a i u q o i t n A e d d a d i s r e v i n U Ecuaciones e inecuaciones
Instituto de Matem´aticas aticas * Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ Medell´ın, 24 de julio de 2011
1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
Desde hace m´as a s de 3000 a˜nos nos se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. El Papiro de Ahmes por ejemplo (figura 1), es un documento egipcio escrito por el escriba Aahmes aproximadamente en 1650 a. C. y recopila una colecci´on on de 87 problemas matem´ aticos aticos con temas referentes a cuestiones de aritm´etica etica b´ asica, asica, fracciones, c´alculo alculo de areas ´areas y vol´umenes, umenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometr´ trigonometr´ıa b´asica. asica. En los escritos de los antiguos babilonios, se han descifrado problemas que conducen a ecuaciones y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y goem´etrico. etrico. Los problemas algebraicos se enuncian en t´erminos erminos geom´etricos, etrico s, pero per o las la s soluciones solu ciones no utilizan u tilizan nociones nocio nes de d e la geometr geomet r´ıa. Algunas culturas antiguas estudiaron la soluci´on on de problemas que surg´ surg´ıan en sus transacciones comerciales. Sin embargo, los siguientes avances importantes se dieron en la Grecia cl´asica.
2.
Figura 1
Conceptos b´ asicos asicos
Un problema registrado en una antigua tablilla babil´onica onica dice:
“Un anciano dej´ o al morir 65 monedas de oro, que deb´ deb´ıan ıan repartirse repartirse entre sus su s 5 hijos de modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede.”
Problemas como estos los podemos enunciar matem´aticamente aticamente por medio de variables que representan las inc´ ognitas del problema y que pueden ser combinadas para formar expresiones algebraicas que podemos relacionar a trav´es es de ecuaciones . Las ecuaciones que consideraremos en esta secci´on on son ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas . En matem´aticas aticas existen otro tipo de ecuaciones que no tratar tra taremo emoss aqu´ı. ı.
Definici´ on on 2.1 Una ecuaci´ on es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que involucra una o varias cantidades desconocidas, llamadas inc´ ognitas. A un valor de la inc´ ognita que verifique la igualdad le llamaremos soluci´ on. on o ra´ız de la ecuaci´ Ejemplo 2.1 *
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1
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1. En la ecuaci´on
2y
− 3 = 6,
(1)
y representa la inc´ognita y la igualdad se verifica para y = y=
9 2
⇒
2y
9 2
porque
− 3 = 2 · 92 − 3 = 9 − 3 = 6
Por otra parte, y = 1 no verifica la igualdad y por tanto no es soluci´on porque y=1
⇒
2y
− 4 = 2 · 1 − 3 = −1 = 6
2. La ecuaci´on
x2
√ √ se verifica para x = 2 y x = − 2 porque x=
√
2
√
2
⇒
−2 = 0
(2)
2
−2= 0
y
x=
−
√
2
⇒ −
√
2
2
−2 = 0
3. La ecuaci´on
z2 + 4 = 0
se verifica para z = 2i y z = z = 2i
−2i porque ⇒ z +4 = (2i) +4 = −4+4 = 0
(3)
2
2
y
z=
−2i ⇒
z 2 +4 = ( 2i)2 +4 =
−
−4+4 = 0
4. La ecuaci´on
2x
− 3y = 4
(4)
se verifica para x = 2, y = 0 y tambi´en para x = 1, y = 23 .
Observaci´ on 2.1 La ecuaci´ on (1) posee soluciones en Q y no posee soluciones enteras. La ecuaci´ on (2) tiene dos soluciones irracionales (no posee soluciones en Q). La ecuaci´ on (3) no tiene soluciones en R, sus soluciones son complejas. Finalmente, la ecuaci´ on (4) es una ecuaci´ on en dos variables y posee infinitas soluciones. Las ecuaciones presentadas en los ejemplos anteriores se denominan ecuaciones polin´ omicas porque las expresiones algebraicas que las componen son polinomios. Como ejemplos de ecuaciones algebr´aicas que no son polin´ omicas podemos citar los siguientes: 1.
