Texto Teor_a de Decisiones (1)_2

Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

TEORÍA

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DE DECISIONES

INGENIERÍA DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA



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DE DECISIONES

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TEORÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CARACAS - VENEZUELA



Universidad Nacional Abierta Apartado Postal N° 2096 Caracas 1.010 A, Carmelitas, Venezuela Copyright

@ UNA

1993

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio gráfico, audiovisual o computarizado, sin previa autorización escrita.

CAV Teoría de decisiones i (María Luisa Pana de Carrera, Enzo Pittari Paolino, Pedro Carrera Brano). - Caracas : UNA, 1993. 366 p. : U. ; 30 cm. "Estudios Profesionales IV" En la cubierta : Ingeniería de sistemas.

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HD69 D4T4 1993

1982

Primera reimpresión 1992

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Primera edición

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L Teoría de decisiones. 2. Toma de decisiones. 3. Educación a distancia -- Módulos de estudio. I. Parra de Carrera, María Luisa. II. Pittari Paolino, Enzo. III. Carrera Brano, Pedro. IV. Universidad Nacional Abierta (Caracas).

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ISBN 980-236-446-0

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Segunda reimpresión, 1993

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Registro de Publicaciones de la Universidad Nacional Abierta N° UNA-EP4-82-0103

Diseño de la portada: Valentina Carrosquel U.



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TEORÍA DE DECISIONES

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

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ESTUDIOS PROFESIONALES IV

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María Luisa Pana de Carrera, MC., Ing Enzo Pittari Pacuno, MC., Ing Pedro Caneca Brano, MC., Ing

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ESPECIALISTA EN EVALUACIÓN

Beatriz Tancredi, Lie. UNA DISEÑO 1% INSTRUCCIÓN Ramón Escontreia, Lie. UNA REVISIÓN DE CONTENIDOS

UbaWo García Palomares, PHD, USB María A. Pérez de Ovalles, Ing UNA COORDINADOR DE INGENIERÍA DE SISTEMA Gustavo A. Márquez M., Ing UNA



ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

11

MODULO I; FUNDAMENTOS Y ELEMENTOS BÁSICOS

13

Objetm*

13

Introducción

13

Unidad 1: El Análisis de Decisiones, Importancia y Delimitación . .

15

Autoevaluación

25

Unidad 2: Conceptos Básicos de Probabilidades

33

Autoevaluación

41

Unidad 3: Información y Asignación de Probabilidades

69

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Unidad 4: Metodología de Asignación de Probabilidades

61

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Autoevaluación

47

87

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Autoevaluación Unidad 5: Arboles de Decisión

123

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Autoevaluación

93

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MODULO II: LAS PREFERENCIAS DEL DECISOR Y SU ACTITUD EL RIESGO

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139 139

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Objetivos

141

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Introducción

143

Autoevaluación

169

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Unidad 6; Las Preferencias del Decisor

179

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Unidad 7: La Actitud del Decisor ante el Riesgo Autoevaluación

205

Unidad 8: Criterios de Decisión

217

Autoevaluación

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235

Unidad 9: El Valor de la Información

245

Autoevaluación

267

MODULO Oí: METODOLOGÍA DEL ANÁLISIS DE DECISIONES > . .

283

Objetivos

283

Introducción

283

Unidad 10: El Ciclo y las Fases del Análisis de Decisiones

285

Autoevaluación

»^.............


..

337


INTRODUCCIÓN El propósito fundamental de este Curso es presentar una metodología para el análisis de problemas de decisión en condiciones de incertidumbre.

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Aunque tradkionalmente se ha utilizado la expresión Teoría de Decisiones para designar este campo del conocimiento, hoy en día se prefiere usar el término Análisis de Decisiones para establecer una diferencia entre la Teoría de Decisiones Aplicada y la Teoría de Decisiones Clásica o Pura, que se ha dedicado, como su nombre indica y como posteriormente explicaremos, al estudio de problemas teóricos y de difícil aplicación a situaciones reales. En base a esta aclaratoria preferimos utilizaba lo largo de este Curso, el término Análisis de Decisiones significando con ello que estamos interesados en Ciencia Aplicada y no en Ciencia Pura.

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La metodología del Análisis de Decisiones ataca con éxito el tipo de problemas que las personas que toman decisiones enfrentan cada día. problemas que se caracterizan por la incertidumbre de las variables involucradas, por la poca información disponible, por el monto de los recursos en juego y por su trascendencia e impacto.

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Todo esto indica la necesidad que tienen las organizaciones modernas de disponer de un instrumento o metodología la cual facilite el proceso de tomar decisiones. No es la intención del Curso presentar una teoría descriptiva del comportamiento real de una persona que toma decisiones, ante un problema o situación de decisiones sino que por el contrario, el objetivo es presentar una teoría normativa de lo que un individuo normal, enfrentado con un problema de decisiones, deberá hacer para seleccionar un curso de acción que sea consistente con las convicciones y preferencias suyas o de su organización. La metodología expuesta en este texto es producto del estudio, recopilación y selección de material existente sobre el tema, resaltando y adoptando lo que a juicio de los autores constituye lo más relevante, práctico e importante para un Curso de esta naturaleza. "El texto ha sido dividido en tres módulos. En los Módulos I y II se proporcionan al alumno los conocimientos básicos necesarios y se le prepara para el manejo de la metodología del Análisis de Decisiones. En el Módulo m se presenta la metodología del Análisis de Decisiones utilizando e integrando los conocimientos y las técnicas adquiridas en los Módulos I y II, 11 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


ODULO I

ANÁLISIS DE DECISIONES FUNDAMENTOS Y ELEMENTOS BÁSICOS

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Lista de unidades

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Unidad 1. El Análisis de Decisiones, importancia y delimitación.

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Unidad 2. Conceptos básicos de Probabilidad.

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Unidad 3. Información y asignación de probabilidades.

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Unidad 4. Metodología de asignación de probabilidades.

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Unidad 5. Arboles de decisión.

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Objetivos

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Al finalizar el estudio del Módulo I, el estudiante deberá estar en capacidad

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de:

Distinguir un problema de decisiones

—

Identificar los elementos de un problema de decisiones

—

Estructurar y evaluar árboles de decisiones.

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—

Introducción Antes de iniciar el estudio de técnicas y procedimientos para estructurar y resolver problemas de decisiones, es necesario comprender qué se entiende por una situación o problema de decisiones, examinar los elementos que conforman un problema de decisiones y distinguir los tipos de situaciones o problemas de decisión. Habiendo realizado estoa estaremos en capacidad de pasar a estudiar el primer instrumento básico para el análisis de un problema de decisiones, como es la Teoría de las Probabilidades que prepara al alumno para la estructuración del problema de decisión. Finalmente, se introduce el manejo del árbol de decisiones que constituye el instrumento fundamental para estructurar un problema de decisiones. 13 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


actitud ante el riesgo de ia persona que toma las decisiones. El instrumento básico para cumplir este objetivo es la Teona de la Utilidad/ Utilizando estos instrumentos el Análisis de Decisiones desarrolla un procedimiento, llamado Ciclo del Análisis de Decisiones, que en tres etapas o fases permite conducir el análisis de un problema de decisiones. La capacidad para interpretar y cuantiñcar factores.tan subjetivos como las preferencias y la actitud ahTé"eTriesgo, es lo que ha hecho del Análisis de Decisiones una metodología tan exitosa.

1.2. ORIGEN DEL ANÁLISIS DE DECISIONES

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Tal como hemos mencionado anteriormente el Análisis de_J)ecisiones constituye el último logro de una larga cadena de avances en el desarrpUo_de_metodologías y procedimientos, FoT cualesjhan'sürgicíb para el estudio del problema general de toma de decisiones y asignación de recursos.

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Veamos en qué forma se produjo esta evolución y a partir de cuáles ciencias.

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La primera actividad científica organizada para el análisis de los procesos de la tomáHe decisiones fue la Investigación de Operaciones. Esta se desarrolló por la aplicación de métodos científicos para la solución de problemas militares durante la Segunda Guerra Mundial. Finalizada ésta se busco la aplicación de los procedimientos de la Investigación de Operaciones a problemas civiles, especialmente á los de_tip£t--gerencjjíl. La transición de la aplicación de la Investigación de Operaciones de problemas militares a problemas civiles mostró sus limitaciones. En efecto, el paso al medio civil confirmó la utilidad de la Investigación de Operaciones en problemas determinísticos y repetitivos, característicos de los niveles gerenciales medios de las organizaciones, como son control de inventarios, control de producción, planificación de operaciones de transporte y distribución. Sin embargo, y debido a la misma naturaleza de los problemas de alta gerencia, raramente pudo emplearse la Investigación de Operaciones para resolver tales problemas; la razón de esas limitaciones es que la Investigación de Operaciones carecía de las herramientas para manejar adecuadamente los factores que caracterizan los problemas típicos de la alta gerencia, como son la incertidumbre acerca de las variables involucradas, la insuficiencia o dispersión de la información, las preferencias de las personas que toman las decisiones y sus actitudes ante el riesgo. Posteriormente, a partir de los años 50, se desarrollaron nuevas disciplinas relacionadas con los problemas de toma de decisiones; una de éstas es la conocida como Ciencia Gerencial, la cual se desarrolló como respuesta a la preocupación por los problemas que la investigación de Operaciones no había podido resolver. Desafortunadamente, este nuevo campo creció enfatizando más el aspecto teórico que las aplicaciones prácticas; de tal manera que se ha considerado que las Ciencias Gerenciales han mostrado más interés en aquellos problemas sujetos a un complejo tratamiento matemático, que a problemas prácticos y reales, los cuales por la carencia de instrumentos adecuados resultaban de difícil cuantificación. Igualmente por estos años se desarrolló el campo conocido como Teoría de Decisiones, que se ocupaba de definir el comportamiento racionalSéla persona que toma decisiones ante una situación incierta. Sin embargo, este campo proveía una teoría para decisiones de estructura sencilla y ciertamente muy lejos de las situaciones reales, complejas y típicas de las organizaciones de hoy. 17 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Paralelamente y gracias al advenimiento del computador, hemos presenciado también el desarrollo del campo conocido como Análisis de Sistemas, que provee ía metodología para el tratamiento y modelaje de las estructuras complejas y dinámicas de los sistemas modernos. En la búsqueda de una solución integral al problema de toma de decisiones, durante la década del 60 se desarrolló la nueva disciplina del Análisis de Decisiones, ía cual nació para llenar los vacíos dejados por las otras ciencias que estudiaron el proceso de tomar decisiones.

