ECUACIONES DE MAXWELL Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de una corriente eléctrica. Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.1
Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético. Maxwell se dio cuenta que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.2 Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday. En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.
DETALLE DE LAS ECUACIONES CONCEPTOS PREVIOS Antes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos matemáticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicará de forma intuitiva el significado de los operadores diferenciales básicos, con el mínimo posible de expresiones matemáticas. OPERADOR NABLA Se define como:
GRADIENTE Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con módulo y dirección, representado por una flecha en el espacio, según la siguiente expresión:
El vector representa cuánto varía el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente será una fuerza. DIVERGENCIA El concepto se entiende a partir del teorema de la divergencia o teorema de Gauss. La divergencia del vector φ representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada. Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se representa con vectores saliendo del punto que las genera (div φ > 0) o vectores entrando hacia un punto en el caso contrario (div φ < 0). Si en la unidad de volumen (imagínese una esfera) entra el mismo flujo que sale, representándose por los vectores que pasan a través de dicho volumen, entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div φ = 0). ROTACIONAL El rotor se entiende a partir del teorema de Stokes. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con el significado de torbellinos. El vector φ rota en torno a un punto, se producen circulaciones en trayectorias cerradas del vector φ, en este caso el rot φ != 0. Rotor distinto de 0.
LEY DE GAUSS
Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada. La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (
) que pasa por una superficie S.4 Matemáticamente se expresa como:
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío ( ), así:5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
donde
es la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde
una carga , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga. Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico ( expresión obtiene la forma:
) y nuestra
FLUJO DEL CAMPO ELECTRICO: LEY DE GAUSS Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular el campo eléctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo eléctrico. FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha superficie.
Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:
Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo. Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es máximo, como también lo es el producto escalar de E y dS.
LEY DE GAUSS
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana. Matemáticamente,
La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas. CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITO El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss. En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga σ (= q/S) uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del plano. El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de cálculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura). El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:
Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:
El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:
Y q/S es la densidad superficial de carga σ:
CAMPO EN EL INTERIOR DE UN CONDENSADOR Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo. El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:
Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.
Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas:
Los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746, y estaba constituido por un recipiente de vidrio recubierto por una lámina metálica por dentro y por fuera. Se conoce comúnmente como botella de Leiden.
CAMPO ELECTRICO: LINEAS DE CAMPO Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una fuerza electrostática. Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido algún tipo de perturbación, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrirá una fuerza. La perturbación que crea en torno a ella la carga fuente se representa mediante un vector denominado campo eléctrico. La dirección y sentido del vector campo eléctrico en un punto vienen dados por la dirección y sentido de la fuerza que experimentaría una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo eléctrico generado será un vector dirigido hacia afuera (a) y si es negativa, el campo estará dirigido hacia la carga (b):
Campo eléctrico creado en el punto P por una carga de fuente q1 positiva (a) y por una otra negativa (b). El campo eléctrico E creado por la carga puntual q1 en un punto cualquiera P se define como:
donde q1 es la carga creadora del campo (carga fuente), K es la constante electrostática, r es la distancia desde la carga fuente al punto P y ur es un vector unitario que va desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo eléctrico (P). El campo eléctrico depende únicamente de la carga fuente (carga creadora del campo) y en el Sistema Internacional se mide en N/C o V/m. Si en vez de cargas puntuales se tiene de una distribución continúa de carga (un objeto macroscópico cargado), el campo creado se calcula sumando el campo creado por cada elemento diferencial de carga, es decir:
Esta integral, salvo casos concretos, es difícil de calcular. Para hallar el campo creado por distribuciones contínuas de carga resulta más práctico utilizar la Ley de Gauss. Una vez conocido el campo eléctrico E en un punto P, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una carga de prueba q que se sitúe en P será:
Por tanto, si la carga de prueba es positiva, la fuerza que sufre será paralela al campo eléctrico en ese punto, y si es negativa la fuerza será opuesta al campo, independientemente del signo de la carga fuente.
En la siguiente figura se representa una carga fuente q1 positiva (campo eléctrico hacia afuera) y la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b):
Fuerza que un campo eléctrico E ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b). El campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos eléctricos creados en ese mismo punto por cada una de las cargas fuente. LÍNEAS DE CAMPO El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo va variando la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas:
Las líneas de campo creadas por una carga positiva están dirigidas hacia afuera; coincide con el sentido que tendría la fuerza electrostática sobre otra carga positiva. Además, el campo eléctrico será un vector tangente a la línea en cualquier punto considerado.
Líneas de campo causadas por una carga positiva y una negativa. Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en: o
El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.
o
Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas.
o
El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga.
o
La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.
o
Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campos eléctricos distintos.
A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.
LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO
Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético. Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. AL encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero 7 Matemáticamente esto se expresa así:6
donde es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula. Su forma integral equivalente:
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.
LEY DE FARADAY - LENZ La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubrió esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente.8 Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:
, como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:
. Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:
con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:
Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético (Ley de Lenz). La forma diferencial de esta ecuación es:
Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas libres como los electrones el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.
LEY DE AMPÈRE GENERALIZADA Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético ( curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( matemáticamente así:6
donde
) a lo largo de una
) sobre la superficie encerrada en la curva C,
es la permeabilidad magnética en el vacío.
Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.10 Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz. z. Maxwell reformuló esta ley así:6
En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga. En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:
En forma sencilla esta ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.
EN MEDIOS MATERIALES Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que éstos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores intensidad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética:11
Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que y están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función ; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.12
Los valores de y en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.11 Finalmente, en el vacío tanto como
son cero porque suponemos que no hay fuentes.
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la forma más general.13
En el vacío
Caso general
ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
Nombre
Forma diferencial
Forma integral
Ley de Gauss: Ley de Gauss para el campo magnético: Ley de Faraday: Ley de Ampère generalizada: Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y
general. Además Maxwell descubrió que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla: Símbolo
Nombre
Valor numérico
Unidad de medida SI
Tipo
Velocidad de la luz en el vacío
metros por segundo
definido
Permitividad
faradios por metro
derivado
Permeabilidad magnética
henrios por metro
definido
POTENCIAL ESCALAR Y POTENCIAL VECTOR Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector ( ) y potencial escalar ( ). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente.14 Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:13
donde el signo menos ( ) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.13 El campo eléctrico en función de los potenciales:
Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:
y la ley de ampère generalizada
Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge. CONSECUENCIAS FÍSICAS DE LAS ECUACIONES
Principio de conservación de la carga Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad. A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se tiene:
que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que obtiene:
(para cualquier vector
), se
o bien en forma integral:
ECUACIONES ORIGINALES DE MAXWELL En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló ocho ecuaciones que nombró de la A a la H.16 Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sí mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:
Denominación
donde:
Nombre
Ecuación
A
LEY DE CORRIENTES TOTALES
B
DEFINICIÓN DE VECTOR POTENCIAL MAGNÉTICO
C
LEY CIRCUITAL DE AMPÈRE
D
FUERZA DE LORENTZ
E
ECUACIÓN DE ELECTRICIDAD ELÁSTICA
F
LEY DE OHM
G
LEY DE GAUSS
H
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE CARGA es el vector intensidad de campo magnético (llamado por Maxwell como intensidad magnética);
es la densidad de corriente eléctrica y
es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento;
es el campo desplazamiento (desplazamiento eléctrico);
es la densidad de carga libre (cantidad libre
de electricidad); es el vector potencial magnético (impulso magnético); es el campo eléctrico (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definición de fuerza electromotriz]); es el potencial eléctrico y es la conductividad eléctrica (resistencia específica, ahora solo resistencia). Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isótropos y no dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisótropos. Maxwell incluyó el término en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad . Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetismo. EXPRESIÓN DE LAS ECUACIONES EN RELATIVIDAD En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Éstas están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geométricos definidos en M4. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.
La cuadricorriente está descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:
Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y el potencial vector magnético.
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:
Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos. La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:
Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:
Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:
Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnético.
PRIMER PAR DE ECUACIONES DE MAXWELL Las siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica:
O bien en coordenadas Lorentz:
Obtención de las ecuaciones Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener:
Para
tenemos que:
, entonces:
Por tanto:
Para
podemos obtener de la misma forma que:
SEGUNDO PAR DE ECUACIONES DE MAXWELL Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:
Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:
Donde el tensor
es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.
Obtención de las ecuaciones
Para
:
Por tanto:
Para
se obtiene la ecuación vectorial:
La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como , que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:
Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.
Forma Geométrica
Covariante Lorentz
Descripción Condición/gauge de Lorenz (*) Definición de Campos Electromagnéticos Ecuaciones de Ondas Ecuaciones de Maxwell Ley de conservación de la Carga
(*) Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A. Lorentz. Finalmente el cuadrigradiente se define así:
Los índices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumación de Einstein. De acuerdo con el cálculo tensorial, los índices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g. El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère generalizada; la segunda ecuación es consecuentemente una expresión de las otras dos leyes.
Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga eléctrica.
EXPRESIÓN DE LAS ECUACIONES PARA UNA FRECUENCIA CONSTANTE En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por ejemplo . Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal). Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos, eliminando así el factor complejo de la expresión . Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, además de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario , donde es la frecuencia angular. En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:
LEY DE AMPÈRE Una corriente eléctrica produce un campo magnético, siguiendo la Ley de Ampère. En física del magnetismo, la ley de Ampère, modelada por André-Marie Ampère en 1831,1 relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica. La ley de Ampére explica, que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es igual a la corriente que lo recorre en ese contorno. El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente. El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.
AMPLIACIÓN DE LA LEY ORIGINAL: LEY DE AMPÈRE-MAXWELL La ley de Ampère-Maxwell o ley de Ampère generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell que introdujo la corriente de desplazamiento, creando una versión generalizada de la ley e incorporándola a las ecuaciones de Maxwell.
FORMA INTEGRAL
siendo el último término la corriente de desplazamiento. siempre y cuando la corriente sea constante y directamente proporcional al campo magnético, y su integral (E) por su masa relativa.
FORMA DIFERENCIAL Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:
o para medios material
EJEMPLOS DE APLICACIÓN HILO CONDUCTOR INFINITO Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente vacío. El objetivo es determinar el valor de los campos
,
y
, en el
en todo el espacio.
Escribimos la Ley de Ampère:
.
Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema. Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio .
El diferencial de longitud de la curva será entonces Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor:
.
Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia
de
otro que esté en otro ángulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo y el radio son independientes de la coordenada . Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a .
.
La integral que queda no es más que el perímetro de la circunferencia:
Despejamos
Como estamos trabajando en el vacío,
Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:
y nos queda en función de . La dirección es en
, por lo tanto:
.
, por la regla de la mano derecha:
Forma del ángulo sólido Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intensidad de campo magnético está dada por:
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Ejemplo mostrando dos superficies S1 y S2 que comparten la misma delimitación de contorno ∂S. Sin embargo, S1 es atravesado por una corriente de conducción, mientras que S2 es atravesada por una corriente de desplazamiento. Una corriente de desplazamiento es una cantidad que está relacionada con un campo eléctrico que cambia o varía en el tiempo. Esto puede ocurrir en el vacío o en un dieléctrico donde existe el campo eléctrico. No es una corriente física, en un sentido estricto, que ocurre cuando una carga se encuentra en movimiento o cuando la carga se transporta de un sitio a otro. Sin embargo, tiene las unidades de corriente eléctrica y tiene asociado un campo magnético. La corriente de desplazamiento fue postulada en 1865 por James Clerk Maxwell cuando formulaba lo que ahora se denominan ecuaciones de Maxwell. Matemáticamente se define como el flujo del campo eléctrico a través de la superficie:
Está incorporada en la ley de Ampère, cuya forma original funcionaba sólo en superficies que estaban bien definidas (continuas y existentes) en términos de corriente. Una superficie S1 elegida tal que incluya únicamente una placa de un condensador debería tener la misma corriente que la de una superficie S2 elegida tal que incluya ambas placas del condensador. Sin embargo, como la carga termina en la primera placa, la Ley de Ampère concluye que no existe carga encerrada en S1. Para compensar esta diferencia, Maxwell razonó que esta carga se encontraba en el flujo eléctrico, la carga en el campo eléctrico, y mientras que la corriente de desplazamiento no es una corriente de carga eléctrica, produce el mismo resultado que aquella generando un campo magnético. Pese a que hay gente que afirma que la corriente de desplazamiento no existe realmente, se puede pensar en ella como la respuesta de un material dieléctrico a un campo eléctrico variante. La corriente de desplazamiento es la única corriente que atraviesa un dieléctrico perfecto. La densidad de corriente se puede hallar suponiendo
y utilizando
, llegando a:
Combinando estas formulaciones, el campo mangnético se corresponde al la forma integral de la ley de Ampère con una elección arbitraria del contorno proporcionado el término de la densidad de corriente de desplazamiento (la ecuación de Ampère-Maxwell):1
Aquí, la expresión en términos del campo de desplazamiento resultado de la derecha supone que el medio es no dispersivo.
es más general, ya que la permitividad del
REGLA DE LA MANO DERECHA Determinación de la dirección de rotación mediante la regla de la mano derecha.
Al girar el sacacorchos hacia la derecha, este avanza. La regla de la mano derecha o del sacacorchos es un método para determinar direcciones vectoriales, y tiene como base los planos cartesianos. Se emplea prácticamente en dos maneras; para direcciones y movimientos vectoriales lineales, y para movimientos y direcciones rotacionales. Así, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza", y viceversa, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retroceden".
Dirección para un producto vectorial La aplicación más común es para determinar la dirección de un vector resultado de un producto vectorial, así:
La dirección del vector "c" estaría definida por la dirección del pulgar, cerrando los demás dedos en torno al vector "a" primero y siguiendo con el vector "b". Un caso especifico en que tiene gran importancia la aplicación de esta forma vectorial de la Ley de la mano derecha es en la determinación de la fuerza electromotriz (FEM) inducida en un conductor que se mueve dentro de un campo magnético en esta aplicación el pulgar representa el movimiento del conductor eléctrico dentro del campo magnético, cortando las lineas de fuerza, el índice representa la dirección de las lineas de fuerza del campo magnético de Norte a Sur y el dedo del medio representa la dirección de la FEM inducida.1
DIRECCIÓN ASOCIADA A UN GIRO El pulgar apunta en la misma dirección que la corriente eléctrica y los demás dedos siguen la dirección del campo magnético. La segunda aplicación, está relacionada con el movimiento rotacional; el pulgar apunta hacia arriba siguiendo la dirección del vector, el vector corriente por ejemplo, mientras que los demás dedos se van cerrando en torno a la palma, lo cual describiría la dirección de rotación. Por ejemplo si el pulgar apunta hacia arriba, como en la imagen, entonces la dirección de rotación es de forma anti-horaria. APLICACIONES Muchas máquinas y procesos industriales observan este orden para ejes, vectores y movimientos axiales, incluyendo la robótica, pues sus 12 movimientos fundamentales se adhieren a esta regla.[cita requerida] Se la utiliza en general en todas las definiciones y descripciones basadas en un producto vectorial. Por ejemplo:
El producto vectorial. Sea el producto . Cuando el sacacorchos gira de hacia (llevando la punta de A hacia la punta de B, por la rotación menor que media vuelta o radianes), el sacacorchos avanza (o retrocede) en la dirección de
Momento de fuerzas o torque. El vector asociado a la velocidad angular. Cuando el sacacorchos gira como el objeto, la dirección de avance del sacacorchos indica la dirección del vector asociado a la velocidad angular. El vector asociado al momento angular. Dirección del campo magnético producido por una corriente. Cuando el sacacorchos avanza en la dirección de la corriente, él gira en la dirección del campo magnético. Dirección de la corriente que produce un campo magnético. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga eléctrica en movimiento. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre un conductor que conduce una corriente. La fuerza tiene la dirección del avance del sacacorchos cuando se éste gira en el sentido de la corriente hacia el campo magnético. Para definir la orientación de los ejes de un triedro rectángulo. Cuando el sacacorchos gira del eje x positivo al eje y positivo, él avanza en la dirección del eje z positivo.
LEY DE FARADAY Experimento de Faraday que muestra la inducción entre dos espiras de cable: La batería (derecha) aporta la corriente eléctrica que fluye a través de una pequeña espira (A), creando un campo magnético. Cuando las espiras son estacionarias, no aparece ninguna corriente inducida. Pero cuando la pequeña espira se mueve dentro o fuera de la espira grande (B), el flujo magnético a través de la espira mayor cambia, induciéndose una corriente que es detectada por el galvanómetro (G).1 La ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente ley de Faraday) establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:2
Donde
es el campo eléctrico,
es el elemento infinitesimal del contorno C,
es la densidad de campo
magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del contorno C y de por la regla de la mano derecha.
están dadas
Esta ley fue formulada a partir de los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831. Esta ley tiene importantes aplicaciones en la generación de electricidad. FORMAS ALTERNATIVAS Nótese que la fórmula (*) permite intercambiar el orden de la integral de superficie y la derivada temporal siempre y cuando la superficie de integración no cambie con el tiempo. Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:
Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando así al electromagnetismo. En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la fórmula anterior se transforma en:
Donde Vε es el voltaje inducido y dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ. El sentido del voltaje inducido (el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz. SIGNIFICADO FÍSICO La ley de Lenz plantea que las tensiones inducidas serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjo. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía. La polaridad de una tensión inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.
