E-booK de as Financier As

UNIVERSIDAD JUÁREZ AUTÓNOMA DE TABASCO DIVISIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS

e-book

PARA LA ASIGNATURA DE

MATEMÀTICAS FINANCIERAS

AUTORES M en C. ALFREDO MANZUR BOCANEGRA M. A. CARLOS ALBERTO PAZ GOMEZ M. A. JENNER PRIEGO PADRON

VILLAHERMOSA, TABASCO

ENERO 2010

1

CONTENIDO UNIDAD I. INTRODUCCION INTRODUCCION Álgebra elemental. El conjunto de los números reales. Números racionales. Números irracionales. Números enteros. Números naturales. Formulas. Coeficientes. Valor absoluto y relativo. Nomenclatura. Ley de los signos. Monomios y Polinomios. Operaciones con monomios y polinomios. Fracciones. Máximo común divisor. Binomios conjugados. Factorización. UNIDAD II. EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS Exponente numérico. Exponentes fraccionarios. Exponente negativo. Exponente cero. Leyes de los exponentes. Logaritmo. 2

Característica y mantisa. Propiedades generales de los logaritmos. Operaciones con logaritmos. Logaritmo de un coeficiente, de una potencia y de una raíz. Logaritmos vulgares base 10. UNIDAD III.

INTERES SIMPLE

Concepto. Tasa de interés. Tiempo. Monto y valor actual. Interés real e interés comercial. Descuento ordinario y comercial. UNIDAD IV.

INTERES COMPUESTO

Interés simple vs. Interés compuesto. Tasa nominal, tasa efectiva, tasas equivalentes. Monto con periodos de capitalización fraccionario. Calculo de la tasa y el tiempo. Ecuaciones de valores equivalentes. UNIDAD V.

ANUALIDADES

Anualidades simples, ciertas y ordinario. Monto. Valor actual. Renta. Tasa de interés. Anualidades anticipadas. 3

Anualidades diferidas. Casos generales. UNIDAD VI.

AMORTIZACION

Amortización de una deuda. Saldos insolutos. Tablas de amortización. Fondos de amortización. Tablas de fondos de amortización. UNIDAD VII.

DEPRECIACION

Definición depreciación. Cálculo de los cargos periódicos por depreciación. Método uniforme o de la línea recta. Depreciación por fondo de amortización. Método de la suma de dígitos o enteros que corresponden a los años de duración del activo. Método de depreciación por porcentaje fijo o de variación geométrica. Método de depreciación con intereses sobre la inversión. Métodos de agotamiento.

4

UNIDAD I. INTRODUCCION CONCEPTO DE MATEMATICAS 1.1 INTRODUCCIÓN Matemática es simplemente un acuerdo arbitrario sobre el significado de un símbolo, un término o una operación matemática. “L a matemática es una ciencia abstracta” . Y de la misma manera en que aprendemos las reglas de la gramática, aprendemos las reglas, o leyes, de las operaciones que se hacen con los números de la aritmética y con los símbolos literales del álgebra. En el desarrollo de las actividades se identifican contenidos que corresponden a diversas ramas de las matemáticas como geometría, medición, tratamiento de la información, probabilidad, etcétera. Pero además, existe relación con temas de otras asignaturas como biología, física, química, geografía. Dado que muchas de las grabaciones se realizaron en ambientes naturales, cada programa puede servir como apoyo en diversas áreas de conocimiento. EL ALGEBRA COMO CIENCIA El álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. El álgebra es una ciencia cuyo objeto es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números, en álgebra, lo mismo que en aritmética se utilizan operaciones con los números, pero el modo de representarlos difiere en ambas ciencias. En aritmética solo se hace uso de los signos comúnmente llamados arábigos 0, 1, 2, 3 etc., para escribir los números; mientras que en álgebra para representarlos, se usan letras como a, b, x, etc., las primeras letras del abecedario se llaman literales y se aplican para señalar las cantidades conocidas, y las 5

últimas letras se le llaman desconocidas.

variables y sirven para explicar las cantidades

1.2. SISTEMA DE NUMEROS REALES Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1, la distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Números racionales Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto q  de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

6

Números irracionales Son números reales que no pueden expresarse como la razón de dos enteros. Ejemplos π = 3014159265….., √2 = 104142…. Números naturales (N) Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos, o sea son los enteros positivos más el cero: N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…∞}

Los enteros (Z) Son todos los números enteros negativos y positivos Z- = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1,} y Z+ = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…} Números reales A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales. El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales.

7

Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los Números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero). Números  Reales  Números  Raciónales 

Enteros 

Números  Irracionales 

Fraccionales 

Natural 

Entero  negativo  Enteros  Positivos 

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales se puede representar en la recta de los números reales, a la que nos referimos como recta numérica. A continuación aparece una lista de algunas propiedades importantes, que usted puede usar para referencia. Propiedad clausurativa o de cerradura Adición  a +b es un número real Multiplicación  a *b es un número real

Propiedad asociativa Adición  (a +b)+c = a + (b +c) Multiplicación  (a *b)*c =a*(b *c)

Propiedad conmutativa  Adición  a +b = b +a Multiplicación  a *b = b *a

Propiedad distributiva  Adición  a (b +c)= a b +a c (b +c) a = b a +c a 8

Propiedad de identidad Adición  0 + a =a +0= a Multiplicación  1*a =a*1 =a

Propiedad del cero  0*a = a*0=0

Propiedad de los inversos Adición  a + (-a) = (-a)+a Multiplicación  a*1/a =1/a *a =1 a≠0

Propiedad elemento neutro  a +0-a

Por ejemplo: 12+17=17+12 propiedad conmutativa (15*23)*18=15*(23*18) propiedad asociativa Fórmula Es la representación por medios de letras, de una regla o principio general S=C (1+i)n Coeficientes El coeficiente indica las veces que se debe sumar la otra cantidad. Si tenemos dos factores cualquiera de ellos es el coeficiente del otro e indica las veces en que se deberá considerar. Si tememos 4b el factor 4 es el coeficiente del factor b expresa que el factor b se considere como sumado 4 veces, es decir 4b= b+b+b+b y se le conoce como coeficiente numérico.

9

Coeficiente literal Es cuando el coeficiente presenta literal en lugar de número. Ejemplo bz, cw……. Valor absoluto y relativo El valor absoluto de un número real es la magnitud o tamaño del número sin signo. La notación |a | expresa el valor absoluto de a. Ejemplo: |-7|=7, |16|=16, |-58|=58 El valor relativo es el sentido de la cantidad representado por el signo. Demostración: $2000 el valor absoluto es 2000 y el valor relativo es +$2000 que significa haber. El valor absoluto de $-500 es $500 y el valor relativo es deuda, expresado por el signo menos (-). Nomenclatura Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son representaciones, por medio de números, letras y signos, de un conjunto de operaciones que han de realizarse en un orden determinado para obtener un resultado. Ejemplo: 5x, 10x + 25, x + v - 2y Término Término es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos no separados por un signo. Sus elementos son el signo (+,-) el coeficiente, la parte literal y el grado. Ejemplo: 4b, 5ab, -4xyz, 7ab 2, 2b/x.

10

El termino semejante es cuando las letras son iguales y si presentan exponentes son del mismo valor. Monomio Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: 7b, -9c, 3xzw4 Para sumar monomios de semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. 8x3y2 + 9 x3y2 - 4 x3y2 = (8+9-4) x3y2 = 13 x3y2

La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar; se ha de dejar indicada. Para restar monomios semejantes, se suma al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: (-3x2y3) – (7 x2y3) = (-3 x2y3) + (-7 x2y3) = [(-3)+ (-7)] x2y3 = -10 x2y3

Para multiplicar dos monomio se multiplica sus coeficientes y se suman los exponentes de la misma base. Ejemplo: 2x (3x) = 2(3) xx =6x 2 5x2 (-10x3) = -50x5

11

Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes de cada monomio y se restan los exponentes con la misma base. 12x2 /3x = 4x 10x2y4  / -5xy3 = -2xy

Ley de los signos Multiplicación

División

+ por + = +

+ entre + = +

+ por - = -

+ entre - = -

- por + = -

- entre + = -

- por - = +

- entre - = +

NOTA.- En la multiplicación y división signos iguales el resultado es positivo, signos contrarios el resultado es negativo. Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos. Son polinomios las expresiones siguientes: a) 4x2 + 3ab – 2xc b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5 Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: Ejemplo: x2y + 3ab2y3; 2x + 3 son dos binomios. 12

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio. Ejemplo: 5x + 6y + 3z. Con más de tres términos ya se denomina en general polinomio. El grado de un término algebraico corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: el grado de –5x2yz2 es 5 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ÁLGEBRAICAS Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3. Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3 Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: (3xy) (4x2y3) = 12x3y4 División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x 5y3 /2x2y = 2x3y2 Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes. Ejemplo: 7x5 +0x4 +3x3 +4x2-2x 5x5 +0x4 +0x3 -x2 -x 12x5 +0x4 +3x3 +3x2 -3x

13

Ejemplo: 7x – 4x + 2x – x = 4x  –2ab + 6ab + 4ab  – 8ab – ab = - ab

x2y + 5 x2y – 2x2y = 4x2y

Eliminación de paréntesis Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo, si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis, si es negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía. Ejemplo:

a + (b + c) = a + b + c a – (b + c) = a – b – c x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales. Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final. Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base. Ejercicios: P(x)= 2x5 +3x4 -2x3 -x2 +2x Q(x)= 2x3 P(x).Q(x)= 4x8 +6x7-4x6-2x5 +4x4

14

Ejemplos: 5xy2 (-7x3y2) = -35x4y4 2xy (-5x + 4y – 3xy) = -10x2y + 8xy2 – 6x2y2 (3x – 2y)(4x + 5y) = 12x 2 + 15xy – 8xy – 10y2 = 12x2 + 7xy – 10y2 (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = 2a2 – 4ab + 10a 2b – 14a – 5ab + 10b 2 – 25ab2 + 35b. = 2a2 – 9ab + 10a 2b – 14a + 10b 2 – 25ab2 + 35b

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente. Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos. Ejemplos:

                           15

               Aplicaciones: 1.- (-15x2y3) / (3xy-2) = -5xy5

-1

a4

4 -

a b 2.-

=

b2

a-4 b-7

=

3.- (-1) -1 (-1)0 (-1)

-1

-1

=

b2 b5

(a4)-1

a4 b7

=

(b7)-1

b7 a4

=

1 -1

( 1 ) ( -1 )

= -1 (1) (-1) = 1

4.- (x2 + 2x -1) – (3x4 - 4x2 +2x) = x2 +2x- 1 -3x4+ 4x2 – 2x = -3x4 + 5x2 -1 5.- (2v + 4) (v 2 - 6v) =

2v3 -12v2 + 4v2 -24v =

2v3 - 8v2 -24v

6.- (y2 +2y - 4) (y2 –y +5) y2 +2y - 4 y2 - y + 5 y4 + 2y3- 4y2 - y3 - 2y2 + 4y 5y2 +10y - 20 y4 + y3  – y2 + 14y - 20 7.- (2x -3)3 = (2x – 3) (2x – 3)(2x – 3) = 8x3 -12x2 +18x -27 16

8.- (x 2/3 – x1/3) ( x2/3 + x1/2 ) = x4/3 + x7/6 –x 3/3 –x 5/6

=

x4/3 + x7/6 –x  –x5/6

Realice las operaciones indicadas Ejercicios: 1.10 y + 3y 2. 4x3 + 2x3 - 7x3 3. (3y -2y2 +y) + (4y3 -7y) 4. (y -3z) - (3y -4z) + (y-z) 5. (7x2) (3xy2) 6. (-2x2) (x3 - y) 7. (a + b) (a - b)

8. (x-3) (x4-4x+4) 9. (10x3-9y3+ 4x) (-3x) 10. 24x4y3 / (4xy2) 11. x4 -x2 -2x -1 entre x2 + x +1 12. y 4- y2 - 2y -1 entre y2 - y - 1 13.m6 + m5 - 4m4 -4m + m2 -1 entre m3 +m2 -4m -1 14. 21x5 - 21y5 entre 3x - 3y

Fracciones -Suma y resta de fracciones Ejemplos:

                                         17

                                             Multiplicación y división

Ejemplos:

    

                                       Ejemplos:

            18

                                        Máximo común divisor (m.c.d.) De dos o más expresiones es la expresión de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida en cada una de ella. Para monomios se obtiene el m.c.d. de los coeficientes y se escriben las letras comunes considerando a cada letra el menor exponente de las expresiones dadas. 20x, 40 xw m.c.d. 20x Ejercicios. 1. 2. 3. 4. 5.

a2x, ax2 bc2d, b2cd 4x4y, x8y2 12x2y3, 18xy2, 24x3y2 25b4c4, 75b2c2, 150b2c2 y

PRODUCTOS NOTABLES

19

Definición.- Son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Cuadrado de la suma de dos cantidades ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( a - b ) 2 = a2 - 2ab + b2 El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades La suma de dos términos ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Cubo de una suma ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. Cubo de una diferencia ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 20

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término. Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a )(x + b ) = x2 + (a+b) x + ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. EJERCICIOS PREGUNTAS

SOLUCIONES

01 (x + 5)2

= x2 + 10x + 25

02 (7a + b)2

= 49a2 + 14ab + b2

03 (8 - c)2

= 64 – 16c + c2

04 (3x4 -5y2)2

= 9x8 - 30x4y2 + 25y4

05 (xa+1 - 4xa-2)2

= x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4

06 (5a + 10d)(5a – 10d)

= 25a2 – 100d2

07 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)

= 49x4 - 144y6

08 (3a3 - 7xy4)3

= 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

09 (b + 9)(b - 6)

= b2 + 3b – 54

10 (z - 12)(z - 7)

= z2 – 19z + 84

21

1.10. FACTORIZACION Si se multiplican entre si dos a más expresiones, entonces estas reciben el nombre de factores del producto, por tanto, si c = a b, entonces a y b son factores del producto c. el proceso por el cual se escribe una expresión como producto de sus factores se denomina factorización. A continuación se enuncian las reglas de factorizacion, la mayor parte de las cuales se obtiene a partir de los productos notables que se describieron en la sección 1.6 el segundo miembro de cada entidad es la forma factorizada del primer miembro. Reglas de factorizacion 1.-x y + x z = x (y + z) 2.-x2 + (a + b) x + a b = (x + a )(x + b). 3.-a bx2 + (a d + c b) x + c d = ( a x + c)(b x + d). 4.-x2 + 2ax + a 2 =(x + a )2

(trinomio cuadrado perfecto).

5.-x2-2a x + a 2=(x - a )2

(trinomio cuadrado perfecto).

6.-x2-a 2=(x + a ) (x-a )

(diferencia de dos cuadrados).

7.-x3 + a 3=(x + a ) (x2-a x + a 2)

(suma de dos cubos).

8.-x3-a 3=(x-a) (x2+ a x + a 2)

(diferencia de dos cubos).

Cuando se factoriza un polinomio, por lo general se eligen factores que sean también polinomios. Por ejemplo, x2-4 = (x + 2) (x - 2). No se escribe x  – 4. Siempre se debe factorizar en forma completa. Por ejemplo, 2x2 – 8= 2(x2 – 4) = 2(x + 2) (x -2) 22

Ejemplo 1 Factorizar en forma completa las expresiones a.- 3k2x2 + 9k3x. Dado que, 3k2x2= (3k2x) (x) y 9k3x= (3k2x) (3k), cada termino de la expresión original contiene el factor común 3k2x, de modo que por la regla 1, 3k 2 x2 + 9k3x = 3k2x (x + 3k). Obsérvese que aunque 3k2x2 +9k3= 3 (k2x2 + 3k3x), no se dice que la expresión este completamente factorizada, pues todavía puede factorizarse k2x2 + 3k3x. b.- 8 a 5x2y3 - 6a 2 b3yz – 2a 4b4xy2z2 8a 5  x2y3 -6 a 2 b3yz -2 a 4b4xy2z2 =2 a 2y (4 a 3x2y2 – 3b3z – a 2b4xyz2) c.- 3x2+ 6x+ 3 3x2+ 6x +3 =3(x2+ 2x +1) =3(x + 1)2 (regla 4). Ejemplo 2 Factorizar completamente las expresiones: a.- x2 - x- 6 NOTA.- Se deben buscar dos números tales que multiplicados den -6 y sumados den -1. Si se factoriza este trinomio de la siguiente forma: x2- x -6= (x + a) (x + b),que es el producto de dos binomios, entonces deben determinarse los valores de a y b. puesto que (x + a )(x + b)= x2 +(a  + b)x + a  b, entonces:

23

x2 +(-1)x +(-6 ) = x 2 +(a + b)x + a b. Igualando los coeficientes correspondientes, entonces: a + b = -1 y a b = -6

Si a = -3 y b = 2, entonces se satisfacen ambas condiciones y, así: x2 –x - 6 = (x -3) (x + 2) x2 -7x +12 Dos números que multiplicados den +12 y sumados den -7 x2 - 7 x + 12 = (x-3) (x-4) .

Ejemplo 3 Enseguida se listan expresiones completamente factorizadas, los números en paréntesis se refieren a las reglas que se utilizaron. x2 +8x+16=(x + 4)2 9x2+ 9x+2= (3x+2) (3x+1) abx2 + (a d + c b) x + c d = (a x + c) (b x + d) ab = 9

a=3

c=2

ad + cb = 9

b= 3

d=1

cd = 2

24

6y3 +3y2 -18y = 3y (2y2 +y -6) =3y (2y -3) (y +2) x2 -6x +9=(x -3)2 z1/4 +z5/4 =z1/4(1+ z) x4 -1= (x2+1)(x2-1) = (x2+1) (x+1) (x-1) x2/3 -5x1/3+4=(x1/3 -1)(x1/3 -4) a x2-a y2+bx2-by2= (a x2-a y2)+(bx2-by2)

= a (x2-y2)+b(x2-y2) = (x2-y2) (a + b) =(x + y) (x - y) ( a + b) 8-x3= (2)3-(x)3= (2-x)(4 +2x+ x 2) x6-y6=(x3)2-(y3)2=(x3+ y3)(x3-y3) =(x + y) (x2-x y +y2) (x-y) (x2+ x y + y2).

Aplicaciones: 1. 36x2- 25 = (6x+ 5) (6x-5) 2. r2 +2r +1 = (r +1) (r + 1) 3. s2 + 5s -14 = (s +7) (s -2) 3 4. (x2 - 4) 3 + (4 – y2)3 =

(x2 - 4) (4 – y2)

5. a3 + a2b - b3 –ab2 25

a3 + a2b - b3 +ab2 (a3 + a2b) - ( b3 +ab2) a2(a + b) - b2 (b+a) (a2- b2) (a+b) Factorice los polinomios Ejercicios. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2ax -8a3 4x3z - 6xz3 + 8x3y3 x2 - 8x +12 x3 + x + 3 t2 + 9t -36 y3 + 4 .100x2 -225 x3 - 3x2 - 40x

UNIDAD II. EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS Exponentes Si n  es un entero positivo, la notación exponencial a 2  que se define en la tabla, representa el producto del número real a  multiplicado n  veces por si mismo. La expresión a 2  se lee a  a la enésima potencia o simplemente a  a la n . El entero positivo se llama exponente y el número real a , base.

26

Notación exponencial Caso general (n es cualquier entero positivo)

Casos especiales

Ejemplos: 

Es importante observar que si n  es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de a n en la expresión 3an. Ejemplo 

Ahora

ampliamos

la

definición

de

a n 

a

exponentes

no

positivos.

Exponente cero y negativo Definición (a diferente de 0)

Ejemplo

27

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a  a la derecha es m+n , esta expresión es igual a a m+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación: Ley

Ejemplo

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

La raíz n -ésima principal de x es aquella raíz n -ésima de x que sea positiva, si x es positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por

n

 x

.

28

Por lo tanto: n

 x

es

Positiva si x es positiva. Negativa si x es negativa y n es impar. A la expresión

n

 x

se le denomina radical, aquí, n es el índice , x es el radicando  y

es el signo del radical. Con las raíces cuadradas principales normalmente se omite el índice y se escribe solo

 x

en vez de

2

 x

. Por tanto

9

=3

Por concepto podemos entender que el radical es el signo que se utiliza para indicar la extracción de raíces, dependiendo directamente de lo que indique el índice y esto a su vez se multiplica para llegar al radical. Ejercicios: 1. 2. 3. 4.

a3/2. a4/3 x1/3. x2/5. x3/10 √625 √16a8b4

Radicales:

        √         √  Si

Entonces a es la raíz n-ésima de b .

Si

Entonces a= 

=2 29

√   

√   



√   



Leyes de radicales

 I.- ( √ )   

II.-

 √   √   √  √   √  √     √      √  ⁄  √ 

III.-

IV.V.-

Ejemplos:

 ( √ )   

 (√ )   

√   √   √       √   √  √      √   √   √           √   √     √     √    

30

 ⁄  √ ⁄√                         √    

(49)-1/2 = 1/(49)1/2 = 1/7 Logaritmos

El logaritmo es la potencia a la que se eleva una base para que resulte determinado número, o sea el logaritmo viene ha ser un exponente. Los logaritmos contemplan dos partes una llamada característica que es la parte entera del logaritmo que puede ser positiva o negativa y la mantisa que es la parte fraccionaria de los logaritmos. 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104= 10000 Propiedades generales de los logaritmos. Propiedad 1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de cada uno de los logaritmos de los factores. Logb uv = logb u + logb v 31

Propiedad 2: El logaritmo de un cociente es igual a la resta de cada uno de los logaritmos de los dividendos: Logb u/v = logb u – logb v Propiedad 3: El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Logb un = n logb u Propiedad 4:

Logb b = 1

Propiedad 5:

Logb 1 = 0

Propiedad 6:

Logb blogb x = x

Propiedad 7:

Logb bx = x

Resolver por logaritmo las siguientes operaciones Ejercicios. 1. 2342 2. 45 (23546) 3. 4563 entre 25 4. (2345)3 5. 0.276534

32

UNIDAD III. INTERÉS SIMPLE MATEMATICAS FINANCIERAS Es una rama de las matemáticas aplicada que resulta interesante por si misma debido a su aplicabilidad inmediata en problemas prácticos; así mismo, es una herramienta básica en finanzas, ingeniería económica, evaluación de proyectos, economía, etc.1 El estudio de la matemática financiera nos capacita para elaborar modelos matemáticos que nos permitan resolver de una manera más racional los problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria. Las matemáticas financieras sigue teniendo como propósito primordial presentar las herramientas matemáticas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla posible, es decir, abordando los temas con la menor complejidad matemática que el tema permite.2 Las Matemáticas Financieras son una herramienta para la toma de decisiones en el área financiera, y necesarias para cualquier profesional que esté relacionado con el manejo de recursos financieros propios o de la empresa. Con este programa se pretende brindar los fundamentos requeridos para la toma de decisiones en el quehacer cotidiano, como préstamos e inversiones. Es la rama de las matemáticas aplicadas enfocadas a la resolución de problemas sobre el valor del dinero en el tiempo: monto, tasa de interés, anualidades, gradientes (pagos crecientes y decrecientes), etc. La base matemática para el análisis de los problemas anteriores son los despejes, 1

2

Libro: Matemáticas Financieras, Héctor m. Vidaurri Aguirre. Libro: Matemáticas Financieras, Alfredo Díaz Mata 

33

las leyes de los exponentes, las operaciones con logaritmos, y las progresiones aritméticas y geométricas principalmente. Las Matemáticas Financieras se refieren al cálculo de los factores que conforman el Mercado Financiero. La existencia de un Mercado viene dada por la presencia de un “bien escaso”: nos referimos en este caso al Capital, uno de los recursos básicos de la actividad económica.

PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS FINANCIERAS Las Matemáticas Financieras sirven para calcular; intereses, rentas y la matemática de seguros. Abarca también el análisis que se refiere al valor del dinero en diferentes tiempos; como inversiones, préstamos, etc. Las Matemáticas Financieras sirven para elaborar modelos matemáticos encaminados a interpretar y resolver los problemas financieros que se presenten en la vida diaria. INTERES SIMPLE TASA DE INTERES: Las tasas de interés son el precio del dinero en el mercado financiero. Al igual que el precio de cualquier producto, cuando hay más dinero la tasa baja y cuando hay escasez sube, por lo que los demandantes desean comprar menos, es decir, solicitan menos recursos en préstamo a los bancos o intermediarios financieros, mientras que los oferentes buscan colocar más recursos. Lo contrario sucede cuando baja la tasa: los demandantes del mercado financiero solicitan más créditos y los oferentes retiran sus ahorros.

34

DEFINICIONES DE TASA DEFINICION DE RAU: "la tasa es la contraprestación por un servicio especial dispensado por él a quien se la abona". DEFINICION DE GARCIA BENSULCE: "tasa es la contraprestación en dinero que pagan los particulares, el estado u otros entes de derecho público en retribución de un servicio público determinado y divisible". Las tasas financieras son: La tasa nominal (J) que indica el porcentaje durante un año. La tasa efectiva (i) que interviene en la operación financiera y que se aplica a cada periodo de tiempo i = j / m TIEMPO El Tiempo es el periodo por el cual es tomar prestado el dinero, en un problema financiero, con la finalidad de su pago en un plazo definido. Días inicial y terminal. Para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 15 días. En algunos países se acostumbra contar el primero y el último día; en tal caso, el tiempo comercial seria de 16 días. Fecha de vencimiento. La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si se acostumbra contabilizar solo el día terminal. Si la fecha terminal corresponde a un día festivo, el sistema local indicara si el pago debe recibirse el primer día hábil siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. 35

La unidad de tiempo es el año AÑO

DÍAS

MESES

DIAS/MES

REAL

365

12

REAL

COMERCIAL

360

12

30

PERIODOS EN EL AÑO: MESES

12

BIMESTRE

6

TRIMESTRE

4

SEMESTRE

2

Interés: pago realizado por la utilización del dinero de otra persona. En Economía, se considera, más específicamente, un pago realizado por la obtención de capital. Los economistas también consideran el interés como la recompensa del ahorro, es decir, el pago que se ofrece a los individuos para que ahorren, permitiendo que otras personas accedan a este ahorro. Para la teoría económica, el interés es el precio del dinero. Interés: Es la manifestación del valor del dinero a través del tiempo Interés: Es el pago por el uso del dinero. Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un rédito (renta de capital) o intereses, por el uso del dinero tomado en préstamo, en general el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo. Interés Simple: Cuando solo el capital gana intereses

36

Normalmente sólo se pagan intereses sobre el principal, es decir, sobre la totalidad del dinero prestado, lo que se denomina Interés Simple Ejemplo: una persona realiza un deposito en una inversión a plazo fijo de 28 días por $ 1,000.00 y si al final del plazo retira su inversión junto con los intereses $ 100.00 entonces estará ganando un Interés Simple es decir $ 1,100.00, pero si no se realiza ningún retiro entonces los interese formaran parte del capital $ 1,100.00 y generaran intereses, en estas condiciones su inversión estará ganando un Interés Compuesto, porque al final del segundo mes su inversión seria de $ 1,210.00. Interés simple: es cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital original varié. Se usa principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras palabras el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo. Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en el periodo siguiente. El interés simple se define como el producto del capital inicial, la tasa de interés y el tiempo. El interés simple se usa principalmente en deudas a corto plazo, de un año o menos, y el interés se calcula solo sobre el importe que se debe. Interés ordinario o comercial: es el interés que se calcula, considerando el año en 360 días.

37

Interés real o exacto: es el interés que se calcula con año de calendario a 365 días o 366 días si se trata de un año bisiesto. Fórmula para calcular el interés ordinario o comercial: C = capital. T = tiempo. I = interés ordinario. R = tasa de interés. Formula para calcular el interés real o exacto:  C = capital. T = tiempo. Ir = interés real R = tasa de interés.

EJEMPLO:  Calcular el interés ordinario o comercial y el interés real de 15,000.00 prestado al 20% durante 90 días. DATOS: FORMULAS: SUSTITUCIONES: C = 15,000.00 T = 90 días. R = 20% I=?

I = $ 750.00

$

Ir = $ 739.73

Generalizado la formula, para el cálculo del interés tenemos la siguiente formula:

38

I = interés  C = capital

I= C n i

n = Tiempo i = Tasa de interés. Ejemplo: calcular el interés que debe pagar por un préstamo de $7, 000,000.00 a una tasa de 10% en 240 días en el año real o exacto. DATOS: FORMULA: I =? C = $ 7, 000,000.00 

I = 7, 000,000 (0.66) (0.10) I=Cni

I = $ 462,000.00 

i = 10% n = 240/365 = 0.66 Monto: Es el estudio del valor en fecha futura que se obtendrá o que se convertirá el capital colocados en fechas anteriores. “es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro. FORMULA PARA EL CÁLCULO DEL MONTO:  C = Capital FORMULA: i = Tasa del interés. n = Tempo. S = C (1 + ni) S = Monto. EJEMPLO: Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000.00 al 8% de interés a 143 días. DATOS: FORMULA: SUSTITUCION: C = $ 20,000.00 i = 8% = 0.08

S = C (1 + n i)

S = 20,000[1+ (0.40) (0.08)] S = 20,000 (1.032) 39

n = 143/360 = 0.40 S = ¿?

S = $ 20,640.00

Tasa nominal:  es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa anticipada o tasa vencida según se convenga aplicar, la tasa de interés al inicio o al término de la operación financiera. Ejemplo: Calcular la tasa de interés simple proporcional mensualmente a la tasa del 9% anual.

¿Cuál será la tasa de interés el monto de $ 20,000.00 a un monto de $ 21,200.00 a un interés simple, en 9 meses? Datos: S = $ 30,100.00 C = $ 20,000.00 n = 9/12 = 0.75 año . i=?

Formula:

Sustitución:

i = 0.08

RESULTADO = 8% anual

PROBLEMA 1 Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000 el 22 de julio, si el pagare se firma el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al 8% de interés. Datos: 40

C = 20,000 S =? J = 8 % 0.08 t = 30 de enero – 22 de junio 1

28

31

30

31

22

30

F

M

A

M

J

Enero 143 días Ejemplo n



143 365

t  



n



t 



año

6meses 12



4 1



4años

1 / 2

0.3917años

S = C (1- ni ) S = 20,000 1  0.3917 (0.08 ) S = 20,000 1.0.3917  S= 20,626.72

PROBLEMA 2 Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9 % anual. Datos J = 9 % anual 41

i

i





 J 

i = 0.75% mensual

m

9% 12



0.09 12



0.0075

PROBLEMA 3 Calcular el interés simple que produce un capital de 10,000 en 4 años 6 %. C = 10,000 n = 4 años i=6% I=?

 I   Cni  I  = 10,000(4) (0.06)  I  = 2,400

4.- Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes pagarés. Valor nominal a) $ 3,000 b) $ 5,000 c) $ 2,000 d) $ 4,000

fecha inicial 20 de mayo 5 de abril 3 de mayo 28 de noviembre

S = c (1 + ni) S =? C = 3,000 S = 3,000 (1 + 0.1666) (0.07)) S = 3034. 986

plazo 2 meses 60 días 3 meses 120 días

tasa 7% 8% 6% 8%

n = 2*30 = 60/360 = 0.1666 2/12 meses = 0.1666 i = 0.07

42

Vencimiento = 20 de Julio S = c (1 + ni) S =? C = 5,000

n = 60/360= 0.1666 i = 0.08 S = 5,000(1 + (0.1666) (0.08)) S = 5,066.64

Vencimiento = 4 de junio S = c ( 1 + ni ) C = 2,000 N = 3/12 = 0.25 i = 0.06

S = 2,000 (1 + (0.25) (0.06)) S= 2,030.00 S = c ( 1 + ni 0 c= 4,000

n= 120/ 360 días = 0.3333 i = 0.08

S= 4,000 (1 + (0.3333) (0.08)) S = 4,106.65

5.- Calcular el interés simple comercial de: a) $ 2,500 durante 8 meses al 8 % I =C ni C = 2,500 N = 8/12 = 0.6666 I = 0.08

I = (2,500) (0.6666) (0.08) I = $ 133.32

b) $ 60 durante 63 días al 9 % I = C ni C = 60,000 n = 63/360 = 0.175

i = 0.09 I = (60,000) (0.175) (0.09) I = $ 945.00

43

c) $ 12,000 durante tres meses al 8 ½ % I = C ni C = 12,000 N = 3/12 = 0.25

i = 0.085 I = (12,000) (0.25) (0.085) I = $ 255.00

d) $ 15.000 al 10 % en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año. C = 15,000 i = 0.10

18-4= 14 abril - septiembre = 153

I = $ 15,000 (0.4555) (0.10) I = $ 683.25 6.- Calcular el interés simple comercial de: a) $ 2,000 durante 3 años al 0.75 % mensual. I = Cni C= 2,000 I= (2,000 ) ( 3 ) ( 0.09 ) n= 3 años I = $ 540.00 i = 0.0075 * 12 = 0.09 * 0.75/100 = 0.0075 b) $ 4,000 durante 2 años y 3 meses al 0.5 % mensual I = C ni C = 4,000 n= 2 + 3/12 = 2 + 0.25 = 2025

( 4,000) ( 2 ) ( 0.06 ) = 480

44

i = 0.5/100 = 0.005 * 12 = 0.06 I = ( 4,000 ) ( 2.25 ) ( 0.06 ) I = $ 540.00

( 4,000) ( 3 ) ( 0.005)=

c) $ 10,000 durante 4 años al 5 % semestral I = C ni C = 10.000 I = (10,000) ( 4 ) ( 0.10 ) n = 4 años = 8 semestres I = $ 4,000.00 i = 5/100 = 0.05 * 2 0 0.10 I = (10,000 ) ( 8 ) ( 0.05 ) I = $ 4,000 d) $ 25,000 durante 1 año 3 meses al 6 % semestral I = C ni C = 258,000 n = 1+ 3/12 = 1 + 0.25 = 1.25 I = (25,000) (1.25) (0.12) i = 6/100= 0.06 * 2 = 0.12 I = $ 3,750.00 7.- Calcular el interés simple comercial a) $ 5,000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0.75 % mensual I = C ni C =5,000 n = 3+2/12+20/360= I = (5,000) (3.222) (0.09) n = 3+ 0.1666 + 0.0555 n = 3.222 I = $ 1,449.90 i = 0.75/100= 0.0075 * 12 = 0.09 b) $ 8,000 durante 7 meses 15 días al 1.5 % mensual. I = C ni C = $ 8,000 I = (8,000) (0.625) (0.18) n = 7/12 + 15/360 I = $ 9*00.00 n = 0.5833 + 0.04166 45

n = 0.625 i = 1.5/100 = 0.015 * 12 = 0.18 8.- Calcular el interés exacto o real de: Del problema 15 (a) utilizando la relación entre el exacto y el comercial $ 2,500 durante 8 meses al 8 % C = $ 2,500 t = 8 meses * 30 = 240 días r=8%

= $131.33 = $131.50 Ir = Io – 1/73 Io Ir = 133.33 – 1/73 (133 .33) Ir = 133.33 – 1.826438356 Ir = $ 131.50

$ 7,000 durante 105 días al 8 % I = C tr C = $ 7,000 t = 105 días

I = (7,000) (105) (0.0002191781) I = $ 161.09 46

f = 0.0002191781 r=8%

$ 4,000 el 16 de noviembre si el pagare se firmo el 16 de julio del mismo año C = $ 4,000 t = 123 días/ 365 = 0.3369 r =5% I = (4,000) (0.3369) (0.05) I = 67.38 C = 6,000 n = 0.3333 i = 0.09

I = (6000) (0.3333) (0.09) I = $ 179.98

d) $ 6,000 durante 4 meses al 9 % C = $ 6,000 t = 4 meses * 30 = 120 dias r=9%

9.- Un señor pago $ 2,500.20 por un pagare de $ 2,400 firmado el 10 de abril de 1996 a un con 4 ½ % de interés ¿En que fecha lo pago? C = 2,400 47

t =? r = 4 ½ % = 4.5 I = 2,500.20 – 2,400 = 100.20

El día 10 de mayo de 1997 lo pago

1 año – 360 0.927 - x

20.-El propietario recibió el 15 de mayo de l996 de una casa las tres ofertas que se detallan a continuación ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9%? $60,000 al contado y un pagare al 10 de septiembre de l996 por $32,600

48

118 días / 360= 0.3277

$60,000 + 31,666.07= $91,666.07 mejor opción $30,000 a 120 días y $63,500 a 180 días Si = 30,000 n= 120/360=0.3333 i= 9 % = 0.09 c =$29,126.29 S2 =63,500 n2 =180/360=0.50 i= 9 % = 0.09

c = $60,765.55 $29,126.29 + $60765.55 = $89,891.84

$20,000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71,000 a 120 días S= 71,000 n= 120 dias/360 = 0.3333 i= 0.08 49

c = 69,156.02

$20,000 + 69,156.02 = $89,156.02

10.- Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120,000 a un interés del 8% el 15 de Julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? C = $ 120,000 n = 150 / 365 = 0.4109 i =0.08

C= 120,000 i =0.10 n= 0.1452

S = C (1+ n i) S= 120,000 (1+ (0.4109)(0.08)) S= 120.000 (1.032872) S= 123,944.64

S= 120,000(1+(0.1452)(0.10) S= 121,742.40

53 DIAS/365= 0.1452

11.- Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con intereses del 9% sobre saldo, que ha tenido el siguiente movimiento: 1 de enero saldo 10 de febrero 20 de febrero

debito abono cargo

$15,000 $12,000 $ 8,000 50

18 de marzo 30 de abril 20 de mayo 6 de junio

abono cargo cargo abono

$20,000 $10,000 $ 8,000 $ 3,000

Fecha

Detalle

1 de enero

saldo

10 de febrero

abono

20 de febrero

cargo

18 de marzo

abono

30 de abril

cargo

10,000

20 de mayo

cargo

8,000

6 de junio

abono

30 de junio

Debe

Haber

Saldo

Ds.

Numeral

3,000

40

600,000

11,000

10

30,000

20,000 (9,000)

26

286,000

1,000

43

387,000

9,000

20

20,000

6,000

17

153,000

24

144,000

15,000 12,000 8,000

3,000 212

846,000

I= NF I= 846,000 (0.00025) I = 211.50

9/36,000=0.00025

12.- Una persona debe cancelar $14,000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagare tiene como cláusula penal que, en caso de mora , se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado, ¿qué cantidad paga el deudor , 70 días después del vencimiento? S = C (1+ ni)

51

C = $14,000 S = $ 14,000(1+(0.25)(0.08)) n= 3/12=0.25 S = $14,000(1,02) i= 0.08 S =$14,280 3 meses x 30 3 meses * 30= 90 días +70 días = 160 días =90 días n2= 70/360= 0.1944 I=Cni +70 días i2= 0.10 I = (14,000)(0.1944)(0.10) 160 I = 272.16 160/360= 14,280+272.16= $14,552.16 0.4444 13. en el problema anterior, calcular el total de intereses pagados y la tasa de interés cancelada por el deudor en toda la operación. S= C(1+ni)

14,552.16=14,000(1+0.4444i) 14,552.16= 14,000+6,221.60

S= 14,552.16 C=14,000 n= 0.25+0.1944=0.4444 años i=? I=S-C I= Cni I= (14,000)(0.25)(0.08)= 280.00

i = 0.0887 i= 8.87%

14,552.16

I= 14,552.1614,000.00

I= (14,000)(0.1944)(0.10) = I = 552.16 I= Cni 552.16= 14,000 (0.4444) i I=8.87%

52

14.-Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20,000.00 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe sólo $19,559.90 ¿A que tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagare? S = C (1+ ni) S = 20,000 C = 19,559.90 n= 90 días/360 = 0.25

20,000= 19,559.90 (1+ (0.25) i) 20,000= 19,559.90 + 4,889.975

S = 20,000 n = 90 días/360= 0.25

i= s/c –1 20,000

C = 19,559.90

i=0.090 i= 9%

= 0.09 i = 9%

15.- Una persona firma los siguientes pagares con el 8% de rendimiento: $10,000 a 130 días; $12,000 a 90 días y $8,000 a 180 días. Transcurridos 30 días, propone efectuar un pago de $10,000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de rendimiento, determinar el valor de este pago único Nuevos valores:

X + 10,000 1 + 1 (0.09)

6 X 30 = 180

180/360= 0.5 = ½ X + 10,450 C (1 + ni) Antiguos: 10,000 1 + 1/3 (0.08) 1+1/4 (0.09) + 12,000 

1 + ¼ (0.08) 1+ 1/3 (0.09)  + 8,000



1 + ½ (0.08) 1 + 1/12 (0.09)  53

10,000 (1.026666667) (1.0225) + 12,000 (1.02)(1.03)+ 8,000 (1.04)(1.0075) 10,000(1.049766667) + 12,000 (1.0506) + 8,000 (1.0478) 10,497.66 + 12,607.20 + 8,382.40 X + 10,450 = 10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40 X = 10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40 – 10,450 X = $21, 037.26

16. Una persona debe $20,000 con vencimiento a 3 meses y $16,000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal la fecha dentro de un año) X 1 + (0.08)(6/12+ X =20,000 1 + (0.08)(9/12) + 16,000 1 + (0.08)(4/12) 

1.04x+ x = 20,000 (1.06) + 16,000 (1.0267) 2.04x= 21,200 + 16,426.67 2.04x=37,626.67 $18,444.45 c/ pagaré 17. 10,000 a 30 días 12,000 a 30 días 8,000 a 30 días 30,000 a 30 días

= $10,065.75 = $12,078.90 = $8,052.60 = $30,177.27

54

Pago hecho

- 10,000.00 20,197.27 a 180 días

Con un 9% de rendimiento $ 21,093.68 18. Una persona debe los siguientes pagares con el 8%:$6000 exigible dentro de 3 meses, firmando a 6 meses de plazo, $8000, exigible dentro de 6 meses , firmando a un año plazo, y otro de $5000 sin intereses, exigibles dentro de 9 meses. Su acreedor acepta recibir tres pagos iguales con el 9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obligaciones, así: el primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un año de plazo. Determinar el valor de estos pagos iguales. Determínese la fecha focal. X (1+0.99 + x [1+6/12)] (0.9) + x = 6,240 [1+0.9)(9/12)] 8,640 [1+0.9) (9/12 ] 5,000 [1+0.9) (9/12 ] x (1.09) + x(1.045) + x = 6,240 (1.0675) + 8,640 (1.045) + 5000 (1.0225) 3.135x = 6,661.20 + 9,028.80 + 5,112.50 3.135x = 20,802.50 x = 20,802.50 3.135 = $6,635.56 c/pagaré I=cni I = (6,000) (0.08) (6/12)= 240 + 6000 = 6,240 I = (8,000) (0.08) (1) = 640+8,000 =8,640

19. tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situación: una persona obtiene un préstamo de $24,000, el cual debe pagar mas los intereses, en 55

6 pagos mensuales iguales a partir del tercer mes, a una tasa de 19.5%. I=Cni I = (24,000) (3) (0.01625)= $1,170 S = C (1+ ni) S =25,170 I =S-C i = 25,170 -24,00=1,170

25,170/ 6=$4,195 S1 = $4,195 (1+1(0.01625)= $4,263.61 I = $4,263.16-4,195= $68.16 S2=$4,263.16 [1+1(0.01625)] =$4,332.43 I = $4,332.43- 4,263.16 =$69.27 S3=$4,332.43 [1+1(0.01625)]= $4,402.83 I = $4,402.83-4,332.43 =$70.40 S4=$4,402.83 [1+1(0.01625)]=$4,447.37 I = $4,474.37- 4,402.83 0$71.54 $24,000 $25,595.95 + 1,170 - 24,000.00 68.16 $1,595.95 69.27 interés Ganado 70.40 71.54 S5 =$4,474.37 [1+1(0.01625)]=$4,547.07 72.70 I = 4,547.07 – 4,474.37 =$72.70 73.88 S6=4,547.07 [1+1(0.01625)] =4,620.95 $125,595.95 I =4,620.95-4,547=473.88

20. tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos por valor de 30000, emitidos por una empresa, los cuales son redimibles dentro de 9

56

meses, si paga el 5.6% trimestral de intereses por trimestre vencido y el bono tiene un valor de $29,000. $35,327.50 5.6%=0.056 S1 = 30,000 [1+1(0.056)] I =S-C = $31,680 - 30,000 S2 = $31,680 [1+1(0.056)] I = $33,454.08 - 31,680 S3 = $35,454.08 [1+1(0.056)] I = 35,327.50 - 33,454.08

= $31,380 = $1,680.00 = $33,454.08 = $1,774.08 = $35,327.50 = 1,873.42

INTERES GANADO $35,327.50 - 29,000.00 6,327.50

Ejercicios 1. calcular el interés simple comercial de : A- $4900 durante 11 meses al 6% B- $105000 durante 89 días al 10% C- $ 3500 durante 4 años al 0.65% mensual D- $5100 durante 3 años 5 meses al 0.4% mensual E- $9000 durante 5 años 4 meses 15 días al 0.65% mensual F- $11000 durante 11 meses 24 días al 1.8% 2. Calcular el interés exacto de: A- $5000 durante 145 días al 6% B- $20000 durante 8 meses al 7% C- $3000 el 22 de enero si fue firmado el 11 de septiembre del mismo año 3. Alejandro pagó $ 37100.20 por un pagare de $3600 firmando el 16 de mayo de 1999 con 5% de interés ¿en que fecha lo pago?

57

4. Cerrar al 26 de julio una cuenta corriente con interés del 11% sobre saldos, que ha tenido el siguiente movimiento: 1 de enero saldo debito 15 de febrero abono 24 de febrero cargo 22 de marzo abono 30 de abril cargo 12 de junio cargo 2 de julio abono

$18,000 $ 9,000 $ 5,000 $19,000 $ 8,000 $ 6,000 $ 2,500

5. Daniela castro descuenta un pagaré de $33000 al 13 de abril con vencimiento el 11 de julio y recibe solo 32 559.90 ¿a que tasa de descuento racional o matemático le fue descontado el pagaré? 6. Juan Pérez debe $200 000 con vencimiento a 6 meses y $160 000 con vencimiento a 16 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales a 12 meses y dos años, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 16% de rendimiento (toma como fecha focal la fecha dentro de un año).

UNIDAD IV.

INTERÉS COMPUESTO

58

Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital formando un monto sobre el cual se calcularan los intereses en el siguiente intervalo o periodo de tiempo y así sucesivamente se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a INTERÉS COMPUESTO. FACTORES QUE AFECTAN EN EL CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO: Función del tiempo: El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo instante, estos crecimientos son funciones continuas del tiempo; en la capitalización del interés compuesto también se produce el crecimiento continuo. Periodo de capitalización: Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses. Tasa de interés compuesto: Es el interés fijado por el periodo de capitalización. Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto: Es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses. Tasa nominal: Es la tasa convenida para una operación financiera. Tasa efectiva: Es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. Tasas equivalentes: Son aquellas que en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual. Símbolos i = Tasa efectiva 59

j = Tasa nominal anual m = número de capitalizaciones en el año. Formulas para el monto: (S ó F) S = C (1 + i) mn Ejemplo Se conviene una deuda de $ 1,000.00 en 5 años de plazo al interés del 10% con capitalización anual. NUMERO DE PERIODOS 1

CAPITAL AL PRINCIPIO DEL PERIODO 1000

INTERESES EN EL PERIODO 100

CAPITAL MAS INTERES AL FINAL DEL PERIODO 1100

2

1100

110

1210

3

1210

121

1331

4

1331

133.10

1464.10

5

1464.10

146.41

1610.51

Sustituyendo en la formula anterior tenemos un monto: $ 1, 610.51 Donde: s = monto c = capital i = tasa de interés n = periodo de tiempo CÁLCULO DEL TIEMPO Se puede calcular usando la tabla 1 o mediante la aplicación de logaritmos.

