Transformação Estrela-Triângulo 1. Introdução Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e onde somente as regras de associação série e de associação em paralelo não permitem a determinação da resistência equivalente. Um caso típico é o circuito em ponte mostrado na Figura 2. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão estrela-triângulo, as quais são vistas aqui de forma resumida, maiores detalhes encontram-se na bibliografia. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Figura 1a, ao passo que a conexão em triângulo é mostrada na Figura 1b. A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão em triângulo também é denominada de conexão em delta ou ainda conexão π . Sob todos os aspectos elétricos (corrente, tensão e potência), existe uma equivalência entre estas duas conexões, a qual é assegurada pelas relações entre as resistências em ambas. R2
R1
Rc 3
1
R3
2
3
1
Ra
Rb
2
4
4 ( b )
( a )
Figura 1 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo
2. Conversão de Triângulo para Estrela Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações: R1
=
R2
=
R3
=
Rb ⋅ R c Ra
+ Rb + R c
Rc ⋅ Ra Ra
+ Rb + R c
R a ⋅ Rb Ra
+ Rb + Rc
(1)
(2)
(3)
A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três resistores do triângulo.
3. Conversão de Estrela para Triângulo Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações:
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 13/4/200 5
Ra
=
Rb
=
Rc
=
R1 ⋅ R2
+ R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
(4)
R1 R1 ⋅ R2
+ R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
(5)
R2 R1 ⋅ R2
página 2/4
+ R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
(6)
R3
A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela.
4. Exemplo de Aplicação A seguir é apresentado um exemplo que ilustra a aplicação do que foi exposto. 4.1 Circuito em Ponte
Deseja-se determinar a resistência equivalente do circuito em ponte mostrado na Figura 2 a partir dos terminais x-y. Uma análise inicial do circuito revela que não é possível aplicar as regras de associação série-paralela, pois não é possível identificar este tipo de associação no circuito. Pode-se, no entanto, reconhecer que existe a possibilidade de aplicar as transformações estrela-triângulo. Conforme pode ser constatado pela Figura 2, existem várias possibilidade de associar os elementos do circuito tanto com a conexão estrela como triângulo. Para fins de resolução e transformação, será escolhido o triângulo formado pelos resistores de 15, 5 e 20 ohms (em azul na Figura 3b). Desta forma, pelas fórmulas (1), (2) e (3) de conversão triângulo-estrela, obtém-se: Ra
= 15
Ω
Rb
=
20
Ω
Rc
=8
R1
=
R2
=
R3
=
Ω
20 ⋅ 8
=
3,721
Ω
=
2,791
Ω
=
6,977
Ω
15 + 20 + 8 8 ⋅ 15 15 + 20 + 8 15 ⋅ 20 15 + 20 + 8
Após esta conversão o circuito assume a forma mostrada na Figura 2c, onde a resistência R1 = 3,721 ohms está em série com a resistência de 5 ohms e a resistência R2 = 2,791 ohms está em série com a resistência de 10 ohms. Fazendo-se a associação em série destas resistências, obtém-se o circuito mostrado na Figura 2d. As resistências de 8,721 ohms e de 12,791 ohms estão agora em paralelo, resultando numa resistência de 5,184 ohms, conforme mostrado na Figura 2e. Finalmente associando em série as resistências de 5,184 e 6,977 ohms, obtêm-se a resistência equivalente entre os terminais x-y (Figura 2f): R xy
=
5,184 + 6,977 = 12,162
Ω
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 13/4/200 5
x
página 3/4
x
1
( a )
1
( b )
1
3
Rc 2
y
y
x
x
1
1
4
1
R2
R1 321
y
Ra
2
( c )
Rb
2
1
2
3
( d )
21
121
31
R3
4
y
x
x 14
( e )
( f )
1212
y
y
Figura 2 - Determinação da r esistência equivalente usando conversão triângulo-estrela
. Exercício Proposto a) Determine a resistência equivalente a partir dos terminais s-t do circuito mostrado na Figura 3 utilizando as fórmulas de conversão estrela-triângulo. (resposta: 14,01 ohms) b) Determine a resistência equivalente a partir dos terminais s-t do circuito mostrado na Figura 3 aplicando uma tensão conhecida nos terminais s-t e determinando a corrente. c) Implemente um arquivo de simulação no Orcad (ou Matlab/Simulink) e comprove os resultados obtidos nos itens a) e b).
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 13/4/200 5
s
página 4/4
10
5
7
21
15
5
1
3
33
t Figura 3 - Determinação da resistência equivalente a partir dos terminais s-t
. Exercícios Recomendados A seguir é apresentada uma lista de exercícios selecionados da bibliografia aconselhada para a disciplina. Para uma melhor assimilação recomenda-se que todos os exercícios sejam resolvidos. Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos. Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 2. Problemas: 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 2.48, 2.50, 2.51.
