UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA AUTOR CHRISTIAN CEDILLO
PROFESOR ING. FERNADO SOTO
TEMA
CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5 (TEORIA ELECTRO MAGNETICA)
AÑO 2013-2014
1
CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5 (TEORIA ELECTRO MAGNETICA) 1. CAMPOS VECTORIALES Los campos vectoriales son un conjunto de vectores en el espacio, los cuales representan fenómenos físicos presentes en una región, por ejemplo: la intensidad y dirección de una fuerza, tal como la electromagnética, que cambia de un punto a otro; modelar la velocidad y dirección de un líquido móvil en el espacio. Matemáticamente se pueden describir como una función construida por el cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio, cuya magnitud y dirección dependen de dos o más variables, ya sea en el plano o en el espacio. Cuando solo dependen de una sola variable, las funciones vectoriales describen una trayectoria en el espacio[1]. Importante tener en cuenta.
⃗
Comúnmente el vector se denota mediante una letra remarcada por una flecha
⃗ ⃗ ⃗
La magnitud de un vector se denota mediante
. .
El vector unitario
coincide con la de . La magnitud de un vector en el espacio se expresa de la siguiente manera
⃗
.
es un vector cuya cuya magnitud es la unidad y cuya cuya dirección
(1)
Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiaran tendrán tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizaran para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales Un vector unitario en la dirección
⃗ ⃗
⃗
es
Una de las formas generales analíticas de escribir un campo vectorial es:
Donde M es la componente de los vectores del campo en el eje “x”, N la componente en el eje “ y”, P la componente en el eje “z”, y multiplicados por los vectores unitarios i, j, k . Por ejemplo, la Grafica 1 del campo vectorial cuadrático 2
Grafica 1 (Campo Vectorial cuadrático inverso) inverso) Grafica 1 cuadrático
inverso (ó gravitacional) está dada por:
El campo vectorial se la definido como una funcion vectorial de un vector posicion. En general, la magnitud y direccion de la funcion cambiaria conforme se este moviendo atravez de la region, y el valor de la función vectorial debe determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestion, se espera que el vector sea una funcion de las variables x,y, y z Si se presenta el vector pocision como r entonces el campo vectorial expresar en notacion funcional como G(r).
G se puede
Ejemplo
{ } ̅ ⃗
S puede expresarse en coordenadas rectangulares como a) Evaluar S en P(2,4,3). b) Determinar un vector unitario proporcione la direccion de S en P. c) Un campo vectorial
Especificar la superficie
en en la que
1.1 Producto Punto Dados dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar, se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del angulo entre ellos
| | |
El signo del componete es positivo si 0 ≤
1.2 Producto Cruz
≤ 90 y negativo cuando 90 ≤
≤ 180
Dados dos vectores A y B, el producto producto cruz o producto producto vectorial, este determina al plano que contiene a ambos se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de B y el seno del angulo mas pequeño entre ellos. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones se trabajara con vectores definidos en el mismo punto Como ecuacion, se puede escribir
| | |
1.3 Integrales Triples En Coordenadas Coordenadas Cilíndricas
En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado , donde r y son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P. P.
3
Grafica 2(Coordenadas Cilíndricas)
Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones
(6)
Suponiendo que E es una región cuya proyección D en el plano xy se describe convenientemente en coordenadas polares.
| |
Donde D está dada en coordenadas polares por
Se tiene por entendido que
Y al combinar esta expresión con coordenadas polares tenemos:
La expresión dada es la fórmula para integración triple en coordenadas cilíndricas, esta dice que se convierte en una integral triple de coordenadas rectangulares a cilíndricas al
4
escribir x=rcos ,y=rsin ,dejar a z como es, usar los límites de integración apropiados para z ,r y , y reemplazar el dV por rdzdrd . Es importante usar esta fórmula cuando E es una región sólida descrita fácilmente en coordenadas cilíndricas, y en particular cuando la función f(x,y,z)tiene que ver con la expresión [2].
1.4 Coordenadas Esféricas
Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado
Grafica 3(Sistema de Coordenadas Esféricas)
La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:
Esféricas a rectangulares:
Rectangulares a esféricas :
Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:
5
Esféricas a cilíndricas (r > 0):
√ Cilíndricas a esféricas (r> 0):
1.5 Clasificación de los campos vectoriales de acuerdo a la conservación de la energía: Los campos vectoriales campos no conservativos.
se pueden clasificar en
campos conservativos y
Los campos conservativos se hacen referencia a los campos en donde físicamente se mantiene el principio de conservación de la energía. Se definen por ser campos en los cuales si un cuerpo se mueve de un punto a otro, la energía total usada para desplazarse es la misma para cualquier trayectoria. Matemáticamente pueden expresarse como el gradiente de una función escalar. Además cualquier integral de línea que se haga de un punto a otro da el mismo valor sin Grafica 4(Campo Conservativo rotacional) importar la curva o trayectoria que se escoja para integrar, cuando se escoja un punto “ A” que sea igual al punto “ B”, la energía usada y el valor de cualquier integral de línea sobre el campo es cero. En este caso la integral del campo vectorial gradiente dependerá solamente del valor del campo escalar correspondiente en los ext remos del vector.
Ejemplo:
(denota al campo rotacional) Vista Grafica 4
Los campos no conservativos no siguen el principio de conservación de energía, por lo tanto la cantidad de energía de un punto a otro tiene diferente valor según la trayectoria. Además cuando se escoge un punto “ A” tal que sea igual al punto “ B”, la integral de línea no es necesariamente cero.
1.6 Clasificación de los campos vectoriales de acuerdo con su rotación Podemos clasificar los campos vectoriales en dos grupos, atendiendo a su rotacional (Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero) y su divergencia (La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV. Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del 6
punto tiende a cero):
Campos irrotacionales: Se verifica rotacional en todos los puntos del campo. Además la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula. Son campos potenciales (existe un potencial escalar del cual derivan) y las líneas de campo son abiertas. Hay manantiales y sumideros. Ejemplo: campo electrostático.
∇
Campos solenoidales: Se verifica E = 0 ( E = 0) en todos los puntos del campo. Además el flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo. Son campos potenciales que derivan de un potencial vector. Las líneas de campo son cerradas y no hay manantiales ni sumideros. Ejemplo: campo magnético de la Grafica 5. Sin embargo, no todos los campos vectoriales son o bien irrotacionales o bien solenoidales, ya que un campo vectorial puede tener tanto su Grafica 5(Representación de un campo Magnético) divergencia como su rotacional distintos de cero.