√ x − 3x = 1
2.
2 + yx = y
−2
3.
2x + 5 x2 3
− − 3x = 1
Las ecuaciones polin´omicas se clasifican de acuerdo al grado del polinomio que la forman, como lineales, cuadr´aticas, c´ ubicas, etc. La pregunta que surge ahora es: ¿C´ omo hallar las soluciones de ecuaciones como las presentadas en el ejemplo (2.1)? Definici´ on 2.2 Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas ra´ıces o soluciones.
Por ejemplo, las ecuaciones x2 x = 6 y 2x2 2x = 12 son equivalentes, ya que ambas tienen las mismas soluciones: x = 3 y x = 2 (verificar). Una ecuaci´on “dif´ıcil de resolver” la podemos convertir en una “f´acil de resolver”por medio de la serie de pasos explicados en el siguiente teorema.
− −
−
Teorema 2.1 (Ecuaciones equivalentes) .
1. Si cualquier expresi´ on de una ecuaci´ on se sustituye por una expresi´ on igual, la ecuaci´ on obtenida es equivalente a la original.
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2. Si a los dos miembros de una ecuaci´ on, se les suma o se les resta una expresi´ on igual, la ecuaci´ on obtenida es equivalente a la original. 3. Si los dos miembros de una ecuaci´ on se multiplican o dividen por una cantidad distina de cero, la ecuaci´ on resultante es equivalente a la original. Ejemplo 2.2 Las ecuaciones (5) y (9) son equivalentes.
x x 1 + =4 2 3 x x 1 6 + =6 4 2 3 x x 1 6 +6 =6 4 2 3 3x + 2 (x 1) = 24
− −
·
(5)
(6)
·
· − · · − 5x − 2 = 24
·
(7) (8)
(9)
De la ecuaci´on (5) a la (6) utilizamos la parte (3) del teorema (2.1); para el resto de pasos utilizamos la parte (1). Otra propiedad importante ya vista de los n´ umeros reales que nos permitir´a resolver ecuaciones es la siguiente Teorema 2.2 Para todo par de variables P y Q, PQ = 0
3.
⇐⇒
P = 0 ´ o Q=0
Ecuaci´ on lineal
Definici´ on 3.1 La ecuaci´ on
ax + b = 0,
a=0
(10)
se llama ecuaci´ on lineal o ecuaci´ on de primer grado en la variable x.
Es importante resaltar que la ecuaci´on (10) tiene s´ olo una soluci´on y est´a dada por x = Ejemplo 3.1 Resuelva la ecuaci´ on 5x + 3 = Soluci´ on
5x + 3 = 5x = 4x =
−25 + x −28 + x −28 x = −7
4.
−
b a
.
−25 + x.
ecuaci´on original sumamos 3 a ambos lados sumamos x a ambos lados
− −
dividimos entre 4 a ambos lados
Ecuaci´ on cuadr´ atica
Definici´ on 4.1 La ecuaci´ on
ax2 + bx + c = 0,
a=0
(11)
donde a,b,c son n´ umeros reales, se llama ecuaci´ on cuadr´ atica o ecuaci´ on de segundo grado en la variable x. Es importante mencionar que la ecuaci´on cuadr´atica (25), a diferencia de la ecuaci´on lineal (10), puede tener hasta dos soluciones y a continuaci´on mostraremos como hallarlas.
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4.1.
Soluci´ on por factorizaci´ on
Este m´etodo lo podemos aplicar a ecuaciones polin´omicas (no s´ olo cuadr´aticas) para las cuales el polinomio que las forma es posible factorizarlo y se basa en el teorema (2.2). Ejemplo 4.1 Resuelva la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 = 11x Soluci´ on
x2 = 11x
x2 (x
por lo cual
(x
− 11x + 30 = 0 − 6)(x − 5) = 0
− 6)(x − 5) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒
− 30. − 30
(12) (13) (14)
x 6 = 0 o´ x x = 6 o´ x = 5
−
−5=0
(15) (16)
La ecuaci´ on tiene entonces dos soluci´ones: x = 6 y x = 5 (verificar). Del paso (13) al (14) factorizamos el polinomio; el paso (15) es por la propiedad de los n´umeros reales que te presentamos en el teorema (2.2). Observaci´ on 4.1 El proceso de factorizaci´ on que realizamos en el paso (14), lo podemos expresar en general como x2 + bx + c = (x + r1 )(x + r2 ) (17) donde r1 y r2 son dos n´ umeros enteros tales que r1 + r1 = b y r1 r1 = c (¿por qu´ e?).
