ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales Act 12: Lección Evaluativa Unidad 3
Base teórica sobre serie de potencias Recordemos que una sucesión Sn converge a un número p o que es convergente con el limite p , si para cada número positivo dado Є , se puede encontrar un numero N tal que
│Sn - p│< Є para todo n>N Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que S n se encuentra entre (Sn – Є ) y (Sn – Є ) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del valor que se elija para Є. Ahora para el caso que tratamos p=S n – Rn. Por lo tanto, │S n - p│= │Rn│ luego la convergencia en x=x 0 significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como queramos. Podemos resumir que una sucesión converge converge en un punto x=a si se cumple que │x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia. El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la serie, por medio de las siguientes formulas:
A)
1 R
lim n cn
B)
n
1 R
lim
C n1
n
cn
Siempre y cuando existan los limites. Ejemplo 1) Para
1 R
el
m 1
lim n
m
caso
n 1
3
(m 1)3
n
lim n
n
de
3
n 1
(m)(3
)
lim
n
la
m 1 3m
1 3
,
serie el
convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1 2) Si tenemos la serie
1 R
m 1
lim n
m
3n n
3
1
, el radio de convergencia será:
lim n
(m 1)3n
(m)(3n 1 )
lim
n
m 1 3m
1 3
radio
de
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Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia │X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3].
Soluciones mediante series de potencias 1 Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden: las de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o aquellas de las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.
Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coeficientes variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física, como las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. etc. que son de coeficientes polinómicos.
Además, las las ecuaciones ecuaciones hasta hasta ahora vistas, vistas, generalmente generalmente tienen soluciones soluciones expresable expresables s en términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., o inversas de éstas). Otras veces, aun sabiendo resolver la ecuación, había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.
Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones lineales de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.
En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de soluciones mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de Frobenius.
1. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden: 1
Tomado de la pagina web: www1.ceit.es/Asignaturas/EcDif1/ApuntesED/edtema11.doc
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P( x ) y
Q( x ) y R( x ) y 0
1
ó en forma canónica : y
p( x ) y q( x ) y 0
1´
Definiciones.
si las funciones p( x ) Un punto x 0 se llama punto ordinario de 1 o 1´
q( x )
R( x ) P( x )
Q( x ) P( x)
y
son analíticas en x 0 (es decir, si p( x ) y q( x ) tienen desarrollos en serie de
Taylor en torno a x 0 con radios respectivos de convergencia R 1 y R2 no nulos)
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x 0 es punto ordinario de 1 si y sólo si P(x 0 ) 0 (siendo 1 no simplificable).
. Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó 1´
Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p( x ) y q( x ) en un entorno I de un x 0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 1´ en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por 1´ y las condiciones: y (x0) = y0, y ´(x0) = b0 con x0 I
Pero si además es x 0 un punto ordinario de 1 ó 1´, las p( x ) y q( x ) no sólo son continuas en I, sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x 0 es un punto ordinario de 1 , surgen las preguntas siguientes:
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¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x 0 , es decir, soluciones de la
forma : 2
y a ) a ) 0 a 1 ( x x 0 2 ( x x 0
...
n
a ) n ( x x 0
... 2
En caso afirmativo:
¿Cómo se obtienen los coeficientes a n? ¿Dónde converge la serie 2 ?
Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones de la forma 2, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.
Teorema:
Si x 0 es un punto ordinario de 1 (ó 1’ ) entonces la solución general de 1 en un cierto y a su vez: entorno de x 0 puede escribirse en la forma 2
y
n
a ) n ( x x 0
a ( x ) a ) 0 y 1 1 y 2 ( x
n 0
Siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y 1(x), y 2(x) analíticas en un entorno I de x 0 , y linealmente independientes en I.
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El radio de convergencia de las series y 1(x) e y 2(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x 0 (es decir, al menos igual a la distancia de x 0 al punto singular más próximo de la ecuación 1 , sea dicho punto real o complejo)
se obtienen en términos de a 0 y a1 , sustituyendo la Los coeficientes a n de la serie 2
serie genérica y
n
a n ( x x 0 ) en 1 , (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si n 0
P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.
Observaciones:
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.
b) Si el punto ordinario es x 0 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x 0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t .
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y (x0) e y ’(x0), es decir por a 0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a 0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa : y p( x) y q( x) y h( x) , siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x 0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h( x ) en serie de potencias en torno a x 0, antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.
e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de primer orden.
