llama "omo!/nea en cualquier otro caso es no "omo!/nea 0na solución de una educación en derivadas derivadas parciales con dos variables independientes independientes x y y. y. Es una función u(x,y) u(x,y) que posee posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación y que la satisface en cualquier re!ión del plano x,y. or lo tanto la solución !eneral de !eneral de esta ecuación es ecuación es
*onde f es es una función arbitraria de y . La ecuación diferencial ordinaria (#imilar ordinaria (#imilar a la E*, pero con funciones de una variable) análo!a es
que tiene la siguiente solución
*onde c es es cualquier valor constante (independiente constante (independiente de x ). ). Estos dos e1emplos ilustran que las soluciones !enerales de las ecuaciones
diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales !eneran funciones arbitrarias. 0na solución de una ecuación en derivadas parciales !eneralmente no es 2nica3 de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma 2nica. or e1emplo, en el caso sencillo anterior, la función f (y ) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x + . En las ecuaciones en derivadas parciales es muy com2n denotar las derivadas parciales empleando sub4índices (5otación tensorial). Esto es6
Especialmente en la física (matemática), se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como ) para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por e1emplo para escribir la Ecuación de onda (v/ase más aba1o) como (notación matemática) (notación física)
lasificación de las ecuaciones diferenciales parciales La ecuación en derivadas parciales lineal y de se!undo orden $%&u ' %&u ' %&u ' *%u ' E%u ' fu + %x&
%x%y
%y&
%x
%y
En donde $, , , *, E, 7 son constantes reales, es 8iperbólicas si & 4 9$: arabólicas si & 49$ + Elípticas si & 49$;
Ecuaciones elípticas <. sustitución de la ecuación de laplace por una ecuación de diferencias =. problema de diric"elt >. iteración de !auss4seidel
#ustitución de la ecuación de laplace por una ecuación de diferencias #i u es una función de dos variables x y y, se pueden formar dos diferencias centrales6 0(x ' ",y) ? =u(x,y) ' u(x ? ",y) y u(x,"'y) ? =u(x,y) ' u(x,y4") *onde desarrollando las se!undas derivadas parciales obtendremos %&u + < @0(x ' ",y) ? =u(x,y) ' u(x ? ",y) A %x& "& %&u + < @u(x,"'y) ? =u(x,y) ' u(x,y4") A %y& "&
