DAMS CURSO DE DE DINÁMICA DINÁMICA DE SUEL SUEL OS –
PROPAGACIÓN DE ONDAS
MSc, Pro Profesor fesor Asoc As ociado iado
PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS Las Las vibraciones vi braciones transmiti das das por po r las cime cim entaciones se Estructura ====> Suelo (Maquinarias) Suelo =====> ==> Estru st ruct ctur ura a (Sismo is mos) s) Tipos ip os de Probl ro ble emas mas e o ea za o : o m o g n eo , s o r p c o , e s c o lineal , , rela relació ción n esfue sfu erzorzo-de defor forma mación ción no line lineal m ed i o n o c o nti nti n u o .
ELÁSTICO e INFINITO Los tipos de ondas que se generan durante la liberación de ener ía de enden del medio en el ue se ro a an. Si el medio es homogéneo, isotrópo, elástico e infinito, se generan Ondas de Cuerpo, las cuales son de dos tipos:
• Ondas Compresionales, Primarias, Dilatantes u Ondas P • Ondas Secundarias, Cortantes, Distorsionales u Ondas S
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO Z
τ xz +
∆y
∂τ xz ∆ z z
∂x
τxy
∆z
X
y
τ XZ x x
(∂x
+ ∂∂ x ∆x) ∂x
xy
+
∂ τ x σ y
y
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO 2 ∂ε u ∂ ρ 2 = ( λ + G) + G ∇2 u ∂t ∂x
2 ∂ε v ∂ ρ = ( λ + G) + G ∇2 v 2
2 w ∂ε ∂ ρ = ( λ + G) +G 2
∂2 ε = 2 ∇ 2 ε vc ∂ t2 ∂2 θx = 2
2
vs
∇2 θx
vc =
vs =
λ + 2G
ρ
G
∇2 w
ecuación de onda de dilatación cúbica
ecuación de ondas cortantes
ONDAS DE CUERPO EN UN MEDIO ELÁSTICO Onda P ompres n
Dilatación
Onda s
Doble Amplitud Longitud de Onda
Medio no Disturbado
GENERACIÓN DE LAS ONDAS DE CUERPO
Las ondas P pueden generarse comprimiendo o enlongando un resorte a lo largo de su eje. Las ondas S se pueden generar moviendo el extremo del resorte de arriba abajo o de un lado a otro.
Dirección se Generará Ondas de Corte
Presionando en Esta Dirección se Compresionales
PARTÍCULA SÓLIDA
Sin deformación
Comprimido
formado por Corte
ELÁSTICO Y SEMI-INFINITO Si el medio de
ro a ación es semi-infinito es decir
ue
tiene un borde libre, se generan también las Ondas . representativas son:
• Ondas Love u Ondas Q • Ondas Rayleigh u Ondas R
ONDAS SUPERFICIALES EN UN MEDIO ELÁSTICO Ondas Love
Ondas Rayleigh
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO SEMI-INFINITO Superficie
Frente de ondas
X
Y
Z
Porción de semiespacio elástico
La ecuación de la onda Rayleigh se puede obtener estableciendo el siguiente sistema de coordenadas, y supon en o una onda plana que viaja en la dirección .
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO SEMI-INFINITO u=
∂φ ∂ψ + ∂x ∂z
y
w =
∂φ ∂ψ ∂z ∂x
φ y ψ son funciones potenciales que resultan estar relacionadas respectivamente con la dilatación y la rotación del medio, se obtiene, al sustituir u w en las ecuaciones 2.1 2.3, las si uientes ex resiones: ρ
∂ ⎛ ∂2 φ ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ∂ ⎛ ∂2 φ ⎞ ∂ z ⎝ ∂ t 2 ⎠
+ ρ
-
∂ ⎛ ∂2ψ ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
∂ ⎛ ∂2ψ ⎞ ∂ x ⎝ ∂ t 2 ⎠
= (λ + 2 G)
∂
∂ ∂z
=
(∇2 φ ) + G
2
2
∂t
2
=
ρ
∇2
φ = vc
∇2
∂ = ⎜ G ⎟ 2ψ = 2 2ψ ∇ vs ∇ ∂ t 2 ⎜⎝ ρ ⎠⎟
φ
-
∂
∂ ∂x
(∇2ψ )
2
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO SEMI-INFINITO Suponiendo una solución del tipo de onda sinusoidal viajando en la dirección x positiva:
ψ = G (z) ei (ω t- N x )
φ = F (z) ei (ω t- N x )
F(z) y G(z) funciones que describen variación de amplitud de la onda con la profundidad R
LR es la longitud de la onda generada
