Breve trabajo sobre las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo entre sistemas de referencia inerciales
Descripción completa
Física 3 Versión Mejorada Hugo Medina Guzmán Física 3. Capítulo 6. Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Descripción: Física 3 Versión Mejorada Hugo Medina Guzmán Física 3. Capítulo 6. Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
archivo de fisica
Full description
Descripción: Informe 5 de Circuitos Eléctricos I sobre Método de las Ecuaciones de Mallas (Maxwell) de la Universidad Tecnológica del Perú
Ecuaciones de Maxwell y Ondas Electromagnéticas Tema 12
Contenido ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Leyes fundamentales Ley de Ampère-Maxwell Leyes de Maxwell Ecuaciones de Maxwell diferenciales Ecuaciones de Ondas Ondas electromagnéticas (OEM) elocidad de la lu! Espectro electromagnético "elaci#n entre E $ B y c %ensidad de energ&a de las OEM ector de 'oynting ntensidad de la OEM 'resi#n de "adiaci#n Momento lineal de fotones
Contenido ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Leyes fundamentales Ley de Ampère-Maxwell Leyes de Maxwell Ecuaciones de Maxwell diferenciales Ecuaciones de Ondas Ondas electromagnéticas (OEM) elocidad de la lu! Espectro electromagnético "elaci#n entre E $ B y c %ensidad de energ&a de las OEM ector de 'oynting ntensidad de la OEM 'resi#n de "adiaci#n Momento lineal de fotones
Leyes Fundamentales Hasta aquí hemos visto cuatro leyes básicas del electromagnetismo: 1º) La Ley de Gauss (para la electroestática
∮
⋅d S = E
q
(1
2º) La Ley de Faraday
⋅d l = − =∮ E
d B dt
∫
⋅d S ; en que B = B
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática magnetoestática
∮ B⋅d S =!
("
4º) La Ley de Ampère
∮ B⋅d l = i ;
∫
⋅d S e n q u e i = J
(#
(2
Leyes de $mp%re&'a)ell *+,+ 'a)ell en 1-." observ/ que a la corriente de conducci/n i debía agregarse una corriente adicional+ Fue una observaci/n genial basada en la eigencia de preservar la ley de conservaci/n de la corriente en un circuito 0, en la etapa de transiente+ 4l circuito de la 3igura se encuentra en la lacas del capacitor etapa de transiente despu5s de cerrar el uper3icie cerrada interruptor+ 4n el instante en que en 5l eiste una corriente i se echa de menos una corriente igual y que no sea de conducci/n entre las placas del condensador+ e ha dibu6ado una super3icie cerrada que pasa i entre dichas láminas ues bien7 en el lado i8quierdo entra la corriente por el conductor pero en el lado derecho no puede eistir corriente de conducci/n ya que la carga que llega se acumula en las placas+ 9ado que esta carga está aumentando el = E 7 Maxwell campo el5ctrico y con 5l el despla8amiento el5ctrico D representó la variación del flujo de este vector con una corriente.
Ley de $mp%re&'a)ell 'a)ell llam/ a esta corriente como corriente de desplazamiento : i D = 9ado que
= ! n D
d D dt
=
d D⋅d S dt
∫
(
entonces
dq! d d i D = D⋅d S = ! dS = dt dt dt
∫
∫
(;
e ve que esta corriente adicional da cuenta del cambio de la carga libre en el condensador y la ley de $mp%re7 ahora ley de Ampère-Maxell 7 es:
∮ B⋅d l = i i
D
< bien7
∮
⋅d l = i B
(.
d D⋅d S dt
∫
(-
4cuaciones de 'a)ell 4ntonces se conoce a las leyes de 'a)ell 1º) La Ley de Gauss (para la electroestática
∮
⋅d S = E
q
(1
2º) La Ley de Faraday
⋅d l =− =∮ E
d B dt
∫
⋅d S ; en que B = B
(2
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática
∮ B⋅d S =!
("
4º) La Ley de Ampère-Maxell
d ∮ B⋅d l = i ∫ D⋅d S ; enque i =∫ J ⋅d S dt
(-
4cuaciones de 'a)ell 4stas ecuaciones relacionan el comportamiento de estos campos vectoriales en materiales diel5ctricos y paramagn5ticos y7 por supuesto7 en el vacío+ 4s 3recuente encontrarlas en t5rminos de otros vectores7 los que a su ve8 se relacionan por las denomindas ecuaciones constitutivas:
= E D
= H B
y
(=
>eamos las ecuaciones de Maxell di!erenciales 7 algo que ya habiamos anticipado+ 1º) La Ley de Gauss (para la electroestática
∮
⋅d S = E
q
(1
ara cargas distribuidas podemos escribir la carga por
∫
q = dv
4cuaciones de 'a)ell Luego la primera ecuaci/n de 'a)ell se puede escribir 1 ∮ E ⋅d S = ∫ dv E ⋅d dv tenemos or el teorema de ?auss ∮ E S =∫ ∇⋅
E = ∇⋅
(1!