1.7 Aplicación magnéticos eléctrica.
de en
los campos la ingeniería
Campo magnético
Se trata de un campo que ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los materiales. Al igual que el campo eléctrico también es un campo vectorial, pero que no produce ningún efecto sobre cargas en reposo (como sí lo hace el campo eléctrico en dónde las acelera a través de la fuerza eléctrica). Sin embargo el campo magnético tiene influencia sobre cargas eléctricas en movimiento. Grafica 6 (Campo Magnético)
Si una carga en movimiento atraviesa un campo magnético, la misma sufre la acción de una fuerza (denominada fuerza magnética). Esta fuerza no modifica el módulo de la velocidad pero sí la trayectoria (ver fuerza magnética). Sobre un conductor por el cual circula electricidad y que se encuentra en un campo también aparece una fuerza magnética.[3] 7
Grafica 7(Fuerza Magnética)
El campo magnético está presente en los imanes. Por otro lado, una corriente eléctrica también genera un campo magnético. El campo magnético se denomina con la letra B y se mide en Tesla.
Grafica 8( Campo Magnético visto desde la Tierra)
Campo electrostático.
Hay regiones del espacio en que cada carga eléctrica puntual sufre una fuerza proporcional a la propia carga, que depende del punto en el que esté la carga. Lo mejor para describir ese efecto es conocer la fuerza que corresponde a cada unidad de carga cuando se sitúe en cada punto; porque Grafica 9 (Campo electro estático) entonces sabremos de antemano cuánta fuerza sufrirá una carga puntual cualquiera si la situáramos en ese punto. Esa fuerza por unidad de carga en cada punto se llama campo eléctrico en el punto que se considere. Ejemplos de Campos Electroestáticos
Grafica 10(Campos
Electroestáticos)
Campo gravitacional . La ley de la gravitación de Newton establece que la norma euclídea (la magnitud se dice en física) de la fuerza (no olvides que la fuerza es un vector) de atracción gravitacional, F, entre dos objetos demasas m y M es
‖‖
8
Donde es la distancia euclídea entre dichos objetos y G es la constante gravitacional universal. Si el objeto demasa M se encuentra en el origen y el objeto de masa m se encuentra en un punto , entonces . Como, además, la fuerza ejercida por el objeto de masa M sobre el objeto de masa m está dirigida desde éste hacia el origen y un vector unitario en dicha dirección es , deducimos que dicha
‖‖ ‖‖ ‖‖
fuerza viene dada por
Esta igualdad vectorial puede escribirse también en la forma:
Campo eléctrico producido por una carga . La ley de Coulomb establece que la norma euclídea (la magnitud se dice en física) de la fuerza (no olvides que la fuerza es un vector), F, ejercida entre dos cargas eléctricas q y Q es
‖‖ || ‖‖
Donde r es la distancia euclídea entre dichas cargas y es una constante. Si la carga Q se encuentra en el origen y la carga se encuentra en un punto entonces . Como, además, la fuerza ejercida por la carga Q sobre la carga q actúa en la dirección del segmento de recta que une ambas cargas y es atractiva o repulsiva según que ambas cargas sean de distinto o de igual signo, y un vector unitario en la dirección del vector es , deducimos que dicha fuerza viene dada por
‖ ‖
‖‖
La fuerza ejercida por unidad de carga es, por definición, el campo eléctrico, por la carga Q que viene dado por
‖‖ ∇ Campos de gradiente . Sea campo escalar de
donde A es un subconjunto de un variables. El gradiente de dicho campo escalar en un punto es, por definición, el vector
La aplicación que a cada se llama campo vectorial gradiente de f . 9
E, creado
hace corresponder el gradiente de f en
1.8 Resolución de Aplicaciones 1.8.1 Campo Eléctrico Y Potencial
Codigo
function CampoElwctricoPotencial clear all %creamos el rango para el eje X-Y [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); %definimos el potencial V=x.*exp(-x.^2-y.^2); %calculamos el gradiente [px,py]=gradient(V,.2,.15); % representacion del potencial y el campo electrico E=-grad(V) hold on contour(x,y,V); quiver(x,y,-px,-py); axis image title('Campo Electrico y Potencial') xlabel('Eje X','FontSize',12); ylabel('Eje Y','FontSize',12); colorbar hold off end
Grafica 11(Campos Eléctricos Y Potencial)
Las líneas de campo eléctrico siempre son perpendiculares a las líneas equipotenciales, además en la Grafica 11 podemos observar que van de derecha a izquierda lo que no quiere decir que la Grafica 11 la parte derecha es una carga positiva y la de la izquierda una carga negativa
1.8.2 Dibujar el potencial y el campo eléctrico dentro de la esfera Codigo %Constantes 10
a=5e-3; p=1e-6; e0=1/(4*pi*9e9); %rangos de los ejes x-y %plano x-y [x,y]=meshgrid(-a:a/20:a, -a:a/20:a); z=0; %posicion de la esfera el el plano esferico rr=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2); %verificando los puntos que esta dentro y fuera de la esfera id_fuera=(rr>a); id_dentro=(rr<=a); %pontecial dentro V_dentro=zeros(size(rr)); V_dentro(id_dentro)=(p/(2*e0)).*(a^2-rr(id_dentro).^2/3); %potencial fuera V_fuera=zeros(size(rr)); V_fuera(id_fuera)=p*a^3./(3*e0.*rr(id_fuera)); %potencial total V1=V_dentro+V_fuera; %gradiente [px,py]=gradient(V1,a/20,a/20); %dibujando potencial figure(1),contour(x,y,V1,7) %direccion del campo electrico hold on quiver(x,y,-px,-py) hold off title('Plano X-Y'); xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
Grafica 12(Campos Eléctricos Y Potencial de una Esfera)
1.8.3 Campo Vectorial de una Carga en 3D
≪
Graphics`PlotField3D`; T= {6xy + z 3, 3x2 + z, 3xz2 − y}; PlotVectorField3D [T, {x,-5, 5}, {y,-5, 5}, {z, - 5, 5}, Vector Heads → True]
11
Grafica 13(Campos de una carga en 3D)
1.8.4. Calculo de un Campo Gradiente
Codigo
[X,Y] = meshgrid(0:.4 :2); U = -X/2; V = Y/2; W = 1+0*X; subplot(1,2,1) for z = [-1,0,1] Z = z +0*X; quiver3(X,Y,Z,U,V,W) hold on end axis image
Grafica 14(Campos Gradiente)
1.8.5 Muestre en una figura las representaciones que tiene su punto inicial en (x,y), de los vectores del campo vectorial: %para definir los valores que va a utilizar 'x' , 'y' y 'z' [x,y,z]=meshgrid(-7:2:7); %se definen los vectores U , V y W u=-y; 12
v=x; w=2*z; %se grafica el campo vectorial quiver3(u,v,w,x,y,z) %se titula el campo , se activa la malla y se da la nomenclatura necesaria %para su interpretación axis square, grid on title('campo vectorial') xlabel('eje x') ylabel('eje y') zlabel('eje z')
campo vectorial
15 10 5 z e j e
0 -5 -10 -15 10 5
10 5
0
0
-5 eje y
-5 -10
-10
eje x
Grafica 15(Interpretación grafica del Campo Vectorial dado por el ejercicio 1.8.5)
2. INTEGRAL DE LINEA 2.1 Integral de línea de un campo escalar
13
‖ ‖ ( ) ( )
Definición. Sea
una curva con derivada continua y sea un campo escalar continuo definido en un conjunto que contiene a la imagen de , esto es, [4] La integral de línea de
sobre la curva es el número
Para n= 2, poniendo
, la integral (/) se expresa en la forma
Para n= 2, poniendo forma
, la integral (/) se expresa en la
Suelen usarse distintas notaciones para las integrales de línea de campos esdcalares. Es frecuente la notación
En la cual el símbolo ds indica que se integra respecto al elemento diferencial de longitud de arco.
