REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA UNEFA – NÚCLEO YARACUY EXTENSIÓN BRUZUAL
TRABAJO DE ESTRUCTURAS I
Alumnos: Andrés Mendoza CI: 19.061.073 Wilver castillo CI: 18.759.305
San Felipe, 01 DE septiembre 2011.
Método de los desplazamientos
En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente el método de los nudos. El método de los desplazamientos se aplica para analizar estructuras formadas por barras que pueden ser lineales ò especiales (superestructuras). También para resolver medios continuos por elementos finitos, en este caso la solución del sistema de ecuaciones tiene más importancia ya que el número de ecuaciones a resolver estará de acuerdo con el grado de exactitud que se desea obtener. Este método que también es conocido como método de la rigidez y que puede ser aplicado en diversas areas estructucturales en forma similares o en algunos caso como sea mas conveniente su aplicación una de las mas comunes se pudiera decir que es la del método matricial de la rigidez. El cual consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:
Donde:
son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las
fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura;
son las reacciones
hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de la estructura.
1) En que consiste
Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son: a) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es decir, todo el material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, que resiste y el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es decir, s = E (Ley de Hooke), b) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeños de tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente,
c) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura
sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente, d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer orden como son: Las deformaciones internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial y torsión así como la existencia de segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta o no.
Procedimiento de Análisis
En esta metodología se señala un procedimiento para tomar en cuenta si se desea alguna de las tres o todas las consideraciones siguientes: las deformaciones debidas al corte, los segmentos rígidos en los extremos de los miembros, así como también que los miembros puedan ser de sección variable a lo largo de su eje recto. Esto se logra introduciendo sus efectos en la determinación de las constantes elásticas Ci, Cj y C. Otros efectos como el de torsión puede incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. La convención de signos propuesta por Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es la siguiente:
Esto no quiere decir que no podemos usar la convención de sentido contrario como es el de la convención tradicional de positivos para momentos, Giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido anti horario. Esto no altera las expresiones deducidas ya que esto equivaldría hacer el
mismo procedimiento con sentidos contrarios a los indicados en las deducciones, es decir:
Estas se definen al aplicar el método llamado de los desplazamientos o de las rotaciones para un miembro cualquiera en una estructura plana, tomando en cuenta las cuatro hipótesis señaladas anteriormente. Este método es un método de flexibilidad por que determina factores de flexibilidad que son desplazamientos producidos por fuerzas unitarias como veremos más adelante. Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la estructura un sistema de cargas estará en una posición inicial y después de aplicar este sistema de cargas pasa a una posición deformada como se indica a continuación en la figura siguiente donde se señalan las deformaciones finales denominadas por θi, rotación en el extremo i, θj, rotación en el
extremo j y i j, rotación del miembro como si fuera cuerpo rígido:
Posiciones iniciales y deformadas de un miembro en una estructura.
De acuerdo al principio de las deformaciones pequeñas, se aplica que: la longitud del miembro no cambia y los ángulos por lo tanto coinciden con el seno o la tangente del mismo, esto es: i j = (yj - yi )/L = Δ y / L. = Giro del miembro como si fuera cuerpo rígido.
Los pasos a seguir para resolver una estructura dilemáticamente determinada por el método de los desplazamientos es el siguiente:
Seleccionar un sistema Q – q completa, y un sistema P –p que sea apropiado.
Determinar la matriz A tal que p= a.q
Calcular la matriz de rigidez de la estructura.
Obtener el vector de las cargas generalizadas Q.
Resolver el sistema de ecuaciones Q= Kq y encontrar el vector que contiene a los desplazamientos y giros q.
Utilizando la matriz A determinada en el segundo paso y el vector q encontrado en el paso anterior calcular las deformaciones para cada uno de los elementos p para lo cual se multiplica la matriz de compatibilidad de deformaciones por el vector de coordenadas generalizadas Aq.
Calcular las cargas internas en los elementos P utilizando la relación P=kp. Donde k es la matriz de rigidez del elemento. Para obtener las fuerzas y momentos finales de la estructura, a los valores obtenidos en el paso anterior se debe sumar los correspondientes al problema primario. Por lo tanto la solución total es igual a la solución del problema primario más la solución del problema complementario.
2) Como se define la indeterminación geométrica y los grados de libertad:
El método que plantearemos en este fragmento es el de la rigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos. En cualquier método que se logre plantear se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y
desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el número de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden. Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad. Grados De Libertad:
Los grados de libertad corresponden a las posibles formas de moverse que tiene una estructura, con ellos se puede describir la figura deformada de una estructura. Estos se miden en los puntos de unión de elementos (nudos) o en los apoyos.
En apoyos sabemos determinar cuando un grado de libertad es libre o restringido, en nudos también podemos identificar los grados de libertad libres. Para una estructura completa podemos contar los grados de libertad libres identificando los de los apoyos y después los de los nudos:
Esta estructura bidimensional tiene 7 grados de libertad libres, si conocemos los desplazamientos en cada una de sus direcciones podemos determinar la deformada de toda la estructura en función de estos desplazamientos. Note que ellos constituyen los desplazamientos de extremo de los elementos.
Esta estructura tiene 5 grados de libertad libres.