1.3. CAMPO DE ACCIÓN DEL ANÁLISIS DE DECISIONES El campo de acción del Análisis de Decisiones abarca la Industria, la Banca, el Comercio y el Gobierno.

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El grado de complejidad de los problemas tratados cubre un amplio rango, pudiendo ser tan sencillo como el flujo de caja asociado a un proyecto, hasta el modelo macroeconómico de un país.

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A continuación indicaremos algunos de los problemas donde el Análisis de Decisiones se ha aplicado exitosamente:

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1. Introducción de nuevos productos.

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3. Presupuesto de inversiones.

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2. Planificación de estrategias de mercado

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4. Portafolio de inversiones.

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5. Exploración y explotación de recursos naturales no renovables.

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6. Desarrollo de nuevas fuentes energéticas.

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7. Planificación Social. 8. impacto Ecológico de Desarrollos Industriales. La figura No. 1-1 maestra los problemas típicos de cada área o campo de acción, en base a la lista anterior. PROBLEMA ¡ 3

4

5

X

X

X

X

X

X

X

X

X

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ÁREA

1

Industria

X

Barca Comercio Gobierno

2

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6

7

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Fig. 1-1 Campo de Acción del Análisis de Decisiones

18 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

X

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EL ANÁLISIS DE DECISIONES IMPORTANCIA Y DELIMITACIÓN

Al finalizar el estudio" de esta Unidad usted deberá estar en capacidad de: Identificar la importancia del Análisis de Decisiones y delimitar su campo de acción.

2)

Distinguir los conceptos de Buena Decisión y Buen Resultado.

3)

Distinguir entre situaciones o problemas de decisión bajo certeza y bajo incertidumbre.

4)

Dada una situación de decisiones en condiciones de ineertidumbre, identificar los elementos que conforman el problema de decisiones.

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ESQUEMA DE CONTENIDO

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1.2. Origen del Análisis de Decisiones.

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1.1. Importancia del Análisis de Decisiones

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1.3. Campo de Acción del Análisis de Decisiones

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1.4. Definición de Decisión

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Eí Decisor Las Alternativas Los Estados de la Naturaleza. Los Resultados Ejemplo

20 20 20 21 21

1.6. Elementos de un Problema de Decisiones 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5.

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1.5. Distinción entre Buenas Decisiones y Buenos Resultados

1.7. Clasificación de las Situaciones o Problemas de Decisión 1.7.1. Situaciones o Problemas de Decisión en Condiciones de Certeza 1.7.2. Situaciones o Problemas de Decisión en Condiciones de Ineertidumbre Autoevaluacíón...........

,.....„

Solución de la Autoevaluación * , , . * . , . „ , , _ „ , _ . , „ „


22 22 23 25 29


1.1. IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS DE DECISIONES

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Tornar decisiones es una actividad de cada día, cuando escogemos qué ruta seguirjpara_ir_al trabajo e¡tamos, tomando una decisión; lo mismo hacemos cuando seleccionamos cuál ropa usar o cual película vamos a ver. Estas decisiones se toman sin mayores complicaciones, sin ijiucho esfuerzo y sin profundizar demasiado. Esto puede hacerse porque la decisióp en cuestión no es lo suficientemente importante para ameritar un análisis exhaustivo o simplemente porque la mejor alternativa¡".saltaja, Ja vista,J5in embargo, no siempre es así. Frecuentemente, la persona que toma la decisión se encuentra ante situaciones complejas, donde forzosamente hay que dedicar tiempo y esfuerzo a razonar y analizar el problema antes de tomar una decisión. En esos momentos es cuando un esquema o procedimiento para analizar un problema de decisiones sería especialmente útil. Una herramienta de tal tipo sería de vital ayuda a un gerente que deba decidir la introducción de un nuevo producto, o una compañía petrolera que deba decidir la exploración de un área petrolífera, o un laboratorio farmacéutico que desea desarrollar ima nueva droga, o un inversionista que desea diversificar su cartera de inversiones. Este tipo de problemas no son ni sencillos ni intrascendentes y ameritan un análisis exhaustivo, sistemático y bien estructurado. De allí la importancia del Análisis de Decisiones puesto que provee un esquema metodológico para organizar y sistematizar el estudio y resolución de un problema de decisión-

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Históricamente el Análisis de Decisiones representa ei último eslabón de una larga cadena de avances en el campo del estudio científico de la Asignación Óptima de Recursos y Toma de Decisiones. De manera que el Análisis de Decisiones ha resultado de combinar diferentes aspectos de varias ciencias principalmente del Análisis de Sistemas y Teoría de Decisiones. El Análisis de Sistemas se desarrolló como una rama de la Ingeniería que estudiaba, con la ayuda del computador, las interacciones y el comportamiento dinámico de situaciones complejas mientras que la Teoría de Decisiones estudiaba cómo ser lógico en situaciones simples de incertidumbre. A}, unir los conceptos de estas dos ciencias se pudo atacar, con toda lógica, los jiroblemas de decisiones caracterizados por situaciones de incertidumbre compleja, y dinámica, lo que constituye ei campo natural de acción del Análisis de Decisiones. ^

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La metodología de trabajo del Análisis de Decisieiones c^msiste,J)ásicarnente, ^n reducir los factores confusos del problema de decisión a una forma elemental y de fácil manipulación mediante la utilización del Árbol de Decisiones. Para la estructuración del Árbol de Decisiones se requieren como parámetros de entrada Las probabilidades que cuantifican la información disponible, acerca de los eveñ^ tos j¿riert06lisí como también las asignaciones numéricas que cuantificanja.actitud del decisor o la política de la organización hacia el riesgo. Los parámetros de salida del modelo dé decisión IncluyenJa identificación de la alternativa que se debe preferir bajo las premisas del modelo del Decisor. La elaboración y manipulación del modelo de decisión es posible porque la metodología provee métodos conceptuales y prácticos, para medir y utilizar cualquier información disponible en relación a la incertidumbre que rodea al problema. La herramienta básica para cumplir este objetivo es la Teoría de la Probabilidad en su enfoque subjetivo. La metodología proporciona igualmente los procedimientos para cuantificar preferencias, establecer la deseabilidad de los varios resultados posibles y la


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1.4. DEFINICIÓN DE DECISIÓN Intuitivamente todos tenemos idea de lo que significa el término decisión. Comúnmente se entiende que una decisión es la conclusión de un_proceso de anáMsjor parte de Ja^géTsoná~ûe decideTTSsto quiere tjecir que, antes de que jiña persona tomtTuna decisión, efectúa _un_, análisis, racional jle la átuacion-pro-, ma considerado. Cuando una persona toma una decisión quiere lograr algo, es decir, alcanzar una situación diferente a la de su estado previo. Además, esta persona selecciona una cierta manera de actuar, de acuerdo a sus preferencias porque piensa que ésa es la forma que más le ayudará a conseguir las metas que especificó de antemano. Adicionalmente su actuación está limitada a la utilización de una serie de recursos generalmente escasos. A esta altura podemos formalizar ya una definición de decisión.

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Una decisión es una asignación irrevocable de recursos, producto de un análisis de objetivos, alternativas y preferencias

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El término irrevocable se refiere al hecho de que una vez tomada una decisión, se han comprometido de manera irreversible recursos, uno de los cuales es el tiempo. i Lo anterior no contradice el hecho de que la mayoría de las decisiones en realidad conllevan una serie de decisiones secuenciales, algunas de las cuales pueden ser modificadas en el tiempo; sino que se refieren al carácter irreversible de la decisión inicial, la cual compromete siempre, al menos algún recurso.

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1.5. DISTINCIÓN ENTRE BUENAS DECISIONES Y BUENOS RESULTADOS

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Comúnmente se confunde una buena decisión con un buen resultado, o viceversa. Para clarificar la diferencia entre estas dos expresiones, utilicemos el siguiente ejemplo:

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La Junta Directiva de una empresa decide invertir en la construcción de una planta pasteurizadora de leche. Inmediatamente a la puesta en servicio de la planta, se produce en el país un cambio de normas de producción que obligan a un nuevo tipo de proceso, lo que representa grandes pérdidas para la empresa. ¿Puede decirse entonces que la decisión de inversión en una planta pasteurizadora fue una mala decisión, porque el resultado fue desfavorable...? No necesariamente, ya que los elementos de juicio de que disponía la Junta Directiva de la empresa, en el momento de la decisión (información disponible) no contemplaba el cambio que se produjo. Para resumir, podemos decir que una buena decisión es aquella que es lógica yjHâjk.en4a información, erutos valores y -en las preferencias de la persona que lajoma. Por-oíra parte, un buen resultado es el que resulta beneficioso, deseable o valioso. En pocas palabras, un buen resultado es el que uno desearía que ocurriera. Lo importante es tener claro que: — Una buena decisión puede conducir a un mal resultado y un buen > :; v:b cuede derivarse de una mala decisión.


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- La única manera de evaluar la calidad de una decisión es examinando si ella es consistente con los valores, información y preferencia del que toma la decisión. - Tomar buenas decisiones es la única manera de asegurar mayor posibilidad de buenos resultados. - Es cierto que todo el mundo prefiere un buen resultado a uno malo, pero sólo el acto de decidir está bajo el control de quien decide, y no los resultados. — Tomar una decisión correcta no es garantía de obtener un buen resultado.