Ejemplo:

60

¿En que tiempo un depósito de 1000 se convertirá en 1500 al 6% con capitalización semestral? F = P (1+ j /m) m n F = 1500 p = 1000 j = 0.06 1500 = 1000 (1+0.03)2n (1+0.03)2n = 1500/1000 = 1.5

m=2

En la tabla I buscan en la columna del 3% los valores  –por exceso y por defectomas próximos a 1.5 este valor se encuentra entre 1.46853371 que corresponde a 13 periodos y 1.5125872 que corresponde a 14 periodos. Interpolando como en el caso anterior se tiene: A 14 corresponde 1.51258972 a 13 + x corresponde 1.50000000 A 13 corresponde 1.46853371 a 13 + x corresponde 1.46853371 1 es a 0.04405601 como x es a 0.03146629 1/445601 _ x/ 3146629 x = 3146629/4405601 x = 0.7142337 2n= 13+0.7142337= 13.7142337 n = 6.8571 años. Mediante la función de logaritmos (1.03)2n = 1.5 2n Log (1.03) = Log (1.5) 2n Log (1.5)/ Log (1.03) = 0.176091/0.012837 2n=13.7172 n = 6.8586 años. 61

EJERCICIOS APLICADOS AL INTERES COMPUESTO 1. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100 para 10 años: a) Al 5 %efectivo anual nm

nm

F = p(1+ j/m)

= S = C(1+ i) DATOS: C = $100 n= 10 años m= 1 año i= 0.05%

(10)(1)

S= $100 (1+0.05) S = $100 (1.6289) S = $162.89

b) Al 5 % capitalizable mensualmente C= $100 i= 0.05 m= 12 meses i= 0.05 = 0.00416 m 12 N = 10 años mn = (12)(10) = 120

nm

S= C(1+i/m) (12)(10) S= $100 (1+0.05/12) 120 S= $100 (1.004166667) S= $100(1.64009498) S= $164.70

c) Al 5 % capitalizable trimestralmente DATOS C = $100 I = 0.05

nm

S= C(1+ i/m) S= $100 (1+0.05/4)

(10)(4)

62

m= 4 trimestres i = 0.05 = 0.0125 m 4 n= 10 años mn= (4)(10)= 40

S= $100 (1.0125) 40 S= $100 (1.643619463) S= $164.36

d) Al 5 % capitalizable semestral DATOS C = $100 i= 0.05 m = 2 semestres i = 0.05 = 0.025 m 2 n = 10 años mn= (2)(10)= 20

nm

S= C(1+ i/m) S= $100 (1+0.05/4) S= $100 (1+ 0.025) S= $100 (1.6386) S= $163.86

(10)(2) 20

2. Hallar el valor futuro a interés compuesto de: a. $5,000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años DATOS C = $5,000  j = 0.06 m= 2 semestres i =j/m = 0.06/2 = 0.03 n= 20 años mn= (2)(20)= 40

nm

S= C(1+ i/m) S= $5,000 (1+0.03) S= $5,000 (3.2620) S= $16,310.00

40

b. $4,000 al 7% capitalizable semestralmente en 70 años DATOS nm 63

C = $4,000  j = 0.07 m= 2 semestres i =j/m = 0.07/2 = 0.035 m =2 N = 70 años Mn = (2)(70)=140

S= C(1+ i/m) S= $4,000 (1+0.01875) S= $4,000 (123.4948) S= $493,979.20

48

c. $9,000 al 7 ½ capitalizable trimestralmente en 12 años DATOS C= $9,000  j= 0.075 m = 4 trimestres i=j/m=0.075/4= 0.01875 m = 4 n= 12 años mn= (4)(12)= 48

nm

S= C(1+ i/m) S= $9,000 (1+0.01875) S= $9,000 (2.43919) S= $21,952.71

48

d. $8,000 al 6 ½ capitalizable mensualmente en 30 años DATOS C= $8,000  j= 0.065 m= 12 meses i =j/m= 0.65/12 = 0.005416 m = 12 n= 30 años mn= (12)(30)= 360

nm

S= C(1+ i/m) S= $8,000 (1+0.005416) S= $8,000 (6.991797974) S= $55,934.38

360

64

3. Hallar el valor futuro $20,000 depositados al 8% capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses en forma. A. Teórico DATOS C = $20,000  j = 0.08 m= 10 años 4 meses 4/12= 0.33333 m= annual (1)

nm

S= C(1+ i/m) S= $20,000 (1+0.008/1) S= $20,000 (2.215025889) S= $44,300.51

10.33 (1)

B. Comercial S = C(1+ i/m) nm 10 S = $20,000 (1+0.08/1) = 43,178.49 [1+ 4/12 (0.08)] S= $43.329.91

4- Hallar el VF de $10,000 depositados al 8%, capitalizables trimestralmente durante 32 años 7 meses, 22 días. DATOS C=10,000 130  j = 0.08

mn A) S= C (1+ j/m) S=10,000

n = 32 años, 7 meses, 22 días

B) S= $131,226.73 [1+ 52/360 (0.08)] 65

S= $132,743.15 m = 4 trimestres 7/12 = 0.583333333 22/360 = 0.061111111 n = 32x4+2=130 Trimestres 22 días + 30 = 52 días Sobra un mes 3+3= 6-7 meses = 1 mes = 30 días 5 - Una persona deposita $ 3,000 el 22 de abril de 1995, en una caja de ahorros que paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada año ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre del 2002? mn S= C (1+ i ) m

DATOS S= ¿

15.15 C= 3,000

S= $3,000 ( 1+ 0.06 ) 2 S= $4,694.67

 j= 0.06 m= 2 semestres n=? 2002-1995= Abril - nov =

7 años 214 días 66

22-14=8

-8 206 días

206/30 = 6.87 = 6 meses = 1 semestre 0.87/6 = 0.145 = 0.145 semestres 7x2 = 14+1+0.145=15.145 semestres = 15. 15 6- Un banco pagaba el 5% de interés compuesto, capitalizable trimestralmente, el 1º de enero de 1996 modificó la tasa elevándolo al 7% capitalizable semestralmente. Calcular el monto compuesto que tendrá el 1º de enero del 2006, un depósito de $10,000, efectuando el 1º de abril de 1993. DATOS mn S= ? C =10,000

S= C (1+ i ) m S = 10,000 (1+ 0.05)11 4 S = 11,464.24

i = 0.05 m = 4 trimestres n = 2 años 9 meses = 11 trimestres 1994-1995 = 2 años x 4 = 8 trimestres 1993= 3 trimestres 8+3 = 11 trimestres

40 C=11,464.24 S=?

S=11,464.24 (1+ 0.07) 2 S= 45,389.90 67

 j= 0.07 m= 2 semestral 1996 – 2016 = 20 años n = 20 años mn =20x2 = 40 semestres i=i/m = 0.07/2= 0.035 7- Un padre muere el 20 de marzo de 1996 y deja a su hija $100,000 para que le sean entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una cuenta que gana el 6% capitalizable anualmente. El 22 de septiembre del año en que murió el padre, la hija cumplió 10 años. Calcular la cantidad que recibirá en la edad fijada. (int. Real.). DATOS S= ?

nm S= C (1+ i/m ) (8.52) (1)

C= 100,000 i= 0.06 m= 1 anual n= 8.516666667 = 8.52

S=100,000 (1+ 0.06/1) S= 164,288.049

22 Sep - 20 marzo = 2 Marzo – sept. = 184 días + 2 = 186 días 186/360= 0.516666666 1996 + 8 = 2004 18 – 10 = 8 años 8- Hallar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años, 5meses. Ala tasa efectiva anual de 6.32%. 68

DATOS C = $100

n S = C (1+ i)

n = 10 años, 5 meses

10.4166 S = $100 (1 + 0.0632)

i = 6.32%

S = $ 189.33

5/12 = 0.4166 10+0.4166= 10.4166 9- ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable trimestralmente? nm nm (1+ i ) = (1+ i ) 0.08/4= 0.02 (1+ 0.02)4 = (1+ i 2 (1.02)4 = (1+ i)2 1.08243216 = (1+ i )2 (1+ i ) = 1.08243216 2 log (1+ i) = log 1.08243216 (1+i)= log 1.0824216 2

log (1+i)= 0.017200343

69

(1+i ) = 0.017200343 1+ i = 1.0404 i= 1.0404 – 1 i = 0.0404  j = 0.0808 j = 8.08% 10- Calcular la tasa de interés simple equivalente al 7 %, capitalizable semestralmente durante 12 años. DATOS n ic = interés compuesto is = (1+ i c) - 1 is=? n ic= 0.07 / 2 = 0.035 ic= 12 años x 2 = 24 semanas is= (1+ 0.035)24 - 1 24 is= 0.0534 x 100 = 5.34% semestral J= im J= 5.34 (2) J = 10.68% annual 11- Hallar la tasa nominal convertible semestralmente. A la cual $10,000 se convierten en $12,500 en 5 años.

70

DATOS C= 10,000 n= 5 años m= 2

nm S= C (1+ j / m ) 12,500=10,000 (1+j / 2) 5 (2) 12,500/10,000 =(1+j/2)10 1.2 =(1+j/2)10 (1+j/2)10 = 1.2 10 log (1+j/2) = log 1.2

i= 4.51 % 12. Se estima que un bosque maderable evaluado en $750,000 aumentara su valor cada año en el 8.5% durante los próximos 6 anos ¿cual será su valor al final del plazo calculado? C=750 n = 6 años  j=8.5% VF= ? S=C (1+i)6 S =$750(1+0.085)6 S =1,223.60 13. ¿cuantos años deberá dejarse un deposito de $6,000 en una cuenta de ahorros que se acumula el 8% semestral para que se conviertan en 10,000? S-F =10,000 C =P =6,000 J =0.08% m =2 S=C (1+j/m)2n 10,000 = 6,000 (1+0.08/2)2n n =log(s/c) /log (1+C/m)/m 71

n= (log (00/6,000)/log1.04)/2 n=6.512 años 1 año – 12 meses 0.512- X X = (0.5129)(12)=6.144

AÑOS =6 MESES = 6 Días = 4

1 MES – 30 DIAS 0.144 –X X=(0.1449(30)/1=4.32 14. Calcular el monto de $4000 depositados durante 12 años 5 meses al 6.4% con acumulación semestral. C = 4000  j= 0.064 m=2 i/m=0.064/2=0.32 5/12=0.4166

S = 4000(1+0.064/2)2(12.4166) S = 4000(2.186313733)24.83 S =$8,745.25

15. ¿Qué es mas conveniente; inventar en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años o deposita en aún cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente C= 10000  j= 0.06 m = 4 trimestres S= 10000(1+0.06/4)40 40 S =10,000 (1.015) S =$18,140.18 n =10 años mn = (4)(10)040 72

b) 10,000 (2 )=$20,000 R = es mas conveniente invertir en una sociedad maderera 16. Un inversionista ofreció comprar un pagaré de 120,000 sin intereses que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual, calcular el precio ofrecido. S= $120,000  j= 0.08 n = 3 años C = S/(1 + i)n C = 120,000 / (1+0.08)3 C =$95,259.87 17- Hallar el valor actual de: a) 20,000 pagadero dentro de 10 años al 5% con acumulación anual S =10,000 m =1 p = 10000(1+0.05)-10 n = 10 años p = 10000 (0.61391325)  j =0.05 p = $6,139.1325 b) 500.00 pagaderos dentro de 6 años al 6 % capitalizable trimestralmente F = 5000 m=4  j = 0.06 n =6 años p=5000(1+0.06/4)-4(6) 73

P= 5000 (1.015)-24 P=$3,497.72 c) 8000 pagaderos dentro de 71/2 años al 8% capitalizable semestralmente F = 8000 m= 2  j = 0.08 n =71/2 años

p = 8000 (1+0.08/2)-2(7.5) p= 8000(1.04) -15 p= $4,442.12

17. Hallar el valor actual de $96,000 pagaderos dentro de 20 años al 8%, con capitalización mensual. Datos: S= 96,000 n= 20 Años m= 12 nm=(20) (12)= 240

C= S(1+i)-nm C= $96,000 (1 + 0.0066)-240 C= $19,485.25

18. Hallar la cantidad que es necesario depositar en una cuenta que paga el 8% con capitalización trimestral, para disponer de $20,000 al cabo de 10 años. Datos: S= 20,000 i= 8%/4= 2% trimestral n= 10 Años m= 4 mn= 10 x 4= 40 trimestres 74

P= 20,000 (1 + 0.02)-40 P= $ 9,057.81 19. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad, si la tasa de interés es del 10%, con capitalización semestral? (a) $60,000 al contado (b) $30,000 al contado y $ 35,000 a 3 años de plazo Datos: S= 35,000 n= 3 años m= 2 J= 10%

C ó P= S(1 + J/M) -mn C= 35,000 (1 + 0.05)-(2) (3) C= 35,000 (1.05)-6 C= $26,117.54 +26,117.54 30,000.00 $56,117.54

Oferta B

R= $60,000 oferta a es la mas conveniente para la venta de una propiedad 20. Una persona vende una propiedad evaluada en $120,000 y por ella le ofrecen $70,000 al contado. ¿Por cuánto debe aceptar un pagaré por el saldo a 2 años de plazo, si el tipo de interés es del 9%, con capitalización trimestral? 120,000 – 70, 000= 50,000 C = S(1+i)n C = 50,000 (1.09/4)-8 C = = $ 41, 846.92

75

21. Una persona posee un pagaré de $60,000 a 15 años de plazo a un interés de 8% con acumulación semestral, tres años antes de su vencimiento los ofrece en venta a un prestamista que invierte invierte al 10%, con capitalización trimestral. ¿Qué suma le ofrece el prestamista? Datos: P= C= 60,000 S= C (1+Jj/m)mn n= 5 Años S= 60,000 (1+0.04) (2) (5) m= 2 S= 60,000 (1.04)10  j= 0.08 S=$ 88,814.66 I= j/m= 0.08/2= 0.04 Datos: C= 88,814.66 m= 4  j= 0.10 I= j/m= 0.10/4=0.25 n= 3

S= 88,814.66 (1+0.25)  –(3) (4) S= 88,814.66 (1.25)-12 S= 66,038.66

22. Un comerciante compra $100,000 en mercancías y paga $20,000 al contado, $40,000 en un pagaré a 3 meses y $ 40,000 a 6 meses. Hallar el valor de contado de la mercancía, si la tasa de interés local es del 9% con capitalización mensual. mensual. Valor Futuro Operaciones Valores Actuales $ 100,000 deuda -20,000 contado $ 20,000 $ 80,000 nueva deuda -40,000 1er. Pago a tres meses = $40,000 (1 + 0.09/12)-36 = 30,565.96 -40,000 2do. Pago a seis meses 40,000 (1 + 0.09/12)-72 = 23,356.95 20,000 76

+ 30,565.96 + 23,356.95 $ 73,922.91 23. Una persona debe pagar $50,000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un pago al contado de $ 20,000 y un nuevo pagaré a 3 años. Hallar el valor del nuevo pagaré a la tasa del 8%, con acumulación semestral. Datos: m= 2 semestral J= 0.08 n= 2 años S= 50,000 I= J/M= 0.08/2= 0.04 n = 3 años

C= 50,000 (1 + 0.04)  –(2) (2) C= 50,000 (1.04)-4 C= 42,740.21 -20,000.00 $ 22,740.21 C= 22,740.21 (1 + 0.04) (3) (2) C= 22,740.21 (1.04)6 C= 28,773.62

24. 24. Un pagaré de $ 8,00 pagaderos dentro de 2 años y otro de $ 10,00 pagaderos dentro de 5 años van van a liquidarse en un pago único dentro de 3 ½ años. Hallar el valor del pago único a la tasa del 9% convertible semestralmente. Datos: J= 0.09 m= 2 semestral I= J/M= 0.09/2= 0.045 X= $ 8,000 (1 + 0.045) 3 + 10,000 (1 + 0.045)-3 X= $ 17, 892.30 pago único

77

25. Una persona debe $20,000 pagaderos dentro de 3 años y $ 40,000 pagaderos dentro de 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años que sustituyen las deudas con el tipo de interés del 6% con capitalización semestral. Datos: J= 0.06 m= 2 i= 0.06/2=0.03 X (1 + 0.03)2 + X (1 + 0.03)4= 60,000 X (1.0609 + 1.12550881)= 60,000 X (2.18640881)= 60,000 X= 60,000 = 2.18640881 X= 27,442.26 25.- Una persona vende un terreno y recibe dos pagos de $ 60,000 a 2 y 4 años de plazo. Hallar el valor de contado, si el rendimiento es del 3% con capitalización semestral. Datos: C= 60,000 m= 2 (semestral) n= 2  j= 0.08 i= j/m= 0.08/2= 0.04 nm= (2) (2)= 4 nm=(4) (2)

S= C (1+j/m)nm S= 60,000 (1+0.04)4 S= 70,191.51 70,191.51 +60,000 $130,191.51 S= 130,191.51 78

S= $95,129.66 27.- Una persona debe $100,000 y pretende efectuar tres pagos anuales iguales y sucesivos. Si el tipo de interés es del 7% capitalizable anual, hallar el valor de estos pagares. X (1+0.07)3 + X (1+0.07)2 + X (1+0.07)= $ 100,000 X (1.225043+1.1449+1.07)= $ 100,000 X (3.439943)= $ 100,000 X= 100,000 3.439943 X= $29,070.25

28.- Hallar el tiempo equivalente para el pago de las siguientes deudas $ 10,000 a 4 años $ 8,000 a 3 años, y $ 6,000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%. (10,000+8,000+6,000) (1+0.08)-x = 10,000 (1+0.08)-4+8,000 (1+0.08)-3+ 6,000 (1+0.08)-2 24,000 (1+0.08)-x = 10,000 (0.735029852) +8,000 (0.793832241)+6,000 (0.85733882) (1+0.08)-x = 7,350.29+6,350+5,144.03 2,400 (1+0.08)-x = 18,844.98 24000 (1+0.08)-x = 0.7852075 -xIn (1+0.08)= In 0.7852075 In (1.08)= 0.76961041 In 0.7852075= -0.241807264 x = -0.241807264 79

0.076961041 x = 3.1419 años x = 3 años, 1 mes, 21 días

Ejercicios: 1. Determinar el periodo de capitalización y la frecuencia de conversión de: a) Una inversión en certificados de la tesorería de la federación con vencimiento cada 90 días. b) Una inversión en cuenta de ahorros que paga interés del 20% anual semestralmente. c) Una inversión en pagares liquidables cada 28 días. 2. Cual es la tasa de interés por periodo de capitalización de las siguientes inversiones: a) Capitalizable mensualmente (6%) 80

b) Capitalizable trimestralmente (18%) c) Capitalizable anualmente (22%) d) Capitalizable semestralmente (22%) 3. Se invierten $ 20000 en una cuenta bancaria. Determínese el monto acumulado al cabo de 5 años, si la tasa promedio de interés convertible mensualmente es de: a) 15% b) 25% c) 38% d) 54% 4.-Cual es el monto de una inversión de $ 100,000 al cabo de un año, si se deposita en una cuenta bancaria que paga el 30% de interés convertible: a) b) c) d)

Anualmente ? Semestralmente ? Trimestralmente ? Mensualmente ?

5.- Cual es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a: a) Una tasa de 11% anual b) Una tasa de 18% anual convertible semestralmente? c) Una tasa de 32% anual convertible trimestralmente? 6.-Determine la tasa efectiva de interés equivalente a: a) 20% capitalizable semestralmente. b) 20% capitalizable mensualmente. c) 30% capitalizable mensualmente. 81

d) 40% capitalizable mensualmente. e) 50% capitalizable trimestralmente. 7.- Determine la tasa nominal de interés, equivalente a una tasa efectiva de: a) i= 15% m=1 b) i= 15% m=2 c) i= 15% m=4 d) i= 15% m=12 e) i= 26% m=12 f) i= 12% m=4 g) i= 35% m=12 h) i= 9% m=4 8.- Determinar: a) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j12=14% b) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j12=18% c) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j2=10% d) La tasa nominal de interés j6 equivalente a j4=8% e) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=12% f) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=15% g) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j12=20% h) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=24% 9.- Determine la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 18% compuesta: a) Anualmente b) Semestralmente c) Cuatrimestralmente 82

d) Trimestralmente e) Bimestralmente f) Mensualmente g) Semanalmente ¿Cual es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalización anual, y la tasa efectiva semanal? La diferencia es de 1.68% 10.- Cual es la tasa de interés simple equivalente a una tasa de 14% convertible: a) Mensualmente b) Trimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente Si se invierte un capital durante 3 años? 11.- Encuentre el valor de $10,000 que se recibirán dentro de 5 años, si la tasa de interés anual es: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% f) 75% g) 100% Encuentre el valor de $10000 que se recibirán dentro de: a) 1 año b) 2 años 83

c) 3 años d) 5 años e) 10 años, si la tasa de interés es de 30% anual 13.- Encuentre el valor actual de $ 10000.00 que se recibirán dentro de 3 años, si la tasa de interés es 15% compuesta: a) Anualmente b) Semestralmente c) Cuatrimestralmente d) Trimestralmente e) Bimestralmente f) Mensualmente 14.- Determinar el valor actual de: a) $10,000.00 pagaderos en 6 meses a 18% convertible mensualmente b) $50,000.00 pagaderos en 3 años a 20% convertible trimestralmente c) $120,000.00 pagaderos en 18 meses a 22% convertible trimestralmente d) $400,000.00 pagaderos en 2 años a 40% convertible trimestralmente 15.- Cuanto dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $ 100000 dentro de 2 años, si la tasa de interés vigente es de: a) 6% Convertible mensualmente? b) 10% Convertible Trimestralmente? c) 12% Convertible semestralmente? d) 14% Convertible anualmente? e) Que alternativa es la mas conveniente?

84

16.- Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual de 25% durante 3 años si el precio actual es de $ 765.00 ¿Cuál es su valor hace 3 años? 17.- Un país posee 5 refinerías para proveerse de combustible. Su producción actual es de 1000000 barriles diarios y trabajan al 80% de su capacidad. Si el crecimiento promedio del consumo ha sido de 4% anual ¿En que tiempo requerirá dicho país poner en operación una nueva refinería? 18.-Se desea formar un fondo de $ 250000 al cabo de 2 años ¿Que cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un interés de: a) b) c)

10% Convertible mensualmente? 20% convertible semestralmente? 23% anual?

19.- Los salarios mínimos se han incrementado a una lista del 13% anual promedio durante los últimos 4 años. Si continuara dicha tendencia, ¿En que tiempo se triplicara su valor nominal? 20.- El precio de las casas y terreno se ha duplicado en 3 años ¿Cuál es la tasa de interés anual que ha ganando? 21.- Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez. Deposita $ 10,000 en una cuenta que paga el 12% anual convertible mensualmente ¿Cual será el monto de que disponga al cabo de 25 años? 22.- En una ciudad el crecimiento del número de automóviles ha sido de 6% anual promedio durante los últimos 5 años. De continuar la tendencia ¿Cuál será el número de automóviles que circularan dentro de 10 años, si actualmente existen 2 millones de vehículos?