3) Definición de las restricciones en los miembros: Rigidez axial infinita
La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:
Rigidez flexional infinita
La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:
Por otra parte tenemos también Rigidez flexional
Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:
Donde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y ν coeficiente de Poisson
del material de la placa.
4) Coeficientes de rigidez
Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.
El comportamiento elástico de una barra sometida a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de: La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla.
El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra
de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor Módulo De Young (E ).
La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricada del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.
5) como se formula el método de la rotación y los procedimientos
Existen dos métodos de rotaciones el método de rotaciones ortogonales y el método de rotaciones oblicuas. Estos métodos se fundamentan en el principio de la estructura simple y en ninguno de ellos la rotación afecta a la bondad de ajuste de la solución factorial, pues aunque cambie la matriz factorial, las comunalidades permanecen inalteradas. Sin embargo, esta puede cambiar dependiendo del método seleccionado.
6) demostración del método en un sistema plano viga o pórtico Desarrollo del método de los desplazamientos.
En la figura se muestra un pórtico bien empotrado a dos aguas sometido a una serie de cargas que actúan sobre algunos nudos y barras.
Situación real de cargas.
Estado de carga 1
Cargas y reacciones de empotramiento.
Considera que los nudos no giran ni se transladan. En este caso las barras cargadas se suponen empotradas en sus extremos y, por tanto, sometidas a las cargas y a las reacciones de los empotramientos supuestos. De esta manera se determinan las solicitaciones de las barras, siendo nulos los desplazamientos en este estado de carga 1. Estado de carga 2
Considera las cargas inicialmente aplicadas sobre los nudos, a las que hay que añadir las acciones de empotramiento –Fe y –Me, iguales y de
sentido contrario a las reacciones de empotramiento calculadas en el estado de carga 1 Superponiendo ambos estados de carga se obtiene el sistema de cargas P ai que originan los desplazamientos de los nudos
Cargas sobre los nudos y acciones de empotramiento.
Reacciones de Empotramiento.
Desplazamientos y solicitaciones.
Los desplazamientos de los nudos y las solicitaciones en los extremos de las barras en el estado de carga real se obtienen sumando las correspondientes a los estados de carga 1 y 2. Estado de carga 1.
En este estado de carga los desplazamientos de los nudos son nulos, pues se parte de la hipótesis de que tienen impedido el giro y el desplazamiento longitudinal y transversal.
Al considerar las barras empotradas en sus extremos se calculan las reacciones de empotramiento de todas las barras cargadas. Estas reacciones en una barra cargada 1-2, referidas a las coordenadas locales de la barra, se representan por los vectores.
Las reacciones de empotramiento constituyen las únicas solicitaciones de extremo del estado de carga 1. Estado de carga 2.
Pre multiplicando los anteriores vectores de reacciones de empotramiento por la matriz de rotación [R] se obtienen los vectores de reacciones de empotramiento en coordenadas globales.
Si en un nudo j del pórtico concurren dos barras cargadas ij, ik, la reacción que ejerce el nudo j sobre esas barras es:
En el estado de carga 2, las cargas que actúan sobre los nudos libres {Pa}G son la suma de las cargas directamente aplicadas en los nudos {Pad}G y de las acciones de empotramiento {Ae}G, es decir:
O sea:
Para este estado de carga, la ecuación matricial del pórtico es:
Siendo [K] la matriz de rigidez del pórtico estudiada en el apartado (3.7). De esta ecuación matricial se deducen los desplazamientos de los nudos en el estado de carga real. Las solicitaciones de extremo en este estado de carga son:
Estado de carga real.
Al ser nulos los desplazamientos de los nudos en el estado de carga 1, los desplazamientos {d 1}G hallados en el estado de carga 2 son los desplazamientos de los nudos en el estado de carga real. Asimismo, sumando las solicitaciones de extremo correspondientes a los estados de carga 1 y 2 se obtienen las solicitaciones de extremo en el estado de carga real.
O más brevemente. .
7) Análisis de marco sin desplazamiento y con desplazamiento lateral.
Análisis de marco sin desplazamiento
Un marco no c desplazara hacia la derecha o a la izquierda si esta apropiadamente restringido. Tampoco se tendrán desplazamientos laterales si el marco es simétrico en geometría y cargas. En ambos casos el termino ψ en las ecuaciones pendiente desviación es
igual a cero ya que los nudos no tienen el correspondiente desplazamiento entre si.
Análisis de marco con desplazamiento
Un marco se moverá lateralmente cuando este o la carga que soporta sean asimétricos Considere el maco mostrado Aquí la (P) ocasiona momentos desiguales en (MB) y (MC) en los nudos (B) Y (C) respectivamente. (MB) tiende a desplazase en el nudo (B) hacia la derecha mientras que (MC) tiende a desplazar nudo (C) hacia la izquierda. Como (MB) es mayor que (MC), el resultado neto es un desplazamiento lateral ˄ de ambos nudos B y (C) hacia la derecha, como
esta ilustrada en la figura. Al aplicar la ecuación de pendiente desviación a cada columna de este marco debemos entonces considerar rotación ψ (ya que ψ=˄/L) de la columna como incógnitas en la ecuación. En consecuencia debe incluirse una ecuación adicional de equilibrio para la solución
