Ecuación diferencial ordinaria
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas derivadas con con respecto a esa variable. as ecu ecuacio acion nes dife diferrenci encial ale es ordi ordin naria ariass se dist distin in!u !uen en de las las ecuaciones ecuac iones difer diferencial enciales es par parciales ciales,, las las cual cuales es invo involu lucr cran an derivadas parciales de parciales de varias variables. as ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la !eometra !eometra,, mecánica mecánica y y astronoma astronoma,, además de muc#as otras aplicaciones. $e #a dedi dedica cado do muc# muc#o o estu estudi dio o a la resol esoluc ució ión n de este este tipo tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teora para ecua ecuaci cion ones es line lineal ales. es. $in $in emba embar! r!o o la mayo mayor ra a de las las ecua ecuaci cion ones es diferenciales interesantes son no%lineales, a las cuales en la mayora de los casos no se les puede encontrar una solución e&acta. Introducción
Si F es es esta relación o función función,, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es (1a 1a)) La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por: (1b 1b)) Donde los ai representan funciones dependientes de t . na solución de la ecuación (1a ( 1a)) o (1b 1b)) será una !familia! de cur"as o funciones del tipo #ue substituida substituida dentro de la ecuación ecuación la con"ierte con"ierte en una igualdad igualdad en la #ue todos los t$rminos son conocidos.
Definiciones Ecuación diferencial ordinaria
Si y es una función desconocida:
de x siendo y(n) la en$sima deri"ada deri"ada de de y, entonces una ecuación de la forma (1) es llam llamad adaa una una ecuación diferencial ordinara (EDO) de orden n. %ara funciones "ectoriales,, "ectoriales , sistema de ecuacio ecuaciones nes lineale linealess difere diferencia nciales les de la ecua ecuaci ción ón (1) es llamada un sistema dimensión m.
&uando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma
es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras #ue en la forma
es llamada una ecuación diferencial explícita. na ecuación diferencial #ue no depende de x es denominada autónoma. Se dice dice #ue #ue una una ecuac ecuació ión n dife diferen renci cial al es lineal si F pued puedee ser escrita escrita como una una combinación lineal de lineal de las deri"adas de y
siendo, siendo, tanto ai( x x) como r ( x x) funciones continuas de x. La función r ( x x) es llamada el termino fuente (traduc (traducido ido del ingl$s ingl$s source term)' si r ( x x) la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea. Soluciones
Dada una ecuación diferencial
una función u: I ' R * * R es es llamada la solution o cur"a integral de integral de F , si u es n "eces deri"able en I , +
Dadas dos soluciones u: J ' R * * R + + v: I ' R * * R , u es llamada una extensión de v si I ' J , +
na solución #ue no tiene etensión es llamada una solución general. na solución general de una ecuaci ecuación ón de orde orden n n es una solución solución #ue contie contiene ne n "ariab "ariables les arbitra arbitrarias rias,, corresp correspond ondien ientes tes a n consta constantes ntes de integ integración ración.. n na solución particular es deri deri"a "ada da de la solu soluci ción ón gene genera rall medi median ante te la fi-a fi-aci ción ón de "alo "alore ress particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. iniciales. na solución singular es es una solución #ue no puede ser deri"ada de la solución general.
PRACTICA Nº 1
I.
Determinar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales respectivas. − x
y=e
1.
''
'
(3cosx-2senx); y + 2 y + 2 y = 0
Hallando las derivadas •
− − y ' =−e x ( 3 cosx − 2 senx ) + e x (−3 senx −2 cosx )
¿−5 e− x cosx −e− x senx
¿ e− x (5 cosx + senx ) − y ' =−e x ( 5 cosx + senx )
•
'' − x − x y = e ( 5 cosx + senx ) − e (−5 senx + cosx )
4e
− x
− x
cosx + 6 e senx
− e ( 4 cosx + 6 senx ) x
− x '' y = e ( 4 cosx+ 6 senx )
− x − x − x '' ' y + 2 y + 2 y = e ( 4 cosx + 6 senx )+ e (−10 cosx − 2 senx )+ e ( 6 cosx − 4 cosx )
y '' + 2 y ' + 2 y = o
.
' ' ' 2 x y = e ( c 1cos2 x −c 2cos2 x ) ; y − 4 y + 8 y =0 … .∗¿
'
hallando las derivadas: y , y' ' ! 2 y ' =2 e x( c 1cos2 x −c 2 sen 2−c 1 sen 2 x −c 2cos2 x )
''
x
2 y =−8 e ( c 1 sen 2 x + c 2cos2 x )
reemplazando enlaecuacion y '' − 4 y ' + 8 y =−8 e x ( c 1 sen 2 x + c 2cos2 x ) + 8 e x ( c 1cos2 x −c 2 sen 2 x ) 2
2
−8 e2 x ( c 1cos2 x −c 2 sen 2 x − c 1 sen 2 x −c 2cos2 x ) ' '
'
y − 4 y + 8 y =0
".
' ' '
2
y = x lnx ; x y =2
'' '
hallando y : '
y =2 xlnx + x
1
2
x
=2 xlnx + x
1
''
y = 2 lnx + 2 x + 1 =2 lnx + 3 x 1
'' ' y =2 x
reemplazando ' ''
x y = 2
#.
x =( t + 1 ) e t + c 1
'
'' e ' ; y ( y + 2 )=1 y
2
t
y =t e + c 2
dy t t 2 t dy dt 2 t e + t e t e ( 2 + t ) = = = =t dx dx ( t + 1 ) et + et e t ( 2 + t ) dt y ' =t
y
y
'
'e
( y' +2 ) =t e t (t + 2 ) t e t ( t + 2 )=
$.
y=
dy dx
c 2− x 2 ; ( x + y ) dx + xdy = 0 2 x
( x + y )+ x y ' =0 '
y =(− 2 x ) ( 2 x )−( c 2− x 2 ) ( 2 ) = '
y =
−1 2 x 2
−2 x 2−2 c 2 4 x 2
( x 2+ c 2 )
reemplazando :
(
)
− − ( x + y )+ x y ' = c 2 x 2 + x 1 ( x 2 + c 2 ) =0 2 x
%.
2 x 2
( t −a ) 2 + ( x −b ) 2= c 2 ; ( 1 + ( x ' ) 2 ) 3 =( c x '' ' ) 2
'
x =
a−t √ c 2−( t −a ) 2
x '' =
−c 2 ( c 2−( t −a ) 2 ) 3 / 2
reemplazando
(
1+
)
( a −t ) 2 c6 −c 3 =( )2 3= c 2 −( t −a ) 2 ( c 2−( t −a ) 2 ) 3 ( c 2−( t −a ) 2 ) 3 2
&.
''
x =2cos h 2 t − 3 senh 2 t ; x − 4 x =0 '
x =4 senh 2 t −6cos h 2 t
x '' =8cos h 2 t −12 senht reemplazando
x '' − 4 x =8cos h 2 t −12 senht − 4 ( 2cos h 2 t −3 senh 2 t )= 0
'.
x = s + arcsen ( s ) ; x = y ' + arcsen( y ' )
y =
s2 2
−√ 1 −s 2
s (1+ '
y =
(1 +
1
√ 1− s 2 1
√ 1− s 2
)
)
'
y = s x = s + arcsen ( s )= y + arcsen ( y ) '
'
y + arcsen ( y )= s + arcsen (s ) '
II.
Para cada una de las siguientes soluciones generales encuentre una ecuaci(n de la que es soluci(n. 1.
x ( t )=c 1 + c 2 t + c 3 t 2
x ' =c 2 + 2 tc 3 x '' =2 c 3
x '' −2 c =0
2.
y = c 1cos ( 3 x ) + c 2 sen ( 3 x ) '
y =−3 c 1 sen 3 x ''
y =−9 c 1cos3 x −9 c 2 sen 3 x
'' y + 9 =0
3.
y = Acos h x + Bsenx + x '
y =− Asenx + Bcosx + 1
y '' =− Acosx − Bsenx
Y ' ' + Y − X = 0
w ( a )= Asena + cosa
4.
'
w = Acosa −sena ''
w =− Asena−cosa w '' =−w
' ' w + w =0
x ( t )=c 1cos2 t + c 2 sen 2 t + c 3cos h 2 tc 4 senh 2 t
5.
'
x =−2 c 1 sen 2 t + c 2cos 2 t −2 c 3 senh 2 t + 2 c 4cos h 2 t x '' =−4 c 1cos2 t −4 c 2 sen 2 t + 4 c 3cos h 2 t + 4 c 4 senh 2 t
. . 4 x −16 x = 0
III.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales mediante el método de separación de variables 1.
dy =sen 5 x dx dy = sen 5 xdx
∫ dy =∫ sen 5 xdx +c y =
−1 5
sen 5 x + c
c = y + 1 / 5 cos5
2.
dy =( x + 1 ) 2 dx
∫ dy =∫ ( x +1 ) 2 dx + c 1 3
y = ( x + 1 ) 3 + c
c = y −1 / 3 e
3.
−ex
dx + e x dy =0 3
∫ e− +∫ dy = c 3 x
1 − 3 x e + y =c 3
−3 x
c = y −
4.
'
xlnx y − y = x 3 ( 3 lnx−1 )
e
3
(
)
1 1 x 2 ( 3 lnx −1 ) y ' − y ¿= ( ) lnx xlnx lnx lnx 1
y x 3 = +c lnx lnx
y = x 3 +clnx
5.
dy + 2 yx =0 dx
=−∫ 2 xdx + c ∫ dy y lny=− x 2+ c
c =lny + x 2
!.
dy 3 x + 2 =e dx 3 x 2 y dy = e −e dy
∫ e−
2 y
∫
dy = e x dx + c
c=
I".
3
−1 2
−2 y
e
1 3
− e3 x
Resolver los problemas #"I 1.
dx = 4 ( x 2 + 4 ) dt
x
( )= π 4
1
dx = 4 ( x 2 + 1 ) dt
arct ( x ) = 4 t + c reemplazando
x
() π 4
! t =
arct ( 1 )= 4
π 4
( )+ π 4
c
π 4
= π + c
c=
−3 π 4
arct ( x )= 4 t −
2.
3 π 4
dx y 2−1 = dt x 2−1
y (2 )=2 1 1 ln ( y− 1 ) − ln ( y 2− 1 ) =ln ( x − 1 ) − ln ( x 2−1 ) + c 2 2
c = ln
( −− )+ y 1 x 1
1 x 2−1 ) ln ( y 2− 1 2
si : y ( 2 )=2 1 2
! c =ln ( 1 ) + ln ( 1 )=0
1 1 ln ( y−1 ) + ln ( y 2−1 )= ln ( x −1 )− ln ( x 2− 1) 2 2
3.
dx + 2 y =1 dt
y ( 0 )=
5 2
dy =( 1 −2 y ) dx si : y ( 0 )=5 / 2
−1 2
−1 2
ln ( 2 y −1 ) = x + c
ln 4 =0 + c ! c =0,69
−1 2
4.
dx − y 2=−9 dt
y
( )= 1 3
1
dy =( x 2−9 ) dx
ln ( 2 y −1 ) = x − 0,69
1 2
c = ln ( y −3 ) − ln ( y 2−9 )− x
si : y
( )= 1 3
1
1 1 ln 2− ln 8 = + c 2 3
c=
−1 2
ln 2−
1 3
ln ( y −3 ) −
5.
(
1 ( y 2 −9 )= x − 1 ln 2 + 1 2 2 3
dx 2 x + 1 = dt y y (−2 ) =−1 y 2 = x 2 + x + c
(−1 ) 2= (−2 ) 2−2 + c c =−1
y 2 = x ( x + 1 )−1
)
Función Homogénea
$ea la función *(&,y), se dice que es #omo!+nea de !rado "n" si se verica que f( t&, ty) t-f( &, y) siendo "n"un número real. En muc#os casos se puede identicar el !rado de #omo!eneidad de la función, anali/ando el !rado de cada t+rmino a ecuación diferencial 0( &, y) dx 1 2 (&, y) dy 3 es #omo!+nea s 0 y 2 son funciones #omo!+neas del mismo !rado
PRACTICA Nº
I.
Determinar si las funciones dadas ) si son esta*lesca el grado 1.
4 x 2−3 xy + y 2= # ( x , y )
# ( $x,$y )= 4 ( $x ) 2−3 ( $ y ) ( $ x )+ ( $ y ) 2 # ( $x,$y )= $ 2 ( 4 x 2−3 xy + y 2)
es homoeneade rado 2
2.
x 3 − xy + y 3 = # ( x , y ) # ( $x,$y )= ( $x ) 3 −( $x ) ( $y ) + ( $y ) 3
# ( $x,$y )= $ 3 ( x 3 + y 3 )− $ 2 xy
noes homoenea
3.
# ( x , y ) =e
x
# ( $x,$y )=e $x
no es homoenea
4.
x y
# ( x , y ) =e
xx xy
# ( $x,$y )=e
# ( $x,$y )=e x / y $
0
noes homoenea
5.
# ( x , y ) =tx
# ( $x,$y )=t ( $x)
no es homoenea
II.
Resolver los siguientes e$ercicio por el método de ecuaciones %omogéneas.
1.
( x 2− 2 y 2 ) dx + xydy =0 y =ux dy =udx + xdu reemplazando en laecuacion x 2 ( 1−2 u 2 ) dy + x 2 udy =0 dx −2 u 2 dx + u 2 dx + uxdu= 0
( 1−u 2 ) dx + udxdu=0
dx u du =0 + x 1−u 2 interandoambos mienbros
ln
x2 u 2 −1
=c
reemplazandoel valos deu :
x4 % = y 2− x 2
2.
− y / x
x y ' = y + 2 x e y =ux
dy =udx + xdu reemplazando en laecuacion x ( udex + xdu ) = x ( u + 2 e
−2
) dx
dx du − −4 =0 x 2 e
interandoambos mienbros
y / x
lnx−
e
2
=c
3.
xy 2 dy −( x 3 + y 3 ) dx =0 y =ux dy =udx + xdu reemplazandoenlaecuacion x 3 u 2 (udx + xdu ) − x 3 ( 1 + u 3 ) dx =0
u 2 du−
dx =0 x
interandoambos mienbros
lnx =
y3 +c 3 x 3
x =e
4.
x 3 3 x 3
. %
( x + y 3 ) dx + ( 3 y 5 −3 y 2 x ) dy =0 −
x = z a ; dx =a z a 1 dz y =uz dy =udz + zdu aplicando la sustitucion se obtiene
( z 3 + u 3 z 3 ) 3 z 3 dz + 3 ( z 5 ) ( u 5 −u 2 ) dy =0
dz u 5 −u 2 + du =0 z 1+ u 6 interandoambos miembros
6 ln √ x + ln 3
()
x 6 + y 6 y −2 arct 3= c x 6 x
5. ycosxdx + ( 2 y − senx ) dy =0
z = senx dz = cosxdx aplicandole al ploblema ydz + ( 2 y − z ) dy = 0 nuevamente realizamos otrasustitucion
y =uz dy =udz + zdu uzdz + ( 2 uz − z ) dy = 0 interandoambos miembros
lnx +
senx =c 2 y
III.
&emuestre 'ue con la a(uda de la sustitución ()v* puede resolverse cual'uier ecuación de la forma yn# ( x ) dx + & ( x , y ) ( ydx − xdy )=0
Donde h ( x , Y ) eshomoenea en x , y
solucion + y = vx y # ( x ) dx + & ( x , y ) ( ydx− xdy )=0 n
realicemosla sustitucion: y = vx dy = vdx + xdv v xn# ( x ) dx + x & ( d , u ) ( vxdx − x ( vdx + xdu ) ) =0 n
m
v x # ( x ) dx = x & ( 1, v ) ( x 2 dv ) n
n
m
( x ) = & ( v ) + c ( x )= x '
n− m
# ( x )
reemplazando el valor de y
y ( x )=h + c x
I".
Resolver los siguientes e$ercicios por el método de ecuaciones reducibles a %omogéneas. 1.
( y−2 ) dx −( x − y −1 ) dy =0 l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2 + l 1 : y−2 =0
l 2 : x − y − 1=0
x =3 ; y=2 wdz −( z − w ) dw = 0 realizamoslas sustitucion z =uw,dz =udw + wdu w ( udw + wdu ) −( uw −w ) dw =0 du =
−dw w
interando : u + lnu=c devolviendo los valores iniciales x −3 + ln ( y−2 )= c y −2
2.
x −4 y −9 =dx + ( 4 x + y −2 ) dy =0
¿
l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2 l 1 : ( x −4 y −9 )=0 l 2 : ( 4 x + y −2 )=0 x =1 ; y=−2
( z − yw ) dz + ( yz + w ) dw= 0 z =uw dz =udw + wdu w ( u −4 ) ( udw + wdu ) + w ( 4 u + 1 ) dw = 0 dw u −4 + du =0 w u 2+1 interando ambos miembros: 1 2
lnw + ln (u 2 + 1 )− 4 arct ( u )=c
x −1 ) y + 2
ln ( ( y + 2 ) 2+ ( x − 1 ) 2 ) − yarct (
3.
( 2 x − y ) dx + ( 4 x + y −6 ) dy = 0 l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2
l 1 : 2 x − y =0 l 2 : 4 x + y −6 =0 x =1 ; y=2 reemplazandoenlaecuacion
( 2 z −w ) dz + ( 4 z + w ) cw =0
realizamoslas sustitucion w =uz dw =udz + zdu
z ( 2 −u ) dz + z ( 4 + u ) ( udz + zdu ) =0 dz 4+u + du =0 z ( u + 2 ) ( u + 1 )
interando
ln
4.
x + y + 3 =c 2 x + y − 4
( x −4 y −3 ) dx =( x −6 y −5 ) dy =0 l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2
l 1 : x −4 y −3 =0
l 2 : x −6 y − 5=0 x =1 ; y=−1 reemplazandoenlaecuacion
( z −4 w ) dz −( 4 −6 w ) dw =0 w =uz dw =udz + zdu z ( 1− 4 u ) dz − 4 ( 1− 6 u ) ( udz + zdu ) =0 6 u −1 dz + =0 z ( 3 u −1 ) ( 2 u−1 )
interandoambos miembros :
ln
5.