Cuando la función es constante es iguala a 1 se entiende que
‖ ‖
Cuando la curva es una curva cerrada a algunos les gusta usar alguno de los símbolos
∫ ∫ ∫ ∫
El centro de masa del alambre es el punto de coordenadas (
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dada por
||
2.1.1 Ejercicio: Determine la masa de un alambre con la forma de la curva y=x^2 entre (-2,4) y (2,4) si la densidad está dada por
Resolución:
%definimos limites del parametro t t=0:.001:2*pi; %ecuacion en x x=t-sin(t); %ecuacion en y y=1-cos(t); %orden para graficar plot(x,y) %activar rejilla grid on syms t %intoducimos las ecuaciones paramétricas de la curva x=t; y=t.^2; %definimos como simbolo a k syms k %utilizando simetría realizamos el cálculo de la masa %resolvemos utilizando el método de reemplazo de paramétricas en la %ecuación del campo y multiplicamos por la raiz cuadrada de la suma de los %cuadrados de las derivadas de las paramétricas %.............................................. m=2*int(k*abs(x)*sqrt((diff(x,t).^2)+(diff(y,t).^2)),t,0,2) %el resultado de la masa es: m = (k*(17*17^ (1/2) - 1))/6
Gráfico: Grafico Ejercicio 1 de integral de línes 4 3.5 3 2.5 y e j e
2 1.5 1 0.5 0 0
10
20
30
40
50
eje x
Grafica 16(Interpretación grafica de la integral de línea del ejercicio 2.1.1)
2.2 Integral de línea de un campo vectorial
Sea → R n una curva suave y sea un campo vectorial continuo definido en un conjunto que contiene a la imagen de , esto es, 15
⟨ |⟩ ‖‖ ⟨ |⟩ ‖ ‖ ⟨ |⟩ ‖‖ ( ) ∑( )
La componente tangencial de F sobre g en un punto es la proyección ortogonal del vector sobre el vector tangente unitario a en el punto , es decir, es el vector
donde
. Es usual representar por
campo escalar que a cada punto de la curva
el
hace corresponder el producto escalar
La integral de línea de F sobre se define como la integral de línea del campo escalar sobre , esto es, el numero dado por
Expresando el campo vectorial y la curva por medio de sus funciones F(x) componentes = ( , tenemos que [5]
Para estas integrales suelen emplearse las notaciones
En la forma diferencial podremos decir que la integral de línea de un campo Vectorial es:
Los comandos utilizados en matlab para Resolver una intergal de línea son:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la función „n‟ con respecto a „d‟ desde „a‟ hasta „b‟ int(n,d,a,b)
Sqrt: Obtiene la raíz cuadrada de la matriz interna Sqrt(n)
Dot: Obtiene el producto punto entre „u‟ y „v‟ 16
Dot(u,v)
2.2.1 Ejercicio: Dado el siguiente campo vectorial representa un campo de fuerzas
el cual
a) Reproduzca usando software matemático la representación gráfica del campo vectorial para 0
2.5
2
1.5 y e j e
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
eje x
Grafica 17(Interpretación grafica de la integral de línea en campo Vectorial con trayectoria del ejercicio 2.2.1)
b) Sea C1 el segmento de recta que une el punto A(0,0) con B(2.0) 17
C2 el segmento de recta que une el punto B(2.0) con C(2,2) Calcule el trabajo realizado por F para trasladar una partícula desde A hasta B por C1 y desde B a C por C2
Resolución:
%definimos como simbolo a t syms t %parametricas de la primera recta x1=t;,y1=0; %parametrica de la segunda recta x2=2;,y2=t; %campo vectorial reemplazando la primera paramétrica F1=[x1.^2+y1,-(x1+1).*y1]; %campo vectorial reemplazando la segunda paramétrica F2=[x2.^2+y2,-(x2+1).*y2]; %trayectoria 1 r1=[t,0]; %trayectoria 2 r2=[2,t]; %trabajo a través de C1 W1=int(dot(F1,diff(r1,t)),t,0,2) %Trabajo a través de c2 W2=int(dot(F2,diff(r2,t)),t,0,2) %trabajo total W=W1+W2 W1 =8/3 W2 =-6 W =-10/3
2.3. Ejemplos de Aplicaciones de integral de línea
Trabajo. Consideremos un camino
cuya imagen está en una región en la que está definido un campo vectorial que a cada punto asigna un vector F(x) que interpretamos como una fuerza que actúa en x. El trabajo, W , realizado por el campo de fuerzas F al desplazar una partícula a lo largo del camino r viene dado por la integral de línea de F sobre el camino r
18
Ley de Ampère . Se comprueba experimentalmente que un largo alambre recto que lleva una corriente estacionaria I produce un campo magnético B. La relación entre la corriente I del conductor y el campo magnético (densidad de flujo magnético) B producido por la misma, viene dada por la ley de Ampére que establece que la integral de línea de B sobre cualquier curva de Jordan suave r que rodee al conductor es igual a
Intensidad de corriente La densidad de corriente es una medida adecuada de lo que ocurre en cada punto de un material, de si las cargas se están moviendo o no y hacia a donde lo hacen. En la mayoría de las aplicaciones, en particular en la teoría de circuitos, interesa más el efecto global del movimiento de las cargas. Supongamos que tenemos un material conductor en forma de cilindro (un cable, por ejemplo) por el cual está circulando una corriente. Nos preguntamos entonces cuanta carga atraviesa una sección del conductor en la unidad de tiempo. Esta cantidad es la intensidad de corriente definida como el flujo de la densidad de corriente través de una sección del conductor
⃗
De forma que la carga que pasa en un tiempo dt es igual a
La intensidad de corriente es una magnitud escalar con signo. El signo de la intensidad de corriente nos dice para dónde va la corriente respecto de la orientación de la superficie. Cuando se traza la superficie S, su vector normal tiene dos posibles sentidos. Si al hallar el flujo resulta una cantidad positiva quiere decir que las cargas positivas se mueven en el sentido elegido. Si la intensidad resulta negativa, quiere decir que se mueven en el sentido contrario al elegido (con las cargas negativas sería al revés).[6]
Grafica 18(Intensidad de Corriente de una Superficie S)
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La unidad de medida de la intensidad de corriente es el amperio (A), que es una de las unidades fundamentales del Sistema Internacional. Un amperio es una medida razonable para las corrientes existentes en la industria. Un aparato electrónico, como un ordenador tiene corrientes del orden de los mA. Una red eléctrica doméstica o una máquina puede tener corrientes de varios amperios. Una red de alta tensión puede llegar hasta los kA circulando por los cables. En términos del amperio, la unidad de carga, el culombio (C), se define como 1 C = 1 A·s
2.3 Campos Conservativos
⟨ |⟩
