INTRODUCCION El contenido de este este trabajo conforma un resumen resumen de toda la unidad cuatro cuatro lo cual lo conforman los siguientes temas:
4 Estado de deformación 4.1. Descripción del movimiento. 4.2. Descripción matemática de la deformación. 4.3. Tensor de deformación para deformaciones infinitesimales y desplazamientos pequeños. 4.4. Deformaciones por rotación, deformación lineal y angular. 4.5. Deformaciones y direcciones principales.
En este reporte se describe cada uno de los temas y los subtemas de cada unidad se pudo buscar buscar información información de varias fuentes bibliográficas, bibliográficas, la igual que hoy en la actualidad actualidad estos tremas son básicos básicos la vida cotidiana de un ing. Civil que se relaciona mucho con la aplicación.
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC] BC]
Contenido 4.- Estado de deformación .............................................................................................. .............................................................................................. 3
4.1.-Descripciones 4.1.-Descripc iones del movimiento. ............. ............................ ............................. ............................ .............. 3
Formulaciones Formula ciones Lagrangiana Lagra ngiana y euleriana ................................. ................ ................................... ................................... ........................... .......... 3
Gradientes Gradient es de deformación deformació n y desplazamiento desplazam iento .................................. ................. ................................... ................................. ............... 4
4.2. Descripción matemática de la deforma deformación. ción. .............. ............................ ..................... ....... 5
Definición. Definició n. ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................. 5
El tensor deformación deformació n .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................... 6
Interpretación Interpr etación del tensor deformación deformac ión.................................. ................. ................................... ................................... ........................... .......... 6
Ecuaciones Ecuacion es de compatibilidad. compatib ilidad. ................................. ............... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 7
4.3.-El tensor de deforma deformación ción
infinitesimal infinitesim al ............. ............................ ............................. .............. 8
El tensor de deformaciones deformac iones infinitesimales infinite simales ................................. ................ ................................... ................................... ..................... .... 8
Calculo de deformaciones deformaci ones longitudinales longitudi nales ................................. ................ ................................... ................................... ........................ ....... 8
4.4 Deformac Deformaciones iones por rotación, deformación lineal y angular ............. 9 4.5.--- Deformacio Deformaciones nes y direcciones principales principales ............... ............................. ................... ..... 12
Deformaciones Deforma ciones principales principal es................................. ................ .................................. ................................... .................................... ............................ .......... 12
Calculo de deformaciones deformaci ones principales principal es ................................... .................. ................................... ................................... ......................... ........ 12
Dirección Direcció n principal .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ...................... ..... 15
Calculo de direcciones direccione s principales principa les ................................. ............... ................................... .................................. .................................. ................. 16
4.6.- Ecuació Ecuación n de compatibilida compatibilidad d .............. ............................ ............................. ............................. .............. 17
Ecuaciones Ecuacion es de compatibilidad compatib ilidad en deformaciones deform aciones ................................. ............... .................................... ............................ .......... 17
Elasticidad Elastic idad lineal ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ...................... ..... 17
Elasticidad Elastic idad no-lineal.................... no-lineal.. ................................... ................................... ................................... ................................... .................................. ................ 18
Ecuaciones Ecuacion es de compatibilidad compatib ilidad en desplazamiento desplazam iento .................................. ................ .................................... ......................... ....... 18
REFERENCIAS REFEREN CIAS BIBLIOGRFICAS BIBLIOGR FICAS ................................... ................. ................................... ................................... .................................... .................... 20
CONCLUSION ...................................................... .......................................................................................................... .......................................................... ...... 21
2 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
4.- Estado de deformación
En la descripción del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para el cálculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la elección de un sistema de referencia para describir el mismo. En el cálculo lineal no existe distinción entre la configuración inicial (no deformada) y la configuración temporal (o deformada) ya que las características geométricas y mecánicas son invariantes. Ésta es la característica fundamental que diferencia el cálculo lineal del no lineal. Desde el punto de vista de la Mecánica de Medios Continuos (MMC) un sólido es un conjunto infinito de partículas que ocupan una posición en el espacio. Estas posiciones son variables en el tiempo, a la posición de todas ellas en un instante dado se le denomina configuración. En el desarrollo que sigue a continuación se denotan con letras mayúsculas los estados referidos a la configuración inicial y con minúsculas los referidos a la configuración temporal (o deformada).