El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por un campo magnético generado en una tensión disponible con una circunstancia totalmente proporcional al nivel de corriente y al nivel de amperios disponible en el campo eléctrico. Cuando un voltaje es generado por una batería, o por la fuerza magnética de acuerdo con la ley de Faraday, este voltaje generado, se llama tradicionalmente «fuerza electromotriz» o fem. La fem representa energía por unidad de carga (voltaje), generada por un mecanismo y disponible para su uso. Estos voltajes generados son los cambios de voltaje que ocurren en un circuito, como resultado de una disipación de energía, como por ejemplo en una resistencia.
TEOREMA DE STOKES El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
INTRODUCCIÓN El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F.
En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:
Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:
Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:
El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la región limitada por la frontera. FORMULACIÓN GENERAL Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces
aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema. El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define. El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham. El clásico teorema de Kelvin-Stokes
que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:
Es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano. El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado. La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros.
Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:
Donde
es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.
VOLTAJE INDUCIDO El voltaje inducido1 2 3 4 (mal llamado fuerza electromotriz: FEM) (representado Vε) es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es una característica de cada generador eléctrico. Con carácter general puede explicarse por la existencia de un campo electromotor Vε cuya circulación, generador.
Vε
, define el voltaje inducido del
UNIDADES DE MEDIDA El voltaje (también llamado diferencia de potencial o tensión) se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga negativa del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Culombios de dicha carga, esto es: Julios/Culombio. Normalmente se mide en voltios (V) que equivale a julios por culombio (J/C), pero estas son unidades derivadas del sistema internacional. En el sistema internacional sus unidades básicas son metro cuadrado por kilogramo partido por segundo al cubo por amperio: m2·kg·s-3·A-1 JUSTIFICACIÓN Y CAUSA Esto se justifica en el hecho de que cuando circula esta unidad de carga por el circuito exterior al generador, desde el polo positivo al negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de energía (mecánica, química, etcétera) para transportarla por el interior desde un punto de menor potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo por el cual sale). Por lo que queda que:
RELACIÓN CON OTRAS PARTES DE LA FÍSICA Se relaciona con la diferencia de potencial entre los bornes y la resistencia interna del generador mediante la fórmula (el producto es la caída de potencial que se produce en el interior del generador a causa de la resistencia ohmica que ofrece al paso de la corriente). El Vε de un generador coincide con la diferencia de potencial en circuito abierto. FÓRMULAS MATEMÁTICAS El voltaje inducido (o de inducción) en un circuito cerrado es igual a la variación del flujo de inducción campo magnético que lo atraviesa en la unidad de tiempo, lo que se expresa por la fórmula
del
Vε (Ley de Faraday). A esta ley se le añade un signo "-" que indica que el sentido del Vε inducido es tal que se opone al descrito por la ley de Faraday. A pesar de que lo único que cambia es el signo, esta "nueva" ley recibe el nombre de Ley de Lenz: (Vε
).
Cuando los cambios en el flujo son infinitamente pequeños y suceden en intervalos de tiempo también infinitamente pequeños tenemos que la Ley de Faraday es:
Vε Y por consiguiente la Ley de Lenz queda como:
Vε APLICACIONES PRÁCTICAS La aplicación más importante del movimiento relativo se ve en los generadores eléctricos. En un generador de corriente, los electroimanes están dispuestos en una carcasa cilíndrica. Los conductores, en forma de bobinas, se rotan sobre un núcleo de tal manera que las bobinas continuamente cortan las líneas de campo magnético. El resultado es un voltaje inducido en cada uno de los conductores. Estos conductores están conectados en serie, y los voltajes inducidos se suman para producir voltaje de salida del generador. Toda central capaz de producir energía eléctrica, independientemente de la fuente de la que provenga, utiliza estas leyes físicas. También, la ley es útil a la inversa, es decir, a partir de energía eléctrica se puede producir movimiento, un claro ejemplo son los motores eléctricos. Esto es posible debido a la simple relación entre la diferencia de potencia y el trabajo.
W = - ΔVab Esta ley no es específica del Vε. Cualquier cambio en el voltaje, ya sea inducido o no, puede generar trabajo. Y cualquier trabajo puede generar una diferencia de potencial (recuérdese que diferencia de potencial, voltaje y tensión son sinónimos). ¿Por qué el término FEM ya no se usa? La palabra "fuerza" en el nombre "fuerza electromotriz" es una palabra inapropiada: "Fuerza electromotriz" resultó ser una elección desafortunada de palabras que aún hoy está con nosotros 160 años después de su aparición. En toda la física el término fuerza está reservado a la acción mecánica en la materia ponderable y se mide en unidades llamadas Newton. Por fortuna este término, ya en desuso y obsoleto está desapareciendo. En vigor el voltaje inducido se mide en unidades de voltios y causa la separación de carga.
LEY DE LENZ La ley de Lenz para el campo electromagnético relaciona cambios producidos en el campo eléctrico en un conductor con la variación de flujo magnético en dicho conductor, y afirma que las tensiones o voltajes inducidos sobre un conductor y los campos eléctricos asociados son de un sentido tal que se oponen a la variación del flujo magnético que las induce. Esta ley se llama así en honor del físico germano-báltico Heinrich Lenz, quien la formuló en el año 1834. En un contexto más general que el usado por Lenz, se conoce que dicha ley es una consecuencia más del principio de conservación de la energía aplicado a la energía del campo electromagnético. Formulación La polaridad de una tensión inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original. El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por:
donde: = Flujo magnético. La unidad en el SI es el weber (Wb). = Inducción magnética. La unidad en el SI es el tesla (T). = Superficie definida por el conductor. = Ángulo que forman el vector perpendicular a la superficie definida por el conductor y la dirección del campo. Si el conductor está en movimiento el valor del flujo será:
A su vez, el valor del flujo puede variar debido a un cambio en el valor del campo magnético:
En este caso la Ley de Faraday afirma que la tensión inducida ℰ en cada instante tiene por valor:
Donde ℰ es el voltaje inducido y dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ. La dirección voltaje inducido(el signo negativo en la fórmula) se debe a la oposición al cambio de flujo magnético
CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Un campo electromagnético es un campo físico, de tipo tensorial, producido por aquellos elementos cargados eléctricamente, que afecta a partículas con carga eléctrica. Convencionalmente, dado un sistema de referencia, el campo electromagnético se divide en una "parte eléctrica" y en una "parte magnética". Sin embargo, esta distinción no puede ser universal sino dependiente del observador. Así un observador en movimiento relativo respecto al sistema de referencia medirá efectos eléctricos y magnéticos diferentes, que un observador en reposo respecto a dicho sistema. Esto ilustra la relatividad de lo que se denomina "parte eléctrica" y "parte magnética" del campo electromagnético. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo eléctrico ni el "vector" de inducción magnética se comportan genuinamente como magnitudes físicas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que sí existen leyes de transformación físicamente esperables.
Campo electromagnético en teoría de la relatividad En electrodinámica clásica y sobre todo en teoría de la relatividad el campo electromagnético se representa por un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:
FUERZA ELECTROMAGNÉTICA
La fuerza de Lorentz puede escribirse de forma mucho más sencilla gracias al tensor de campo electromagnético que en su escritura vectorial clásica:
(Expresión vectorial)
(Expresión tensorial relativista) ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell también toman formas muy sencillas en términos del tensor de campo electromagnético:
Donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y donde la magnitud Jα es el cuadrivector de corriente que viene dado por:
POTENCIAL VECTOR La forma de las ecuaciones de Maxwell permite que sobre un dominio simplemente conexo (estrellado) el campo electromagnético puede expresarse como la derivada exterior de un potencial vector, lo cual facilita enormemente la resolución de dichas ecuaciones. Usando el convenio de sumación de Einstein tenemos:
Relación que escrita más explícitamente en componentes es:
CAMPO ELECTROMAGNÉTICO CUÁNTICO Matemáticamente el campo electromagnético en el contexto cuántica se trata de un campo de Yang-Mills cuyo grupo de gauge es el grupo abeliano U(1). Esto añadido a las pecualiaridades de la teoría cuántica de campos llevan a representar el campo electromagnético mediante una aplicación que asigna a cada región del espaciotiempo un operador autoadjunto (que se transformará de forma apropiada bajo transformaciones de gauge). El campo electromagnético promedio de una región se modeliza por un operador autoadjunto, así cada una de las componentes del potencial vector:
El valor del campo en un punto no está necesariamente definido. Si se considera un punto del espacio tiempo y se considera una región arbitrariamente pequeña en torno a él, puede calcularse el límite de la expresión anterior a medida que la región tiende a cero. Si el límite existe puede identificarse el operador con el campo electromagnético en dicho punto, sin embargo, para muchas formas del campo el límite no puede existir. Esto se corresponde con el hecho de que en general debido al principio de incertidumbre no es posible determinar el valor del campo en un único punto, sino sólo su promedio en una pequeña región. Cuando dos regiones del espacio-tiempo A y B están desconectadas causalmente, es decir, ninguna pertence al futuro causal de la otra, entonces sus respectivos operadores de campo electromagnético conmutan:
CAMPO ELÉCTRICO
Campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales. Se muestra en rosa la suma vectorial de los campos de las cargas individuales;
.
El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica.1 Se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza eléctrica
dada por la siguiente ecuación:
(1) En los modelos relativistas actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.2 Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, sólo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético. Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832. La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s−3·A−1 y la ecuación dimensional es MLT-3I-1. DEFINICIÓN La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, ésta experimentará una fuerza. El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).
La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas. Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido.
DEFINICIÓN MEDIANTE LA LEY DE COULOMB
Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial por una distribución de carga en forma de diferencial de línea ( ), lo que produce un campo eléctrico
.
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:1
Donde: es la permisividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema internacional, son las cargas que interactúan, es la distancia entre ambas cargas, , es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1. y es el unitario en la dirección . Nótese que en la fórmula se está usando , esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ( ) La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas parece depender sólo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción a distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como norealista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no sólo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a
la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este sólo depende de la distancia entre las cargas:
Donde claramente se tiene que eléctrico.
, la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo
DEFINICIÓN FORMAL La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:1
(1) donde es el potencial escalar y es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:
(2) donde es la carga de la partícula,
es su masa y la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo
que , donde es el diferencial de la posición definida velocidad de la partícula, se obtiene:
y
es la
(3) El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:
(4) De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:2
(5)
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como donde es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.2
DESCRIPCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.1
LEY DE GAUSS Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia que ocurre con el flujo de éste al atravesar una superficie. El flujo de un campo se obtiene de la siguiente manera:
(8) donde es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:
(9) donde es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:
(10) donde es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.1 Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.
LEY DE FARADAY En 1801, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por:
(11) donde el signo menos indica la Ley de Lenz y
es el flujo magnético en una superficie, determinada por:
(12) reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:
(13) Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:
14) La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.1
EXPRESIONES DEL CAMPO ELÉCTRICO CAMPO ELECTROSTÁTICO (CARGAS EN REPOSO) Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:
(15) Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar , conocida como potencial eléctrico:
(16) La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales:
(17) entonces
(18) LÍNEAS DE CAMPO
Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas, respectivamente. Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas líneas, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo". Matemáticamente las líneas de campo son las curvas integrales del campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar. Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico. En el caso estático al ser el campo eléctrico un campo irrotacional las líneas de campo nunca serán cerradas (cosa que sí puede suceder en el caso dinámico, donde el rotacional del campo eléctrico es igual a la variación temporal del campo magnético cambiada de signo, por tanto una línea de campo eléctrico cerrado requiere un campo magnético variable, cosa imposible en el caso estático). En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas sólo que el patrón de líneas variará de un instante a otro del tiempo, es decir, las líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.
CAMPO ELECTRODINÁMICO (MOVIMIENTO UNIFORME) El campo eléctrico creado por una carga puntual presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contracción de Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga y el observador en reposo respecto a la carga :
Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplirá que:
Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga será:
(19) Donde es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta última expresión se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la interasección de la esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía entre un máximo y un mínimo dados por:
(20) Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.
CAMPO ELECTRODINÁMICO (MOVIMIENTO ACELERADO) El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:
(21) El primer miembro sólo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la aceleración y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación.
ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO Un campo en general almacena energía y en el caso de cargas aceleradas puede transmitir también energía (principio aprovechado en antenas de telecomunicaciones). La densidad volumétrica de energía de un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:1
(22) Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:
(23) donde
es el diferencial de volumen.
LEY DE COULOMB
Ley de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del mismo signo. La ley de Coulomb puede expresarse como: La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario. La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas.
DESARROLLO DE LA LEY Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas.
Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia. En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra. Dichas mediciones permitieron determinar que:
La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:
y en consecuencia:
Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
Asociando ambas relaciones:
Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:
ENUNCIADO DE LA LEY
La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática. En términos matemáticos, la magnitud sobre la otra separadas por una distancia
de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia fuerza cuya magnitud está dada por:
y
ejerce
en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
donde es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta. Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean éstas positivas o negativas. El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma
, entonces
.
Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo. Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.
CONSTANTE DE COULOMB
La constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es
Nm²/C².
A su vez la constante donde es la permitividad del medio en el vacío.
es la permitividad relativa,
,y
F/m
Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:
La
constante,
si
las
unidades
de
las
cargas
se
encuentran
y su resultado será en sistema MKS (
en
Coulomb
es
la
siguiente
). En cambio, si la unidad de las
cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma resultado estará en las unidades CGS (
y su
).
POTENCIAL DE COULOMB La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición de un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la aditividad de las fuerzas sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo definir un potencial eléctrico. Para ello a una carga puntual se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:
De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:
Donde: , es el vector posición genérico de un punto donde se pretende definir el potencial de Coulomb y , es el vector de posición de la carga eléctrica
cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial.
LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB
La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casos estáticos más complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial eléctrico. Cuando las cargas eléctricas están en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Liénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partículas son grandes comparadas con la velocidad de la luz.
VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA LEY DE COULOMB
Montaje experimental para verificar la ley de Coulomb.
Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura adjunta. Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas . En el equilibrio:
(1) y también:
(2) Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene:
Siendo la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:
(3) Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por:
Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba:
. Y de modo similar se obtiene:
(4) Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:
(5) Midiendo los ángulos y y las separaciones entre las cargas y es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental. En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:
Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:
De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado. COMPARACIÓN ENTRE LA LEY DE COULOMB Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresándolo matemáticamente:
Siendo: la constante de gravitación universal,
las masas de los cuerpos en cuestión y la distancia entre los centros de las masas. A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes. La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es de 5,3·10-11 m. La carga del electrón y la del protón valen respectivamente
y
sus
masas
y
son
y
. Sustituyendo los datos:
. Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 C equivale a la carga que pasa en 1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domésticas de 120 Vrms). Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:
o sea, ¡916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un millón de toneladas (un teragramo)!. Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿por qué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto. CARGA ELÉCTRICA
Interacciones entre cargas de igual y distinta naturaleza.