(
)
( 2 x − x + 1 ) 2 =c 3 x − x + 2
( 2 x +3 y −5 ) dx + ( 3 x − y − 2 ) dy =0 l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2 l 1 : 2 x + 3 y −5 =0 l 2 : 3 x − y −2 =0 x =1 ; y=1
( 2 z + 3 w ) dz + ( 3 z − w ) dw =0 w =uz du =udz + zdu z ( 2 + 3 u ) dz + z ( 3 −u ) ( udz + zdu )= 0 dz u −3 + du =0 z u 2−6 u− 2 interando 1 2
lnz + ln ( u 2−6 u −2 ) =c
ln ( ( y −1 ) 2−6 ( y −1 ) ( x − 1 )−2 ( x − 1 ) 2 ) =c
!, ( 3 x + 2 y +7 ) dx −( 2 x − y ) dy =0 l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2
l 1 : 3 x + 2 y + 7 =0 l 2 : 2 x − y =0
x =1 ; y=−2
( 3 z + 2 u ) dz −( 2 z −w ) du=0
w =uz dw =uz + zdu z ( 3 + 2 u ) dz − z ( 2−u ) ( udz + zdu ) =0 dz u + du =0 z u 2+ 3
interando
− 4 √ 3
arct √ (
3 y + 2 ) 3 3 x + 1 x + 1 ) 2 ¿ ( y +2 ) 2 + 3 ( x ln ¿
-, ( 9 x −4 y + 4 ) dx −( 2 x − y + 1 ) dy =0
l 1 ( l 2 ! ∃ p ( h , % ) ∈ l 1 ) l 2 l 1 : 9 x − 4 y + 4 =0 l 2 : 2 x − y + 1=0 x =0 ; y=1
( 4 z − yw ) dz −( 2 z −w )=0 reempl reemplazan azando do la sustituc sustitucion ion : w =uz
du =udz + zdu z ( 9 −4 u ) dz − z ( 2 −u ) (udz + zdu ) dz u− 2 du=0 + z ( u−3 ) 2
interando
ln ( z z )+ ln ( u−3 )−
1
u −3
ln ( 3 x + y −1 ) +
=c
x =c 3 x − y + 1
,- / ( / 1, d / 2 / 2( 0 1, d ( )
s una .&. no %omogénea.
'
1 2 ∴ *
a a = ' = * ⇔ 1 = 2 = * b b 1 2
=1 ntonces+ 1 62 / 2(, / 1, d / 2 / 2( 0 1, d( ) / / 01-
∗ ∗
1 / ( / 1 ) 2 2 / 2( 7 1 )
2 / 2( ) 1/. 0-
Reemplaando 00- en en 0101-++ 161, / 1, d / 2 / 2( 0 1, d( ) 2d / 2 / 2( 0 1, d( ) 2 dy + =0 2 x + 2 y −1 dx
Realiamos la sustituci(n+
8) 2 / 2( 7 1 ⇔
d8) d8) 2d / 2d(
d( )
dz 2
0 d
Reemplaando+
dz 2
z
z
Integrando
∫ ( z −z 2 )
8 / 2
+
dz 2
2
− dx dx
−( z z −2 ) dx
d8 0 2
ln .
)
)
d
8 0 2, 2, 7 2 7 2 )
2ustitu)endo los valores iniciales ∴
2( 0 1, / 2
ln .∨2 x + 2 y + 3 ∨¿
13- 2 13- 2 / (, d 7 s %omogénea.
)9
'
1 2 ∴ *
a a 2 −4 = ' = * ⇔ = = * b b 1 −2
=2
ntonces+ ntonces+ 2 2 64 / 2(,, d 0 4 / 2( 0 1, d( ) / 01∗ ∗
1 2 / ( ) 2 4 / 2( 7 1)
4 / 2( ) 1/. 0-
Reemplaando 00- en en 0101-++
4 / 2( 0 1, d( ) una .&. no
261,, d 0 4 / 2( 0 1, d( ) 2d / 4 / 2( 0 1, d( ) 2 dy + =0 4 x + 2 y −1 dx
Realiamos la sustituci(n+ 8) 4 / 2( 7 1 d8) 4d / 2d(
⇔
d( ) d8 0 2d
Reemplaando+
dz 2
z
−
2
z 1 + z
∫ (1 +z z )
Integrando
80
ln .
−2 dx dx
)
d8 7 4d )
d8 0 4
d
1/8, 7 4 )
2ustitu)endo los valores iniciales ∴
2( 0 1, 0
ln .∨ 4 x + 2 y ∨¿
4- &emostrar 'ue variables
)
)9 el cambio de
1 u
/ 2 v * ( ) u / v
:ransformar la ecuación. a1 / b1( / c1, d / a2 / b2 / c2, d( ) /. 01s una ecuación en la 'ue las variables u ( v son separables* si ra
1 y 2
son
a
¿ b ¿ / b2 ) /. 0¿ / 1 ¿
2
1 /
1 ( 2
= si
.
Solución:
1 y 2
&ado 'ue
son ra
a1 1
/
b1 ¿ 1
/
b2
)
a2
b1 ¿ 2
/
b2
)
1 du
/
¿ /
2
a1 1
a2
/
¿ /
5aciendo el cam*io de varia*les+ )
1 u
2 v
/
() u/v
d )
2 dv
d( ) du / dv
Reemplaando en la ecuaci(n 01-+
( a ( u + v ) + b ( u + v ) + c ) ( du + dv ) + ( a ( u + v ) + b (u + v ) + c )( du + dv )
)
1 u + a 1 2 v + b1 u + b1 v + c 1 ) ( 1 du + 2 dv ) +( a2 1 u + a2 2 v + b 2 u + b2 v + c 2)( du + dv )
)
1
(a
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
a1 1 ( udu ) + b1 1 ( udu ) + a 1 2 ( vdv )+ b1 2 ( vdv ) + a 2 1 ( udu ) + b 2 ( udu ) + a2 2 ( vdv ) + 0 + b 2 ( vdv )+ a1 1 2 ( udv )+ a1 1 2
)
2
( udu ) ( a1 21+ b1 1 + a2 1 +b 2) + ( vdv ) ( a1 22 + b1 2 + a 2 2+ b2 ) +¿
[
⏟ ⏟ ] [ ⏟ ⏟]
u ( a1 1 2 + b 1 2+ a2 1 + b2 ) + ( c 1 2 + c 2 ) dv + v ( a1 1 2 + b1 1+ c2 2+ b2) +( c 1 1 + c 2) du % 1
% 2
% 4
)
% 3
&onde
% 1= a1 1 2 + b 1 2+ a2 1 + b2 % 2= c 1 2+ c 2 % 3 =a1 1 2 + b 1 1+ c 2 2+ b2 % 4=c 1 1 + c 2
uego
[ u (% + % ) ] dv +[ v ( % ) +% ] du 1
2
3
4
)
dv du + v ( % 3 ) + % 4 u ( % 1 )+ % 2 )
cuación de variables separables
Integrando
∫ v ( % dv) + % +∫ u ( % du) +% 3
1
% 3
4
ln |v ( % 3 + % 4 )|+
1
1
% 1
2
)
ln |u ( % 1 + % 2 )|=-
I.
2eleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son e6actas ) resolverlas.
( x 2− y ) dx − xdy ⏟ ⏟
1.
( x , y )
0 0y
/ ( x , y )
)
0 / 0x
*(, ) 01
*(, ) 01 .... s una & ecuación diferencial
eacta,. 2
# : 1 ! 1 * tal que+
7uego8 sea una funci(n
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
# ( x , y ) =¿ # ( x , y )
)
∫ ( x − y ) 2
x
d / g(,
3
3
0 ( / g(, /. 09-
Derivando 09- con respecto a )+
⏟
0 # ( x , y ) 0y ) 0 / g?(,
− x =− x + 2 ( y )
/ ( x , y )
( y ) =0 '
g(, ) c ; c ) cte
Reemplaando en 09-+
3
x # ( x , y ) = − xy + c 3
x
3
% = − xy 3
2
y ( x −2 y ) dx − x dy ⏟
.
( x , y )
0 0y
".
( x 2+ y 2) dx − xy dy
⏟
⏟
*(, ) 2(
( x 2+ y 2) dx −2 xy dy ⏟
⏟
0 0y
*(, ) 2(
⏟
0 / 0x
*(, ) 0(
0 / 0x
*(, ) 02(
@. Ao es una &
@. Ao es una &
@. Ao es una &
( x + ycosx ) dx − senxdy $.
⏟
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
)
0 / 0x
*(, ) cos
Bea una función
)
)
/ ( x , y )
( x, y )
*(, ) 02
/ ( x , y )
)
/ ( x , y )
( x, y )
0 0y
#.
*(, ) 02
0 / 0x
⏟
*(, ) cos .... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal 'ue
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y 0 # ( x , y ) 0x # ( x , y ) =¿
d )
> *(, / g(,
∫ ( x + ycosx )
d / g(,
# ( x , y )
x
)
2
/ (sen / g(, /. 09-
2
Derivando 09- con respecto a )+
⏟
0 # ( x , y ) 0y ) sen / g?(,
senx =senx + 2 ( y )
/ ( x , y )
( y ) =0 '
g(, ) c ; c ) cte
Reemplaando en 09-+ 2
x # ( x , y ) = + ysenx + c 2
x
2
% = + ysenx 2
⏟
( 1 +e 23 ) dp + 2 p e2 3 d3 ⏟
%.
( x, y )
0 03
p*C, )
0 / 0x
23
2e
p*C, ) 2 e
23
.... s una &
2
Bea una función
# : 1 ! 1 * tal 'ue
0 # ( p , 3 ) 0 # ( p , 3 ) = ( p,3 ) ; = / ( p ,3 ) 0p 0p
∫ 0 # (0 pp, 3 ) # ( p, 3 ) dp=¿ # ( p, 3 )
dp )
> p*C, / gC,
∫ ( 1+ e
23 ( ) p + e 1 )
Derivando 09- con respecto a )+
23
/ ( x , y )
) dp / gC,
/ g(, /. 09-
)
0 # ( p ,3 ) 03 )
⏟
1+e
23
2 e p =2 e p + 2 ( 3 ) 23
/ g?(,
23
/ ( x , y )
( 3 )=0 '
gC, ) c ; c ) cte
Reemplaando en 09-+ 23 # ( p, 3 )=( 1+ e ) p + c
23 % =(1 + e ) p
dx − √ a2− x 2 dy
1 ⏟
&.
⏟
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
0 / 0x
*(, )
⏟ ⏟
x *(, )
√ a − x 2
2
&
( 2 x + 3 y + 4 ) dx −(3 x +4 y + 5) dy '.
( x , y )
0 0y
/ ( x , y )
0 / 0x
*(, ) 3
2ea una funci(n
)
*(, ) 3 .... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
# ( x , y ) =¿
∫ (2 x +3 y +4 )
d / g(,
# ( x , y ) ) x 2 /3(/4 / g(, /. 090 0y
)
0 # ( x , y ) ) 3 / g?(, 0y
@. Ao es una
3 / 4( / 5 ) 3 / g?(,
2 2 # ( x , y ) = x + 3 xy + 4 x + 2 y + 5 y
g(, ) 2(2 / 5(
g?(, ) 4( / 5
2 2 % = x + 3 xy + 4 x + 2 y + 5 y
⏟ ⏟ 1
1
x
y
( 4 x3 y 3 + ) dx −( 3 x 4 y 2− ) dy ,.
( x , y )
0 0y
)
/ ( x , y )
*(, ) 12 (
2ea una funci(n
0 / 0x
:
3 2
*(, ) 123(2.... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
∫ (4 x y + x1 ) 3
# ( x , y ) =¿
3
d / g(,
# ( x , y ) ) x 4 y 3 / ln x 0 # ( x , y ) ) 0y 4
3 x y
2
−
1
y
4
3 x y
)
4
% = x y ln y
3
2
4
3 x y
/ g?(,
# ( x , y ) = x y 4
/
2
ln x
0
/ g(, /. 09-
/ g?(,
−1
g?(, )
3
/
ln x
y
0
g(, )
−ln y
ln y
⏟ ⏟ ( x √ x 2+ y 2− y ) dx −( y √ x 2 + y 2− x ) dy ( x , y )
)
⇔
/ ( x, y )
0 0y
2 2 xy −√ x + y
√ x + y
*(, )
2
0 / 0x
:
2
2 2 xy −√ x + y
√ x + y
*(, )
2
2
.... s una
& 2ea una funci(n
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
∫ ( x √ x + y − y )
# ( x , y ) =¿
2
2
d / g(,
3
# ( x , y )
)
2 2 ( x + y 2 ) 2 − xy 6
0 # ( x , y ) ) 0y
/ g(, /. 09-
x √ x + y − x / g?(, 2
2
2 2 2 2 x √ x + y − x ) x √ x + y / g?(,
g?(, )
0⇔
g(, )c ; cte.
3
2 2 2 # ( x , y ) = ( x + y ) 2 − xy 6
/ c
3
2 % = ( x 2 + y 2) 2 − xy 6
⏟
⏟
( x , y )
/ ( x , y )
( x + y + 1) dx −[−( x − y −3 )] dy 13.
0 0y
*(, ) 1
)
0 / 0x
*(, ) 01
@. Ao es una &
y − x + 3
−(¿) ¿ dy
⏟
11.
¿
)
( x + y + 1) dx −¿ ( x , y )
0 0y
0 / 0x
*(, ) 1
2ea una funci(n
*(, ) 1 .... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
∫ ( x + y +1)
# ( x , y ) =¿
# ( x , y )
)
x
d / g(,
2
2
+ xy + x / g(, /. 09-
0 # ( x , y ) ) / g?(, 0y
0 ( 0 3 ) / g?(,
g(, )
− y 2 2
Reemplaando en 09-+ 2
2
x y # ( x , y ) = 2 + xy − 2
x
2
y
% = + xy − 2
2
2
0 3(
0 3(
0 3(
II.
⏟
Resolver por el m;todo de las ecuaciones e6actas.
⏟
( tanx− senx.seny ) dx + cosxcosy dy 1.
/ ( x, y )
( x , y )
0 0y
*(, ) 0 cos(sen
2ea una funci(n
0 / 0x
)
*(, ) 0 cos(sen .... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
# ( x , y ) =¿ # ( x , y ) ) 0 0y
∫ (tanx− senxseny ) ln ( cosx ) + senycosx
d / g(,
/ g(, /. 09-
0 # ( x , y ) ) coscos( / g?(, 0y coscos( ) coscos( / g?(,
g?(, )
0⇔
Reemplaando en 09-+
# ( x , y ) =ln|cosx|+ senycosx + c
% =ln |cosx|+ senycosx
g(, )c ; cte.
y 3 2 ysenx − x + ln ¿
⏟ ¿ ¿
.
2
2
( y cosx −3 x y −2 x ) dx +¿
)
( x , y )
0 0y
0 / 0x
2
*(, ) 2(cos03
*(, ) 2(cos032 .... s una &
2
2ea una funci(n
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
∫ 0 # (0 xx, y )
d )
> *(, / g(,
# ( x , y ) =¿
∫ ( y cosx −3 x y −2 x ) 2
2
d / g(,
# ( x , y ) ) y 2 senx− x 3 y − x 2 / g(, /. 09Derivando a 09- con respecto a )+
0 # ( x , y ) ) 2(sen 7 3 /g?(, 0y 2(sen ) 2(sen 7 3 / g?(,
".
⏟ 3
+ xsen ( xy ) ¿ ¿ (2 x + ysen ( xy )−5 y 4 ) dx −¿ ) ( x , y )
3 − x 3 ⇔ g(, )0 (
2 3 2 3 # ( x , y ) = y senx − x y − x − y x
% = y 2 senx − x 3 y − x 2− y x 3
20 x y
g?(, )
0 0y
0 / 0x
¿
3
*(, ) 0 (cos(, 7 2( 7 sen(,
*(, ) 0 (cos(, 7 2(3 7 sen(, .... s una &
2
2ea una funci(n
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y 0 # ( x , y ) ∫ 0x
d ) 4 > *(, / g(,
# ( x , y ) =¿
# ( x , y )
∫ (2 x − ysen ( xy )−5 y ) 4
)
d / g(,
x (¿ ¿ 2 + cos ( xy )− 5 x y 4 ) / g(, /. 09-
¿
0 # ( x , y ) ) ) 0 sen(, 7 2(3 / g?(, 0y 7 2(3 0 sen(, ) 0 sen(, 7 2(3 / g?(,
⇔
0⇔
g?(, )
g(, )c ; cte.
Reemplaando en 09-+
# ( x , y ) = x + cos ( xy )−5 x y + c 2
4
2 4 % = x + cos ( xy )−5 x y
#.
⏟ ⏟
( 2 x y 2 + y e x ) dx + ( 2 x y 2 + e x −1 ) dy
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
x
*(, ) 4( /
e
¿
)
0 / 0x
x
*(, ) 4( /
e
.... s una &
2
# : 1 ! 1 * tal que+
2ea una funci(n
0 # ( x , y ) 0# ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y 0 # ( x , y ) ∫ 0x
d ) 4 > *(, / g(,
∫ (2 x y + y e ) x
2
# ( x , y ) =¿
d / g(,
# ( x , y ) ) x 2 y 2 + y e x / g(, /. 090 # ( x , y ) ) 0y 2
x
2 x y + e
−1 )
x
2
2 x y + e
x
2
2 x y + e
/ g?(,
⇔
/ g?(,
− y
g?(, )
⇔
− y 2 g(, )
2
Reemplaando en 09-+
2
x
2
y
# ( x , y ) = x y + y e − 2
% = x y + y e −
y
2
x
2
2
2
2
⏟ 2
x cos ( xy )
$.