ecuaciones diferenciales, y considerar la condición de que la amplitud de la onda superficial tiende a cero con la profundidad, se tiene: −
=
N 2 −
Ω2 v 2 c
−
z
=
2
N 2 −
Ω2 v 2 s
z
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO SEMI-INFINITO A1 y A2 se obtienen de aplicar las condiciones de frontera relativas a que los esfuerzos cortantes y normales en la superficie del semiespacio deben ser nulos. p can o c as con c ones se o enen as s gu en es expres ones:
⎛ ⎜ ⎝
A1
2 ⎞ Ω - 2 vc ⎠ 2 2 Ω
A2
vs
2
2 2
-1 = 0
A1 A2
2 N 2
vc -
iN
2
Ω
2
vs
2
+1 = 0
, llega a la ecuación que da el valor de la velocidad con que se propagan las ondas Rayleigh: 6
⎛ vR ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟
4
⎛ v ⎞ - 8 ⎜⎜ R ⎟⎟
⎡ +⎢
2 2 ⎡ ⎛ vs ⎞2 ⎤ ⎛ vs ⎞ ⎤ ⎛ vR ⎞ 24 - 16 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ + 16 ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ - 1 ⎥ = 0
VARIACIÓN DE LAS VELOCIDADES DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS DE CUERPO y ONDAS RAYLEIGH CON LA RELACI N DE POISSON 0
G ρ v = - s v v e d s e r o l a V
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
4
4
3
3
2
2 Ondas S
1
1 Ondas R
0
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
VARIACIÓN DE LA AMPLITUD DE LA ONDA “ R” 0.0 0.0
] R L / z
d a d i n u f o r P
a d n o - e d u t i g n o - L
0.2 0.2
Componente horizontal [U(z)]
0.4 0.4 0.6 0.6 υ = 0.25
υ = 0.25
υ = 0.33 0.8
.
υ=
υ = 0.33
.
υ = 0.40 υ = 0.50
υ = 0.50 1.01.0
Componente vertical [w(z)]
1.21.2 1.41.4 -0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Amplitud a la prof. z ------------------------------Amplitud en la superficie
0.8
1.0
1.2
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ONDA
LLEGADAS DE LAS DIFERENTES FASES, SEGÚN SU
Onda P Onda S
- Ondas compresionales (VP) - n as e corte S - Ondas Rayleigh (VR)
Onda R
P
>
S >
R
PARÁMETROS DE LAS ONDAS ♦ Amplitud (A): Desplazamiento máximo de un punto desde su posición en reposo
♦ Velocidad de Partícula (v): Velocidad a la que se desplaza el unto
♦ Aceleración (a): Ritmo de cambio de la velocidad ♦ Frecuencia (f): Número completo de oscilaciones o ciclos por segundo. La frecuencia es la invesra del periodo “Ts”
ONDAS DE ALTA FRECUENCIA
T s
=
1
=
2π w
ONDAS ADE BAJA FRECUENCIA
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADO
Plano vertical de incidencia
SV S E
SH
s
ayo nc en e
Plano perpendicular al rayo incidente
COMPONENTES SV Y SH DE UNA ONDA CORTANTE S
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADO
θ1 P
θ
SV
θ
θ P SV
Figura 2.9 REFLEXION EN LA SUPERFICIE .
P
θ1 SV
Figura 2.10 REFLEXION DE UNA ONDA INCIDENTE SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE.
P
θcr θcr SV
SV
Figura 2.11 REFLEXION HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV INCIDE CON UN ANGULO CRITICO.
θ
θ SH
SH
.
(a) Onda incidente P P
c) Onda incidente SH
SV
SH
P-P1
a
a
(b) Onda incidente SV
P-SV1
b
SV-SV1 b
SV-P1
a
P
Medio 1 Medio 2 e P-SV2 sen a V
vP2 , vS2
SV-P
f SV-SV2
=
sen b V
=
sen e V
=
b b
,v ,v
P2,
e f
SH-SH1
b
f SH-SH2
sen f V
Figura 2.15 DISTRIBUCION DE ONDAS ELASTICAS EN LA INTERFASE DE DOS MEDIOS ELASTICOS
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADO Punto de excitación ( P )
) S ( P 1
) 1
P1, vP1 ,
vS1
P2, vP2 ,
vS2
P ( ( ( P - P 2
)
P - P 2
)
P3,
vP3 , vS3
P
v
v
Figura 2.16 REFLEXION Y REFRACCION MULTIPLE DE ONDAS EN UN e.
