Matemáticas PROPIEDADES DE LA DERIVADA. GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES
Ejercicios Resueltos CONCEPTOS BÁSICOS En fu func ncio ione ness de va vari rias as va vari riab able les, s, la op oper erac ació ión n de la de deri riva vaci ción ón di disf sfrut rutaa de propiedades parecidas a las que tiene en funciones de una variable, lo que resulta de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultades operacionales es la derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden componer entre sí, se verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena: D( f g )(x 0 )
= D f (y 0 )Dg (x 0 )
En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que aplicamos el primero y segundo caso especial de la regla de la cadena:
→R ∂ f dx ∂ f dy ∂h dz ⇒ dh = ∇ 3 + + c : R →R f ·c ′(t ) = ∂ ∂ ∂ z dt dt x dt y dt h (t ) = f (c (t )) = f ( x (t ); y (t ); z (t )) f : R 3
⇒ ∂h = ∂ f ∂u + ∂ f ∂v + ∂h ∂w g ( x; y; z ) = (u ( x; y; z ); v ( x; y; z ); w( x; y; z )) ∂ ∂u ∂ x ∂v ∂ x ∂w ∂ x x h ( x; y; z )) = f g = f (u ( x; y; z ); v ( x; y; z ); w( x; y; z )) f : R 3
→R
; g : R 3
→R 3
En el segundo caso, podemos escribir expresiones análogas para las derivadas de h respecto a y y respecto a z . El gradiente de una función de R n en R R es es el vector de sus derivadas parciales:
∂ f ∂ f ∂ f ∇ ; f ( x; y; z ) = ∂ x ∂ y ; ∂ z Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales según una dirección de acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma normalizada (vector unitario) de la dirección u, se puede mostrar que Duf (x0) = ∇f (x0)· )·u u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la dirección del vector gradiente. x ; y ; z ) = 0, el gradiente ∇F es un vector Si se tiene una superficie definida por F ( x normal a la superficie en cualquier punto.
PROBLEMAS 1) Verificación de la regla de la cadena. Verificar la regla de la cadena para ∂h /∂ x x ; y ) = f (u( x x ; y ); x ; y )) donde h( x ); v ( x )) y
+ v2 f (u; v) = 2 u −v2 u2
u ( x; y )
,
= e − x − y
,
v ( x; y )
= e xy
SOLUCIÓN Para hacer la verificación, primero aplicaremos la fórmula de la regla de la cadena y luego haremos el reemplazo de u y v en f y haremos el cálculo como derivada parcial. Aplicando la regla de la cadena tenemos: 2 2 2 2 ∂h ∂ f ∂u ∂ f ∂v 2u (u 2 − v 2 ) − (u 2 + v 2 )2u 2v(u − v ) + (u + v )2v xy − x − y = + = (−e )+ ye 2 2 2 2 2 2 ∂ x ∂u ∂ x ∂v ∂ x (u − v ) (u − v )
Operando tenemos:
∂h ∂ x =
=
− 4uv 2
(u
2
−v
)
2 2
(−e
− 4e − x − y e 2 xy
(e
− 2 x − 2 y
−e
)
2 xy 2
− x − y
(−e
)+
− x − y
4vu
(u
2
Reemplazando por las expresiones de u y v en términos de x y y ↓
2
−v
)
xy
)+
4e e
(e
=
xy
2 2
− 2 x − 2 y
ye
− 2 x − 2 y xy
−e
)
2 xy 2
ye
=
4e
(e
2 xy − 2 x − 2 y
− 2 x − 2 y
−e
)
2 xy 2
(1 + y)
Ahoraa ha Ahor harem remos os el mi mism smo o cá cálc lcul ulo o re reem empl plaz azan ando do u y v en f y der deriva ivando ndo parcialmente:
f (u; v) =
⇒
u 2 + v2 u2 − v2
, u ( x; y ) = e − x − y , v( x; y ) = e xy ⇒
h( x; y ) = f (u ( x; y ); v( x; y )) =
e − 2 x− 2 y + e 2 xy e
− 2 x − 2 y
−e
2 xy
⇒
∂ h ( − 2e − 2 x− 2 y + 2 ye 2 xy ) ( e − 2 x− 2 y − e 2 xy ) − ( e − 2 x− 2 y + e 2 xy ) ( − 2e − 2 x− 2 y − 2 ye 2 xy ) = = 2 − − 2 x 2 y 2 xy ∂ x (e − e ) − 2e − 4 x− 4 y + 2e 2 xy− 4 x− 4 y + 2 ye 2 xy− 2 x− 2 y − 2 ye 4 xy + − 4 x− 4 y + 2e + 2 ye 2 xy− 2 x− 2 y + 2e 2 xy− 2 x− 2 y + 2 ye 4 xy 4e 2 xy− 4 x− 4 y + 4 ye 2 xy− 4 x− 4 y = = − 2 x − 2 y − 2 x − 2 y 2 xy 2 2 xy 2 (e − e ) (e − e ) Esta última expresión es equivalente a la que habíamos hallado por regla de la cadena, con lo cual hemos verificado esta última.