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2. EJEMPLOS Ejemplo 1
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y
xy
y
0 , determinando dos
soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x. Campo de validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que y (0) = 1 y´(0) = 0. _____________
p( x) x Es q( x ) 1
. Ambas analíticas en x 0 = 0, con radios de convergencia de sus
respectivos desarrollos
R , es decir x0 = 0 es punto ordinario.. R 2 1
Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de x , válida para todo x R. Sea y
an x
n
. Por tanto : y
n 0
n an x
n 1
,
y
n 1
n (n 1) a n x n2
n 2
En la ecuación diferencial:
n (n 1) an x
n 2
n 2
-
n an x
n
-
n 1
an x n 0
en
n0
Término independiente:
2 1 a2 a0 0
a2
a0
Coeficiente de x:
3 2 a3 a1 a1 0
a3
a1
............................
.................................
2
3
.................
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Coeficiente de x n:
n 2n 1an2 n 1an 0
Ley de recurrencia :
an
Luego a0 y a1 son libres y
a0 a 2 n (2n)!! a1 a 2 n 1 (2n 1)!!
a n2 n
a n 2
an n2
n2
Por tanto :
x 2 x 4 x 3 x 5 x 2n x 2 n 1 y ( x) a 0 1 ... ... a1 x ... ... (2n)!! 3!! 5!! (2n 1)!! 2!! 4!! a 0 y1 ( x) a 1 y 2 ( x) x
Solución particular:
Luego
y (0) 1 y (0) 0
y ( x ) 0
Ejemplo 2
x
2n
(2n)!!
a0 1 a1 0
y ( x ) 0
x
2n
n
2 n!
0
x 2 2 n!
n
x
y( x)
e
2
2
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Hallar, por el método de series de potencias en torno a x 0 = 0, la solución general de la
(1
ecuación diferencial:
x 2 )y
2xy
2y
0
_____________
Es
2 x p( x ) 1 x 2 q( x ) 2 1 x 2
Ambas analíticas en x 0 = 0 con R1 = R2 = 1
Luego existe solución analítica en x 0 = 0, válida al menos para x 1 .
Sustituyendo
y
a n 0
n 2
xn
en la ecuación diferencial:
n 2
n 1
n 0
n (n 1) an x n2 +
n
n (n 1) an x n +2 n a n x n - 2 a n x n 0
Término independiente:
2a 2 2a 0 0
a2 a0
Coeficiente de x :
6a 3 2a1 2a1 0
a3 0
............................
.................................
Coeficiente de x n :
n 2n 1an2 nn 1an 2n an 2an 0
Luego a0 y a1 libres,
a2 = a0 , a3 = 0,
.................
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a n 2
n(n 1) 2n 2 (n 1)(n 2)
an
(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)
an an
n3 n 1
an2
n2
Como a3 = 0 a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0
a 2n =
2n 3 2n 1
a 2 n 2
(1)n 1 3 1 1 a0 ... ( 1) ... a 0 2n 1 2n 1 2n 3 5 3 1 n
2n 3 2n 5
Por tanto :
x 2 x 4 x 6 ( 1) n 1 2 n ... y = a 0 1 x ... a1 x 1 3 5 2n 1
x 1
En este caso puede sumarse la serie :
x x3 x5 x 7 y = a 0 1 x ... a1 x 3 5 7 1
y
a0 1
x arctg x
a1 x
Nota En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero, pueden aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean más complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes an. Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.
Ejemplo 3
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Hallar por el método de series de potencias en torno a x 0 = 1 los términos hasta la potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación diferencial: 2y xy y 0 Se efectúa el cambio de variable:
Entonces y
p(t ) q( t )
dy
dx
dy dt dt dx
x - 1 = t ó x = t + 1.
y , y y
(t 1) y y 0 , 2 y
t0 = 0
t 1
2 1
Ambas analíticas en t = 0 con R1 = R2 =
2
Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t .
Sustituyendo y
a n t n
en la ecuación diferencial:
n0
2 n (n 1) a n t n 2
n2
+
n a n t
n 1
n
+
n a n t
n 1
n 1
+
a n t n
0
n0
Término independiente:
2 2 1 a 2 a1 a 0 0
a2
Coeficiente de t :
2 3 2 a3 a1 2a 2 a1 0
a3
............................
.................................