La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de algunas partículas subatómicas que se manifiesta mediante fuerzas de atracción y repulsión entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La denominada interacción electromagnética entre carga y campo eléctrico es una de las cuatro interacciones fundamentales de la física. Desde el punto de vista del modelo estándar la carga eléctrica es una medida de la capacidad que posee una partícula para intercambiar fotones. Una de las principales características de la carga eléctrica es que, en cualquier proceso físico, la carga total de un sistema aislado siempre se conserva. Es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas no varía en el tiempo. Qi=Qf La carga eléctrica es de naturaleza discreta, fenómeno demostrado experimentalmente por Robert Millikan. Por razones históricas, a los electrones se les asignó carga negativa: –1, también expresada –e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria: ±1/3 o ±2/3, aunque no se los ha podido observar libres en la naturaleza.1 UNIDADES En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio o coulomb (símbolo C). Se define como la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor eléctrico en un segundo, cuando la corriente eléctrica es de un amperio, y se corresponde con la carga de 6,241 509 × electrones aproximadamente.2 Historia Desde la Antigua Grecia se conoce que al frotar ámbar con una piel, ésta adquiere la propiedad de atraer cuerpos ligeros tales como trozos de paja y plumas pequeñas. Su descubrimiento se le atribuye al filósofo griego Tales de Mileto (ca. 639-547 a.C.), quién vivió hace unos 2500 años.3 El médico inglés William Gilbert (1540-1603) observó que algunos materiales se comportan como el ámbar al frotarlos y que la atracción que ejercen se manifiesta sobre cualquier cuerpo, aun cuando no fuera ligero. Como el nombre griego correspondiente al ámbar es elektron, Gilbert comenzó a utilizar el término eléctrico para referirse a todo material que se comportaba como aquél, lo que originó los términos electricidad y carga eléctrica. Además, en los estudios de Gilbert se puede encontrar la diferenciación de los fenómenos eléctricos y magnéticos.3 El descubrimiento de la atracción y repulsión de elementos al conectarlos con materiales eléctricos se atribuye a Stephen Gray. El primero en proponer la existencia de dos tipos de carga es Charles du Fay, aunque fue Benjamin Franklin quién al estudiar estos fenómenos descubrió como la electricidad de los cuerpos, después de ser frotados, se distribuía en ciertos lugares donde había más atracción; por eso los denominó (+) y (-).3 Sin embargo, fue solo hacia mediados del siglo XIX cuando estas observaciones fueron planteadas formalmente, gracias a los experimentos sobre la electrólisis que realizó Michael Faraday, hacia 1833, y que le permitieron descubrir la relación entre la electricidad y la materia; acompañado de la completa descripción de los fenómenos electromagnéticos por James Clerk Maxwell. Posteriormente, los trabajos de Joseph John Thomson al descubrir el electrón y de Robert Millikan al medir su carga, fueron de gran ayuda para conocer la naturaleza discreta de la carga.3 NATURALEZA DE LA CARGA La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia que se presenta en dos tipos. Éstas llevan ahora el nombre con las que Benjamin Franklin las denominó: cargas positivas y negativas.4 Cuando cargas del mismo tipo
se encuentran se repelen y cuando son diferentes se atraen. Con el advenimiento de la teoría cuántica relativista, se pudo demostrar formalmente que las partículas, además de presentar carga eléctrica (sea nula o no), presentan un momento magnético intrínseco, denominado espín, que surge como consecuencia de aplicar la teoría de la relatividad especial a la mecánica cuántica. CARGA ELÉCTRICA ELEMENTAL Las investigaciones actuales de la física apuntan a que la carga eléctrica es una propiedad cuantizada. La unidad más elemental de carga se encontró que es la carga que tiene el electrón, es decir alrededor de 1,602 176 487(40) × 10-19 culombios y es conocida como carga elemental.5 El valor de la carga eléctrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide según el número de electrones que posea en exceso o en defecto.6 Esta propiedad se conoce como cuantización de la carga y el valor fundamental corresponde al valor de carga eléctrica que posee el electrón y al cual se lo representa como e. Cualquier carga q que exista físicamente, puede escribirse como siendo N un número entero, positivo o negativo. Por convención se representa a la carga del electrón como -e, para el protón +e y para el neutrón, 0. La física de partículas postula que la carga de los quarks, partículas que componen a protones y neutrones toman valores fraccionarios de esta carga elemental. Sin embargo, nunca se han observado quarks libres y el valor de su carga en conjunto, en el caso del protón suma +e y en el neutrón suma 0.7 Aunque no tenemos una explicación suficientemente completa de porqué la carga es una magnitud cuantizada, que sólo puede aparecer en múltiplos de la carga elemental, se han propuestos diversas ideas:
Paul Dirac mostró que si existe un monopolo magnético la carga eléctrica debe estar cuantizada. En el contexto de la teoría de Kaluza-Klein, Oskar Klein encontró que si se interpretaba el campo electromagnético como un efecto secundario de la curvatura de un espacio tiempo de topología , entonces la compacidad de comportaría que el momento lineal según la quinta dimensión estaría cuantizado y de ahí se seguía la cuantización de la carga.
En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que a la distancia de 1 metro ejerce sobre otra cantidad de carga igual, la fuerza de 9×109 N. Un culombio corresponde a la carga de 6,241 509 × 1018 electrones.2 El valor de la carga del electrón fue determinado entre 1910 y 1917 por Robert Andrews Millikan y en la actualidad su valor en el Sistema Internacional de acuerdo con la última lista de constantes del CODATA publicada es:5
Como el culombio puede no ser manejable en algunas aplicaciones, por ser demasiado grande, se utilizan también sus submúltiplos:
1 miliculombio = 1 microculombio = Frecuentemente se usa también el sistema CGS cuya unidad de carga eléctrica es el Franklin (Fr). El valor de la carga elemental es entonces de aproximadamente 4,803×10–10 Fr.
PROPIEDADES DE LAS CARGAS PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación neta de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso electromagnético la carga total de un sistema aislado se conserva. En un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera, sólo existe una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.4 Al igual que las otras leyes de conservación, la conservación de la carga eléctrica está asociada a una simetría del lagrangiano, llamada en física cuántica invariancia gauge. Así por el teorema de Noether a cada simetría del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico de transformaciones que dejan el lagrangiano invariante le corresponde una magnitud conservada.8 La conservación de la carga implica, al igual que la conservación de la masa, que en cada punto del espacio se satisface una ecuación de continuidad que relaciona la derivada de la densidad de carga eléctrica con la divergencia del vector densidad de corriente eléctrica, dicha ecuación expresa que el cambio neto en la densidad de carga dentro de un volumen prefijado es igual a la integral de la densidad de corriente eléctrica sobre la superficie que encierra el volumen, que a su vez es igual a la intensidad de corriente eléctrica :
INVARIANTE RELATIVISTA Otra propiedad de la carga eléctrica es que es un invariante relativista. Eso quiere decir que todos los observadores, sin importar su estado de movimiento y su velocidad, podrán siempre medir la misma cantidad de carga.6 Así, a diferencia del espacio, el tiempo, la energía o el momento lineal, cuando un cuerpo o partícula se mueve a velocidades comparables con la velocidad de la luz, el valor de su carga no variará. El valor de la carga no varía de acuerdo a cuán rápido se mueva el cuerpo que la posea. DENSIDAD DE CARGA ELÉCTRICA Se llama densidad de carga eléctrica a la cantidad de carga eléctrica que se encuentra en una línea, superficie o volumen. Por lo tanto se distingue en estos tres tipos de densidad de carga.9 Se representaría con las letras griegas lambda (λ) para densidad de carga lineal, sigma (σ) para densidad de carga superficial y ro (ρ) para densidad de carga volumétrica. Puede haber densidades de carga tanto positivas como negativas. No se debe confundir con la densidad de portadores de carga. A pesar de que las cargas eléctricas son cuantizadas con q y, por ende, múltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas eléctricas en un cuerpo están tan cercanas entre sí, que se puede suponer que están distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La característica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace más fácil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de densidad de carga eléctrica: lineal, superficial y volumétrica.
DENSIDAD DE CARGA LINEAL Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.
Donde es la carga encerrada en el cuerpo y mide en C/m (culombios por metro).
es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se
DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.
donde es la carga encerrada en el cuerpo y cuadrado).
es la superficie. En el SI se mide en C/m2 (culombios por metro
DENSIDAD DE CARGA VOLUMÉTRICA Se emplea para cuerpos que tienen volumen.
donde es la carga encerrada en el cuerpo y cúbico).
el volumen. En el SI se mide en C/m3 (culombios por metro
Formas para cambiar la carga eléctrica de los cuerpos Se denomina electrización al efecto de ganar o perder cargas eléctricas, normalmente electrones, producido por un cuerpo eléctricamente neutro. Los tipos de electrificación son los siguientes: 1. Electrización por contacto: Cuando ponemos un cuerpo cargado en contacto con un conductor se puede dar una transferencia de carga de un cuerpo al otro y así el conductor queda cargado, positivamente si cedió electrones o negativamente si los ganó. 2. Electrización por fricción: Cuando frotamos un aislante con cierto tipo de materiales, algunos electrones son transferidos del aislante al otro material o viceversa, de modo que cuando se separan ambos cuerpos quedan con cargas opuestas. 3. Carga por inducción: Si acercamos un cuerpo cargado negativamente a un conductor aislado, la fuerza de repulsión entre el cuerpo cargado y los electrones de valencia en la superficie del conductor hace que estos se desplacen a la parte más alejada del conductor al cuerpo cargado, quedando la región más cercana con una carga positiva, lo que se nota al haber una atracción entre el cuerpo cargado y esta parte del conductor. Sin embargo, la carga neta del conductor sigue siendo cero (neutro). 4. Carga por el Efecto Fotoeléctrico: Sucede cuando se liberan electrones en la superficie de un conductor al ser irradiado por luz u otra radiación electromagnética. 5. Carga por Electrólisis: Descomposición química de una sustancia, producida por el paso de una corriente eléctrica continua. 6. Carga por Efecto Termoeléctrico: Significa producir electricidad por la acción del calor.
POTENCIAL ELÉCTRICO
El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva q desde dicho punto hasta el punto de referencia,1 dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica a velocidad constante. Matemáticamente se expresa por:
El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V). Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca allí.
TRABAJO ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Considérese una carga electrica puntual en presencia de un pico campo eléctrico fuerza eléctrica:
. La carga experimentará una
(1) Esta fuerza realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto A a otro B, de tal forma que para producir un pequeño desplazamiento la fuerza eléctrica hará un trabajo diferencial expresado como:
(2) Por lo tanto, integrando la expresión (1) se obtiene el trabajo total realizado por el campo eléctrico:
(3)
Figura 1 Un caso particular de la fórmula anterior, es el de un campo eléctrico definido creado por una carga puntual estática Q. Sea una carga puntual que recorre una determinada trayectoria A - B en las inmediaciones de una
carga tal y como muestra la figura 1. Siendo el desplazamiento infinitesimal de la carga en la dirección radial, el trabajo diferencial se puede expresar así:
(4) Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante distante de la carga :
de la carga
y la posición final B,
(5) De la expresión (5) se concluye que el trabajo
no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sólo
depende de la posición inicial y final, lo cual implica que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa. Por lo tanto se puede definir una energía potencial que permite calcular el trabajo más fácilmente:
(6) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para desplazar una partícula entre A y B será:
(7) Usualmente, el nivel cero de energía potencial se suele establecer en el infinito, es decir, si y sólo si (esto tiene que ver con la elección de la constante de integración en la fórmula del potencial).
DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:
El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 joule/coulomb. Un electronvoltio (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV = 106 eV, y 1 GeV = 109 eV). Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por
dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyendóse en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo). Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda carga y el potencial eléctrico a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo
y eliminando los índices:
siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba en cuestión.
desde el infinito al punto
Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia. También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza (trabajo negativo en este caso) para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando esta (la carga positiva) viene desde el infinito. Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar porque
y
son escalares.
Tanto como son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.
Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la trayectoria II Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial. Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria.
La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos, la fuerza
y
el corrimiento son perpendiculares y en tales casos es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B. Aun cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas. Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que , donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas.
CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B. La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:
Teniendo en cuenta que:
Sustituyendo se obtiene:
Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial. El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza
sobre la carga de prueba, tal
como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza
que sea exactamente igual a
para todas las posiciones del cuerpo de prueba. Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento
a lo largo de la
trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es . Para obtener el trabajo total hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:
Como
, al sustituir en esta expresión, se obtiene que
Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,
al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da
Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce
.
EXPRESIÓN GENERAL El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la física.
donde E es el campo eléctrico vectorial generado por una distribución de carga eléctrica. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación anterior puede escribirse:
En términos de energía potencial el potencial en un punto r es igual a la energía potencial entre la carga Q:
El potencial eléctrico según Coulomb, también puede calcularse a partir de la definición de energía potencial de una distribución de cargas en reposo:
donde es un volumen que contiene la región del espacio que contiene las cargas (se asume que dicha región es acotada en el espacio). EJEMPLOS DE POTENCIAL ELÉCTRICO ASOCIADOS A DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGA
POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL
Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga
Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, derecha y
apunta a la
, que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:
Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:
Por lo cual:
Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:
Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que
, considerando que
en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:
Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.
Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual
POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.
Siendo
y
las distancias entre las cargas
y
y el punto P respectivamente.
POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:
Siendo el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipotenciales es:
POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINÚA DE CARGA Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:
siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.
POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UN PLANO INFINITO Un plano infinito con densidad de carga de superficie perpendicular al plano de valor constante
crea un campo eléctrico saliente en la dirección
Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:
Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0
ESFERA CONDUCTORA CARGADA Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.
Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.
donde es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico. Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.
Donde
es el radio de la esfera.
CAMPO ELECTROSTÁTICO Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para influir entre ellas y por ello las fuerzas eléctricas son consideradas fuerzas de acción a distancia. En virtud de ello se recurre al concepto de campo electrostático para facilitar la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas ejercen sobre el espacio que las rodea.
INTERACCIONES ENTRE DOS CARGAS Q Y Q
Interacciones entre Q y q. Considérese una carga Q fija en una determinada posición (ver figura). Si se coloca otra carga q en un punto cierta distancia de Q, aparecerá una fuerza eléctrica actuando sobre q.
a
Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como , , etc., en cada uno de ellos también estaría actuando sobre q una fuerza eléctrica producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo eléctrico originado por esta carga. Obsérvese en la figura que el campo eléctrico en los puntos , , , etc., está originado por Q, la cual podrá ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro para verificar si en ellos existe o no un campo eléctrico, se denomina carga de prueba. El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por y que se denomina vector campo eléctrico.
El módulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga Q de la figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto , se verá que sobre ella actúa una fuerza eléctrica. La intensidad del campo eléctrico en estará dada, por definición, por la expresión:
La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales como , , etc. El valor de E será diferente para cada uno de ellos.
De obtemos , lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo eléctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresión anterior, el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en aquél punto. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL El campo que crea una carga puntual
se deduce a partir de la ley de Coulomb.
Consideremos una carga de prueba , colocada a una distancia r de una carga punto cargas, medida por un observador en reposo respecto a la carga estará dada por:
. La fuerza entre ambas
La intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga de prueba está dada por:
y por lo tanto resulta:
= donde
es un vector unitario en la dirección radial,
permitividad del vacío y tienen las equivalencias eléctrico es
=
es la constante de Coulomb cuyo valor es y
(Newton por Culombio) o
es la llamada . Donde se
respectivamente. La unidad de intensidad de campo (Voltio por Metro).
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La influencia del campo producido por una carga aislada se puede generalizar al caso de un sistema formado por más de una carga y luego extenderse al estudio de un cuerpo cargado. Experimentalmente se verifica que las influencias de las cargas aisladas que constituyen un sistema son aditivas, o en otras palabras, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un punto cualquiera del espacio que rodea a varias cargas será la suma vectorial de las intensidades de los campos debidos a cada una de las cargas individualmente consideradas. Matemáticamente se puede considerar la siguiente ecuación:
Donde es la constante arbitraria; n es la cantidad de cargas tenidas en cuenta; es la magnitud del vector distancia entre el punto donde se quiere hallar el campo eléctrico total y la carga i; y es el vector unitario formado de la misma manera. Más adelante se trabajará mejor esta ecuación.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CAMPO ELÉCTRICO Una forma muy útil de esquematizar gráficamente un campo es trazar líneas que vayan en la misma dirección que dicho campo en varios puntos. Esto se realiza a través de las líneas de campo eléctrico, que son unas líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro, de tal modo que dichas líneas son tangentes, en cada punto del espacio donde está definido el campo eléctrico, a la dirección del campo eléctrico en ese punto. Según la primera ley de Newton, la fuerza que actúa sobre una partícula produce un cambio en su velocidad; por lo tanto, el movimiento de una partícula cargada en una región dependerá de las fuerzas que actúen sobre ella en cada punto de dicha región. Ahora considérese una carga q, situada en un punto sobre la que actúa una fuerza que es tangente a la línea de campo eléctrico en dicho punto. En vista de que las líneas del campo eléctrico varían en su densidad (están más o menos juntas) y dirección, podemos concluir que la fuerza que experimenta una carga tiende a apartarla de la línea de campo eléctrico sobre la que se encuentra en cada instante. En otras palabras, una carga bajo los efectos de un campo eléctrico no seguirá el camino de la línea de fuerza sobre la que se encontraba originalmente. La relación entre las líneas de campo eléctrico(imaginarias) y el vector intensidad de campo, es la siguiente: 1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto. 2. El número de líneas de campo eléctrico por unidad de área de sección transversal es proporcional a la magnitud de E. Cuanto más cercanas estén las líneas, mayor será la magnitud de E. No es obvio que sea posible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan estos requisitos. De hecho, se encuentra que si la ley de Coulomb no fuera cierta, no sería posible hacerlo. Si un elemento de superficie de área es atravesado por en el centro del elemento de superficie es E, se tiene que:
líneas y si la intensidad del campo eléctrico
El subíndice n indica que es normal a E. Para convertir esta proporcionalidad en ecuación se elige como constante de proporcionalidad. Así, se espacian arbitrariamente las líneas de campo eléctrico de modo que, en cualquier punto, el número de líneas por unidad de superficie y la intensidad del campo eléctrico esté ligado por la relación:
Considérense, ahora, las líneas de campo eléctrico que salen de una carga puntual positiva q y una esfera de radio r arbitrario rodeando la carga y de modo que ésta se encuentre en el centro. La intensidad del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de esta esfera es:
En consecuencia, el número de líneas por unidad de superficie es el mismo en todos los puntos de la superficie y está dado por:
Las líneas de campo eléctrico atraviesan la superficie perpendicularmente puesto que E tiene una dirección radial. El área de la esfera es
,lo que implica que el número de líneas que atraviesan la superficie es:
Esto demuestra que si el valor del exponente de r, en la ley de Coulomb, no fuera 2, el número de líneas de campo eléctrico no solo no estaría dado por el valor de q, también sería inversamente proporcional a alguna potencia de r y por ello sería imposible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan los requisitos indicados más arriba. Para la construcción de líneas de campo eléctrico se debe tener en cuenta lo siguiente:
A.- Por convención, las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en cargas negativas y en ausencia de unas u otras deben partir o terminar en el infinito.