¿ ¿
( sen ( xy )+ xycos ( xy )) dx +¿ ) ( x , y )
0 0y
2
*(, ) 2(cos(, 0 (sen(,
¿
0 / 0x
*(, ).2(cos(, 0 2(sen(, una &
2
2ea una funci(n
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
.... s
0 # ( x , y ) ∫ 0x
d ) 4 > *(, / g(,
∫ (sen ( xy ) + xycos ( xy ))
# ( x , y ) =¿
# ( x , y ) ) xsen( xy ) 0 0y
d / g(,
/ g(, /. 09-
0 # ( x , y ) ) 2cos(, /g?(, 0y
2cos(, ) 2cos(, / g?(,
⇔
g?(, )
0⇔
g(, )c ; c ) cte.
Reemplaando en 09-+
# ( x , y ) = xsen ( xy )+ c
% = xsen( xy )
%.
⏟
⏟
( y e xy +4 y 3) dx +( xe xy + 12 x y 2−2 y ) dy ( x, y )
0 0y
xy
xy
2 e + xy e + 12 y
*(, )
/ ( x , y )
)
0 / 0x
¿
xy
xy
*(, ). e + xy e + 12 y
2
... s una & 2
2ea una funci(n
# : 1 ! 1 * tal que+ 0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y
0 # ( x , y ) =¿ 4 0x
∫ ( y e
xy
+ 4 y 3 ) d / g(,
# ( x , y )
)
0 # ( x , y ) ) 0y
12 x y
⇔
−2 y
g?(, )
xy
3
4 y x + e 2
g(, /. 09-
+ x e xy
/ g?(,
⇔
g(, ) y
2
Reemplaando en 09-+ 3 2 xy # ( x , y ) =4 y x + e − y
3
xy
% =4 y x + e − y
&.
2
⏟ ⏟
(1 +tysenx ) dx +(−cosx sec2 y ) dy
0 0y
)
/ ( x , y )
( x, y )
2
*(, ) sensec
¿
0 / 0x
*(, ) sensec2 &
2ea una funci(n
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y 0 # ( x , y ) ∫ 0x
d ) 4 > *(, / g(,
# ( x , y ) =¿
∫ (1+ tysenx )
# ( x , y ) ) x + tycosx 0 0y
d / g(,
/ g(, /. 09-
0 # ( x , y ) ) 0 sec2(cos /g?(, 0y
.... s una
cossec2( ) 0 sec2(cos / g?(,
0
⇔
g?(, )
c
; c ) cte.
Reemplaando en 09-+ % = x + tycosx
⏟ x 2 cos ( xy )
'.
¿ ¿
( sen ( xy )+ xycos ( xy )) dx +¿ ) ( x , y )
0 0y
0 / 0x
¿
2
*(, ) 2(cos(, 0 (sen(,
*(, ).2(cos(, 0 2(sen(, una &
2ea una funci(n
2
# : 1 ! 1 * tal que+
0 # ( x , y ) 0 # ( x , y ) = ( x , y ) ; = / ( x , y ) 0x 0y 0 # ( x , y ) ∫ 0x
d ) 4 > *(, / g(,
# ( x , y ) =¿
∫ (sen ( xy ) + xycos ( xy ))
# ( x , y ) ) xsen( xy ) 0 0y
d / g(,
/ g(, /. 09-
0 # ( x , y ) ) 2cos(, /g?(, 0y
2cos(, ) 2cos(, / g?(,
Reemplaando en 09-+
⇔
g?(, )
0⇔
g(, )c ; c ) cte.
.... s
# ( x , y ) = xsen( xy )+ c
% = xsen( xy )
III.Determinar la funci(n <068)- de tal manera que la siguiente D= sea e6acta+
[
( x , y ) dx + x e x y + 2 xy +
1
y
]
dy =0
7a condici(n necesaria ) suficiente para que la ecuaci(n dada sea una D= e6acta es que se cumpla lo siguiente
0 ( x , y ) / ( x , y ) = 0y 0x Aplicando dic>a condici(n8 tenemos+
/ ( x , y ) 0 ( x , y ) = y e x + xy e x +2 y − 12 = 0x 0y x
0 # ( x , y ) 1 = / ( x , y )= x e x y + 2 xy + 0y x Integrando miem*ro a miem*ro 2 2 x x # ( x , y ) = y x e + x y + 2 + ( x ) x
Derivando con respecto a 6
y x 2 x 2 2 0 # ( x , y ) y e + y x e + y − 2 : 0x x Igualando e6presiones
/ g?,
y 2 x 2 x 2 ( x , y )=c + y e + x y e + y − 2 x
0 # ( x , y ) 0x
)
?inalmente se o*tiene
( x , y )= y 2 e x + x y 2 e x + y 2− y x−2+ c
7uego 2
2
2
y − x
0 ( x , y )
= xy e
0y
2
;
Cumple con la condici(n de D e6acta 2
y − x 0 # ( x , y ) = ( x , y )= x e 2 0x
0 # ( x , y ) 4 dx = 4 x e 0x 2
2
y − x
2
2
dx + ( y )
2
2
y − x
# ( x , y ) =−e
+ ' ( y )
2
Por propiedad se tiene que
0 # ( x , y ) = / ( x , y ) 0y
(
0 # ( x , y ) 0 = −e 0y 0y
2
2
2
y − x
y e
2
y − x
= y e
2
2
y − x 2
2
)
+ ( y ) =− y e
2
+ ' ( y )
2
y − x / ( x , y ) =− y e 2 (− x ) 0x
2
y − x 2
2
+ ' ( y )
g(, ) c 2
2
2
y − x
# ( x , y ) =−e
.
⏟
( 2 y −3 x ) dx + x⏟ dy ( x, y )
0 0y
/ ( x , y )
(
*(, ) 2
+ ' ( y )=−e
2
2
y − x 2
+ c =%
)
0 / 0x
*(, ) 1
5allamos el factor integrante
FI = e
∫ x1 dx
=e ln x
&
⏟
( 2 xy −3 x 2) dx + x⏟2 dy ( x , y )
0 0y
*(, ) 2
/ ( x, y )
¿
)
0 / 0x
7uego 0 # ( x , y ) = ( x , y )=2 xy −3 x 2 0x
0 # ( x , y ) 4 dx = 4 (2 xy −3 x 2) dx + ( y ) 0x 2 3 # ( x , y ) = x y − x + ( y )
*(, ) 2
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) 2 ' = x + ( y )= / ( x , y ) 0y '
2 2 x = x + ( y )
g(, ) 9 # ( x , y ) = x y 0 x 3+ c =% 2
( x − y 2 ) dx +2⏟ xy dy ⏟
".
0 0y
)
/ ( x , y )
( x , y )
0 / 0x
¿
*(, ) 0 2(
*(, ) 2(
5allando el factor integrante
FI = e
1 (−4 y ) dx ∫ 2 xy
=e−2 ln x
&%4
(
2
)
y y − 2 dx + 2 dy =0 x x x ⏟ 1
⏟
( x, y )
0 0y
/ ( x , y )
−2 y *(, :
x
(
2
:
)
2 0 # ( x , y ) 1 y 4 dx = 4 − 2 dx + ( y ) 0x x x 2
y # ( x , y ) =ln| x|+ + ( y ) x
Derivando respecto a )
0 / 0x
*(,
0 # ( x , y ) 2 y 2 y 4 dx = + ' ( y )= 0y x x g(, ) 9 2
y # ( x , y ) =ln| x|+ + c = % x
( y +lnx ) dx +(− x ) dy ⏟
⏟
#.
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
)
0 / 0x
(
*(, ) 1
*(, ) 01
5allando el factor integrante −∫ 2 dx
FI = e
x
=e−2 ln x
&%4
(⏟ )
y lnx dy + 2 dx + =0 2 x x x ⏟ ( x , y )
0 0y
/ ( x , y )
1
*(, : x
2
:
0 / 0x
0 # ( x , y ) y lnx 4 dx = 4 2 − 2 dx + ( y ) 0x x x
(
# ( x , y ) =
)
− y −lnx −1 + + + ( y ) x
x
x
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) −1 −1 4 dx = + ' ( y )= 0y x x g(, ) 9
*(,
# ( x , y ) =
− y x
−
lnx 1 − + c =% x x
( y +lnx ) dx +(− x ) dy ⏟
⏟
$.
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
)
0 / 0x
(
*(, ) 1
*(, ) 01
5allando el factor integrante −∫ 2 dx
FI = e
x
=e−2 ln x
&%4
(⏟ )
y lnx dy dx + + =0 2 2 x x x ⏟ ( x , y )
0 0y
/ ( x , y )
1
*(, : x
2
:
(
0 / 0x
)
0 # ( x , y ) y lnx 4 dx = 4 2 − 2 dx + ( y ) 0x x x # ( x , y ) =
− y −lnx −1 + + + ( y ) x
x
x
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) −1 −1 4 dx = + ' ( y )= 0y x x g(, ) 9
*(,
# ( x , y ) =
⏟
− y x
( 3 x2 + y 2 ) dx +(−2 xy ) dy
%.
⏟
0 0y
*(, ) 2(
0 / 0x
(
lnx 1 − + c =% x x
)
/ ( x , y )
( x, y )
−
*(, ) 02(
5allando el factor integrante
FI = e
−∫
1 ( 4 y ) dx 2 xy
=e−2 ln x
&%4
( ) 2
y 2 y 3 + 2 dx + dy =0 x x ⏟
⏟
( x, y )
0 0y
/ ( x , y )
2 y
*(, :
x
2
:
0 / 0x
7uego
2 0 # ( x , y ) y 4 dx = 3 + 2 dx + ( y ) 0x x
∫ 2
y # ( x , y ) =3 x + + ( y ) x
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) −2 y ' ( y ) −2 y + = 4 dx = 0y x x g(, ) 9
*(,
−1 2 # ( x , y ) =3 x + x y + c = %
⏟ ⏟
( xy + 2 y 2) dx +( 3 xy − x 2 ) dy
&.
0 0y
)
/ ( x , y )
( x, y )
0 / 0x
(
*(, ) 7 4(
*(, ) 3( 7 2
5allando el factor integrante '
F.I. =
3 7 F( ) 3( 7 ,
# ( x ) # ( x )
'
( x ) ( 7 2(, ( x )
%
Donde 1
# ( x )= x
( y ) =
1
y
2
5allando el factor integrante 1
. 5 .= 2 x y
( − ) +( 1
2
y x
dx
⏟
y
−
)
x dy =0 2 y
⏟
( x , y )
0 0y
3
/ ( x , y )
−1 *(, :
(
y
2
:
)
0 # ( x , y ) 1 2 = − = ( x , y ) 0x y x
x # ( x , y ) = −2 ln| x|+ ( y ) y
Derivando respecto a )
0 / 0x
*(,
0 # ( x , y ) − x dx = 2 + ' ( y ) = / ( x , y ) 0y y 3
y
−
x − x ' = 2 + ( y ) 2 y y
g(, ) 3 ln y
x # ( x , y ) = − 2 lnx + 3 lny + c =% y
'.
⏟
(2 y + 3 xy 2 ) dx +(− x ) dy ⏟
/ ( x , y )
( x, y )
0 0y
3 0 !( ) 0
%
0 / 0x
(
*(, ) 2 7 !(
# ' ( x ) # ( x )
)
*(, ) 0 1
' ( x ) ( 2 7 3(, ( x )
Igualando o*tenemos
# ' ( x ) 4 dx # ( x )
1
4 dx x
ln ( # ( x ) )= ln ( x )
;
ln ( ( y ) )=−2 ln ( y )
;
# ( x )= x
;
Donde el factor integrante
. 5 .=
x y 2
( 2 y −3 x y 2 ) dx + (− x ) dy = 0 x y − ¿ 2
∫
' ( x ) −2 dy = 4 dy ( x ) y
( y )= y−2
( − ) +( 1
2
dx
y x
⏟
y
−
)
x dy =0 2 y
⏟
( x , y )
0 0y
3
/ ( x , y )
−1 *(, :
(
y
0 / 0x
:
2
*(,
)
0 # ( x , y ) 1 2 = − = ( x , y ) 0x y x x # ( x , y ) = −2 ln| x|+ ( y ) y
⏟ 2 x
2
x ( −3 x ) dx +( 2 ) dy y y 2
( x , y )
0 0y
⏟
)
/ ( x , y )
−2 x *(, :
y
2
:
0 / 0x
7uego
0 # ( x , y ) 2 x = ( x , y )= −3 x2 0x y
(
)
0 # ( x , y ) 2 x −3 x 2 dx + ( y ) 4 dx = 4 0x y x 2 3 # ( x , y ) = − x + ( y ) y Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) − x 2 ' − x 2 ( ) = 2 + y = 2 0y y y
*(,
g(, ) 9 2
x 3 # ( x , y ) = − x + c =% y
⏟
( ydx ) dx + x ( x 2 y −1) dy ⏟
,.
/ ( x , y )
( x , y )
0 0y
0 / 0x
(
*(, ) 1
*(, ) 32( 7 1
5allando el factor integrante '
# ( x ) # ( x )
2
2 0 32( ) x ( x y −1 )
'
% (
( x ) ( x )
Donde 1
# ( x )= 3 x
( y )= y
5allando el factor integrante y . 5 .= 3 x
(⏟) (
)
2
y y 2 dx + y − 2 dy =0 3 x x ⏟
( x , y )
/ ( x , y )
0 ( x , y ) ) 0y
2 y
x
3
:
0 / ( x , y ) 0x
2 y
)
x
3
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) = 0y 0x Al ser una ecuaci(n e6acta se procede directamente
0 # ( x , y ) y 2 = 3 0x x 0 # ( x , y ) y 2 4 dx = dx + ( y ) 3 0x x
∫
)
2 − y # ( x , y ) = 2 + ( y )
2 x
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) − y y 2 dx = 2 + ' ( y ) = y − 2 0y x x ' ( y ) = y
2
3 y ( y )=
3
2 3 − y y # ( x , y ) = 2 + =%
3
2 x
13.
⏟ ⏟
( y + x 3 y ) + 2 x 2 dx +( x +4 x y 4 + 8 y 3 ) ( x , y )
0 0y
(
3
*(, ) 1 /
'
# ( x ) ( x + 4 x y +8 y ) # ( x ) 4
3 7 4(4)
dy
)
/ ( x , y )
3
0 / 0x
*(, ) 1 / 4(4 '
( x ) ( x )
5 (( y + x y ) + 2 x ) 3
2
Donde o*tenemos que
# ' ( x ) 4 dx # ( x )
x 3
ln ( # ( x ) )=
3
∫
2
4 x dx
;
;
ln ( ( y ) )= y
;
( y ) =e
3
x
# ( x )=e
3
'
( x ) 3 dy = 4 4 y dy ( x )
y
4
4
3
x
. 5 .= e
3
+ y 4
⏟⏟
x
e
3
+ y 4
x
( y + x y ) +2 x 3
2
dx + e
3
3
+ y 4
( x + 4 x y 4 + 8 y 3 ) dy =0
( x , y )
0 0y
/ ( x , y )
x
e
*(, :
3
3
+ y 4
3
x
( 4 y ) ( y + x y + 2 x ) + e 3
3
2
3
+ y 4
3
(1 + x )
:
3
0 # ( x , y ) x3 + y ( 4 y 3 ) ( y + x 3 y + 2 x 2) =e 0x 4
x
3
+ y 0 # ( x , y ) 3 ( 4 y 3 ) ( y + x 3 y +2 x 2) dx 4 dx = 4 e 0x
3
x
# ( x , y ) =2 e
3
+ y 4
4
x
+ xy e
3
3
+ y 4
+ ( y )
Derivando respecto a ) 3
x
0 # ( x , y ) =8 y 3 e 3 0y
g?(, )
;
3
+ y 4
x
+ x e
3
+ y 4
x 4
+ 4 x y e
3
3
+ y 4
+ ' ( y )= / ( x , y )
g(, ) 9 3
x
# ( x , y ) =2 e
3
+ y 4
x
+ xy e
3
3
+ y 4
+c = %
0 / 0x
*(,
4I. =*tener para cada una de las siguientes D=2 un factor integrante ) resolverlas
⏟ ⏟
( cos2 y − senx) dx +−tanxsen ( 2 y ) dy 1.
0 0y ⇒
/ ( x , y )
( x , y )
0 / 0x
(
*(, ) 0 2sen2(
)
*(, ) 0sec2sen2(
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =sen 2 y ( sec 2−2 ) 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e ∴ . 5
−∫
2
−1 tanxsen 2 y
sen 2 y ( sec 2−2) dx
dx −∫ sec x ∫ tanx tanx =e
.= senxcosx
⏟
( senxcosxcos ( 2 y )− sen xcosx ) 2
( x , y )
0 0y
*(, :
⏟
2 dx + sen xsen ( 2 y ) dy = 0
−2 sen 2 ysenxcosx
/ ( x, y )
:
0 / 0x
*(,
7uego
0 # ( x , y ) = ( x , y )=senxcosxcos ( 2 y )− sen2 xcosx 0x 0 # ( x , y ) 4 dx = 4 senxcosxcos ( 2 y ) dx − 4 sen2 xcosxdx + ( y ) 0x
# ( x , y ) =cos ( 2 y
2
) sen x 2
3
−
sen x 3
+ ( y )
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) =−sen 2 xsen ( 2 y )+ ' ( y ) =−sen2 xsen ( 2 y ) 0y
g(, ) 9 2
# ( x , y ) =cos ( 2 y
⏟ ⏟
) sen x 2
3
−
sen x 3
+ c =%
3 x
2
(¿ ¿ 2 y + 2 x ) dy .