Recuerda que una integral de línea de un campo vectorial depende de dos funciones: el campo vectorial y el camino ; hay que conocer dichas funciones para poder calcular la integral. Para ello, todo lo que necesitas es obtener una primitiva, G, de la función
Teorema. Sea
continuo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
a) Para todo camino cerrado
∫ ∫
b) La integral de línea de
sean los caminos que c)
∫
, donde A es un conjunto abierto en
y
en A se verifica que
, un campo vectorial
F es independiente del camino, es decir, cualesquiera en A con los mismos puntos inicial y final se verifica
∇
F es un campo de gradiente, es decir, existe un campo escalar derivadas parciales continuas tal que
con
para todo
Si el campo F verifica alguna de estas afirmaciones, en cuyo caso las verifica todas, se dice que es un campo conser vativo (en A).[7] Otra de las formas para saber si un campo es conservativo sus derivadas cruzadas de la función sean iguales, de la siguiente manera
Todo campo vectorial
⃗
∇ ⃗
es conservativo y si solo si
Los comandos utilizados en matlab para comprobar la conservación de un campo vectorial son:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) La función ‘operadores’: Solicitando únicamente el valor del rotacional, válido solo para 3D
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La función ‘cons’: Resuelve las derivadas cruzadas de el campo, solamente en caso que de 0, el campo es conservativo, aplicable solo para 2D, presentado a continuación: function [cons]=cons(F) syms x y u=F(1);v=F(2); %realizamos la diferencia de las derivadas cruzadas de las componetnes del %vectorF r1=diff(u,y)-diff(v,x);%solo en caso que sea=0 significa que es conservativo cons=[r1];
2.3.1 Ejercicio: Verificar si son campos conservativos los siguientes vectores:
Resolución:
%definimos como simbolos a x y z syms x y z %campo vectroial en 3D F=[5*x,3*y,2*z]; %campo vectorial en 2D G=[2,7*x]; %obtenemos el rotacional de F para comprobar si es conservativo [rot]=operadores(F) rot = 10 %se obtuvo un
valor diferente de 0, por lo tanto no lo es
%a traves de la función cons verificamos si el campo de 2D es conservativo [cons]=cons(G) cons = -7 %se obtuvo un valor diferente de o, por lo tanto no es conservativo
Con esto hemos demostrado que los campos vectoriales mostrados no son conservativos
2.4 FUNCIÓN POTENCIAL Ley de conservación de la energía: si una partícula se mueve de un punto a otro en un campo vectorial de fuerza conservativo, entonces la suma de las energías potencial y cinética permanece constante, es decir, la energía total no cambia (se conserva). Dado que el potencial siempre es aplicable únicamente a campos conservativos, debemos verificar si el campo es conservativo. 21
Dado el campo
Calculamos potencial de y:
De donde
Sustituyendo potencial de y en la primera ecuación, obtenemos la función potencial. Los comandos utilizados en matlab para obtener la función potencial son:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) La función ‘Poten’: genera la función potencial de un campo conservativo, detallada a continuación: function [pot]=Potencial(F) syms x y u=F(1);v=F(2); Ix=int(u,x);%calculamos Ix g=int(v-diff(Ix,y),y);%calculamos potencial de y pot=Ix+g;
Int: Integra la función „u‟ con respecto a „n‟ Int(u,n)
2.4.1 Ejercicio: Obtener el potencial del siguiente campo vectorial: Resolución:
%definimos como simbolos a x y %introducimos el campo vectorial syms x y ,F=[exp(x)*y^2+3*x^2*y,2*y*exp(x)+x^3]; %comprobamos la conservación del sistema [cons]=cons(F) cons = 0 %dado que el campo es conservativo, calculamos la función potencial [pot]=Poten(F) %por lo tanto la función potencial es pot = y*(y*exp(x) + x^3)
22
3. INDEPENDENCIA DE TRAYECTORIA
Suponga que y son curvas suaves a trozos (que se llaman trayectorias) que tiene el mismo origen A y extremo B. Se sabe que, en general
Se puede decir que las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria. Una curva se llama cerrada si su extremo coincide con su origen si Mediante la independencia de trayectoria se puede sacar el trabajo de una función vectorial sin necesidad de conocer la curva, comprobando si es conservativo aplicando sus derivadas parciales cruzadas deben ser iguales. [8]
3.1 Ejercicio: Considere el siguiente campo vectorial de un protón
∫ ⃗ ⃗
a) ¿Se puede asegurar que el campo es conservativo? b) Dada la integral
en el cual F es el campo vectorial dado y C está
formado por 2 segmentos de línea y un cuarto de circunferencia. El primer segmento une los puntos (pi,0) y (2,5), el segundo segmento comienza en (2,5) y termina en (5pi,0), luego el arco se extiende desde éste punto hasta (0,5pi) efectúe el cálculo de la integral
Resolución: %parametrica de la primera recta %parametros de t t1=2:.001:pi; %ecuacion en 'x' y 'y' x1=t1;, y1=-4.38*t1+13.76; %parametrica de la segunda recta %parametros de t t2=2:.001:5*pi; %ecuacion en 'x' y 'y' x2=t2;, y2=-0.36*t2+5.73; %parametrica del cuarto de circunferencia %parametros de t t3=0:0.001:pi/2; %ecuacion en 'x' y 'y' x3=5*pi*cos(t3);,y3=5*pi*sin(t3); %matriz de puntos en x,y [x,y]=meshgrid(0:0.5:17); %parametrica de campo vectorial u=2*sin(2*x+y); %parametrica de campo vectorial v=sin(2*x+y); %graficar campo vectorial quiver(x,y,u,v) %mantener grafica de campo vectorial hold on %graficar las rectas y el cuarto de circunferencia plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3) 23
Gráfico:
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2 -2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Grafica 19(Interpretación grafica de un campo Vectorial no Conservativo del ejercicio 3.1)
%definimos como simbolos a x y syms x y %ingresamos el campo vectorial F F=[2*sin(2*x+y),sin(2*x+y)] F = [ 2*sin(2*x + y), sin(2*x + y)] %comprobamos si el campo es conservativo a traves de la funcion cons [cons]=cons(F) cons = 0 %punto a demostrado, el campo es conservativo %obtenemos la función potencial [pot]=Poten(F) pot = -cos(2*x + y) %dado que los puntos de las trayectorias son: (pi,0)a(2,5), (2,5)a(5pi,0)
24
%y de (5pi,0)a(0,5pi) reemplazamos los puntos resolviendo la integral y %la función potencial [-cos(2*2+5)+cos(2*pi+0)]+[-cos(2*5*pi+0)+cos(2*2+5)]+[cos(2*0+5*pi)+cos(2*5*pi+0)] ans = 2 %Resolviendo de esta manera se simplifica inmensamente el cálculo ya que %no hay que resolver tantas integrales de linea (una por cada trayectoria)
4. TEOREMA DE GREEN