·
4.2.
Soluci´ on por completaci´ on de cuadrados
Este m´etodo aparece registrado en una antiguo pergamino babilonio; actualmente se le conoce como m´etodo de “completaci´on de cuadrados” y lo aplicamos cuando el polinomio que forma la ecuaci´on no lo podemos factorizar. El m´etodo consiste en sumarle a ambos lados de la ecuaci´on x2 + bx + c = 0
la cantidad (b/2)2 , esto hace que el polinomio resultante se pueda factorizar y as´ı podemos aplicar el m´etodo de factorizaci´on (4.1) como mostraremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.2 Utilice el m´etodo de completaci´ on de cuadrados para resolver x2 Soluci´ on Observemos que no existen dos enteros r1 y r2 tales que r1 + r1 = el m´etodo de factorizaci´on no nos sirve. En este caso b = 4 y:
−
−4 y r · r
x2
− 4x − 1 = 0 x − 4x = 1 − 4x + (−2) = 1 + (−2) x − 4x + 4 = 5 (x − 2) = 5 √ x−2 =± 5 √ x =2 ± 5 2
2
1
1
= 1 y por tanto (18)
2
x2
− 4x − 1 = 0.
(19)
sumamos (b/2)2
2
2
Las soluciones de la ecuaci´on vienen dadas entonces por x = 2 +
(20) (21)
(22)
(23) (24)
√ 5 y x = 2 − √ 5 (verificar).
Observaci´ on 4.2 En el paso (19) aislamos las variables a la izquierda del “igual” y en el paso (20) sumamos la cantidad que hace que la expresi´ on del lado izquierdo se convierta en un cuadrado perfecto.
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La cantidad a sumar (b/2)2 se aplica a la ecuaci´on x2 + bx + c = 0. ¿Qu´e ocurre con el caso general ax2 + bx + c = 0 con a = 1?
Actividad 4.1 Resuelva la ecuaci´ on 3z 2 + z
4.3.
−
1 2
= 0.
F´ ormula general
La ecuaci´ on cuadr´atica
ax2 + bx + c = 0 ,
a=0
(25)
admite tres posibles tipos de soluciones (o ra´ıces): dos n´ umeros reales diferentes; un n´umero real doble, o dos n´umeros complejos conjugados, dependiendo de que su discriminante ∆ = b2
− 4ac
sea positivo, cero o negativo respectivamente. A continuaci´on utilizamos el m´etodo de “completaci´on de cuadrados” para encontrar las soluciones de ( 25). En el caso a = 0, (25) se reduce a la ecuaci´on lineal (10). Si a = 0, dividimos entonces ambos lados de (25) entre a
b c x2 + x + = 0 , a a pasamos a restar el t´ermino independiente
b c x2 + x = a a y sumamos a ambos lados de la ´ultima igualdad la mitad del coeficiente que acompa˜ na a x elevado al cuadrado (“completamos el cuadrado”):
−
b x + x+ a
2
b 2a
2
=
−
c + a
2
b 2a
(26)
El lado izquierdo de (26) es un cuadrado perfecto, b x + x+ a
2
b 2a
2
=
b x+ 2a
=
−4ac + b
2
(27)
y para el lado derecho de (26) tenemos
−
c + a
b 2a
2
2
=
− ac + 4ab
2
2
4a
2
=
b2
− 4ac
4a2
(28)
Al igualar (27) y (28) obtenemos
b 2a
x+
luego
b x+ = 2a
y por tanto
b2
2
=
b2
− 4ac
4a2
− 4ac = ± √ b − 4ac 2
± 4a 2a √ b − 4ac −b ± √ b − 4ac b x=− ± = 2a 2a 2a 2
2
2
Teorema 4.1 Las soluciones de la ecuaci´ on cuadr´ atica
ax2 + bx + c = 0
(29)
con a = 0 est´ an dadas por
√ − b + b − 4ac x= 2
2a
√ − b − b − 4ac x= 2
y
y van a depender del signo del discrimante ∆ = b2
2a
− 4ac:
(30)
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Si ∆ = b2 Si ∆ = b2 Si ∆ = b2
− 4ac > 0, la ecuaci´ on tiene dos soluciones reales y distintas. − 4ac = 0, la ecuaci´ on tiene s´ olo una soluci´ on que es real. − 4ac < 0, la ecuaci´ on tiene dos soluciones complejas.