/ ( x, y )
)
( 3 x y 3 + 4 y ) dx +¿ ( x, y )
0 0y ⇒
(
2
*(, ) G( / 4
0 / 0x
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =3 x y 2 +2 0y 0x
5allando el factor integrante 3 x
FI =
1
∫ (¿ ¿ 2 y +2 x )
∴ . 5
2
∫ dx (3 x y + 2 ) dx =e x 2
e¿
.= x
*(, ) !(2 / 2
⏟ 3 x
(¿ ¿ 3 y + 2 x 2) dy = 0 2
⏟
( 3 x y 3+ 4 y ) 0 0y
/ ( x, y )
dx +¿
( x , y )
2
*(, :
9 x y
2
+ 4 x
:
0 / 0x
*(,
7uego
0 # ( x , y ) = ( x , y )=3 x 2 y 3 + 4 xy 0x 0 # ( x , y ) 2 3 4 dx = 4 3 x y dx + 4 4 xy dx + ( y ) 0x 3 3 2 # ( x , y ) = x y + 2 x y + ( y )
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) =3 x3 y 2 + 2 x 2 + ' ( y )=¿ 0y
3
3 x y
2
+2 x 2
g(, ) 9 3 3 2 # ( x , y ) = x y + 2 x y + c =%
⏟
e (¿¿ x cot ( y )+ 2 ycsc ( y )) dy ".
/ ( x , y )
⏟
e x dx +¿
)
( x , y )
0 0y
*(, )
(
0 / 0x
x
*(, ) e cot ( y )
⇒
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =−e x cot ( y ) 0y 0x
5allando el factor integrante
∫ −e 1 (− e
x
FI = e ∴ . 5
x
cot ( y )) dy
=e∫
cot ( y ) dy
.= seny
x
e cosy + 2 y x ( e seny ) dx +¿¿ dy =0 ⏟
( x, y )
0 0y
*(, :
⏟
/ ( x , y )
e x cosy
:
0 / 0x
*(,
7uego
0 # ( x , y ) = ( x , y )=e x seny 0x 0 # ( x , y ) 4 dx = 4 e x senydx + ( y ) 0x # ( x , y ) =e x seny + ( y ) Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) x =e cosy + ' ( y )=¿ 0y
' ' 2 ( y ) =2 y ⇔ ( y ) = y
x
e cosy + 2 y
2 # ( x , y ) = e x seny + y =-
#. d / ( d ) 3 / 32( / 3(2 / (3, d / d(, Podemos e6presar la ecuaci(n anterior como d( / ( d ) / (,3 d / d(, 2e >acen las sustituciones ⇔
8)/( ⇔
) (
d8 ) d / d( d ) d( / ( d
Reemplaando en la ecuaci(n inicial d ) 83 d8 Integrando 3
4 dw − 4 z dz=- z
4
w − = - 4
Devolviendo los valores iniciales
# ( x , y ) = xy −
( x + y )4 4
=-
⏟
⏟
y
2
y dx +( 2 x − y e ) dy
$.
( x , y )
0 0y ⇒
0 / 0x
(
*(, ) 1
)
/ ( x , y )
*(, ) 2
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =−1 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e ∴ . 5
∫ − y1 (−1) dy
∫ dy =e y
.= y
2
( x , y )
0 0y
⏟
dx +( 2 xy − y e y ) dy =0 / ( x , y )
2(
*(, :
:
0 / 0x
*(,
7uego 0 # ( x , y ) = ( x , y )= y 2 0x
0 # ( x , y ) 2 4 dx = 4 y dx + ( y ) 0x
# ( x , y ) = x y + ( y ) 2
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) =2 xy + ' ( y )=¿ 0y
( y ) =− y e '
2
y
⇔ ( y ) =− y
2 y
2 xy − y e
2
y y y e + 2 y e −2 e
2 2 # ( x , y ) = x y − y e y + 2 y e y − 2 e y =-
⏟
x (¿¿ 2− xy ) dy
/ ( x , y )
%.
)
( xy −1 ) dx +¿ ⏟
( x , y )
0 0y ⇒
0 / 0x
(
*(, )
*(, ) 2 0 (
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − = y − x 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e ∴ . 5
∫ x ( x1− y ) (−( x − y )) dx
.= x
−∫ dx
=e
x
−1
( y − x −1 )
⏟
dx +( x − y ) dy =0
( x , y )
0 0y
*(, :
⏟
/ ( x , y )
1
:
0 / 0x
7uego 0 # ( x , y ) 1 = ( x , y )= y − 0x x
0 # ( x , y ) 1 4 dx = 4 ydx + 4 dx + ( y ) 0x x # ( x , y ) = xy −lnx + ( y )
*(,
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) = x + ' ( y )=¿ )= ¿ 0y
x − y
2 − y ( y ) =− y ⇔ ( y )= 2
'
# ( ( x x , y ) = xy −lnx −
⏟ − 2 x
2 yx −e
&.
0 0y ⇒
dx +(⏟ x ) dy
0 / 0x
(
*(, ) 2
2
=-
)
/ ( x , y )
( x , y )
− y 2
*(, ) 1
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =2 x −1 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e
−2∫ dx − 4 dx
∫ x1 (2 x −1 ) dx
=e
x
e x ∴ . 5 .= x 2
⏟
( 2 e 2 x y − x−1 )
( x , y )
0 0y
*(, :
7uego
⏟
dx +( e 2 x ) dy =0
2 x
2e
/ ( x , y )
:
0 / 0x
*(,
0 # ( x , y ) 1 = ( x x , y ) =2 e2 x y − 0x x 0 # ( ( x x , y ) 1 2 x 2 e y d − 4 dx + ( y ) 4 dx = 4 2 0x x # ( ( x x , y ) =e y −lnx + ( y ) 2 x
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) 2 x ' =e + ( y )=¿ )= ¿ 0y
e
2 x
( y )=%
# ( ( x x , y ) =e y −lnx + % =- 2 x
'.
⏟ −2 y
y ⏟ dx +( 2 xy −e ( x , y )
0 0y ⇒
) dy
0 / 0x
(
*(, ) 1
)
/ ( x , y )
*(, ) 2(
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =1−2 y 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e
∫ − y1 ( 1−2 y ) dy
=e
2
∫ dy − 4 dy y
e y ∴ . 5 .= y 2
2
( x , y )
0 0y
⏟
dx +( 2 x e y − y− ) dy =0
*(, :
1
/ ( x , y )
2e
2 y
:
0 / 0x
*(,
7uego
0 # ( x , y ) = ( x x , y ) =e 2 y 0x 0 # ( ( x x , y ) 2 y 4 dx = 4 e dx + ( y ) 0x 2 y # ( ( x x , y ) = x e + ( y )
Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) =2 x e 2 y+ ' ( y )=¿ )=¿ 0y ' ( ( y y )
− =− y
1
y x + ¿
,.
¿ ¿
0 0y ⇒
∴
2 xe
2 y
−
1
y
( y )=−lny 2 # ( ( x x , y ) = x e y −lny =-
)
(
*(, ) 1
0 / 0x
*(, )
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =−lnx 0y 0x
5allando el factor integrante
FI = e ∴ . 5
1 (−lnx) dy ∫ xlnx
.= x
− 4 dx
=e
x
−1
( ) ⏟ 1 + y x
0 0y
−1
dx + lnx ⏟ dy =0
( x , y )
/ ( x , y )
1
*(, :
x
:
0 / 0x
*(,
lnx + 1
7uego
0 # ( x , y ) y = ( x , y )=1 + 0x x 0 # ( x , y ) y 4 dx = 4 dx + 4 + ( y ) 0x x # ( x , y ) = x + ylnx + ( y ) Derivando respecto a )B
0 # ( x , y ) =lnx + ' ( y )=¿ 0y
lnx
( y )=-
# ( x , y ) = x + ylnx + c = 6 2
2
dy 3 x y + y = dx 2 x 3 + 3 xy
13.
⏟ ⏟
(3 x2 y + y 2) dx −( 2 x3 +3 xy ) dy ( x , y )
0 0y ⇒
2
*(, ) 3 / 2(
)
/ ( x , y )
0 / 0x
(
*(, )
−6 x 2−3 y
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =9 x 2+ 5 y 0y 0x
5allando el factor integrante '
9 x
2
+ 5 y )
# ( x ) − x ( 2 x + 3 y ) # ( x ) 2
5 y ( 3 x + y ) 2
−6
# ( x )= x
7
'
( x ) ( x ) −17
;
( y )= y
7
−6
. 5 .=¿
x
7
− 17 7
.y
15 7
− 17
.y
7
−10
1 7
+ 3 x . y ¿ ¿
⏟ 8 7
−6
3 x . y
7
−6
7
−3
+ x . y 7 dx +¿ 7
( x , y )
0 0y
−30 *(, :
7
8
0 # ( x , y ) =3 x 7 . y 0x
7
8
15 7
7
x .y
7
−
7
x
− 10
x
7
7
− 10
.y
0 / 0x
7
:
*(,
−3 7
.y −6
dx + 4 x
7
−6
−3
−6
+¿
−10
.y
−17
7
−10
0 # ( x , y ) 4 dx =3 4 x 7 . y 0x 7 # ( x , y ) = x 5
8
7
−3
.y
7
dx + ( y )
−3
1 7
+ 7 x . y 7 + ( y )
Derivando respecto a ) 15
0 # ( x , y ) =−2 x 7 . y 0y
− 17 7
1 7
−10
−3 x . y
7
15 7
'
+ ( y )=−2 x . y
g(, ) 9 7 # ( x , y ) = x 5
11. d / ( d( ) 3
√ x + y 2
2
15 7
−10
.y
7
1 7
+7 x . y 7 + c =%
, (2 d / d(,
2e >ace el cam*io de varia*le
−3
−17 7
1 7
−3 x . y
− 10 7
⇔
2 ) 2 / (2
28 d8 ) 2 d / 2( d(
⇔
8 d8 ) d / ( d(
⇔
8 d8 ) 3 8 (2 d(
⇔
d8 ) 3 (2 d(
Integrando 2
4 dz− 4 3 y dy + - 3
z − y = - Devolviendo los valores iniciales 2 2 3 # ( x , y ) =√ x + y ¿− y = -
2
4 ydx + xdy = x y dx
1.
⏟
(4 y − x y 2 ) dx − x dy ( x, y )
0 0y ⇒
⏟
/ ( x , y )
*(, ) 4 7 2(
)
(
0 / 0x
*(, ) 1
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − =3−2 xy 0y 0x
5allando el factor integrante ' # ( x ) 3−2 xy y ( 4 − xy ) x ) # ( x )
5
'
( x ) ( x )
−5
# ( x )= x
( y )= y−
;
−5
. 5 .=¿
x . y
2
−2
−2
x . y
⏟
¿ ¿ −5 −1 −4 4 x . y − x dx +¿ ( x , y )
4
0 0y
5
*(, : 0
x y
2
0 / 0x
:
*(,
0 # ( x , y ) = ( x , y )= 45 − 14 0x x y x 0 # ( x , y ) 4 1 4 dx = 4 5 dx − 4 4 dx + ( y ) 0x x y x −4
x
−1
# ( x , y ) =− x . y +
−3
3
+ ( y )
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) −4 −2 ' = x . y + ( y )= x−4 . y −2 0y
g(, ) 9 −4
−1
x
# ( x , y ) =− x . y +
1". 0 0y
−3
3
+ c = 6
( 3 y − xy ) dx −( x + 6 x y ) dy = x y 3
2
*(, ) G( 0
2
(
2
0 / 0x
2
dx
*(, ) 0 2 7 !(2
⇒
0 ( x , y ) 0 / ( x , y ) − = x +15 y 2 0y 0x
5allando el factor integrante ' 2 # ( x ) 2 y ( 3 y 2− x ) x + 15 y ) 0 x ( x + 6 y ) # ( x )
5
−2
# ( x )= x
−1
( y )= y
; −2
. 5 .=¿
x . y
−1
−1
y + 6 x y
⏟
¿ ¿ 2 −2 −1 3 x . y − x dx +¿ ( x , y )
0 0y
02
*(, : ! (
:
0 / 0x
*(,
7uego
0 # ( x , y ) = ( x , y )=3 x−2 y−2− x−1 0x 0 # ( x , y ) 1 −2 −2 4 dx = 4 3 x y dx − 4 dx + ( y ) 0x x −1
# ( x , y ) =−3 x y −lnx + ( y ) 2
Derivando respecto a )
0 # ( x , y ) =−6 x−1 y + ' ( y )=− y −1 −6 x−1 y 0y
' ( y )
=− y −
1
∴
( y )=−lny
'
( x ) ( x )
2
y # ( x , y ) =−3 −lnx−lny =- x
4II. Demostrar que si ( )
7= e 4 1 s ds
y − /x = 1 ( xy ) 8 entonces el factor integrante es y/ − x
8 donde : 6).
Solución
"eamos 'ue
7= 7 ( xy )= 7z
* es decir si
7 ( z ) − yz = z ( x , y )
ntonces
0 u du 0 z = . 0 x dz 0 x
0 w dw 0 z = . 0 y dz 0 y
J
Bea 8 ) 8 *(, ) (* 'ueremos 'ue 7 ( z ) sea K.I. para la & inicial. 0 0 ( 7 )= ( 7/ ) uego 0 y 0x 0u 0 0u 0 / = / + u + u 0y 0y 0x 0x
Como
8 ) (
%6
0z = y 0x
du 0 du 0 / = y/ + 7 x + 7 dz 0 y dz 0 X
Reemplaando+
0 0 / − 1 du 0 x 0 y y − /x = . = u dz y/ − x y/ − x
$i 8 (&y) 1 du
. = 1 ( xy ) u dz
y − /x y/ − x
9
, donde 8 ) (
1
du = 1 ( z ) dz u Integrando 1
7
∫
4 du = 1 ( z ) dz u
∫
lnu = 1 ( z ) dz
∴ 7
=e 4 1 ( z) dz , donde z = xy
0z = x 0y
L. Resolver los siguientes D=2 y ' −2 xy = cosx −2 xsenx
1.
(? 7 2, ( )cos02sen 5allamos el factor integrante
e∫
−2 x dx
FI =
=e x
2
e
− x 2
e
D(? 0 2(E )
(¿ ¿− x2 . y ) ' =( 4 ( e− x
2
− x 2
cosx −e
2 xsenx
e − cosx −e x 2 xsenx ) dx ) ' 2
¿
Por propiedad
e− x . y = 4 [ e− x ( senx ) + e− x senx ] dx + c 2
− x 2
e
2
− x 2
. y=e
'
2
.senx + c ∴ y
( x + y )2 y ' =5− 8 y −4 xy
.
y ' +
=senx + c e x
(+) 4
x 2
y =5
1
( x + 2 )2
5allamos el factor integrante
FI =
∫ x +4 2 dx 4 ln ( x +2) e =e =( x +2)4
2
[
( x + 2)4 y' +
( + ) = ( + )] 4
y 5 x 2
x 2
2
[ ( x + 2) . y ] ' =( 4 5 ( x +2 ) )' 4
2
Por propiedad
( x + 2)4 . y = 4 5 ( x + 2)2 +% 5 3
( x + 2)4 . y = ( x + 2)3 + %
∴ y
=
5 1 1 + % 3 x + 2 ( x + 2)4
'
y −2 xy = cosx −2 xsenx
".
(? 7 2, ( )cos02sen
5allamos el factor integrante
FI =
e∫
−2 x dx
=e x
2
e
− x 2
e
D(? 0 2(E )
− x 2
cosx −e
2 xsenx
e (¿ ¿− x2 . y ) ' =( 4 ( e− x cosx −e− x 2 xsenx ) dx )' 2
2
¿
Por propiedad
e− . y = 4 [ e− ( senx ) + e− senx ] dx + c x
− x 2
e
2
x
− x 2
. y=e
2
.senx + c
'
x
2
∴ y
2 √ x y
#.
y ' −
1
x 2 √ x
y =
=senx + c e x
2
− y =−sen √ x −cos √ x
'
−( sen √ x + cos √ x ) x 2 √ x
5allamos el factor integrante
FI = e
1 dx ∫ − 2 √ x
=e−√ x
e
[
1
'
y y −
2 √ x x
]
y =
−e−√ x x ( sen √ x x + cos √ x x ) 2 √ x x
e
( sen √ x ) − −e−√ x ( cos √ x ) 2 √ x x 2 √ x x , d,,? ( ¿ ¿−√ x x . y ) ' =¿
−√ x
− e
4
¿
Por propiedad
[
]
'
'
e− √ x . y = 4 ( e−√ x ) ( sen √ x x )+ e−√ x ( sen √ x ) dx + c e− √ x . y =( e−√ x x ) ( sen √ x x ) + c ∴ y
$. '
y −(
=sen √ x + c e √ x
−2 ( x x + 1 ) y' + ( 2 x −1 ) y= e x
2 x + 1 1 −2 x ) y = e x + 1 x + 1
5allamos el factor integrante
FI = e
∫ − x2 x+−1 1 dx
e x = ( x +1 )3 2
[
2 x
]
e 2 x − 1 ' ) y = 1 4 y y −( 3 x + 1 ( x + 1) ( x +1)
4
1
( x + 1 )4
x
e2 ( . y ) ' =¿ ( x + 1)3
d,?
Por propiedad 2 x e 1 . y = 4 dx + c 3 ( x + 1) ( x + 1 )4
−1 e 2 x +c . y= 3 3 ( x + 1) 3 ( x + 1 ) ∴ y
%.
=
−1 3
− 2 x
e
+ c ( x + 1)3 e−2 x
2 − y + y =2 x e + x
'
x
2 − x ' y + y =2 x e + x
5allamos el factor integrante
∫ dx =e x e FI = Por propiedad x
∫
∫
x
2
e y = 2 xdx + e x dx +-
x
x
x
x
2 2 e y = x + x e −2 x e + 2 e + -
= x 2 e− x + x 2−2 x + 2 + - e− x
∴ y
7.
'
2
xy − y = x senx 1
'
y −( ) y = xsenx X
5allando el ?.I 1
5 = X
y 1
1
x
X
(¿ ( ¿ ¿ ' −( ) y )= senx ¿
senx senx dx ¿ ' y ' =¿ X
∫
( )
Por propiedad
y = senxdx + 6 X
∫
y =−cosx +- X
∴ y
8.