Representación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negativa y positiva. Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de campo eléctrico radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque una carga de prueba positiva se desplazaría en esa dirección. En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de campo eléctrico sería análogo, pero dirigidas hacia ella ya que ése sería la dirección en que se desplazaría la carga positiva de prueba. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas, las líneas de campo eléctrico nacen siempre de las cargas positivas y por ello son denominadas manantiales y mueren en las negativas por lo que se les llama sumideros.
B.- Las líneas de campo eléctrico jamás pueden cruzarse.
Las líneas de campo eléctrico o de campo salen de una carga positiva o entran a una negativa. De lo anterior se desprende que de cada punto de la superficie de una esfera, suponiendo forma esférica para una carga, puede salir o entrar solo una línea de fuerza, en consecuencia entre dos cargas que interactúan solo puede relacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, y ello es a través de una línea, y esa línea es la línea de fuerza. Si se admitiera que dos líneas de campo eléctrico se intersequen, entonces se podría extender la superficie de la otra carga hacia el lugar donde se intersecan ambas líneas y se podría concluir que dos líneas entran o salen de una superficie de una carga eléctrica. Con esto se está contradiciendo lo postulado inicialmente. En consecuencia, es imposible que dos líneas de campo eléctrico se intersequen. Por otra parte, si las líneas de campo eléctrico se cortaran, significaría que en dicho punto E poseería dos direcciones distintas, lo que contradice la definición de que a cada punto sólo le corresponde un valor único de intensidad de campo.
C.- El número de líneas de campo eléctrico que parten de una carga positiva o llegan a una carga negativa es proporcional a la cantidad de carga respectiva.
D.- Las líneas de campo eléctrico deben ser perpendiculares a las superficies de los objetos en los lugares donde conectan con ellas.
Esto se debe a que en las superficies de cualquier objeto, sin importar la forma, nunca se encuentran componentes de la fuerza eléctrica que sean paralelas a la superficie del mismo. Si fuera de otra manera, cualquier exceso de carga residente en la superficie comenzaría a acelerar. Esto conduciría a la aparición de un flujo de carga en el objeto, lo cual nunca se observa en la electricidad estática.
Representación del campo eléctrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud y por un dipolo eléctrico.
Representación del campo eléctrico creado por dos cargas de diferente magnitud y signos opuestos.
Las representaciones anteriores reflejan el principio de superposición. Ya sea que las cargas ostenten el mismo signo o signo opuesto, las líneas de campo eléctrico se verán distorsionadas respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estuvieran aisladas, de forma tal, que la distorsión es máxima en la zona central, o sea, en la región más cercana a ambas. Si las cargas tienen la misma magnitud, la representación resulta simétrica respecto de la línea media que las separa. En el caso opuesto, predominará la influencia de una de ellas dando lugar a una distribución asimétrica de líneas de campo eléctrico.
ECUACIÓN DE LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
Siendo el campo tangente a las líneas de campo eléctrico, se cumple:
Ejemplo. Si tenemos una sola carga puntual, todas las líneas de campo son rectas que parten radialmente de la carga en las tres direcciones del espacio. Si nos limitamos a las líneas de campo contenidas en el plano cartesiano XY, el problema se simplifica y nos queda la razón entre
es
, de modo que:
siendo C la constante de integración. Este resultado se puede escribir como:
Que es la ecuación de una recta que pasa por el origen, como era de esperar.
COMPORTAMIENTO DE UNA CARGA PUNTO EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Un campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada una fuerza
Esta fuerza produce una aceleración
siendo m la masa de la partícula.
PARTÍCULA MOVIÉNDOSE PARALELAMENTE AL CAMPO Considérese una partícula de masa m y carga q que se suelta a partir del reposo en un campo entre dos placas paralelas cargadas tal como se muestra en la figura.
El movimiento es similar al de un cuerpo que cae en el campo gravitacional terrestre.
La aceleración está dada por
Como
, se cumple que
Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, como
, se tiene que:
La energía cinética adquirida luego de recorrer una distancia y será;
PARTÍCULA MOVIÉNDOSE PERPENDICULARMENTE AL CAMPO
La figura muestra un electrón de masa m y carga e que es disparado con una velocidad campo uniforme
perpendicularmente a un
.
El movimiento es similar al de un proyectil disparado horizontalmente en el campo gravitacional terrestre. En consecuencia el movimiento horizontal x y el vertical y están dados por las expresiones:
Sustituyendo a t se obtiene:
que es la ecuación de la trayectoria. Cuando el electrón sale de entre las placas, lo hace en una trayectoria recta tangente a la parábola en el punto de salida y puede hacerse llegar a una pantalla fluorescente colocada a cierta distancia más allá de las placas.
CAMPO MAGNÉTICO
Líneas mostrando el campo magnético de un imán de barra, producidas por limaduras de hierro sobre papel.
Un campo magnético es una descripción matemática de la influencia magnética de las corrientes eléctricas y de los materiales magnéticos. El campo magnético en cualquier punto está especificado por dos valores, la dirección y la magnitud; de tal forma que es un campo vectorial. Específicamente, el campo magnético es un vector axial, como lo son los momentos mecánicos y los campos rotacionales. El campo magnético es más comúnmente definido en términos de la fuerza de Lorentz ejercida en cargas eléctricas. Campo magnético puede referirse a dos separados pero muy relacionados símbolos B y H. Los campos magnéticos son producidos por cualquier carga eléctrica en movimiento y el momento magnético intrínseco de las partículas elementales asociadas con una propiedad cuántica fundamental, su espin. En la relatividad especial, campos eléctricos y magnéticos son dos aspectos interrelacionados de un objeto, llamado el tensor electromagnético. Las fuerzas magnéticas dan información sobre la carga que lleva un material a través del efecto Hall. La interacción de los campos magnéticos en dispositivos eléctricos tales como transformadores es estudiada en la disciplina de circuitos magnéticos.
FUERZA DE LORENTZ Entre las definiciones de campo magnético se encuentra la dada por la fuerza de Lorentz. Esto sería el efecto generado por una corriente eléctrica o un imán, sobre una región del espacio en la que una carga eléctrica puntual de valor (q), que se desplaza a una velocidad , experimenta los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad (v) como al campo (B). Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente ecuación.
donde F es la fuerza magnética, v es la velocidad y B el campo magnético, también llamado inducción magnética y densidad de flujo magnético. (Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el producto vectorial tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B). El módulo de la fuerza resultante será:
La existencia de un campo magnético se pone de relieve gracias a la propiedad (la cual la podemos localizar en el espacio) de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que evidencia la existencia del campo magnético terrestre puede ser considerada un magnetómetro. NOMBRE El nombre de campo magnético o intensidad del campo magnético se aplica a dos magnitudes:
La excitación magnética o campo H es la primera de ellas, desde el punto de vista histórico, y se representa con H. La inducción magnética o campo B, que en la actualidad se considera el auténtico campo magnético, y se representa con B.
Desde un punto de vista físico, ambos son equivalentes en el vacío, salvo en una constante de proporcionalidad (permeabilidad) que depende del sistema de unidades: 1 en el sistema de Gauss, SI. Solo se diferencian en medios materiales con el fenómeno de la magnetización.
en el
USO El campo H se ha considerado tradicionalmente el campo principal o intensidad de campo magnético, ya que se puede relacionar con unas cargas, masas o polos magnéticos por medio de una ley similar a la de Coulomb para la electricidad. Maxwell, por ejemplo, utilizó este enfoque, aunque aclarando que esas cargas eran ficticias. Con ello, no solo se parte de leyes similares en los campos eléctricos y magnéticos (incluyendo la posibilidad de definir un potencial escalar magnético), sino que en medios materiales, con la equiparación matemática de H con E, por un lado, y de B con D, por otro, se pueden establecer paralelismos útiles en las condiciones de contorno y las relaciones termodinámicas; las fórmulas correspondientes en el sistema electromagnético de Gauss son:
En electrotecnia no es raro que se conserve este punto de vista porque resulta práctico. Con la llegada de las teorías del electrón de Lorentz y Poincaré, y de la relatividad de Einstein, quedó claro que estos paralelismos no se corresponden con la realidad física de los fenómenos, por lo que hoy es frecuente, sobre todo en física, que el nombre de campo magnético se aplique a B (por ejemplo, en los textos de Alonso-Finn y de Feynman).1 En la formulación relativista del electromagnetismo, E no se agrupa con H para el tensor de intensidades, sino con B. En 1944, F. Rasetti preparó un experimento para dilucidar cuál de los dos campos era el fundamental, es decir, aquel que actúa sobre una carga en movimiento, y el resultado fue que el campo magnético real era B y no H.2 Para caracterizar H y B se ha recurrido a varias distinciones. Así, H describe cuan intenso es el campo magnético en la región que afecta, mientras que B es la cantidad de flujo magnético por unidad de área que aparece en esa misma región. Otra distinción que se hace en ocasiones es que H se refiere al campo en función de sus fuentes (las corrientes eléctricas) y B al campo en función de sus efectos (fuerzas sobre las cargas).
FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de ellas es una corriente eléctrica de conducción, que da lugar a un campo magnético estático, si es constante. Por otro lado una corriente de desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo, incluso aunque aquella sea estacionaria. La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica está dada por la ley de Ampère. El caso más general, que incluye a la corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampère-Maxwell. CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDO POR UNA CARGA PUNTUAL El campo magnético generado por una única carga en movimiento (no por una corriente eléctrica) se calcula a partir de la siguiente expresión:
Donde . Esta última expresión define un campo vectorial solenoidal, para distribuciones de cargas en movimiento la expresión es diferente, pero puede probarse que el campo magnético sigue siendo un campo solenoidal.
CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS
La inexistencia de cargas magnéticas lleva a que el campo magnético es un campo solenoidal lo que lleva a que localmente puede ser derivado de un potencial vector , es decir:
A su vez este potencial vector puede ser relacionado con el vector densidad de corriente mediante la relación:
La ecuación anterior planteada sobre , con una distribución de cargas contenida en un conjunto compacto, la solución es expresable en forma de integral. Y el campo magnético de una distribución de carga viene dado por:
INEXISTENCIA DE CARGAS MAGNÉTICAS AISLADAS Cabe destacar que, a diferencia del campo eléctrico, en el campo magnético no se ha comprobado la existencia de monopolos magnéticos, sólo dipolos magnéticos, lo que significa que las líneas de campo magnético son cerradas, esto es, el número neto de líneas de campo que entran en una superficie es igual al número de líneas de campo que salen de la misma superficie. Un claro ejemplo de esta propiedad viene representado por las líneas de campo de un imán, donde se puede ver que el mismo número de líneas de campo que salen del polo norte vuelve a entrar por el polo sur, desde donde vuelven por el interior del imán hasta el norte.
Ilustración de un campo magnético alrededor de un alambre a través del cual fluye corriente eléctrica.
Como se puede ver en el dibujo, independientemente de que la carga en movimiento sea positiva o negativa, en el punto A nunca aparece campo magnético; sin embargo, en los puntos B y C el campo magnético invierte su dirección dependiendo de si la carga es positiva o negativa. La dirección del campo magnético viene dado por la regla de la mano derecha, siendo las pautas las siguientes:
en primer lugar se imagina un vector qv, en la misma dirección de la trayectoria de la carga en movimiento. La dirección de este vector depende del signo de la carga, esto es, si la carga es positiva y se mueve hacia la derecha, el vector +qv estará orientado hacia la derecha. No obstante, si la carga es negativa y se mueve hacia la derecha, el vector es -qv va hacia la izquierda; a continuación, vamos señalando con los cuatro dedos de la mano derecha (índice, medio, anular y meñique), desde el primer vector qv hasta el segundo vector Ur, por el camino más corto o, lo que es lo mismo, el camino que forme el ángulo menor entre los dos vectores. El pulgar extendido indicará en ese punto la dirección del campo magnético.
ENERGÍA ALMACENADA EN CAMPOS MAGNÉTICOS La energía es necesaria para generar un campo magnético, para trabajar contra el campo eléctrico que un campo magnético crea y para cambiar la magnetización de cualquier material dentro del campo magnético. Para los materiales no-dispersivos, se libera esta misma energía tanto cuando se destruye el campo magnético para poder modelar esta energía, como siendo almacenado en el campo magnético. Para materiales lineales y no dispersivos (tales que de energía es:
donde μ es independiente de la frecuencia), la densidad
Si no hay materiales magnéticos alrededor, entonces el μ se puede substituir por μ 0. La ecuación antedicha no se puede utilizar para los materiales no lineales, se utiliza una expresión más general dada abajo. Generalmente la cantidad incremental de trabajo por el δW del volumen de unidad necesitado para causar un cambio pequeño del δB del campo magnético es: δW= H*δB Una vez que la relación entre H y B se obtenga, esta ecuación se utiliza para determinar el trabajo necesitado para alcanzar un estado magnético dado. Para los materiales como los ferromagnéticos y superconductores el trabajo necesitado también dependerá de cómo se crea el campo magnético.
DETERMINACIÓN DEL CAMPO DE INDUCCIÓN MAGNÉTICA B
La figura muestra las relaciones entre los vectores. Se observa que: * (a) la fuerza magnética se anula cuando , * (b) la fuerza magnética se anula si v es paralela o antiparalela a la dirección de B (en estos casos y ) *(c) si v es perpendicular a B (
o bien
) la fuerza desviadora tiene su máximo valor, dado por:
El campo magnético para cargas que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con velocidad de la luz, puede representarse por un campo vectorial. Sea una carga eléctrica de prueba en un punto P de una región del espacio moviéndose a una cierta velocidad arbitraria v respecto a un cierto observador que no detecte campo eléctrico. Si el observador detecta una deflexión de la trayectoria de la partícula entonces en esa región existe un campo magnético. El valor o intensidad de dicho campo magnético puede medirse mediante el llamado vector de inducción magnética B, a veces llamado simplemente "campo magnético", que estará relacionado con la fuerza F y la velocidad v medida por dicho observador en el punto P: Si se varía la dirección de v por P, sin cambiar su magnitud, se encuentra, en general, que la magnitud de F varía, si bien se conserva perpendicular a v . A partir de la observación de una pequeña carga eléctrica de prueba puede determinarse la dirección y módulo de dicho vector del siguiente modo:
La dirección del "campo magnético" se define operacionalmente del siguiente modo. Para una cierta dirección de v, la fuerza F se anula. Se define esta dirección como la de B. Una vez encontrada esta dirección el módulo del "campo magnético" puede encontrarse fácilmente ya que es posible orientar a v de tal manera que la carga de prueba se desplace perpendicularmente a B. Se encuentra, entonces, que la F es máxima y se define la magnitud de B determinando el valor de esa fuerza máxima:
En consecuencia: Si una carga de prueba positiva se dispara con una velocidad v por un punto P y si obra una fuerza lateral F sobre la carga que se mueve, hay una inducción magnética B en el punto P siendo B el vector que satisface la relación:
La magnitud de F, de acuerdo a las reglas del producto vectorial, está dada por la expresión:
Expresión en la que es el ángulo entre v y B. El hecho de que la fuerza magnética sea siempre perpendicular a la dirección del movimiento implica que el trabajo realizado por la misma sobre la carga, es cero. En efecto, para un elemento de longitud de la trayectoria de la partícula, el trabajo es que vale cero por ser y perpendiculares. Así pues, un campo magnético estático no puede cambiar la energía cinética de una carga en movimiento. Si una partícula cargada se mueve a través de una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético la fuerza resultante está dada por:
Esta fórmula es conocida como Relación de Lorentz
CAMPO MAGNÉTICO EN RELATIVIDAD CAMPO MEDIDO POR DOS OBSERVADORES La teoría de la relatividad especial probó que de la misma manera que espacio y tiempo no son conceptos absolutos, la parte eléctrica y magnética de un campo electromagnético dependen del observador. Eso significa que dados dos observadores y en movimiento relativo un respecto a otro el campo magnético y eléctrico medido por cada uno de ellos no será el mismo. En el contexto de la relatividad especial si los dos observadores se mueven uno respecto a otro con velocidad uniforme v dirigida según el eje X, las componentes de los campos eléctricos medidas por uno y otro observador vendrán relacionadas por:
Y para los campos magnéticos se tendrá:
Nótese que en particular un observador en reposo respecto a una carga eléctrica detectará sólo campo eléctrico, mientras que los observadores que se mueven respecto a las cargas detectarán una parte eléctrica y magnética.