85

23.- ¿Que cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses, si la tasa de interés es de 17% anual capitalizable trimestralmente, y el monte es de 44,850.00? 24.- Las ventas al menudeo se han incrementado a razón de 3% anual. Si el número de unidades vendidas fue de 100,000 en el año, ¿Cuales son las ventas estimadas para dentro de 5 años si se mantiene el ritmo de crecimiento? 25.- Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión: a) Depósitos a plazo fijo de 1 año 12.0% b) Depósitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 11.5% c) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 11.6 d) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizable semestralmente 11.8% 26.- Cual será el monto de los $ 50,000 del ejercicio anterior, si se depositan durante 10 años en: a) b) c) d) e)

Una cuenta de valores al 22% capitalizable mensualmente? Una cuenta de valores al 27.5 % capitalizable mensualmente? Una cuenta de valores al 30 % capitalizable mensualmente? Una cuenta de valores al 35 % capitalizable mensualmente? Una cuenta de valores al 40 % capitalizable mensualmente?

27.- Una deuda de $ 400,000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 días ¿cual es el importe de dichos pagos si la tasa de interés anual es de 26% con capitalización bimestral? 28.- En que tiempo puede ser liquidada con un pago único una deuda de $ 27,500 pagaderos en un año, y $ 38450 pagaderos en 2 años, si la tasa de intereses es: a) 10% anual? b) 20% anual 86

c) 30% anual d) 50% anual 29.- ¿Cual será el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $50,000 durante 10 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable semestralmente? a) Cual será el monto en 15 años? b) en 20 años? 30.- Una persona deposita $ 5000 en una cuenta de ahorros que paga el 10% de intereses anual convertible semestralmente ¿Cual será el importe reunido despué s de 28 meses? Calcular por el método exacto y por el aproximado 31.-Cual es el monto de una inversión de $ 100,000 al cabo de un año, si se deposita en una cuenta bancaria que paga el 30% de interés convertible mensualmente: a). por interés simple b) por interés compuesto UNIDAD V. ANUALIDAD Se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo; no siempre se refiere a periodos anuales de pago. El concepto de anualidad corresponde a una serie de flujos de dinero (usualmente de igual valor) que se producen a intervalos regulares de tiempo (por ejemplo, meses, años, etc.) y durante un plazo completo determinado. Cuando los flujos regulares se producen al final del intervalo correspondiente, se dice que se trata de un problema de anualidades ordinarias (o vencidas) y cuando los flujos se generan al principio del intervalo, se llaman anualidades 87

anticipadas. Por otro lado, cuando se conoce con exactitud el momento de inicio y (o) finalización de los flujos monetarios, se trata de una anualidad cierta. Si el inicio y (o) finalización de los flujos es incierto, porque depende de la ocurrencia de un evento que no se puede predecir con exactitud (como la muerte de una persona), se trata de un problema de anualidad contingente. Algunos ejemplos de anualidades son: 

Los pagos mensuales por renta.



El cobro quincenal o semanal de sueldos.



Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.



Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el periodo final de pago. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. TIPOS DE ANUALIDADES. La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Se clasifican por:

Criterios Tipos de anualidades A) Tiempo 1. Ciertas 2. Contingentes B) Intereses 3. Simples 4. Generales C) Pagos 88

5. Vencidas 6. Anticipadas D) Iniciación 7. Inmediatas 8. Diferidas

A) De acuerdo a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades son: 1) ANUALIDADES CIERTAS. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. 2) ANUALIDAD CONTINGENTE. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuando. B) De acuerdo a los intereses, o mejor dicho, a su periodo de capitalización, las anualidades se clasifican en: 3) SIMPLES. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente. 4) GENERALES. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. 89

C) De acuerdo con los pagos las anualidades son: 5) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. 6) ANTICIPADAS. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo. Simples.- porque el período de pago coincide con el de capitalización Ciertas.- porque se conoce la fecha de los períodos. Inmediatas.-porque el período de pago se inicia al cerrarse la operación.

D) De acuerdo al momento en que se inician: 7) INMEDIATAS. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida). 8) DIFERIDAS. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone).

MONTO DE UNA ANUALIDAD El valor final o monto es la suma de todos los pagos periódicos y su correspondiente interés compuesto, acumulado al final del término de la operación. FORMULA:

90

F= A (1+i)n -1 i VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA El valor presente es la suma de los valores de todos los pagos. FORMULA: 1- (1+ i)-n i

P=A

RENTA. Es el importe de los pagos periódicos que se necesitan para lograr extinguir una deuda en cierto tiempo. Se representa con A o R. CÁLCULO DE LA RENTA a)

Cuando se conoce el valor futuro.

A=F

i (1+ i)n -1

b)

A=P

Cuando se conoce el valor presente. i 1- (1+ i)-n

CÁLCULO DEL TIEMPO 91

a)

Cuando se conoce el valor futuro. n = log ( iF + A ) – log A Log (1+ i)

b)

Cuando se conoce el valor presente.

Ejemplo: 1.- Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias. a) $2,000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

F= A (1+i)n -1 i Datos: A = $2,000 J = 0.08 M=2 I = 1/m = 0.08 = 0.04 2 n = 8.5 (2) = 17

F= $2,000 (1+0.04)17-1 /0.04 F= $2,000 (23.69751239) F= $47,395.02

P = A 1- (1+i)n i P= $2,000 1- (1+0.04)-17 0.04 P= $2,000 (12.16566885) P= $24,331.34 92

b) $4,000 mensuales durante 3 años al 7.3%, capitalizable anualmente. Datos: A = $4,000 J = 0.073m m = 1 (anual) I = j/m= 0.073/1= 0.073 n = 6 años

F= A (1+i)n-1 i F= $4,000 (1+0.073)6-1 0.073 F= $4,000 (7.207587718) F= $28,830.35

P=A 1 – (1+i)-n I P= $4,000 1 – (1+0.073)6 0.073 P= $4,000 (4.722713549) P = $18,890.85 c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual. Datos: A= $200 F= A (1+i)n-1 J= 0.08 i m = 12 meses i = 1/m = 0.08/12= 0.00666 F = $200 (1+0.00666)40 -1 n = 3 (12)= 36 meses + 4 = 40 0.00666 F= $200 (45.66754622) F= $9,133.51 P = A 1-(1+i)n i P = $200 1-(1+0.00666)-40 93

0.00666 P = $200 (35.00906405) P= $7001.81

2.- Una persona deposita $5,000 cada final del año en una cuenta de ahorros que abona el 8% de interés. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, al efectuar el último depósito. Datos: A = $5,000 n = 10 años i = 0.08 anual.

F = A (1+i)n-1 i F = $5,000 (1+0.008)10-1 0.008 F = $5,000 (14.48656247) F = $72,432.81

3.- Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20,000 de contado, $1,000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2,500 un mes después de pagada la ultima mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización. Datos: A = $1,000 m = 12 mensual n = 2 (12)= 24 meses + 6= 30 meses  j = 0.09 i = j/m= 0.09/12= 0.0075 Valor de contado = cuota inicial + P = A 1-(1+i) -n + ultimo pago i P = $2,500 1-(1+0.0075)-1 /0.0075 94

P =$ 2,500 (0.99255583 P = $2,481.39 P = A 1- (1+i)-n i P = $1,000 1- (1+ 0.0075)-30 /0.0075 P = $1,000 (26.7750802021 P =$26,775.08

4. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $6,000 de contado y 12 pagos trimestrales de $2,000 con 12% de interés, capitalizable trimestralmente. DATOS: A = $2,000 m = 4 (trimestre) n = 12 trimestres J= 0.12 i= J/m= 0.12/ 4= 0.03 P= A 1- (1+ i )-n i 

P= $2,000 1-(1 + 0.03)-12 0.03 P = $2,000 (9.954003994) P = $19,908.00 Valor de contado = cuota inicial + valor presente de los trimestres. Valor de contado = $6,000 +19,908.00= $25,908.00. 5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14,000 de cuota inicial; $1,600 mensuales durante 2 años 6 meses con un ultimo

95

pago de $2,500 un mes después 31 meses, si se carga el 12% con capitalización mensual? DATOS: Cuota inicial = $14,000 A = $1,600 m = 12 (mensual) n = 2(12) = 24 + 6 = 30 meses J = 0.12 I = J/m P= A

1 – (1 + i )-n i 

1-(1 + 0.01)-30 0.01 P= $1,600 (25.80770822)

P= $1,600

P= $41,292.33 C= C=

S (1 + i )n $2,500 (1 + 0.01)31

C= $1,836.44

Valor de contado = $14,000 + 41,292.33 + 1,836.44= $57,128.77 6. una mina en explotación tiene una producción anual de $8, 000,000 y se estima que se agotara en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. DATOS:

A = $8, 000,000 n = 10 años 96

J =0.08 m = 1 (anual) i =J/m= 0.08 / 1=0.08 P= A

1 – (1 + i )-n i 

1-(1 + 0.08)-10 0.08 P = $8, 000,000 (6.710081399) P = $53, 680,651.19

P = $8, 000,000

7. En el problema 16 se estima que al agotare la mina habrá activos recuperables por valor de $1, 500,000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción. DATOS: S = 1, 500,000 I = 0.08 n =10 años (Valor presente de interés compuesto) C= S (1+i )-n ó P= F (1+i )-n C= $1,500,000 (1 + 0.08)-10 C = $694,790.23

53, 680,651.19 * 25%= 13, 420,162.80 + 694,790.23= $14, 114,953.03 8. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad. a) $400,000 de contado b) $190,000 de contado y $50,000 semestrales durante 2 ½ años. c) $210,000 de contado y $20,000 trimestrales durante 3 años. ¿Qué oferta es más conveniente, si el interés es del 12% nominal anual? RESPUESTA = La oferta a). 97

DATOS: A = 50,000 m = 2 (semestral) n = 2 (2) = 4 + 1=5 semestres J= 0.12 i = J/m= 0.12 / 2= 0.06 P= A

1 – (1 + i )-n i 

1-(1 + 0.06)-5 0.06 P= $50,000 (4.212363786) P= $210,618.19 P= $50,000

b) $190,000 + 210,618.19= $400,618.19 DATOS: A= $20,000 m= 4 (trimestral) n= 3(4)= 12 trimestres  j= 0.12 i= j/m= 0.12 / 4= 0.03 P=A

1 – (1 + i )-n i 

P = $20,000 1-(1 + 0.03)-5 0.03 P = $20,000 (9.954003994) P = $199,080.08 c) $210,000 + 199,080.08= $409,080.08

98

9. En el momento de nacer su hija un señor depósito $ 1,500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus consignaciones a $3,000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 $3,000 F= A (1 + i )n – 1 i 

F= $1,500 (1 + 0.08)19 -1 = 62 169.39 0.08 F = $1,500 (1 + 0.08)7 -1 = 13 384.20 0.08 $62,169.39 + $13,384.20= $75,553.59 10. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta al cabo de 20 años. DATOS: A: $100 m: 12 (mensual) n: 20 (12)= 240 meses J: 0.06 i: j/m= 0.06/12= 0.005

F= A (1+i)n - 1 i F= A (1+0.005)240 -1 0.005 F = $100 (462.0408952) F = $ 46,204.09

99

11. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 mensuales, cifra que se recibirá durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente. Hacer el cálculo a) con la tabla II, b) mediante la formula desarrollando en el problema 20. DATOS: A: $500 M: 12 (mensual) N: 15 (12)= 180 meses J: 0.06 i: j/m= 0.06/12= 0.005

F= A (1+i)n - 1 i F= A (1+0.005)-180 -1 0.005 F = $500 (118.5035147) F = $ 59,251.75

Mediante tabla II (1.005)-180 =(1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-30 (1.005)-180 =(0.779286068)(0.779286068)(0.779286068)(0.86102973) =0.407482426 P = $500 1- 0.407482426 0.005 P = $59,251.75

12. ¿Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre en un fondo de inversiones que abona el 10%, convertible trimestralmente, para acumular $50,000 al cabo de 5 años? DATOS: F: $50,000 J: 10%= 0.10 m: 4 trimestral

A= F

i (1+i)n F= $50,00

-1 0.025 100

i: 0.10/4= 0.025 n: 5 años (4)= 20

(1 + 0.025) - 1 A= $1,957.36

Mediante tabla VII 10% = 25% 1 i = 0.025 x 100 = 2.5% n = 20 i = 2 ½% A = 50,000 (0.03914713) A = 1,957.36

13. Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $3, 000,000 dentro de 10 años y para ello establece reservas anuales que se depositaran en un fondo que abona el 7%. Hallar el valor de la reserva anual.

DATOS: F: $3,000,000 J: 0.07 m: 1 anual i: 0.07/1= 0.07 n: 10 años

A= F

i (1+i)n - 1 F= $3,0000,00 0.07 (1 + 0.07) - 1 A = $217,132.51

Mediante tabla VII I = 0.07 x 100 = 7% n = 10 años A = 3, 000,000 (0.07237750) A = 217,132.50

101

14. ¿Qué suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $8, 000,000 y el periodo de vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en un 15% del costo? DATOS: 8, 000,000 x 15% = 1, 200,000 F: $8, 000,000 – 1, 200,000 = 6, 800,000 n: 6 años i: 0.06/1= 0.06 m: 1 (anual)

A=F

i (1+i)n - 1 A = $6, 800,000 0.025 (1 + 0.06)6 - 1 A = 6, 800,000 (0.143362628) A = $976,865.88

Mediante tabla VII 6%= 6% 1 i : 0.06 x 100 = 6% n: 6 años A: 6, 800,000 (0.14336263) A: $ 974, 865.88 15. Enrique Pérez compró una casa cuyo valor es de $180,000 al contado. Pagó $ 50,000 al contado y el saldo en 8 pagos iguales por trimestre vencido. Si en la operación se le carga el 10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos trimestrales. DATOS: F: $180,000 – 50,000= 130,000 n: 8  j: 8%

A=F

i (1+i)n - 1 A = $130,000 0.025 102

(1 + 0.025)8 - 1 A = 130,000 (0.139467345) A = $18,130.75

i:10%=0.10/4=0.025 m: 4 trimestres

Mediante tabla VII i= 0.025 x 100= 2.5% i= 10/4= 2.5% n=8 A = $130,000 (0.11446735 + 0.025) A = $18,130.75

16. Sustituir una serie de pagos de $10,000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible mensualmente. DATOS: F: $10,000 n: 12 i: 8% 8%=0.08/12=0.00666 m: 12

A =F

i

(1+i)n - 1 A = $10,000 0.006666 (1 + 0.0066666)12 A = 10,000 (0.080321762)

-1

A = $803.22 Mediante tabla VII n= 12 i= 0.006666666 x 100 = 0.666666666 = 2/3 A = $10,000 (0.08032176)

103

A = $803.22

17.- Sustituir una serie de pagos de $ 10,000 al principio de cada año, por equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible mensualmente. i

Datos: P = 10,000 m = 12 J = 8% I = 0.08/12= 0.006666666 n =12

A= 1- (1 – i )-n 0.006666666 A = 10,000 1- ( 1 – 0.006)-1

Mediante tabla VII + i A = 10,000 ( 0.086988429) 8/12 = 2/3 A = $869.88 n = 12 i= 0.006666666 x 100 = 0.006666666 = 2/3 A= $ 10,000 ( 0.08032176 + 0.006666666) A= $ 10,000 ( 0.086988426) A= $869.88

18.- Una máquina que vale $ 18,000 de contado y se vende a plazos, con una cuota inicial de $ 3,000 y el saldo en 18 cuotas mensuales, cargando el 16% de interés convertible mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Datos: P = 18,000 – 3,000 = 15,000

i A= p 104

m = 12 (mensual) J = 16% I = 0.16/12 = 0.013333333 n = 18 meses

1 – ( 1 + i )-n 0.013333333 A = 15,000 1 – (1+0.013333333)-18

Mediante tabla VII + i A = $942.85 i = 0.013333333 x 100 = 1.333333333% i = 1 1/3 % n = 18 meses 1% 1/3% A = 15,000 (0.05098205 + 0.05399807 + 0.013333333) A = 15,000 (0.118313453) 19.- El valor futuro de una renta de $ 10,000 por un año vencido es de $ 100,000. Si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica. Datos: 100,000 A = $ 10,000 i = 6% = 0.06 n=?

F=$ 100,000 = 10,000 100,000 (0.06)

(1+i)n - 1 i

F=A

(1 + 0.06)n - 1

+1 = (1.06)

n=

n=

log. ( i F + A ) – log A log ( 1 + i ) log. [0.06 (100,000) + 10,000] log. (1+0.06)

0.06 n

n=

Log. (16,000) – Log. 10,000 105

10,000

Log. 1.06

1 + 0.6 = (1.06) n

n=

1.6 = (1.06)n n log. 1.06 = log 1.6

n=

n Log. 1.06 Log. 1.06

=

4.204119983 – 4 0.025305865

=

0.20 0.025

n = 8.066 años 0.20419982 0.025305865

n = 8.066 años 7 depósitos de $ 10,000 para calcular el último pago; al final del año 8.

100,000 = 10,000 ( 1.06)7 -1 (1.06) + x 0.06 100,000 = 818,974.67909 + x x = 100,000 – 88,974.67909 x = 11,025.32 20.- El valor presente de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000, si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, hallar el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica. Datos: n=? A = $4,000 P = 60,000 m = 4 (trimestre)

(1.02)17 4,000

-1 =$ 80,048.28384

0.02 60,000 ( 1.02)17

= 84,014.48515 106

 j = 0.08 = 8% i = 0.08/4 = 0.02

84,014.48515 – 80,048.28384 = $ 3,966.201311

Por logaritmo 

$ 3,966.201311 (1.02) = $ 4,045.525 1 – (1.02)-n

60,000 = 4,000

(cantidad que debería pagarse al cabo del 18 trimestre)

0.02 60,000 (0.02)

= 1 – (1.02)-n

4,000 0.3 – 1 = - (1.02)-n - (1.02)-n = 0.7 n log. 1.02 = log. 1.428571429

1 – (1.02)-17 60,000 = 4,000 + x (1.02)-18 0.02 60,000 = 4,000 (14.29187188) + x (0.700159375) 60,000 = 57,167.48752 + 0.700159375 x

log. 1.428571429 n= Log. 1.02 n = 18.01149768 años

60,000 – 57,167.48752 x= 0.700159375 x = 4,045.525321

17 depósitos de $ 4,000.00

x = $ 4,045.53

21.- una persona sustituye un seguro total de $ 300,000 por una renta anual, con la condición de que se le pague a él o a sus herederos durante 20 años si la compañía de seguros opera con el 7 % de interés, hallar el valor de la renta anual. Datos: F = 300,000 i = 0.07/1 = 0.07 m=1  j = 0.07 = 7% n = 20 años

A=

i ( 1 – i )-n

A = 300,000

-1 0.07

-1 107

(1 + 0.07)-20 A = 300,000 (0.024392925)

Mediante tabla VII + i

A = $ 7,317.88

I = 0.07 = 7 % N = 20 años A = 300,0000 (0.02439293) A = $ 7,317.88

22.- El valor futuro de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000. si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica. Datos: n=? P = $4,000 A = $60,000 m = 4 (trimestral)  j = 0.08 = 8 % i = 0.08/4 = 0.02 Por logaritmos (Log)

(1+0.02) n

60,000 = 4,000

0.02

60,000 (0.02)

+ 1 = (1.02) n

4,000 1 + 0.3 = (1.02) 1.3 = (1.02)

-1

60,000 0 54,721.32609 + x x = 60,000 – 54,721.32609 x = 5,278.67

(1+i)

(1.02) n =

n

Log. 1.3 Log. 1.02

= 13.24896357 n = 13.25 años

=

(1.02) 0.113943352 0.008600171

Por log

Fi

n

n

Log. 1.02 = log. 1.3 n=

Para calcular el último pago al final del trimestre 13 (1.02) 13 -1 60,000 = 4,000 (1.02) + x 0.02

n

+1

A (60,000) (0.02) 4,000

+1

= 1.3

n Log (1.02) = Log (1.3) n=

ln (1.3) ln (1.02)

=

0.262364264 0.019802627 108

n = 13.24896257

2 depósitos de $ 4,000

n = 13.25 años

Log. (i F + A)  – Log. A Log. (1 + i) Log. 0.02 (60,000) + 4,000  – log 4,000 Log (1 + 0.02) Log. 5,200  – Log. 4,000 = 3.602059991 Log. 0.008600171 0.113943352 0.008600171 n = 13.25 años

3.716003344  – 1.02

= 13.2489636

23.- Por una deuda de $20,000 con intereses del 10% capitalizable semestralmente se conviene cancelarla con pagos semestrales de $ 4,000. Encontrar el número de pagos y el valor del pago final. Datos: p = 25,000 A = 4,000 m = 2 (semestral)  j = 10% = 0.10 i = 0.10/2 = 0.05

20,000 – 4,000 20,000 (0.05) 4,000

4,000

(1.05)5 -1 0.05

= 22,102.525

20,000 (1.05)5 = 25,525.63125 Por Log.