La versión más elemental del teorema de Green relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada y simple en y una integral doble sobre la región acotada por la curva. Se dice que una curva cerrada y simple en está orientada positivamente cuando se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. En otras palabras, cuando recorremos la curva en el sentido que indica su vector tangente en cada punto, la región interior de queda siempre a nuestra izquierda. Observa que estamos usando un resultado, conocido como teorema de la curva de Jordan, que afirma que una curva en cerrada y simple divide al plano en dos regiones disjuntas cuya frontera común es la curva. Una de las regiones está acotada y se llama interior de y la otra se llama exterior de . Este resultado tan intuitivo es muy difícil de demostrar. Nos apoyamos en él más que nada por comodidad de lenguaje pues para lo que estamos haciendo puede evitarse su uso.
Una definición matemática más precisa de lo que se entiende por orientación positiva es la siguiente. Sea una curva suave cerrada y simple; llamemos D a la región interior de y sea un punto de . La curva tiene en dos vectores normales unitarios que son opuestos entre sí.
La siguiente gráfica 4 muestra un ejemplo de una curva cerrada simple positivamente orientada. Observa que el giro que lleva el vector tangente (en azul) al vector normal interior (en verde) es siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.
Grafica 20(Ejemplo de una curva cerrada orientada positivamente)
25
4.1 Teorema (Teorema de Green ). Sea un camino cerrado y simple en R2 que está orientado positivamente y sea D la región del plano limitada por . Sean P, Q campos escalares con derivadas parciales de primer orden continuas definidos en un abierto que contiene a D. En estas condiciones se verifica que la integral de línea del campo sobre el camino es igual a la integral doble de la
∬ ∑
función
Una aplicación del teorema de Green es para calcular áreas. Como el área de la región D viene dada por
podemos transformar esta integral doble en una integral de
línea sobre la frontera
sin más que elegir funciones P , Q tales que
Hay muchas posibilidades pero las más sencillas son
; lo que obtenemos las siguientes expresiones para el área:
; por
4.2 Teorema (Teorema de Green para dominios con agujeros ). . Sea un campo de clase definido en un abierto , curvas de Jordan en A disjuntas dos a dos tales que:
se encuentran en el interior de g. se encuentra en el exterior de para Todas las curvas , están orientadas positivamente (sentido antihorario)
Sea D la región obtenida por la intersección del interior de con el exterior de cada una de las curvas En estas hipótesis se verifica que
En particular, si el campo conservativo en un abierto que contiene a D, se verifica que
∑ 26
. Sean
es localmente
Observa que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvas tienen orientación antihoraria y por eso, en la igualdad (13), las integrales sobre las curvas interiores se restan en lugar de sumarse. La igualdad (14) es muy útil porque permite reducir el cálculo de una integral de línea de un campo conservativo sobre una curva que puede ser complicada, al cálculo de una o varias integrales sobre curvas sencillas (por ejemplo, circunferencias).
La siguiente gráfica 21 muestra un ejemplo de un dominio como el que se considera en el enunciado del teorema.
Grafica 21(Ejemplo de Teorema de Geen para dominios con Agujeros)
Naturalmente, la razón de considerar dominios con agujeros es porque se supone que en esos agujeros el campo tiene algún tipo de singularidad. Con frecuencia un agujero está producido por un punto en el que el campo se hace infinito. Los comandos utilizados en matlab para el teorema de Green son:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n)
Subs: cambia la variable de una función por otras, útil para el cambio de coordenadas Subs(f,old,new) Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la función „n‟ con respecto a „d‟ desde „a‟ hasta „b‟ int(n,d,a,b)
∮
4.2.1 Ejercicio: Hallar el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerzas en sentido contrario a las agujas del reloj
que recorre la circunferencia unitaria
Resolución:
El trabajo W, es: Green:
27
aplicando el Teorema de
〖 〗 %parametros de t t=0:.001:2*pi; %ecuacion parametrica de x x=cos(t); %ecuacion parametrica de x y=sin(t); %graficar ecuaciones x,y plot(x,y) %relacion de aspecto 'ejes iguales' axis square %rejilla activada grid on
Gráfico: 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Grafica 22(Interpretación grafica de la circunferencia del ejercicio 4.2.1 para hallar el trabajo de la partícula)
%definimos como simbolos a x y %definimos las parametricas de la trayectoria syms x y, u=exp(x)-y^3; v=cos(y)+x^3; f=diff(v,x)-diff(u,y) %calculamos el integrando f = 3*x^2 + 3*y^2 %cambio a coordenadas polares para resolver la integral doble syms r t, simplify(subs(f,{x,y},{r*cos(t),r*sin(t)})) ans = 3*r^2
28
%calculamos el trabajo como la integral doble de el integrando W=int(int(3*r^2,r,0,1),t,0,2*pi) %resultado del trabajo W =2*pi
5. INTEGRALES DE SUPERFICIE Aquí solo se consideran superficies de dos lados de modo que tenga sentido hablar de un fluido que fluye a través de la superficie de un lado a otro, como si la superficie fuese una pantalla. A demás se supone que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector normal unitario N que varía en forma continua. Siendo G tal superficie suave con dos lados, y se supone que se sumerge en un fluido con un campo vectorial continuo si es el área de una pequeña parte de G, entonces casi es constante ahí, y el volumen del fluido cruza este pedazo en la dirección del vector normal unitario N es:
Lo cual el flujo a través de G es:
⃗ ⃗
Si G es una superficie suave con dos lados, dada por z=f(x,y), donde (x,y) está en R, sea N el vector normal unitario hacia arriba. Si f tiene primeras derivadas parciales continuas y F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial continuo, entonces el flujo de F a través de G está dado por:
⃗ Comandos utilizados en matlab para obtener integrales de flujo:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la función „n‟ con respecto a „d‟ desde „a‟ hasta „b‟ int(n,d,a,b)
Subs: cambia la variable de una función por otras, útil para el cambio de coordenadas Subs(f,old,new)
29
Ejercicio en rectangulares:
5.1Ejercicio: Evaluar el flujo para el campo vectorial parte G del paraboloide a N como el vector normal hacia arriba.