CAMPO CREADO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO El campo magnético creado por una carga en movimiento puede probarse por la relación general:
que es válida tanto en mecánica newtoniana como en mecánica relativista. Esto lleva a que una carga puntual moviéndose a una velocidad v proporciona un campo magnético dado por:
UNIDADES Y MAGNITUDES TÍPICAS La unidad de B en el SI es el tesla, que equivale a wéber por metro cuadrado (Wb/m²) o a voltio segundo por metro cuadrado (V s/m²); en unidades básicas es kg s−2 A−1. Su unidad en sistema de Gauss es el gauss (G); en unidades básicas es cm−1/2 g1/2 s−1. La unidad de H en el SI es el amperio por metro (A/m) (a veces llamado amperivuelta por metro, (Av/m)). Su unidad en el sistema de Gauss es el oérsted (Oe), que es dimensionalmente igual al Gauss. La magnitud del campo magnético terrestre en la superficie de la Tierra es de alrededor de 0.5G. Los imanes permanentes comunes, de hierro, generan campos de unos pocos cientos de Gauss, esto es a corto alcance la influencia sobre una brújula es alrededor de mil veces más intensa que la del campo magnético terrestre; como la intensidad se reduce con el cubo de la distancia, a distancias relativamente cortas el campo terrestre vuelve a dominar. Los imanes comerciales más potentes, basados en combinaciones de metales de transición y tierras raras generan campos hasta diez veces más intensos, de hasta 3000-4000 G, esto es, 0.3-0.4 T. El límite teórico para imanes permanentes es alrededor de diez veces más alto, unos 3 Tesla. Los centros de investigación especializados obtienen de forma rutinaria campos hasta diez veces más intensos, unos 30T, mediante electroimanes; se puede doblar este límite mediante campos pulsados, que permiten enfriarse al conductor entre pulsos. En circunstancias extraordinarias, es posible obtener campos incluso de 150 T o superiores, mediante explosiones que comprimen las líneas de campo; naturalmente en estos casos el campo dura sólo unos microsegundos. Por otro lado, los campos generados de forma natural en la superficie de un púlsar se estiman en el orden de los cientos de millones de Tesla.3 En el mundo microscópico, atendiendo a los valores del momento dipolar de iones magnéticos típicos y a la ecuación que rige la propagación del campo generado por un dipolo magnético, se verifica que a un nanómetro de distancia, el campo magnético generado por un electrón aislado es del orden de 3 G, el de una molécula imán típica, del orden de 30 G y el de un ion magnético típico puede tener un valor intermedio, de 5 a 15 G. A un Angstrom, que es un valor corriente para un radio atómico y por tanto el valor mínimo para el que puede tener sentido referirse al momento magnético de un ion, los valores son mil veces más elevados, esto es, del orden de magnitud del Tesla.
FUERZA DE LORENTZ
Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una partícula cargada en un campo magnético constante, según el signo de la carga eléctrica.
Fuerza sobre una partícula cargada.
Fuerza sobre una corriente.
En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.
FORMA CLÁSICA Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:
donde es la velocidad de la carga, es el vector intensidad de campo eléctrico y es el vector inducción magnética. La expresión siguiente está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:
donde es la longitud del conductor, es la intensidad de corriente y la inducción magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.
FORMAS ALTERNATIVAS FORMA INTEGRAL Si los campos eléctrico y magnético no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente , y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:
Como en general esto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.
FORMA TENSORIAL En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:
(Expresión tensorial relativista) Donde: son las componentes del cuadrivector fuerza. son las componentes del cuadrivelocidad. son las componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:
FUERZA DE LORENTZ Y TERCERA LEY DE NEWTON La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera. Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es, utilizando la Ley de Biot-Savart:
Donde los son los valores de posición respectivos, las velocidades lineales respectivas, qi las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de la partícula 2 sobre la partícula 1 es:
Empleando la identidad plano formado por
y
puede verse que la primera fuerza está en el que la segunda fuerza está en el plano formado por y .
ELECTROMAGNETISMO El electromagnetismo es una rama de la física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales o tensoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la mecánica cuántica. El electromagnetismo considerado como fuerza es una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo actualmente conocido.
ELECTROSTÁTICA Cuando hablamos de electrostática nos referimos a los fenómenos que ocurren debido a una propiedad intrínseca y discreta de la materia, la carga, cuando es estacionaria o no depende del tiempo. La unidad de carga elemental, es decir, la más pequeña observable, es la carga que tiene el electrón.4 Se dice que un cuerpo está cargado eléctricamente cuando tiene exceso o falta de electrones en los átomos que lo componen. Por definición el defecto de electrones se la denomina carga positiva y al exceso carga negativa. 5 La relación entre los dos tipos de carga es de atracción cuando son diferentes y de repulsión cuando son iguales. La carga elemental es una unidad muy pequeña para cálculos prácticos, es por eso que en el sistema internacional a la unidad de carga eléctrica, el culombio, se le define como la cantidad de carga de 6,25 x 1018 electrones.4 El movimiento de electrones por un conductor se denomina corriente eléctrica y la cantidad de carga eléctrica que pasa por unidad de tiempo se la define como intensidad de corriente. Se pueden introducir más conceptos como el de diferencia de potencial o el de resistencia, que nos conduciría ineludiblemente al área de circuitos eléctricos, y todo eso se puede ver con más detalle en el artículo principal. El nombre de la unidad de carga se debe a Coulomb quien en 1785 llegó a una relación matemática de la fuerza eléctrica entre cargas puntuales, que ahora se la conoce como ley de Coulomb:
Entre dos cargas puntuales y existe una fuerza de atracción o repulsión que varía de acuerdo al cuadrado de la distancia entre ellas y de dirección radial ; y es una constante conocida como permitividad eléctrica. Las cargas elementales al no encontrarse solas se las debe tratar como una distribución de ellas. Es por eso que debe implementarse el concepto de campo, definido como una región del espacio donde existe una magnitud escalar o vectorial dependiente o independiente del tiempo. Así el campo eléctrico está definido como la región del espacio donde actúan las fuerzas eléctricas. Su intensidad se define como el límite al que tiende la fuerza de una distribución de carga sobre una carga positiva que tiende a cero, así:
Campo eléctrico de cargas puntuales.
Y así finalmente llegamos a la expresión matemática que define el campo eléctrico:
Es importante conocer el alcance de este concepto de campo eléctrico, éste nos brinda la oportunidad de conocer cuál es su intensidad y qué ocurre con una carga en cualquier parte de dicho campo sin importar el desconocimiento de qué lo provoca.6 Una forma de obtener qué cantidad de fuerza eléctrica pasa por cierto punto o superficie del campo eléctrico es que se ideó el concepto de flujo eléctrico. Este flujo eléctrico se define como la suma de la cantidad de campo que atraviesa un área determinada, así:
El matemático y físico, Carl Friedrich Gauss, demostró que la cantidad de flujo eléctrico en un campo es igual al cociente de la carga encerrada por la superficie en la que se calcula el flujo, , y la permitividad eléctrica, . Esta relación se conoce como ley de Gauss:
(1)
MAGNETOSTÁTICA No fue sino hasta el año de 1820, cuando Hans Christian Ørsted descubrió que el fenómeno magnético estaba ligado al eléctrico, que se obtuvo una teoría científica para el magnetismo.7 La presencia de una corriente eléctrica, o sea, de un flujo de carga debido a una diferencia de potencial, genera una fuerza magnética que no varía en el tiempo. Si tenemos una carga a una velocidad , ésta generará un campo magnético perpendicular a la fuerza magnética inducida por el movimiento en esta corriente, así:
que es
Para determinar el valor de ese campo magnético, Jean Baptiste Biot en 1820,8 dedujo una relación para corrientes estacionarias, ahora conocida como ley de Biot-Savart:
Donde
es un coeficiente de proporcionalidad conocido como permeabilidad magnética,
corriente, el
es el diferencial de longitud de la corriente y
es la intensidad de
es la dirección de la corriente. De manera más
estricta, es la inducción magnética, dicho en otras palabras, es el flujo magnético por unidad de área. Experimentalmente se llegó a la conclusión que las líneas de fuerza de campos magnéticos eran cerradas, eliminando la posibilidad de un monopolo magnético. La relación matemática se la conoce como ley de Gauss para el campo magnético:
(2) Además en la magnetostática existe una ley comparable a la de Gauss en la electrostática, la ley de Ampère. Ésta ley nos dice que la circulación en un campo magnético es igual a la densidad de corriente que exista en una superficie cerrada:
Cabe indicar que esta ley de Gauss es una generalización de la ley de Biot-Savart. Además que las fórmulas expresadas aquí son para cargas en el vacío, para más información consúltese los artículos principales.
ELECTRODINÁMICA CLÁSICA Hasta el momento se han estudiado los campos eléctricos y magnéticos que no varían con el tiempo. Pero los físicos a finales del siglo XIX descubrieron que ambos campos estaban ligados y así un campo eléctrico en movimiento, una corriente eléctrica que varíe, genera un campo magnético y un campo magnético de por si implica la presencia de un campo eléctrico. Entonces, lo primero que debemos definir es la fuerza que tendría una partícula cargada que se mueva en un campo magnético y así llegamos a la unión de las dos fuerzas anteriores, lo que hoy conocemos como la fuerza de Lorentz:
(3) Entre 1890 y 1900 Liénard y Wiechert calcularon el campo electromagnético asociado a cargas en movimiento arbitrario, resultado que se conoce hoy como potenciales de Liénard-Wiechert.
Por otro lado, para generar una corriente eléctrica en un circuito cerrado debe existir una diferencia de potencial entre dos puntos del circuito, a ésta diferencia de potencial se la conoce como fuerza electromotriz o fem. Ésta fuerza electromotriz es proporcional a la rapidez con que el flujo magnético varía en el tiempo, esta ley fue encontrada por Michael Faraday y es la interpretación de la inducción electromagnética, así un campo magnético que varía en el tiempo induce a un campo eléctrico, a una fuerza electromotriz. Matemáticamente se representada como:
(4) En un trabajo del físico James Clerk Maxwell de 1861 reunió las tres ecuaciones anteriormente citadas (1), (2) y (4) e introdujo el concepto de una corriente de desplazamiento como una densidad de corriente efectiva y llegó a la última de las ecuaciones, la ley de Ampère generalizada (5), ahora conocidas como ecuaciones de Maxwell:
(5) Las cuatro ecuaciones, tanto en su forma diferencial como en la integral aquí descritas, fueron las revisiones hechas por Oliver Heaviside. Pero el verdadero poder de éstas ecuaciones, más la fuerza de Lorentz (3), se centra en que juntas son capaces de describir cualquier fenómeno electromagnético, además de las consecuencias físicas que posteriormente se describirán.
Esquema de una onda electromagnética. La genialidad del trabajo de Maxwell es que sus ecuaciones describen un campo eléctrico que va ligado inequívocamente a un campo magnético perpendicular a éste y a la dirección de su propagación, éste campo es ahora llamado campo electromagnético.10 Además la solución de estas ecuaciones permitía la existencia de una onda que se propagaba a la velocidad de la luz, con lo que además de unificar los fenómenos eléctricos y magnéticos la teoría formulada por Maxwell predecía con absoluta certeza los fenómenos ópticos. Así la teoría predecía a una onda que, contraria a las ideas de la época, no necesitaba un medio de propagación; la onda electromagnética se podía propagar en el vacío debido a la generación mutua de los campos magnéticos y eléctricos. Esta onda a pesar de tener una velocidad constante, la velocidad de la luz c, puede tener diferente longitud de onda y consecuentemente dicha onda transporta energía. La radiación electromagnética recibe diferentes nombres al variar su longitud de onda, como rayos gamma, rayos X, espectro visible, etc.; pero en su conjunto recibe el nombre de espectro electromagnético.
Espectro electromagnético. FORMULACIÓN COVARIANTE Clásicamente, al fijar un sistema de referencia, se puede descomponer los campos eléctricos y magnéticos del campo electromagnético. Pero al tener a un observador con movimiento relativo respecto al sistema de referencia, éste medirá efectos eléctricos y magnéticos diferentes de un mismo fenómeno electromagnético. El campo eléctrico y la inducción magnética a pesar de ser elementos vectoriales no se comportan como magnitudes físicas vectoriales, por el contrario la unión de ambos constituye otro ente físico llamado tensor y en este caso el tensor de campo electromagnético.11 Así, la expresión para el campo electromagnético es:
Y las expresiones covariantes para las ecuaciones de Maxwell (7) y la fuerza de Lorentz (6) se reducen a:
(6) (7) ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA
Diagrama de Feynman mostrando la fuerza electromagnética entre dos electrones por medio del intercambio de un fotón virtual.
Posteriormente a la revolución cuántica de inicios del siglo XX, los físicos se vieron forzados a buscar una teoría cuántica de la interacción electromagnética. El trabajo de Einstein con el efecto fotoeléctrico y la posterior formulación de la mecánica cuántica sugerían que la interacción electromagnética se producía mediante el intercambio de partículas elementales llamadas fotones. La nueva formulación cuántica lograda en la década de los años 40 del siglo XX describía la interacción de este fotón portador de fuerza y las otras partículas portadoras de materia.12 La electrodinámica cuántica es principalmente una teoría cuántica de campos renormalizada. Su desarrollo fue obra de Sinitiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman y Freeman Dyson alrededor de los años 1947 a 1949.13 En la electrodinámica cuántica, la interacción entre partículas viene descrita por un lagrangiano que posee simetría local, concretamente simetría de gauge. Para la electrodinámica cuántica, el campo de gauge donde las partículas interactúan es el campo electromagnético y esas partículas son los fotones.13 Matemáticamente, el lagrangiano para la interacción entre fermiones mediante intercambio de fotones viene dado por:
Donde el significado de los términos son: son las matrices de Dirac. y
son los campos o espinores de Dirac que representan las partículas cargadas eléctricamente. es la derivada covariante asociada a la simetría gauge. el operador asociado al potencial vector covariante del campo electromagnético y el operador de campo asociado tensor de campo electromagnético.
FUERZA MAGNÉTICA La fuerza magnética es la parte de la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz que mide un observador sobre una distribución de cargas en movimiento. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. Las fuerzas magnéticas entre imanes y/o electroimanes es un efecto residual de la fuerza magnética entre cargas en movimiento. Esto sucede porque en el interior de los imanes convencionales existen microcorrientes que macroscópicamente dan lugar a líneas de campo magnético cerradas que salen del material y vuelven a entrar en él. Los puntos de entrada forman un polo y los de salida el otro polo.
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR Un conductor puede ser un cable o alambre por el cual circula una corriente eléctrica. Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en movimiento. Ya que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, es de esperar que la resultante de las fuerza sobre cada carga resulte en una fuerza lateral sobre un alambre por el que circula una corriente eléctrica.
CONDUCTOR RECTILÍNEO
Tramo de un conductor rectilíneo de longitud l, que transporta una intensidad i y colocado en un campo magnético B
En la figura se muestra un tramo de alambre de longitud que lleva una corriente y que está colocado en un campo magnético Para simplificar se ha orientado el vector densidad de corriente de tal manera que sea perpendicular a . La corriente en un conductor rectilíneo es transportada por electrones libres, siendo el número de estos electrones por unidad de volumen del alambre. La magnitud de la fuerza media que obra en uno de estos electrones está dada por;
por ser
y siendo
la velocidad de arrastre:
. Por lo tanto,
La longitud del conductor contiene electrones libres, siendo el volumen de la sección de conductor de sección transversal que se está considerando. La fuerza total sobre los electrones libres en el conductor y, por consiguiente, en el conductor mismo, es:
Ya que
es la corriente en el conductor, se tiene:
Las cargas negativas que se mueven hacia la derecha en el conductor equivalen a cargas positivas moviéndose hacia la izquierda, esto es, en la dirección de la flecha verde. Para una de estas cargas positivas, la velocidad apuntaría hacia la izquierda y la fuerza sobre el conductor apunta hacia arriba saliendo del plano de la figura. Esta misma conclusión se deduce si se consideran los portadores de carga negativos reales para los cuales apunta hacia la derecha, pero tiene signo negativo. Así pues, midiendo la fuerza magnética lateral que obra sobre un conductor con corriente y colocado en un campo magnético, no es posible saber si los portadores de corriente son cargas negativas moviéndose en una dirección o cargas positivas que se mueven en dirección opuesta. La ecuación anterior es válida solamente si el conductor es perpendicular a general en forma vectorial así:
. Es posible expresar el caso más
siendo un vector (recorrido) que apunta a lo largo del conductor en la dirección de la corriente. Esta ecuación es equivalente a la relación y cualquiera de las dos puede tomarse como ecuación de definición de Obsérvese que
(no representado en la figura) apunta hacia la izquierda y que la fuerza magnética apunta hacia arriba saliendo del plano de la figura.
Esto concuerda con la conclusión a que se llegó al analizar las fuerzas que obran en los portadores de carga individuales
CONDUCTOR NO RECTILÍNEO
Si se considera solamente un elemento diferencial de un conductor de longitud mediante la expresión
, la fuerza
puede encontrarse
Considérese, por ejemplo, un alambre de la forma mostrada en la figura, que lleva una corriente i y se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme de inducción magnética saliendo del plano de la figura tal como lo muestran los puntos. La magnitud de la fuerza sobre cada tramo recto está dada por:
y apunta hacia abajo tal como lo muestran los vectores coloreados de verde. Un segmento de alambre de longitud en el arco experimenta una fuerza
cuya magnitud es:
y cuya dirección es radial hacia O, que es el centro del arco. Solamente la componente hacia abajo de esa fuerza es efectiva, porque la componente horizontal es anulada por una componente directamente opuesta proveniente del correspondiente segmento de arco a la derecha de O. En consecuencia, la fuerza total sobre el semicírculo de alambre alrededor de O apunta hacia abajo y es:
Entonces, la fuerza total será:
Es interesante notar que esta fuerza es la misma que obraría sobre un alambre recto de longitud
FUERZA ENTRE IMANES Inicialmente se trató de modelizar la fuerza magnética entre imanes naturales por una expresión del tipo:
(a) Donde: son las "masas magnéticas" o "cargas magnéticas" que dependerían del tamaño de los imanes. la distancia media entre los polos. Sin embargo, la anterior expresión sólo resulta útil para casos con imanes con formas geométricas sencillas que permitan identificar los polos y que se encuentren convenientemente alineados. Otros dos problemas aún más serios son que la forma anterior no es fácilmente generalizable a polos desalineados, ni tampoco parece fácil calcular el valor de la "masa magnética" a partir de las características microscópicas del material. El carácter complejo de la "masa magnética" se refleja entre otras cosas en el hecho de que se ve afectado por la temperatura, un material ferromagnético normal deja de ser magnético a una temperatura superior a la temperatura de Curie. Lo cual refleja que el efecto magnético de los imanes no es una propiedad intrínseca sino un efecto dependiendo de la agitación térmica de los átomos y electrones que configuran internamente el material.
