Ecuaciones de equilibrio para estados de esfuerzos en un elemento diferencial
Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales yelementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las t ensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones generales de la teoría de la elasticidad lineal:
Si en ellas se trata de substituir las tensiones por los esfuerzos internos, se llega entonces a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales. Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos
En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:
Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales
Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (v x, my) y la carga superficial
vertical (qs):
Relación entre esfuerzos y tensiones El diseño mecánico de piezas requiere:
Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan los límites resistentes del material.
Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos sobrepasan los límites de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento diseñado.
En general, el cálculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la geometría de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elástico.
Elementos lineales o unidimensionales
El cálculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinación de las fórmula de Navier para la flexión, la fórmula de Collignon-Jourawski y las fórmulas del cálculo de tensiones para latorsión. El cálculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir métodos directos como la ecuación de la curva elástica, los teoremas de Mohr o el método matricial o a partir de métodos energéticos como los teoremas de Castigliano o incluso por métodos computacionales.
Elementos superficiales o bidimensionales
La teoría de placas de Love-Kirchhoff es el análogo bidimensional de la teoría de vigas de EulerBernouilli. Por otra parte, el cálculo de láminas es el análogo bidimensional del cálculo de arcos. El análogo bidimensional para una placa de la ecuación de la curva elástica es la ecuación de Lagrange para la deflexión del plano medio de la placa. Para el cálculo de placas también es frecuente el uso de métodos variacionales.
Relación entre esfuerzos y desplazamientos Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse, el uso de la ecuación de la curva elástica, el método matricial de la rigidez y otros métodos numéricos para los casos más complejos.
Bibliografía
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Monleón Cremades, Salvador, Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Universidad Politécnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6
Componentes que forman un estado de esfuerzo plano.
El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, también se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarón delgado puede también tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujeción.
Deformación unitaria
Una barra axialmente cargada sufre una variación en su longitud alargándose o acortándose, según esté sometida a tracción o a compresión. Dado que el esfuerzo σ es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Sea δ la variación total de su longitud y sea L la longitud total de la barra y que esta es de material totalmente uniforme en toda su longitud, se define a la deformación unitaria ε (épsilon) con la siguiente relación:
Ε = δ/L Ε se denomina deformación unitaria a tracción cuando existe un alargamiento de la barra o deformación unitaria a compresión cuando existe un acortamiento de la misma. Debido a que δ y L se expresan en unidades de longitud ε es a dimensional
Desplazamiento
En mecánica, el desplazamiento es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento de un cuerpo en el espacio solo importa la posición inicial del cuerpo y la posición final, ya que la trayectoria que describe el cuerpo no es de importancia si se quiere hallar su desplazamiento. En la mecánica del punto material, se entiende por desplazamiento el vector o segmento recto orientado que une la posición inicial con otro punto genérico de la trayectoria. Este uso del vector desplazamiento permite describir en forma completa el movimiento y el camino de una partícula. En mecánica de medios continuos se entiende por desplazamiento el vector que va desde la posición inicial (antes de la deformación) a la final (después de la deformación) de un mismo punto material del medio continuo.
Cuando el punto de refer encia es el origen del sistema de coordenadas que se utiliza, el vector desplazamiento se denomina por lo general vector posición, que indica la posición por medio de la línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual, en comparación con la magnitud escalar "distancia recorrida" que indica solo la longitud del camino, obviamente en un espacio euclídeo se tiene:
Circulo de mohr para deformación unitaria y bidimensional
Los círculos de Mohr son un método para representar gráficamente el estado tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado. Aunque actualmente, gracias a los ordenadores, es posible calcular las tensiones con gran precisión sin recurrir a estos métodos, siguen siendo de gran validez puesto que de un solo golpe de vista hacen comprensible la situación tensional del sólido. Para entender esta representación repasaremos brevemente algunos conceptos ya estudiados como los de esfuerzo (tensión) y deformación, y su modo de ser expresados.