Ejemplo 4.3 Resuelva la ecuaci´ on
x+1 x 2 = 3x + 2 2x 3
− −
Soluci´ on
x+1 x 2 = 3x + 2 2x 3 (x + 1)(2x 3) = (x 2)(3x + 2)
− − − − 2x − x − 3 = 3x − 4x − 4 x − 3x − 1 = 0 2
2
ecuaci´on original
pasamos a multiplicar los denominadores
2
desarrollamos los productos
pasamos todo al lado izquierdo
Al aplicar (30) a la u ´ ltima ecuaci´on con a = 1, b = x=
3+
√ 13
2
−3 y c = −1 obtenemos las soluciones √ 3 − 13 x= .
y
2
Finalizamos esta secci´on con un teorema que establece la relaci´on que existe entre los coeficientes a, b y c de la ecuaci´on (29) y las ra´ıces (soluciones) de la misma. Teorema 4.2 Si r1 y r2 son las ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´ atica ax2 + bx + c = 0,
entonces
r1 + r2 =
5.
− ab
y
a = 0,
(31)
r1 r2 =
·
c a
(32)
Soluci´ on de problemas
Las siguientes son algunas recomendaciones para la soluci´on de problemas.
1. Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o inc´ ognita). 2. Relacione los datos conocidos con la inc´ognita a trav´es de una ecuaci´on. 3. Resuelva la ecuaci´ on y compruebe las soluciones obtenidas.
5.1.
Problemas que conducen a ecuaciones lineales
Ejemplo 5.1 Dos ciudades A y B est´ an separadas entre s´ı 9 Km. Dos autos parten en el mismo instante de cada una de las ciudades y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 9 Km/h y el de B a 5 Km/h. Determine la distancia recorrida por el que sali´ o de A hasta el punto P en el que se encuentran. Soluci´ on
1. Identificamos los datos e inc´ ognitas del problema:
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V A : Velocidad (Km/h) del auto que sale de A. V B : Velocidad (Km/h) del auto que sale de B.
x : Distancia (Km) recorrida por el auto que sale de A hasta que se encuentran.
2. Relacionamos los datos e inc´ognitas del problema: Distancia (Km) de A a P = x Distancia (Km) de B a P = 9 distancia recorrida Tiempo = velocidad
9 Km
−x
A
x
9- x
P
3. Planteamos la ecuaci´ on y la resolvemos:
Tiempo empleado de A a P = Tiempo empleado de B a P x 9 x = V A V B x 9 x = 9 5 5x = 9(9 x)
− − − 5x = 81 − 9x
14x = 81 81 x= 14
Por tanto, la distancia recorrida por los autos hasta el punto de encuentro es de x = Km.
5.2.
81 14
≈ 5.7857
Problemas que conducen a ecuaciones cuadr´ aticas
Ejemplo 5.2 Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3 cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60 cm 3? Soluci´ on
1. Identificamos los datos e inc´ ognitas del problema:
Ancho = L cm Largo = 2L cm Cortes = 3 cm
2. Relacionamos los datos y las inc´ognitas a trav´es de una ecuaci´on:
B
8
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Volumen de la caja = base
× altura
3. Relacionamos los datos y las inc´ognitas a trav´es de una ecuaci´on: 3(2L
− 6)(L − 6) = 60 L − 9L + 8 = 0 (L − 8)(L − 1) = 0 2
y entonces L = 8 ´o L = 1. Con L = 1 no es posible construir una caja con las dimensiones pedidas, mientras que con L = 8 s´ı. La soluci´ on es por tanto L = 8.
