UNAM, Facultad de Ciencias Materia: Relatividad Grupo: 8131
Las Ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones galileanas.
Ricardo Reyes Garza 1. Introducción
Desde el principio de la licenciatura, en la materia de Física Contemporáneo, se menciona que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante transformaciones de Galileo y que su invariancia ante transformaciones de Loretz fue uno de los elementos que apoyó la aceptación de las nuevas teorías que empezaba a surgir. Sin embargo, mostrar que en efecto tal invariancia (o no invariancia) ocurre no es un tema recurrente en los cursos de la facultad. Así pues, en este trabajo se expone la no invariancia de las ecuaciones de Maxwell ante transformaciones de Galileo. Para ello, suponemos un campo eléctrico y uno magnético particulares que nos permitan trabajar con facilidad, y obtenemos la no invariancia de las expresiones. Como un caso particular de campos no es invariante, podemos concluir que en general las ecuaciones de d e Maxwell no son invariantes antes tales transformaciones. 2. Ecuaciones de Maxwell.
Supongamos un sistema de referencia inercial en el vacío salvo por densidades de cargas y corrientes bien ubicadas. Los campos eléctrico y magnético que estas cargas y corrientes generan están descritos en tal sistema a través de las ecuaciones de Maxwell.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(1)
(2)
(3)
(4)
Así pues, estas igualdades son las expresiones matemáticas de las leyes físicas que describen al campo electromagnético en el sistema que estamos considerando. Por otro lado, recordemos los dos postulados p ostulados de la relatividad especial: 1. Todas las leyes de la física tienen la misma forma (o expresión matemática) en los sistemas de referencia inerciales. 2. En el vacío, la velocidad de la luz tiene el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial.
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Estos dos postulados son los pilares en los que se sustenta la relatividad especial. Sin embargo, el primero, no fue postulado por Einstein, ni siquiera fue enunciado en el siglo veinte. El primer postulado fue propuesto en el siglo diecisiete por Galileo, aunque claro, Galileo lo postulo sólo para fenómenos mecánicos y su generalización se hizo en el marco de la relatividad especial. Así pues, los físicos de finales del siglo diecinueve, en pleno auge del electromagnetismo y sus aplicaciones tecnológicas, se preguntaron: Las ecuaciones que describen al campo electromagnético, ¿son invariantes ante transformaciones de Galileo? O lo que es lo mismo, ¿Las ecuaciones de Maxwell tienen la misma forma en distintos sistema de referencia inercial? 3. La transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell.
La respuesta que se encontró en el siglo diecinueve a las preguntas anteriores fue negativa. Las ecuaciones de Maxwell no conservan su forma en distintos sistemas de referencia inerciales bajo transformaciones de Galileo. Dispongámonos a mostrarlo: Consideremos una región del espacio en la cual hay un campo magnético y uno eléctrico, y un sistema de referencia S tal que los campos sólo dependen de la posición.
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
(5)
(6)
Supongamos, en particular, que el campo magnético no es generado por corrientes eléctricas sino por imanes, entonces la ecuación 4 adquiere la siguiente forma:
⃗ ⃗
(7)
Consideremos ahora a un sistema de referencia S’ ubicado en esa misma región pero que se mueve respecto a S, con una rapidez (v) y una dirección constante.
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y y
S’
v
Donde las flechas de color
S
representan cada campo: x
E B
x Figura 1. Representación gráfica del sistema considerado.
Dado que los campos en el sistema S sólo dependen de la posición, aplicando una transformación galileana obtenemos que en S’ tienen la forma:
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
(8)
(9)
Observación: No perdamos de vista que cada campo tiene componentes B x , B y , B z (y lo mismo para E ) y que cada una depende de ( x + v xt ) , ( y + v yt ) ,( x + v z t ). Ahora bien, nos falta agregar cómo los cambios en el tiempo de B’ y E’ afectan a los campos percibidos en S’. Observemos lo siguiente:
⃗ Trabajemos con la primera componente
( ) ⃗
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Entonces, haciendo lo mismo para las otras dos componentes
⃗ ⃗ ⃗
(10)
Por otro lado, utilizando la igualdad 3, aplicada el campo Ē’ , obtenemos que
⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗)⃗⃗ Utilizando la igualdad 2 llegamos a que
⃗ (⃗ ⃗)⃗ ⃗ Y la igualdad se da si y sólo si
(11)
Ahora, este el campo eléctrico en S’ producido por los cambios en el tiempo de B , falta agregar el campo eléctrico aportado por E . Por principio de superposición aplicado a la expresión 8 y 11, llegamos a que:
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
(12)
Análogamente, obteniendo la derivada respecto al tiempo de Ē’ y utilizando la expresión 7, así como algunas identidades vectoriales llegamos a que
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
(13)
Hemos encontrado así la expresión matemática que describe a los campos eléctricos y magnéticos en el sistema S’ a través de transformaciones de Galileo. Así pues, veamos si estas expresiones satisfacen cumplen con las ecuaciones de Maxwell:
⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ (⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (B⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Pero v es constante
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B⃗ (B⃗ v⃗E⃗ ) B⃗ (v⃗E⃗ ) B⃗ v⃗ (E⃗ )
Procediendo como para la divergencia de Ē’
⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ ( ⃗ )⃗ ⃗ ( ⃗ ) ⃗ · ⃗ ⃗ · ⃗
Pero v es constante y B cumple la expresión 2
⃗ ⃗ · ⃗ ⃗ ⃗
Usando la expresión 10
⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ (⃗ ⃗ ) ⃗ 1 ⃗ ( · ⃗ ) ⃗ · ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ( · )
Procediendo como para el rotacional de Ē ’
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Expresiones esperadas
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(14)
(15)
(16)
(17)
Expresiones obtenidas
⃗ ·⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (18)
(19)
(20)
(21)
Así pues, hemos mostrado que ante transformaciones de Galileo, la expresión de las ecuaciones de Maxwell (de los campos particulares que escogimos) cambian, por lo tanto, en general las ecuaciones de Maxwell son no invariantes ante transformaciones de Galileo. En su momento este hecho causó conmoción, y puso en duda la veracidad de estas expresiones, aunque por otra parte, su corroboración experimental era bien conocida. Tuvo que entenderse que las transformaciones de Galileo son sólo un caso particular de transformaciones más generales (las de Lorentz) para verificar que bajo éstas, las ecuaciones de Maxwell sí resultan invariantes. Pero eso ya será para otro trabajo. 4. Fuentes de información.
1. Mould, Richard. Basic Relativity. (Editorial Springer). 2. Griffiths, Davis. Introduction to Electrodynamics. (Editorial Prentice Hall). 3. Gamow, George. Boigrafía de la Física. (Biblioteca General Salvat, tomo 11) 4. http://www.physics.umd.edu/courses/Phys270/Jenkins/LectureChapter35v3.pdf 5. http://resonanceswavesandfields.blogspot.mx/2011/07/transforming-maxwell-equationsintro.html