u Pp xi X I
Si se conociesen los vectores posición X y x para cualquier instante, estaría perfectamente definido el movimiento del cuerpo. En Mecánica de Medios Continuos, se supone que estas funciones con continuas y biunívocas, por la tanto, es posible escribir:
3 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
O bien,
O de la posición temporal (formulación euleriana
Se podría decir que la formulación Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al sólido mientras que la formulación Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio. En el caso de un ensayo de tracción se define la deformación como:
Esta deformación se suele llamar deformación ingenieril y corresponde a una descripción Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo surge el concepto de deformación real como:
Considérese dos puntos infinitamente próximos de un sólido sometido a un estado de deformación. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuración deformada en función de la configuración inicial son:
que se puede expresar matricialmente como:
Donde F es la matriz jacobiana de la transformación. Esta matriz se denomina gradiente de deformación y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuración de referencia a la configuración temporal,
4 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Sustituyendo las anteriores se tiene:
Por lo que la ecuación se puede escribir:
De donde se deduce que el tensor gradiente de deformación se puede descomponer en suma de dos:
F:I+D
Una deformación de un cuerpo elástico K, es una transformación TD: TD:K¾®K'ÌR3 P ¾® TD(P) = P' (siendo K' el sólido deformado) que cumple: (i) TD es una aplicación biyectiva, es decir, que tiene inversa. (ii) TD y su inversa son de clase C(1), es decir, ambas son diferenciables y sus derivadas primeras son continuas. Nota: De toda aplicación que satisface (i) y (ii) se dice que es un difeomorfismo. La condición (ii) asegura que ciertas condiciones de regularidad en la forma en que puede deformarse un cuerpo, que siempre se dan en los sólidos reales. Además dicha condición excluye del tratamiento a cierto tipo de "deformaciones" físicamente no razonables o aquellas que implican fractura o pérdida de continuidad del material. Por otra parte, la deformación también puede quedar especificada por el campo vectorial de corrimientos u = (ux, uy, uz) Î R3 definido por: u(P) = TD(P) - P (con P = (x, y, z)ÎK ).
5 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Sean P y Q dos puntos del sólido elástico K antes de deformar y sean P' = TD(P) y Q' = TD(Q) los correspondientes puntos de K'. Consideremos ahora coordenadas sobre K y K' (= sólido después de la deformación). Si las coordenadas de todos estos puntos vienen dadas por: P = (x, y, z) ÎK Q = (x + Dx, y+ Dy, z+ Dz) ÎK P' = (x', y', z') ÎK' Q' = (x' + Dx', y' +Dy', z'+Dz') ÎK' Las distancias entre P y Q antes y después de la deformación serán entonces: Introduciendo ahora el vector de corrimiento u = (ux, uy, uz), se tiene que ui = x'i - xi y por tanto Fui = Dio - Di, por lo que: DL'2 = (Dx+Dux)2 + (Dy+Duy)2 +(Dz+Duz)2 DL'2 = (Dx2+ Dy2+Dz2) + 2(DxDux+ DyDuy DzDuz) + (Dux2+ Duy2 Duz2) Después de ciertas manipulaciones algebraicas llegamos a una ecuación que relaciona ambas distancias: dividiendo por DL2, y pasando al límite, se obtiene la ecuación fundamental del tensor deformación.
