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ANALISIS DE MODELADO DE LA ECUACION DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE A LAS REACCIONES RE ACCIONES QUIMICAS
CARLOS ANDRES LEON VALDERRAMA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICAS BUCARAMANGA 2015
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ANALISIS DE MODELADO DE LA ECUACION DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE A LAS REACCIONES QUIMICAS
CARLOS ANDRES LEON VALDERRAMA
Trabajo Colaborativo del Segundo Parcial ECUACIONES DIFERENCIALES
Profesor: LEONARDO VIRVIESCAS CAMACHO Licenciado en Matemáticas
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICAS BUCARAMANGA 2015
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Contenido
1.
OBJETIVOS ............................................................................................................... 2
3.
PARÁMETROS .......................................................................................................... 2
4.
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO .............................................................................. 2
5.
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ......................................................................... 3
6.
CLASIFICACION Y DEFINICION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ....................... 5
7.
ANÁLISIS CUALITATIVO .......................................................................................... 6
8.
OBSERVACIONES .................................................................................................... 7
9.
SOLUCION ANALITICA ............................................................................................. 8
10.
APLICACION DEL MODELO ................................................................................. 9
11.
CONCLUSION ...................................................................................................... 11
ECUACIONES DIFERENCIALES DE REACCIONES QUÍMICAS
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1. OBJETIVOS ❖
Estudiar en detalle el modelo matemático de las reacciones químicas en la formulación de una Ecuación Diferencial apropiada para verificar la función que conduce a las condiciones de la reacción.
❖
Analizar cualitativamente la Ecuación Diferencial que rige el modelo matemático de las reacciones químicas para determinar la forma que debe tener la curva solución sin necesidad de resolver la ecuación.
❖
Modelar las reacciones químicas entre dos sustancias, de tal forma que se pueda predecir la velocidad de la reacción y la cantidad de la nueva sustancia formada en un instante
2. ❖
❖
DETERMINACIÓN DE VARIABLES
variable dependiente, representa la cantidad de la sustancia resultante de la reacción (en gramos) variable independiente, representa el tiempo.
3. PARÁMETROS
Como parámetros se tiene alfa ( ) y beta ( ), que representan las cantidades iniciales de los químicos que se usan en la reacción, medidos en gramos. En el caso básico de dos sustancias y que reaccionan formando una sustancia , representa la cantidad inicial de y representa a la cantidad inicial de .
4. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
Suponga que se combinan gramos de la sustancia con gramos de la sustancia . Si hay partes de y partes de formadas en el compuesto y es la cantidad de gramos del químico formado, entonces la cantidad de gramos de los químicos y restantes en cualquier tiempo es, respectivamente,
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Mediante la ley de acción de la masa, la tasa de la reacción satisface
Si separamos del primer factor y introducimos una constante de proporcionalidad
Donde
y
del segundo e , tendrá la forma
.
5. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO Una reacción química es un proceso en el que unas o más sustancias denominadas reactivas se combinan o separan para formar otras sustancias denominadas productos. En las reacciones que consideraremos aquí supondremos que la masa se conserva y que se absorbe o disipa energía. La reacción se denomina irreversible si el producto no se separa en sus constituyentes una vez formado. Este tipo de procesos serán los que trataremos.
Una reacción química en la que reactivos se combinan para dar lugar a un producto , de manera que para formar moléculas de son precisas moléculas de la sustancia se denomina reacción de orden m y suele representarse mediante la notación
Donde la conservación de la masa implica que cuando el producto se forma a partir de una reacción de orden , es decir a partir de reactivos, el proceso se produce por colisión e interacción entre las sustancias, lo que implica que cuanto mayor sea la cantidad de cada una de ellas mayor será el número de colisiones y por tanto habrá mayor número de combinaciones por unidad de tiempo. La rapidez con la que se transforman los reactivos en productos está descrita por la denominada Ley de Masas que establece que dicha velocidad es proporcional al producto de las cantidades de los reactivos presentes, ya que este producto es un indicador de la posibilidad de encuentros entre las moléculas. En particular, la Ley de Masas establece
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que la reacción antes descrita puede formularse de manera equivalente como:
Donde en este caso sustancia
representa
la proporción, concentración, de
en el producto final.
En el caso de una reacción de primer orden se tiene que , de manera que si para cada , denota la cantidad de reactivo en el instante , el proceso queda descrito por la ecuación diferencial
Observar que como en este caso todo el reactivo se transforma en producto, si es la concentración inicial de reactivo, entonces: es la cantidad de producto en el instante . Esto significa que si en lugar de tomar como incógnita la cantidad de reactivo, consideramos la cantidad de producto en cada instante, entonces se satisface que:
Donde k es la misma constante de la ecuación anterior.