2) Forma matricial de la regla de la cadena. Sea f (u; v ; w ) = (eu-w ; cos(v + u) + sen(u + v + w )) )) x -y g( x x ; y ) = (e ; cos(y - x ); ); e )
Calcular f º g y D(f º g)(0; 0). SOLUCIÓN Evaluando g en el origen tenemos: g(0; 0) = (1; 1; 1)
Estos últimos serán los valores de u, v y w correspondientes a valores nulos de x y y , con lo cual: f º g(0; 0) = f (1; (1; 1; 1) = (1; cos1 + sen3)
En cuanto a la matriz de derivadas, tendremos: u −w e 0 D f (u ; v; w) = − sen(v + u ) + cos(u + v + w) − sen(v + u ) + cos(u + v + w) −1 1 0 D f (1;1;1) = − sen 2 + cos 3 − sen 2 + cos 3 cos 3 e x 0 D g ( x; y ) = sen( y − x ) − sen( y − x ) − e y 0
− e u −w cos(u + v + w)
1 0 D g (0;0) = 0 0 0 −1 D( f
1 0 g ) (0;0) = D f (1;1;1) D g (0;0) = − sen 2 + cos 3 − sen 2 + cos 3
D( f g ) (0;0)
1 0 −1 0 0 cos 3 0 −1
−1 1 = − sen 2 + cos 3 − cos 3
x ) = f ( x x ; y ( x x ); x ; y ( x x )). 3) Sea g( x ); z ( x )). Sea también y (1) (1) = 0, z (1; (1; 0) = 1, ∇ z (1; (1; 0) = (1; 2), ∇f (1; (1; 0; 1) = (1; 2; 3); g’ (1) (1) = 5. Determinar y’ (1). (1).
SOLUCIÓN Por la regla de la cadena tenemos: g ′( x )
=
∂ f dx ∂ f dy ∂ f dz ∂ f ∂ f ∂ f ∂ z dx ∂ z dy + + = ⋅1 + y ′( x ) + ∂ x dx + ∂ y dx = ∂ x dx ∂ y dx ∂ z dx ∂ x ∂ y ∂ z
∂ f ∂ f ∂ f ∂ z ∂ z ⋅1 + y ′( x) + ⋅1 + y ′( x) ⇒ g ′(1) = 1 ⋅1 + 2 y ′(1) + 3(1 ⋅1 + 2 y ′(1) ) = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y 1 = 4 + 8 y ′(1) = 5 ⇒ y ′(1) = 8 =
Nótese que el punto con el cual estamos trabajando es ( x ; y ; z ) = (1; 0; 1). 4) Aplicación a un problema físico. Se ensaya a la tracción un monocristal de un metaloide de forma prismática rectangular con una base cuadrada de 2 cm de lado y una altura de 15 cm. Debido Debido a la anisotropía (distinto comportamiento según las direcciones) del material, se ha observado que uno de los lados de la base se deforma dos veces más rápido que el otro. Si en un momento dado se determina que por efecto de la tracción la longitud de la pieza aumenta a una tasa de 1 mm/s, hallar la tasa de variación de ambos lados de la base. SOLUCIÓN Llamemos x al lado de la base que se deforma más lento, y al que se deforma más rápido y z a la altura de la pieza. El volumen de la pieza será: V ( x x ; y ; z ) = xyz
Por la regla de la cadena, la variación de volumen con el tiempo vendrá dada por: dy
dV dt
∂V dx ∂V dy ∂V dz dx dy dz + + = yz + xz + xy ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt dt dt dt
=
dt
=2
dx dt
(dato)
↓
=
( yz + 2 xz )
dx dt
+ xy
dz dt