Consideremos una base en la que el tensor deformación es diagonal. En el caso de pequeñas deformaciones y utilizando la fórmula de Taylor: (1+ x ) r = 1 + rx + ... Podemos escribir para la deformación en, deformación en la dirección n: si en particular tomamos (nx, ny, nz) = (1,0,0) tenemos que e = exx. Por tanto la interpretación del tensor deformación es la siguiente: (en una base diagonal dada) la deformación principal eii representa el alargamiento en la dirección i. Así en el entorno de un punto las longitudes en dirección i se alargan tendremos eii > 0, mientras que si se encogen tendremos eii < 0.
6 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Para que un tensor deformación del tipo DCL sea aceptable, deberá derivar de un campo de desplazamientos bien definido. Para que esto suceda deben satisfacerse las siguientes ecuaciones de compatibilidad: Dichas ecuaciones son las condiciones de integrabilidad para poder garantizar que DCL puede integrarse para dar lugar a un campo de desplazamientos (ux, uy, uz). Puede comprobarse que dichas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen idénticamente si existe un campo desplazamientos (ux, uy, uz) tal que: En el caso general, es decir, considerando un tensor deformación DL no lineal de Landau, las ecuaciones de compatibilidad adoptan una forma más complicada: (1+ x ) r = 1 + rx + ... Estas ecuaciones de compatibilidad para el tensor no lineal de Landau son no lineales y de difícil aplicación. Sin embargo, su linealización alrededor de sus soluciones coincide con las ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange. En la práctica nos conformaremos con comprobar que se satisfacen las ecuaciones linealizadas, es decir, las ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange.
7 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
El problema que pretendemos resolver en esta sección es el siguiente: dado un campo de desplazamientos u: Ω → R3, ¿cuáles son las deformaciones y en todos los puntos y todas las direcciones posibles? Este es el problema central de la cinemática de los cuerpos deformables. Para calcular las deformaciones en cualquier punto será necesario determinar la forma local del campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempre en teoría de campos, esta información la recoge el gradiente: Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R3 se define el tensor gradiente de desplazamientos
como aquel que verifica.
Cuando calculemos deformaciones comprobaremos que ´estas solo dependen de la parte simétrica de ∇u y a este objeto lo denominaremos el tensor de deformación, y juega un papel central en el modelo del solido deformable.Dado un campo de desplazamientos u : , definimos la deformación infinitesimal D como el campo de tensores simétricos. La parte de que no está asociada a la deformación infinitesimal D, es decir la parte hemisimetrica del tensor, si que está asociada al movimiento local y recibe la siguiente definición: La parte hemisimetrica de ∇u(P) es el campo ten sorial de giro infinitesimal Ω: Como Ω es un tensor hemisimetrico tiene un v ector axial asociado ω, llamado el vector de giro infinitesimal. Este campo vectorial satisface además.
Para obtener una expresión que nos permita obtener el valor de εex en función de u y sus gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamiento en la expresión. Sea η el vector unitario en la dirección en la que queremos. Calcular la deformación longitudinal. Entonces, La expresión para la deformación longitudinal es una función no lineal. Sin embargo, si las deformaciones son pequeñas podemos aproximar. , Y utilizando un desarrollo de Taylor para la función obtener finalmente: Se define la deformación longitudinal infinitesimal en un punto P ∈ Ω y una dirección cualquiera η como el esc alar.
8 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer e cuatro partes:
Una traslación que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O’
Una rotación del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O’
Unas deformaciones angulares “simétricas” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º
9 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º más en sentido anti horario y la arista OB restarla 1º, ósea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación.
Deformaciones angulares ( /2): se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido horario. Negativas en caso contrario
10 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
Calculo de deformaciones
4º BC]
y /2 en una dirección OD cualquiera
A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto /2), la circunferencia de Mohr, tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio. De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones definida por su vector unitario: uD(cos , sen ). Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cosβ 2 = DH = CD.senβ (los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán
de la circunferencia de Mohr).
