Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Tijuana
Análisis y Síntesis Síntesis de Mecanismos Mecanismos Serie: EME-1005EM6A Trabajo #5 Trayectorias Polares Lizarraga Sandoval Raymundo 15210255 Marco Antonio Martínez Manríquez 18 / Sep. / 2017
Calificación
TRAYECTORIAS POLARES
Los eslabones se pueden considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. Cuando un eslabón esta efectuado una translación de un momento dado, su centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito y en una dirección perpendicular al movimiento del eslabón. Esto se denota fácilmente porque las velocidades de todos sus puntos son iguales y sus vectores paralelos. Siendo el movimiento plano más general el de rotación instantánea existirá un nuevo centro instantáneo para cada nueva posición del cuerpo. En otras palabras, el polo va ocupando durante el movimiento distintas posiciones tanto en el plano móvil como en el absoluto describiendo trayectorias denominadas polares.
CURVAS POLARES
Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro. La Fig. A) muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o base. Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y configurarán la curva polar. Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la Fig. B), se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
Curvas Polares del Cuadrilátero Articulado
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Trayectoria es una línea descrita en el espacio por un cuerpo en movimiento que puede ser una línea recta o curva y ortogonal se dice del ángulo de 90° que forman las líneas de la trayectoria respecto a un plano es decir son perpendiculares. Ejemplo: una malla metálica, las líneas de una hoja cuadriculada, las líneas meridianas y paralelas del globo terráqueo, etc. Se habla de proyección ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado de dibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Al realizar esta proyeccion, se establece un vínculo entre los puntos del componente proyectante y los puntos del elemento proyectado.
EXPRESIONES ANALITICAS DE LA CURVA BASE Y RULETA
La base del movimiento es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones del C.I.R. del movimiento, observado desde el sólido "1". En otras palabras, es la curva que describe el punto I 21 observado desde el sólido "1". La ruleta del movimiento es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones del C.I.R. del movimiento, observado desde el sólido. En otras palabras, es la curva que describe el punto I 21 observado desde el sólido "2". Aunque a primera vista pueda parecer que estas dos curvas deben ser la misma, no es así. Puede entenderse esto realizando la siguiente experiencia. Cogemos dos hojas de papel y colocamos una sobre la otra. La hoja inferior será el sólido "1" y la superior el sólido "2". Clavamos un alfiler de forma que atraviese las dos hojas y rotamos ligeramente la hoja superior (el alfiler indica la posición instantánea del C.I.R.). Ahora desplazamos un poquito el alfiler y volvemos a hacer un giro muy pequeño. Repitiendo este procedimiento, las sucesivas posiciones del alfiler describen una curva en la hoja superior y otra distinta en la inferior. La primera es la ruleta y la segunda es la base.
CALCULO DE LA BASE
La base es la curva que describe el punto I21 visto desde el sólido "1". Esta curva viene descrita por el vector de posición en cada instante del C.I.R. respecto al sólido "1", esto es, el vector . Considerando que en el instante inicial el centro de la rueda estaba a la altura del punto O1 tenemos
Escrito en términos de las coordenadas tenemos:
Esta curva es precisamente el eje O1X1. Así pues la base del movimiento {21} es el eje O1X1. Observemos que la base es la misma aunque la velocidad del centro de la rueda no sea uniforme, siempre que sea paralela al suelo. Por ejemplo, si el centro de la rueda se desplaza con aceleración uniforme, el movimiento es más rápido pero la base sigue siendo el eje O1X1. La única diferencia es que se recorrería más deprisa.
CALCULO DE RULETA
Ahora queremos determinar la posición del C.I.R. visto desde el sólido "2". Para ello escogemos unos ejes solidarios con el disco y que, por tanto, rotan con él. Estos son los ejes indicados en la figura. El vector de posición del C.I.R. es
Aunque esta expresión es correcta, no nos da la información que queremos, pues en el sólido "2" el vector gira durante el movimiento. Hemos de expresar el resultado en la base vectorial asociada al disco. De la figura vemos que
El ángulo θ es el que forma el eje CX2 con el eje O1X1. Con esto, la posición del C.I.R. visto desde el sólido "2" es
En términos de las coordenadas tenemos
Las ecuaciones implícitas de esta curva son
Esta curva es una circunferencia de radio ruleta coincide con el perímetro del disco.
R centrada
en el punto
C .
En este caso, la
REPRESENTACION GRAFICA
La figura muestra la base y la ruleta del movimiento. En cada instante, el C.I.R. se halla en el punto de tangencia de las dos curvas. En cada instante la velocidad relativa en el C.I.R. es nula. De este modo, el movimiento se puede visualizar como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.