a través de la que está arriba del plano xy, considerando
%grafica de parabola z=1-(x.^2)-(y.^2) ezsurf('1-(x.^2)-(y.^2)','circ') hold on %para definir los valores que va a utilizar 'x' , 'y' y 'z' [x,y,z]=meshgrid(-10:5:10,-10:5:10,-80:10:0); %se definen los vectores U , V y W u=x; v=y; w=z; %se grafica el campo vectorial quiver3(u,v,w,x,y,z) %se titula el campo , se activa la malla y se da la nomenclatura necesaria %para su interpretación axis square, grid on title('campo vectorial') xlabel('eje x') ylabel('eje y') zlabel('eje z')
Gráfico: campo vectorial
0
-20
z e j e
-40
-60
-80 10 0 -10
-10
eje y
-5
0
5
10
eje x
Grafica 23(Interpretación grafica del flujo del campo vectorial dado en el ejercicio 5.1)
Resolución: %definimos como simbolos a x y z syms x y z %trayectoria f=1-x^2-y^2; %derivada de F respecto a x fx=diff(f,x) fx = -2*x 30
%derivada de F respecto a y fy=diff(f,y) fy = -2*y %realizamos los cambio de variable necesarios para mantener el formato de %matlab u=x;,v=y;,w=z; %planteamos el integrando de la forma -Ufx-Vfy+W I=-u*fx-v*fy+w I = 2*x^2 + 2*y^2 + z %siendo: z=1-x.^2-y.^2; %el integrando se transforma en I=2*x^2+2*y^2+1-x^2-y^2 I = x^2 + y^2 + 1 %cambiamos de sistema para que sea mucho más sencillo integrar syms r t, If=simplify(subs(I,{x,y},{r*cos(t),r*sin(t)})) If = r^2 + 1 %integramos la función int(int(If*r,r,0,1),t,0,2*pi) ans = (3*pi)/2
6. TEOREMA DE DIVERGENCIA 6.1 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
Se puede derivar un campo vectorial de dos maneras, una de las cuales es una derivada escalar y la otra una vectorial.
6.1.1 Divergencia: Dado un campo vectorial
Puede ser representado por la expresión escalar: 31
∇
.Se define la divergencia de
F como el
∇
6.1.2 Rotacional: Dado un campo vectorial F(x,y,x)=u(x,y,z)i+ v(x,y,z) j+ w(x,y,z)k Puede ser representado por la expresión . Se define el rotacional de F como el vector
rot=
i
j
k
x u
y v
z w
=
w y
x,y,z
v z
x,y,z
i
u z
x,y,z
w x
x,y,z
v x
x,y,z
u y
x,y,z
Los comandos utilizados en matlab para representar un campo vectorial son:
Simplify: Trata de simplificar lo más posible la expresión que contiene Simplify(n)
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) Programa ‘operadores.m’ es necesario para obtener la divergencia y el rotacional de un vector: %divergencia y rotacional de un campo vectorial %.............................................. %datos: las coordenadas de F=[u,v,z] %.............................................. %resultados: la divergencia(div) y el rotacional (rot) %algoritmo function [div,rot]=operadores(F) syms x y z u=F(1);v=F(2);w=F(3); div=simplify(diff(u,x)+diff(v,y)+diff(w,z)); r1=diff(w,y)-diff(v,z);%primera componente del rotacional r2=diff(u,z)-diff(w,x);%segunda componente del rotacional r3=diff(v,x)-diff(u,y);%primera componente del rotacional rot=[r1,r2,r3];
6.1.3Ejemplo: Calcular el rotacional y la divergencia del campo vectorial de un electrón .
Resolución:
Definimos como símbolos a „x‟, „y‟ y „z‟ y a un vector F en función de xyz %definimos como simbolo a x y z %definimos el vector F syms x y z, F=[2,2*x,2*y]; %a traves de la función operadores obtenemos la divergencia y el rotacional [div,rot]=operadores(F) %divergencia div =0
32
%rotacional rot =[ 2, 0, 2]
∫ 6.1.4Ejercicio: Encuentre el valor exacto de
Donde C es igual a
%definimos parametros de t t=meshgrid(0:.001:2*pi); %parametrica de x x=exp(-t).*cos(4*t); %parametrica de y y=exp(-t).*sin(4*t); %parametrica de z z=exp(-t); %graficar función plot3(x,y,z) %activar rejilla grid on
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1
0.5 0.5 0
0 -0.5
-0.5
Grafica 23(Interpretación grafica de la curva parame trizada del ejercicio 6.1.4)
Resolución: %definimos como simbolo a t syms t %parametrica de la grafica en x x=exp(-t).*cos(4*t); %parametrica de la grafica en y y=exp(-t).*sin(4*t); %parametrica de la grafica en z z=exp(-t); %Integrando I=x; %diferencial de s ds=sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2) ds = (exp(-2*t) + (cos(4*t)*exp(-t) + 4*sin(4*t)*exp(-t))^2 + (4*cos(4*t)*exp(-t) - sin(4*t)*exp(-t))^2)^(1/2)
33
%simplificamos el diferencial de s para que no nos quede una expresión tan %larga simplify(ds) ans = 3*2^(1/2)*exp(-2*t)^(1/2) %asignamos el diferencial de s a una variable ds1=ans ds1 = 3*2^(1/2)*exp(-2*t)^(1/2) %realizamos la integral, simplificando el resultado de la multiplicación del integrando por el diferencial de s
s=simplify(int(I*ds1,t,0,2*pi)) s = %respuesta: (3*2^(1/2))/10 - (3*2^(1/2)*exp(-4*pi))/10
6.2 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS
⃗
Sea un campo vectorial tal que M, N y P tienen primeras derivadas parciales contínuas en un sólido Q con frontera S, si N denota el vector normal unitario, entonces, el flujo de F a través de una frontera de una región cerrada en el espacio tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre la región.