Coeficiente de t n :
2n 2n 1 an2 n a n (n 1) an1 an 0
a 0 a1 4 a1 a 2 6
..........................
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a n2
Luego: a 2
(n 1)a n 1 (n 1)a n 2(n 1)(n 2)
a 0 a1 4
a4
y( x)
; a3
a2 a 3 8
a0 1
a1 (x
(x
4
a0 a1
1)
2 (n 2 )
6
a n1 a n
a 0 a1
a1
4
2
(x
24
1)
3
(x
5
24 1) 4
2
192 (x
an 2 a n 1 2n
24
3a1 a 0
an
3a1 a 0
8
4 1)
1)
3
8
6a0 6a1 3a1 a 0 192
(x
1) 4
...
(x
1)
9 192
4
...
x
Ejemplo 4
Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:
y’’ – 2xy’ + 8y = 0 ;
Son p(x) = -2x
y
y(0) = 3 ,
y’(0) = 0.
q(x) = 8 , ambas analíticas en x o = 0 , con R 1 = R2 =
Por tanto, existe solución y = y(x), analítica en x o = 0, válida para todo x.
5a 0 9a 1 192
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Sustituyendo
y
a
n
xn
en la ecuación diferencial:
n 0
n (n 1) an x
n 2
n 2
-2
n an x
n
+8
an x n 0
n0
n 1
Término independiente :
2a 2 8 a0 0
a 2 4 a0
Coeficiente de x :
6 a3 2a1 8 a1 0
a3 a1
............................
.................................
.................
Coeficiente de x n :
n 2n 1an2 2n an 8an 0
Luego :
a n2
2( n 4 ) ( n 1 )( n 2 )
Se pide la solución tal que:
an .
De donde: a n
2( n 6 ) n( n 1 )
y(0) = 3 e y’(0) = 0, es decir, tal que ao = 3
a0 3 a1 0 a 2 12 Luego: a 3 a 5 ...... 0 4a2 a 4 4 12 a6 0 a 8 a10 ..... 0
Por tanto:
Ejemplo 5: Ecuación y polinomios de Legendre
La ecuación de Legendre de parámetro m 0 es:
a n2
y a1 = 0.
y = 3 – 12 x2 + 4 x4
(1752-1833)
n 2
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(1
x2 )y
2xy
m(m 1)y
0
3
Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x 0= 0.
Es
2x p( x ) 2 1 x q( x ) m(m 1) 2 1 x
Ambas analíticas en x 0 = 0 con radio de convergencia de los
respectivos desarrollos: R 1 = R2 = 1 Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x , válida, al menos para x 1 .
Sea y
a n x n . Sustituyendo en la ecuación : n 0
n(n 1)a n x n 2
n 2
-
n(n 1)a nx n 2
n
-2 na n x + m(m 1)a n x n 0 n
n 1
n 0
Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x .
x 0 :
2 1 a 2 m(m 1)a 0 0
x 1 :
3 2 a 3 2a1 m(m 1)a 1 0
a2
a3
m(m 1) 2 1
m(m 1) 2 3 2
a0
a1
.....
............................................................................................
x n :
n 2 n 1a n 2 nn 1a n 2n a n m(m 1)a n 0
(m 1)(m 2) 3!
a1
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a n 2
(m n)(m n 1) (n 2)(n 1)
an
an
(m n 2)(m n 1) n(n 1)
n 2
a n 2
Luego:
m(m 1) 2 (m 2)m(m 1)(m 3) 4 x x .. . 2! 4! (m 1)(m 2) 3 (m 3)(m 1)(m 2)(m 4) 5 a1 x x x .. . 3! 5!
y a 0 1
Es decir :
x 1
y a 0 y1 (x ) a 1 y 2 ( x)
Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn( x ) son respectivamente : p0 = 1
p1( x ) = x
p2( x ) = 1 - 3 x 2
5
p3( x ) = x - x 3 ...... 3
Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con P m( x ), a la solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m (o sea, el múltiplo de p n( x ), tal que Pm(1) = 1. Será: P0( x ) = 1
P1( x ) = x
P2 ( x)
3 2
x2
1 2
P3 ( x)
5 2
x3
3 2
x
.........
Algunas propiedades:
(Sin demostraciones)
Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodríguez :
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P ) n ( x
1
n
d
2
( x
n
( 2 n )! ! d x
n
1 )
O mediante una función generadora, debida a Legendre :
2
1 2 xt t
1 2
2
P ) P ) t P ) t 0 ( x 1 ( x 2 ( x
.. .