La fuerza entre dos imanes puede calcualrse exactamente si se conoce la densidad de corriente equivalente en el interior de los mismos mediante la expresión:
(b) Donde: , son las densidades de corriente en cada uno de los imanes. , son los vectores directores sobre puntos del interior de cada uno de los dos imanes. , son los volúmenes ocupados por los dos imanes. es la permeabilidad magnética. Comparando (a) con (b) puede verse que los valores de depende de una manera muy compleja de la distribución interna de las corrientes en los dos imanes. Para distancias grandes comparadas con el tamaño de los imanes la fuerza dada por (b) puede aproximarse por la fuerza entre dos dipolos magnéticos:
(c) Donde: , son los momentos dipolares magnéticos de los imanes que son vectores alineados con la línea que va desde el polo sur al polo norte del imán. , son el vector de posición relativa y la distancia entre los imanes. Para dos imanes alineados esta fuerza resulta ser:
(d) Si los dos momentos están alineados paralelamente (lo cual corresponde a que los dos polos de diferente signo estén más próximos) la fuerza es atractiva, en cambio si los imanes están alineados antiparalelamente (con lo cual dos polos del mismo signo serán los más próximos) la fuerza es repulsiva.
DENSIDAD DE CORRIENTE
Relación entre la corriente y la densidad de corriente. La densidad de corriente eléctrica se define como una magnitud vectorial que tiene unidades de corriente eléctrica por unidad de superficie, es decir, intensidad por unidad de área. Matemáticamente, la corriente y la densidad de corriente se relacionan como:
I es la corriente eléctrica en amperios A es la densidad de corriente en A·m-2 S es la superficie de estudio en m²
DENSIDAD DE CORRIENTE EN FÍSICA CONVENCIONAL CARGAS PUNTUALES AISLADAS La densidad de corriente está relacionada con los portadores de cargas (electrones, huecos, iones en un electrolito) por:
Donde: es la concentración del portador i. es la carga eléctrica del portador i. es la velocidad media del portador i en el volumen. CONDUCTOR ELÉCTRICO Si la densidad de corriente es uniforme en una región del espacio entonces la relación se simplifica notablemente. Esto sucede con bastante aproximación en el interior de un tramo de conductor de sección constante, donde el vector es independiente de la posición por lo que la sección, la densidad de corriente y la intensidad guardan la relación:
Siendo
la sección transversal del tramo de conductor.
DENSIDAD DE CORRIENTE DE UN MEDIO CONTINÚO Si tenemos una región del espacio con una densidad de carga, no necesariamente uniforme, en la que el movimiento de cargas se puede representar por un campo vectorial de velocidades, para esa distribución de cargas en movimiento tenemos:
donde es la densidad de carga en un punto y
la velocidad de las cargas en ese punto.
DENSIDAD DE CORRIENTE EN MECÁNICA RELATIVISTA En teoría de la relatividad debido al carácter relativo del espacio y el tiempo, todas las magnitudes físicas relevantes deben ser representables en un espacio-tiempo unificado, que permita relacionar adecuadamente las medidas hechas por diferentes observadores, eso implica que las magnitudes vectoriales de la mecánica clásica deben ser cuadrivectores, cuya parte espacial coincide con las componentes vectoriales de las magnitudes correspondientes de la mecánica clásica. Así el vector densidad de corriente en mecánica relativista debe reemplazarse por un cuadrivector densidad de corriente, que intervendrá en los análogos relativistas de las ecuaciones del electromagnetismo. Este cuadrivector densidad de corriente vienen dado por:
Donde la velocidad de la luz.
son las componentes de la velocidad tridimensional de una distribución de carga y c es
DENSIDAD DE CORRIENTE EN MECÁNICA CUÁNTICA En mecánica cuántica, la corriente de probabilidad (también denominada flujo de probabilidad) es un concepto que describe el flujo de densidad de probabilidad. Así, en mecánica cuántica no-relativista, se define como
y satisface la ecuación de continuidad mecanocuántica
siendo la densidad de probabilidad
DIPOLO MAGNÉTICO
Las líneas del campo magnético terrestre salen del polo norte magnético hacia el polo sur. En mecánica clásica, un dipolo magnético —análogo en muchos aspectos al dipolo eléctrico— es una aproximación que se hace al campo generado por un circuito cuando la distancia al circuito es mucho mayor a las dimensiones del mismo. El campo magnético terrestre también puede ser aproximado por un dipolo magnético, aunque su origen posiblemente sea bastante más complejo. En mecánica cuántica, el espín de diferentes partículas también genera un campo que se aproxima bien por un dipolo magnético. En partículas subatómicas, como los electrones o los núcleos atómicos, esto es relevante, respectivamente, para determinados experimentos de resonancia paramagnética electrónica y de resonancia magnética nuclear. Con frecuencia, la descripción como dipolos magnéticos de iones y moléculas paramagnéticas también es útil para entender su comportamiento magnético. Se llama interacción magnética dipolar a la interacción entre dos momentos magnéticos. En mecánica cuántica se puede dar entre momentos magnéticos de espín, pero es el mismo fenómeno que el que tiene lugar entre dos imanes macroscópicos y se rige por las mismas reglas. En términos simples, los polos opuestos se atraen y los del mismo signo se repelen. Un imán en la vida cotidiana, o en general un momento magnético, genera líneas de campo, que salen de su polo positivo y acaban en su polo negativo. Estas líneas indican la posición energéticamente más favorable en la que se dispondrá otro imán (o momento magnético). Si pensamos que el momento magnético reside, principalmente, en un átomo (metálico), podemos entender con facilidad que se acoplará de forma anisótropa con los momentos que le rodeen, ya sea en la misma molécula o en moléculas vecinas. Esto es, dependiendo de sus posiciones relativas, dos momentos magnéticos se alinearán de forma paralela, antiparalela o en una orientación intermedia. La interacción magnética dipolar es una de las contribuciones a la anisotropía en el canje magnético. Generalmente es una contribución débil; pero, ocasionalmente, cuando se trata de momentos magnéticos muy grandes, puede ser significativa. MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO Los dipolos se pueden caracterizar por su momento dipolar, una cantidad vectorial. Por ejemplo, si por un circuito C circula una a corriente I, se define el momento dipolar magnético m como:
En el caso en el que el circuito sea plano, se tendrá que:
donde S es el área de la superficie plana cuyo borde es C.
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN DIPOLO
Si r“<
donde μ es la permeabilidad magnética medida en Henrio por metro, y el campo magnético dipolar será:
donde B es el campo magnético, medido en teslas r es la distancia del centro, medida en metros m es el momento dipolar, medido en amperios-metros cuadrados (A·m2), o lo que es lo mismo, julios por tesla o, resolviendo el producto vectorial,
donde λ es la latitud magnética, igual a 90° − θ, donde θ es la colatitud magnética, la desviación desde el eje dipolar.
LEY DE BIOT-SAVART
Ilustración de la ecuación de Biot-Savart.
La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias. En el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud
del circuito recorrido por una corriente
crea una contribución elemental de campo
magnético, , en el punto situado en la posición que apunta el vector quien apunta en dirección a la corriente I:
donde
a una distancia respecto de
,
es la permeabilidad magnética del vacío, y es un vector unitario.
En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dada por:
donde
es la densidad de corriente en el elemento de volumen y es la posición relativa del punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.
En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposición a través de la expresión:
En la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las fuentes del campo. La ley de Biot-Savart es fundamental en magnetostática tanto como la ley de Coulomb lo es en electrostática.
LEY DE BIOT-SAVART GENERALIZADA En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:
donde: es el elemento diferencial de volumen. es la constante magnética.
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE
A PARTIR DE LA LEY DE BIOT Y SAVART
La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart
DIVERGENCIA Aplicando el operador gradiente a la expresión, tenemos:
Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de todo el volumen, el operador no afecta a
Dado que:
Tenemos:
ROTACIONAL Aplicando el operador rotacional tenemos:
. Aplicando la correspondiente identidad vectorial:
en
Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y
conociendo que
Realizando la integración obtenemos finalmente:
Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.
PERMEABILIDAD MAGNÉTICA En física se denomina permeabilidad magnética a la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de ella campos magnéticos, la cual está dada por la relación entre la inducción magnética existente y la intensidad de campo magnético que aparece en el interior de dicho material. La magnitud así definida, el grado de magnetización de un material en respuesta a un campo magnético, se denomina permeabilidad absoluta y se suele representar por el símbolo μ:
Comparación simple de permeabilidades para: ferromagnetos (μf), paramagnetos (μp), diamagnetos (μd) y el vacío (μ0)
donde B es la inducción magnética (también llamada densidad de flujo magnético) en el material, y H es intensidad de campo magnético.
PERMEABILIDAD MAGNÉTICA DEL VACÍO La permeabilidad del vacío, conocida también como constante magnética, se representa mediante el símbolo μ0 y en unidades SI se define como:
La permitividad eléctrica - aparece en la Ley de Coulomb - y la constante magnética del vacío están relacionadas por la fórmula:
donde c representa velocidad de la luz en el espacio vacío.
PERMEABILIDAD RELATIVA, COMPARACIÓN ENTRE MATERIALES Para comparar entre sí los materiales, se entiende la permeabilidad magnética absoluta ( ) como el producto entre la permeabilidad magnética relativa ( ) y la permeabilidad magnética de vacío ( ):
Los materiales se pueden clasificar según su permeabilidad magnética relativa en:
ferromagnéticos, cuyo valor de permeabilidad magnética relativa es muy superior a 1. paramagnéticos o no magnéticos, cuya permeabilidad relativa es aproximadamente 1 (se comportan como el vacío). diamagnéticos, de permeabilidad magnética relativa inferior a 1.
Los materiales ferromagnéticos atraen el campo magnético hacia su interior. Son los materiales que "se pegan a los imanes". Esa propiedad recibe el nombre de ferromagnetismo. Ejemplos de ellos son el hierro y el níquel. Los materiales paramagnéticos son la mayoría de los que encontramos en la naturaleza. No presentan ferromagnetismo, y su reacción frente a los campos magnéticos es muy poco apreciable. Los materiales diamagnéticos repelen el campo magnético, haciendo que éste pase por el exterior del material. En general, esta acción diamagnética es muy débil, y no es comparable al efecto que produce el campo magnético sobre los materiales ferromagnéticos. Un ejemplo de material diamagnético es el cobre. Otro efecto de los campos magnéticos sobre los materiales es el antiferromagnetismo, que resulta en una polarización nula del material, pero produce una ordenación interna de éste. TABLA DE PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE MATERIALES COMUNES Composición aproximada (%) Fe
Ni
Co
Mo
Otros
Lámina
98.5
---
---
---
---
180
2000
Densidad de saturación de flujo (B, gauss) 21 000
Lámina Lámina Lámina Lámina
99.91 99.95 96 97
---------
---------
---------
----4 Si 3 Si
200 5000 500 1500
5000 180 000 7000 30 000
21 500 21 500 19 700 20 000
Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina
54.7 54.7 50 ----21.2
45 45 50 ----78.5
-------------
-------------
2500 4000 4500 2000 3000 8000
25 000 50 000 70 000 35 000 35 000 100 000
16 000 16 000 16 000 15 000 11 000 10 700
Permalloy 4-79
Lámina
16.7
79
---
4
20 000
100 000
8700
Mu metal Supermalloy Permendur Permendur 2V Hiperco Permalloy 2-81 Hierro Carbonyl Ferroxcube III
Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Polvo aislado Polvo aislado Polvo sinterizado
18 15.7 49.7 49 64 17 99.9 ---
--79 79.0 -----------
-----------------
--4.3 05.0 -----------
----------0.3 Mn 0.3 Mn -----------------
20 000 100 000 800 800 650 125 55 1000
100 000 800 000 5000 4500 10 000 130 132 1500
6500 8000 24 500 24 000 24 200 8000 --2500
Material
Presentación
Acero laminado en frío Hierro Hierro purificado Hierro al 4% silicio - grano orientado 45 Permalloy Permalloy 45 Hipernik Monimax Sinimax Permalloy 78
Permeabilidad inicial (B=20, gauss)
Permeabilidad máxima
SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉTICA La susceptibilidad magnética es el grado de magnetización de un material, en respuesta a un campo magnético. Este número se representa con el símbolo χ, y es adimensional.
donde M es la magnetización del material (la intensidad del momento magnético por unidad de volumen) y H es la intensidad del campo magnético externo aplicado. Si χ es positivo, el material se llama paramagnético , y el campo magnético se fortalece por la presencia del material. Si χ es negativa, el material es diamagnético, y el campo magnético se debilita en presencia del material. si χ>>1 es un material ferromagnético. La susceptibilidad magnética y la permeabilidad magnética (μ) están relacionadas por la siguiente fórmula:
donde
es la permeabilidad magnética del vacío.
Concretamente la susceptibilidad magnética de las sustancias se clasifican en: Diamagnéticas: Bi, Cu, Au, Ag, … (χ ~ -10e-5) Paramagnéticas: Al, Sn, O, … (χ ~ 10e-5) Ferromagnéticas: Fe, Co, Ni, … (χ ~ 10e5) La inducción magnética B se relaciona con H mediante la siguiente ecuación: B = µ0 (H+ M)= µ0 (1+ χv)H= µH Donde µ0 es la constante magnética y (1+ χv) es la permeabilidad relativa del material. Por lo tanto la susceptibilidad magnética de volumen χv y la permeabilidad magnética µ, están relacionadas por la siguiente fórmula:
µ= µ0 (1+ χv) Susceptibilidad magnética másica y susceptibilidad magnética molar: Hay otras dos medidas de la susceptibilidad, la susceptibilidad magnética másica (χmass χg o, a veces χm), medida en m3 • kg-1 en SI o en cm3 • g-1 en el CGS y la susceptibilidad magnética molar (χmol) medida en m3 / Mol-1 (SI) o cm3 / mol-1 (CGS) que se definen a continuación, donde ρ es la densidad en kg • m-3 (SI) o en g • cm-3 (CGS) y M es la masa molar en kg • mol-1 (SI) o g / mol-1 (CGS). χmass = χv / ρ (másica) χmol Mχmass = = Mχv / ρ (molar)
PERMITIVIDAD La permitividad (o impropiamente constante dieléctrica) es una constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. La permitividad del vacío es 8,8541878176x10-12 F/m. La permitividad está determinada por la tendencia de un material a polarizarse ante la aplicación de un campo eléctrico y de esa forma anular parcialmente el campo interno del material. Está directamente relacionada con la susceptibilidad eléctrica. Por ejemplo, en un condensador una alta permitividad hace que la misma cantidad de carga eléctrica se almacene con un campo eléctrico menor y, por ende, a un potencial menor, llevando a una mayor capacitancia del mismo.
Explicación En electromagnetismo se define un campo de desplazamiento eléctrico D, que representa cómo un campo eléctrico E influirá la organización de las cargas eléctricas en el medio, por ejemplo, redistribución de cargas y reorientación de dipolos eléctricos. La relación de ambos campos (para medios lineales) con la permitividad es
donde ε es un escalar si el medio es isótropo o un tensor de segundo orden en otros casos. La permitividad, tomada en función de la frecuencia, puede tomar valores reales o complejos. Generalmente no es una constante ya que puede variar con la posición en el medio, la frecuencia del campo aplicado, la humedad o la temperatura, entre otros parámetros. En un medio no lineal, la permitividad puede depender de la magnitud del campo eléctrico. La unidad de medida en el Sistema Internacional es el faradio por metro (F/m). El campo de desplazamiento D se mide en culombios por metro cuadrado (C/m2), mientras que el campo eléctrico E se mide en voltios por metro (V/m). D y E representan el mismo fenómeno, la interacción entre objetos cargados. D está relacionado con las densidades de carga asociada a esta interacción. E se relaciona con las fuerzas y diferencias de potencial involucradas. La permitividad del vacío , es el factor de escala que relaciona los valores de D y E en ese medio. es igual a 8.8541878176...×10-12 F/m.
PERMITIVIDAD DEL VACÍO La permitividad del vacío
es el cociente de los campos D/E en ese medio. También aparece en la ley de
Coulomb como parte de la constante de fuerza de Coulomb, unitarias en el vacío.
, que expresa la atracción entre dos cargas
donde es la velocidad de la luz y es la permeabilidad magnética del vacío. Estas tres constantes están totalmente definidas en unidades del SI.
