Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C



INTRODUCCIÓN Unlock Access to An

30la unidad 5 de la El contenido de esteExclusive reporte es de materia de

DaydeTrial fundamentos la mecánica de medios

Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C continuos los cual la unidad se llama:

Access Now

5.Lo

ecuaciones constitutivas No thanks, I don't want my exclusive trial

cual los subtemas de esta unidad

son

5 que se

desglosan a continuación:

5.1. Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke 5.2.

Aplicaciones

a

problemas

Elasticidad lineal

5.3. Ecuación de Navier -Cauchy 5.4. Ecuación de Navier -Stokes.

de



Fundamentos de la mecánica de medios continuos

5.5. Aplicaciones a problemas de Mecánica Unlock Access to An

de Fluidos. Exclusive

30 Day Trial

Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

Access Now En este reporte se describe cada uno de los temas y los thanks, I don't want my exclusive trial subtemas de cada Nounidad se pudo buscar información

de varias fuentes bibliográficas, la igual que hoy en la actualidad estos tremas son básicos la vida cotidiana de un ing. Civil que se relaciona mucho con la aplicación

junto con la materia de dinámica que van de la mano porque al igual que esta materia y la de dinámica es una aplicación de la física.

“5. Ecuaciones constitutivas ..................................................... .............................................. 4 

ECUACIONES CONSTITUTIVAS CONSTITUTIVA S (MECÁNICAS) EN FLUIDOS VISCOSOS...................... VISCOSOS.... ................................. ............... 5



ECUACIONES CONSTITUTIVAS CONSTITUTIVA S (MECÁNICAS) EN FLUIDOS NEWTONIANOS ........................... .................. ......... 5



RELACIÓN ENTRE LA PRESIÓN PRESIÓN TERMODINÁMICA Y LA PRESIÓN MEDIA. .................. ........................... ............. .... 6

2

Equipo 5 Ingeniería civil

4º BC

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

ECUACIÓN CONSTITUTIVA EN COMPONENTES ESFÉRICAS Y DESVIADORAS.......................... 8

5.1. Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke ................................................................. 9 Unlock Access to An 

Ley de Hooke para los resortes ............................................................................................... 9



Ley de Hooke para materiales isotrópicos ............................................................................ 10



Exclusive 30 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ELASTICO LINEAL .................................................... 11 Day Trial

5.2. Aplicaciones a problemas de Elasticidad lineal ..................................................... ........ 14 Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C 5.3. Ecuación de Navier-Cauchy .............................................. ............................................. 15 Now ............................................................ 15 SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSORESAccess DE CAUCHY

5.4. Ecuación de Navier-Stokes. ................................................................ ........................... 16 No thanks, I don't want my exclusive trial

5.5. Aplicaciones a problemas de Mecánica de Fluidos. ...................................................... 18 

FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMETRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES) ............................. 19



FLUIDOS PERFECTOS ............................................................................................................. 21



HIDROSTATICA....................................................................................................................... 21

3


4º BC

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Unlock Access to An Consideraremos a continuación el conjunto de ecuaciones, denominadas genéricamente ecuaciones constitutivas, que es necesario añadir a las ecuaciones de conservación/balance para la formulación de un problema de mecánica de fluidos.

Exclusive 30 Day Estas ecuaciones pueden agruparse como sigue: Trial Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C a) Ecuaciones constitutivas termo mecánicas

Expresan el tensor de Cauchy en función de otras variables termodinámicas, típicamente la Access Now presión termodinámica p, el tensor velocidad de deformación d (que implícitamente se puede considerar una función de la velocidad d (v)= la densidad p y la temperatura absoluta Ɵ. No thanks, I don't want my exclusive trial

b) Ecuación constitutiva de la entropía

Una ecuación algebraica que proporciona la entropía especifica s en función de la velocidad de deformación, la densidad y la temperatura.

c)

Ecuaciones constitutivas de tipo “termodinámica” o ecuaciones de estado

Son típicamente la ecuación calórica de estado, que define la energía interna específica u, y la ecuación cinética de estado que proporciona una ecuación para la presión termodinámica:

d) Ecuaciones constitutivas de tipo “térmico”

La más común es de denominada ley de Fourier que establece el flujo de calor por conducción q como:

4


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Donde k es el tensor (de segundo orden y simétrico) de conductividad térmica que es una propiedad del fluido. Para el caso isótropo, el tensor de conductividad térmica es un tensor esférico k=k1 y depende del parámetro Unlock escalar kAccess que estolaAn conductividad térmica del fluido.