1 – (1.05)5

25,525.63125 – 22,102.525 3,423.10625 ( 1.05) = $ 3,594.26

Ultimo pago

0.05

= 1 – (0.05)5

20,000 = 4,000

1- (1.05)5 0.05

+ x (1.05)-6

109

0.25 – 1 = - (1.05)

20,000 = 4,000 (4.329476671) + x (0.746213)

- (1.05)5 = 0.25 – 1 - (1.05)5 = 0.75

20,000 – 17,317.90668 + 0.746215396 x

1 (1.05)5 5

(1.05)

x=

= 0.75 1

= 1.33333333

0.75

20,000 – 17,317.90668

x=

0.746215396 2,682.093318 0.746215396

n log. 1.05 – log 1.33333333 n=

Log. 1.33333333 Log. 1.05

=

0.124938736

N=-

0.021189299

=

= $ 3,594.26

Pi Log. (1 - A ) Log. ( 1 + i )

n = 5.896312832 n = 5.90 5 pagos de 4,000

n=

20,000 (0.05) 4,000 ]

Log. [ 1 -

Log. (1.05)

n = 5.89

24. Una persona compra maquinaria por valor de $60,000 y acuerda pagar $15,000, como cuota inicial y el saldo en contado de $12,000 trimestrales, con el 12% convertible trimestralmente. Hallar el número de pagos y el valor del pago final. 60,000 – 15,000= 45,000 12,000 4(trimestral) 12% = 0.12 0.12/4= 0.03 por Log 45,000 = 12,000 1-(1.03) -n 0.03 -n 45,000 (0.03) = 1 – (1.03) 12,000

P=

1-(1+i)  –n

45,000 = 12,000

1- (1.03)-3 + X (1.03)-4 0.03

45,000= 33,943.33626 + X (0.886487047) X=

45,000 – 33,943.33626 0.888487047

X=

110

=

425 – 1 = - (1.03)-n (1.03)  – n = 0.8875 1 (1.03)

n

(1.03)n =

=

11,056.66374 = 0.888487047

0.8875

1 0.8875

=

Log 1.126760563 Log 1.03

0.051831638 0.012837224

= 4.037604859 trimestres Depósitos de $12,000

25. ¿Qué interés deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que se conviertan en $4,500 en un año? DATOS: S = 4,500 A = 300 m = 12 (mensual) n=1 12 periodos

( F / A, ‫ ﺄ‬%, n ) = F A ( F / A, ‫ ﺄ‬%, n ) = $4500 300 ( F / A, ‫ﺄ‬ %, n) = 15

Se busca en la tabla V en la línea correspondiente a n = 12 que se aproxime a 150 Estos valores son:

111

Para ‫ﺄ‬ = 3 ½ % = 0.035; (F/A, 31/2 %, 12) = 14.60196164 Para ‫ﺄ‬ = 4 % = 0.040; (F/A, 4%, 12) = 15.02580546 Para el valor ( F/A, ‫ﺄ‬ %, 12) = 15, se calcula mediante interpolación .

a a

0.040 0.035

15.02580546 14.60196164

a a

‫ﺄ‬

0.035

15.0 14.60196164

0.005

0.42384382

‫ﺄ‬-

0.035

0.39803836

‫ﺄ‬- 0.035 0.005 = 0.42384382 0.39803836

(0.005) (0.39803836) ‫ﺄ‬- 0.035 = 0.42384382 ‫ﺄ‬- 0.035 = 0.004695578 875596400.0 + 530.0 = ‫ﺄ‬ % 001 x (lausnem) 875596930.0 = ‫ﺄ‬ lausnem % 79.3 ó % 969.3 = ‫ﺄ‬

J = 47.64% (anual) (3.97 x 12 meses) 25. Un televisor cuyo valor de contado es de $480,000. Puede adquirirse con un pago inicial de $80,000 y 12 pagos contados mensuales de $40,000 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga. DATOS: P = 480,000 – 80,000 = 400,000 A = 40,000 n = 12 m = 12

( P / A, ‫ ﺄ‬%, n ) =

P  A

$ 400,000 ( P / A, ‫ ﺄ‬%, 12 ) = 40,000 = 10

112

En la tabla VI, se halla que para n = 12 (p / A, 2 ½ %, 12) = 10.25776460 y (P / A, 3%, 12) = 9.95400399, o sea que ‫ﺄ‬ está comprendida entre 2 ½ % y 3 %, y la tasa nominal, se encuentra entre (2 ½ % x 12) = 30 %, y (3 % x 12) = 36. Para afinar el resultado, se procede mediante interpolación. a a -

0.025 0.030 0.005

10.25776460 9.95400399 0.30376061

a a

‫ﺄ‬

0.030 ‫ﺄ‬- 0.030

10.00 9.95400399 0.04599601

- 0.005 ‫ﺄ‬- 0.030 0.30376061 = 0.04599601 ‫ﺄ‬- 0.030 = -0.005 (0.04599601) = - 0.000757109 0.30376061 030.0 = ‫ﺄ‬– 0.000757109 = 198242920.0 = ‫ﺄ‬

Tasa anual, convertible mensualmente = (0.029242891) (12) (100) = 35.0914692 = 35.09% 26. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente debe establecerse para que 24 depósitos de $500 trimestrales den un valor futuro de $16,000, al efectuar el último pago? DATOS: F = 16,000 A = 500 m = 4 (TRIMESTRAL) n = 24

( F / A, ‫ ﺄ‬%, n ) =

F A

113

( F / A, ‫ﺄ‬ % 24 ) =

16,000 500 = 3

Se buscará en la tabla V en la línea correspondiente a n =24 que se aproxime a 32. Estos valores son: (F / A, ‫ﺄ‬ %, n

Para ‫ﺄ‬ = 2% = 0.02; (F / A, 2%, 24) = 30.42186247 Para ‫ﺄ‬ = 2 ½ % = 0.025; (F / A, 21/2, 24) = 32.34903798 2 y %2 ertne adidnerpmoc átse ‫ ﺄ‬1/2 y la tasa nominal se encuentra entre ( 2% x 4)

= 8% y entre ( 2 1/2 % x 4)= 10% Para el valor ( F / A, ‫ﺄ‬ % 24) = 32, se calcula ‫ﺄ‬ mediante interpolación.

a a

0.025 0.020 0.005

32.34903798 30.42186247 1.92717551

a a

‫ﺄ‬ ‫ﺄ‬-

0.020 0.020

32.00 30.42186247 1.57813753

= ‫ﺄ‬- 0.020 0.005 92717551 1.57813753

‫ﺄ‬- 0.020 = 0.004094431

Tasa = (0.024094431) (4) (100)

134490400.0 + 020.0 = ‫ﺄ‬

Tasa = 9.6377724 %

(lartsemirT) 134490420.0 = ‫ﺄ‬

Tasa = 9.64 %

Antes $ 10,103.59 ;

después $ 8, 847.38 114

EJERCICIOS 1. Una empresa contrata una deuda de $100, 000,000 con un banco. Si éste carga a éste tipo de préstamos 40% anual convertible mensualmente, ¿cuánto tendría que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses? 2. El señor Luna adquirió una casa en condominio y acordó pagar, aparte de cierta cantidad mensual, anualidades por $800 000. Si acaba de realizar el trato hoy mismo, de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un año, y si decide hacer depósitos trimestrales en un fondo de inversión que paga 6% trimestral, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos para poder acumular a fin de año la cantidad que necesita?

115

3. Una persona contrató una deuda que le obliga a pagar $5 000 000 el primero de enero de cada uno de varios años. Como ahora se da cuenta de que le sería más fácil pagar haciendo abonos trimestrales vencidos, ¿de cuánto tendrían que ser los pagos en el nuevo plan, si se considera el interés al 30% convertible trimestralmente? 4. Hoy es 15 de marzo. Dentro de tres años, el 15 de noviembre, el primogénito del señor Mendoza cumplirá la mayoría de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costará en ese tiempo (dentro de tres años) unos $18, 000,000. Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde 2% mensual. Si la tasa de rendimiento no cambiara en ese tiempo, ¿cuánto tendría que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir la motocicleta? 5. Para saldar un préstamo de $2 500 000 contratado hoy, el deudor acuerda hacer cinco pagos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago único de $5, 000,000 dos años después de realizado el último pago semestral, ¿cual deberá ser el importe de cada uno de los pagos iguales, si el interés es de 25% capitalizable semestralmente? 6. EI 12 de abril de este año, la señorita Soto deposita $300 000 en una cuenta bancaria que paga 5% bimestral de interés. Si comienza a hacer depósitos bimestrales iguales a partir del 12 de junio y acumula $200 000 inmediatamente después de realizar el depósito del 12 de diciembre del año siguiente, ¿de cuánto fueron sus depósitos? 7. La señora Jiménez desea vender un comedor que considera vale $8, 000,000. Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas: a) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $850 000. b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $600 000

116

Considerando los intereses a razón de 38% anual convertible mensualmente, ¿cuál oferta le conviene más? 8. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20, 000, 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de $1 615 000 si se invierten a una tasa de 28% anual convertible bimestralmente? 9. Una deuda de $850,000 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales iguales y vencidos de $185 000. Si el interés es de 6.5 trimestral, calcúlese el número de pagos completos y el valor del pago final menor que saldan el compromiso. 10. Para pagar una deuda de $3 000,000 contraída hoy, se van a abonar mensualidades de $250,000 comenzando dentro de un mes. Si el interés que se cobra es de 27% capitalizables cada mes, determínese el número de pagos iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda. 11. El 12 de septiembre la doctora Gudiño adquiere un automóvil usado en $10, 000,000. Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $955,301. Si se considera el interés a 26% anual convertible con la misma periodicidad que los pagos, ¿cuándo terminará de pagar? 12. Como beneficiario de un plan de jubilación. El señor Domínguez puede recibir $40, 000,000 de inmediato, o puede recibir $10, 000,000 ahora y el resto con pagos de $2, 000,000 cada tres meses. Si la compañía paga interés de 25% anual convertible cada tres meses.

¿Cuántos pagos completos recibirá? b) ¿Con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total de su beneficio de jubilación? c) ¿Con qué pago final realizado tres meses después del último pago de a)

117

$2,000 000 le liquidaran el total? 13. Si un ttrabajador ahorra $100,000 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 18% anual convertible mensualmente.

¿En que tiempo reunirá $1, 000,000? b) Si desea juntar esa cantidad en un período exacto de meses, ¿cuántos depósitos completos de $100, 000 debe hacer, y de qué cantidad (mayor de $100,000) deber ser el último depósito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1, 000,000? a)

14.

El 8 de enero enero se pagó el último abono mensual vencido de $829,135. Con este abono se liquido totalmente una deuda que ascendía a $7, 500,000. Si la operación se pactó a 22.4% anual de interés convertible mensualmente. ¿Cuando se hizo el primer pago mensual? b) ¿A que plazo se pactó la operación? a)

15.

A que tasa de interés se deben hacer depósitos semestrales de $1, 000,000 para acumular $8, 000,000 en 5 años?

Una deuda de $1, 500,000, contraída hoy, se pagará, mediante cinco abonos mensuales vencidos de $320,000. ¿A qué tasa nominal anual se debe pactar la operación? 16-

Una persona adquirió, mediante seis abonos quincenales de $485, 000, un aparato televisor que al contado costaba $2, 750,000, a) ¿Qué tasa nominal anual pagó? b) ¿Qué tasa efectiva quincenal pagó? c) ¿Qué tasa efectiva anual pagó? 17.

118

18. Un automóvil cuesta $800,000. Se vende con 50% de enganche y seis mensualidades de $ 250, 000 ¿qué interés efectivo mensual se cobra? EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. ¿Qué es una anualidad simple, contingente, vencida y diferida? 2. ¿Qué es una una anualidad general, cierta, anticipada e inmediata? 3.

¿cuál es el tipo más común de anualidad?

Dígase qué clase de anualidad representan los planteamientos del 4 al 8.

vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total, y que asigna cierta cantidad mensual.

4. Una pensión

5.

Un depósito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 25% capitalizable mensualmente.

6.

Una persona subarrienda un negocio. El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad diaria.

7.

La adquisición de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante seis pagos bimestrales de $1 800 000. La entrega del inmueble tiene lugar al realizar el sexto pago bimestral.

8.

La compra a crédito de un automóvil. El interés que se carga es 2% mensual global, y los pagos se hacen cada mes.

Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. 9.

¿Cuál es el monto de 18 depósitos mensuales de $500 000 en una cuenta de inversión que paga el 1.5% mensual? 119

10.

¿Cuál es el valor actual de 18 pagos mensuales de $500 000 si se consideran intereses de 1.5% mensual?

11.

Qué relación existe entre las respuestas a las preguntas 9 y 10?. Exprésese en forma de ecuación.

12.

La profesora Vélez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $700,000. si la cuenta de inversiones rinde 30% convertible mensualmente, ¿Cuánto tenia en su cuenta de inversiones un mes antes de realizar el primer retiro?

13.

El día 1° depositaron $700 000 en una inversión que paga 50% convertible mensualmente. Además 1. Se depositaron, comenzando un mes después, $50 000 mensuales durante un año.

2. al final del mes 19 se depositaron $400 000. a) ¿Cual es el monto de todas estas inversiones al final del mes 24?

14. Si se calculan intereses a razón de 22% anual convertible cada dos

meses, ¿que pago único realizado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $185 000?

15. Si se desea obtener un rendimiento de 100% capitalizable mensualmente

sobre una inversión riesgosa, ¿cuál es la cantidad máxima que debería invertirse en una operación que se espera pague $400 000 mensuales al final de cada uno de los ocho meses siguientes: 120

16. En una cuenta que rinde 3.25% mensual, se hicieron los siguientes

depósitos:

1.

Cinco de $750 000 cada fin de mes; el primero al cabo de un mes.

Ocho de $450 000 cada fin de mes; el primero de éstos al cabo de cuatro meses. ¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del décimo segundo mes (12)? 2.

17.

¿Qué renta pagada durante cada uno de 15 bimestres es equivalente a un valor de $30, 000,000, si se consideran intereses a una tasa de 8.2% bimestral?

18. ¿Qué renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular

$10, 000,000 al cabo del décimo mes, si se consideran intereses a razón de 28% convertible cada mes?

19. Si se vende un terreno en $14, 500,000 al contado, o mediante 12 pagos

semestrales iguales con 33% anual convertible semestralmente, ¿de cuánto serían los pagos en el plana crédito?

20. Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustaría

adquirir al señor López será de $2, 500,000 dentro de un año, ¿qué cantidad debería depositar cada mes en una inversión que rinde 25% convertible mensualmente?

21. El 12 de abril la señorita Pérez obtiene un préstamo de $3, 000,000 que

acuerda rembolsar mediante pagos iguales, cada mes, comenzando el12 121

de mayo y haciendo el último el 12 de diciembre del año siguiente. Si le cobran intereses de 1.8% mensual, ¿cuánto debe pagar cada mes?

22. Se deben pagar $15, 000,000 el 23 de agosto del año próximo. Si hoy es

23 de febrero, ¿cuál debe ser el importe de los depósitos bimestrales a una cuenta de inversión que rinde 7.4% bimestral para tener el 23 de agosto del año siguiente, en el momento de realizar el último depósito, la cantidad que se debe pagar, y si el primer depósito se hace el 23 de abril de este año?

23. El 2 de enero se obtiene un préstamo de $5, 000,000. Se va a pagar con

seis abonos mensuales iguales; el primero, el 2 de febrero, más $800,000 adicionales al último abono mensual. Si el interés acordado es de 18% convertible mensualmente, ¿cuál debe ser el importe de los pagos mensuales?

24. Un televisor se vende en las siguientes condiciones en dos tiendas:

En la tienda A cuesta $ 20,000 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 3.18% mensual; En la tienda B  cuesta $22, 000 de contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 2.75% mensual. Si se desea adquirir el aparato utilizando el crédito. ¿En qué tienda conviene adquirirlo? 25. ¿En cuánto tiempo se acumulan $8,000,000 mediante depósitos

semestrales de $300 000 en una inversión que rinde 2.1 % mensual?

122

26. ¿En cuánto tiempo se acumulan $5, 000,000, si se ahorran $200, 000

mensuales y los ahorros ganan 2.14% mensual de interés?

27. ¿Cuántos pagos de $1, 455, 585 sería necesario hacer cada fin de año

para liquidar una deuda de $4, 500, 000 si el interés es de 30%?

28. Ro dolfo

le vende a su hermana Silvia un departamento. El trato se formaliza hoy y se fija el valor del inmueble en $7, 000,000 para dentro de un año, que es cuando se va a hacer el traslado de dominio. Para pagar, Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de $500,000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operación. ¿Cuántas mensualidades iguales deberá pagar, y cuál debe ser el importe del pago final mayor si acordaron un interés de 3.18% mensual? Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes.

29.

Existen dos planes para la compra de un automóvil: a)

Precio de contado $500, 000 y mensualidades de $10,000 con una tasa de interés de 3.27% mensual, hasta terminar de pagar.

b)

Precio de contado de $520, 000 y mensualidades de $9,700 con una tasa de interés de 2.85%, hasta terminar de pagar.

Cuál de los dos planes de crédito conviene más? 30. A qué interés efectivo anual se tendría que colocar una serie de 15

depósitos bimestrales vencidos de $175,000 para que en el momento de hacer el último depósito se acumularan $3 850 000?

123

ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del periodo de pago. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina, algunos planes de crédito estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los periodos convenidos, etc. Se recuerda que una anualidad es cierta cuando se conoce con anticipación las fechas de inicio y fin de la anualidad. La anualidad es simple cuando el periodo de capitalización coincide con el periodo de pago. La anualidad es inmediata porque los pagos se inician en el mismo periodo en que la operación se formaliza. A las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas se les conoce comúnmente con el nombre de anualidades anticipadas.

124

Es práctica común que en los problemas de anualidades anticipadas, al igual que en las vencidas, no se haga mención explícita del periodo de capitalización. En este caso, se supone que la capitalización de los intereses coincide con el periodo de pago. La diferencia entre una anualidad ordinaria y una anticipada se puede ver gráficamente en los siguientes diagramas de tiempo. ANUALIDAD VENCIDA

0

A

A

1

2

A

A 3

A 4

A

A

A

n-3 n-2 n-1

n

ANUALIDAD ANTICIPADA

A

A

A

A

0

1

2

3

A

A

A

n-3 n-2 n-1

n

Obsérvese que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un periodo después de que se haya descubierto el último pago. Por tal motivo, el nésimo pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio del último periodo.

Símbolos Utilizados En Las Anualidades Anticipadas Todos los símbolos tienen significado definido en las anualidades ordinarias o vencidas.

125

A = Pago periódico o renta i = Tasa efectiva por periodo de capitalización Tasa nominal actual. j= m = Número de capitalizaciones en el año. J(m) = Tasa nominal con m capitalizaciones en el año. n = Número de periodos de pago. F = Valor futuro o monto de una anualidad. P = Valor presente o actual de una anualidad. Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidas se acostumbra usar símbolos F y P con diéresis para las anualidades anticipadas, esto en particular es útil cuando se trabaja simultáneamente con ambos tipos de anualidades. F = Valor futuro de anualidad anticipada. P = Valor presente de una anualidad anticipada. Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente de las anualidades anticipadas; de éstas, e proporcionaran dos formas consideradas las más simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas. Formula de valor presente de una anualidad anticipada  P=A

1- (1 + i)- (n-1) + 1 i

Formula de valor futuro de una anualidad anticipada.

F = A (1+ i)n +1 -1 - 1 i 126

A continuación mostraremos problemas resueltos de anualidades anticipadas, comprendiendo lo que son el valor presente y valor futuro de las anualidades anteriormente citada. Problema # 1 Valor presente de una anualidad anticipada. Un profesionista deposita $ 1,500.00 al principio de cada mes, en una cuenta de inversión, por 4 años. Si la tasa de interés es del 23.64% capitalizable cada mes, Calcule el valor presente de la anualidad. A = 1,500 I = 2364/12 = 0.0197 n = 48 meses P=? P=A

1- (1 + i)- (n-1) + 1 i

P = 1500 1- (1+.0197)- (48-1) + 1 0.0197

P = 1500 1-(1.0197)-47 + 1 0.0197 P =1500 1-(0.399757198) + 1 0.0197 127

P =1500 (30.46917777+1) P =1500 (31.46917777) P = $ 47,203.77

Problema # 2 Valor futuro de una anualidad anticipada Una niña recién nacida recibió, por parte de sus abuelos maternos, $ 10,000.00 para que sean utilizados en su educación universitaria. El mismo día en que nació la niña su padre le abrió una cuenta de inversión a su nombre, donde deposito el regalo de los abuelos junto con $ 300.00 que piensa depositar, a partir de ese momento, cada mes, durante 12 años. Después de transcurrido ese tiempo, los depósitos serán suspendidos, pero el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Supóngase que la tasa de interés es del 18.6 % capitalizable cada mes.

F = A (1+ i)n +1 -1 - 1 i F =210 (1+0.013333333)(24+1) – 1 -1 0.013333333 F =210 (1.0.013333333)25 –1 -1 0.013333333 F =210 (0.39254173) - 1 0.013333333 128

F =210 (28.44063049) F = $ 5,972.532402

F2 = F1 (1+ i)n F2 = 5,972.532591 (1+.013333333)30 F2 = 5,972.532591 (1.013333333)30 F2 = 5,972.532591 (1.487886702) F2 = $ 8,886.451822

Problema # 3 Valor futuro (renta) de una anualidad anticipada Un consejo estudiantil necesita reunir $ 1, 000,000.00 en 2 años para reunir para los gastos de su graduación. Si deciden depositar al principio de cada mes una cantidad en un banco. ¿Cuál es el importe de cada depósito, si el banco paga una tasa de interés del 24 % y la capitalización es mensual? S =1,000,000.00 i = 2% n = 24 meses R=?

R=

S {(1+i)n+1}-1 i

-1

129

R=

1,000,000.00 (1.02)25 – 1 - 1 0.02

R=

1,000,000.00 1.64060599 – 1 - 1 0.02

R = 1,000,000.00 32.030299 – 1 R = $ 32,226.57 Problema # 4 Valor presente (renta) de una anualidad anticipada a nticipada El valor total de un terreno es de $ 8, 000,000.00, el dueño decide venderlo en 10 pagos mensuales al principio de cada mes con una tasa de interés mensual de 3% y capitalizable mensualmente; determinar el importe de cada pago. C = 8,00O, 000.00 n = 10 meses i = 3% mensual R=? R=

R=

C 11 (1 +i)n-1 i

+1

8,000,000.00 1-

1 130

(1.03)10-1

+1

0.03 R=

R=

8,000,000.00 11 1.304773184 0.03

+1

8,000,000.00 1- 0.766416732 + 1 0.03

R=

8,000,000.00 8.786108933

R = $ 910,528.2055

Problema # 5 Valor futuro (tiempo) de una anualidad anticipada ¿Cuanto tiempo debe pasar para reunir $ 20, 000,000.00 con depósitos de $ 100,000.00 a principio de cada mes, si la tasa de interés es del 5% mensual? S = 20,000,000 i = 5% R= 100,000 n= ? n = Log

S +1 i +1 R -1 Log (1 +i)

n = Log

20,000,000 + 1 (.05) +1 100,000 -1 Log (1.05)

n = Log (200+1) (.05) + 1 - 1 Log (1.05) n = 2.002166062 -1 0.021189299 131

n = 94.48949028 – 1 n = 93.4894028 meses

Ejemplos: MONTO: (VALOR FUTURO) 1.- Encuéntrese el monto de seis pagos semestrales anticipados de $145000 si el interés es de 85% convertible semestralmente. Datos n=6 m=2  j = 59% i = 58/2 = 29 = 0.29 A = 145,000 FORMULA 1 n ¨F=M=A(1+i) -1 (1+i) i ¨F=145,000= (1+0.29)6 -1(1+0.29) 0.29 ¨F=$145,000(16.05059664) ¨F=$2,327,336.512 1 FORMULA 2 132

n+1 ¨F=A (1+i) -1 -1 i

6+1 ¨F=$145,000 (1+0.29) -1 -1 0.29

¨F=$145,000 (16.05059664) ¨F=$2.237,336.512

Valor actual Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $75,000 de renta, por anticipado. Como desearía librarse del compromiso mensual de la renta, decide proponer una renta anual equivalente y también anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 67.44% convertible mensualmente ¿De qué cuanto deberá ser la renta mensual? Datos 12 75,000 12 67.44 67.44/12=5.62=0.0562 ? Formula 1 -n+1 ¨p = R + R 1-(1+ i) i 133

-12+1

¨p = 75,000+75,000 1-(1+0.0652) 0.0562 ¨p =$75000+$75000(8.042443125) ¨p =$75000+603,183.2344 ¨p =$678,183.2344 Formula 2 -(n-1) A 1-(1 + i) +1 i

-(12-1) $75000 1-(1+0.562) +1 0.562

$75000(9.042443125) $678,183.2344

RENTA DEL VALOR ACTUAL 3.- En una tienda se vende una bicicleta por $80000 al contado o mediante abonos mensuales anticipados. Si el interés es del 72.24% convertible mensualmente, calcúlese el valor de pago. Datos n =5  j =72.24% m =12 i =72.24/12=6.02=0.0602 134

p =$80000 R =A= Formula A=

P -n-1

1+ 1-(1+i) i $ 80000____  A= -5-1 1+ 1-(1+0.0602) 0.0602 A = ___$80000___  4.463519293 A =$17,923.07701 A = $17,923.08 RENTA DEL MONTO (VALOR FUTURO) El señor Ramírez debe pagar $25,000,000 dentro de un año y para reunir esta cantidad decide hacer depósitos o abonos mensuales en una cuenta de inversión que rinde 10% mensual de interés. ¿De cuanto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero? Datos =12 =10%=0.10 =? =25,000,000 Formula 135