También mediante fórmulas de recurrencia:
P ( x ) n 1
2 n 1 n x P ) P ( x ) n ( x n 1 n 1 n 1
P ( n 1 ) P n 1 P n 1 2 n
Cumplen la relación de ortogonalidad :
1
0 P ) P ) d x m ( x n ( x
1
m n 2
2 n 1
m n
4
La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría esférica.
Ejemplo 6: Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)
La ecuación de Hermite es:
y
2 x y 2 y 0
5
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Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.
Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x 0= 0.
El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación 5, pues p( x ) = -2 x y q( x ) = 2 son analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son n
ambos infinitos. Luego existe solución de 5 , de la forma y
a n x
, válida para todo x
n 0
real.
Sustituyendo en la 5 :
n( n 1 )an xn 2 2
n2
an xn 0
nan xn 2
n 2
x
n 2
Luego:
2a 2 2 a0 0
Coeficiente de 1 :
a2 a0
-------------------------------------------------------------------------------------Coeficiente de x n-2 :
Relación de recurrencia: Luego:
n(n-1)an-2(n-2)an-2+2an= 0
a n
2 (
2 n ) a n 2 n ( n 1 )
n 2
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y ( x ) a 0 1
a 1 x
2 2 !
2
x
2
3
2 (
2 ) 4 2 ( x
4 ! 2
2 (
1 ) 3 2 ( x 3 !
2 )( 6 ! 3
1 )(
3 ) 5 2 ( x
5 !
4 ) 6 x .. . 1 )( 7 !
3 )(
5 ) 7 x ...
x
Para = 0, 1,2,... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios h n( x ), para = n = 0, 1,2,... son respectivamente:
h0 ( x ) 1 ,
h1 ( x ) x ,
h2 ( x ) = 1 - 2 x 2 ,
2 h3 ( x ) = x - x 3 , .. . 3
Se llama polinomio de Hermite de grado n, y se designa H n(x), a la solución polinómica de la ecuación de Hermite de parámetro = n ( o sea el múltiplo de h n( x )), cuyo coeficiente de x n es 2n. Será por tanto:
H 0 ( x ) 1 ,
H 1 ( x ) 2 x ,
H 2 ( x ) = 4 x 2 - 2,
H 3 ( x ) = 8 x 3 - 12 x , ...
Algunas propiedades: (sin demostración)
Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :
2
n x
H n ( x ) ( 1 ) e
n
d
2
e x n
d x
También por medio de la función generadora :
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H n ( x ) n t n !
2
2 tx t e
n 0
O mediante las fórmulas de recurrencia :
H n 1 ( x ) 2 x H n ( x ) 2 n H n 1 ( x ) '
H n ( x ) 2 n H n 1 ( x )
Cumplen la relación de ortogonalidad:
2
e x H m ( x ) H n ( x ) d x
0 m n n
2 n !
m n
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Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor
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Ejemplos de Series de Potencias
La forma de resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el método de las series de potencias es el siguiente: Primero se tiene que una serie de potencias es una serie infinita (en potencia de xa) de la forma:
donde c0, c1, … son constantes, llamadas coeficientes constante, llamada centro y x es una variable.
de la serie, la
a es una
Si en particular a=0, se obtiene una serie de potencias de x
Las series de potencias muy familiares son: La series de Maclaurin:
Para resolver una ecuación diferencial por medio de series de potencia, primero se representan las funciones dadas en la ecuación por medios de series de potencias de x (o en potencias de x-a).
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Por lo tanto debemos saber cómo derivar una serie: Suponga que tenemos la serie
Entonces la primera derivada es:
La segunda derivada es:
Y así sucesivamente. Ejemplo Resolver la ecuación diferencial y’ – y = 0 Sustituimos la primera derivada y’ y la función y, se tiene:
Se agrupan las potencias iguales de x y se encuentra:
Igualando a cero los coeficientes de cada potencia de x, se tiene
Resolviendo estas ecuaciones, se pueden expresar c 1, c2,… en términos de c 0, entonces: ,
,
;…
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Con estos valores la ecuación
, se transforma en:
Si despejamos c0 y tenemos como solución:
Bibliografia Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones. Mexico: Calypso S.A. SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A. Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y notas historicas. Mexico: McGrawHill. ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Mexico: Thomson Editores.