2º) La Ley de Faraday
⋅d l =− =∮ E eg@n el teorema de toAes
d B dt
∫
⋅d S ; en que B = B
E ⋅d l =∫ ∇× ⋅d S ∮ E ∂ B ∇× E = − ∂ t
(11
(2
entonces
4cuaciones de 'a)ell 3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática
∮ B⋅d S =!
("
imilarmente al caso electrostático7 usando el teorema de ?auss
B =! ∇⋅
(12
4º) La Ley de Ampère-Maxell
d ∮ B⋅d l = i ∫ D⋅d S ; enque i =∫ J ⋅d S dt
(-
∂ D d reescribiendo ∮ B⋅d l =∫ J ⋅d S ∫ D⋅d S =∫ J ⋅d S ∂ t dt Bsando teorema de toAes
∂ D ∇× B = J ∂ t
(1"
4cuaciones de 'a)ell 4ntonces las ecuaciones de 'a)ell di3erenciales son:
∇⋅ E = ∂ B ∇× E = − ∂ t
(1! (11
B =! ∇⋅ ∂ D ∇× B = J ∂ t
(12 (1"
Bn caso particular7 es cuando un sistema desprovisto de 3uentes de campo7 esto es con ρ=0 , y J=0 queda regido por las ecuaciones
E =! ∇⋅ ∂ B ∇× E = − ∂ t
(1! (11
B =! ∇⋅ ∂ E ∇× B = ∂ t
(12 (1"
4stas ecuaciones nos indican que si bien un campo magn5tico variable en el tiempo induce un campo el5ctrico7 tambi5n un campo el5ctrico variable en el tiempo induce un campo magn5tico+ 4sto ha sido un paso gigantesco en el pensamiento humano pues nos dice que la “luz” es una onda electromagnética
(1#
"
" t
4sta grá3ica nos da la 3orma de la onda para t 3i6o+
4sta grá3ica nos da la historia de las elongaciones e una coordenada x dada+
' =
ul)&ción
=
2
2 $
(1
=2
(1;
4ntonces7 la ecuaci/n de onda queda y x , t =" cos ' x − t
(1.
j ' x − t
c%n j = −1
(1-
4n " dimensiones7 una onda en cualquier direcci/n queda epresada en t5rminos del vector de onda tridimensional
' = ' x i ' y + ' z '
(1=
4ntonces7 la ecuaci/n de onda tridimensional es
y r , t =" e
j ' ⋅ r − t
(2!
= ∇ −∇ 2 E ∇× ∇× E ∇⋅ E 4n el lado derecho de la ecuaci/n usamos la propiedad vectorial
∂ ∇× B ∂ B − ∇× =− ∂ t ∂ t
∂ ∇× B 2 ∇ ∇⋅ E −∇ E = − ∂ t ero sabemos por ec+ 1! y 1" que
E =! ∇⋅
(1!
∂ E = ∇× B ∂ t
(1"
4ntonces 2 ∂ E ∇ E = 2 ∂ t 2
(22
Cue es la 49 para el campo el5ctrico+ imilarmente para el campo magn5tico se obtiene 2 ∂ B ∇ B = 2 ∂ t 2
(2"
>eri3iquemos esta ecuaci/n en la ec+ de onda7 para el lado i8quierdo
2
2
2
∂ ∂ ∂ j ' ⋅r − t ∇ E = 2 2 E e 2 ∂ x ∂ y ∂ z =−' x2 − ' y2 − ' z 2 E e j ' ⋅r − t =−' 2 E ∇ 2 E 2
ara la parte derecha de la ecuaci/n de onda
∂2 E ∂2 j ' ⋅r − t 2 2 = 2 E e =− E ∂ t ∂ t Dgualando7 tenemos 2
' =
2
(2#
'
=
1
(2
ero7 reempla8ando los valores de la 3recuencia y vector de onda (ec+ 1 y 1; 2 $ = = ≡ v ' 2 $
4sta es la velocidad de la onda7 que en este conteto se designa por c $sí hemos obtenido un logro 3undamental7 que la velocidad de las ondas electromagn5ticas y con ellas la lu8 es c=
1
(2;
= e ! tenemos
c=
1
=
= !
y 1
1
e ! !