=− xcosx + -x
ydx − 4 ( x x + y ) dy =0 6
d ( x , y ) d/ ( x , y ) =1 ( =−4 dy dx d ( x , y ) d/ ( x, y ) − =5 dy dx 5allando el ?.I
∫ − y5 dy = y−5 5 =e
y− dx − 4 ( x y − + y ) dy =0 4
5
d ( x , y ) d/ ( x , y ) =− 4 y−5= dy dx d# ( x , y ) = ( x , y )= y−4 dx
∫ d# ( xdx, y ) dx =∫ ydx + ( y ) 4
−4
# ( x , y ) = x y + ( y ) Derivando respecto a )B
d# ( x , y ) =− 4 x y −5 + ' ( y )=−( 4 x y −5 + 4 y ) dx
' ( y ) =−4 y ! ( y )=−2 y
(
∴ # x ,
2 −4 y )= xy −2 y =-
2
−
xy ' −(1 + x ) y =e x sen 2 x
9.
( 1+ x ) y e− x sen 2 x = y + '
x
x
5allando el ?.I
∫ x + x1 dx = xe x 5 =e
y ( 1 + x ) y x e x (¿¿ ' + )= sen 2 x x
¿
sen 2 x dx ¿ '
∫
( x e x y )' =¿ Por propiedad x
∫
x e y = sen 2 x dx + - x
x e y =
∴ y
=
−1 x
2 x e
10.
−1 2
cos2 x + -
- x x e
cos 2 x +
( y cosx 3−1 ) dx +cosx2 senxdy =0 d ( x , y ) d/ ( x , y ) = cosx 3 ( =−2 cosx senx2+ cosx 3 dy dx
d ( x , y ) d/ ( x , y ) − =2 cosx senx2 dy dx
5allando el ?.I 2
dy ∫ 2 cosxsenx cosx senx =secx2 5 =e 2
( ycosx −secx 2 ) dx + senxdy =0 d ( x , y ) d/ ( x , y ) = cosx = dy dx d# ( x , y ) = ( x , y )= ycosx− secx2 dx
∫
ycosxdx−¿ secx 2 + ( y ) d# ( x , y ) dx = ¿ dx
∫
∫
# ( x , y ) = ysenx −tanx + ( y )
Derivando respecto a )B
d# ( x , y ) = senx + ' ( y )=senx dx
' ( y ) =0 ! ( y ) =-
(
∴ # x ,
11.
y ) = ysenx −tan + - = 6
'
y −(tanx ) y = cosx 5allando el ?.I
2
tanx dx =secx 5 =e∫
y secx (¿¿ ' −( tanx ) y )= cosx
¿
cosxdx ¿ '
∫
( ysecx )' =¿ Por propiedad secxy = cosx dx +-
∫
ysecx= senx + - ∴ y
=senx cosx + - cosx
{
# ( x )= − x ,∧ 0 8 x < 1 0,∧ x 9 1
'
y + 2 xy = # ( x )
12.
5allando el ?.I sen 2 x dx =e x 5 =e∫ 2
y x e (¿¿ ' + 2 xy )=( # ( x ) ) e x 2
2
¿
x
2
e # ( X ) dx ¿ '
∫
'
( e x y ) =¿ 2
Por propiedad x
2
∫
x
2
e y = e # ( X ) dx + -
Para + f06-:6 8 si
0 8 x <1
∫
2
2
e x y = e x dx + - 2
x
2
e y =
∴ y
e x 2
1 2
+ -
= + - e− x
2
Para+ f06-:3 8 si x 9 1
∫
2
2
e x y = e x 0 dx + -
− x2
y =- e
'
1". xy + y = :nx
:nX ' 1 y + y = X X 5allando el ?.I ∫ x1 dx
5 =e
= x
x ( y ' + y )= :/x
:ndx ¿ '
∫
( xy )' =¿ Por propiedad xy = x:nx − x + -
ysecx= senx + -
∴ y
= :nx −1 +- x−1
( 1 + e 2) y ' + 2 xy = # ( x )
14.
5allando el ?.I ∫ 12+ x x dx =1 + x 2 5 =e 2
y (1 + x )(¿¿ ' + 2 xy )= # ( x ) 2
¿
# ( X ) dx ¿ '
∫
'
(( 1+ x ) y ) =¿ 2
Por propiedad (1 + x ) y = # ( X ) dx + - 2
∫
Para + f06-:6 8 si
0 8 x <1
(1 + x 2) y =∫ x dx + -
(1 + x 2) y =
e x 2
2
+-
1 + x 2 (¿¿ 2 )+ ∴ y
% 2 1 + x 2 x
=¿
Para+ f06-:6 8 si
x 9 1
{
# ( x )= − x ,∧ 0 8 x < 1 x ,∧ x 9 1
(1 + x 2) y =∫− x dx + - 2
( 1 + x ) y =
− x 2 2
+ -
1 + x
% 2 1 + x − x2
2 (¿¿ 2 )+ ∴ y
= ¿
2 ycosy − x ( secy + tany ) dy
1$.
( 1 + seny ) dx =¿ 5allando el ?.I 1 dy ∫ cosy = secy +tany 5 =e
x
(secy + tany )(¿ ¿ ' +
(
¿
2 ydy
∫ ¿ '
(( secy + tany ) x )' =¿ Por propiedad (secy + tany ) x = 2 ydy + -
∫
( secy + tany ) x= y 2+ - 1 + x
¿
¿ 2 secy + tany ¿ 2¿ ∴ y
y 2
=¿
)
x 1 + seny 2 ycosy )= ( ) cosy 1+ seny cosy
I - Esando el m;todo para la ecuaci(n de Fernoulli 8 resolver+
2 dy
1.
dx 2 dy
dx
y x x y 2
= + y x
− = x y −2 −2 ! n
dy −1 x y −( ) y = dx 2 x 2
−2
y 2
( )
dy −1 3 x + y = dx 2 x 2
( )
2 ' y y +
3
3
Bea z = y !
−1 2 x
3 2
dz dy =3 y 2 dx dx
( )
dz −3 3 + z = x dx 2 x 2
5allando el ?.I
∫ −2 x3 dy
= x
−3 2
(1−n )= 3
3 y = x … … … … …… … … … ⋕
1eemplazando en ⋕
5 =e
2
−3 2
x
( ( )) −3
3 z = x . x 2 x 2
'
z +
( z . x )
−3 ' 2
=( 3 2
∫ x
2
dx ) '
z . x
∴ z
2
3 = 2
∫ x
−1 2
dx + 6
3 2
2
= 3 x + 6 x = y 3
x
'
.
2
−1
−3
y=
−3
2
3 y x + y
dy = xy + y 3 x−1 dx 3 −1 ! n −1 x − yx = y x
n
2
3
xx + y x = y … … … … … … … ⋕
ultiplicando ⋕ por 01n-:
2 x . x −2 y x
z = x
2
=2 y 3 … … … … … … … . . 3 '
2
'
z =2 x x
1eemplazando en 3 '
z −2 yz =2 y
3
−2 y dy 5 =e∫ = e− y
2
− y 2
e
( z ' + 2 yz ) =2 y 3 e− y
( z .e− y )' =(2∫ y 2
3
− y 2
e
z . e
2
dy ) ' − y 2
2
∴ X
".
=2∫ y 3 e− y dy + 6 2
y
2
=Y + 1 + % e
2
xy ' + y = x 4 y 3
y ' − yx −1= x 3 y 3 !n
−n
−1
−2
−3
3
y y ' + x y = x … … … … … … … ⋕
ultiplicando ⋕ por 01n-:
−2 y−3 y ' −2 x−1 y −2 =−2 x 3 … … … … … … … . . 3
z = y
1− n
= y −2
'
1eemplazando en 3 −1
'
z −2 x z =−2 x
3
−2 x− dx 5 =e∫ = x−2 1
x ( z −2 x z )=−2 x −2
'
3
z =−2 y y '
−1
( z . x−2 )' =(−∫ 2 xdx ) '
−2
2
z . x =− x + 6 ∴ y
I- Resolver
−2
=%x 2− x 4
1- En cristal crece $G en un dia Hcu@ndo se puede esperar que el cristal tenga el do*le de su tamaoJ
:d
BM
1 105 o 100
L 2Bo
Considerando que
ds =−%s dt
/ ( t )=- e … … … … … … … … … … … … .. ⋕ %t
#ara t)
t =1
o =- e
!
o =-
0 t
105 o 21 =o e %t ln = 6 100 30
t = x 2 o = o e xt … X =13.94 dias
- 2e o*serva que cierta *acteria se duplica en ' > Hcual es la tasa de crecimientoJ
:d
-
B
BM
2Bo
Considerando que t)
!
8 t
o =- e
… .. ⋕
0 t
t =8 2 o =o e … ln 2 =8 6 ! 6 = 0.087
o =-
/ ( t )= 1 e
0.087 t
"- 2e espera que la po*laci(n del mundo se duplique en los siguientes "3 aos Hcual es la tasa de crecimientoJ
:d
BM
… .. ⋕
Considerando que
!
t)
o =- e
3 2Bo
o =-
0 t
t =30 … ln 2=30 6 !6 =0.023
/ ( t )= o e
0.0231 t
#- 2e desconoce la tasa de crecimiento de cierta especie de *acteria8 pero se supone que es constante. Al comenar el e6perimento8 se estimo que >a*rKa alrededor de 1$33 *acterias ) una >ora despu;s >a) 333 HCu@l serKa su predicci(n so*re el numero de *acterias que >a*r@ en # >oras despu;s de iniciado el e6perimentoJ
:d
15
1 2
Considerando que
ds =−%s dt #ara
/ ( t )=- e … … … … … … … … … … … … .. ⋕ %t
t)
o =- e
!
0 t
1500=-
4 3
t =12000 =1500 e %t ln = 6
t =4 X =1500 e t … X = 4784.9 4
@. uego de 4 %oras Habra 4F-5 bacterias 2e desconoce una po*laci(n inicial de *acterias que crece a una tasa constante L1. 2uponga que t1 >oras despu;s las *actereias se colocan en un cultivo diferente tal que a>ora la po*laci(n crece a una tasa constante M. Determine la po*laci(n de *acterias para cualquier tiempo.
:d
Bo
: L
Para + t):1
6 1 < 1
X =o e
!
1500=-
7uego al cam*iar de lugar
:d
6 2 < B oe
Igualando valores en T:3
i = o e 6 1 < 1 donde :i es constantes
Para t : T
6 1 < 1 6 2 < 2
y = o e
e
: (
6 1 < 1 + 6 2 < 2
y = o e
6 1 < 1+ 6 2 < 2
@@ ( t )= o e
$- Inicialmente se tiene 3.1g de una *acteria en un contenedor grande >oras m@s tarde se tienen 3.1$g H cu@l es el tiempo para duplicarse para esta *acteriaJ
:d
.1
2 .15
L .2
Considerando que
ds =−%s dt
/ ( t )=- e %t … … … … … … … … … … … … .. ⋕
Para + t)
0 t
o =- e =0.1
!
o =0.1
2 t
t =20.15=0.1 e 0.2= 6 x ( 0.2)
t = x 0.2 =0.1 e
… X =3.45 horas
%- En organismo que vive en un estanque se reproduce a una tasa proporcional al tamao de su po*laci(n. 7os organismos tam*i;n mueren a una tasa proporcional al tamao de su po*laci(n. A dem@s se agregan organismos continuamente a una tasa de MgOao . Determine la ecuaci(n diferencial que modela esta situaci(n. Para un ao
1 ( t )= o e
•
9recimiento del organismo
•
&ecrecimiento de la población
− %t
2 ( t )= o e
3 ( t )= o e
Ndicion etra de organismos
%t
% 1 t
Bumando B1*B2= B3
− %t %t ( ) = + t o e o e 123 2 @..
&- En isotopo radiactivo tiene una vida media de t dKas. 2e quiere tener "3g despu;s de "3 dKas H cu@nto radiois(topo de*e tenerse al inicioJ
:d
Bo
:2 Bo2
3 3
Para + t)
o = A
!
1500=-
o 2 − %t 2 t =t 2 = o e ln = 6 2 t 2
t =3030= o e
− % ( 30 )
… o =30 e
@. Be necesita
−(30 ) ln 2 t 2
−(30) ln 2
o =30 e
t 2
de radio isotopo
'- 2e va a usar un radiois(topo en un e6perimento. Transcurrido 13 dKas8 de*e quedar solo $G.Hcual de*e ser la vida mediaJ
: B
−dx 0
dt
Bo
3 Bo2
=−%x………………. ⋕
Aplicando t)
1 Bo2
⋕
para
o =- e
!
o =-
0 t
o 20 −10 t =10 = o e % ln =0.3= 6 20
10
ntonces para t1O
ln 2 = 2.31 dias 0.3
Bu vida media es de 2 dias
,- Al inicio >a*Ka 133 miligramos de una sustancia radiactiva. Al ca*o de % >oras esa cantidad disminu)o "G. 2i la rapide de desintegraci(n en cualquier tiempo t8 es proporcional ala cantidad que queda despu;s de # >oras.
: B
t)
1
100=-
! −6 %
t =6 97 =100 e
ln
100 =0.3 = 6 197
! GF
24 L
−24 %
t =24 X =100 e
… X = 88.53
@uego de 24 %oras 'ueda --.53 mg
13-Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del pro*lema 13 ntonces para t1O ln 2 =1365.7 0.3
Bu vida media es de 1*3!514 %oras
11-l P*3,8 isotopo radioactivo del plomo8 se desintegro con una rapide proporcional a la cantidad presente en un cualquier tiempo t ) tiene la vida media de "."> . si al principio >a*Ka 1 gramo de plomo Hcu@nto tiempo de*e transcurrir para que se desintegre ,3GJ
: B
o =- e
!
t)
1
0 t
3.3 .5
L .1
o =-
t =3.3ln2= 6 ( 3.3 ) 0.21= 6 −0.21 x
t = X 0.1= e
ln
10 = X 0.21
X =10.96 horas
1-En term(metro se lleva del interior de una >a*itaci(n al e6terior8 donde la To del aire es de $o =?. Despu;s de 1 min8 el term(metro
indica $$o =? $ minutos despu;s marca "3 temperatura del interiorJ
: B
8
:o )F MK
=
?.H cu@l era la
5 12
:m )1 MK
9) :o0 :m) ! % / 2
50=10 + 60 e
!
t)12 0.81= 6
t = X 15=10 + 60 e
−0.81 x
3.07 = X
M
uego de 1 min la temperature es de 3F
K ( el tiempo es de 3.F min para
llegar a 15 MK.