⃗ ⃗ ∭ Comandos utilizados en Matlab para la divergencia de Gauss:
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la función „n‟ con respecto a „d‟ desde „a‟ hasta „b‟ int(n,d,a,b) Programa ‘operadores.m’ es necesario para obtener la divergencia y el rotacional de un vector:
34
6.2.1 Ejercicio: Sea E la región en R3 acotada por la superficie z=x^2+y^2 y el plano
z=1, aplique el teorema de la divergencia para calcular la siguiente integral , con „S‟ orientada hacia el exterior.
∬
%grafica de parabola z=x.^2+y.^2 >> ezsurf('x.^2+y.^2','circ')
x 2+y 2
80
60
z
40
20
0 10 5
10 5
0
0
-5 y
-5 -10
-10
Grafica 24(Interpretación grafica de la curva parame trizada del ejercicio 6.1.4)
Resolución: %definimos como simbolo a x y z syms x y z %ingresamos el vector F F=[y,x,z^2]; %obtenemos la divergencia del vector F [div]=operadores(F) div = 2*z %parametrizando la superficie obtenemos: syms r t zg=r.^2; %realizamos la integral triple de la divergencia analizando con un 35
%diferencial de volumen I=int(int(int(div,z,r^2,1)*r,r,0,1),t,0,2*pi) %resultado I = (2*pi)/3
7. TEOREMA DE STOKES Sea S la superficie, C una curva cerrada suave por partes y N vector normal, F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial donde M, N y P tienen primer as derivadas parciales continuas en S y su frontera C. Si T denota el vect or tangente unitario a C, entonces: La integral de Línea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez en la orientación positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F.
⃗ ( ⃗) El teorema de Stokes relacina una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S, que es una curva en el espacio. Comandos utilizados en Matlab
Diff: Deriva la expresión „a‟ con respecto a „n‟ Diff(a,n) Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la función „n‟ con respecto a „d‟ desde „a‟ hasta „b‟ int(n,d,a,b)
Dot: Obtiene el producto punto entre „u‟ y „v‟ Dot(u,v) Programa ‘operadores.m’ es necesario para obtener la divergencia y el rotacional de un vector:
7.1 Ejercicio: Aplicar el teorema de Stokes siendo: hemisferio
Gráfica:
y N es el vector normal superior.
%limites de theta u=linspace(0.2*pi,50); %limite de phi v=linspace(0,pi,40); %matriz de grafica en 3D [U,V]=meshgrid(u,v); 36
; S es el
%rho=1 a=1; %parametrica en esfericas de hemisferio en x x=a*cos(V).*cos(U); %parametrica en esfericas de hemisferio en y y=a*cos(V).*sin(U); %parametrica en esfericas de hemisferio en z z=a*sin(V); %graficar superficie surf(x,y,z)
Grafica 25(Interpretación grafica del hemisferio parame trizado con el que se va a demostrar el teorema de Stokes ejercicio 7.1)
Resolución: %definimos como simbolo a t syms t %parametricas de la trayectoria x=cos(t);,y=sin(t);,z=0; %planteamos como vector a la trayectoria r=[cos(t),sin(t),1]; %obtenemos el diferencial dr dr=diff(r,t) dr = [ -sin(t), cos(t), 0] %en este caso nos conviene transformar de una integral doble a una simple F=[x^2,y^2,z^2]; %I es el integrando, que es el producto punto entre el campo F y el %diferencial de R I=dot(F,dr) I = sin(conj(t))^2*cos(t) - cos(conj(t))^2*sin(t) %realizamos la integral de I int(I,t,0,2*pi) %respuesta 37
ans =0
7.2 Ejercicio: Sea S la parte del paraboloide traza de S en el plano
para , sea C la Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial
Gráfica:
%grafica de z=9-x^2-y^2 ezsurf('9-x^2-y^2','circ') 2 2
9-x -y
20 0 -20 z
-40 -60 -80 10 5
10 5
0
0
-5 y
-5 -10
-10
x
Grafica 26(Interpretación grafica de la superficie parame trizada S siendo parte de un Paraboloide 7.2)
Resolución: %En este ejercicio no necesitamos obtener el unitario del vector N %ya que se simplificará con lo obtenido en dS %definimos como simbolos a x, y ,z syms x y z %eescribimos la funcion de la trayectoria g=z-9+x^2+y^2; %se obtiene el vector normal N=gradient(g,[x,y,z]) %Rotacional del campo vectorial G=[3*z,4*x,2*y]; [div, rot]=operadores(G) %obtenemos el vector normal N = 2*x 2*y 1
%obtenemos la divergencia del campo G div = 0
38
%obtenemos el rotacional del campo G rot = [ 2, 3, 4] %I, es el integrando que es el producto punto entre el vector normal y el %rotacional del campo G I=dot(N,rot) I = 4*conj(x) + 6*conj(y) + 4
8. Más Aplicaciones de electromagnetismo con implementación de la teoría (Divergencia, teorema de Gauss, Green, Stokes etc.)[9] 8.1 Aplicar la ley de Gauss en su formal integral para demostrar que un campo de
distancia inversa en coordenadas esférica, D=Aa/r donde A es una contante requiere que cada circula esférico de 1m de ancho contenga 4 coulombs de carga ¿Esto indica una distribución de carga? si es así encontrar la variación de la densidad de carga con r. Digite la función a integrar =(1/x)*x^2*sin(y) ingrese limite a inferior ): 0 ingrese limite b superior) :pi ingrese limite c inferior ): 0 ingrese limite d superior): 2*pi
F =4*pi^2 Digite la función a integrar =x*z*z^3*sin(y) ingrese limite respecto z inferior): 0 ingrese limite respecto z superior): z ingrese limite respecto y inferior): 0 ingrese limite respecto y superior): pi ingrese limite respecto x inferior): 0 ingrese limite respecto x superior): 2*pi F =(4*pi^2*z^5)/5 >> 4*((4*pi^2*z^5)/5)
39
8.2 Una densidad de carga volumétrica uniforme de 80uC/m^3 esté presente en la region 8mm> (61*pi)/1171875000000 ans =1.6353e-010 >> (164*10^-12)/(4*pi*(0.01)^2) ans = 1.3051e-007 >> (164*10^-12)/(4*pi*(0.02)^2) ans = 3.2627e-008
8.3 Un cubo está definido por
a) aplique ley de gauss para encontrar el flujo total que abandona la superficie cerrada del cubo b) Evaluar en el centro del cubo c) estime la carga total encerrada dentro del cubo.