≡
c! n
9onde n es el índice de re3racci/n dado por
(2. n= e
(2-
E c0 es la velocidad de las <4' en el vacío y en particular la rapide8 de la lu8 en el vacío dada por c!=
1
! !
(2=
4l índice de re3racci/n no es una constante para el sistema7 ya que debido al 3en/meno denominado di)er)ión de las <4'7 varía con la 3recuencia de ella+ 4sta propiedad describe la 3ormaci/n de colores en un prisma iluminado con lu8 solar+
'edidas de la velocidad de la lu8
%esultado &'m(s)
Fec#a
Autor
M$todo
1;.;
at5lites de *upiter
21#7!!!
1.2;
*ames radley
$berration estalar
"!17!!!
1-#=
$rmand Fi8eau
0ueda dentada
"1:7!!!
1-;2
Leon Foucault
4spe6o rotante
2=-7!!!
G&:!!
1-.=
$lbert 'ichelson
4spe6o rotante
2==7=1!
G&:!
1=!.
0osa7 9orsay
,onstantes electromagn5ticas
2==7.--
G&"!
1=2;
$lbert 'ichelson
4spe6o rotante
2==7.=;
G&#
1=#.
4ssen7 ?orden&mith
0esonador de cavidad
2==7.=2
G&"
1=:-
H+ 9+ Froome
0adio&inter3er/metro
2==7.=2+:
G&!+1
1=."
4vanson et &l
Lasers
2==7.=2+#:.#
G&!+!!1
>alor adoptado
2==7.=2+#:-
1=-"
rror
Hoy c0 es de3inido como eactamente 2==+.=2+#- mIs7 y es usado para de3inir el metro
0elaciones entre E + B y c 4n el caso de las ondas planas7 podemos usar como soluci/n j j ' ⋅ r − t ' ⋅r − t E r , t = E e y B r , t = B e
4n la ec+ (1!7 di3erencial7 es decir7 en
E =! ∇⋅ ∂ ∂ ∂ j ' ⋅r − t ' ⋅r − t j i + ' ⋅ E e ∇⋅ E e = =! ∂ x ∂ y ∂ z =! j ' ⋅ E ,uando el producto escalar es igual a cero7 implica que los vectores ' y E son perpendiculares entre sí+ E ya que el vector velocidad c es paralelo al vector ' 7 se tiene que
⊥ c E $nálogamente usando la ec+ (127
⊥ c B
B =! 7 encontramos que ∇⋅
0elaciones entre E + B y c $demás7 usando la ec+(1"7 es decir
4n el lado i8quierdo
∂ E ∇× B = ∂ t j ∇× B = ∇× B e ' ⋅r − t ∂ ∂ ∂ j ' ⋅r − t i + ' × B e ∇× B = ∂ x ∂ y ∂ z B = j ' × B ∇×
4n el lado derecho
∂ E ∂ j ' ⋅r − t = E e =− j E ∂ t ∂ t
=− j E entonces Dgualando ambas epresiones j ' × B 1 E = B × '
("1
0elaciones entre E + B y c ero como el vector velocidad se puede escribir por '
2
c '
2
c = = =c *
4ntonces7
= B ×c E
' c =
("2
(""
⊥ c E dado que B entonces estos tres vectores son perpendiculares y simplemente E=Bc+ 4stamos en presencia de %nd&) tr&n)ver)&le)7 luego el plano de oscilaci/n de E y B es perpendicular a la direcci/n de propagaci/n c+ Bna <4' posee una in3inidad de planos de oscilaci/n o de polari8aci/n c E campo eléctrico c x
campo magnético
B
9ensidad de energía de la <4' La densida de energía total en un sistema donde coeisten ambos campos es u= ue u Bsando las epresiones encontradas para la densidades el5ctrica y magn5tica en c&3tul%) &nteri%re) 1 1 2 2 u = E B 2 2 ero como E=Bc7 entonces 1 1 2 1 2 2 1 2 2 u = Bc B = c B B 2 2 2 2 2
ero como c =
$nálogamente
1
u=
entonces 2
u = E
1 2 1 2 1 2 B B = B 2 2 ("
("#
>ector de oynting 4l vector de Poynting es un vector cuya direcci/n es la de la propagaci/n de la <4' y cuya magnitud es la densidad de potencia transportada por ella+ 4l concepto de densidad de potencia es similar al de densidad de corriente+ e de3ine del siguiente modo: 1 d5 ("; S = 4 ⊥ dt u unidad de medida7 en el +D+ es 6 789+ eg@n la 3igura7 4 ⊥ es normal a la direcci/n de propagaci/n de la <4'+ La energía que pasa a trav5s de ella en un intervalo dt está contenida en un paralelepípedo de vol@men
E A ⊥ x
B
4 ⊥ dx = 4 ⊥ c dt E el elemento de energía que pasa es
dx
d5 = u 4⊥ c dt
>ector de oynting 4ntonces7 reempla8ando en la ec+(";7 tenemos 1 d5 1 u 4⊥ c dt S = = =u c 4 ⊥ dt 4 ⊥ dt >ectorialmente el vector de ynting es
= u c S
(".