6.
Desigualdades
Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no son necesariamente iguales. Como ejemplos podemos citar x < 2, a b + c, 3x2 x + 5 > 0, etc. Al sustituir las variables de una desigualdad por n´umeros podemos obtener expresiones verdaderas o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 4x 1 > 0 obtenemos la proposici´on verdadera 7 > 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemos la proposici´on falsa 1 > 0. Si al sustituir un n´ umero en una desigualdad obtenemos una proposici´on verdadera, se dice que dicho n´ umero es una soluci´ on de la desigualdad. Resolver una desigualdad signfica encontrar todas sus soluciones. Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x2 < 0 no posee soluciones reales porque todo n´ umero real al cuadrado es mayor o igual a cero. Otras desigualdades como 1 < x < 3 poseen infinitas soluciones, a saber, todo n´umero real x entre 1 y 3. Al conjunto formado por todas las soluciones de esta desigualdad lo denotamos por ( 1, 3) y se le denomina intervalo abierto. Si a y b son n´ umeros reales tales que a < b, los siguientes son otros posibles tipos de intervalos:
≤
−
−
−
−
−
(a, b) = x
{ ∈ R : a < x < b}. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
−
[a,
∞) = {x ∈ R : x ≥ a}. (−∞, b) = {x ∈ R :< x < b}. (−∞, b] = {x ∈ R :< x ≤ b}. (−∞, ∞) = {x : −∞ < x < ∞}.
Las siguientes propiedades nos ayudar´an a resolver desigualdades.
Proposici´ on 6.1 (Propiedades de las desigualdades) Para todo a,b,c siguientes propiedades. a2
≥ 0.
a
⇒
a + c > a + b.
c > 0 y a < b =
ac < bc.
c < 0 y a < b
ac > bc.
⇒ =⇒
a>0 =
1 > 0. a
a<0 =
1 < 0. a
⇒ ⇒
∈ R se satisfacen las
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Ejemplo 6.1 Resuelva la desigualdad
x2
− x−6 ≥ 0. 1−x
Soluci´on: Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a (x + 2)(x 3) (1 x)
− ≥ 0. −
La imagen presentada a continuaci´on muestra como cambian los signos para cada una de las expresiones que componen la fracci´on.
La soluci´on est´ a dada por el conjunto
(
−∞, −2] ∩ (1, 3]
Recordemos que el valor absoluto de un n´umero real x est´a dado por
|x| = −xx
si x 0 si x < 0
≥
Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las desigualdades. Proposici´ on 6.2 (Desigualdades con valor absoluto)
|x| ≤ a ⇐⇒ −a < x < a |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ´o x ≥ a
Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de desigualdades con valor absoluto. Ejemplo 6.2 Encuentre los valores de x que satisfacen x+4 <2 x 2
−
Soluci´on: La primera propiedad de la proposici´on (6.2) nos permite escribir (33) como
−2 < xx +− 42 < 2
(33)
10
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que equivale a
−2 < xx +− 42
x+4 <2 x 2
y
−
y resolvemos cada una de estas desigualdades con el m´etodo gr´afico mostrado en el ejemplo anterior. La soluci´on total ser´a la intersecci´ on de las soluciones de cada una de las desigualdades. Para la primera desigualdad tenemos 0 < 2+
x+4 x 2
−
=
⇒
0<
3x
x
−2
Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracci´on se muestran a continuaci´on
y el conjunto soluci´on est´ a dado por
S 1 = (
−∞, 0) ∪ (2, +∞)
(34)
Para la segunda desigualdad tenemos x+4 x 2
− −2<0
=
⇒
8 x
−x < 0 −2
Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracci´on se muestran a continuaci´on
y el conjunto soluci´on est´ a dado por
S 2 = (
−∞, 2) ∪ (8, +∞)
La soluci´on de (33) est´ a dada por la intersecci´ on de las soluciones (34) y (35) S = S 1
∩ S
2
=(
−∞, 0) ∩ (8, +∞)
(35)
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7. 7.1.