Exclusive 30 Day(MECÁNICAS) Trial EN FLUIDOS VISCOSOS ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C Las ecuaciones constructivas termo mecánicas para un fluido viscoso pueden escribirse en general (ver ecuación 9.2) como: Access Now No thanks, I don't want my exclusive trial

Donde f es una función tensorial simétrica. Según el carácter de la función f se obtienen los siguientes modelos de fluidos: a) Fluidos de Stokes o stokesianos : la función f es una función no lineal de sus argumentos b) Fluidos newtonianos : la función f es una función lineal de sus argumentos. c) Fluidos perfectos : la función f es idénticamente nula. En este caso la ecuación constitutiva mecánica es: σ=-P1



ECUACIONES

CONSTITUTIVAS

(MECÁNICAS)

EN

FLUIDOS

NEWTONIANOS La ecuación constitutiva mecánica para los fluidos newtonianos puede escribirse como:

Donde C es un tensor constitutivo (de viscosidad) constante de cuarto orden. Como resultado de la ecuación anterior. Se obtiene una dependencia lineal del tensor de tensores σ con la velocidad de deformación d.

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para un flujo newtoniano isotopo, el tensor constitutivo C es un tensor isotopo de cuarto orden.

Unlock Access to An

Exclusive 30 Day Trial Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

Access Now No thanks, I don't want my exclusive trial

Substituyendo la ec. (9.8) en la ecuación constitutiva mecánica (9.7) se obtiene:



RELACIÓN ENTRE LA PRESIÓN TERMODINÁMICA Y LA PRESIÓN MEDIA.

En general la presión termodinámica, p, y la presión media, p, en un fluido newtoniano en movimiento, serán distintas aunque estén relacionadas entre sí. A partir de la ecuación constitutiva (mecánica) de un fluido newtoniano (9.10) puede obtenerse:

6


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Exclusive 30 Utilizando la ecuación de continuidad (conservación de la masa), se tiene: Day Trial Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

Considerando además la relación:

Access Now

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Y substituyendo en la ecuación (9.11), se llega a:

La relación la presión media y la presión termodinámica.

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4º BC

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

ECUACIÓN

CONSTITUTIVA

DESVIADORAS a) Parte esférica

De la ecuación (9.15) se tiene:

EN

COMPONENTES

ESFÉRICAS

Y

Unlock Access to An


b) Parte desbastadora

Access Now

Utilizando la descomposición del tensor de tensores No thanks, I don't want my exclusivede trialσ y el tensor velocidad de

deformación

en sus componentes esféricas y desviadora, y

substituyendo en la

ecuación constitutiva (9.10). ”1

1

http://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas

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“Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton

Exclusive 30 Day Trial

contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apodera de su descubrimiento, Hooke lo publico en forma de un famoso anagrama, cellinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensiovis (“como la extencion, como la fuerza”) Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

En la física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos Access Now del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F. No thanks, I don't want my exclusive trial

Siendo: δ el alargamiento

L la longitud original E módulo de Young A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.



Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte ,donde se relaciona la fuerza F ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

F= - Kδ Donde k se llama constante elástica del resorte y δes su elogacion o variación que experimenta su

longitud. La energía de deformación o energía potencial elástica U k asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación :

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

Ley de Hooke para materiales isotrópicos

Unlock Access la to An El físico inglés Robert Hooke, en 1660, enunció “ley de la elasticidad”, inicialmente

Exclusive 30 una varilla es proporcional a la tensión experimentada por ésta. La ley generalizada para los Day Trial elementos diagonales se escribe como: unidimensional:

“como la extensión, así la fuerza”. Por debajo del “límite elástico”, el alargamiento (relativo) de



en donde E es llamado el “módulo de Young” y su unidad es el Pascal ( Pa). El nombre de Young

proviene del científico chino Thomas Young (1773-1829), quien es famoso por sus trabajos sobre la naturaleza ondulatoria de la luz. ν es el coeficiente de Poisson (sin unidades), debido al físico y matemático francés Siméon Poisson (1781-1840), también conocido por sus trabajos en la teoría de las probabilidades. Por otra parte, las deformaciones angulares y la torsión de un sólido provienen de esfuerzos tangenciales aplicadas a la superficie del sólido. En este caso, la ley de elasticidad se escribe como:

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La constante de proporcionalidad G se denomina módulo de cizalla. La unidad de 2 Unlock Access ν como: también el Pascal ( Pa) y se expresa en función de Etoy An

G

es

”

Exclusive 30 Day Trial Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C 

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ELASTICO Access Now

LINEAL

de laI don't figura. Sometido a unas “Considerando el sólido elástico lineal No thanks, want my exclusive trialacciones caracterizadas por el vector de fuerzas másicas b(x,t) en el interior del volumen V y el vector de tracción t(x,t), en el contorno v. denominamos problema elástico lineal al conjunto de ecuaciones que permiten obtener la evolución a lo largo del tiempo de los correspondientes desplazamientos u(x,t) deformaciones e(x,t) y tensores σ(x,t).

Problema elástico lineal

2

Lardner, T. J. & Archer, R. R. (1996) Mecánica de Solidos. McGraw-Hill.

Popov E. P. (2002) Mecánica de materiales. Limusa.