A= _______F________  (1+i)n+1-1 -1 i A = ____$25000000_____  (1+.010)12+1-1 -1 0.10 A = _$25000000 23.52271214 A =$1062802.616 A =$1062802.62 PLAZO DEL VALOR ACTUAL En la tienda contino se vende equipos de sonido por $245000 al contado o mediante pagos mensuales anticipados de $28500.00. Si el interés es de 6.75% convertible mensualmente ¿cuántos pagos es necesario hacer? Datos P =$245000 n =? m =12 J =67.5%=0.675 I =0.675/12=0.05625 A =$28500 Formula n =1- log (1+ i- pi /A) Log (1+ i) $245500(0.05625) n =1 – log 1.05625$28500____  Log(1+0.05625) 136

n = 1 – Log (1.05625-0.483552631) Log 1.05625 n =1- Log 0.572697368 = log01.05625 n = 1-(-0.242074812) 0.023766721 n = 1- (-10.18545268) n = 11.18545268 n = 11 (habría que hacer 11 pagos) PLAZO DE MONTO (VALOR FUTURO) La señora Celia piensa jubilarse al reunir $7, 000,000 mediante depósitos mensuales de $210000 de las ganancias que obtiene de su negocio, si invierte sus depósitos a una tasa de interés de 6.50% mensual, ¿en cuanto tiempo reunirá la cantidad que desea? Datos R = 210000 F = $7, 000,000 I = 6.50=0.065 Formula (inventada) F n = Log (A + 1) i + 1 -1 log(1-i) 7000000 137

n = log

210000 +1 0.065 +1 log (1+0.065)

-1

= Log 3.231666667 -1 Log 1.065 = 0.509426558 -1 0.027349607

17.62646721 -17-________  0.62646721 x 30= 18.79401631 = 19 días

18.62646721 –1 17.62646721 Entonces en 17 meses y aproximadamente 19 días reunirá lo que desea TASA DE INTERÉS (DE VALOR ACTUAL) ¿A que tasa de interés trimestral 12 depósitos trimestrales anticipados de $100000 equivalen una deuda de $900,000? Datos P = $900,000 A = 100,000 n = 12 I =? m=4 Mediante interpretación P =A (P/A, i %, n-1)+1 $900,000= $100,000 (P/A, i%, 12-1)+1

138

(P/A, i %,11)= $900,000 -1 $100,000 (P/A, i %,11)=9-1=8 En la tabla VI se busca en la línea correspondiente a n=11, los valores más próximos a 8; estos son: (P/A, 6%,11)=7.88687458 y (P/A, 5 ½ %,11) =8.09253633 Se calcule i por interpretación a 0.055 corresponde 8.09253633 a i corresponde 8 a 0.06 corresponde 7.88687458 a 0.06 corresponde 7.88687458 -0.005 es a 0.20566175 como i-0.06 es a 0.11312542  ___-0.005 = ___i-0.06__  0.20566175 0.11312542 i-0.06= (0.005) (0.11312542) 0.20566175 i-0.06= -0.002750278552 i=0.06-0.002750278552 i= 0.057249721  j= 4(0.0057249721) tasa=)0.228998885 x 100% tasa= 22.90 Verificando:

139

P=A 1-(1+i)-(n-1) +1 I P =$100,000 1-(1.057249721)-11 0.057249721 P =$100,000(8.999006908) P =$899,990.6908

TASA DE INTERÉS DE MONTO (VALOR FUTURO) A que tasa de interés semestral 20 depósitos semestrales anticipadas de $7000 acumularon un monto o valor a futuro de $210000? Datos $210000 $7000 20 ? 2 F=A (1+i)n+1 -1 -1 i 210000=$7000 (1+i)20+1 -1 -1 i 210000+1 (1+i)21 -1 -1 $7000

i 140

31 = (1+i)21 -1 i En la tabla V se busca en la línea correspondiente entre 3 ½ % y 4% y la tasa nominal encuentra entre (3 ½ % x 2) = 7% y (4% x 2) = 8% Encuentra el valor (F/A, i%, 21) = 31 se calcula mediante 0.040 corresponde 31.96920172 0.035 corresponde 30.26947068

a i corresponde 31.0 a 0.035 corresponde 30.26947068

.005__  = __i-0.035__  69973104 0.73052352 -0.035 = 0.002148955637 = 0.035+ 0.002148955637 =0.037148955 (semestral) tasa= (0.037148955) (2) (100%) tasa= 7.429791127% tasa= 7.43% Ejercicios 1. - Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3,000 mensuales por mes anticipado; si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente 2.- Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al 141

finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

ANUALIDADES DIFERIDAS: 





Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo (periodo de tiempo). Intervalo de tiempo, es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago. (Matemáticas Financieras, Lincoyán Portus G.). Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se posponen para un período posterior al de la formalización de la operación. Son aquellas que comienzan después de que transcurre un intervalo de tiempo. El lapso que transcurre entre la fecha inicial de aplazamiento (k). (Matemáticas Financieras, Hernández Hernández).

Estas anualidades se analizan como anualidades vencidas. Su gráfica es:

1

Ho 

2

3

4

5 R1

6 R2

7 R3

Rn

142

Fórmula para calcular el valor presente:  1 -(1 + i)n

1

R

i

C=

(1 + i ) k

En donde k : representa los periodos diferidos. Fórmula para calcular el importe de cada pago: 

1

Log

k 1 ( C ) ( i ) ( 1 + i ) Fórmula que sirve para calcular el número de pagos: 

R

n=

Log ( 1 + i )

(C) (i)

Fórmula que sirve para calcular el tiempo diferido: 

1 - 1 (1 + i )n Log R K=

i C Log (1 + i)

143

Ejercicios. Determinar el valor actual de una renta por $ 500,000.00 semestrales, si el primer pago debe realizarse dentro de 2 años y el último dentro de 5, si la tasa de interés es del 60% capitalizable semestralmente.

Solución: Gráfica: n=7 R1 500,000 Hoy 

R7 500,000 10

1

4  Semestres

3

2

Datos: K=3 n=7 i = 30% semestral C = ¿?

1-

1 (1.30)7

500,000

0.30 C=

C=

(1.30)3

500,000 (2.8021124) 2.197 144

C =$ 637,713.33

Ejercicios. Cantidad que se necesita depositar el día de hoy para que dentro de 2 años reciba $ 500,000 cada seis meses y el último por la misma cantidad dentro de 5 años. Cierto padre de familia depositó el día de hoy $ 2, 000,000.00 para que su hijo que en la actualidad cuenta con 14 años reciba cada tres meses, a partir de que cumpla 18 años, una cantidad que le permita cubrir los gastos de sus estudios durante 5 años. Si la tasa de interés es del 15% trimestral con capitalización trimestral, determinar la cantidad que recibirá cada tres meses. Solución: Gráfica: TRIMESTRES 

14

4

8

15

16

12 17

15

16

18

20

19

24 20

28

32

12

22

35

36

23

HOY   AÑOS  FIN 

15

R=

(2, 000,000) (0.15) (1.15)20 + (1.15)20 - 1

Datos: 145

k = 15 n = 20 C = 2, 000,000.00 i = 15% R = ¿?

R=

39, 952,657 16.366537

R = $ 2, 599,977.90 Cantidad que recibirá cada tres meses durante cinco años, es decir 20 trimestres. Ejercicios Alguien deposita $100,000.00 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $ 2,500.00 , a principio de cada mes ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?. Log Datos: k = 10 n =¿? C =100,000.00 i =6% R =2,500.00

1 1 - (100,000)(0.005) (1 + 0.005)10 2,500.00 n = Log (1 + 0.005)

n = 47.

Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá 146

por espacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% el valor presente de la producción. Datos: k=5 n = 20 A = $400.000  j = 6% i =0.06 P =?

Formula: -n P=A 1-(1+i) (1+i) i

-k

SOLUCION 1 Sustitución: -20 -5 P = $400.000 1-(1+0.06) (1+0.06) 0.06 -20 -5 P= $400.000 1-(1.06) (1.06) 0.06 P= $400.000 (11.46992122) (0.747258172) P= 3.428.396.95 Una ley de incentivos para la agricultura, permite a un campesino adquirir equipos por valor de $80.000 para pagarlos dentro de 2años, con 8 cuotas semestrales. Si la ley fija el 6% de interés para estos prestamos. Hallar el valor de las cuotas semestrales. Datos: Formula: -n

-k 147

P =$80.000 k = 2 años n = 4 años A =? m=2

P = A 1-(1+ i) (1+ i) i

Sustitución: -4 -6 $80.000 = A 1-(1+0.06) (1+0.06) 0.06 -4 -2 $80.000 = A 1-(1.06) (1.06) 0.06 $80.000 = A 1-0.792093663 (0.88999644) 0.06 $80.000 = A (3.465105617) (0.88999644) $80.000 = A (3.083931663) $80.000 =A 3.083931663 A = 25.940.91204 2 A = 12.970.45602

SOLUCION 2 148

Datos: P = $80.000 k=4 n=8 A =? i = 0.06/2= 0.03

Formula: -n -k P = A 1- (1+ i) (1+ i) i

SUSTITUCION: -8 -4 $80.000 = A 1-(1+0.03) (1+0.03) 0.03 -8 -4 $80.000 = A 1-(1.03) (1.03) 0.03 $80.000 = A 1-0.7894409234 (0.888487047) 0.03 $80.000 = A (7.0196922) (0.888487047) $80.000 = A (6.236905594) $80.000 =A 6.236905594 A = 12.826.87365

Rentas perpetúas

149

Ejercicios 1. Hallar el valor actual de una renta perpetua de $ 156,000.00 por un año vencido, suponiendo un interés de: a) 6% Datos: W = $ 156,000.00 I = 0.06 K = 1 año

Formula: P=

w

P = 156,000 (1+0.06) 1-1

(1+ i ) k -1

P = $ 2, 600,000.00

b) 6% convertible semestralmente Datos: Formula: P= w W = $ 156,000.00 (1+i)k-1 i = 0.06/2= 0.03 k = 1 años 2 semestres

P = 156,000 (1+0.03) 2-1

c) 6% Convertible mensualmente P = $ 2, 561,576.35 Datos: Formula: P = 156,000 w = $ 156,000.00 P= w (1+0.005) 12-1 i = 0.06/12= 0.005 (1+ i)k-1 k = 12 meses P = $ 2, 529,272.601

2. Los alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $ 2000,000.00 y el 150

mantenimiento se estima en $ 35,000.00 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva de interés es de 7%. Datos: W = $200,000.00 A = $ 35,000.00 i = 0.07 P=?

Formula: P=W+ A

i

35,000 P = 200,000+ 0.07 P = $ 700,000

3. para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras que se estiman en $ 3000,000.00 cada 5 años, hallar el valor del fondo con la tasa efectiva de 6%. Datos: W = $3000,000.00 I = 0.06 K = 5 años P=?

Formula: P=

w

P = 300,000

(1+ i)k-1

(1+0.06) 5-1

P = $886,982.00

4. Las traviesas que usa una compañía ferroviaria en una zona tropical le cuestan $120 por unidad y debe reemplazarlas cada 5 años. Por medio de un tratamiento químico, puede prolongarse la vida de las traviesas en 4 años ¿Cuánto puede pagarse por el tratamiento? Calcular con a) la tasa efectiva del 6% X= C (A/F, i%, K)(P/A, i%, b) Datos:

C= $ 120.00 K= 5 años B= 4 años 151

i= 6 % Tabla VII Tabla VI X= 120(A/F, 6%, 5) (P/A, 6%, 4) X= 120(0.17739640) (3.46510561) X= 120(0.614697) X= $ 73.76

b) la tasa efectiva del 8% X= C (A/F, i%, K)(P/A, i%, b) Datos: C= $ 120.00 K= 5 años B= 4 años i= 8 % Tabla VII Tabla VI X= 120(A/F, 8%, 5) (P/A, 8%, 4) X= 120(0.17045645) (3.31212684) X= 120(0.564573383) X= 67.748= $67.75

152

ANUALIDADES VARIABLES Una anualidad variable es aquella cuyos pagos difieren entre si. 1. Una persona contrae la obligación de pagar $3,000 cada final de mes, durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $175 cada mes, hallar: a) A la tasa del 26%, el valor presente de su obligación b) Si desea sustituir su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos mensuales iguales, ¿Cuánto deberá pagar mensualmente? Datos: A = 3,000 n = 12 meses L = 175 I = 26/12 = 0.0216

FORMULA: a)

P = A 1-(1+i)-n + L 1-(1+i)-n –n (1+i)-n i i i

P = (3000) 1-(1+.0216)-12 + 175 1-(1+.0216)-12 –12 (1+0.216)-12 0.0216 .0216 0.0216 P = 3000 (10.47216749) + 8,101.85 (1.1865) P = 31,416.50 + 9,613.27 P = $ 41,029.77 b)

A=P

i . 1- (1+i)-n 153

A = 41,029.77

0.0216 . 1- (1+0.0216)-12

A = 41,029.77 (0.095491215) A = $ 3,917.98 2. Las ventas promedio de un almacén son de $500,000 mensuales; el dueño inicia una ampliación y estima que sus ventas, a partir del quinto mes, se incrementaran con un gradiente de $80,000 mensuales, estabilizándose al cabo de un año. Hallar el valor actual de sus ventas durante primer año. Tasa de interés: 22% anual. Datos: A = 500,000 n = 12 meses L = 80,000 J = 22/12 = 0.0183 k = 3 meses FORMULA: a) Primero se calcula el incremento AL = L 1-(1+i)-n –n (1+i)-n i i AL = 80,000 1-(1+0.0183)-9 –9 (1+0.0183)-9 0.0183 0.0183 AL = 4`371,584.699 (8.2288- 7.6447) AL = 4`371,584.699 (0.5841) AL = 2`553,005.464 b)

P = A 1-(1+i)-n + 1-(1+i)-k (AL) 154

i P = 500,000 1-(1+0.0183)-12 + 1-(1+0.0183)-3 (2`553,005.464) 0.0183 P = 500,000 (106,866) + 2`417,823.047 P = 5´343,300 + 2´417,823.047 P = 7´761,123.047

ANUALIDADES CONTINGENTES Una Anualidad Contingente es una anualidad cuyos pagos continúan por toda o parte de la vida de una persona en particular, llamada rentista. Como en el caso de las anualidades ciertas, los pagos pueden ser hechos anualmente, semestralmente, trimestralmente, etc. Sin embargo, nos limitaremos a discutir exclusivamente las anualidades contingentes con pago anual. La tabla de mortalidad más generalmente usada para anualidades contingentes es la Stantard Annuity de 1937.



Valor Actual de un Dotal Puro : un dotal puro es una promesa de pagar una cantidad determinada a una fecha futura, si el beneficiario continua con vida. Formula para plantear el valor actual de un dotal Puro de $M a futuro:

C    M (1  i )





n

Vx  n Vx

Anualidad Vitalicia Vencida : Es el caso de pagos de una renta de por vida para una persona con X años de edad. Como es una anualidad vencida el primer pago de la renta se hace cuando el rentista tiene X+1

155

años, el segundo cuando tiene X+2 años, y así sucesivamente mientras esté vivo. Formula de Anualidades Vitalicia Vencidas

C    R

 Nx  1  Dx

EJERCICIO DE VALOR ACTUAL DE UN DOTAL PURO Ejercicio 1 Calcule el valor actual de un dotal puro de $1,000.00, pagadero a una persona de 55 años, si vive a los 75 años. Utilícese el 18% anual. Solución: 

DATOS M=1,000.00 x= 55 n+x= 75 i= 0.18 Y de la tabla VI V55= 8 534 154 V75= 4 260 920 FORMULA 156

C 



 M  (1  i )

n

Vx  n Vx

SUSTITUCION C   1,000.00(1.18)



20

4260920 8534154

C = 1,000.00 (0.03650563) (0.499278545) C = $18.23

EJERCICIO DE ANUALIDADES VITALICIAS VENCIDAS Ejercicio 2 ¿Cuál es la prima neta única de una anualidad vencida de $100,000 anuales pagaderas a una persona de 40 años, si el interés es 18% anual? Solución: 

DATOS R = 100,000 i = 0.18 x =40 C = Rax FORMULA C 



 R

 Nx  1  Dx

SUSTITUCION 157

C   100,000

 Nx  1  Dx

Y, de la tabla VI C   100,000

66986.35 12562.14

C= 100,000 (5.332399575) C = 523,239.96 Matemáticas Financieras Díaz Mata Ejercicio 6.9 ¿Cuanto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana el 8.55% capitalizable quincenalmente, para tener $200,000.00 al final de 5 años? Datos: F = $ 200,000.00 I =8.55/29= .35625% N = 5 años = 120 quincenas

Formula: P = w. i (1+ i)k-1

P = (200,000) (.35625) (1+0. 35625) 120-1 P = $39, 363.26

Ejercicio 6.10 La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $650, 000.00, ella escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido a 18% anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar?

158

Datos: P = $650, 000.00 I = 18%Datos:

Formula: P=

wi (1+ i)k-1

P = (650, 000.00) (.18/12) ula:

(1+.18/12)144-1 P = $11044.28

159

UNIDAD VI. AMORTIZACIÓN El término amortización se aplica para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. Es cuando una deuda se liquida conforme a una serie de pagos periódicos generalmente de igual valor, pagando los intereses que se adeudan al momento que se efectúan los pagos y también se liquidan una parte del capital. 3 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de cada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. Todos estos modelos aplicaciones de las anualidades. Amortización gradual Este consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales de tiempo. Amortización Constante A diferencia de la amortización gradual mantienen un valor igual para la amortización en cada período y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente por ser decreciente los intereses sobre los saldos. Amortización por cuotas incrementadas

3

Matemáticas Financieras, Hellen Cissell, David C. Flaspohler, editorial CECSA. 160

Este sistema consiste en incrementar periódicamente la cuota de pago. Es una aplicación de las anualidades variables. Así se tiene: préstamos amortizables con cuotas crecientes de variación uniforme o con gradiente; y el sistema de amortización cuyas cuotas de pago crecen geométricamente. Con estos sistemas de amortización con cuotas incrementadas, se trata de conciliar el incremento de las cuotas con el mejoramiento económico del deudor. En algunos modelos de amortización por cuotas incrementadas, el saldo insoluto crece en los primeros períodos, para luego decrecer. Amortización Decreciente Este sistema tiene modelos matemáticos similares a los de la amortización por cuotas incrementadas, para estos sistemas el factor de variación es negativo, convirtiéndose los incrementos en decrementos. En estos sistemas de amortización decreciente, el deudor paga cuotas mayores en los primeros períodos, lo que tiene alguna importancia, si el clima económico es de desvalorización monetaria creciente y se prevé un aumento futuro en las cuotas por corrección monetaria. Formula: CÁLCULO DE LA RENTA A=P i

1- (1+ i)-n

1.-Una deuda de $20,000, con intereses del 8% capitalizable trimestralmente, debe amortizarse con cuotas de $5,000 por trimestre vencido. Elaborar el cuadro de amortización.

161

Fecha

Pago Trimestral

2% intereses sobre saldos

Amortización

Saldo

20,000

Comienzo er trimestre

$5,000

$400

$4,600

15,400

do trimestre

$5,000

$308

$4,692

10,708

$5,000

$214.16

$4,785.84

5,922.1

$5,000

$118.44

$4,881.56

1,040.6

$1,061.41

$20.81

$1,040.60

$00.00

$1,061.41

$20,000

erTrimestre to trimestre to trimestre

OTALES

$21,061.41

8% /4 (trimestral) = 2% Ejemplos de cálculos: $20,000 - 5,000 $15,000 + 400 $15,400 -20,000 $ 4,600

20,000/5,000 = 4

saldo (deuda) -pago trimestral =saldo +interese = saldo -saldo de deuda = amortización

15,400 x 0.02= $308 $20,000 - 5,000 $10,400 + 308 $10,708 -15,400 $ 4,692

= amortización y así sucesivamente 162

2. Una deuda de $50,000 debe amortizarse con pagos, semestrales en 2 ½ años a la tasa del 8%, capitalizable, semestralmente. Hallan el pago semestral y elaborar cuadro de amortización.

DATOS:

FORMULA

P =$50,000 nm=2.5 x 2= 5 m=2 i=0.08/2= 0.04

A=P

i 1-(1+i)-n

A= $50,000

A=50,000

0.04 1-(1.04)-5

0.04 0.178072893

A= $50,000 (0.224627113) A= $11,2321.36

163

fecha Comienzo 1er trimestre

Pago trimestral $11,231.36

4% intereses sobre saldos

amortización

saldo $50,000

$2,000

$9,231.36

$40,768.64

2do trimestre $11,231.36

$1,630.75

$9,600.61

$31,168.03

3erTrimestre $11,231.36

$1,247.72

$9,984.64

$21,183.40

4to trimestre $11,231.36

$847.34

$10,384.02

$10,799.38

5to trimestre $11,231.36

$431.98

$10,799.38

$00.00

TOTALES

$6,156.79

$50,000.01

$56,156.80

3.- Una propiedad cuyo valor es $500,000 se vence con una cuota inicial de $150,000 y el saldo en pagos mensuales a 15 años de plazo, aun interés del 6% capitalizable mensualmente. Hallar (a) el valor de las cuotas mensuales (b) el saldo insoluto al finalizar el cuarto año. DATOS: P= 500,000 – 150,000 P=350,000 J = 6% = 0.06 m =12 i =0.06/12= 0.005 n =15 x 12 = 180

A= P

FORMULA i 1-(1+i)-n

A =$350,000

A = $350,000

0.005 1-(0.005)-180 0.005 0.592517573

A = 350,0000 (0.00843856828) A =$2,953.498898 164

a)A =$2,953.50

(Valor de las cuotas)

Al finalizar el cuarto año, faltarán 11 años para la extinción de la deuda, y el saldo insoluto es igual al valor presente, 11 años antes de la extinción de la deuda. Saldo Insoluto Datos A =$2,953.5 i = 0.005 n = 11(12)=132

P =A 1-(1+ i) -n i P = $2,953.50

1-(1.005) -132 0.005

P =$2,953.50 (96.4595.9872 P = 284,893.4248

b) Una deuda de $100,000 con intereses del 8% se debe amortizar con pagos anuales de $2,000. Elaborar un cuadro de amortización, hasta la extinción de la deuda.

Fecha

Pago Trimestral

8% intereses sobre saldos

Comienzo Año Del año 1

$2,000

8,000

Amortización

Saldo

$100,000

4.-una deuda de $10,0000 con intereses del 6% capitalizable trimestralmente, debe amortizarse con 4 pagos trimestrales iguales consecutivos, debiendo efectuarse el primer pago dentro de 2 años. Hallar el valor de los pagos.

165

Nota: el deudor disfrutara el dinero por 2 años por lo que contrae la deuda a partir desde que lo presto. $10,000.00 (1.015)8 = 11,264.92587 = $11,264.93 DATOS: P= $11,264.93 i=6% = 0.06/4= 0.015

A= P

i 1-(1+i) 1-(1+i ) -n

m =4 n =4 pagos A=? 2 años X 4 (trimestral)= 8 trimestre A = $11,264.93

A = $11,264.93

A = $11,264.93

A =$11,264.93 (0.259444786)

A = $2,922.627353

0.015 1-(1.015) -4

0.015 1- 0.94218423

0.015 0.05781576

A = $2,922.63

5. Una deuda de $20,000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses. Datos A =$20,000 m = 12  j =8% 0.08/12= 0.0067

A= P

i . 1-(1+i) -n

166

A = $20,000

0.006666 1-(1.006666) -12

A = $20,000 (0.086988059) A =$1,739.76 Fecha Comienzo 1er. Mes 2do. Mes

Pago

I = 0.006666

Amortización Amortizaci ón

$1,739.76 $1,739.76

$133.32 $122.61

$1,606.44 $1,617.15

$3,479.52

$255.93

$3,223.59

Saldo $20,000.00 $18,393.56 $16,776.41

6.-Un préstamo de $45,000amortiza en 2 ½ años, con pagos semestrales vencidos de $9,650. Hallar la tasa de interés. Datos: P = $45,000 A =$9,650 n =(2.5 años)(2) = 5 m =2 (Semestral) i =?