Puesto que se trata de un sólido, el material es incompresible y su volumen perm pe rman anec ecer eráá co cons nsta tant nte, e, si sien endo do su de deri riva vada da co con n re resp spec ecto to al ti tiem empo po nu nula la.. Introduciendo este hecho y los datos del problema tendremos: dV dt
⇒
(
dx dx ) dx + 2 ⋅ 2 ⋅ 0,1 = 0 ⇒ 90 + 0,4 = 0 ⇒ = −0,0044 cm/s ⇒ dt dt dt
= 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 2 ⋅ 15
dy dt
= −0,0088 cm/s
Gradiente nte y deriv derivada ada direcc direccional ional.. Calcular las derivadas direccionales de las 5) Gradie siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: x ; y ) = x y , ( x x 0; y 0) = (e; e), d = 5i a) f ( x 5i + 12 j xy x ; y ) = e + yz , ( x x 0; y 0; z 0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1) b) f ( x
SOLUCIÓN a) Recordando que Duf (x0) = ∇f (x0)· )·u u, debemos hallar el gradi gradiente ente de la función y un vector unitario en la dirección dada.
∂ y ∂ y ∂ log x y ∂ log x y ∂ y log x ∂ y log x ∇ f ( x; y ) = ; e x ; ∂ y x = (e ) ; ∂ y (e ) = e = ∂ y ∂ x ∂ x ∂ x y y = f (e; e ) = (e e ; e e ) e y log x ; ( log x )e y log x = x y ; ( log x ) x y ⇒∇ x x u
=
d d
(5;12 )
=
D u f (e; e)
52
+12 2
5 12 = ; 13 13
5 12 = 17 e e =∇ f ( e; e )·u = (e e ; e e )· ; 13 13 13
b) En este caso tendremos: ∂ x ∂ x ∂ x x f ( x; y; z ) = f (1;1;1) =( e;1;1) ∇ ∂ x (e + yz ); ∂ y (e + yz ); ∂ z (e + yz ) =(e ; z ; y ) ⇒∇ u
=
d d
=
D u f (1;1;1)
(1;−1;1) 1
2
+( −1) +1 2
2
1 −1 = 3; 3;
3
1
1 −1 f (1;1;1)·u =(e;1;1)· ; ; =∇ 3 3
= 3
1
e
3
6) Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax 2 by 2 , donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar ( x , y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar? SOLUCIÓN Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente, y disminuye más rápidamente en la dirección opuesta opue sta al mismo. En nuestro caso: f ( x; y ) = ( −2ax;−2by) ⇒∇ f (1;1) = ( −2a;−2b) ⇒u = ∇
−a f (1;1) ∇ = f (1;1) ∇ a 2 +b 2
;
Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual más rápidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recién hallada:
a
Máximo decrecimiento ⇒ u =
a
2
+b 2
b
; a
2
+b 2
7) El ca capi pitá tán n Ra Ralp lph h ti tiene ene di difi ficu cult ltad ades es ce cerc rcaa del la lado do so sole lead ado o de Me Merc rcur urio io.. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición ( x ; y ; z ), ), viene − x −2 y −3 z dadaa por T ( x; y; z ) = e dad , do dond ndee x , y y z vie vienen nen dad dados os en met metros ros.. Actualmente está en el punto (1; 1; 1). 2
2
2
a) ¿E ¿En n qu quéé di dire recc cció ión n de debe berá rá av avan anza zarr pa para ra di dism smin inui uirr má máss rá rápi pida dame ment ntee la temperatura?