1) (t) t/cos//t b
(:(t))(s)
lim
∫e
b!= 0
b
− st
( t ) dt
lim
− st
∫e
( t 2 cos2 2 t ) dt
b!= 0
Haciendo una integración por partes
1.5 L
(
− st
e
)−¿
2 sen 2 t −s . cos 2 t 2
2
s +2
¿
]
− st
e
s
¿
lim b!=
[
− s( b)
−sb
e 1 e − − sen b scos b ( ) lim 2 2 2 2 2 s b ! = 2 s +2
1 ¿ 2
( ) ( )
−1 2
−s 1 −1 − 2 2 2 s s +2
] [
− s (0 )
− s (0 )
e e − 1 2 2 (2 sen 2 ( 0)− scos 2 ( 0 ) )− s 2 s +2
1 s + 2 2 s 2( s + 4)
1#- 5allar la transformada de 7aplace de las siguientes funciones. i)
! (t) " (t#1)$(e#t % et)&
(t) (t01).(e0/te2t/e/t) L ((t))(s) L (te0/t)(s) L (te2t)(s) / L (te/t)(s) 0 L (e0/t)(s) 0 L (e2t)(s) 0/ L (e /t)(s) 1
+
1
L (t)(s/) L (t)(s02) / L (t)(s0/) 3( s + 2 s −6 1
1
2
1
1
+ 2
2
s −2
+ + − − − ( s + 2 )2 ( s −6 ) 2 ( s −2 )2 s + 2 s− 6 s −2
L ((t))(s) 0( s + 1 s −7 s −6 + −2 s + 2 s −6 s− 2
ii)
! (t) " e #t ('senht#cosht)
(t) 4 e0t sen56t07 e0t cos56t L ((t))(s) 4 L (e 0t sen56t)(s) 07 L (e0t cos56t)(s)
¿
]
12
2
2
(s + 1 ) −3
−
5 ( s + 1)
( s + 1 )2−32
7− 5 s
iii)
2
s + 2 s− 8
! (t) "(t#&)tet
(t) t/e6t0/te6t L ((t))(s) L (t/)(s06) 0/ L (t)(s06) 2
2
− ( s −3 )3 ( s −3 )2
2 ( 4− s)
( s −3 )3
π i)
't
!(t) " e sen(&t# 4 )
π L ((t))(s) L(sen(/t0 4 ))(s04)
π
π
L(sen/t.cos 4 )(s04) 0 L(cos/t.sen 4 ))(s04)
√ 2 : ( sen 2 t ) 2
√ 2
)
√ : (cos2 t ) ( s − 4) − ( s−4 )
2 2
2 s
−8 s +16 0
!(t) " te#tsenht
L ((t))(s) L(tsen56t) (s1)
2 2
√ 2
s− 4 2 s −8 s + 16 2
(
d 3 2 ds s + 2 s −8
0
s
)
(¿¿ 2 +2 s −8 )2 080 9 3 ( 2 s+2 ) ¿
s
(¿¿ 2 + 2 s −8 )2 6 s+ 6 ¿ i)
!(t) " (t#1)e#&t
(t) (t606t/6t01)e0/t L ((t))(s) L(t606t/6t01) (s/) L(t6) (s/) 06L(t/) (s/) 6L(t) (s/) 0L(1) (s/) 6
4
(s +2 )
−
6 3
+
3 2
( s + 2 ) ( s + 2)
−
1
s+ 2
L ((t))(s) 6 − 6 ( s + 2 ) + 3 ( s + 2)
2
−( s +2 )3
(s + 2 )4
ii)
!(t) " tsen*t+ *,-
s L ((t))(s) L (tsent)(s) 0
( )
d % 2 ds s + % 2
s
(¿ ¿ 2 +% 2 )2 2 %s
¿ ¿
(¿ ¿ 2 +% 2 )2 −% ( 2 s ) 0 ¿ ¿
iii)
!(t) " tetcost
d : ( cos3 t )( s) ds
L ((t))(s) L (tcos6t)(s01) 0
Primero >allamos +
0
d : ( cos3 t )( s) 0 ds
( )
d s ds s 2+ 92
7uego+
L (tcos6t)(s01) 0
(
d s −1 ds ( s −1 )2 + 92
)
− s2−2 s + 10 −( s −1 ) (2 ( s −1 ) ) ¿ 0( ( s2−2 s + 10 )2
(
− s 2+ 8 ( s2− 2 s + 10 )2
)
s2− 8 ( s 2−2 s + 10 )2
1$- Calcular la transformada de 7aplace de las funciones ?0t-. (t)
1 01
a
/a
6a
4a
t
{−1,1,si si08a
(t)
2a
∫e
L ((t))(s)
=
∫
−
( t ) dt + e st ( t ) dt 2a
0
∫e 2a
=
− st
=
− st
( t ) dt − 2 as
e
∫e
−s (u + 2 a)
( u + 2 a ) du e
0
=
∫ e−
−2 as
4s
( u ) du
0
L ((t))(s)
.am/iemos0 t " u % &a 2a
L ((t))(s)
∫e
−st
− 2as
1 −e
e
( t ) dt + e
: ( (t ) )( s)
0
1
−2 as
as / 2
[
a
∫e
2a
∫ e−
−st
1 dt +
(−1) dt ]
st
a
0
−e−as/ 2 ¿ ¿
1e
as / 2
s e as/ 2
¿
L ((t))(s) 1
s
tanh
as
( ) 2
1 − 2as
1 −e
2a
∫ e− (t ) dt st
0
R2.3I.2 456
1- Etiliando la definicion8 calcular la transformada de 7aplace de las siguientes funciones ?0t-+ a) !(t) " e(7&)t +=
∫e
L ((t))(s)
−st (3 / 2) t
e
+=
dt
0
b
lim
s 3 2 t
∫e
[
b!=
0
−(s− 3 / 2) t
dt
b!= 0
lim
∫ e−( − / ) dt
lim b!=
[− e
3 2
−(s+ ) t
−e−( s− 3 / 2) b + 1 s −3 / 2 s −3 / 2
1 s −3 / 2
]
L (e
1 s −3 / 2 ' s
)(s)
< 6;/
/) !(t)" cos/t+ / , +=
∫ e−
st
)
L ((t))(s)
cosbtdt
0
m
lim
− st
∫e
b! = 0
cosbtdt
!."1#
Integrando por partes m
−st
∫e
cosbtdt
0
Bea − st
u) e
dv ) cosbt dt
du) 0
e
v ) senbt
−st
]
0
1 s −3 / 2
7uego*
(6;/)t
b
s dt
m
−st
∫e
cosbtdt
0
1
−sb
¿ e b
2
b
senbt
[
1
b2 + s 2 b e
−
b − st
[
s −1 e b b
1
−st
1
−sb
e
m
∫
senbt +
0
s cosbt − b
s −st e co sbt ] b2
m
− s senbte dt b st
−st
s e b
∫ 0
co sbtdt ]
/.0-
Reempla8ando 0- en 01-+ s −ms s −st m e senbt − 2 e cosbt ¿o b b
lim b!=
[
b
2
2 2 b +s
¿
s
L ((t))(s)
2
b +s
b 2
b
2
−ms
+s
2
lim e
m !+=
s sen ( mb )− cosmb b
s
2 2 b +s ' b < , s <
c) !(t)" t&e#&t m
L ((t))(s)
− st
∫e
2
t e
−2 t
dt
0
+=
−( + ) t e dt ∫ 2
0
m
lim
∫ t e−( + ) dt
m !+= 0
2
s 2 t
s 2 t
−t (s +2 )
lim m !+=
¿
e−( + 2) dt s
2
−(s + 2) t
e
2
t
1 (s + 2 ) ( −t e−(s + )t + −t ∫ ¿ ¿ (s +2 ) ( s +2 ) 2
2 −m2 −(s +2) m 2 m −( s+2) m 2 m 2 −(s+ 2) m − − + + e e e 2 3 (s +2 ) ( s +2) ( s +2 )3 ( s + 2) (s + 2)
(%
7uego8
2
−2 t
L ( t e
2
)(s)
( s +2 )3 '
s < 0/
d) !(t) " senht +=
7 0?0t--0s-
m
−st
∫e
sen#;tdt
0
3
$
2
9− s
(
2
−3 ¿
− st
e
s
e) !(t) " t cos &t
L(sen56t) <6
sen#;t)
−ms
3
m! + =
¿
s
(cosh 3 m + senh 3 m) 3
0 ; s> 0
s &
− st
lim e
7uego8
&
senh 3 tdt
⏟
2−¿ s
3
1
−st
∫e
m !+ = 0
cosh3 t + e 3
2
2−¿ s
3
lim
2−¿ 3
3
¿
2
' s
+=
7 0?0t--0s-
∫e
?0t-
/
b !+ =
¿
−1 (
3
s e
5b
lim
¿
−e − b ( s − 4 i ) 1 + ¿ s− 4 i s −4 i
e
st
t/cos//tdt
b !+ = 0
∫2
− st
lim b !+ =
¿
−1 (
1 lim ¿ 4 b !+= (
lim b !+ =
−1
1
s
5b
3
s 2
¿
b !+=
e
−st
cos4 tdt
2
1 lim ¿ 2 b !+= (
−2 e−5 b s
3
2
+ 3¿ s
−e−b ( s+ 4 i ) + 1 ¿ s+ 4 i s−4 i
+ 3+
s3 e 5 b
lim
t/dt
b !+= 0
7 0?0t--0s-
∫ e−
t/;/.(1cos4t) t/;/ cos4t;/ b
lim
lim
/
t cos /tdt
0
7 0?0t--0s-
b
−st
1
( ) ( )
1 1 4 s −4 i
+
1 1 4 s+ 4 i
s
3
1 s ) 2 2 s +42
+ (
- 5allar la transformada de 7aplace de las siguientes funciones+ − t
a) !(t) " (t#1)$( e !(t)
+ e 3 t ¿2
)
t01, e02t/2e2t/e!t,
)
te02t/2te2t/te!t0e02t02e2t0e!t
1
8 (!(t))(s)
2
(s +2 )
+
2 2
( s −2)
+
1 2
( s −6 )
−
1
−
2
−
1
( s +2 ) ( s− 2) ( s −6 )
1 lim ¿ ( 4 b !+=
/) !(t) "
− t
e
?0t-
('senht#cosht)
4e0tsen56t07e0tcos56t
12
7 0?0t--0s-
2
2
(s + 1 ) −3
−
15 ( s + 1)
(s +1 )2−32
−15 s− 3 (s + 1 )2−4
c) !(t) " (t#&)$t e
?0t-
3 t
t/e6t 0 /te6t
2
7 0?0t--0s-
3
( s −3 )
+
2
( s −3 )2
4 −2 s
(s −3 )3
π 4 t e d) !(t) " (sen&t$cos 4 )
?0t-
e
4 t
π
−¿ cos/t.sen (sen/t.cos 4
π 4
)
√ 2
L ((t))(s)
− √ 2 2
( s −4 )2 + 2
2
( s− 4 ) ( s − 4 )2 +22
2 √ 2−√ 2 s + 4 2 ( s− 4)
2
+ 22
√ 2 e4 t sen 2 t − √ 2 e 4 t cos2 t 2
2
− t
e- ?0t- : te senh 3 t
7 0?0t--0s-
)
d − t : ( e senh 3 t )( s) ) 0 ds
0
3 d ¿ ds ( s + 1 )2 + 9
) 36 s + 6 2
2 s + 2 s + 10
f- ?0t- :
?0t-
( t −1 )3 e−2 t
)
( t −1−3 t + 3 t ) e− t
)
t e
3
3
2
2
−2 t
− e−2 t −3 t 2 e−2 t + 3 t e−2 t
7 0?0t--0s- ) 6
1 6 3 − − + (s +2 )4 s + 2 ( s + 2 )3 ( s + 2 )3
g- ?0t- : tsenLt 8 L3
7 0?0t--0s-
)
0
d : ( sen%t )( s ) ds
)
% d ¿ ds s 2+ % 2
0
2 %s
)
2
(s + % 2 )2
>- ?0t- : tetcos"t
Kt,,s,
tcos3t,s01, ) 0
)
( )
d s 2 ds s + 9
s s )
(¿¿ 2 + 9 )2 O (¿¿ 2 + 9 )+ 2 s 2 Ps01, ) ¿ −¿
( s −1 )2−9 ( s +1 )2+ 3 2
( s −1)
"- Calcular la transformada de 7aplace de las funciones+
a) (t)
1 a
01
/a
6a
:
t
{
1; 0< t 8 a −1 ; a < t 8 2 a 1; a< t 8 3 a −1 ; 3 a < t 8 4 a 1 ; 4 a < t
?0t- :
?0t-
4a
−2 1 0 / ¿( t − a)+ 2 ¿( t −2 a )¿ ( t −3 a )+ 2 > (t −4 a) ¿
1
7 0?0t--0s-
s
−as
−
2e
s
− 2 as
+
2e
s
−3 as
−
2e
s
− 4 as
+
2e
s
/) (t)
1
1
/
6
4
t
{
t ; 0
!(t) "
+(6 −2 t ) t(0/t/) ¿( t −1 )+( 2 t − 4 )¿( t −2 )¿( t −3 )+( t −4 )2 ¿( t − 4 )❑¿
?0t-
( )
7 0?0t--0s-
( )
d e− e− d e−2 e−2 e−3 +2 + 2 −2 −4 +6 +¿ 2 ds s s ds s s s s s
1
s
s
( ) ( )− −3 s
−4 s
d e 2 ds s
1
7 0?0t--0s-
s
2
d e − ds s
−s
−
2e
2
s
−2 s
+
2e
2
s
e
4
−
2
s
s
−3 s
−
2e
2
s
c) (t)
1
1
/
t
{
t , ∧0 < t 8 1 # ( t )= −t + 2,∧1 < t 8 2 0,∧2 < t
?0t-
s
−4 s
−3 s
2e
s
+ t : t0/t ¿( t −1 )+ 2 ¿( t −1 )¿( t −2 )2 ¿(t −2 )❑¿
e− s + 2 s 4
7 0?0t--0s- :
( ) −s
( )− ( )
−s
−2 s
d e e d e +2 +2 − 2 ds s s ds s s 1
7 0?0t--0s- :
e− s − 2 + 2 2 s s s 1
−s
2e
2
−2 s
2
e
s
') −1 / s
e
a) Si 8 (!(t))(s) "
; hallar 8 ( e−3t . ( 3 t ) ) (s) s
Por la propiedad del cam*io de escala + − 3 /s
L ((6t))(s)
L( e
− 3t
1 3e 3 s
e
−3 / s
s −3 /( s+ 3 )
. ( 3 t ) )(s) L ((6t))(s6)
/) Si a , - demostrar 8 (!(at))(s) "
+=
−s
∫e
Si L ((at))(s)
u a
e
s+3
()
1 s # 9 a
( at ) dt
0
5acemos un cam*io de varia*les+ at* t u;a + dt 1;a du
Reemplaando+ +=
∫e
Si L ((at))(s)
u a
−s
0
+=
du ( u ) a
?inalmente+
L ((at))(s)
()
1 s # 9 a
t
c) .alcular+ 8 (
− 4 x
∫e 0
cos3 xdx
)(s)
1/ a
−s
∫e 0
u a
( u ) du
Esaremos la siguiente propiedad+
t
1;s=
∫ ( t ) dt = 1s ( s )= 1s 0
L ((t))(s)
Tenemos 1
s
1
: ( e− x cos3 x ) 4
s
(s)
: ( cos3 x )
(s4)
?inalmente+
t
L (
−4 x
∫e
cos3 xdx
0
s +4
1
(
s ( s + 4 )2 + 32
)(s)
)
) En los siguientes pro/lemas$ 9allar !(t) "8#1(f(s)(t)
2 s+ s
a) f0s-:
2
s + 6 s + 34 2 s + s + 1 −1
"
2
2
( s + 3 ) +5
2 ( s+3 )
( s + 3 ) + 5 2
1 2
(s + 3 )2+ 52
−1 −1 5 ( s + 3) : L (f(s))(t) L ( ( s + 3 )3+ 52 )(t) s ( s +3 )2+5 2 01
01
− 3t
/
e
1 cos5 t − sen 5 t 5
# ( s ) ¿( t )=¿
− 3t
e −1 / ( ) ∴ t = : ¿
2 s −1
/) f(s)"
2
3
s ( s + 1)
1 cos5 t − sen 5 t 5
2 s −1 2
3
s ( s + 1)
A B - ? @ + 2 + + + 2 s s s + 1 ( s + 1) ( s + 1)3
:$(1)
De+ s4(>&) s6(6>?/&D) s/(6>6?&DE)S(>6?) >7
'
? 01
'
& 0S '
D 04
' E 06
Reemplaando en 01-+ 2 s −1
−1 − s −4 −3 + + + s s 2 s + 1 ( s + 1 )2 ( s + 1 )3
5
f0s- : s 2( s + 1)3
+
−1 − s −4 −3 + + + ) s s 2 s + 1 ( s + 1 )2 ( s + 1)3
5
( +
L (f(s))(t) L 01
01
( )= s −t −5 e−t − 4 t e−t − 3 t 2 e−t
∴ t
2
−4
e s ( s + 2 )2
c) f0s-:
1
−4 s
L01( e
.
1
( s + 2 )3 ❑ (t))
> 4 ( t ) L01( e−4 s . ( s + 2 )3 ❑ (t04)
"
1
1 −2 t 2 e . t 2
3 %ero, L ( ( s + 2 ) (t) ¿ ¿❑
01
−4 s
L01(f(s))(t)
e ¿ (t) f(t) 01 L ( ( s + 2 )3 ❑
( t )=> 4 ( t ) . 1 e−2 t +8 . ( t 2 −8 t +16 )
∴
2
2
d) f(s)"
9s
2
+4 1 2
"
2 2
3 s
+4
=
2/ 3
3 2
3
2
2 s +( ) 3 2
01
L (f(s))(t)
1 01 3 L (
2 3 2 s+
() 2 3
(t)
2
❑
( t )=¿ L01(f(s))(t)
∴
( )
1 2 t sen 3 3
( )
1 2 t sen 3 3
e) f0s-"
s+3 s −3 + 2 s − 8 s + 20 s + 6 s −20 2
√ 29
¿ ¿ ( s + 3 )2−¿ s − 3 + 3 −3 ¿
s +3 + 4 − 4 " ( s − 4 )2 + 22
01
4t
4t
6t
L (f(s))(t) e cos/t(@;/)sen/te e (cos5
√ 29 t −
6
√ 29
senh √ 29 t ¿
( t )=¿ e4t(cos/t(@;/)sen/t) e06t(cos5
∴
29 senh √ 29 t ¿ √ 29 t − 6 √ 29
( 1 +e 2 s)2 e) f(s)" s +2 1
"
s + 2
2e
2s
e s s+ 2 4
s + 2
2s
1
24 s
e e 01 01 01 01 L (f(s))(t) L ( s + 2 )(t) / L ( s + 2 )(t) % L ( s + 2 )(t)
∴
− 2t
(t) e
+ 2 > 2( t ) e−2 (t −2) + > 4 (t ) e−2( t −4)
%- Resolver los siguientes P4I usando la tansformada de 7aplace+
a) ;<(t) " f(t) = ;(-) " ;- =
Tomando 7aplace+
# ( x )=
{
a ,∧ 0 8 t 8 t 0 b , ∧t 0 8 t
sLA+(t)B0+() LAa(b0a)(t0
t 0 ¿ }
ts y ( 0 ) e− 2 +a / s (b0a) 2 LA+(t)B s s
Tomando 7aplace inversa+ +(t)+atC(b0a)(t0 t 0 ¿ −ts y ( 0 ) e 2 +a / s (b0a) 2 (t0 t 0 ¿ LA+(t)B s s
/) ;<(t) %a>(t) " f(t) = >(-) " (t)
b
a
t
{
# ( t )= b ,∧ 0 8 t 8 a 0 , ∧a 8t
omando Laplace: −ts
LA+(t)B
b be − s (s +a ) s ( s +a )
omando Laplace in"ersa: +(t)
∴
c)
+(t)
(
)
b b −at b b −a ( t −a ) − e − − e > ( t −a ) a a a a
1−e
−as b
a
−
b> ( t −a ) ( 1 + e−a (t −a ) ) a
¿
!(t) " ><<%> = >(-) = ><(-)# # ( t )= 2 ; 0 8 t < 1 1 ; 1 8t
{
(t)
1
1
t
Tomando 7aplace+ LA+(t)B
:omando aplace inversa
' sy ( o )− y ( 0 ) + : { y ( t ) }=¿ LA/0u(t01)B
∴
+(t) /0/cost6sent (cost01)(t01)
R2.3I.2 45?
1. HToda sucesi(n acotada es convergenteJ Qustificar. Feamos, consideremos la sucesión:
+¿ ¿
nϵ
¿ +¿
¿
nϵ
¿ (−1 )n ¿¿ n¿ X n =a¿ n es par :
(01)n 1
n es impar: (01)n 01
+¿ ! 1 #uncion 8uego+ x0
¿
+¿ ¿
nϵ
¿ +¿
n *
nϵ ¿
¿
n¿ X n =a¿
Gang () A01 , 1 B La sucesión es acotada, sin embargo no es con"ergente, en efecto, procederemos por el absurdo. Supongamos #ue la sucesión.