Curiosidades
La sucesi´ on de Fibonacci
En el a˜ no 1202 el matem´ atico italiano Leonardo de Pisa, tambi´ en llamado Fibonacci, incluy´ o en su libro Liber Abaci el siguiente problema: “Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un ´ unico par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par m´ as de iguales caracter´ısticas. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cu´ antos pares contendr´ıa el cercado al cabo de un a˜ no?” La figura 2 nos puede ayudar a comprender el problema. Observemos que en el primer y segundo mes s´olo habr´a una (1) pareja de conejos. Al finalizar el segundo mes, la hembra tendr´ıa su primer parto y por tanto para el tercer mes ya habr´ıan dos (2) parejas de cone jos. Para el cuarto mes, los padres tendr´ıan otra pareja y los hijos todav´ıa no, por lo que ser´ıan tres (3) las parejas. En el quinto mes se producir´ıa el primer parto de los hijos y otro m´as de los padres, con lo que las parejas que correteaban por el campo ya ser´an cinco (5). De esta manera podemos seguir el proceso para ir calculando los conejitos durante los meses siguientes. La sucesi´on de parejas de conejos que se genera de esta manera est´a dada por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
(36)
Figura 2: Parejas de conejos
y se le denomina sucesi´ on de Fibonacci . Esta sucesi´on se caracteriza porque cada t´ermino de la sucesi´ on es suma de los dos anteriores. Por ejemplo: 3 = 1 + 2, 13 = 5 + 8, etc. Si denotamos por xn al t´ermino n-´esimo de la sucesi´on, entonces x0 = 1,
x1 = 1,
xn+2 = xn+1 + xn
para n = 3, 4, . . .
(37)
La sucesi´on de Fibonacci es recurrente , es decir que se necesitan calcular varios t´erminos anteriores para poder calcular un t´ermino espec´ıfico. ¿C´omo calcular el t´ermino n-´esimo de la sucesi´on sin calcuar los anteriores? En particular, ¿c´omo calcular por ejemplo el n´umero de parejas de conejos en el mes 5432 sin calcular las parejas de los meses anteriores? Para responder a esta pregunta empezamos asumiendo que el t´ermino n-´esimo de la sucesi´on es posible escribirlo como xn = rn donde r R. Al sustituirlo en (37), obtenemos la ecuaci´on xn = rn
luego
r2
∈ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
xn+2 = xn+1 + xn rn+2 = rn+1 + rn
rn r2 = rn (r + 1)
·
·
r2 = r + 1
√ (−1) ± (−1) − 4 · 1 · (−1) − 1± 5 =⇒ r = = 2 2 2
−r−1= 0
Obtenemos entonces dos valores para r y la expresi´ on para xn va a estar dada por una combinaci´ on de ambas ra´ıces de la siguiente manera: xn = c1r1n + c2 r2n .
(38)
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√ − √ √ − − √
Los valores de las constantes c1 y c2 son respectivamente 1/ 5 y 1/ 5 y la expresi´on final para xn es n n 1 1+ 5 1 1 5 xn = (39) 2 2 5 5
√
√
√
1+ 5 El n´ umero se denomina n´ umero ´ aureo y se denota por ϕ. Si tomamos t´erminos suce2 sivos de la sucesi´on de Fibonacci y formamos los cocientes: 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, . . . , 34/21, 89/55, . . . entonces es posible mostrar que xn+1 xn
√
1+ 5 se aproxima a ϕ = 2
cuando n se hace “grande”.
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Tambi´ en podemos construir una serie de cuadrados cuyos lados tengan como longitud los primeros t´erminos de la sucesi´on de Fibonacci y encajarlos como se muestra en la figura (a). Si trazamos arcos que conecten los extremos opuestos de estos cuadrados como se muestra en la figura (a), obtenemos una curva llamada espiral ´ aurea , presente en el dise˜no de las conchas de los caracoles y tambi´en en la disposici´on de los p´etalos de ciertas flores.
(a) Espiral a ´urea
(b) Concha de caracol