4sto es7 la magnitud del vector de oynting es igual a la densidad de energía por la velocidad de la <4'+ 0eempla8ando la densidad de energía calculada anteriormente (ec+ "7 tenemos 2 S = u c = E c
4n t5rminos de magnitud (arreglando 2
2
S = E c = E E c = E Bc c = E B c = E B >ectorialmente
1 S = E × B
("-
1
1
= EB
Dntensidad de la <4' e de3ine como intensidad de la <4' al valor medio del vector de oynting7 es decir : = S ed : = S ed = u ed c
4ntonces (por ec+".
ero7 habiamos visto que la densidad media es $
1 1 u ed = u dt = $ ! $
∫
,omo
j ' ⋅r − t E r , t = E e
2 E ∫ dt !
2
2
entonces E = E cos
2
t
2 E 1 1 1 , $ 2 2 2 = E 2, u ,ed = ∫ E dt = ∫ E , cos t dt = $
$sí
$
$ !
$
$
$ 2
!
2
4ntonces7 la intensidad es 2
B
u 1 c 2 2 c = c = c E 2e* = B e* : = E c = 2 2 2
("=
resi/n de 0adiaci/n 4s claro que las <4' e6ercen una presi/n sobre las super3icies epuestas a ellas tal como un chorro de agua o un chorro de gas+ >amos a designar a la presi/n con la letra y al momento lineal con 2 e puede tratar la onda como un chorro de !otones que golpean a una pared+ Bn !ot"n es una porci/n de onda electromagn5tica que posee una energía (#! = / * 9onde * es la 3recuencia y / es la constante de lancA+ $sí la energía de una regi/n de la onda se puede epresar como 5 = < = < / *
(#1
4n que < es un n@mero entero+ 4sta idea se designa como el principio de Cuantiación de la energ!a+ eg@n la Termodinámica7 a cierta $=cte7 la presi/n es igual a la densidad de energía es decir =
d5 d5 = y u dv dv
= u
(#2
'omento lineal de los 3otones i las <4' transportan energía7 tambi5n transportan momento lineal por lo que la presi/n que ellas e6ercen sobre una super3icie epuesta a ellas se pueden entender como una 3uer8a o cambio de momento lineal de los 3otones+ = abemos que la presi/n es 4 ⊥ d( dt 1 d = 4 ⊥ dt 1 cd c d u= = 4 ⊥ cdt dv = =
ero por segunda ley de Je)ton Luego ero =u y ampli3icando por c
d5 d= c
c d = u dv = d5 =
5 c
(#"
'omento lineal de los 3otones
4n que en nuestro conteto7 la energía total es > = 5 9ado que los 3otones no tienen masa en reposo7 es decir7 0=07 tambi5n se obtiene 5 = c
(#"
4n el proceso de choque de 3otones contra una pared7 se debe tomar en cuenta la naturale8a de ella+ 4isten 2 situaciones etremas7 que sea per3ectamente absorbente o que sea per3ectamente elástica7 en el primer caso el cambio de momento lineal es =5 / c y en el segundo es = 2 5 / c +
S%lución@ & el c&% &Antic% e)
E 1!! ? / −. B= = "7"" 1! $ = × c "×1! / ) −. B "7"" ×1! $ 4 = H = = !72; ! # ×1!−. $ / 4
C l& inten)id&d de c&% c l& den)id&d de enerA3& 2
−12
u =! E =-7- ×1! d el vect%r de %yntinA e)
2
? J ⋅ 1!! =-7-×1!−- " ? −12
S = u c =-7- ×1! Cien
S = E H =1!!
J
⋅ × " 1! "
7 = 2;7 2 )
? 4 7 ⋅!72; = 2;7 2
S%lución@ 0ecordemos que el vector de oynting está dado por: S = u c 9e donde