PERMITIVIDADES ABSOLUTA Y RELATIVA La permitividad de un material se da normalmente en relación con la del vacío, denominándose permitividad relativa, (también llamada constante dieléctrica en algunos casos). La permitividad absoluta se calcula multiplicando la permitividad relativa por la del vacío:
donde es la susceptibilidad eléctrica del material. En la siguiente tabla se muestran las permitividades relativas de algunos dieléctricos:
Material Aceite mineral Agua Caucho Acetona Aire Papel duro Agua destilada PVC Baquelita Vidrio
(adimensional) 19,5 78,5 de 20 a 50 191 1,00058986 ± 0.00000050 (en CNPT, para 0,9 MHz),1 49,5 88,0 a 0 °C 55,3 a 100 °C2 de 30 a 40 de 50 a 80 de 40 a 60
LA PERMITIVIDAD EN LOS MEDIOS En el caso común de un medio isótropo, D y E son vectores paralelos y es un escalar, pero en medios anisótropos, este no es el caso y es un tensor de rango 2 (lo que causa birrefringencia). La permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética de un medio determinan la velocidad de fase v de radiación electromagnética dentro del mismo:
Cuando un campo eléctrico es aplicado a un medio, una corriente fluye. La corriente total que discurre por un material real está, en general, compuesta de dos partes: una corriente de conducción y una de desplazamiento. La corriente de desplazamiento puede pensarse como la respuesta elástica de un material al campo eléctrico aplicado. Al aumentar la magnitud del campo eléctrico, la corriente de desplazamiento es almacenada en el material, y cuando la intensidad del campo disminuye, el material libera la corriente. El desplazamiento eléctrico se puede separar entre una contribución del vacío y una del material:
donde P es la polarización del medio y es la susceptibilidad eléctrica. Se deduce que la permitividad relativa y la susceptibilidad de un material están relacionadas, .
ABSORCIÓN En electricidad, se llama absorción a la propiedad de un dieléctrico utilizado en un condensador por el cual fluye una pequeña corriente de carga después de que las placas han alcanzado el potencial final, y por el que también fluye una pequeña corriente de descarga después de haber sido cortocircuitadas las placas, al haber interrumpido el cortocircuito durante unos minutos, y nuevamente haber sido cortocircuitadas. Denominada también saturación dieléctrica.
DIELÉCTRICO Se denomina dieléctrico al material mal conductor de electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante eléctrico, y además si es sometido a un campo eléctrico externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno, a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.1 Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la cerámica, la goma, la mica, la cera, el papel, la madera seca, la porcelana, algunas grasas para uso industrial y electrónico y la baquelita. En cuanto a los gases se utilizan como dieléctricos sobre todo el aire, el nitrógeno y el hexafluoruro de azufre. El término "dieléctrico" fue concebido por William Whewell (del griego "dia" que significa "a través de") en respuesta a una petición de Michael Faraday.2
Aplicaciones Los dieléctricos más utilizados son el aire, el papel y la goma. La introducción de un dieléctrico en un condensador aislado de una batería, tiene las siguientes consecuencias:
Disminuye el campo eléctrico entre las placas del condensador. Disminuye la diferencia de potencial entre las placas del condensador, en una relación Vi/k. Aumenta la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica). Aumento por tanto de la capacidad eléctrica del condensador en k veces. La carga no se ve afectada, ya que permanece la misma que ha sido cargada cuando el condensador estuvo sometido a un voltaje.
Normalmente un dieléctrico se vuelve conductor cuando se sobrepasa el campo de ruptura del dieléctrico. Esta tensión máxima se denomina rigidez dieléctrica. Es decir, si aumentamos mucho el campo eléctrico que pasa por el dieléctrico convertiremos dicho material en un conductor. Tenemos que la capacitancia con un dieléctrico llenando todo el interior del condensador(plano-paralelo) está dado por:
(donde Eo es la permitividad eléctrica del vacío).
CONDENSADOR ELÉCTRICO
CONDENSADOR
Varios tipos de condensadores
Tipo
Pasivo
Principio de
Capacidad eléctrica
funcionamiento
Fecha de
Ewald Georg von Kleist (1745)
invención
Primera
Aproximadamente por 1900
producción
Símbolo electrónico
Configuración
En condensadores electrolíticos: negativo y positivo; en cerámicos: no presentan polaridad
Un condensador (en inglés, capacitor,1 2 nombre por el cual se le conoce frecuentemente en el ámbito de la electrónica y otras ramas de la física aplicada), es un dispositivo pasivo, utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar energía sustentando un campo eléctrico. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de láminas o placas, en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total.
Aunque desde el punto de vista físico un condensador no almacena carga ni corriente eléctrica, sino simplemente energía mecánica latente; al ser introducido en un circuito se comporta en la práctica como un elemento "capaz" de almacenar la energía eléctrica que recibe durante el periodo de carga, la misma energía que cede después durante el periodo de descarga.
TERMINOLOGÍA Dentro de las ramas del estudio de la electricidad y la electrónica, se ha hecho una adopción de facto del anglicismo capacitor para designar al condensador, a pesar de que en nuestra lengua existe ya el término Condensador (del latín "condensare"), que tiene el mismo significado del término en inglés para este mismo elemento, haciendo innecesaria la adopción de un nuevo término para referirse al mismo dispositivo.3
FUNCIONAMIENTO La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacidad o capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1 voltio, estas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio. La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se suele indicar la capacidad en micro- µF = 10-6, nano- nF = 10-9 o pico- pF = 10-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están hechos de carbón activado para conseguir una gran área relativa y tienen una separación molecular entre las "placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos. El valor de la capacidad de un condensador viene definido por la siguiente fórmula:
en donde: : Capacitancia : Carga eléctrica almacenada en la placa 1. : Diferencia de potencial entre la placa 1 y la 2. Nótese que en la definición de capacidad es indiferente que se considere la carga de la placa positiva o la de la negativa, ya que
aunque por convenio se suele considerar la carga de la placa positiva. En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las placas o armaduras como la naturaleza del material dieléctrico son sumamente variables. Existen condensadores formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la electrólisis.
ENERGÍA ALMACENADA El condensador almacena carga eléctrica, debido a la presencia de un campo eléctrico en su interior, cuando aumenta la diferencia de potencial en sus terminales, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede obtener que la energía , almacenada por un condensador con capacidad , que es conectado a una diferencia de potencial , viene dada por: Fórmula para cualesquiera valores de tensión inicial y tensión final:
Donde es la carga inicial.
es la carga final.
es la tensión inicial.
es la tensión final.
Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en las que se aprovecha la capacidad que aparece entre la puerta y el canal de los transistores MOS para ahorrar componentes. CARGA Y DESCARGA Al conectar un condensador en un circuito, la corriente empieza a circular por el mismo. A la vez, el condensador va acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se encuentra totalmente cargado, deja de circular corriente por el circuito. Si se quita la fuente y se coloca el condensador y la resistencia en paralelo, la carga empieza a fluir de una de las placas del condensador a la otra a través de la resistencia, hasta que la carga es nula en las dos placas. En este caso, la corriente circulará en sentido contrario al que circulaba mientras el condensador se estaba cargando. Carga
Descarga
Donde: V(t) es la tensión en el condensador. Vi es la tensión o diferencia de potencial eléctrico inicial (t=0) entre las placas del condensador. Vf es la tensión o diferencia de potencial eléctrico final (a régimen estacionario t>=4RC) entre las placas del condensador. I(t) la intensidad de corriente que circula por el circuito. RC es la capacitancia del condensador en faradios multiplicada por la resistencia del circuito en Ohmios, llamada constante de tiempo.
EN CORRIENTE ALTERNA En CA, un condensador ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente que recibe el nombre de reactancia capacitiva, XC, cuyo valor viene dado por la inversa del producto de la pulsación ( ) por la capacidad, C:
Si la pulsación se expresa en radianes por segundo (rad/s) y la capacidad en faradios (F), la reactancia resultará en ohmios. De acuerdo con la ley de Ohm, la corriente alterna que circule por el condensador se adelantada 90º ( respecto a la tensión aplicada.
)
ASOCIACIONES DE CONDENSADORES
Asociación serie general.
ASOCIACIÓN PARALELO GENERAL. Los condensadores pueden asociarse en serie, paralelo o de forma mixta. En estos casos, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:
y para la asociación en paralelo:
Es decir, el sumatorio de todas las capacidades de los condensadores conectados en paralelo. Es fácil demostrar estas dos expresiones, para la primera solo hay que tener en cuenta que la carga almacenada en las placas es la misma en ambos condensadores (se tiene que inducir la misma cantidad de carga entre las placas y por tanto cambia la diferencia de potencial para mantener la capacitancia de cada uno), y por otro lado en la asociación en "paralelo", se tiene que la diferencia de potencial entre ambas placas tiene que ser la misma (debido al modo en el que están conectados), así que cambiará la cantidad de carga. Como esta se encuentra en el numerador (
) la suma de capacidades será simplemente la suma algebraica.
Para la asociación mixta se procederá de forma análoga con las resistencias.
CONDENSADORES VARIABLES Un condensador variable es aquel en el cual se pueda cambiar el valor de su capacidad. En el caso de un condensador plano, la capacidad puede expresarse por la siguiente ecuación:
donde: es la permitividad del vacío ≈ 8,854187817... × 10−12 F·m−1 es la constante dieléctrica o permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas; A es el área efectiva de las placas; y d es la distancia entre las placas o espesor del dieléctrico. Para tener condensador variable hay que hacer que por lo menos una de las tres últimas expresiones cambien de valor. De este modo, se puede tener un condensador en el que una de las placas sea móvil, por lo tanto varía d y la capacidad dependerá de ese desplazamiento, lo cual podría ser utilizado, por ejemplo, como sensor de desplazamiento. Otro tipo de condensador variable se presenta en los diodos Varicap.
COMPORTAMIENTOS IDEAL Y REAL
Fig. 1: Condensador ideal.
El condensador ideal (figura 1) puede definirse a partir de la siguiente ecuación diferencial:
donde C es la capacidad, u(t) es la función diferencia de potencial aplicada a sus terminales e i(t) la corriente resultante que circula. COMPORTAMIENTO EN CORRIENTE CONTINUA Un condensador real en CC (DC en inglés) se comporta prácticamente como uno ideal, es decir, como un circuito abierto. Esto es así en régimen permanente ya que en régimen transitorio, esto es, al conectar o desconectar un circuito con condensador, suceden fenómenos eléctricos transitorios que inciden sobre la d.d.p. en sus bornes (ver circuitos serie RL y RC).
Comportamiento en corriente alterna
Fig. 2: Diagrama cartesiano de las tensiones y corriente en un condensador.
Al conectar una CA senoidal v(t) a un condensador circulará una corriente i(t), también senoidal, que lo cargará, originando en sus bornes una caída de tensión, -vc(t), cuyo valor absoluto puede demostrarse que es igual al de v(t). Al decir que por el condensador «circula» una corriente, se debe puntualizar que, en realidad, dicha corriente nunca atraviesa su dieléctrico. Lo que sucede es que el condensador se carga y descarga al ritmo de la frecuencia de v(t), por lo que la corriente circula externamente entre sus armaduras.
Fig. 3: Diagrama fasorial.
El fenómeno físico del comportamiento del condensador en CA se puede observar en la figura 2. Entre los 0º y los 90º i(t) va disminuyendo desde su valor máximo positivo a medida que aumenta su tensión de carga vc(t), llegando a ser nula cuando alcanza el valor máximo negativo a los 90º, puesto que la suma de tensiones es cero (vc(t)+ v(t) = 0) en ese momento. Entre los 90º y los 180º v(t) disminuye, y el condensador comienza a descargarse, disminuyendo por lo tanto vc(t). En los 180º el condensador está completamente descargado, alcanzando i(t) su valor máximo negativo. De los 180º a los 360º el razonamiento es similar al anterior. De todo lo anterior se deduce que la corriente queda adelantada 90º respecto de la tensión aplicada. Considerando, por lo tanto, un condensador C, como el de la figura 1, al que se aplica una tensión alterna de valor:
De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna, adelantada 90º ( (figura 4), de valor:
) respecto a la tensión aplicada
donde
. Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en forma polar:
Figura 4. Circuitos equivalentes de un condensador en CA.
Y operando matemáticamente:
Por lo tanto, en los circuitos de CA, un condensador ideal se puede asimilar a una magnitud compleja sin parte real y parte imaginaria negativa:
En el condensador real, habrá que tener en cuenta la resistencia de pérdidas de su dieléctrico, RC, pudiendo ser su circuito equivalente, o modelo, el que aparece en la figura 4a) o 4b) dependiendo del tipo de condensador y de la frecuencia a la que se trabaje, aunque para análisis más precisos pueden utilizarse modelos más complejos que los anteriores.
TIPOS DE DIELÉCTRICO UTILIZADOS EN CONDENSADORES
Condensadores electrolíticos axiales.
Condensadores de poliéster.
Condensadores electrolíticos de tantalio.
Condensadores cerámicos, "SMD (montaje superficial)" y de "disco".
Condensador variable de una vieja radio AM.
Condensadores modernos.
Condensadores de aire. Se trata de condensadores, normalmente de placas paralelas, con dieléctrico de aire y encapsulados en vidrio. Como la permitividad eléctrica relativa es la unidad, sólo permite valores de capacidad muy pequeños. Se utilizó en radio y radar, pues carecen de pérdidas y polarización en el dieléctrico, funcionando bien a frecuencias elevadas. Condensadores de mica. La mica posee varias propiedades que la hacen adecuada para dieléctrico de condensadores: bajas pérdidas, exfoliación en láminas finas, soporta altas temperaturas y no se degrada por oxidación o con la humedad. Sobre una cara de la lámina de mica se deposita aluminio, que forma una armadura. Se apilan varias de estas láminas, soldando los extremos alternativamente a cada uno de los terminales. Estos condensadores funcionan bien en altas frecuencias y soportan tensiones elevadas, pero son caros y se ven gradualmente sustituidos por otros tipos. Condensadores de papel. El dieléctrico es papel parafinado, bakelizado o sometido a algún otro tratamiento que reduce su higroscopia y aumenta el aislamiento. Se apilan dos cintas de papel, una de aluminio, otras dos de papel y otra de aluminio y se enrollan en espiral. Las cintas de aluminio constituyen las dos armaduras, que se conectan a sendos terminales. Se utilizan dos cintas de papel para evitar los poros que pueden presentar. o Condensadores autorregenerables. Los condensadores de papel tienen aplicaciones en ambientes industriales. Los condensadores autorregenerables son condensadores de papel, pero la armadura se realiza depositando aluminio sobre el papel. Ante una situación de sobrecarga que supere la rigidez dieléctrica del dieléctrico, el papel se rompe en algún punto, produciéndose un cortocircuito entre las armaduras, pero este corto provoca una alta densidad de corriente por las armaduras en la zona de la rotura. Esta corriente funde la fina capa de aluminio que rodea al cortocircuito, restableciendo el aislamiento entre las armaduras. Condensadores electrolíticos. Es un tipo de condensador que utiliza un electrolito, como su primera armadura, la cual actúa como cátodo. Con la tensión adecuada, el electrolito deposita una capa aislante (la cual es en general una capa muy fina de óxido de aluminio) sobre la segunda armadura o cuba (ánodo), consiguiendo así capacidades muy elevadas. Son inadecuados para funcionar con corriente alterna. La polarización inversa destruye el óxido, produciendo un corto entre el electrolito y la cuba, aumentando la temperatura, y por tanto, arde o estalla el condensador consecuentemente. Existen varios tipos, según su segunda armadura y electrolito empleados: o Condensadores de aluminio. Es el tipo normal. La cuba es de aluminio y el electrolito una disolución de ácido bórico. Funciona bien a bajas frecuencias, pero presenta pérdidas grandes a frecuencias medias y altas. Se emplea en fuentes de alimentación y equipos de audio. Muy utilizado en fuentes de alimentación conmutadas. o Condensadores de tantalio (tántalos). Es otro condensador electrolítico, pero emplea tantalio en lugar de aluminio. Consigue corrientes de pérdidas bajas, mucho menores que en los condensadores de aluminio. Suelen tener mejor relación capacidad/volumen. o Condensadores bipolares (para corriente alterna). Están formados por dos condensadores electrolíticos en serie inversa, utilizados en caso de que la corriente pueda invertirse. Son inservibles para altas frecuencias. Condensadores de poliéster o Mylar. Está formado por láminas delgadas de poliéster sobre las que se deposita aluminio, que forma las armaduras. Se apilan estas láminas y se conectan por los extremos. Del mismo modo, también se encuentran condensadores de policarbonato y polipropileno. Condensadores de poliestireno también conocidos comúnmente como Styroflex (marca registrada de Siemens). Otro tipo de condensadores de plástico, muy utilizado en radio, por disponer de coeficiente de temperatura inverso a las bobinas de sintonía, logrando de este modo estabilidad en los circuitos resonantes. Condensadores cerámicos. Utiliza cerámicas de varios tipos para formar el dieléctrico. Existen diferentes tipos formados por una sola lámina de dieléctrico, pero también los hay formados por láminas apiladas. Dependiendo del tipo, funcionan a distintas frecuencias, llegando hasta las microondas. Condensadores síncronos. Es un motor síncrono que se comporta como un condensador. Dieléctrico variable. Este tipo de condensador tiene una armadura móvil que gira en torno a un eje, permitiendo que se introduzca más o menos dentro de la otra. El perfil de la armadura suele ser tal que la variación de capacidad es proporcional al logaritmo del ángulo que gira el eje.
o
Condensadores de ajuste. Son tipos especiales de condensadores variables. Las armaduras son semicirculares, pudiendo girar una de ellas en torno al centro, variando así la capacidad. Otro tipo se basa en acercar las armaduras, mediante un tornillo que las aprieta.