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ECUACIONES DE GOBIERNO 1) Ecuación de cauchy (balance de la cantidad de movimiento)

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Access Now 2) Ecuación constitutiva (elástica lineal isótropa) No thanks, I don't want my exclusive trial

3) Ecuación geométrica (relación infinitesimales y desplazamiento)

de

compatibilidad

entre

deformaciones

B

Dichas ecuaciones involucra a las siguientes incógnitas . U(x,t) (3 incógnitas) E(x,t) (6 incógnitas) σ(x,t) (6 incógnitas)   

las ecuaciones anteriores constituyen un sistema de ecuaciones diferentes en derivadas parciales. El sistema está constituido por 15 ecuaciones diferenciales con las 15 incógnitas. CONDICIONES DE CONTORNO Consideremos al contorno Г=Əv del solido dividiendo en tres partes:

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“Para ejemplificar lo anterior, se puede imaginar que se tiene una barra prismática de acero


comercial (E=20 Gpa) a compresión, como se muestra en la figura 30 la cual tiene una longitud inicial de 1metro,área transversal de 1.22cm^2(1.22x10ˉ⁴ metros), que equivale a una barra de media pulgada de diámetro, en donde se aplica una carga de 2500 newtons. Para averiguar cuanto se ha deformado dicha barra se utiliza la formula descrita anteriormente. Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C


Y de esa forma se encuentre la deformación total de la barra acero para las condiciones anteriormente descritas, la cual es de 0.0102 metros, es decir, 1.02 milímetros.

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Unlock Access to An El tensor de tensores, las fuerzas másicas y las aceleraciones están relacionados por la

denominada ecuación


de cauchy:


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Cuya expresión explica en notación ingenieril resulta:

No thanks, I don't want my exclusive trial

Si el sistema está en equilibrio la aceleración es nula (a=0), la expresión de las ecuaciones de cauchy queda:



SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSORES DE CAUCHY

Mediante la aplicación del principio de balance del momento angular, podemos demostrarse que el tensor de tensores de cauchy es simétrico:

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“Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Lous Navier y George Gabriel


Stokes.se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones no gobiernan la atmosfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C


Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que lo esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), se obtiene de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional.

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En particular, para un fluido newtoniano, e isótropo (las propiedades del fluido no cambian con la dirección), el conjunto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Navier-Stokes, que se Unlock to An y del movimiento. La ecuación de obtienen directamente de las ecuaciones de Access continuidad continuidad será directamente la expresión de la ley de conservación de la masa.

Exclusive 30 Aplicando directamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento con las consideraciones anteriores sobre el volumen de control, y utilizando el teorema de Gaus o de la Day Trial divergencia en la superficie cerrada que es su contorno, se obtiene: Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C


El tensor de tensores se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresible, en la suma de do. El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal 3x3 de componentes iguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensores viscosas τ , es decir:

σ= -pl. +τ Donde l representa la matriz identidad y p es un escalar que viene dado por: p= (-tr/3)(σ) , trσ es la traza (suma de elementos de la diagonal)”3

3

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Narvier-Stokes

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Fluidos incompresibles:

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Y substituyendo las ecuaciones anteriores en la siguiente tabla se obtienes las ecuaciones de gobierno: Tabla.-.-ecuaciones de gobierno del problema de mecánica de fluidos

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

Exclusive 30 Day Trial DE STOKES)

FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMETRICA NULA (FLUIDOS


En este caso:


Y substituyendo las ecuaciones anteriores es la tabla se obtiene las ecuaciones e gobierno de la tabla:

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

FLUIDOS PERFECTOS

Unlock Access to An dicha condiciones en la tabla, se Para fluidos perfectos (sin viscosidad) λ=μ=Χ=0.substituyendo


obtiene el problema de la siguiente tabla:





HIDROSTATICA

En este caso se tiene (ver ecuaciones):

Por lo que las ecuaciones de la tabla anteriores se reducen a las de la tabla siguiente:”4

4

http://bigmac.mecaes.etsil.upm.es/site/msd_files/cap4.pdf

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Exclusive 30 Fuentes bibliográficas Day Trial Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

http://bigmac.mecaes.etsil.upm.es/site/msd_files/cap4.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Narvier-Stokes Access Now http://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas No thanks, I don't want my exclusive trial Lardner, T. J. & Archer, R. R. (1996) Mecánica de Solidos. McGraw-Hill. Popov E. P. (2002) Mecánica de materiales. Limusa

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Access Now la unidad 5 de la Con esta investigación de No thanks, I don't want my exclusive trial

materia de fundamentos de la mecánica de medios continuos adquirimos nuevos y grandes conocimientos

en la cual es desconocido para

nuestro conocimiento de esta formación que llevamos al igual que gracias a este reporte nos

dimos cuenta de la aplicación de cada uno de los temas y/o subtemas por el cual estos temas se

van relacionando con la materia de dinámica ya que esta unidad se trata más de física.

Así mismo concluimos este reporte de la unidad 5 que son 5 subtemas que uno tras otro se relaciona 23


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lo cual esta información o investigación su Unlock Access to An

de fuentes de internet Exclusive 30 (páginas web) y también fuentes bibliografías Day Trial contenido

entre otros.

conforma



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