+¿ ¿
nϵ
¿ +¿
nϵ ¿
¿ ¿ n¿ a¿
∃lim n! =
an=lparatodoC > 0, C = 1, ∃ / = / ( C ) 9 0
1
−¿ ¿
para todo n 9 / , se tiene /¿
(∎ ) + ;1 0 l; = C :$( ¿
i) Bi n es par En ii) Bi n es impar En
7uego usando
1−l
¿
(∎ ) , ;01 0 l; ; 1 l; = C :$( D ¿
( ) ( 0 D ¿ se tiene+
, / 1 / l, Q 1−l / 1/ l 1 / 1 ) 2 2 2 no puede ser
+¿ ¿
nϵ
¿ +¿
Por lo tanto8
¿
nϵ
¿ ¿ n¿ a¿
x (¿¿ n ) =0 ,entonces 2
. 2i
∑ x =0 n
n!=
∑¿
n !=
=
9omo la serie
x =0 ∑ = n
n 1
entonces converge* donde la sucesión de
sumas parciales OBnPnS1 converge* esto es
E lim n= ; n! =
lim n−1=
n !=
X n = n− n−1
n !=
n
ϵ
ϵ
n !=
n !=
x n( n / )
x n( n / )
lim xn = lim ( n− n−1 ) = − =0
T
∑ x =0
uego
". 2i
,* pero
es acotada superiormente ) creciente8 entonces
es convergente.
OBnPnU1 es acotado superiormente* por %ipótesis superior de la sucesion* como
− @ no es cota superior*
numero entero positivo A U * tal 'ue
−C < n , paratodon > / … ( a )
:enemos +¿ … ( b )
=minima
¿
n < , paratodo n > / E
es la minima cota superior. Bi Bn Q Bn/1* para todo n U A /. 0c- 8 OBPnU1 es creciente por %ipótesis,
cota ∃
un
uego* Bn Q Bn pero n U A ///0d-
&e a,* b,* c, ( d, se tiene 'ue
−C < n 8 n 8 < + C siempre Fue n > / E { n }n >1 Es convergente y su limite es la minima cota superior.
lim (
#. Calcular
n !=
1
1
+
1
+
√ n + 1 √ n + 2 √ n +3 2
2
2
+ …+
1
√ n + n 2
)
ste l
8
1
1
8
√ n + n √ n + 1 √ n + 1 2
1
8
2
1
2
1
8
√ n + n √ n + 2 √ n + 1 2
1
8
2
1
2
1
8
√ n + n √ n + 3 √ n + 1 2
2
2
⋮⋮ ⋮
1
8
1
1
8
√ n + n √ n +n √ n +1 2
2
2
Bumando* se obtiene n
8
1
1
+
√ n + n √ n + 1 √ n +2 2
lim ( n !=
2
n
√ n + n 2
1 8 lim ( n!=
2
) 8 lim (
1
n! =
1
∴ lim n!=
2
( √ + 1
n
2
1
1
+ …+
+
1
2
1 2
1
√ n + n 2
+
2
+…+
1
√ n + n 2
) 8 lim ( n !=
n
√ n + n
)81
1
√ n +2 √ n + 3 2
n
8
√ n + n √ n + 1
√ n + 1 √ n +2
√ n + 1 √ n + 2 2
+
2
1
+
+…+
2
+ …+
1
√ n +n 2
)=
1
2
)
1
1
( 2+
( n +1)
n
$. 9alcular
2
1
+¿
( n +2 ) ∑¿
2
+… +
1
( 2 n )2
)
n !=
ste limite se o*tiene acotando8 es decir+ 1
8
2
n
1
8
2
n
1 2
n
8
1
8
2
( n + 1) 1
( n+2 )
2
8
1 2
8
2
8
( n +3)
1
(n + 1 )2 1
( n + 1 )2 1
( n +1)2
⋮⋮ ⋮
1 2
n
8
1
( n +n )
1
( n +1 )2
2umando8 se o*tiene+
n 1 n 1 1 ( + + + ) 8 … 8 2 2 2 n n ( n+1) ( n + n )2 ( n + 1)2
A>ora tomando el limite+ lim n n 1 1 1 n != + …+ )8 lim ( 2 ) 8 lim ( 2 + n != n n!= n ( n +1 )2 ( n + n )2 (n + 1)2
0 8 lim ( n!=
1
n
2
+
1
( n +1)
∴ lim n! =
%. Calcular+
∑
(
n !=
2
+ …+
1
( n+ n ) 2
1
1
n
( n +1)
+ 2
( ) n
) 80
+ …+ 2
x ; x ∈ 1 nG
1
( n + n )2
)=
0
Por el teorema de la ra(n+ +1
xn a n + 1= (n +1 ) G
n
x an = nG
Aplicando lKmites+ n
lim n !=
¿
an+1 /¿ ) an
lim (
) ∴
lim
¿
n !=
n !=
1
n +1
x . x ( n +1 ) n G /¿ x n nG
) )
<1 ⟹
La serie de potencias dada es absolutamente convergente.
&. 2i 3 a 18 L
ϵ /
%
lim ( n . 0 )
8 calcular
n !=
Por el criterio de la ra(n+ lim n !=
¿
( n + 1 )% n% %
n .a
n
/¿ )
lim ¿ 1+ n !=
)
a ( lim 1 + lim
)
a ( 1 + 0)
n! =
)
a
n!=
1
n
( )) 1
n
/a
PRACTICA NS'
1. ncuentre el conjunto de valores 6 para los cuales la serie
∑ > ( x ) n
n9 1
converge8 cuando
> n ( x ) es+
1
a.
> n ( x ) = n x 1
> n+ 1 ( x )= n + 1 x 1
/ > n+ 1 ( x ) ⇒
n
/¿ ) ¿ x /¿ ) 1 > n ( x ) xn
1
x 1 V 1
n
*.
2 x ¿ n −1 3 ¿
> n ( x ) =
3a
n+ 1
¿
n+1
2 x ¿ n 3 ¿
> n+ 1 ( x )=
!
x /n !=/1 n x . x ¿ /¿ x
n+1
n+2
3a
¿
2 x ¿
n+ 1
¿
n
2 x ¿
¿
/ > n+ 1 ( x ) ⇒
3
/¿ ) > n ( x )
n− 1
n
2 x ¿
¿
2 x ¿ . (2 x ) 3 a
n +1
1 3a
¿ x n 3 ¿ n
3a
¿
n
¿
)
n+2
n
3 n +1
3a
¿¿
! a a / n ! = / 6 ) ¿ 3.2 x /¿ 1 x
1
¿
n .a.3 ¿
¿ ¿¿
a V 6 x
n+ 1
.3
− nx
> n ( x ) =e
c.
> n+ 1 ( x )=e−(n +
/ > n+ 1 ( x ) ⇒
1) x
−(n+ 1) x
− x
e
!
/¿ ) ¿ −nx /¿ ) ¿ e /n ! = / 1 /¿ x > n ( x ) e e
¿
V
1 x
e
/¿
1
nx > n ( x ) = n e
d.
n
> n+ 1 ( x )=
( n + 1 ) xn +1 en
+1
( n + 1) x n+1 / > n+ 1 ( x ) ⇒
n +1
e n xn en
/¿ ) ¿ > n ( x )
nx + x /¿ /¿ ) ¿ e.n
x /¿ e
¿ n+ 1 x ¿ /¿ ) ) n e
x /¿ ! ¿ n! = ¿ 1 e 1
(1+ )¿ n
7uego8
¿
x /¿ e 1
¿
V ¿ x /¿ e
x + 1 x + 2
¿ ¿
e.
> n ( x ) =¿ x + 1 x + 2
¿ ¿ > n+1 ( x )=¿ x + 1 x + 2
¿ ¿ x + 1 x + 2 ¿ x + 1 ! ¿ / > n+ 1 ( x ) ⇒ /¿ ) ¿ 1 ) x + 2 / n ! = / x + 1 ¿ /¿ 1 > n ( x ) ¿ x + 2 x + 1 x + 2 ¿ ¿ ¿n ¿ ¿¿
7uego8
x + 1 /¿ 1 V x + 2
¿
−1 < 1 −
1
x + 2 1
−1
1
− 2 < <0 2> >0 x + 2 x + 2 1 2
1 2
x + 2 > x > −2
x>
.
−3 2
x ∈<
−3 2
,+ = >¿
ncuentre el conjunto de valores de 6 para los cuales8 la serie
∑ # ( x ) n
n ,1
cuando
a.
converge ) esta*leca el radio de convergencia R8
# n ( x ) es+
# n ( x ) =
# n ( x )=
x
n
1+2+3+…+ n n
x
n ( n + 1)/ 2
# n + 1 ( x )=
x
n+ 1
( n +2 )( n + 1 )/ 2 x
/ # n+ 1( x ) ⇒
/¿ ) ¿ # n ( x )
( n + 2)( n + 1)/ 2 n
x n ( n + 1)/ 2
¿ ) n
n n
+
nx
/¿ ) ¿ /¿ n+ 2
!
/¿ n ! = / x /¿ 1 2
n n −1 < x < 1
n+ 1
x ∈<−1, + 1 >¿
*.
*
R )1
x 2n # n ( x ) = nG 2 (n + 1)
x # n + 1 ( x )= ( n +1 ) G 2(
+ 1)
x n / # n+ 1( x ) ⇒ ( ) /¿ ) ¿ n +21n G /¿ ) # n ( x ) x nG
x 2 n . x ( n + 1 ) . nG ¿ /¿ ) 2n x nG
1
¿ )
n 1+
1
/¿ 2
n
!
n ! = 0 1 ==
2
c.
x n
# n ( x ) =
n
2
( n + 1 )2
x
# n + 1 ( x )=
2
(n + 1 )
( n+ 1 )2
x
/ # n+ 1( x ) ⇒
( n + 1)
2
/¿ ) ¿ n /¿ ) # n ( x ) x 2
n
2
x
2n
2
/ x /¿
!
n ! ==
2
¿
x
(n + 1 )
/¿
1 =0 ;
1
n
d.
x −2 ¿ n +1 # n ( x )= n ¿ 3 .n
x −2 ¿n +1 n +2 # n +1 ( x )= n + 1 ¿ 3 . ( n + 1) n +1
x −2 ¿
x −2
¿ x −2 ¿n ¿ n+1 ¿ n
¿ ¿ ¿n / # n+ 1( x ) ⇒ ¿ /¿ ) ) 2 # n ( x ) n +1 ¿ 3 .n ¿ n+2 ¿ (n + 2 )¿ n +1 3 . (n+1 ) ¿¿ ¿¿ 2
( 1 + )( x −2 ) )
¿
n
3 (1+
/¿
2 1
+ 2)
)
¿ x −
n n
¿ x −2 /¿ 3 V −3 < x −2 < 3 −1 < x < 1 x ∈<−1 , + 5 >¿ *
n
e.
# n ( x ) =
2 . 4 . 6 … .. 2 n ( x − 2 ) 4 . 7 . 10 … .. ( 3 n + 1)
n+ 1
# n + 1 ( x )=
2.4.6 … ..2 ( n + 1)( x −2 )
4.7.10 … .. ( 3 ( n + 1)+ 1 )
R )3
¿
2 /¿ 3 1
n+1
2.4.6 … ..2 ( n + 1 )( x −2 )
/ # n+ 1( x ) ⇒
4.7.10 … .. ( 3 ( n + 1 )+ 1 )
/¿ ) ¿ # n ( x )
n
2.4.6 … ..2 n ( x −2 )
/¿ )
4.7.10 … .. ( 3 n + 1 )
¿
2 n + 2 ( x −2 )/ ¿ 3 n+ 4
¿ )
2+
2
3+
4
2+
¿ )
3+
n
/¿ x −2 /¿
n
2 !
n
/¿ x −2 /n ! = 2 / x −2 /¿ 1 4 3 n
7uego+
−3 02 32 V
2
< x −2 < −1
V
2
x ∈<
f.
3 2
< x −2 <
−1 2
7 2
7 2
, + >¿
*
R )32
# n ( x ) =n x n # n + 1 ( x )=( n + 1 ) x
n +1
/ # n+ 1( x ) ⇒
/¿ ) ¿ # n ( x ) V
( n + 1 ) x n . x nx
n
−1 < x < 1
( n+ 1) /¿ ) ¿ /¿ x /¿ n
!
n ! = / x /¿ 1
x ∈<−1 , + 1 >¿
g.
x # n ( x ) =
*
R)1
¿
x − √ n /¿ ) + n 1 √
n
√ n n+ 1
x # n + 1 ( x )= √ n + 1 n+ 1
x / # n+ 1( x ) ⇒ /¿ ) ¿ √ n +n 1 /¿ ) # n ( x ) x √ n
¿ :
V
1
√
1+
¿
1
n ¿ √ /¿ √ n + 1
/¿
n
1
√ n +1
!
/¿
n ! = / x /¿ 1
−1 < x < 1
x ∈<−1 , + 1 >¿
*
R)1
". Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando serie de potencias+ a. )UU6)UV) :3 )03- : 1 8 )!03- : 3 =
2uponiendo que+ )06- :
a x ∑ =
n
n
n H
reemplaando en la .D. se tiene+
es soluci(n de la .D. luego8
=
− n a x ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reemplaando en la .D. se tiene+ =
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
⏟ =
− x ∑ n a n x
n− 1
n= 1
n 2
=
+ ∑ a n x n= 0 n= H
=
na x ∑ =
n
n
n 1
5aciendo+ n −2 =m n =m+ 2 =
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
n 2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+2 xm m= H
mB >ace de varia*le muda+ =
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
n 2
m H
7uego8
n H
⏟ =
=
=
( n + 2 ) ( n + 1) a + . x −∑ na x + ∑ a x ∑ = = = n
n
n 2
n H
n
n 1
=
∑= ( n +2 ) ( n+ 1) a + . x
2 a2 +
n 2
n 1
n⏟ H
=
n
n
n
∑= a x
a0 +
n
n 1
n
n
( n +2 ) (n +1 ) a ¿ −n an +an ¿ n + 2 ¿ x ¿ ¿ =
( a +2 a ) +∑ ¿ 0
2
n= 1
a0 + 2 a2=0 ∧( n + 2 ) ( n + 1) an +2+ (1 −n ) an =0 , ∀n 9 1 Ior dato : a0= 1, a 1=0 ! a2=
−1 2
n =1: ( 2 ) ( 3 ) a3 + 0. a1=0 a3 = 0 n =2: ( 3 ) ( 4 ) a4 −a2= 0 a 4=−1 / 24
n =3: ( 4 ) ( 5 ) a5− 2 a 3=0 a3=0 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+ 1 2
y ( x )= 1+ 0 x − x 2 + o x 3−
1 4 1 6 x + 0 x 5− x + … 24 240
*. )UUV6) :3 )03- : 1 8 )!03- : 1 =
2uponiendo que+ )06- :
a x ∑ =
n
n
n H
es soluci(n de la .D. luego8
reemplaando en la .D. se tiene+
=
n a x − ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reemplaando en la .D. se tiene+
=
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
⏟ =
+ x
n 2
2
a x =0 ∑ = n
n
n H
=
+ na x ∑ =
n 2
n
n 0
5aciendo+ n −2 =m n =m+ 2 =
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
n 2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+2 xm m= H
WmX %ace de variable muda =
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
n
n 2
m H
n H
n + 2 =m +
5aciendo+ =
a x ∑ =
n+ 2
n
=
=∑ am −2 x m m= 2
n H
mB >ace de varia*le muda+ =
∑= a
=
m
x =
m− 2
m 2
7uego8
∑= a − x
n
n 2
n 2
⏟ =
=
( n + 2 ) ( n + 1) a + . x +∑ a − x ∑ = = n
n 2
n H
n
n 2
n 2
=
2 a2 + 6 a3 x +
=
∑= ( n +2 ) (n + 1 ) a + . x +∑= a − x =¿ 0❑ n
n
n 2
n 2
¿
n 2
n 2
( n + 2 ) ( n + 1) a ¿ + an − 2 ¿ n + 2 ¿ x ¿ ¿
∀n9 2 =
( 2 a + 6 a x )=0 ∧∑ ¿ 2
3
n=2
Ior dato : a0= 1, a 1=1 ! a2 =0
n =2: ( 4 ) ( 3 ) a4 + a0=0 a 4=−1 / 12 n =3: ( 5 ) ( 4 ) a5 + a 1=0 a5=−1 / 20 n =4 : ( 6 ) ( 5 ) a6 + a2=0 a6= 0 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+
2 3 y ( x ) = 1+ x −0 x + 0 x −
1 4 1 5 6 x − x − 0 x + … 12 20
c. )UUV6)!V6) :3 )03- : 3 8 )!03- : 1
=
2uponiendo que+ )06- :
a x ∑ =
n
n
n H
es soluci(n de la .D. luego8
reemplaando en la .D. se tiene+ =
− n a x ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reemplaando en la .D. se tiene+
=
n ( n−1 ) a x ∑ = n
n 2
=
n−2
+ x ∑ nan x n= 1
=
+ na x ∑ a x ∑ = = n
n 1
n
n 1
n
n H
⏟ =
n− 1
=
+ ∑ an x n=0 n =H ⏟
5aciendo+ n −2 =m n =m+ 2
=
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
n 2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+2 xm m= H
mB >ace de varia*le muda+ =
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
n
n 2
m H
n H
n + 1= m +
5aciendo+ =
a x ∑ =
n+ 1
n
=
=∑ am −1 xm m= 1
n H
mB >ace de varia*le muda+ =
∑= a
=
m
x =
m− 1
m 1
7uego8
∑= a − x
n
n 1
n 1
⏟ =
=
( n + 2 ) ( n + 1) a + . x +∑ a − x ∑ = = n
n 2
n
n 1
n H
n 1
=
∑= ( n +2 ) ( n+ 1) a + x
2 a2 +
n
n 2
n 1
=
⟹ 2 a 2+
∑= [ ( n +2 ) ( n +1 ) a + +n a + a − ] x =¿ 0❑ n
n 2
n 1
n
n 1
¿
=
( 2 a )= 0 ∧ ∑ [ ( n + 2 ) ( n + 1 ) an + + n an + a n− ] xn=0 2
2
n= 1
Ior dato : a0= 0, a1=1 !a 2=0
n =1: ( 2 ) ( 3 ) a3 + a1 + a 0=0 a3=−1 / 6
1
, ∀ n9 1
n =2: ( 3 ) ( 4 ) a4 + 2 a 2+ a1=0 a4 =−1 / 12
n =3: ( 4 ) ( 5 ) a5 + 3 a3 + a2=0 a5=1 / 40 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+
1 6
2
3
y ( x )= 0 + x −0 x − x −
1 4 1 5 1 6 x + x + x + … 12 40 180
d. )UU6) :3 )03- : 3 8 )!03- : 1 =
2uponiendo que+ )06- :
a x ∑ =
n
n
n H
es soluci(n de la .D. luego8
reemplaando en la .D. se tiene+ =
− n a x ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reemplaando en la .D. se tiene+ =
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
⏟ =
− x ∑ an x n =0 n= H
n 2
=
+ a x ∑ =
n 1
n
n H
5aciendo+ n −2 =m n =m+ 2 =
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
n 2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+2 xm m= H
mB >ace de varia*le muda+
=
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
n
n 2
m H
n H
5aciendo+ n + 1=m =
∑= a
=
m
x
m− 1
m 1
a − x ∑ =
n
n 1
n 1
⏟ =
=
∑= (n + 2)( n +1) a + x −∑= a − x =0 n
n
n 2
n 0
n 1
n 1
=
∑= ( n +2 ) ( n +1 ) a + x
2 a2 +
n
n 2
n 1
−an−1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) an +2 ¿ x ¿ ¿ =
! 2 a2 +
¿ ∑ = n 1
2 a 2= 0 ! a 2= 0
Ior dato : a0= 1, a 1=1
n =1: ( 3 ) ( 2 ) a3− a0=0 a3= 0 n =2: ( 4 ) ( 3 ) a4 −a1= 0 a 4=1 / 12 n =3: ( 5 ) ( 4 ) a5− a2=0 a5= 0 n =3: ( 6 ) ( 5 ) a 6−a3 =0 a6=0 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+ 2 3 y ( x )= 0 + x + 0 x + 0 x +
1 4 5 6 x + 0 x + 0 x + … 12
e. 061-)UUV"6)!: 6) )03- : # 8 )!03- : % =
a x ∑ =
2uponiendo que+ )06- :
n
es soluci(n de la .D. luego8
n
n H
reemplaando en la .D. se tiene+ =
− n a x ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reempla8ando en la .&. se tiene =
( x + 1 )∑ n (n −1 )a n x 2
n−2
n= 2
=
!