−b 2 2 a +b
b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor may or que 14e grados dos por seg segund undo. o. Des Descri cribir bir el con conjun junto to de dir direcc eccion iones es 14 e 2 gra posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa. SOLUCIÓN a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al vector gradiente.
∇T ( x; y; z ) = (−2 xe −
x 2 −2 y 2 −3 z 2
2 2 2 2 2 2 ;−4 ye − x −2 y −3 z ;−6 ze − x −2 y −3 z
)⇒
Normalizndo
⇒∇T (1;1;1) = e −6 (−2;−4;−6) ⇒−∇T (1;1;1) = e −6 ( 2;4;6)
↓
⇒
u
=
1 14
;
2 14
;
b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave. El vector velocidad vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección unitaria de avance. Así: v
dx dy dz = ; ; = e 8 = e 8 dt dt dt u
1 14
;
2 14
;
14 3
Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la regla de la cadena: En ( x ; y ; z ) =(1;1;1)
dT dt
∂T dx ∂T dy ∂T dz = + + ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt
↓
=
− 2e
−6
e8 14
− 4e
−6
2e 8 14
− 6e
−6
3e 8 14
= −2
c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la temperatura es el doble de lo que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector unitario podemos llamar u = (a; b; c ). ). En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c )e8, y podremos escribir: dT dt
= ∇T ·v = (− 2e −6 ;−4e −6 ;−6e −6 )·(ae 8 ; be 8 ; ce 8 ) = (−2a − 4b − 6c)e 2
Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser menor que 14e 14 e 2 . Por lo tanto: − 14e 2 ≤
dT dt
≤ 0 ⇒ − 14e 2 ≤ (−2a − 4b − 6c)e 2 ≤ 0 ⇒ − 14 ≤ −2a − 4b − 6c ≤ 0
Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c ) que cumpla con esas condiciones el cohete se enfriará sin cuartearse. Plano o tange tangente. nte. Hallar el valor de la constante c tal que en todo punto de 8) Plan intersección de las dos superficies esféricas x - c )2 + y 2 + z 2 = 3 ( x
(*)
14 e 2
3 14
x 2 + (y - 1)2 + z 2 = 1
(**)
los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares uno al otro. SOLUCIÓN x ; y ; z ) = 3 y F 2( x x ; y ; z ) = 1 , Podemoss esc Podemo escrib ribir ir amb ambas as esf esfera erass co como mo F 1( x respectivamente. Los vectores normales a los planos tangentes correspondientes serán los gradientes de F 1 y F 2 . Sabemos que deben ser perpendiculares y por lo tanto su producto interno debe ser nulo.
∇ F 1 = (2( x − c);2 y;2 z ) ⇒ ∇ F 1 ·∇ F 2 = 4 x 2 − 4 xc + 4 y 2 − 4 y + 4 z 2 = 0 ⇒ ∇ F 2 = (2 x;2( y −1);2 z ) y 2 + z 2 =3−( x −c ) 2 (de la ecuación (*))
↓
⇒ x 2 − xc + y 2 − y + z 2 = 0
⇒
x
2
− xc − y + 3 − ( x − c) 2 = 0
Despejando de esta última es: xc − y + 3 − c 2
= 0 (***)
Ahora maniobramos algebraicamente despejando z 2 de las ecuaciones de ambas esferas:
= 3 − ( x − c) 2 − y 2 ⇒ 3 − ( x − c) 2 − y 2 = 1 − x 2 − ( y − 1) 2 ⇒ 2 2 2 z = 1 − x − ( y − 1) 2
z
⇒ 3 − x 2 + 2 xc − c 2 − y 2 = 1 − x 2 − y 2 + 2 y − 1 ⇒ 3 + 2 xc − c 2 = 2 y ⇒ y = 32 + xc − 12 c 2 Introduciendo esto en la ecuación (***) tenemos: 3
1 xc − 2 − xc + 2 c
2
+
3 − c2
=
0⇒
+
3 2
−
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1 2
c
2
=
0⇒
c= ±
3