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1.6. ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE DECISIONES

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— Un buen resultado es el que logra el objetivo deseado por el decisor.

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En cualquier problema de decisiones, independientemente del tipo de organización o del nivel en que se presente, concurren varios elementos, que describen plenamente el problema de decisiones. Estos son:

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1.6.1. El decisor Persona u organismo responsable de la toma de decisiones, quien se caracteriza por tener objetivos, preferencias e información, acerca del problema y su contexto. El decisor es el individuo que tiene el poder para comprometer los recursos de su organización.

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,/ 1.6.1.1. Los objetivos describen las metas del decisor. S £/ 1.6.1.2. Las preferencias describen la actitud del decisor ante el riesgo, y reflejan su escala de valores. ''A 1.6.1.3. La información representa el grado de conocimiento que posee el decisor sobre los estados de la naturaleza, cuya ocurrencia es incierta. 1.6.2. Las alternativas El conjunto de diversos cursos de acción factibles, de los cuales el decisor escogerá el más adecuado. 1.6.3. Los estados de la naturaleza Los cuales describen el contexto del problema, y que pueden ser definidos por un conjunto de eventos o factores que afectan el logro de los objetivos y cuya ocurrencia se encuentra fuera del control del decisci. Existe un grado de incertidumbre relacionado con la ocurrencia de los estados de la naturaleza y por lo tanto relacionado con la escogencia de la alternativa más ventajosa. 20



.b,4. U* resultados El conjunto de consecuencias derivadas de la combinación de diversos cursos de acción factibles (alternativas) y de la ocurrencia de uno o más eventos (estados naturales). El diagrama de la figura 1-2, indica la relación entre los elementos de un problema de decisión.

Estados de la naturaleza

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Objetivos

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Alternativas

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Preferencias

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Información

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E3emí5iíoe de un problema de Decisión

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1.6.5. Ejemplo Con la explicación anterior estamos en capacidad de identificar los elementos de un problema de decisiones. Para ilustrarlo examinemos el siguiente problema:

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Un industrial debe decidk la construcción de una planta para la fabricación de un nuevo producto que desea introducir al mercado. La demanda del producto es incierta, por tratarse de algo nuevo por lo que no se dispone de mayor información ai respecto. El industrial sabe que si ia demanda resulta elevada, la inversión será altamente rentable, mientras que si la demanda es baja apenas podrá cubrir los costos de montaje de la planta. Como empresario, él está interesado en obtener el mayor beneficio de su inversión al menor riesgo posible. El producto es muy novedoso y ha tenido gran aceptación en otros países, por lo que el industrial espera correr con la misma suerte. Con la anterior descripción podemos identificar los elementos del problema de decisiones. 1. El Decisor: el Industrial Siendo sus: Objetivos: Obtener el mayor beneficio económico. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

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Preferencias: Arriesgar lo menos posible. Información: El producto ha resultado un éxito en otros países, 2. Las alternativas; a) Construir la planta b) No construir la planta 3. Los estados de la Naturaleza a) Demanda alta b) Demanda baja El comportamiento de la demanda es desconocido.

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4. Los resultados:

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a) Construir la planta y que la demanda resulte ser alta. b) Construir la planta y que la demanda resulte ser baja. c) No construir la planta.

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Nótese que el resultado (c) No construir la planta, incluye en realidad dos (2) resultados:

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— No construir la planta y que la demanda resulte ser baja.

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— No construir la planta y que la demanda resulte ser alta.

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1.7. CLASIFICACIÓN DE LAS SITUACIONES O PROBLEMAS DE DECISIÓN

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El grado de incertidúmbre acerca de la ocurrencia de un evento depende, lógicamente, del grado de información disponible en relación al evento. El grado de incertidúmbre acerca de una situación de decisiones permite realizar una clasificación de ellas en: — Situaciones o problemas de decisión en Condiciones de Certeza o Certidumbre. — Situaciones o problemas de decisión en Condiciones de Incertidúmbre. La clasificación se basa en el grado de información que se encuentra al alcance del decisor, con respecto a la-prübabilidad de ocurrencia de los estados naturales.

1.7.1. Situaciones o Problemas de Decisión en Condiciones de Certeza Se dice que se está ante una situación de decisión en condiciones de certeza o certidumbre, cuando se conoce a ciencia cierta la ocurrencia del estado de la naturaleza.


.


En una situación de certidumbre, el decisor conoce el conjunto de alternativas posibles; también conoce los resultados correspondientes a cada una de las estrategias posibles e igualmente sus preferencias por ios diferentes resultados. Por lo tanto, a cada alternativa le corresponde un único resultado posible.

Transporte óptimo de productos Almacenaje y distribución óptima de productos Series óptimas de producción Mezcla óptima de productos Carga óptima de maquinarias

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A primera vista este tipo de problemas, también conocidos con el término de^pmDTélná^^determinísticÓsJ puede parecer trivial, pero no lo son, de rhanera'algúna. Drtecluí^numerosos y complicados problemas industriales son de este tipo. Ejemplos típicos son:

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Este tipo de problemas constituyen el campo de trabajo y han sido exitosamente resueltos por la Investigación de Operaciones, pero su consideración y tratamiento escapa a este Curso, debiéndose referir el estudiante a los cursos de Investigación de Operaciones de esta misma carrera de Ingeniería de Sistemas.

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1.7.2. Situaciones o Problemas de Decisión en Condiciones de Incertidumbre Se dice que se está ante una situación de Decisión en Condiciones de Incertidumbre cuando la ocurrencia de los estados de la naturaleza es desconocida.

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En una situación de incertidumbre el decisor conoce el conjunto de Alternativas y los posibles resultados asociados a cada una de ellas. De los estados de la naturaleza posee un conocimiento incierto, determinado por su estado de información, ignorando cuál de ellos ocurrirá. Las situaciones de decisión bajo incertidumbre constituyen precisamente el tipo de problemas de decisión más comunes y frecuentes en los niveles altos de una organización. Ejemplos típicos son: ~ La introducción al mercado de nuevos productos — La estimación de la demanda de bienes o servicios — Introducción de cambios tecnológicos — Diversificación de portafolio de inversiones, etc. Tal como se ha mencionado anteriormente, éste es el tipo de problemas donde el Análisis de Decisiones ha probado ser especialmente eficaz. La condición de certidumbre o de incertidumbre asociada a un problema de decisión en particular, corresponde, como hemos visto, al grado de información acerca de la ocurrencia de los estados de la naturaleza. A través de un ejemplo podemos estudiar corno un mismo problema o situación puede ser clasificado 23 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


como problema de decisión bajo certidumbre o problema de decisión bajo incertidumbre, según las consideraciones que se realicen, el enioque que se adopte a las simplificaciones que se hagan al estudiar el problema. Tomemos el siguiente ejemplo. Problema de Transporte Una compañía fabricante y distribuidora de productos de consumo masivo posee tres plantas A, B y C donde se encuentra almacenada la totalidad de la producción del mes anterior de un cierto producto. Ella cuenta con cuatro almacenes, o centros de distribución, 1, 2, 3 y 4, respectivamente, cada uno de los cuales maneja o requiere un cierto volumen del producto.

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Los costos de transporte se estiman, lógicaanente, en base a la distancia en kilómetros entre las plantas y los centros de distribución.

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Se desea programar el transporte del producto de tal manera que su costo total sea el mínimo así como estimar el costo total. Comentario

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Dada la información con que ha sido planteado el problema, y si los volúmenes de inventario del producto, la demanda de cada centro de distribución y las distancias entre plantas y centros de distribución, son perfectamente conocidos, estamos en presencia de un problema de decisiones en condiciones de certeza o certidumbre.

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Por el contrario, si como consecuencia de una catástrofe natural, guerra o por cualquier otra razón, las demandas de los centros de distribución son inciertas, o si las distancias entre plantas y centros de distribución están sujetas a cambios y. por lo tanto, no se les puede establecer con certeza, estamos en presencia de un problema de decisiones en condiciones de incertidumbre. El problema, básicamente, continua siendo el mismo pero las condiciones entre los factores que intervienen son distintas; en un caso, tenemos conocimiento cierto acerca de las variables; en el otro debemos estimar los probables valores de las variables.



AUTOE VALUACIÓN Instrucciones PRIMERA PARTE:

A continuación se le presentan distintas situaciones seguidas de alternativas de respuesta. Sólo una de las alternativas es correcta para cada situación. Seleccione la que considere que es correcta y señálela, encerrando en un circulo la letra que la identifica.

1. El Análisis de Decisiones tiene como uno de sus instrumentos básicos, a la Teoría de la Probabilidad; la razón de esto es que dicha teoría permite:

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Identificar los elementos de un problema de decisión

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Codificar la actitud ante el riesgo del decisor

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Clasificar los problemas de decisión

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Codificar la información referente a eventos

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Problemas de carga de maquinarias Problemas bajo incertidumbre

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2. La metodología del Análisis de Decisiones ha sido especialmente eficaz en el tratamiento de:

Problemas determ místicos

D

Problemas de inventario y almacenaje de productos

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Una persona X, la cual desea obtener el mayor rendimiento para su dinero, está pensando en invertir en depósitos a plazo fijo, por considerar que es su mejor opción disponible, cuando lee en el periódico que las tasas de interés actualmente vigentes no serán revisadas y, por lo tanto, permanecerán fijas durante los próximos seis meses. Esa misma semana decide invertir a plazo fijo al 15 por ciento anual a ciento ochenta días. No han pasado ocho días cuando, como consecuencia de un alza de intereses en el exterior, se anuncia que las tasas en el país subirán al 18 por ciento para depósitos a ciento ochenta días y al 16 por ciento para depósitos a noventa días. Utilizando únicamente la información suministrada, indique cómo calificaría usted la decisión y el correspondiente resultado. Buena Decisión

Buen Resultado

Buena Decisión

Mal Resultado

c

Mala Decisión

D

Mala E'ecisión

Mal Resultado



4. En un problema de dimisiones en condiciones de incertidumbre, el decisor: A

Co loce la ocurrencia de los estados de la naturaleza

B

Desconoce los cursos de acción posibles

C

Desconoce el conjunto de resultados posible

¿5

Desconoce qué resultado ocurrirá

SEGUNDA PARTE:

Dadas las situaciones de Decisión en Condiciones de Incertidumbre propuestas, identifique los elementos que se úiüican al final del problema.

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s. c

om

Su'hijo de 10 años ¿e edad acaba de ser mordido por un perro callejero al volver del colegio. Usted está confuso acerca de si debe o no vacunarlo, pues .ha oído rumores en contra de la aplicación de la vacuna, por los efectos secundarios, pero, por otra parte, siente angustia ai pensar que el perro pueda estar rabioso.

a.

m

A

on t

un

B

Los estados de la Naturaleza

f¿^

yc

C

.0

dm

D

w w

w

.a

6. Un industrial debe decidir la construcción de una planta para la fabricación de un nuevo producto que desea introducir en el mercado. La demanda es incierta por tratarse de algo nuevo, por lo que no se dispone de mayor información al respecto. El industrial sabe que si la demanda resulta elevada, la inversión será altamente rentable, mientras que si es baja apenas podrá cubrir los costos de montaje de la planta. Como empresario, el industrial está interesado en obtener el mayor beneficio de su inversión con el menor riesgo posible. El producto es muy novedoso y ha tenido gran aceptación en otros países, por lo que el industrial espera correr con la misma suerte. El y sus dos socios se plantean la decisión en términos de cuál debe ser el tamaño de la planta, más conveniente a construir. La decisión es de gran importancia pues si se construye de alta capacidad y la demanda resulta ser baja, las pérdidas y el lucro cesante serían muy elevados, mientras que si la demanda resulta alta, los beneficios serían muy altos. Por otra parte, si se construye una planta de baja capacidad y la demanda resulta ser alta, se perdería la oportunidad de hacer un buen negocio. Suponga

3mativa de no construir la planta esta excluida.



A

El decisor

B

Las alternativas ,-. ivVíV- , ;

(^ ^jjfáy¿9& C_£^ ,-vjr . --'•

C

Los estados de la naturaleza

D

Los resultados

\; J A

' r, - ; . - • , - , . A-> W i L r '

v

' 1

• , r-'1 ^ v '

_ ^ c_¿l .:-'; L£lif . ' ' 57!

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

í£_^;


27


CLAVE

OBJETIVO EVALUADO

1

A

1

1.1

2

B

1

1.3

3

A

2

1.6

4

D

3

1.7

5

Ver Clave razonada

4

1.6

6

Ver Clave razonada

4

om

PREGUNTA

SECCIÓN REFERENCIA

a.

m

fo ro

s. c

1.6

un

Clave Razonada

on t

Pregunta 1

dm

yc

A. Correcto. La teoría de la probabilidad permite utilizar la información disponible, al asignar probabilidad a un evento incierto.

w w

w

.a

B. Incorrecto. No es necesario conocer la Teoría de la Probabilidad para identificar los elementos de un problema de decisión. C. Incorrecto. La actitud del decisor ante el riesgo se codifica en base a la Teoría de la Utilidad. D. Incorrecto. Los problemas de decisión se pueden clasificar en base a la incertidumbre respecto a la ocurrencia de los estados naturales. Pregunta 2 A. Incorrecto. Los problemas de carga de maquinarias se consideran de tipo determinístico y son estudiados e.n Investigaciones de Operaciones. B. Correcto. El Análisis de Decisiones es una metodología, básicamente para el tratamiento de problemas de decisión bajo incertidumbre. C. Incorrecto. Por la razón en b. D. Incorrecto. Por una razón similar a.


29


Pregunta 3 A. Incorrecto. La decisión fue buena y el resultado no resultó bueno. B. Correcto. La decisión fue buena aunque el resultado fue desfavorable. C. Incorrecto. La decisión fue buena dada la información disponible. D. Incorrecto. Igual que c.

Pregunta 4 A. Incorrecto. La ocurrencia de los estados de la naturaleza es un evento incierto.

s. c

om

B. Incorrecto. Si el problema de decisión ha sido correctamente estructurado, el decisor conoce los cursos de acción posibles.

fo ro

C. Incorrecto. Si el problema de decisión ha sido correctamente estructurado, el decisor conoce el conjunto de resultados posibles.

un

a.

m

D. Correcto. El decisor conoce los cursos de acción posibles y el conjunto de resultados, posibles, pero desconoce qué resultado ocurrirá.

on t

Preguntas

dm

yc

No existe una sola respuesta válida, pues depende de los eventos que se consideren en el análisis. A manera de ilustración, se suministran dos tipos de respuestas.

w

.a

Respuesta A

w w

A. Usted

B. Vacunar No vacunar C. Perro rabioso Perro no rabioso

D. Vacunar y perro rabioso Vacunar y perro no rabioso , No vacunar y perro rabioso No vacunar y perro no rabioso Respuesta B A. Usted B. Vacunar No vacunar 30 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


C. Perro con rabia Perro sin rabia Vacuna produce efectos secundarios Vacuna no produce efectos secundarios

D. Vacunar, no efectos secundarios y perro rabioso Vacunar, no efectos secundarios y perro no rabioso Vacunar, efectos secundarios y perro rabioso Vacunar, efectos secundarios y perro no rabioso No vacunar y perro rabioso No vacunar y perro no rabioso Pregunta 6

om

No existe una única respuesta, por las mismas razones indicadas en la pregunta 5.

s. c

Una respuesta válida sería:

fo ro

A. Los tres socios

a.

m

B. Planta alta capacidad Planta baja capacidad

on t

un

C. Demanda alta Demanda baja

w w

w

.a

dm

yc

D. Planta alta capacidad y demanda alta Planta alta capacidad y demanda baja Planta baja capacidad y demanda alta Planta baja capacidad y demanda baja


31


UNIDAD

S

CONCEPTOS BÁSICOS OE PROBABILIDAD

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deberá estar en capacidad de: Aplicar, en situaciones dadas, las definiciones y axiomas de la Teoría de Probabilidades necesarias al Análisis de Decisiones.

6)

Distinguir las diferentes definiciones de probabilidad.

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

5)

yc


Pag. 34

dm

2.1. Experimento y evento / aleatorios.

37

2.2.1. La definición clásica 2.2.2. La definición frecuencial. 2.2.3. La concepción subjetiva de la probabilidad

37 37 38

w w

w

.a

2.2. La definición de probabilidad

2.3. Axiomas de probabilidad

39

Autoevaluación

41

Solución de la Autoevaluación

45


33


2.1. EXPERIMENTO Y EVENTO ALEATORIOS Un experimento aleatorio es aquel que a la vista de un observador (decisor) produce resultados fortuitos. Así por ejemplo, son experimentos o pruebas aleatorias la perforación de un pozo petrolero, el lanzamiento de un nuevo producto al mercado, o simplemente el lanzamiento de una moneda o un dado. Un evento aleatorio es uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. En la perforación de un pozo petrolero podemos proponer como posibles estados dé la naturaleza los siguientes:

6: petróleo a los 1.000 metros, o antes

fo ro

s. c

O : petróleo después de los 1.000 metros

om

6 : pozo seco

m

cualquiera de los estados 61, 62 ó f? 3 , constituye un evento aleatorio asociado al experimento aleatorio "perforación del pozo petrolero".

yc

on t

un

a.

Decimos que un evento aleatorio es elemental, cuando no puede expresarse en términos de otros eventos sencillos. Se habla también de evento aleatorio compuesto, para designar a aquel que puede expresarse en términos de otros eventos más sencillos.

w w

w

.a

dm

En el caso del lanzamiento de un dado, el que el resultado del lanzamiento sea cuatro, constituye un evento elemental, mientras que si proponemos el evento: "el resultado del lanzamiento es mayor o igual que cuatro" se trata entonces de un evento compuesto, ya que el mismo se verifica si el resultado del lanzamiento es 4, 5 ó 6. Un evento compuesto se asocia a más de un resultado del experimento aleatorio considerado. Decimos que dos eventos son mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire los eventos resultantes, cara o sello (eventos elementales) son mutuamente excluyentes. Tomemos otro ejemplo: En el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado, distinguimos los siguientes eventos:

El resultado del lanzamiento es un número par" A2 = "El resultado del lanzamiento es un número impar" A 3 = "El resultado del lanzamiento es menor o igual que cuatro". A! , A 2 y A 3 son eventos compuestos. Observemos que de acuerdo a la definición, A! y A2 son mutuamente excluyentes; mientras que Al y A 3 no lo son, ya que si el resultado de! lanzamiento es dos, se estarán verificando ambos eventos, algo similar ocurre con A2 y A 3 . 34



A la totalidad de eventos aleatorios elementales lo llamamos Espacio de Eventos. Cuando nos referimos a la "totalidad" queremos indicar que no es posible la ocurrencia de ningún otro evento elemental distinto a los que hemos descrito o que la descripción de los eventos realizada es exhaustiva. Diremos que un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo si contempla todos los posibles estados de la naturaleza resultantes de un experimento aleatorio dado.

om

Es importante notar que en la practica, cuando es imposible hacer una descripción de todos y cada uno de los eventos elementales resultantes de un experimento aleatorio, se puede lograr señalar un conjunto de eventos compuestos que abarque la totalidad de los eventos elementales, de manera tal que aquellos sean colectivamente exhaustivos. El ejemplo de la perforación del pozo petrolero reportado al inicio, brinda una muestra clara de lo que acabamos de decir; ios eventos o estados de la naturaleza dl; 82 y # 3 abarcan la totalidad de los posibles resultados del experimento aleatorio considerado; por lo tanto, constituyen un conjunto de eventos colectivamente exhaustivos y conforman a su vez un espacio de eventos.

fo ro

s. c

La Teoría de Conjuntos nos brinda una estructura formal sencilla dónde apoyar estos conceptos que acabamos de ver:

un

a.

m

Asociaremos al espacio de eventos el conjunto universal denotado con el símbolo Í2 , Cada uno de los subconjuntos At de elementos de este conjunto M, representará un evento aleatorio resultado del experimento aleatorio considerado, ya sea un evento elemental o compuesto.

w w

w

.a

dm

yc

on t

La figura 2.1. ilustra lo que acabamos de decir:

Fig. 2.1.

Si se cumple que la unión de todos los A¿ considerados igual a Í2, entonces diremos que los At son colectivamente exhaustivos, valiendo también la afirmación recíproca:

(2.1.)

u —i

Los Aj son colectivamente exhaustivos.



FIG. 2.2.

En la figura 2.2. se cumple que AI U A 2 U A 3 = £2

om

AI , A 2 y A 3 son colectivamente exhaustivos.

f^ A¡ -

Los A¡ son mutuamente excluyentes.

m

(2.2.)

fo ro

s. c

Diremos que un conjunto de eventos A¡ son mutuamente excluyentes si la intersección de los A¡ es vacía, valiendo también la afirmación recíproca.

dm

yc

on t

un

a.

i — 1

w w

w

.a

:A,=

FIG, 2.3.

n A3 = 0 y A 2 n A 3 = En la figura 2.3 se cumple que A¡ n A2 = por lo que los eventos Al , A2 y A 3 son mutuamente excluyentes. Obsérvese que en la figura 2.2 no es válida esta afirmación. Las definiciones que acabamos de ver permiten afirmar que un conjunto de eventos, son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes, si están contemplados en el conjunto todos los estados de la naturaleza factibles y si la ocurrencia de uno de los estados implica la no ocurrencia de cualquiera de los restantes.

36



La figura 2.3. ejemplifica la situación. Tomemos otro ejemplo para fijar estas ideas.

o

En la figura 2.4 aparece una caja que contiene tres bolas negras y dos bolas blancas. Realicemos el experimentos que consiste en extraer al azar dos bolas de la caja. El espacio de eventos está consti tuido por:

o Fig. 2.4.

A = "bola blanca —bola negra" A 2 = "bola blanca — bola blanca"

om

A

s. c

A 3 = "bola negra — bola negra"

m

fo ro

Estos eventos son mutuamente excluyentes porque la ocurrencia de uno de ellos obliga a la no ocurrencia del otro y colectivamente exhaustivos, porque sólo éstos pueden ocurrir.

un

a.

2.2. LA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

dm

yc

on t

Dado que la irociónjlejHoJ)al^ intuí" tiva, ha sido j>bjeto de numerosas interpretaciones por parte de ma^máticos de distintas épocas, en. el intento de formalizar e investirla del rigor característico de. todos los desarrollos de la matemática. A continuación veremos las distintas concepciones que hay al respecto:

.a

2.2.1. LA DEFINICIÓN CLASICA

w w

w

También denominada probabilidad[combinatoria,Lconcibe la probabilidad de un evento aleatorio como el cociente entre. eEnSmerp^ de_ resultados del expenm^ total de resultados posibles e igualmente probables. Esta definición, aparte de que hace uso de la palabra "probable" que aún no se ha definido (tautología), posee dos limitaciones en cuanto a su aplicación: a) no siempre es factible enumerar exhaustivamente los resultados de un experimento b) La suposición de que todos los resultados puedan ser igualmente probables, no siempre es válida. 2.2.2

LA DEFINICIÓN FRECUENCIAL Esta es una definición que se basa en la relación intuitiva que existe entre probabilidad y frecuencia; según ella, la probabilidad, de un evento es la frecuencia relativa de dicho evento en n intentos repetiDigitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

37


dos de un experimento aleatorio, cuando n tiende a infinito. Si m es el número de veces en que se verifica el evento A. en n intentos repetidos de un experimento aleatorio dado, entonces la probabilidad de A se designa por (2.3)

P(A)=

lim

~

o -> oo

Esta concepción de la probabilidad es generalmente adoptada por los estadísticos, y resulta de utilidad en el Análisis de Decisiones cuando se tratan situaciones que poseen una serie histórica de datos, suficientemente larga y en las que se puede suponer, sin cometer grandes errores, que las condiciones en las cuales se repite el experimento se mantienen invariables. Por ejemplo, cuando se hacen pronósticos del estado del tiempo o de la intensidad de las precipitaciones, generalmente se toman en consideración series de datos muy largas, producto de muchos años de observación.

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

La concepción frecuencial de la probabilidad no admite ninguna influencia personal en su determinación; supone la probabilidad como una cualidad específica de un objeto (como pudiera ser el peso, el volumen o la dureza) razón por la cual a la probabilidad concebida así se le designa también como probabilidad objetiva. Sin embargo, en los últimos años ha cobrado cada vez más fuerza una concepción que establece que la probabilidad es más el producto de un "estado mental" que de un estado de cosas, diciéndose que la probabilidad mide el estado de conocimiento de una persona, acerca de un fenómeno, más que al fenómeno mismo. Esto nos lleva a una tercera definición.

dm

2.2.3. LA CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD

w w

w

.a

La concepción subjetiva define la probabilidad de un evento como el grado de confianza que una persona posee en la factibilidad de ese evento. En otras palabras, la probabilidad de un evento puede concebirse como un valor numérico, el cual no es más que un índice de la opinión de una persona racional sobre las posibilidades que tiene ese evento de producirse en el futuro. Según esta definición, entonces, la probabilidad de un evento varía según la persona que lo esté considerando y, también, para la misma persona, según el momento y circunstancias en los cuales asigna ía probabilidad. Esto hace pensar que tal forma de evaluar la probabilidad es un tanto arbitraria; al contrario, es una evaluación que está del todo de acuerdo con las reglas lógicas. Veamos, si dos personas racionales proceden de experiencias similares, si sus juicios personales provienen más o menos de las mismas bases, entonces ellas determinarán, aproximadamente, ios mismos valores de probabilidad para un mismo evento; sin embargo, la concepción subjetiva de la probabilidad admite que dos personas racionales con experiencias distintas, puedan escoger dos valores numéricamente distintos para presentar ía probabilidad de un evento, lo cual es un hecho de suma importancia dentro del Análisis de Decisiones, porque incorpora el conocimiento del especialista al proceso del Análisis de Decisiones.

38



2.3. AXIOMAS DE PROBABILIDAD Las definiciones de probabilidad examinadas anteriormente, distintas en cuanto a concepción, coinciden todas en que ésta es una medida numérica asociada a cada uno de los eventos que constituye el espacio de eventos. Debido a la necesidad de que el conjunto de probabilidades asignadas bajo una u otra concepción, sea coherente y exento de contradicciones, se ha establecido una serie de axiomas que señalaremos a continuación, los cuales logran, entre otras cosas, darle al cálculo de probabilidades una estructura matemática formal, la cual facilita cualquier desarrollo que vaya más allá de la mera definición. Sea £2 el espacio de eventos correspondientes a un determinado experimento aleatorio; sea A un evento perteneciente a £2 y P (A) la probabilidad asociada a ese evento; entonces, se satisfacen los siguientes axiomas:

fo ro

s. c

om

1. P ( £ 2 ) = 1 2. P (A) > O para todo A C £2 3. P(A! U A2 U A 3 U ) -P (AJ + P (A 2 ) + P'(A 3 ) + si Aj n AÍ = 0 para todo i i= i

a.

m

A partir de las axiomas anteriores se pueden demostrar las siguientes propiedades: (2.4.) (2.5.)

c) P(A) < 1

(2.6.)

on t

un

a) P (0) = O cualquiera que sea £2 b) P(A') - l - P ( A ) donde (A' U A) - £2

.a

dm

yc

sin dificultad también se puede demostrar que, tratándose de eventos no excluyentes, eventos cuya intersección es no vacía, se cumple que:

(2.7)

w w

w

P ( A . u A.) = P(A¡) + (P(A.) -P(A¡ n A.)'

Es importante señalar que ni los tres axiomas mencionados ni cualquiera de las propiedades que de ellos se puedan derivar, conducen a una asignación única y específica de la probabilidad de un evento; los axiomas, simplemente clarifican las relaciones entre probabilidades que nosotros asignamos, de manera tal de garantizar que seamos consistentes con nuestra noción intuitiva de probabilidad. Por ejemplo, si consideramos el diseño de una nave para llevar un hombre a la luna, el experimento que consiste en hacer que esta nave tripulada alcance la luna puede tener dos resultados: éxito o fracaso. Por éxito entendemos que el hombre llegue sano y salvo a la luna: por fracaso cualquier otra cosa Los axiomas ya enunciados no implican que la probabilidad del evento "éxito" deba ser 1/2, 3/4 ó 0,998, o cualquier otro valor en particular; si denotamos esta probabilidad con P, ellos nos implicarán que O < P < 1 y que la probabilidad del evento "fracaso" es 1 — P, una asignación o especificación real del valor de P debe provenir de un análisis concienzudo del experimentó, y del mecanismo que está detrás de él, de las condiciones ambientales, de los datos disponibles de realizaciones anteriores de experimentos iguales o similares, y de la experiencia de quien hace la asignación.



En el Análisis de Decisiones la consideración de esta serie de axiomas es de utilidad porque permite que de una forma coherente sea posible: a) Asignar las medidas de probabilidad a los eventos elementales integrantes del espacio de eventos. Si tomamos nuevamente nuestro ejemplo de la perforación del pozo petrolero, donde los posibles eventos considerados eran: Q^ = "pozo seco", 02 = "petróleo a los 1000 metros o antes" y 0 3 = "petróleo después de los 1000 metros" y suponemos que asignamos a estos eventos los siguientes valores de probabilidad: ? ( < 9 j ) = 0,5; P ( 0 2 ) = 0,4; P ( 0 3 ) = 0,8 vemos que siendo 6l,92 y <9 3 mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos verifican que:

6 Í n 62 = 6, H í?3 = $ 2 O 0 3 - 0

y por tanto debería resultar, de

aplicar los axiomas 1 y 3, que

_2 i

om

3

P (6 ¡ ) = 1 ; fácilmente observa-

1

a.

Calcular las probabilidades de eventos compuestos, derivados de las combinaciones de los eventos elementales pertinentes.

un

b)

m

fo ro

s. c

mos que según la asignación de probabilidades hecha, P (O j ) + P (0 2 ) 4- P (0 3 ) = 1,7, que es una violación a los axiomas, o, lo que es lo mismo, una comprobación de que la asignación de probabilidades hecha es incoherente. ¡Incorrecta!

dm

yc

on t

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado legal, la probabilidad de que resulte 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 es 1/6. Utilizando el axioma 3 podemos calcular la probabilidad del evento compuesto "el resultado del lanzamiento, r. es menor o igual que 3" (r < 3):

w

.a

P (r ^ 3) - P (r = 3) + P (r = 2) + P (r = 1) = — + — +— = — 6 6 6 2

w w

dadoque {(r=3)} n{(r-2)} {(r^2)} O {(r-1)} = 0

={(r=3)} n{(r=l)}=

c) Precisar el significado de las medidas de probabilidad asociadas con los eventos considerados en una cierta situación aleatoria. Con esto queremos decir que al asignar una probabilidad cercana a la unidad a un evento determinado, es porque lo creemos muy factible. Contrariamente, un evento cuya probabilidad asignada sea cercana a cero, tiene escasas posibilidades de ocurrencia. Si la posibilidad asignada a un evento A es mayor que la asignada a un evento B, el evento A tiene mayor posibilidad de ocurrir que el evento B.



AUTOE VALUACIÓN Instrucciones

A continuación se le presentan distintas situaciones seguidas de alternativas de respuesta. Sólo una de las alternativas es correcta para cada situación. Determine la alternativa correcta y señálela encerrando en un círculo la letra que la identifica.

m

fo ro

s. c

om

Identifique la gráfica en la cual se presentan los eventos A y B, mutuamente excluyentes.

w

B)

.a

dm

yc

on t

un

a.

A)

w w

1.

0

C)

D)


41


2.

Dado íí, los eventos A, B, C, D son colectivamente exhaustivos.

a.

m

fo ro

s. c

om

B)

D

dm

yc

on t

un

C)

.a

B

w w

w

D)

3.

Teniendo una empresa a su disposición las estadísticas de ventas de automóviles de los últimos cuatro años, afirmar que la probabilidad de que esas ventas para el año próximo suban en un 20 por ciento es de 0,25, responde a una concepción de la probabilidad esencialmente.

(A\

Frecuencial Subjetiva

C 42

Clásica



Después cíe un conjunto de pruebas debidamente especificadas, el Departamento de Control de Calidad de una empresa fabricante de lámparas incandescentes afirma que la probabilidad de que una de sus lámparas falle antes de las 1,000 horas es de 0,05. Esta afirmación responde a una concepción de la probabilidad esencialmente.

Frecuencial

B

Subjetiva

C

Frecuencial

B

Subjetiva

C

Clásica

yc

on t

un

a.

m

A

fo ro

s. c

om

En una ciudad desorganizada y congestionada como Caracas, decir que la probabilidad de que una persona que sale de su casa a las 7 a.m., llegue a su oficina, distante 10 km, entre las 7:25 a.m. y las 7:35 es de 0,4, responde a una concepción.

w

.a

dm

El que las probabilidades de cada uno de los eventos excluyentes que constituyen exhaustivamente un espacio de eventos sumen 1, significa que dichas probabilidades.

w w

4.

A

Han sido asignadas bajo una concepción subjetiva

B

Responden a la definición frecuencial Se ajustan a los axiomas 1 y 3

Cuando a los eventos mutuamente excluyentes que constituyen exhaustivamente un espacio, se les asigna probabilidades bajo una concepción subjetiva, la suma de las probabilidades asignadas.

A

Es siempre mayor que 1

B

No necesariamente es 1

tr

Es


43


SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUACION

PREGUNTA

PT A1 \jL¿¿\ AVE

1

B

2 3

r1!

OBJETIVO EVALUADO

Cc

6 6 5

B A C

6 7

2.1 2.1. 2.2 2.2 2.2 2.3 2.3

5 5 6

Á

4 5

SECCIÓN DE REFERENCIA

5

Clave razonada Los únicos eventos cuya intersección es vacía son los de la situación "B"

Pregunta 2

L

om

Pregunta 1

a probabilidad asignada es producto de la observación de una síie históíica de datos, que iaidican una determinada tendencia.

Pregunta 4

Las pruebas efectuadas a las lámparas consisten en el sometimiento de un lote de las mismas a un proceso de "envejecimiento" rápido, durante eí cual se hace un conteo de las que van fallando. La probabilidad es un cociente entre el número de iái^pai'ss qua fallan antes de un determinado tiempo y el número total de las sometidas a prueba. Vale la pena aclarar que si la asignación de probabilidad es hecha tomando en consideración los resultados de "muchas" pruebas, estará involucrando un concepto estadístico y por io tanto entra en juego la concep-

Pregunta 5

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Pregunta 3

w w

fo ro

s. c

situación en la cual A U B u C u D = £2esla "A".

Es claro que lo más importante en la asignación de probabilidad que se hace, en este caso es la experiencia de quién la hace y por supuesto las circunstancias en que la hace. Son tantos los factores no determinados que entran en juego, que la probabilidad que pueda asignar una persona que no conozca la ciudad será seguramente bien distinta de la que asigne un caraqueño, some-

Pregunta 6

Son los axiomas los que especifican coherentemente las relaciones entre las medidas de probabilidad de los eventos de un experimento aleatorio dado y no la concepción misma de la probabi-

Pregunta 7

La misma razón de la pregunta 6.


45


UNIDAD 3 INFORMACIÓN Y ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deberá estar en capacidad de: Relacionar el problema de la asignación de probabilidades con la disponibilidad de información.

8)

Aplicar el cálculo de probabilidades para la incorporación de información en la asignación de la probabilidad de un evento.

un

a.

m

fo ro

s. c

om

7)

on t


Pag. 48 50

.a

dm

3.2. Probabilidad condicional

*

yc

3.1. Asignación de probabilidades e información

55

w

3.3. Independencia de eventos

5é

Autoevaluación

61

w w

3.4. El teorema de Bayes


.

65



8.1. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES E INFORMACIÓN Cada una de las definiciones de probabilidad que analizamos en la Unidad 2 encierra, en cierta forma, un modo de asignar la probabilidad de un evento aleatorio que es realización de una prueba o experimento también aleatorio. Para los efectos del Análisis de Decisiones, aunque existe una tendencia o inclinación que hace que la asignación de la probabilidad de un evento sea sugerida por una concepción subjetiva, es difícil establecer una norma que sea capaz de abarcar todas, o ni siquiera una parte, de las situaciones de decisión imaginables. Esencialmente, la probabilidad que podamos asignarle a un determinado evento o estado de la naturaleza está relacionado con el grado de información que poseamos respecto a la ocurrencia de dicho evento y con nuestra propia capacidad de interpretar (valorar) esa información.

om

Supongamos por ejemplo el lanzamiento de un par de dados "idénticos" y el problema de asignar la probabilidad del evento "el resultado del lanzamiento es

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Si previo al lanzamiento no se nos permite examinar los dados y por ende suponemos que se trata de un par legal, bien construido, si además desconocemos los resultados de cualquier otra prueba anterior realizada con ese mismo par de dados, entonces el problema de asignar la probabilidad al evento considerado se limitará, solamente, a determinar el número de los posibles resultados del lanzamiento, el número de los resultados favorables al evento y a efectuar el cociente. Veamos: los posibles resultados son (1,1); (1,2), (1,3), (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); ..; (6,5); (6,6), y hacen un total de 36. Si partimos de que cualquiesa de estos 36 posibles resultados es igualmente probable, lógicamente asignaremos al evento "(1,1)" 1a probabilidad p = 1/36. Para hacer esta asignación no dispusimos de ninguna información especial acerca del experimento y de sus posibles realizaciones, simplemente aplicamos la definición clásica de probabilidad, por ser la que más se ajustaba a la situación planteada.

w w

w

.a

Supongamos ahora que seguimos sin poder examinar los dados pero que esta vez alcanzamos a obtener una tabla de valores donde aparecen los resultados observados después de haber realisado 1 lanzamientos consecutivos del par de dados en cuestión (tabla 3.1). Tabla 3.1.* Resultados de mfl lanzamientos consecutivos de un per de dados.

Evento (i,D

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4)

(4,5) (4,6) (5,5)

(5,6) (6,6)

No. de veces que se verificó el evento

44 43 24

46 46 41 26 44 43

20 40 17

1000

48

En estas condiciones es lógico pensar que si el "comportamiento" del par de dados ha sido el que describe la tabla para 1,000 realizaciones consecutivas, para la realización No. 1001 ese "comportamiento" se mantenga. Esto es un raciocinio típico de la Estadística; de la tabla de valores —que en definitiva es una información— podemos asignarle al evento "(1,1)" la probabilidad de 59/1000.

59 84 85 74 76 79 23 45 41

[

Este procedimiento de asignación es el que se desprende de la concepción frecuencia! u objetiva, de la probabilidad.



Por último, supongamos que no disponemos de la tabla de valores anterior, sino que en cambio tenemos la posibilidad de tomar en nuestras manos el par de dados. Examinándolos cuidadosamente notamos, aun sin disponer de algún instrumento de medición, que mientras a la vista ambos dados son iguales, uno de líos tiene un peso distinto y que, además, ese peso parece estar concentrado casi exclusivamente sobre la cara opuesta al "uno"; esto nos advierte, obviamente, que para ese dado el resultado "uno" es particularmente favorecido, a tal punto de qué en el lanzamiento del par de dados es "altamente probable" el que al menos uno de ellos resulte "uno"; de esta manera no sería muy arbitrario si, por ejemplo, hiciéramos la asignación 1/18 a la probabilidad de que se realice el evento "(1,1)". Veamos que siendo esta asignación nuevamente subjetiva, no procede puramente del capricho de quien lo hace, sino que es el producto de haber tenido conocimiento de una situación y racionalmente haber hecho una estimación de las posibilidades de realización de un evento futuro.

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Un ejemplo reportado en la bibliografía es el del astronauta que va a ser lanzado al espacio en una misión de circunvalación a la tierra. Cuando se está introduciendo en la cápsula pregunta al Supervisor de Lanzamiento: "Por curiosidad ¿cuál es la confiabilidad de este cohete?" El Supervisor responde: "Noventa y nueve por ciento; estimamos que en cien lanzamientos sólo un cohete puede fallar". El astronauta confía pero aún tiene ciertas reservas sobre el éxito de la misión y pregunta de nuevo: "¿Esos cohetes que están allí cerca, son del mismo tipo del que voy a usar yo?" El Supervisor responde: "Son idénticos". El astronauta sugiere: "¿Por qué no se lanzan unos cuantos antes que el mío para así sentirme algo más seguro?"

w w

w

.a

dm

yc

Se lanza un primer cohete tripulado por un piloto artificial. Cae en el océano. Fracaso total. El Supervisor comenta: "Resultado desafortunado, trataremos de nuevo". El segundo cohete explotó en el aire. Lanzan un tercer cohete con el resultado desastroso de desintegrarse antes del lanzamiento. Llegado este momento, el astronauta resignado es enviado a casa. Nada podrá convencerle que la confiabilidad es del 99% -

Pero en realidad, ¿qué es lo que ha cambiado? Su cohete no puede ser afectado físicamente por la falla de otro; el sistema de pilotaje, el motor, todo está exactamente en las mismas condiciones que antes de efectuar las anteriores pruebas. Si consideráramos la probabilidad como un "estado de cosas", la confiabilidad del cohete debería continuar siendo 99% . Pero, por supuesto no es así. Después de observar la falla del primer cohete, el astronauta ha podido evaluar la confiabilidad del suyo, digamos que en un 90 %> después de la segunda falla, en un 70% y finalmente, después de la tercera digamos que a lo sumo en un 30%. Lo que ha sucedido *s que su estado de conocimiento sobre su propio cohete ha sido influido por lo que le ha sucedido a los cohetes gemelos de donde, él estima que la probabilidad debe decrecer. Es tan baja la confiabilidad estimada que sin duda no arriesgará la vida. De nuevo colocamos en realce la influencia que tiene el grado de información que se posee para la asignación de la probabilidad. Este grado de información, claro está, dependiendo de las situaciones y circunstancias, puede variar en un ran49 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


go muy extenso; hay situaciones de las que se tiene un conocimiento sólido, producto de muchos años de experiencia, así como otras de las que se poseen simplemente algunos indicios o una vaga idea proveniente de unos cuantos datos. Es por olio que resulta difícil establecer un procedimiento que permita, en forma simple, eficiente y más o menos precisa, hacer asignaciones de probabilidad. En la práctica, cuando los problemas conciernen a una organización, empresa o institución, las variables involucradas en ei proceso de decisión, que representan estados de la naturaleza cuya probabilidad hay que asignar, se clasifican por especialidades y se designa dentro de la organiación a la(s) persona(s) que mayor conocimiento tiene(n) sobre cada grupo de variables, para realizar las respectivas asignaciones; así, las variables tecnológicas se asignan al Departamento de Tecnología, las variables de mercadeo al Departamento de Mercadeo, etc

s. c

om

Sin duda, que en este proceso de asignación intervienen mecanismos psicológicos particulares; entre otras cosas, por ejemplo, cuando el especialista es interrogado por su conocimiento sobre cierta materia, puede creer que se está tratando de evaluar su persona y no su conocimiento. Es por ello que han sido diseñados procedimientos que permiten salvar, en una cierta medida, éste y otros obstáculos y que se han demostrado bastante eficaces en la práctica.

fo ro

Esencialmente, para la asignación de la probabilidad de un evento dado es necesario observar conjuntamente los aspectos siguientes:

a.

m

a) Las características físicas inherentes al evento

un

b) La rata de ocurrencia del evento en situaciones pasadas (si existieron)

on t

c) Las relaciones entre el evento y otros posibles

yc

d) La opinión de los especialistas

.a

dm

e) Cualquier información disponible relacionada con el evento, que se considere confiable

w w

w

Claro está, que según sea la naturaleza del evento, cada uno de los puntos anteriores tendrá mayor o menor importancia. Por ejemplo, en la asignación de la probabilidad de falla de una turbina de avión a reacción, son de especial importancia la consideración de los aspectos físicos, la tecnología empleada en la fabricación y la observación de las estadísticas referentes a las pruebas efectuadas previamente. Mientras que en la asignación de la probabilidad de que los precios de venta del petróleo, para el segundo semestre del año próximo estén por debajo de los treinta dólares el barril, es fundamental la opinión de los expertos en la materia, la relación del evento con acontecimientos políticos, bélicos, etc., y toda información colateral que tenga algo que ver. En la Unidad 4, cuando tratemos la Metodología de la Asignación, volveremos sobre este punto más extensamente; por ahora continuaremos con otros conceptos que son imprescindibles para el estudio de tal metodología. 3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL Como ya se ha hecho resaltar, la probabilidad que asignamos a un evento está sujeta a cambios, según varía nuestro grado de información respecto al fenómeno analizado y su entorno. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Supongamos por ejemplo, que hemos comprado un número de una rifa de mil boletos; en el momento de la adquisición estimamos obviamente que la probabilidad de resultar favorecidos con eí premio es 1/1.000, Un día antes del sorteo nos enteramos que al promotor de la rifa logró colocar solamente 935 boletos y que los no vendidos no vau a concurso. Con esta información resulta claro que la probabilidad de obtener el premio se eleva a 1/935. Este ejemplo ilustra, en forma sencilla, lo antes dicho en referencias que la probabilidad asignada a un evento está condicionada al grado de información disponible. Hasta e! momento no hemos formalizado una notación que indique claramente este condicionamiento, lo que haremos a continuación: Sea E un evento o estado de la naturaleza cualquiera, cuya probabilidad debemos asignar y sea C otro evento o estado de la naturaleza.

om

Denotamos por P (E/C) a la probabilidad de que E ocurra bajo el hecho de que C se ha verificado.

a.

m

fo ro

s. c

De esta manera, la ocurrencia de C es considerada por el decisor como una información, P (E) es la probabilidad asignada al evento E antes de recibir la información, también llamada probabilidad inicial o probabilidad a priori, mientras que la probabilidad P (E/C) es la probabilidad asignada a E, después de haber recibido la información llamada probabilidad final o a posteriori.

on t

un

A P (E/C) comúnmente se le designa como probabilidad condicional del evento E respecto a C, o simplemente la probabilidad de E dado C,

P ( E n C) '

.a

P ( E/C) =

; P (C) * O

w w

w

(3.1.)

dm

yc

Esta probabilidad condicional P (E/C), corrientemente se define como el cociente entre P (E O C) y P (C) siempre que P (C) * O

Veamos ahora el siguiente ejemplo. Supongamos que eí condominio de un edificio realiza periódicamente la adquisición de lámparas incandescentes en un establecimiento comercial que a su vez se surte de dos proveedores. El primero (A) suministra el 70% del total de lámparas y el segundo (B) el 30% restante. En promedio, sólo son normales * 85 lámparas de cada 1UU vendidas por el proveedor (A) y 65 de cada 100 vendidas por el proveedor (B). Todos estos datos son ignorados por el condominio, quien posee como única información, producto de observar los resultados de compras anteriores, que de cada 100 lámparas adquiridas sólo setenta y nueve son normales; condición bajo la cual, si tuviera que asignar una probabilidad al evento "comprar una lámpara normal" dim:

79 Se consideran normales aquellas lámparas cuya vida mínima es de setecientas horas de encendido.



Supongamos ahora, una ocasión en que el condominio va a realizar la compra de un lote de lámparas y recibe la siguiente confidencia de uno de los empleados del establecimiento: "La existencia actual de lámparas es enteramente suministrada por el provee: A, cuya proporción de lámparas normales es de 85 %" Bajo esta condición, la asignación de probabilidad para el evento "comprar una lampan 3onn^r' será lógicamente

100 - 0,85 La diferencia entre esta asignación y la anterior radica en que se produjo un cambio en las condiciones en que se realizaba la adquisición de las lámparas. Un mismo evento: "La compra de una lámpara normal" tiene asignadas dos probabilidades distintas, pero en condiciones (estados de información) también distintas.

fo ro

s. c

om

Si designamos c 10 E el evento "compra de una lámpara normal" y C el evento "fue suministrada por el fabricante (A)", entonces, P (E) designa la probabilidad incondicional deí evento E y P (E/C) la probabilidad del mismo evento pero suponiendo que C se ha producido previamente. Tendremos pues: P (E/C) = 0,85

a.