=
+ 3 x ∑ na n x n= 1
=
∑= n ( n−1 ) a x − x ∑= n ( n−1 ) a x n
n
n
n 1
n− 1
n 2
n− 2
=
+ x ∑ an x n= 0 n= H
=
+ 3 ∑ nan x n +¿ n= H
=
+ ∑ a n x n= 0 n=H
n −2=m
5acemos+
=
n ( n−1 ) a x ∑ = n
n 2
n−2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+ 2 xm m= H
mB >ace de varia*le muda+ =
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
m H
n H
n + 1= m +
5aciendo+ =
a x ∑ = n
n H
n 2
n+1
=
=∑ am −1 x m m= 1
n
mB >ace de varia*le muda+ =
∑= a
=
m
x =
m− 1
m 1
∑= a − x
n
n 1
n 1
7uego* =
!
=
=
n
n
n
n 2
n 2
n H
n
n
n 1
n 1
=
!
=
( n + 2 ) (n + 1 ) a + . x + 3 ∑ na x + ∑ a − x =0 ∑= n (n −1) a x − ∑ = = = n
n 1
=
=
=
a− ∑= n (n −1) a x −2 a − 6 a x −∑= ( n +2 ) ( n +1 ) a + . x +3 a x +3 ∑= na x + a +∑ = n
n
n
2
n 2
3
n 2
n
n
1
n 2
n 2
Por propiedad+ (−2 a2−6 a3 x +3 a1 x +a 0 ) +¿
+ 3 nan +an−1 n ( n−1 ) a n−( n + 2 ) ( n + 1 ) an +2 ¿ x ¿ ¿ =
+∑ ¿ n=2
3 a1−6 a3 x + a 0−2 a2=0
n ( n−1 ) a n−( n −2 ) ( n + 1 ) an+2 + 3 n an + an− 1=0, ∀ n9 2 Ior dato : a0= 4, a1=6 ! a2 = 2
n =1: ( 1 ) ( 3 ) a1−(−1 ) ( 2 ) a3 + a0=0 a3=3 n =2: ( 2 ) ( 4 ) a2−( 4 ) ( 3 ) a4 + a1=0 a4 =11/ 6
n =3: ( 3 ) ( 5 ) a3 −( 5 ) ( 4 ) a5 + a2=0 a5= 47 / 20 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+ 2
3
y ( x )= 4 + 6 x −2 x + 3 x +
11 4 47 5 47 6 x + x − x + … 6 20 30
f. 01V6-) UUV6)! ) :3
)03- : 3 8 )!03- : 1 =
Buponiendo 'ue (, )
a x ∑ =
n
n
n H
reempla8ando en la .&. se tiene
es solución de la .&. luego*
n 1
0
n 2
=
− n a x ∑ =
n 1
(?, )
n
n 1
=
n ( n−1 ) a x − ∑ =
n 2
(??, )
n
n 2
Reemplaando en la .D. se tiene+ =
=
=
( 1 + x ) ∑ n ( n−1 ) an x + 2 x ∑ nan x −2 ∑ an x n =0 n− 2
2
n =2
n =1
=
!
n− 1
∑= n ( n−1 ) a x
n− 2
n
n 2
n= H
=
=
+ ∑ n ( n−1 ) an x + 2 x ∑ nan xn n
n =2
n= 1
=
−2 ∑ an x n =0 n= H
5acemos+
n −2=m
=
n ( n−1 ) a x ∑ = n
n 2
n−2
=
= ∑ ( m + 2 ) (m + 1 )a m+ 2 xm m= H
mB >ace de varia*le muda+ =
=
( m + 2 ) (m + 1 ) a + . x = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a + . x ∑ = = m
m 2
n
n 2
m H
n H
n + 1= m +
5aciendo+ =
a x ∑ =
n+ 1
n
=
=∑ am −1 xm m= 1
n H
mB >ace de varia*le muda+ =
∑= a
=
m
x =
m− 1
m 1
∑= a − x
n
n 1
n 1
7uego8 =
!
=
=
=
( n + 2 ) (n + 1 ) a + . x +∑ n (n −1) a x + 2 ∑ na x −2 ∑ a x =0 ∑ = = = = n
n
n 2
n H
n
n 2
=
∑= ( n +2 ) ( n +1 ) a + . x +∑= n ( n−1 ) a x + 2 a n
n 2
n 2
n
n 2
=
+ 2 ∑ nan x −2 a0−2 a1 x−2 ∑ an xn=0 n
n= 2
n= 2
Por propiedad+ ( 2 a2 + 6 a3 x −2 a1 x−2 a0 )= 0
n +2 ¿( n + 1) a
¿ ¿
Ior dato : a0= 0, a1=1 !a 2=0 n =1: ( 4 ) ( 3 ) a4 + 2 a 2+ 2.2 a2 −2 a2=0 a3=1 / 3 n =2: ( 5 ) ( 4 ) a5 + 3 a3 + 2.3 a3 −2 a3=0 a4 =0 n =3: ( 6 ) ( 5 ) a 6+ 4 a4 + 2.4 a4 −2 a 4= 0 a 5=−10 / 3 ⋮⋮ ⋮
Por tanto+
n
n 0
n
=
n
n
n 1
=
! 2 a2 + 6 a3+
n
1
1 3
2 3 4 y ( x )= 0 + x + 0 x + x + 0 x −
10 5 6 x + 0 x + … 3
Ecuación diferencial e%acta
En donde las derivadas parciales de las funciones & y '9 y son i!uales. Esto es equivalente a decir que e&iste una función :(&,y)3 tal que
donde y . Dado que :(&,y) es una función diferenciable entonces las derivadas mi&tas deben ser i!uales y esta es la
condición
.
Método de resolución.
•
=omprobar la e&actitud de la ecuación, esto es, vericar si las derivadas parciales de M (con respecto a y ) y de N (con respecto a x ) son i!uales. $e inte!ra M o N a conveniencia ( M respecto a x o N respecto a y ) obteni+ndose de este modo la solución !eneral de la ecuación aunque con una función incó!nita g que aparece como constante de inte!ración. Esto es9
•
•
•
ar la función g se deriva variable independiente de g.
con respecto a la
$e i!uala g' con M o N (si se inte!ró M se i!uala a N y viceversa.), despe>ando y lue!o inte!rando con respecto a la variable dependiente de g de este modo se encontrará la función g. :inalmente se reempla/a el g encontrado en la solución !eneral .
Factor integrante.
$i una ecuación diferencial no es e&acta, pudiera lle!ar a serlo si se la multiplica por una función especial integrante, tal que9
llamada factor
$ea e&acta. =abe destacar que ba>o ciertas condiciones el factor inte!rante siempre e&iste, pero sólo para al!unas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmente encontrar un factor inte!rante9 Factor integrante solo en función de x.
$i la ecuación diferencial posee un factor inte!rante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula si!uiente9
Factor integrante solo en función de y.
$i la ecuación diferencial posee un factor inte!rante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula si!uiente9
Factor integrante solo en función de x+y.
$i la ecuación diferencial posee un factor inte!rante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula si!uiente9 =on z = x ( y
Factor integrante solo en función de x·y.
$i la ecuación diferencial posee un factor inte!rante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula si!uiente9 =on Donde M ? x 0@& =abe mencionar que9
Ecuación diferencial de )ernoulli as ecuaciones diferenciales de )ernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por AaBob Cernoulli y resueltas por su #ermano Ao#ann, que se caracteri/an por tener la forma9
donde
y
son funciones continuas en un intervalo
•
&étodo de resolución =aso !eneral
$i se descuentan los casos particulares en que 3 y y se divide la ecuación por y se obtiene9
() Deniendo9
lleva inmediatamente a las relaciones9
Fracias a esta última relación se puede reescribir () como9 (4) Ecuación a la cual se puede aplicar el m+todo de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado9
Donde que9
es una constante arbitraria.
:inalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utili/ando la e&presión9
(;) =on
.
=aso particular9 3
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por9
(G) =aso particular9
En este caso la solución viene dada por9 (H) E*emplo
(?) $e #ace el cambio de variable simplemente9
, que introducido en (?) da
(??)
0ultiplicando la ecuación anterior por el factor9
se lle!a a9
$i se sustituye (??) en la última e&presión y operando9
Iue es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente.
J se resuelve a#ora la ecuación9
Des#aciendo a#ora el cambio de variable9
Keniendo en cuenta que el cambio que #icimos fue
9
+erie de potencias ,e-nición
Lna serie de potencias alrededor de &3 es una serie de la forma9
Lna serie de potencias alrededor de &c es una serie de la forma9 f orma9
En el cual el centro es c, y los coecientes an son los t+rminos de una sucesion. E*emplos
•
•
•
a serie !eom+trica es una serie de potencias absolutamente conver!ente si conver!ente si M x M M N y diver!ente diver!ente si si M x M M 6 ó M x M M
a serie de potencias para todo
es absolutamente conver!ente
a serie de potencias
solamente conver!e conver!e para para x 3
+ucesiones series +erie de Fourier Lna ser serie de Fourie rier
es un una serie inn innit ita a que que conv conver er!e !e punt puntua ualm lmen ente te a una una función perió periódic dica a y cont contin inua ua a tro/ tro/os os(o (o por por partes). as series de :ourier constituyen la #erramienta matemática básic básica a del del anál análisi isiss de :ouri ourier er empl emplea eado do para para anal anali/ i/ar ar func funcio ione ness periódicas a trav+s de la descomposición de dic#a función en una suma suma innit innita a de funcio funciones nes senoid senoidale aless muc#o muc#o más simple simpless (como (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe debe al mate matemá máti tico co fran franc+ c+ss Aean%Captiste Aosep# :ourier que desarr desarrolló olló la teora teora cuando cuando estudi estudiaba aba la ecuación del calor. calor . :ue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resul resultad tados os inicial iniciales es en 3P y .. Esta área de investi!ación se llam llama a al!u al!una nass vece vecess Qnálisis armónico.Es armónico.Es una aplicación usada en muc# muc#as as rama ramass de la in!e in!eni nier era, a, adem además ás de ser una una #err #erram amie ient nta a sum sumamen amentte útil útil en la teo teora ra mate matem mátic ática a abst abstra ract cta. a. Rre Rreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imá!enes y seSales, y compresión de datos. En in!eniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a trav+s del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seSal dada, se puede optimi/ar el diseSo de un sistema para la seSal portadora del mismo. 8eerase al uso de un anali/ador de espectros. as series de :ourier tienen la forma9
Donde
y
se denominan coe-cientes de Fourier Fourier de la serie de
:ourier de la función
•
,e-nición
$i
es una función (o seSal) periódica y su perodo es T , la serie de
:ourier asociada a
es9
Donde
,
y
son los coecientes de :ourier que toman los valores9
a9
os coecientes a#ora seran9
/eorema de ,iriclet onergencia a una función periódica
$upon!amos que f(&) es una función periódica, continua a tro/os y acotada, que en un periodo tiene un número nito de má&imos y mnimos locales y un número nito de discontinuidades, de perodo 4p. $ean
y
entonces la serie conver!e a
En donde
,y
Forma e%ponencial
a, operando adecuadamente, si
la serie de :ourier se puede e&presar como la suma de dos series9
En forma más compacta9
/ransformada de 3aplace
a transformada de aplace de una función f(t) denida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t T 3, es la función :(s), denida por9
siempre y cuando la inte!ral est+ denida. =uando f(t) no es una función, sino una distribución con una sin!ularidad en 3, la denición es
=uando se #abla de la transformada de aplace, !eneralmente se reere a la versión unilateral. Kambi+n e&iste la transformada de aplace bilateral, que se dene como si!ue9
a transformada de aplace :(s) tpicamente e&iste para todos los números reales s 6 a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
erspectia istórica
a transformada de aplace recibe su nombre en #onor del matemático franc+s
su teora de la probabilidad. En PGG, eon#ard Euler #aba investi!ado un con>unto de inte!rales de la forma9
U como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundi/ó en ellas y pronto abandonó su investi!ación. Aosep# ouis a!ran!e, admirador de Euler, tambi+n investi!ó ese tipo de inte!rales, y las li!ó a la teora de la probabilidad en un traba>o sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma9
que al!unos #istoriadores interpretan como aut+nticas transformadas de aplace. Este tipo de inte!rales atra>eron la atención de aplace cuando, en P4, y si!uiendo la idea de Euler, trató de emplear estas inte!rales como soluciones de ecuaciones diferenciales.
U análo!a a la transformada de 0ellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación al!ebraica de la que buscó su solución. eno a su moderna aplicación en la fsica y la in!eniera5, y ser tratadas sobre todo como ob>etos matemáticos meramente teóricos. a moderna aplicación de las transformadas de aplace y toda su teora subyaciente sur!e en realidad en la se!unda mitad del si!lo VWV. Ql tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teora de vibraciones, el in!eniero in!l+s Oliver Xeaviside (H3%Y4H) descubrió que los operadores diferenciales podan tratarse
analticamente como variables al!ebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma9
U donde D es el operador diferencial, esto es, D d Z d&, entonces la solución !eneral a dic#a ecuación es de la forma9 . Xeaviside observó que si se trataba al operador D como una variable al!ebraica, era posible alcan/ar i!ualmente la solución de toda ecuación pare>a a la de arriba. En efecto, se!ún la solución !eneral, se cumple que9
Entonces, si se considera una ecuación diferencial de se!undo orden como la si!uiente9
U +sta puede reescribirse en para resaltar el operador D como9
Xeaviside propuso despe>ar y y tratar a D al!ebraicamente, en cuyo caso se tendra que9
$ustituyendo las fracciones en D por la e&presión inte!ral de las mismas arriba presentada, se lle!a a la solución de la ecuación diferencial9
Xeaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la #ora de resolver ecuaciones de la fsica y la in!eniera #i/o que pronto se e&tendieran. $in embar!o, el traba>o de Xeaviside, formal y poco ri!uroso, atra>o las crticas de al!unos matemáticos puristas que los rec#a/aron ar!umentando que los resultados de Xeaviside no podan sur!ir de tal
forma. 2o obstante, el +&ito del m+todo #i/o que pronto fuera adoptado por in!enieros y fsicos de todo el mundo, de manera que al nal atra>o la atención de cierto número de matemáticos tratando de >usticar el m+todo de manera ri!urosa. Kras varias d+cadas de intentos, se descubrió que la Kransformada descubierta por aplace #aca un si!lo no sólo ofreca un fundamento teórico al m+todo de cálculo operacional de Xeaviside, sino que además ofreca una alternativa muc#o más sistemática a tales m+todos. Xacia principios del si!lo VV, la transformada de aplace se convirtió en una #erramienta común de la teora de vibraciones y de la teora de circuitos, dos de los campos donde #a sido aplicada con más +&ito. En !eneral, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el ori!en. Lna de sus venta>as más si!nicativas radica en que la inte!ración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e inte!rales en ecuaciones polinómicas, muc#o más fáciles de resolver.
ropiedades
inealidad
Derivación
Wnte!ración
Dualidad
Despla/amiento de la frecuencia
Despla/amiento temporal
2ota9 u(t) es la función escalón unitario. Despla/amiento potencia n%+sima
=onvolución
Kransformada de aplace de una función con periodo p
ondiciones de conergencia
(que crece más rápido que e [ st) no pueden ser obtenidas por aplace, ya que , no es una función de orden e&ponencial de án!ulos. Kabla de las transformadas de aplace más comunes a si!uiente tabla provee la mayora de las transformaciones de aplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de aplace es un operador lineal, la transformada de aplace de una suma es la suma de la transformada de aplace de cada t+rmino.
Qqu está una lista de las transformadas más comunes. En ella u denota a la llamada función de Xeaviside o función escalón, que vale cuando su ar!umento es positivo y 3 cuando su ar!umento es