∇
a)
Resultado usando mathlab Digite la función a integrar =2*(1.2)^2*y ingrese limite a inferior ): 1 ingrese limite b superior : 1.2 ingrese limite c inferior ): 1 ingrese limite d superior): 1.2
40
F =396/3125 >> 396/3125 ans = 0.1267 b)
∇ ∇
c)
12.85*(0.2)^3 ans = 0.1028
∇
8.4 Sea D= 5.00e^2ª mC/m^2 para
y D=0.205ª/r^2 C/m^2 para r a) Encontrar p para r=0. b) ¿Qué densidad de superficie de carga podrá ubicarse en r=0.08m para que D=0 en r>0.08m? a)
b)
Digite la función a integrar =20*z*z^2*sin(y) ingrese limite respecto z inferior ): 0 ingrese limite respecto z superior): 0.08 ingrese limite respecto y inferior): 0 ingrese limite respecto y superior): pi ingrese limite respecto x inferior): 0 ingrese limite respecto x superior): 2*pi F =(64*pi)/78125 >> (64*pi)/78125 ans = 0.0026 41
Ps= >> -((2.57)/(4*pi*(0.08)^2)) ans = -31.9553
8.5 En una región del espacio libre se encuentra el volumen 2
. a) Evaluar el lado de la integral volumétrica del teorema de la divergencia para el volumen definido aquí. b) Evaluar el lado de la integral de superficie para la figura cerrada correspondiente. a)
∇
∇
Digite la función a integrar =(8*x*y)/z^3 ingrese limite respecto inferior x): 2 ingrese limite respecto superior x): 3 ingrese limite respecto inferior y): 2 ingrese limite respecto superior y: 3 ingrese limite respecto inferior z: 2 ingrese limite respecto superior z: 3 F =125/36 >> 125/36 ans =3.4722
b)
Digite la función a integrar =-4*x*y/9 ingrese limite a inferior ): 2 ingrese limite b superior : 3 ingrese limite c inferior ): 2 ingrese limite d superior): 3 F =-25/9 >> -25/9
42
ans =-2.7778
Digite la función a integrar =-4*x*y/4 ingrese limite a inferior ): 2 ingrese limite b superior : 3 ingrese limite c inferior ): 2 ingrese limite d superior): 3 F =-25/4 >> -25/4 ans =-6.2500
-2.7778+6.2500 = 3.47
8.6 Dada la densidad de flujo D=
; utilizar dos métodos diferentes par
encontrar la carga total dentro de la región
Digite la función a integrar =-((16/r)*cos(2)*sin(1)) ingrese limite a inferior ): 1 ingrese limite b superior : 2 ingrese limite c inferior ): 1 ingrese limite d superior): 2 ans = 5.6028 - 9.5097=-3.91 C
43
∇ ∇ ∇ [ ] Digite la función a integrar =16*(cos(2*y)*cos(y)-2*sin(2*y)*sin(y)) ingrese limite respecto z inferior ): 1 ingrese limite respecto z superior): 2 ingrese limite respecto y inferior ): 1 ingrese limite respecto y superior): 2 ingrese limite respecto x inferior ): 1 ingrese limite respecto x superior): 2 F= 8*sin(1) - 8*sin(2) - 8*sin(3) + 8*sin(6) >> 8*sin(1) - 8*sin(2) - 8*sin(3) + 8*sin(6) ans = -3.9069
9. APLICACIONES INTEGRALES DE LINEA 9.1 Calcular el valor de
∫
para G=2y con A(1,-1,2) y P(2,1,2) utilizando la
trayectoria: a) segmentos de línea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a B(1,1,2) a P(2,1,2); b)segmentos de línea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a C(2,-1,2) a P(2,1,2).
a) El cambio en x ocurre cuando y=1 int(2,x,1,2) ans = 44
2 b) El cambio en x ocurrido cuando y=-1 int(-2,x,1,2) ans =2 9.2 Determine el trabajo realizado en llevar una carga de 2-uC de (2,1,-1) a (8,2,-1) en el campo , a lo largo de a) la parábola , b) la hipérbola z=8/(7-3y); c) la línea recta x=6y-4.
int(sqrt(x/2),x,2,8)+int(2*y^2,y,1,2) ans =14*-2^(-6)=28uJ La hipérbola x=8/(7-3y), y=7/3-8/3x entonces el trabajo es:
* +
int((7/3)-(8/3*x),x,2,8)+int(8/(7-3*y),y,1,2) ans =(16*log(2))/3 - 66 >> (16*log(2))/3 - 66*2^-6 ans = 28 uJ.
45
10. CODIGOS DE LOS PROGRAMAS DE RESOLUCION ECHOS EN MATLAB 10.1 Código Doble Integral Usado clear%comando que limpia la ventana clc% syms x y ;%variables de sistema , en este caso correponde a r, ? para integrarlas f=input('Programa de la Doble Integral dydx');%mensaje de ingreso de la funcion f=input ('Digite la función a integrar con variables x y y =') F=inline(char(f));%transformada a variable char la funcion ingresada a= input('ingrese el límite superior a de la integral interna): ');%variable a b=input('ingrese el límite inferior b de la integral interna: ');%variable b c= input('ingrese el límite superior c de la integral externa): ');%variable c d= input ('ingrese el límite inferior d de la integral externa: ');%variable d input ('Esta es la respuesta') F=int(int(f,y,a,b),x,c,d)%resolucion de la doble integral dydx?.
10.2 Código de la Triple Integral % comando que limpia la ventana % syms x y z;%variables de sistema , en este caso correponde a x, y para integrarlas f=input('Programa de Triple integral dzdydx');%mensaje de ingreso de la funcion f=input('Digite la función a integrar con variables x, y, z =');%mensaje de ingreso de la funcion F=inline(char(f));%transformada a variable char la funcion ingresada a= input('ingrese limite inferior z de la integral interna: ');% b=input('ingrese limite superior z de la integral interna: ');% c= input('ingrese limite inferior y de la integral interna): ');% d= input ('ingrese limite superior y de la integral interna');% e=input ('ingrese limite inferior x de la integral externa '); h=input ('ingrese limite superior x de la integral externa: '); i=input('Esta es la respuesta'); F=int(int(int((f),z,a,b),y,c,d),x,e,h)%resolucion de la triple integral dzdydx.
10.3 Código de la Triple Integral Cilíndrica syms r y z;%variables de sistema , en este caso correponde a x, y para integrarlas f=input('Programa de Triple integral cilindrica dzdtdy');%mensaje de f=input('Digite la función a integrar =');%mensaje de ingreso de la funcion 46
