Variación directa y variación inversa 26 mayo, 2015 charitofuentes Sentido numérico y pensamiento algebraicocantidad constante, cantidad variable, constantes y variables, ejercicios resueltos de variación inversamente proporcional, ejercicios resueltos de variación proporcional, magnitudes directamente proporcionales,magnitudes inversamente proporcionales, variable dependiente, variable independiente, variación directamente proporcional, variación inversamente proporcional
Cantidad variable y cantidad constante Cantidad variable es aquella que puede tomar diversos valores. Cantidad constante es aquella que tiene un valor fijo y determinado. Ejemplo:
En este ejemplo el costo del metro de cable no cambia, siempre es $12.00; ésta es una cantidad constante. Mientras que el número de metros de los rollos y su costo si cambian; éstas son cantidades variables. Las cantidades variables pueden ser dependientes e independiente. Cuando una cantidad variable depende de otra se dice que es función de esta última. La función se define así:
Y la notación para expresar que Y es función de X es:
En nuestro ejemplo el precio del rollo es la función y depende de la cantidad de metros que tenga, y es la variable dependiente; mientras que el número de metros es la variable independiente. Otros ejemplos para que queden claros los conceptos anteriores. 1.- El salario que te paguen, dependerá de los días que trabajes, entonces el salario es función del número de días de trabajo
2.- El tiempo que se ocupe para construir una casa, dependerá de la cantidad de albañiles que se ocupen, entonces el tiempo es función de la cantidad de obreros.
3.- Si la base de un rectángulo es fija, el área del rectángulo dependerá de la altura que tenga, por ello el área del rectángulo es
función de su altura; entre más altura tenga, mayor área será.
Variación proporcional Las magnitudes puedes ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
Variación directamente proporcional Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra; o a una disminución de una, corresponde una disminución para la otra, se dice que son directamente proporcionales. Por lo tanto las magnitudes directamente proporcionales son dos magnitudes tales que multiplicando una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número; y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número. Ejemplo 1.
Ejemplo 2. La velocidad de un auto es constantemente igual a 60 km por hora, el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo son directamente proporcionales, pues a mayor espacio recorrido, corresponde mayor tiempo, y a menor espacio recorrido,
corresponde menor tiempo. Observa en la siguiente tabla:
En este ejemplo, el espacio y el tiempo son variables y la velocidad es constante. En la tabla se observa con claridad que, a medida que se recorre más espacio hay un aumento en el tiempo; y a medida que se recorre menos espacio, hay una disminución en el tiempo; por esto se dice que el espacio y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Si divides espacio entre tiempo el cociente siempre es igual a 60. El tiempo es la variable dependiente y el espacio recorrido la variable independiente.
La variación directamente proporcional de espacio y tiempo en este ejemplo se expresa así:
Ejemplo 3.
Si el kilogramo de café cuesta $28.00, el número de kilogramos comprados y el costo de la compra son las cantidades directamente proporcionales. Veamos la tabla.
En este ejemplo, los kilos y el costo son variables y el precio del kg es constante. En la tabla se observa con claridad que, a medida que se compran más kilos hay un aumento en el costo; y a medida que se compran menos kilos, hay una disminución en el costo; por esto se dice que los kilogramos y el costo son magnitudes directamente proporcionales. Si divides costo entre kilogramos el cociente siempre es igual a 28. El costo es la variable dependiente y los kilogramos la variable independiente
La variación directamente proporcional de los kilogramos y el costo en este ejemplo se expresa así:
Problemas 1.- Si con $168.00 compro 6kg de frijol, ¿cuántos kilos puedo comprar con $364.00? Como el costo y el número de kilogramos son directamente proporcionales se tiene la proporción directa:
Recuerda que en la proporción el producto de un extremo es igual al producto de los medios entre el extremo conocido. Por lo tanto el problema se resuelve así:
2.- Un ciclista recorrió un circuito de 12 km 3½ veces. ¿Cuántos kilómetros recorrió?
Proporción y solución:
Variación inversamente proporcional Dadas dos cantidades, puede ocurrir que, a un aumento de una, disminuya la otra; o que, al disminuir una, la otra aumente. Si pasa esto se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Por lo tanto las magnitudes inversamente proporcionales son dos magnitudes tales que multiplicando una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número; y dividiendo una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Ejemplo 1. Si un tren recorre 300 km, la velocidad que lleve y el tiempo empleado en recorrer esa distancia son cantidades inversamente proporcionales porque a mayor velocidad tardará menor tiempo; y a menor velocidad tardará mayor tiempo. Observa la siguiente tabla:
En la tabla se observa que, a medida que la velocidad aumenta, el tiempo disminuye, y que cuando la velocidad disminuye, el tiempo aumenta. Por ello decimos que la velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales. El producto de la velocidad por el tiempo siempre es igual a 300
La variación inversamente proporcional de la velocidad y el tiempo se expresa así:
Ejemplo 2. Si el área de un rectángulo es siempre la misma, 12 cm², la base y la altura son cantidades inversamente proporcionales. Observa las figuras y la tabla.
En las figuras y la tabla se ve que, siendo el área constantemente igual a 12 cm², a medida que disminuye la base, la altura aumenta, y cuando aumenta la base, disminuye la altura. Por ello decimos que la base y la altura son inversamente proporcionales. El producto de la base por la altura siempre es igual a 12.
La variación inversamente proporcional de la base y la altura se expresa así:
Problemas 1.- A 40 km por hora, un tren recorre cierta distancia en 6 horas. ¿Qué velocidad deberá llevar para hacer el mismo recorrido en 5
horas? Como la velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales, se tiene la proporción inversa:
Y se resuelve así:
2.- Un internado de 360 alumnos cuenta con provisiones para 30 días. ¿Cuánto tiempo durarán las provisiones si se admiten 40 alumnos más? El número de alumnos y el tiempo en consumir las provisiones son las cantidades inversamente proporcionales, por ello se resuelve
con la proporción inversa:
