F ac acul ul tad de I nge ngeni ni er i a E scuel cuela a A cade cademi mi co Pr of ofe esi onal de I n ge gen n i er ía M ecán i ca
- - - T r ans ansff er en ci cia a de de Col Color or - - - “Análisis de Aletas de Sección Transversal Transversal Variable”
Alumno: E dgar dgard d F r eddy Polo Pol o Gar G arcí cía Profesor: I ng ng.. El i Gua Guayyan H . Ciclo: VII
2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica
Aletas De Sección Transversal Variable: 1. Aleta A
Una aleta de sección transversal variable, dada por la función , donde y representa la mitad del espesor de la aleta en función de x, y C es una constante. Además, es una aleta esbelta, talque que el ancho w es mucho más grande que el espesor de esta. Para el valor de x igual a L (en la base de la aleta) se tiene que la temperatura es T b, y el espesor de la aleta es 2b. Determinar la solución a la ecuación diferencial de la ateta, y obtener la distribución de temperaturas y el calor disipado por la aleta.
y
T
w ∞
h 1/2
y=cx
Tb 2b
x
Figura 1 aleta recta de sección transversal variable
Hipótesis: -
Material homogéneo, isotrópico y opaco. Propiedades físicas constantes y uniformes en toda la aleta. Flujo de calor unidimensional (Dirección x). Sin fuentes internas de calor. Estado estable. T > T(x), tal que T es la temperatura del fluido que rodea a la aleta es constante sobre toda la aleta, y T (x) es la temperatura es la aleta. La temperatura en la base de la aleta es uniforme. Dado que w>>2b, el perímetro de la aleta es aproximadamente 2w. ∞
∞
Transferencia de Calor
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Desarrollo: Entonces, la ecuación diferencial de la aleta:
( )
Donde: h: es coeficiente de transferencia de calor por convección.
√
√
√
Y realizando un cambio de variable
Remplazando
, tenemos:
√ ,
No tiene la forma de la ecuación de Bessel modificada, pero utilizando un método de solución, para obtener la ecuación deseada. *Ecuaciones Reducibles a Ecuación de Bessel : Muchas ecuaciones que se encuentran en la práctica son resolubles en términos de la funciones de Bessel aunque no tienen, en primera instancia, la forma de la ecuación de Bessel ( x 2y’’ + xy’ + ( x 2 - v 2) y = 0). Para identificar muchas de estas ecuaciones, el resultado siguiente es especialmente útil:
Se reduce a la ecuación de Bessel
Mediante el cambio
√ Donde
Transferencia de Calor
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Es decir, la solución vendría dada por
⁄√ ⁄ * √ √+ Si b<0, el argumento de u seria un imaginario. En este caso, la solución u(t) vendría dada como combinación de las funciones de Bessel modificadas, de modo que la solución sería:
⁄ * √ √+ * Extraído de: Mé to do s Matem átic os Av anzado s Para Cient ífic os e In gen iero s/ Santos Bravo Yuste Entonces, para nuestro caso es:
√
√ √ √ √
Multiplicando a todo por
, tenemos:
Ahora que tiene la forma de ecuación reducible a ecuación de Bessel, identificamos las constantes:
Entonces:
Entonces la solución es:
[ ]
**Esta solución es obtenida utilizando el método de transformación dado en el libro: Métodos Matemáticos Avanzados Para Científicos e I ngenieros. ** Ahora utilizamos las condiciones de frontera en la ecuación (3):
Transferencia de Calor
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a) Para x=L, entonces T=Tb Realizando el cambio de variable tenemos:
[ ]
b) Para x=0, entonces
, y remplazando en (3)
. Para esta aleta su extremo se encuentra
térmicamente aislado, porque las pérdidas de calor son muy pequeñas o despreciables ya que tiene muy poca área de salida (Aleta Caso 3). Derivando (3) tenemos:
[ ] *Propiedades de La Función De Bessel: Las propiedades relacionadas con la función de Bessel son
() ()() () ()() Entonces:
Siendo x=0, tenemos:
Pero de la grafica,
Transferencia de Calor
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Figura 2 comportamiento de las funciones Bessel (Iv, K v)
Notamos que la función K v(0) tiende a infinito, pero eso no es físicamente posible, ya que las temperaturas con magnitudes finitas, entonces C 2=0 Entonces, la expresión (3) queda dada:
[ ]
Entonces la distribución de temperaturas es:
[ ] [ ]
Que gráficamente, la noción física de cómo va cambiando la temperatura conforme aumenta el valor de x (mientras más se acerca a la base de la aleta).
Figura 3 grafica no a escala
Ahora, para el flujo de calor, conocemos:
̇ Transferencia de Calor
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Pero para nuestro caso el flujo de calor sigue la dirección negativa de x, por lo cual queda:
̇ Entonces,
̇ √ [ ]
Mientras que la eficiencia de la aleta es:
̇ √ [ ]
Comentario: En este caso, la distribución de temperaturas pudo ser modelada mediante las ecuaciones de Bessel, aunque de orden fraccionario, lo cual necesito un estudio del comportamiento de estas funciones. Al momento de solucionar, se utilizo la implicación física de que la temperatura es un valor finito, por lo cual el valor de la constante C 2, necesariamente tenía que ser cero, para cumplir con este hecho real.
Además, la grafica de , nos da una idea de cómo va cambiando la temperatura en la aleta dependiendo de su posición.
Transferencia de Calor
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2. Aleta B Una aleta de sección transversal variable, dada por la función , donde y representa la mitad del espesor de la aleta en función de x, y C es una constante. Además, es una aleta esbelta, talque que el ancho w es mucho más grande que el espesor de esta. Para el valor de x igual a L (en la base de la aleta) se tiene que la temperatura es T b, y el espesor de la aleta es 2b. Determinar la solución a la ecuación diferencial de la ateta, y obtener la distribución de temperaturas y el calor disipado por la aleta.
y
w T
∞
h
y=cx
2
Tb
2b
x
Figura 4 aleta recta de sección transversal variable
Hipótesis: -
Material homogéneo, isotrópico y opaco. Propiedades físicas constantes y uniformes en toda la aleta. Flujo de calor unidimensional (Dirección x). Sin fuentes internas de calor. Estado estable. T > T(x), tal que T es la temperatura del fluido que rodea a la aleta es constante sobre toda la aleta, y T (x) es la temperatura es la aleta. La temperatura en la base de la aleta es uniforme. Dado que w>>2b, el perímetro de la aleta es aproximadamente 2w. ∞
∞
Transferencia de Calor
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Desarrollo: Entonces, la ecuación diferencial de la aleta:
( )
Donde: h: es coeficiente de transferencia de calor por convección.
Y realizando un cambio de variable
Multiplicando a toda la expresión por
Remplazando
, tenemos:
, tenemos:
,
Se puede escribir de la forma:
Para que la derivada tenga esa forma, la forma de la función teta de x, puede tener la forma:
Entonces, remplazando en (10) tenemos:
Transferencia de Calor
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Simplificando
Como vemos tiene la forma de una ecuación cuadrática, entonces resolvemos utilizando la ecuación general:
Donde
√
Tenemos:
√ Entonces:
Entonces, la solución es:
Utilizando las condiciones de frontera tenemos: a) Para x=L, entonces T=Tb Realizando el cambio de variable tenemos:
√ √
b) Para x=0, entonces
, y remplazando en (11)
. Para esta aleta su extremo se encuentra
térmicamente aislado, porque las pérdidas de calor son muy pequeñas o despreciables ya que tiene muy poca área de salida (Aleta Caso 3). Derivando (11) tenemos:
(√) (√) (√) (√) Transferencia de Calor
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En este caso, tenemos en el lado derecho x con exponente negativo, que al ser x cero, esto sería muy grande, pero físicamente no sería posible, tener una temperatura tan grande, por lo cual es necesario que .
Finalmente, la distribución de temperaturas es, con
:
Que gráficamente, la noción física de cómo va cambiando la temperatura conforme aumenta el valor de x (mientras más se acerca a la base de la aleta).
Figura 5 grafica no a escala
Ahora, para el flujo de calor, conocemos:
̇ Pero para nuestro caso el flujo de calor sigue la dirección negativa de x, por lo cual queda:
̇ ̇ ̇
En la grafica que relaciona con el valor de x, nos muestra claramente que cuanto más se acerca al extremo de la aleta (área mínima) la transferencia tiende a cero, y que alcanza su máximo valor en la base.
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̇
Figura 6 grafica no a escala
̇
Mientras que la eficiencia está dada por:
̇ [ ] Comentario: En este caso, la distribución de temperaturas pudo ser modelada una ecuación con dos raíces, obtenidas utilizando la ecuación general, para solucionar la ecuación de segundo grado. Al momento de solucionar, se utilizo la implicación física de que la temperatura es un valor finito, por lo cual el valor de la constante C 2, necesariamente tenía que ser cero, para no tener una incoherencia con la realidad. Además de las graficas, podemos tener una idea física de cómo va cambiando la temperatura de punto a punto en la aleta, según se va acercando a la base, y también como es el flujo de calor desde el extremo con área transversal mínima, hasta el área máxima, que equivale a la base de la aleta.
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