11 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que t engan los valores máximo y mínimo a las que se denominará: deformaciones principales. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará: direcciones principales. Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá que: γ/ 2 = 0 y por tanto: δ=ε.
Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) εi según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos εi pued e determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:
Para obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si εi es el valor de una de ellas; por ser ε ti = 0 resultará de acuerdo a:
12 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Para que el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas admita soluciones distintas de la trivial (sen α i = cos αi = 0), la que no representa solución para el problema físico planteado, puesto que no cumple la ecuación de condición sen
2 αi
+ cos2 αi =1
13 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Para ubicar las direcciones principales, bastará con plantear la nulidad del deformación específica transversal:
Si la ecuación XVI se satisface para αi = ϕI, también lo hara para 2ϕI + π = 2ϕII
Por lo tanto ϕII = ϕI + π/2 Es decir, que existen en el plano (x- y) dos direcciones ortogonales entre sí para las cuales εtr resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan también normales al eje z (tercera dirección principal) Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:
Y quedarán las ecuaciones:
14 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:
Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los auto valores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada una de las
rectas generadas por un vector v se llama dirección principal. El significado físico tanto de los valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada. En los siguientes apartados se explica el significado e importancia de valores y direcciones principales para algunas magnitudes tensoriales importantes. En física e ingeniería, una dirección principal se refiere a una recta de puntos formada por vectores propios de alguna magnitud física de tipo tensorial. Los dos ejemplos más notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas y las
de un sólido
deformable. Este artículo resume las propiedades matemáticas de las direcciones principales y el significado físico de las mismas en diferentes los contextos.
15 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:
Obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y serán:
16 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Una ecuación de compatibilidad es una ecuación adicional a un problema mecánico de equilibrio necesario para asegurar que la solución buscada es compatible con las condiciones de contorno o para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones.
En el planteamiento del problema elástico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en términos de las componentes del tensor deformación.
En elasticidad lineal una deformación será físicamente posible si es compatible con un determinado campo de desplazamientos U es decir si se cumplen las siguientes relaciones para las componentes del tensor deformación:
Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que necesitamos una relación expresable sólo en términos de las componentes del tensor deformación. La expresión buscada es precisamente:
Estas últimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de compatibilidad de la elasticidad lineal.
17 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
En teoría de la elasticidad no lineal la relación entre el vector de desplazamientos y las componentes del tensor tensión son no lineales y substancialmente más complicadas:
Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal también son no-lineales:
Donde los símbolos de Christoffel vienen dados por:
La ecuación (2) se puede reinterpretar en términos de geometría diferencial, si consideramos que el sólido se deforma sobre un espacio euclídeo una vez deformado las coordenadas materiales dejarán de ser cartesianas y la medición de distancias requerirá el uso de un tensor métrico de la forma:
Con frecuencia, en problemas mecánicos o de resistencia de materiales hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado.
18 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estáticamente indeterminado o hiperestático el análisis de fuerzas lleva a una única ecuación para las dos reacciones incógnitas existentes:
En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la parte izquierda (entre RA y P) está fraccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:
Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando los teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente.1
1
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9j YXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQ http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Descripcion_de_%20movimiento.pdf http://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdf
19 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFp bnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMz I0YQ http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Descripcion_de_%20mo vimiento.pdf http://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/ deformaciones.pdf
20 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
28 de junio de 2014
[INEGENIERIA C IVIL
4º BC]
CONCLUSION
Con este reporte nos dimos la tarea de
adquirir nuevos
conocimientos por el cual era desconocido para nosotros. Gracias a esta investigación sabremos cual y en donde será su aplicación de cada uno de los temas, así mismo esta unidad es una relación con la materia de dinámica que también se relacionan cada uno de ellos.
Así es como hemos concluido con el reporte de esta unidad que se obtuvo información de varias fuentes bibliográficas que se obtuvieron de internet de libros entre otros…
21 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS
UNIDAD 5