P =A 1-(1+i)-n i 1-(1+i)-5 = $45,000 = 4.6632124 i $ 9,650

En la tabla VI, se halla que para n=5 (P/A, 2%, 5)= 4.71345951 y (P/A, 2 ½ %, 5)= 4.645821850,o sea que esta comprendida entre 2% y 2 ½ %, y la tasa nominal se encuentra entre (2% x2)=4% y (2 ½ % x2)= 5% para afinar el resultado, se procede mediante interpolación. A 0.02 A 0.025

4.71245951 4.64582850

A i A 0.025

4.663212435 4.64582850

- 0.005

0.06763101

i- 0.025

0.017383935

167

-0.005 = i –0.025 0.06763101 0.017383935 i - 0.025 = -0.005 (0.017383935) = -0.000086919675 0.06763101 0.06763101 i - 0.025 = -0.00128520445 i - 0.025 = -0.00128520445 = 0.023714795 J = (0.023714795) (2)(100)= 4.74295911 J = 4.74%

Tasa anual 7. Una deuda de $100,000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas con intereses del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago. DATOS: A = $100,000 J =12% m =2 n =18/2=9 i = 12/2=6%= 0.06

A= P

i 1-(1+i)-n

A = $100,000

0.06 1-(1.06)-4

A = $100,000

0.06 0.408101536

168

A =$100,000 (0.147022237) A =$14,702.2235 Al finalizar el noveno pago faltaran p para la extinción de la deuda y el saldo insoluto es igual al valor presente, 9 pagos antes de la extinción de la deuda. Datos: = $9,235.65 i= 0.06 n=9/2=4.5

P=A 1-(1+i)-n i P=$14,702.22 1-(1.06)-4.5 0.06 P = $56,517.93

Saldo $100,000

0.006 1-(1+0.06)-9

1-(1+0.06) –4.5 0.06

$56,517.93 Nota: La adopción de una u otra alternativa dependerá de lo que resulte más conveniente para el acreedor y deudor

8. Una deuda de $ 10,000, con intereses del 12% convertible mensualmente, se paga con cuotas mensuales de $ 250.00. Hallar el número de pagos de $ 250.00 y elaborar el cuadro de amortización los dos primeros pagos y el último que extingue la deuda. DATOS P = $ 10,000 A = $ 250

FORMULA n



log (1  PI  /  A) log (1  I)

m = 12 169

J = 12% X = 12% /12= 1% =0.01 n=? n

log (1  (10,000)(0 .01)/250) log (1.0I)

n

log 0.60 log 1.0I

 



- 0.22184874 9 0.0043213737 83

log (1- 0.40) log1.01





51 .33755147

n = 50 Pagos de $250 y un pago final mayor o, n = 51 Pagos de $250 y un pago final menor a saber FECHA Comienzo 1er mes 2do mes

PAGO MENSUAL

0.01% INTERES S/ AMORTIZACIÓN SALDO

-------250 250

-------100 98.50

------150.00 151.50

$ 500

$ 198.50

$ 301.50

P (1 + i)n – A 

(1  i )n



1

i

$ 10,000 (0.01)5 - $ 250

SALDO $ 10,000 9,850 9,698

 (1.01)51 - 1 0.01

= $10,000 (1.66107814) - $ 250 (66.10781401 = $16.610.7814 - $ 1,526.9535= = $ 83,8279= $ 83.83 último pago que liquido $10,000 (1.01)50 -$250

(1.01)50 - 1 0.01

= $10,000 (1.644631822 - $ 250 (64.48218) = $ 16,446.31822 - $ 16,115.79555 = $330.522674 170

= $330.52 último pago 9. Una propiedad se vende $ 300,000, pagaderos así, 100,000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago. DATOS: = $ 300,000 – 100,000= p = $ 200,000

FORMULA  A  P (

i

1  (1  i )



n

n=8 m = 2 (semestral)

 A  $200 ,000 (

0.05 1  (1.05)



8

 j = 10%= 0.10 i = 0.10/2= 0.05= 5%

 A  $200,000(

0.05 ) 0.323160638

A =  $200,000(80.154721813) A =  $30,944.36273= $30,944.36

Derechos Vendedor + derechos Comprador = Precio de Compra $ 30,944.36 (P/A, 5%, 3) + Derechos comprador = $ 300,000 $ 30,944.36 (2.72324803) + Derechos Comprado r = $ 300,000 Derechos Vendedor = ($ 30,944.36) (2.72324803) = $ 84,269.16741 = $ 84,269.17 Derechos Comprador = $ 300,000 - $ 84,269.17= $215,730.83

10. Una propiedad se vende en $ 200,000 que se pagan con $ 50,000 de contado y el saldo en cuotas semestrales de 4 10,000 con un interés del 8% efectivo. Hallar el

171

número de pagos necesarios para cancelar el saldo y elaborar el cuadro de amortización, para los dos primeros pagos y para el último que extingue la deuda. DATOS. FORMULA P = $ 200,000 - $ 50,000 P = $ 150,000

n



log (1  PI  /  A) log (1  I)

A = $ 10,000 I = 8% = 0.08/2= 0.04 n=? m=2

n



log (0.40 ) log (1.04 )



(0.397940008 ) 0.017033339



23.3624193 1

n = 22 Pagos de $ 10,000 y un pago final mayor, a n = 23 Pagos de $10,000 y un pago final menor a saber

FECHA

PAGO 0.01% INTERES AMORTIZACIÓN MENSUAL S/ SALDO

Comienzo 1er mes $ 10,000 2do mes $ 10,000 $ 20,000

$ 6,000 $ 5,840

$ 4,000 $ 4,160

$ 11,840

$ 8,160

= $ 150,000(1.04)22 - $ 10,000

SALDO $ 150,000 $ 146,000 $ 141,840

(1.04) 22 - 1 0.04

= $ 150,000(2.369918792) - $10,000 (34.24796979) = $ 355,487.8187 - $ 342,479.6979= = $ 13,008.12083= $ 13,008.12 último que extingue la deuda

172

= $ 750,000 (1.04)23 - $ 10,000

(1.04)23- 1 0.04

= $ 150,000 (2.464715543) - $10,000 (36.61788858) = $ 369,707.3315 - $ 366,178.8858 = $ 3,528.44571= $ 3,528.45 último pago 18.18% 19.77% 11. Un artículo se vende de contado en $ 2,000, para venderlo a plazos se recarga el precio en un 15% y se entrega sin cuota inicial para cancelar en 18 cuotas mensuales iguales. Hallar: (a) la tasa nominal j (R) cargada; (b) la tasa efectiva cargada DATOS: P =2,000 0.15

 A 

$ 2,000 (1.15) 18



$127.7777778

Pagos 18 12 (mensual) (p/A, i%, 18)=

$2,000 (1.15)  $ 127.7777778 18

= 15.65217891

La tabla VI se halla que para n=8, (p/A), ½% (1.5),18)= 7256089 y (p/A, 1 ¾ % (1.75),18)= 15.32686272, o sea i esta comprendida entre 1 ½ % y ¾ %, y la nominal se encuentra entre (1 ½ % x 12)= 18% y ¼ x 12)= 21% Para afinar el resultado, se procede mediante interpolación: 0.015 0.0175

15.67256089 15.32686272

Ai 9 0.0175

15.65217391 15.32686272

0.0025

0.34569817

i – 0.0175

0.32531119 173

0.0175 

(-0.0025)(0.32531119) 0.34569817



- 0.000813277975 0.34569817

0.0175= -0.002352566619 0.0175= -0.002352566619 0.015147433 (0.015147433) (12) (100)= 18.17692006 = 18.18% Tasa de Interés Nominal 0.15147433 (tasa efectiva mensual) i = (1 + 0.015147433)12= 1.19770386 1.19770386 -1 (0.19770386) (100) 19.770386% 12. Resolver el problema anterior, suponiendo el pago en 24 cuotas mensuales: DATOS: P = 12,000

 A 

2,000(1.15) 24



95.83333333

I = 0.15 n = 24m = 12 (mensual)

( p /  A, i %,24) 

2,000  20.86956522 95.83333333

En la tabla VI se halla que para n =24 (p/A, i %, 24)= 21.24338726 y (p/A, 1 ¼ %, 24)= 20.62423451, o sea que i esta comprendida entre (1% x 12)= 12% y (1 ¼ % x 12)= 15%. Para afinar el resultado, se procede mediante interpolación: a a

0.01 0.0125

21.24338726 20.62423451

a i a 0.0125

20.86956522 20.62423451 174

-0.0025 

0.0025

0.61915275



0.61915275

i – 0.0125

0.24533071

i  0.0125

0.24533071

i = 0.0125= -0.0009905904076 i = 0.0125 – 0.0009905904076 i = 0.011509409  j = (0.011509409)(12)(100)= 13.81129151 a) j (12)= 13.81% Tasa de interés nominal x = 0.011509409 (tasa efectiva mensual) 1 + i = (1+0.011509409)12= 1.147199967 i = 1.147199967 – 1 i = (0.147199967) (100) i = 14.71999672 b) i = 14.72% Tasa efectiva cargada 13. Un equipo se vende al contado en $ 650,000. A plazos, se vende con una cuota inicial de $ 150,000 y el saldo incrementando en el 15 %, se cancela con 12 pagos mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada. DATOS: $ 650,000 500,000 150,000 $500,000

Saldo insoluto = $ 650,000 – 150,000=

Valor  cuotas 

500,000(1. 15) 12( pagos)



47,916.666 67



10 .43478261

? 0.15

( p /  A, i%,12) 

500 ,000 47,916.666 67

12 mensual 175

12 pagos

Mediante Interpolación Tabla VI (p/A, 2 %, 12) = 1057534122 (p/A, 2 ½, 12) = 10.25776460 0.02 0.025

10.57534122 10.25776460

a i a 0.025

10.43478261 10.25776460

-0.005

0.31757662

i – 0.025

0.17701801

0.005 i  0.025  0.31757662 0.17701801 



0.025 

(0.005)(0.17701801) 0.31757662





0.00088509005 0.31757662



-0.025 = -0.002787012627 = 0.025 – 0.002787012627 = 0.022212987 (Tasa efectiva mensual) + i = ( 1 + 0.022212987) 12= 1.301657524 i = 1.301657524 – 1 i = (0.3016575224) (100) i = 30.16575243 i = 30.17% Tasa efectiva efectiva cargada 14. En el problema anterior, hallar la tasa efectiva, su cuota inicial es de $25,000.

176

DATOS: P = 650,000 – 25,00= P = 625,000

Saldo insoluto $ 650,000- 25,000=

A=?

Valor  cuotas



625,000 (1.15) 12  pagos



59 ,895 895



104347

i = 0.15 m = 12 (mensual)

( p /  A, i %,12 )



625 625 ,000 59 ,895 .83333

n = 12 pagos Respuesta: Es la misma que el problema anterior ya que es lo mismo 10.43478261 y n = 12 76.76% 14. Una herramienta, se vende en $ 75,000; si la compra es al contado, se descuenta el 15%; si es a 0/9, se vende con una cuota inicial de 15,000 y el saldo en 8 cuotas mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva estipulada 1000% - 15%= 85%. DATOS: Valor de Contado = $ 75,000(0.85%)= $63,750 Cuota inicial = $ 15,000 = 8 Cuotas Valor cuotas 

75,000 - 15,000  7,500 8

Precio de contado = cuota inicial + A (p/A, i %, n) $ 63,750 = 15,000 + 7,500 (p/A, i %, n) 63,750  p /  A, i %, n



48,750 7,500



6.5

15,000 48,750

177

Para calcular i se procede por interpolación Tabla VI (p/A, 4 ½ %,8) = 6.59588607 (p/A, 5 ½ %,8) = 6.46321276 0.045 0.05

6.59588607 6.46321276

a i a 0.05

6.5 6.46321276

-0.005

0.13267331

i – 0.05

0.03678724

0.005 i  0.05  0.13267331 0.03678724 

0.05 

(0.005)(0.03678724) 0.13267331





0.0001839362 0.13267331

-0.05 = -0.001386384345 i = 0.05 – 0.001386384345 i = 0.048613615 (tasa efectiva mensual) + i = (1 + 0.048613615)1 2 = 1.767607802 = 1.767607802 = (0.767607802) (100) = 76.7607802 15.- resolver el problema anterior, se el saldo se paga en 12 cuotas iguales. 132-139 DATOS: 100%-15%= 85% Valor de contado $75,000 (0.85%) = $63,750 Cuota inicial = $15,000 178

n = 12 cuotas. A = valor cuotas = $75,000 - $15,000 = $5,000 12

Precio de contado = cuota inicial + A(P/A, i%,n) $63,750 = $15,000+ $5,000(P/A,i%,n) $63,750 -15,000 $48,750

(P/A,i%,n)= $48,750 = 9.75 $5,000

Para calcular i se procede por interpolación (tabla) (P/A, 3%,12)= 9.95400399 (P/A, 3 ½%, 12) = 9.66333433 A 0.03 9.95400399 Q 0.035 9.66333433 - 0.005 0.29066966

A i Q 0.035 i- 0.035

9.75 9.66333433 0.08666567

-0.005 = i- 0.035 0.29066966 0.08666567 i-0.035= (-0.005)(0.08666567) = -0.00043332835 0.29066966 0.29066966 i – 0.035= - 0.001490793191 i = 0.035 – 0.001490793191 i = 0.033509206 008tasa efectiva mensual) 1+i = (1+0.033509206) = 1.485156423 i= 1.485156423-1 i= (0.485156423)(100) 179

i= 48.5156423 i = 48.52% tasa efectiva cargada 16.- Un artículo se vende a plazos, con una cuota inicial de 30% de su precio; el saldo se incrementa en el %, para ser cancelada en 10 cuotas mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada. ($500,00) (0.30) = $150,000 cuota inicial. DATOS: $500,000 - $150,000 $350,000 $350,000 0.15 12 (mensuales) 10 cuotas

saldo insoluto = $500,000 - $150,000= valor cuotas = $350,000(1.15)= $40,250 10 (cuotas)

(P/A, i%, 10) = $350,000 = 8.695652174 $40,250

TABLA VI. MEDIANTE INTERPOLACIÓN. P/A, 2 ½%, 10)= 8.75206393 P/A, 3%, 10) = 8.53020284 0.025 0.03 -0.005

8.75206393 8.53020284 0.22186109

a i a 0.03 i -0.03

8.695652174 8.53020284 0.165449334

-0.005 = i – 0.03 0.22186109 0.165449334 0.03= (-0.005)(0.165449334) = -0.00082724667 180

0.22186109

0.22186109

i - 0.03= -0.003728669457 i = 0.03-0.003728669457 = 0.02627133 1 + i = (1+ 0.02627133)1/2= 1.365043093 i = 1.365043093-1 i = (0.365043093)(100) i = 36.5043093 i = 36.50% tasa efectiva cargada EJERCICIOS DE AMORTIZACIÓN 1.¿Qué es amortizar? 2.¿Qué

es una tabla de amortización? 3.Una deuda de $12, 000,000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales iguales, el primero a realizar dentro de dos meses, con intereses al 4% bimestral sobre saldos insolutos. a) Calcular el importe de cada uno de los pagos b) Construir una tabla de amortización 4.¿Cuál

sería el pago final que liquida una deuda de $23 000000 contratada al 27% efectivo anual a pagar mediante tres pagos anuales vencidos de $10 000 000 y un pago final que debe realizarse al término de 4 años? 5.Una

deuda de $7 250 000 se debe pagar en un año mediante pagos trimestrales iguales vencidos. Si el interés pactado para la operación es de 36% anual convertible trimestralmente, Hallar el importe de cada pago y, a) Construir una tabla de amortización. b) 6.Hacer

un cuadro de amortización de pagos mensuales vencidos de $1, 025,000 hasta la extinción total de una deuda de $5, 800,000 pactada al 20% 181

anual convertible mensualmente, calculando también el pago final que extinga la deuda. 7.Una

pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta $6, 000,000. Pagan un enganche de $1,500,000 y acuerdan pagar el resto con 24 mensualidades iguales con el 12% de interés convertible mensualmente. Haga una tabla de amortización que muestre los dos primeros y los dos últimos meses de la operación. 8.Una

persona adquiere un automóvil que cuesta $500, 000. Paga $100,000 en efectivo y el resto lo paga con un préstamo de interés social otorgado por una institución de seguridad social estatal que le cobra el 0.4% quincenal de interés. Hallar el valor de los derechos adquiridos por el comprador al momento de realizar el vigesimoctavo pago si lo acordado fue liquidar el saldo a 5 años mediante pagos quincenales vencidos. 9.En

el ejercicio anterior, ¿cuál es el saldo a favor de la institución de seguridad social 10.El

licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que cuesta $600, 000. Paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante pagos mensuales anticipados durante 3 años. Si la tasa de interés que paga es del 34% anual convertible mensualmente, ¿qué cantidad tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para adquirir la totalidad de los derechos sobre el despacho? 11.Con

cuántos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 000 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29, 540, 000 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente? 12.Una

persona tiene una deuda de $1, 000,000 que convino en pagar con pagos bimestrales vencidos e iguales durante un año con intereses al 28% 182

convertible cada dos meses. ¿Cuántos pagos le faltan por hacer si el saldo de su deuda es de $567, 992? 13.El doctor Villasán tiene una deuda de $3 500000 contraída el 15 de octubre, con intereses al 27% anual convertible mensualmente y que acordó pagar en 12 abonos mensuales vencidos e iguales. ¿Cuántos pagos ha realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por $1 345 767? 14.¿Cuál

es el valor de los derechos adquiridos sobre un mueble de sala por un cliente que lo compró a crédito si el precio fue de $30, 000 y se convino en pagarlo mediante 6 abonos mensuales vencidos con el 35% de interés convertible mensualmente y ha realizado 3 pagos? 15.Determine

el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $200,000 y se vende con un enganche del 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $4,748 con interés al 12% convertible mensualmente. 16.En

una operación de crédito se paga una deuda de $15, 000,000 mediante pagos trimestrales vencidos e iguales por $3, 002,684 durante año y medio ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual con capitalización trimestral que se pagó? 17.Una

aspiradora se vende en $9 000 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $3,000 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito? 18.En

el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa efectiva anual?

19.Haga

una tabla de amortización que muestre la forma en que se extinguiría una deuda $32, 000,000 mediante 4 pagos mensuales vencidos si la tasa que se carga es del 29% anual convertible mensualmente si en cada uno de los 183

dos primeros abonos se paga el 30% de la deuda, en el tercero el 25% y en el último eI 15%. FONDO DE AMORTIZACION Amortizar.- significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serio de pagos, que generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempo iguales. Fondo de amortización.- es el inverso de amortización ya que en el primero, la deuda a pagar es una cantidad en valor actual mientras que en el caso de fondo se habla de una cantidad o deuda a pagar a futuro, para lo cual se acumulan los pagos periódicos en un fondo con el objeto de tener en una fecha futura la cantidad necesaria. “La deuda se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es constituir 

una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales o periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento”. “un fondo de amortización es una cantidad que va acumulándose mediante

pagos periódicos los cuales devengan cierto interés, de tal modo que en determinado número de periodos se obtenga un valor prefijado” CÁLCULO DE LA RENTA O DEPÓSITO.

A=F

i (1+ i)n -1

184

PROBLEMAS: 1.- para cancelar en 4 años una deuda de $50,000 debe establecerse una reserva anual en un fondo que abona el 8%. Hallar el valor de la reserva anual y hacer el cuadro del fondo. Formula: DATOS: F= $50,000 i= 8% = 0.08 A=F i n= 4 años (1+i)n-1 0.08 A= $50,000 (1.08)4 -1

0.08 A= $50,000 0.36048896

A= $50,000(0.221920804) A= $11,096.04022 = $11,096.04

FECHA

APORTE ANUAL

INTERESES SOBRE EL FONDO

TOTAL AGREGADO AL FONDO

TOTAL EN EL FONDO

FINAL AÑO 1

$ 11,096.04

0.00

$ 11,096.04

$11,096.04

FINAL AÑO 2

11,096.04

887.68

11,983.72

23,079.76

185

FINAL AÑO 3

11,096.04

1,846.38

12,942.42

36,022.18

FINAL AÑO 4

11,096.05

2,881.77

13,977.82

50,000.00

$44,384.17

$5,616.83

$50,000.00

TOTALES

Observe que el último pago se incrementa en 1 centavo (0.01) para extinguir totalmente la deuda, únicamente por ajuste de decimales en las operaciones. 2.- se establece un fondo de $5,000 semestrales que abona el 6%, capitalizable semestralmente; hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo. DATOS: F= $5,000 i = 6% /2= 0.03 n= 5*2= 10 semestres 2 semestral

Formula F=A

F= $5,000

F=$5,000

(1+i)n-1 i

(1.03)10-1 0.03

0.343916379 0.03

F= $5,000(11.46387931) F= $57,319.3965

186

FECHA

APORTE SEMESTRAL

INTERESES SOBRE EL FONDO 0.03

TOTAL AGREGADO AL FONDO

TOTAL EN EL FONDO

Final semestre 1

$ 5,000

0.00

$ 5,000

5,000

Final semestre 2

5,000

150.00

5,150

10,150

Final semestre 3

5,000

304.50

5,304.50

15,454.50

Final semestre 4

5,000

463.64

5,463.64

20,918.14

Final semestre 5

5,000

627.54

5,627.54

26,545.68

Final semestre 6

5,000

796.37

5,796.37

32,342.05

Final semestre 7

5,000

970.26

5,970.26

38,312.31

Final semestre 8

5,000

1,149.37

6,149.37

44,461.68

Final semestre 9

5,000

1,333.85

6,333.85

50,795.53

Final semestre 10

5,000

totales

$ 50,000

1,523.87 $ 7,319.40

6,523.87

57,319.40

$ 57,319.40

3.- para cancelar en 10 años una deuda de $600,000 se establece un fondo con reserva semestral, se el fondo abona el 6% nominal, hallar al final de 4 años el fondo acumulado y el saldo insoluto. Formula: DATOS: F= $600,000 A= F i A= ? (1+i)n-1 m= 2 semestral 187

 j= 6%= 0.06 i= 0.06/2= 0.03 n = 10 años * 2= 20

0.03 A = $600,000

A = $600,000

(1.03)20-1

0.03 0.806111234

A = $600,000 (0.037215707) A = $22,329.42456

Si solo se dejara identificar el fondo acumulado al final del 4º año, sin construir la tabla, se podría calcular sabiendo que el monto de una anualidad vencida. DATOS: F= ? A=$22,329.42 n= 4años * 2 = 8 i= 0.03

Formula F=A

F= $22,329.42

F= $22,329.4

(1+i)n-1 i

(1.03)8-1 0.03

0.266770081 0.03

F= $22,329.42(8.892336046) F = 198,560.71 monto acumulado al fondo al final del 4º año

188

$198,560.71 es el monto acumulado en el fondo final del cuarto año y la deuda es de $600,000, el saldo insoluto es: 10 años – 4 años = 6 años * 2 = 12 semestres 600,000 -$198,560.71 (1.03)12= 600,000-$283,100.094= $316,899.906 saldo insoluto NOTA: 198,560.71 es lo acumulado en el fondo al final del cuarto año. 198,560.71 (1.03)12= $283,100.094 es el valor de lo acumulado en el fondo al final del 4º año, llevando su valor al final del décimo año, que es el momento al que esta planteada la deuda. 4.- Un artesano necesita reemplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor es de $10,000. ¿Qué depósito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%, capitalizable trimestralmente? DATOS: F = $10,000 m= 12 mensual  j= 8%= 0.08 i= 0.08/12= 0.006666666667 n = 5años*12= 60 meses A=?

Fórmula A=F

A =$10,000

A =$10,000

i (1+i)n-1

0.006666667 (1.006666667)60-1

0.006666667 0.489345708

A =$10,000(0.013609728) 189

A = $136,0972829 5.- Para cancelar una deuda de 80,000 a 5 años plazo, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6% trascurridos dos años el fondo eleva sus interés al 7% hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo. Datos: F = $ 80,000 N = 5 años I = 6% = 0.06 Formula: A = F

I (I + i ) n-1

A= $ 80000

0.06_  (1.6)10 – 1

A= $ 80000

0.06___  0.338225577

A= $80000 (0-1773964) A= $ 14, 191.71203 6.- Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $ 2, 000,000 que devengan el 8 % de interés. ¿Que depósitos anuales debe hacer un fondo que abona el 6 % y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda? Datos: n = 10 años F = $ 2, 000,000 i = 6% = 0.06 190

FORMULA: A = F ___I_____  (I + i )n-1

A= $ 2,000,000

__0.06__  (1.06) 10 -1

A= $ 151,735.9164 A= $ 151,735.92

Depositos Anuales

7.- Calcular el desembolso semestral y la tasa de interés que corresponda a una deuda de 100,000 a 5 años plazo, cuyos interés son del 10% nominal, pagaderos semestralmente, si para su cancelación, se hacen depósitos semestrales, en un fondo que abona el 18% con capitalización semestral. Datos F = 100 000  j = 8% = 0.08 m = 2 semestral i = 0.08/2 =0.4 n = 5 años x 2 = 10 semestres 10% = 0.10/2 =0.5 Formula A= F

A = 100 000

I (1 + i ) n-1 0.04____  (1.04)10 -1

191

A = 100 000 (0.083290944) Valor reserva A = 8,329.09 semestrales Cargo por interes = 100 000 (0.05) = $5000 semestrales Desembolso semestral = 5000 + 8,329.09 = $13,329.09 DATOS P = 100 000 A = 13,329.09 m =2 n = 5(2)

100 000 0 13329.09 (P/A, i /n )

(p/a,i%,10) =_100, 000_ = 7.502387635 13, 329.09 Tabla VI Mediante interpretacion (P/A, 5 ½ , 10 ) = 7.53762583 (P/A,6 %, 10 ) = 7.36008705

a = 0.005 a = 0.06 - 0.05

7.53762583 7.36008705 0.17753878

a i 7.502387635 a 0.06 7 .36008705 i – 0.06 0.142300585

-0.05 /0.17753878 = i -00.6 / 0.142300585 0.06 = -(0.005) ( 0.142300585) = -0.0007115502925 0.17753878 0.17753878 0.06 0 – 0.004007591609 0.06 -0.004007591609 0.055992408 192

0.055992408 (2) (100) = 11.19848168 11.20 % tasa de interes nominal

EJERCICIOS 1.Se

deben pagar $29, 000,000 dentro de 12 meses por una deuda contraída con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos, ¿cuál sería el importe de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente?

2.Haga

una tabla de amortización para el ejercicio 1

3.Para

pagar una deuda de $5, 400,000 que vence dentro de 5 meses se va a constituir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su importe.

4.Haga una tabla de

amortización para el ejercicio 3

5.Haga

una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15, 000,000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2.7% mensual efectivo.

6.Ernesto

Torres contrae una deuda por $8, 000,000 a pagar en 14 meses con 193

el 3.5% de interés efectivo mensual. La va a amortizar constituyendo un fondo mediante depósitos mensuales vencidos. ¿cuál deberá ser el importe de los depósitos si el fondo se coloca al 30% convertible mensualmente? 7.¿Cuál

debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos me nsuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28.5% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8, 888,888 que vence exactamente dentro de 8 meses?

8.El

Licenciado Vidriera ha estado ahorrando $200, 000 cada dos meses desde hace año y medio en una cuenta de inversión de renta fija que paga el 8% anual convertible mensualmente. Lo que pretende es pagar dentro de seis meses una deuda que a esa fecha tiene un valor de $2,700 000. a) ¿Le alcanzará con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda? b) ¿Cuánto le sobrará o cuánto le faltará?

9.Un

comerciante decide crear una reserva para adquirir un local más amplio para su negocio. Deposita cada semana $25, 000 en un fondo de inversiones que paga el 6% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo al cabo de seis meses?

10.Un

chofer desea adquirir el taxi que maneja y que pertenece al señor Urrutia. Éste ha convenido en venderle el auto y el permiso de taxi dentro de año y medio en $100,000 ¿Cuánto debe depositar semanalmente el chofer en un fondo de inversión que paga el 6% convertible mensualmente para acumular la cantidad que necesita?

11.Si

el mismo chofer del ejercicio 10 hiciera los depósitos cada tercer día, ¿cuánto necesitaría depositar? Considérense años de 360 días y meses de 30 días. 12.Una persona debe liquidar $ 500, 000 al 15 de diciembre. Si ese día recibe $ 194

100 000 de aguinaldo y lo va a aplicar el pago de su deuda, y el resto lo va a pagar con lo que se acumule en el fondo de inversión. ¿Cuánto deberá depositar mensualmente en el fondo que paga el 8% anual convertible mensualmente, si el primer depósito lo va hacer el 15 de junio?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Haga una tabla que muestre cómo se amortiza una deuda de $4,000,000 contratada hoy y que debe pagarse mediante 5 pagos mensuales iguales y vencidos si se carga el 29% anual convertible mensualmente. 1.

2. Cuál sería el importe de cada uno de 15 pagos bimestrales iguales y vencidos necesarios para pagar un automóvil que cuesta $27 800 000, si se da un enganche de $7 800 000 y se cobra un interés del 4% mensual sobre saldos insolutos?

sala en $4, 500 Paga el 15% de enganche y tres mensualidades de $800 cada una a los 30, 60 Y 90 días de realizada la operación, respectivamente. Si convino en liquidar el resto mediante dos mensualidades más a los 120 y 150 días. ¿cuál será el importe de cada uno de estos pagos iguales si la transacción se contrató al 3.5% mensual sobre saldos insolutos? 3. El señor Ramírez compra un juego de muebles de

4. Un abogado debe liquidar mediante 13 pagos mensuales vencidos una deuda de $1, 000,000 que contrae hoy. Si paga intereses a razón del 1.8% mensual sobre saldos insolutos y conviene en pagar 12 mensualidades iguales de $60 000, ¿cuál debe ser el importe del último pago para amortizar totalmente su deuda? 5. Haga una tabla de amortización que muestre las condiciones de una deuda en los dos primeros y en los dos últimos períodos si el importe del débito es 195

de $5, 450,000 y se convino en amortizarlo mediante 24 pagos bimestrales vencidos y la tasa es del 3.9% mensual sobre saldos insolutos. 6. Se compró un lote de automóviles con $12, 000,000 de enganche y un saldo de $20, 000,000 a pagar en 24 mensualidades iguales con el 3.7% anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto ascendían los derechos adquiridos por el comprador sobre el automóvil exactamente después de realizar el decimotercer pago? 7. Al comprar un refrigerador que cuesta $19, 000, un cliente pagó el 25% de enganche y acordó pagar el saldo con 5 pagos mensuales vencidos iguales y con intereses del 2.85% mensual sobre saldos insolutos. ¿A cuánto ascendían los derechos adquiridos por el cliente inmediatamente antes de realizar el tercer pago? 8. ¿Cuál sería el saldo insoluto de una deuda de $9, 380,000 contratada hoy y para pagar mediante 6 pagos bimestrales iguales y vencidos con interés del 5.7% bimestral efectivo, exactamente al realizar el segundo pago? 9. Daniel obtiene un préstamo hoy por $3, 650,000 que conviene en pagarlo mediante abonos quincenales de $212 365. Si el interés que pagará es del 3% efectivo mensual. ¿cuál será el saldo de su deuda inmediatamente antes de realizar el décimo pago? 10. Se va a amortizar una deuda de $8, 000, 000 con 12 pagos mensuales iguales con el 34% anual convertible bimestralmente. Calcule el saldo de la deuda al realizar el sexto pago y determine de este sexto pago qué proporción es de intereses y que proporción corresponde a amortización.

$100, 11. Se adquiere un departamento que cuesta $850 000 con 000 de enganche y el saldo a pagar a 10 años, con interés variable y abonos 196

mensuales. Si durante el primer año se carga el 34% anual convertible mensualmente y se pagan 12 mensualidades de $34 963 y durante el segundo año se carga el 32% anual convertible mensualmente y se pagan 6 mensualidades de $10 000, hallar el saldo insoluto al hacer el decimoctavo pago 12. Se paga una deuda de $8, 370, 000 con 15 pagos mensuales vencidos iguales, con el 46% de interés efectivo anual. ¿Qué cantidad se paga en total de intereses? 13. El señor López obtiene un préstamo de $1, 500,000 para comprar unos autos. Va a liquidar el préstamo con pagos mensuales durante 3 años con el 34.5% efectivo anual. ¿Qué cantidad paga de intereses durante el segundo año? 14. ¿Por qué en una operación de amortización la parte de los pagos que se aplica a la amortización misma va siendo cada vez mayor? 15. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $948 616 serían necesarios para amortizar una deuda de $9, 500,000 si el interés es de 2.73% mensual efectivo? 16. ¿Cuántos pagos mensuales de $1, 000, 000 serían necesarios para pagar una deuda de $5, 000,000 si se carga interés al 46% efectivo anual? ¿De qué cantidad tendría que ser el último pago (menor que $1,000 000) para amortizar completamente la deuda? UNIDAD. VII DEPRECIACION Las maquinarias, las instalaciones, los edificios y otras clases de activos necesarios para las operaciones de las empresas, sufren por su uso, una disminución de sus valores, que no puede evitarse con los gastos corrientes de reparaciones. Puesto

197

que el capital invertido debe permanecer constante, es necesario estudiar la forma de establecer un fondo de reserva que compense esa pérdida del valor.

Definición Depreciación: es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento, que  sufren los activos, y se debe a diferentes factores que causan finalmente su  inutilidad, obligando por tanto al reemplazo del activo .

Al terminar la vida de un activo, debe reemplazarse, invirtiéndose para ello un valor que recibe l nombre de costo de reemplazo. Durante la vida útil del activo debe guardarse periódicamente cierta suma, para con ella un fondo que recibe el nombre de reserva para depreciación y que debe ser igual al costo de reemplazo al terminar la vida útil del activo.

La vida útil o duración probable de un activo se determina con base en la experiencia y tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y maquinarias señalan la vida útil de los distintos activos y con base en estos datos se establece el cálculo de la depreciación.

Cuando el activo deja de ser útil, siempre conserva algún valor, así sea como chatarra o material de desecho; este valor residual recibe el nombre de Valor de salvamento.

El agotamiento es la pérdida progresiva de un activo por reducción de la cantidad aprovechable del mismo. Tal es el caso de los minerales cuya cantidad disminuye por la operación de extracción, hasta agotarse. Estos activos reciben el nombre de activos agotables  y no pueden remplazarse.

198

Caída en desuso u obsolescencia. Ocurre cuando por razón de nuevos inventos o perfeccionamientos técnicos, no resulta económica la utilización de cierto activo

CÁLCULO DE LOS CARGOS PERIÓDICOS POR DEPRECIACIÓN Existen varios métodos para determinar el cargo que periódicamente debe hacerse por concepto de depreciación; a continuación se estudiarán los más utilizados

METODO UNIFORME O DE LA LÍNEA RECTA. Es el más simple de los métodos y el más utilizado; consiste en suponer que depreciación anual es la misma para toda la vida útil del activo y, de acuerdo con esto, cada año se reservan partes iguales, de tal modo que al terminar la vida útil del activo, se tenga un fondo de reserva que, sumado al valor de salvamento, dé el valor de reemplazo. Al designar por C el costo inicial -que se supone será igual al de reemplazo-, por S el valor de salvamento Y por n los años de vida útil, la depreciación anual D se plantea mediante la ecuación: D=

C- S n

Ejemplo: Cierto equipo de una compañía tiene un costo de $5,000 y una vida útil estimada en 4 años. Si el valor de salvamento corresponde al 10% del costo inicial, hallar la depreciación anual.

5,000; S 5.000 (0,1) = 500 C

=

D=

=

5.,000 - 500 = $1125 4 199

DEPRECIACIÓN POR FONDO DE AMORTIZACIÓN Este método es una modificación del uniforme y consiste en depositar las depreciaciones en un fondo que devengue intereses, de tal modo que el incremento anual sea la suma del cargo anual por depreciación y del interés ganado por el fondo, en el mismo año. Si el cargo anual por depreciación es D, al depositarse en un fondo a la tasa de interés i, el monto al final de n años debe ser igual al valor de reemplazo, o sea: 1

Notación algebraica:

D

=

(C - S)· (1 + i)n -1

(63a)

Notación estándar: D = (C

- S) (A/ F , i %, n)

Ejemplo.

Mediante la aplicación del método del fondo de amortización para el equipo del ejemplo 12.1, hallar la depreciación anual, suponiendo una tasa de interés de16%, y elaborar un cuadro para la depreciación. C = 5 000 S = 5 000 (0.1) = 500; n = 4; i = 0,06 D = (5.000- 500) (A/F, 6%, 4) = 4,500 (0,22859) = $1,028.66

AÑOS DE USO 0

PAGO 6% DE INTERES DEPRECIACION ACUMULACIÓN VALOR EN AL SOBRE FONDO ANUAL DE FONDO LIBROS FONDO ACUMULADO 0.00 0.00 0.00 0.00 5,000.00 200

1

1,028.66

0.00

1,028.66

1,028.66

3,971.34

2

1,028.66

61.72

1,090.38

2,119.04

2,880.96

3

1,028.66

127.14

1,155.80

3,274.84

1,725.16

4

1,028.66

196.50

1,225.16

4,500.00

500.00

El valor en libros, al final del cuarto año, es igual al valor de salvamento. Los cargos por depreciación se acostumbra llevarlos a cabo en la fecha de balance. Los equipos comprados y puestos en uso, entre dos fechas de balance, se deprecian proporcionalmente con el tiempo en uso.

MÉTODO DE LA SUMA DE DÍGITOS O ENTEROS QUE CORRESPONDEN A LOS AÑOS DE DURACIÓN DEL ACTIVO Con este método se logra que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años de vida del activo y disminuya cada año. Para hallar el cargo anual por depreciación, se procede así: 1. Ordénense de mayor a menor los enteros que corresponden a los años de duración del activo 2. La depreciación para cada año queda expresada por una fracción cuyo denominador es la suma de todos los números y que tiene como numerador el entero que corresponde, en el orden invertido, al año cuya depreciación se calcula. De esta manera, si un activo tiene una vida útil de 6 años se tiene: Denominador de la fracción = 21 (suma de los números del 1 al 6). Años en orden invertido Año Depreciación

6 1° 6 21

5 2° 5 21

4 3° 4 21

3 4° 3 21

2 5° 2 21

1 6° 1 21

201

En el caso del ejemplo 12.3 se tiene un equipo con un valor depreciable de $4 500 y una vida útil de 4 años. Con este método, se tiene: Suma = 10 de 4,500

Año 1 2 3 4 Depreciación 4 3 2 1 10 10 10 10 La depreciación al final de cualquier año se obtiene mediante la suma e las fracciones hasta ese año. Así para el ejemplo dado, la depreciación total acumulada al final del tercer año es: 4,500 4 / 10  3 / 10  2 / 10   4,050

AÑOS DE USO

FRACCIÓ DEPRECIACIO DEPRECIACIO VALOR EN N N ANUAL N TOTAL LIBROS 0 0.00 0.00 0.00 5,000.00 1

4/10

1,800.00

1,800.00

3,200.00

2

3/10

1,350.00

3,150.00

1,850.00

3

2/10

900.00

4,050.00

950.00

4

1/10

450.00

4,500.00

500.00

METODO DE DEPRECIACION POR PORCENTAJE FIJO O DE VARIACIÓN GOEMETRICA Este método consiste en cargar, cada año, por depreciación, un porcentaje fijo del valor con que figura el activo en libros. Puesto que el valor en libros es decreciente al aplicar el porcentaje fijo, la depreciación también resulta decreciente. Sean C: costo inicial que se supone igual al de reemplazo. n = el número de años de vida útil r = el % fijo de depreciación. V1 = C-Cr

= C (1-r)

V2 = V1 – V1r

= V1 - (1-r) = C (1-r) 2 202

Vn = Vn-1 – Vn-1r

= Vn-1 - (1-r) = C (1-r) n

Vn = C (1-r)n Vn = C (F/P, - r%, n) Esta formula permite hallar el valor en los libros al final de cualquier año. Al final del último año, el valor en libros Vn es igual al valor de salvamento; reemplazando a la formula se tiene: S = C (1-r) n S = C (F/P, - r%, n) Ejemplo: Costo del equipo $5 000; valor de salvamento de $500 y una vida útil de 4 años. C =$5000 S = 5000 n = 4 5000 (F/P, - r%, 4) = 500 5000 (1- r)4= 500 (1- r)4 =0.1 1- r=(0.1)1/4 1- r= 0.5624 r = 0.4376 ; 43.76%

El cuadro de depreciación para este método es: AÑOS DEPRECIACION DEPRECIACION DE USO ANUAL TOTAL 0 0.00 0.00

VALOR EN LIBROS 5,000.00 203

1

2,188.00

2,188.00

2,812.00

2

1,230.53

3,418.53

1,581.47

3

692.05

4,110.58

889.42

4

389.21

4,499.79

500.21

METODO DE DEPRECIACION CON INTERESES SOBRE LA INVERSIÓN Desde el punto de vista financiero, el dinero invertido en un activo productivo debe de generar un interés, como cualquier inversión de capital; desde este punto de vista, puede hacerse que los ingresos del negocio provean los fondos de depreciación y, al mismo tiempo, los intereses sobre la inversión que expresa el valor del activo. El interés obtenido en el fondo de reserva no necesariamente es igual al interés que gana la inversión. Ejemplo: Costo del equipo $5 000; valor de salvamento de $500 y una vida útil de 4 años Intereses sobre la inversión = 8%; interés que gana el fondo de reserva = 6%.

8% DE INTERES CARGO ANUAL POR SOBRE VALOR DEPRECIACIONES E EN LIBROS INTERESES 5,000.00 0.00 0.00

AÑOS DEPRECIACION VALOR EN DE USO ANUAL LIBROS 0

0.00

1

1,028.66

3,971.34

400.00

1,428.66

2

1,090.38

2,880.96

317.70

1,408.08

3

1,155.80

1,725.16

230.47

1,386.27

4

1,225.16

500.00

138.01

1,363.27

Ejercicios resueltos Las oficinas de una empresa comercial funcionan en un edificio cuyo costo inicial es de $1.500.000 y que deprecian cada año en el 10% de su valor en libros; hallar el valor en libros, al final del quinto año. 204

Se aplica la fórmula: C = 1.500.000 r = 0,1 n = 5 Vn= C (1- r)n = C (F/P, -r%, n) V5 = 1.500.000 (1- 0.1)5 VS = $885.735 Valor en libros = $885.735 Demostrar que, por el método de la suma de enteros (dígitos) para un activo cuya vida útil es de n años, el denominador de las fracciones que expresan en cada año la depreciación es: 2.

Denominador ½ n(n + 1)

MÉTODOS DE AGOTAMIENTO Hay 2 métodos de agotamiento: el agotamiento por costos y el agotamiento porcentual. a) El agotamiento por costos: al cual se hace referencia algunas veces como agotamiento de factor, se basa en el nivel de actividad o uso, no en el tiempo, como en la depreciación. Este puede aplicarse a la mayoría de los recursos naturales. El factor agotamiento por costos para el año t, p es la razón del costo inicial de la propiedad con respecto al número estimado de unidades recuperables.

Pt =

inversión inicial Capacidad de recursos

205

El costo por agotamiento anual es pt veces el uso del año o volumen de actividad. El agotamiento basado en el costo acumulado no puede exceder el costo inicial total del recurso. Si se estima nuevamente la capacidad de la propiedad en algún año futuro, se calcula un nuevo factor de agotamiento de costos con base en la cantidad no agotada y la nueva estimación de capacidad. b) El agotamiento porcentual: el segundo método de agotamiento, es una consideración, especial dada para recursos naturales. Cada año puede agotarse un porcentaje constante dado del ingreso bruto del recurso siempre que este no exceda el 50% del ingreso gravable del a compañía. Entonces, anualmente la cantidad agotada se calcula como: Porcentaje del a cantidad agotada: porcentaje * ingreso bruto del a propiedad Usando el agotamiento porcentual, los cargos totales por agotamiento pueden exceder el costo inicial sin límite. La cuantía del agotamiento cada año puede determinarse usando el método de costo o el método de porcentaje, como lo permite la ley. PROBLEMAS PROPUESTOS DE DEPRECIACION 1. Una máquina tiene un costo inicial de $120,000, una vida útil de 6 años y un valor

de salvamento de $30,000. Elaborar un cuadro de depreciación, aplicando: a) El método de línea recta; b) El método del fondo de amortización a la tasa del 8% c) El método de la suma de enteros (dígitos)

2. Las instalaciones de una industria cuestan $250,000, tiene una vida útil de 20

años y se estima que no tendrán valor de salvamento. Hallar la depreciación acumulada y el valor en libros al final del decimoquinto año: 206

a) Por el método uniforme b) Por el método del fondo de amortización a la tasa del 6%; c) Por el método de la suma de enteros.

3. Un equipo industrial tiene un costo inicial de $80,000, un valor de salvamento de

$10,000, y una vida útil es de 15 años; se deprecia utilizando el método del fondo de amortización, a una tasa deI 7%. Hallar: a) El valor en el fondo al final de 8 años b) El valor en libros al final de 8 años c) La depreciación que debe cagarse al final del décimo año.

y un valor de salvamento de $2,000; se deprecia al 25% del valor en libros cada año. 4. Un equipo tiene un valor inicial de $30,000

a) Elaborar el cuadro de depreciación para los primeros 3 años b) Hallar el valor en libros al final de 10 años. Conocido este valor, indíquese en cuántos años se estimó la vida útil del equipo.

y debe depreciarse hasta $5,000. Hallar el porcentaje fijo de depreciación y hacer el cuadro de depreciación. 5. Una máquina tiene un valor de $60,000

6. Una máquina que tiene un valor de $140,000 y un valor de salvamento de

$40,000 debe depreciarse en 15 años por el método del porcentaje fijo. Hallar el valor en libros al final del décimo año y la depreciación que debe cargarse en el año undécimo. 7. Una máquina tiene un costo inicial de $40,000, un valor de salvamento de $2,000

y una vida útil de 5 años. Con el método de depreciación con base en los intereses sobre la inversión, hallar el cargo anual por depreciación con intereses sobre la 207

inversión para el primero y para el segundo año si la tasa del 8% efectivo se utiliza tanto para el fondo como para los intereses sobre la inversión.

Elaborar el cuadro de depreciación e intereses para la máquina del problema 13. 8.

Un equipo tiene un costo de $60,000, un valor de salvamento de $6,000 y una vida útil de 4 años. Hacer el cuadro de depreciación si el interés sobre el fondo es del 4% y el interés sobre la inversión es del 8%. 9.

Calcular el precio que puede pagarse por una mina de carbón que produce una renta de $600,000 anuales, si los ingenieros estiman que manteniéndose el mismo nivel de explotación se agotará en 15 años y los inversionistas desean obtener un 8% de interés sobre la inversión, teniendo en cuenta que puede obtenerse un 4% de interés sobre el fondo de amortización. 10.

Un campo petrolero podrá rendir una utilidad neta de $5, 000,000 anuales durante 10 años. Calcular el valor de las acciones que podrán emitirse, si se ofrece un dividendo del 12% nominal con pagos trimestrales y puede obtenerse un interés del 4% sobre el fondo de recuperación de la inversión. 11.

BIBLIOGRAFIA

1. Matemáticas Financieras, Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera G. 2da. Edición Editorial Mc GRAW-HILL. 208