USOS Los condensadores suelen usarse para:
Baterías, por su cualidad de almacenar energía. Memorias, por la misma cualidad. Filtros. Adaptación de impedancias, haciéndolas resonar a una frecuencia dada con otros componentes. Demodular AM, junto con un diodo. El flash de las cámaras fotográficas. Tubos fluorescentes. Mantener corriente en el circuito y evitar caídas de tensión.
CAPACIDAD ELÉCTRICA En electromagnetismo y electrónica, la capacitancia1 o capacidad eléctrica es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. La capacitancia también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para una diferencia de potencial eléctrico dada. El dispositivo más común que almacena energía de esta forma es el condensador. La relación entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del condensador y la carga eléctrica almacenada en éste, se describe mediante la siguiente expresión matemática:
donde:
es la capacidad, medida en faradios (en honor al físico experimental Michael Faraday); esta unidad es relativamente grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o picofaradio. es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios; es la diferencia de potencial (o tensión), medida en voltios.
Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva y que depende de la geometría del condensador considerado (de placas paralelas, cilíndrico, esférico). Otro factor del que depende es del dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del condensador. Cuanto mayor sea la constante dieléctrica del material no conductor introducido, mayor es la capacidad. En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa gracias a la siguiente ecuación diferencial, que se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior.
Donde i representa la corriente eléctrica, medida en amperios.
ENERGÍA
La energía almacenada en un condensador, medida en julios, es igual al trabajo realizado para cargarlo. Consideremos un condensador con una capacidad C, con una carga +q en una placa y -q en la otra. Para mover una pequeña cantidad de carga debe realizar un trabajo :
desde una placa hacia la otra en sentido contrario a la diferencia de potencial se
donde W es el trabajo realizado, medido en julios; q es la carga, medida en coulombios; C es la capacitancia, medida en faradios. Es decir, para cargar un condensador hay que realizar un trabajo y parte de este trabajo queda almacenado en forma de energía potencial electrostática. Se puede calcular la energía almacenada en un condensador integrando esta ecuación. Si se comienza con un condensador descargado (q = 0) y se mueven cargas desde una de las placas hacia la otra hasta que adquieran cargas +Q y -Q respectivamente, se debe realizar un trabajo W:
Combinando esta expresión con la ecuación de arriba para la capacidad, obtenemos:
donde
W es la energía, medida en julios; C es la capacidad, medida en faradios; V es la diferencia de potencial, medido en voltios; Q es la carga almacenada, medida en coulombios.
AUTOCAPACIDAD Usualmente el término capacidad se utiliza como abreviatura del término capacidad mutua entre dos conductores cercanos, como las placas de un condensador. También existe una propiedad llamada auto-capacidad, que es la cantidad de carga eléctrica que debe agregarse a un conductor aislado para aumentar su potencial en un voltio, para así calcular la capacidad eléctrica mediante un condensador paralelo o plano
SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA La susceptibilidad eléctrica χe según gran parte de los autores es la constante de proporcionalidad (que también puede ser un tensor) que relaciona el campo eléctrico aplicado E con la polarización eléctrica inducida P:
donde ε0 es la permitividad del vacío. También relaciona la permitividad del medio estudiado respecto al del vacío:
Propiedades
En el vacío la susceptibilidad eléctrica es nula.
Siempre es ≥ 0.
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO En electromagnetismo, el desplazamiento eléctrico es un campo vectorial
función de la posición en el
espacio y del tiempo , o también función de la posición en el espacio y de la frecuencia , que aparece en las ecuaciones de Maxwell. Es una generalización del campo eléctrico en presencia de un dieléctrico. A veces también se denomina campo de desplazamiento eléctrico, densidad de flujo eléctrico o excitación eléctrica. En la mayor parte de los materiales
puede ser calculado como
donde es la permitividad eléctrica del material, que en un medio lineal, no isótropo es un tensor de segundo orden (una matriz). En el vacío
.
UNIDADES El Sistema Internacional de Unidades
' se mide en culombios por metro cuadrado, es decir C/m2.
La utilización de estas unidades resulta de la ecuación de Ampère-Maxwell:
donde se expresa en amperios por metro (A.m-1), y en Amperios por metro cuadrado (A.m-2). tiene que ser expresado en amperios por metro cuadrado por segundo (A.m-2.s), puesto que el culombio es por definición la cantidad de electricidad que atraviesa una sección de un conductor recurrido por una corriente de intensidad de 1 amperio durante 1 segundo (1 C = 1 A.s). Si medimos B i H en teslas y E y D en newtons por coulombs, la ecuación deviene:
Que muestra por qué se prefiere expresar B y H con unidades diferentes que D y E. Las unidades escogidas han variado a lo largo de la historia, por ejemplo en sistema de unidades electromagnéticas, en lo que la unidad de carga se define como en las mismas unidades.
RELACIÓN CON EL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
(adimensional), D y E se expresan
En general, se considera que un medio lineal relación
está relacionado con el campo eléctrico
por la
donde representa la permitividad eléctrica absoluta del medio, que es una matriz 3x3 en los medios anisótropos. Esta relación no es universal, por ejemplo: no afecta a los medios eléctricamente no lineales ( de
que dependen también de los términos cuadráticos
),
ni los medios con la propiedad de quiralidad ( campo magnético
que dependen linealmente de
pero también del
).
DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO EN UN CONDENSADOR Para un condensador, la densidad de carga eléctrica en las placas es igual al valor del campo D entre las placas. Eso se deduce directamente de la ley de Gauss, si integramos en una pequeña caja rectangular las placas del condensador:
donde A representa el área orientada de la caja y Q la carga acumulada por el condensador. La parte de la caja que está fuera de las placas tiene un campo nulo, así esta parte de la integral es cero. En los extremos de la caja, es perpendicular al campo, por lo tanto esta parte de la integral también es cero. Al final tenemos que D es constante entre las placas:
que representa la densidad de carga de las placas.
LEY DE GAUSS En física la ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado. Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo magnetostático.
FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO
Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal.
El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico. La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores
, cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue:
(1) O sea:
(2)
FLUJO PARA UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA EN PRESENCIA DE UN CAMPO UNIFORME
Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica. Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme
tal como muestra la figura:
El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:
(3) Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de son todos paralelos.
,
tiene un valor constante y los vectores
Entonces:
(4) siendo
el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:
(5) Finalmente, para la superficie cilíndrica:
(6) Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro. (7)
FLUJO PARA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CON UNA CARGA PUNTUAL EN SU INTERIOR
Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie superficie esférica.
, y el campo es constante en todos los puntos de la
En consecuencia:
(8) Deducciones DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GAUSS A PARTIR DE LA LEY DE COULOMB Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación. El ángulo sólido
que es subtendido por
sobre una superficie esférica, se define como:
siendo el radio de la esfera. como el área total de la esfera es
el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:
la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a normal, que es:
, se busca la proyección
Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:
De esta manera es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:
que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.
FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL DE LA LEY DE GAUSS FORMA DIFERENCIAL DE LA LEY DE GAUSS Tomando la ley de Gauss en forma integral.
Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:
Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío). Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico
. de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como
Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.
FORMA INTEGRAL DE LA LEY DE GAUSS Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:
donde es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, es la carga total encerrada dentro del área A, es la densidad de carga en un punto de y es la permitividad eléctrica del vacío.
INTERPRETACIÓN
La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell. Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está. Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss. Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.
APLICACIONES DISTRIBUCIÓN LINEAL DE CARGA Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:
Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).
Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:
DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA DE CARGA
Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:
Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:
Como se demostró en una sección anterior
y teniendo en cuenta que según la ley de Gauss
, se obtiene:
Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:
Y para puntos exteriores:
En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.
LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETOSTÁTICO
Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como
Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo. En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como
donde
densidad de corriente
, la cual obliga a modificar la ley de Faraday
CASO GRAVITACIONAL Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe
siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean. Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA La inducción electromagnética es el fenómeno que origina la producción de una fuerza electromotriz (f.e.m. o tensión) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magnético variable, o bien en un medio móvil respecto a un campo magnético estático. Es así que, cuando dicho cuerpo es un conductor, se produce una corriente inducida. Este fenómeno fue descubierto por Michael Faraday,en 1830, quien lo expresó indicando que la magnitud de la tensión inducida es proporcional a la variación del flujo magnético (Ley de Faraday). Por otra parte, Heinrich Lenz comprobó que la corriente debida a la f.e.m. inducida se opone al cambio de flujo magnético, de forma tal que la corriente tiende a mantener el flujo. Esto es válido tanto para el caso en que la intensidad del flujo varíe, o que el cuerpo conductor se mueva respecto de él.
Esquema del principio de la inducción electromagnética
DEFINICIÓN MATEMÁTICA La ley de inducción de Faraday establece que la Fuerza Electromotriz inducida en un circuito es igual a menos la derivada del flujo magnético con respecto del tiempo. Matemáticamente se puede expresar como:
= Flujo magnético en weber = Tiempo en segundos y el signo
es debido a la Ley de Lenz.
La inducción electromagnética es el principio fundamental sobre el cual operan transformadores, generadores, motores eléctricos, la vitrocerámica de inducción y la mayoría de las demás máquinas eléctricas. De forma más general, las ecuaciones que describen el fenómeno son:
FUERZA ELECTROMOTRIZ La fuerza electromotriz(FEM) es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es una característica de cada generador eléctrico. Con carácter general puede explicarse por la existencia de un campo electromotor cuya circulación,
, define la fuerza electromotriz del generador.
Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga positiva del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Culombios de dicha carga. Esto se justifica en el hecho de que cuando circula esta unidad de carga por el circuito exterior al generador, desde el polo positivo al negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de energía (mecánica, química, etcétera) para transportarla por el interior desde un punto de menor potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo por el cual sale). La FEM se mide en voltios, al igual que el potencial eléctrico. Por lo que queda que:
Se relaciona con la diferencia de potencial entre los bornes y la resistencia interna del generador mediante la fórmula (el producto es la caída de potencial que se produce en el interior del generador a causa de la resistencia óhmica que ofrece al paso de la corriente). La FEM de un generador coincide con la diferencia de potencial en circuito abierto. La fuerza electromotriz de inducción (o inducida) en un circuito cerrado es igual a la variación del flujo de inducción del campo magnético que lo atraviesa en la unidad de tiempo, lo que se expresa por la fórmula (Ley de Faraday). El signo - (Ley de Lenz) indica que el sentido de la FEM inducida es tal que se opone al descrito por la ley de Faraday (
).
POTENCIAL ELECTRICO Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) tiene, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una energía potencial electrostática. De modo semejante a la relación que se establece entre la fuerza y el campo eléctrico, se puede definir una magnitud escalar, potencial eléctrico (V) que tenga en cuenta la perturbación que la carga fuente q1 produce en un punto del espacio, de manera que cuando se sitúa en ese punto la carga de prueba, el sistema adquiere una energía potencial. El potencial eléctrico creado por una carga q1 en un punto a una distancia r se define como:
por lo que una carga de prueba q situada en ese punto tendrá una energía potencial U dada por:
El potencial depende sólo de la carga fuente y sus unidades en el Sistema Internacional son los voltios (V). El origen para el potencial se toma en el infinito, para mantener el criterio elegido para la energía. Para calcular el potencial en un punto generado por varias cargas fuente se suman los potenciales creados por cada una de ellas, teniendo en cuenta que es una magnitud escalar y que será positivo o negativo dependiendo del signo de la carga fuente. El trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar una carga q desde un punto A a un punto B se puede expresar entonces en función de la diferencia de potencial entre A y B:
Bajo la única acción de la fuerza electrostática, todas las cargas tienden a moverse de modo que el trabajo de la fuerza sea positivo, es decir, de modo que disminuye su energía potencial. Esto significa que:
. las cargas de prueba positivas se mueven hacia donde el potencial eléctrico disminuye y las cargas de prueba negativas se mueven hacia donde el potencial aumenta
Recordando la definición de trabajo de una fuerza:
Podemos obtener la relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre dos puntos:
De esta expresión se deduce que en una región del espacio en la que el campo eléctrico es nulo, el potencial es constante.
Para calcular el campo eléctrico a partir del potencial se utiliza el operador gradiente, de modo análogo a cómo se obtiene la fuerza a partir de la energía potencial:
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Las superficies equipotenciales son aquellas en las que el potencial toma un valor constante. Por ejemplo, las superficies equipotenciales creadas por cargas puntuales son esferas concéntricas centradas en la carga, como se deduce de la definición de potencial (r = cte).
Superficies equipotenciales creadas por una carga puntual positiva (a) y otra negativa (b)
Si recordamos la expresión para el trabajo, es evidente que: Cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial la fuerza electrostática no realiza trabajo, puesto que la ΔV es nula.
Por otra parte, para que el trabajo realizado por una fuerza sea nulo, ésta debe ser perpendicular al desplazamiento, por lo que el campo eléctrico (paralelo a la fuerza) es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales. En la figura anterior (a) se observa que en el desplazamiento sobre la superficie equipotencial desde el punto A hasta el B el campo eléctrico es perpendicular al desplazamiento. Las propiedades de las superficies equipotenciales se pueden resumir en: o
Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y se dirigen hacia donde el potencial disminuye.
o
El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.
Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.
FUERZA ELECTROSTATICA – ENERGIA POTENCIAL Sean las dos cargas puntuales q1 y q separadas una distancia r, que se encuentran en reposo con respecto al origen O del sistema de referencia inercial. La fuerza que la carga q1 ejerce sobre q se denomina fuerza electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:
donde K es una constante denominada constante electrostática que depende del medio y ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.
El vector ur es un vector unitario que va desde la carga q1 a la carga q de modo que cuando ambas cargas tienen distinto signo (figura (a)) la fuerza electrostática es de atracción, mientras que si tienen el mismo signo la fuerza electrostática es de repulsión (figura (b)). Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina carga fuente a la carga que ejerce la fuerza (en este caso q1) y carga testigo o carga de prueba a la carga sobre la que se calcula la fuerza (q). La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo que la carga q1 experimentará una fuerza de igual módulo y sentido contrario que la que experimenta q. Si la carga q1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales, la fuerza total sobre ella sería la resultante de todas las fuerzas que ejercen sobre ella las N cargas.
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA La ley de Coulomb es formalmente igual a la ley de Gravitación Universal de Newton, que permite calcular la fuerza de atracción entre dos masas. Al igual que esta última, la fuerza electrostática dada por la ley de Coulomb es una fuerza conservativa. Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria y se puede calcular a partir de una función escalar denominada energía potencia electrostática U. Supongamos que bajo la acción de la fuerza electrostática la carga de prueba q2 se desplaza desde un punto A a un punto B, entonces el trabajo W realizado por la fuerza es:
Cuando se encuentra bajo la única acción de la fuerza electrostática la carga de prueba se moverá siempre en el sentido en el que disminuye su energía potencial (UA > UB); de este modo el trabajo de la fuerza es positivo, es decir, corresponde a una fuerza que va en el mismo sentido del movimiento. Por otra parte, si aplicamos la definición de trabajo a la fuerza electrostática expresando ésta a partir de la Ley de Coulomb, se obtiene:
Integrando:
lo que, comparando con la expresión inicial para el trabajo, nos permite identificar la variación de energía potencial. De forma general se toma como origen para la energía potencial el infinito, de modo que cuando la distancia entre las dos cargas es infinita, la energía potencial entre ambas es nula. Por tanto, la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales q1 y q2 que están separadas una distancia r es:
Cuando una carga q se encuentra en presencia de N cargas puntuales, la energía potencial total se calcula a partir del sumatorio:
Conocida la expresión de la energía potencial se puede obtener la fuerza a partir del operador gradiente. Si lo aplicamos al caso de dos cargas:
Que es la expresión de la fuerza dada por la Ley de Coulomb.
RESUMEN DE MAGNITUDES ELECTROSTATICAS En el siguiente cuadro se presenta un resumen de las principales magnitudes que describen la interacción electrostática, así como la relación entre ellas. En ellas, q1 representa la carga fuente y q la carga de prueba. Las magnitudes recuadradas sólo son válidas para cargas puntuales, mientras que las relaciones entre ellas son generales. Si pinchas sobre las ecuaciones recuadradas irás a la página donde se define la magnitud correspondiente. Campo eléctrico (N/C)
Potencial eléctrico (V)
Fuerza electrostática (N)
Energía potencial eléctrica (J)
En la parte superior del cuadro están las magnitudes vectoriales (campo y fuerza), y en la parte inferior las escalares correspondientes (potencial y energía potencial). En la columna de la izquierda las magnitudes dependen sólo de la carga fuente (campo y potencial) y en la columna de la derecha las magnitudes dependen de la carga fuente y de la carga de prueba (fuerza y energía).