En el caso de reacciones de orden , la Ley de Masas establece que si para cada t denotamos por a la cantidad de producto en el instante , entonces
Donde para cada es la cantidad del reactivo j-esimo que queda en el instante . Si para cada denota la cantidad inicial de reactivo j-esimo, resulta que
. Por tanto, resulta que x
satisface la ecuación diferencial
∏
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5
O de manera equivalente
∏( ) ∏
En definitiva, en lo sucesivo consideramos fijada la siguiente ecuación diferencial que determina la velocidad de una reacción irreversible de orden
∏
6. CLASIFICACION Y DEFINICION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL La Ecuación Diferencial que se plantea para representar las reacciones químicas responde a una ecuación diferencial ordinaria no lineal, sin embargo, hay que considerar que pertenece también a otro tipo de clasificación, que es de particular importancia en el análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales, en la que la variable dependiente no aparece explícitamente, de modo que es una ecuación diferencial autónoma de segundo orden. El símbolo identifica a la variable independiente, entonces la ecuación diferencial autónoma de primer orden que se maneja con este tipo de modelo matemático puede expresarse como o en la forma normal como:
Al igual que muchas, esta ecuación diferencial aparece en aplicaciones de reacciones químicas o representando leyes físicas (como la intervención de la Ley de Conservación de Masas) que no cambian con el tiempo. Si el tiempo se representa con , entonces el análisis de y son constantes, muestra que la ecuación es independiente del tiempo.
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7. ANÁLISIS CUALITATIVO RETRATO FASE: Tomamos la ecuación diferencial
Buscamos los puntos críticos, para eso igualamos la parte derecha a cero
Encontramos que los puntos críticos se encuentran en y en Ya que tenemos dos puntos críticos, tenemos tres regiones, para cada una de estas buscamos el comportamiento de la función de acuerdo a su derivada. De dicho análisis tenemos que: Para Para Para
, ,
,
es creciente. es decreciente. es creciente.
Por lo tanto el retrato fase es:
CAMPO DE PENDIENTES: Conociendo el Retrato Fase y encontrando valores de pendientes para puntos específicos de X obtenemos el Campo de pendientes:
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Para efectos del análisis tomamos
3
2.5
2
1.7
1.5
1.3
1
0.5
0
2
0.75
0
-0.21
-0.25
-0.21
0
0.75
2
A partir de esto tenemos el siguiente campo de pendientes:
8. OBSERVACIONES Una reacción química se denomina reacción de primer orden si en ella una molécula se descompone en otras espontáneamente, y el número de moléculas en que se descompone en una unidad de tiempo es proporcional al número de moléculas existentes. Si se considera una sustancia cuya masa se descompone en función del tiempo según una función la velocidad de descomposición viene dada por la derivada de respecto de .
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Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa se tiene que:
, (siendo
coeficiente de proporcionalidad).
el
Es una ecuación diferencial de primer orden y a resolverla se obtiene la función . La solución general de esta ecuación viene dada por: , o bien,
.
Para determinar la constante se supone que se conoce la masa en el instante inicial y que tiene un valor , de lo que resulta que y por lo tanto .
La constante se denomina constante de rapidez ya que su valor indica una medida de la velocidad a la que se realiza la reacción. Existen pocas reacciones químicas de primer orden. La más importante de ellas es la desintegración radioactiva.
9. SOLUCION ANALITICA
Si, por otra parte, conocemos el valor exacto de y queremos predecir el valor de o , entonces necesitamos información más precisa sobre la función . El par de ecuaciones
,
Se llama problema de valor inicial. Y una solución al problema de valor inicial es una función que satisface ambas ecuaciones. Es decir
y
En consecuencia, para solucionar esta ecuación diferencial debemos hallar una función cuya derivada sea la ecuación y que satisfaga la condición inicial, dicha función se llama solución particular de la ecuación diferencial (en este caso la función se encuentra de forma implícita, muy difícil de calcular de forma explícita).
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El conjunto de funciones que no se restringen a una condición inicial se llaman solución general, porque podemos usarlo para encontrar la respuesta particular correspondiente a cualquier problema de valor inicial.
10. APLICACION DEL MODELO
Dos químicos, y , reaccionan para formar otro químico Se encuentra que la tasa a la cual se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos y presentes. La formación requiere de por cada libra de . Sí de y de están presentes inicialmente, y si de se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico en cualquier tiempo.
Formulación Matemática: A= B= C=
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego es la tasa de su formación para formar de C, necesitamos
de A y
de B, puesto que se necesita que el químico A sea
el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo cuando se forman
de C es
, y la cantidad de B en este tiempo es
Por tanto:
.
Donde es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera:
Donde es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos en . También en
. Necesitamos dos condiciones, una para determinar
, y la otra
para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial. 9
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La formulación completa es:
Solución: La separación de variables produce:
Así se puede probar que:
Puesto que en
Por lo tanto,
, encontramos que
Según las condiciones iniciales: Así,
en
, tenemos
.
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CONCLUSION A partir de este estudio y análisis detallado de las ecuaciones diferenciales usadas para representar el modelo matemático de las reacciones químicas se concluye que:
Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. Por ende, la formulación de un modelo matemático implica: Identificar las variables causantes del cambio del sistema. o Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del o sistema (leyes empíricas aplicables) Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. Por consiguiente, el proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos: Identificación de variables estableciendo una notación o matemática Leyes empíricas que se pueden aplicar o Planteamiento de las ecuaciones o Debido a que las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, la cinética de las reacciones químicas se modela mediante ecuaciones diferenciales, donde las variables son las incógnitas sobre las concentraciones de los reactantes y el producto; las leyes empíricas que se aplican son la “Ley de la velocidad de reacción” , la “Ley de acción y conservación de masas” y como se evidenció durante el desarrollo de este trabajo, en el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones adicionales que se deben añadir al problema que se plantea. Los métodos de estudio de modelos los podemos resumir en: o Método analítico: método de búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales. o Análisis cualitativo: se utiliza la ecuación diferencial como fuente de información de las propiedades de las posibles soluciones. Análisis numérico: aproximación a los valores de la solución. o 11