m

P (E) - 0,79

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

Viene al caso hrcer n.otar que, en rigor, cada probabilidad es condicional: en el verdadero sentido ie la palabra, no existe una probabilidad no-condicional. En la mayoría de los problemas concretos hallamos que todas las operaciones y estados de la naturaleza examinados se basan en un sistema o conjunto de condiciones, que se acepta como hipótesis previa a cualquier análisis. Si en la asignación y cálculo de las probabilidades no se toma en cuenta ninguna otra condición ajena a tal conjunto o sistema, entonces las probabilidades consideradas son no-condicionales. En nuestro ejemplo, el conjunto de condiciones que tácitamente aceptamos como hipótesis previa, es que las lámparas incandescentes consideradas son producidas de acuerdo a normas y especificaciones comerciales de calidad comúnmente aceptadas y prefijadas. Si además de tal conjunto de condiciones aceptado tácitamente, existe otro que siendo ajeno a aquél, se toma en particular consideración en el momento de realizar la asignación de probabilidad, entonces, tal asignación está condicionada y a ese oonJr.^r-o lo denominaremos "Evento condicionante". AI espacio de evento original,, modificado por la información aportada por el evento condicionante, lo denominaremos "Espacio condicional de eventos". Consideremos al conjunto de eventos elementales que constituyen el espacio representado en la figura 3.1.; siendo las probabilidades asignadas a cada una de ellos, respectivamente, P (e t ), P (e 2 ), P (e 3 ), P (64) Y P (e s ), se debe cumplir que

i— 1



Supongamos ahora que recibimos información adicional sobre el experimento, la cual nos indica con certeza que los eventos e2 y e4 no ocurrirán; esta información constituye el evento condicionante O "no ocurre e2 y no ocurre e " y se refleja en la figura 3.2. En estas condiciones, los únicos eventos posibles son e ,

fig. 3.2.

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

e3 y e s de tal forma que la información obtenida (evento condicionante) permite ubicarnos en un nuevo espacio de eventos representado en la figura 3.3. que es el espacio condicional de eventos.

dm

yc

Este nuevo espacio debe satisfacer los axiomas de probabilidad, de tal forma que P (e,/C) + P (e 3 /C) + P (e s /C) - 1

w

.a

Veamos el ejemplo siguiente:

w w

Tomemos dos cajas idénticas, representadas en la figura 3.4. con la siguiente composición: caja 1, cuatro pelotas negras y una blanca; caja 2, tres pelotas blancas y dos negras.

Supongamos que al azar extr una pelota, ¿cuál será la probabilidad de que sea negra? ¿Cuál será la idad de que sea blanca? 53 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Consideremos el espacio de eventos £3 = Al, A 2 , A 3 , A4 representado en la figura 3.5. donde A! , A 2 , A 3 y A4 son: A j ; "la pelota es negra y proviene de la caja 1" A 2 : "la pelota es blanca y proviene de la caja 1" A 3 : "la pelota es blanca y proviene de la caja 2" A 4 : "la pelota es negra y proviene de la caja 2"

om

Se cumplen

i

1

y

4

n

fo ro

fig. 3.5.

s. c

U AÍ=

m

Consideremos: N = "extraer una pelota negra"

un

a.

B - "extraer una pelota blanca"

on t

supongamos que ocurre el evento condicionante

yc

Cj ~ "la oelota procede de la caja 1*'

w

.a

dm

(que equivale decir que la pelota no podrá provenir de la caja 2). Nuestro espacio condicional de eventos estará representado en la figura por la parte punteada; en dicho espacio se cumple:

w w

i = l/5

P(N/C t ) + P(B/C 1 ) = 1

sí por el contrario ocurre C2 = "la pelota procede de la caja 2", nuestro espacio condicional de eventos es el que representa la parte rayada de la figura y en el mismo se cumple P(N/C 2 ) - 2/5 y

P(B/C 2 ) - 3/5

P(N/C 2 ) + P(B/C 2 ) - 1 si consideramos ahora P ( A! = N n C , = N C , A4 = N n C 2 - N C 2

P (C 2 ) = 1/2 vemos que

y



3.1. podemos determinar

- P(N/C t ) • P ( C , ) = 4/5 • 1/2 P(Ai) = 4/10

P(A 4 ) - P ( N C 2 ) - P(N/C 2 ) • P ( C 2 ) = 2/5 • 1/2 P(A 4 ) = 2/10

om

de la figura 3.5 queda claro que N = Al U A 4 , así como también B = A2 U A 3 de modo tal que gracias al axioma 3 podemos escribir P (N) = P (Aj) 4- P (A 4 ), o sea, P (N) = 4/10 4- 2/10 = 6/10. En forma similar se puede determinar P (B), el cual debe ser 4/10.

s. c

3.3. INDEPENDENCIA DE EVENTOS

un

a.

m

fo ro

Consideramos de nuevo los eventos E y C de la sección anterior. Supongamos que en forma separada tratarnos, por un lado de asignar la probabilidad al evento E antes de recibir la información de que ha ocurrido el evento C (o suponiendo que C no ha ocurrido) y por otro, de asignar la probabilidad al mismo evento E, paro partiendo de la ocurrencia de C. Si después de hechas estas asignaciones encontramos que

dm

yc

on t

P (E) - P (E / C)

w w

w

.a

podemos inmediatamente deducir que la ocurrencia de C no tiene influencia alguna en la probabilidad de ocurrencia del evento E, es decir, que E es independiente de C. Es fácil notar que si E es independiente de C, se cumple P ( E n C ) = P(E) - P(C)

(3.

Ilustraremos la definición mediante un ejemplo. Un caraqueño desea ir a pasar el fin de semana al Litoral y sin duda que la pregunta obligada será la de si habrá o no buen tiempo en la playa. Consideremos los eventos o estados de la naturaleza siguiente: 0 "habrá sol radiante en la playa" 0 "hay mal tiempo en Caracas" supongamos ahora que nuestra vacacionista decida hacer una asignación de probabilidad para los eventos 6 1 y Q , / 0 2 sean estas asignaciones P«M -0,9

y P ( 0 i / 0 2 ) = 0,9 55 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


de ellas se desprende que los eventos 61 y 0 2 son independientes. Observemos que, aunque a primera vista parezca ilógica la asignación de probabilidades hecha por el vacacionista, es posible que esté fundamentada en algún reporte meteorológico que él considera muy confiable, el cual "asegura" que durante el fin de semana en cuestión, aun cuando se prevén serías amenazas de lluvia en la ciudad, en el Litoral habrá casi ciertamente, un espléndido sol.

3.4. EL TEOREMA DE BAYES

Tomemos de nuevo el ejemplo de las lámparas incandescentes de la sección 3.2.; podemos deducir del enunciado del mismo, que los eventos Cj : '"la lámpara es de las suministradas por el primer proveedor"

y

C2 : "la lámpara es de las suministradas por el segundo proveedor"

s. c

om

son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, esdecir^rólo 4100 de ellos tiene necesariamente que ocurrir y ningún otro es factible. Tenemos tarríBlénûVlas probabilidades iniciales son

P ( C 2 ) = 0,30

a.

m

además, designando con E el evento

fo ro

P í d ) = 0,70

un

E: "la lámpara comprada es normal"

on t

tenemos que

dm

yc

P(E/C,) - 0,85 P(E/C 2 ) = 0,65

w w

w

.a

si nos referimos a las figura 3.4. que representa la situación en cuestión, vemos claramente que: E = (E n C , ) U (E o C 3 ), gracias al axioma 3 podemos escribir: P (E) = P (E O C,) + P (E D C 2 ) C2

|

fiiZ.3.4,

la cual usando la ec. (3.1) se convierte en P(E) = P(E/C,)

+P(E/C2)

(3.3)

esta ecuación es la llamada Ley de las probabilidades totales y en su forma más general se escribe:

--£ PÍE/OJ) • P(CÍ) i—1 56 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

(3.4)


sustituyendo valores en la (3.3.) tenemos. P (E)-0,85 • 0.70 + 0.65 • 0.30

P (E) = 0,79 Es interesante observar que si bien anteriormente habíamos dado el valor de P(E) como una asignación hecha por el condominio, después de una larga y poco común observación de las compras anteriores, tal valor de probabilidad puede ser fácilmente calculado, como acabamos de hacer, siempre que se disponga de los valores de P (Cí), P (C 2 ), P (E/Cj), P (E/C 2 ) que supusimos ignorados por el condominio. Supongamos ahora que estamos interesados en determinar la proveniencia de la lámpara, sabiendo previamente que se trata de una lámpara normal, o sea, supongamos que queremos determinar los valores

P(C 2 /E)

om

y

s. c

P((VE)

fo ro

también llamadas probabilidades finales.

m

Si escribimos

un

a.

P(C! n E) = FfCi/E) • P(E)

on t

y su simétrica

dm

yc

P(E n C J - P Í E / C J - P(C,)

.a

dado que

vale entonces

w w

w

ÍE n d) = (Cl H E )

PíCi/E) - P(E) = P(E/C,) • P ( C j )

de donde

P(C,/E) I \^l / U I — =

t

i

P(E)

que es la expresión del Teorema de Bayes cuya forma generalizada se escribe: P(E/C,) • P ( C j ) — — P(E)

P (C,/E) 3

._, 3 =1

. k

/oc, (3-6J

o haciendo uso de la 3.4 P(Cj/E)=

_

j=1

k

(3.7)

2 P(E/C¡ • P(C^ i =i


57


de esta forma, para nuestro ejemplo,

P(C!/E)= P(E/C,) - P ( c t ) P(E)

0..85 • 0,70

P(Cj/E) =

0,79 0,75

P(E/C 2 ) • P ( C 2 )

F(C 2 /E) -

P(E) J3,6b • 0,30

P(C 2 /E) -

om

0,25

fo ro

P(C,/E) -

0,79

s. c

P(C 1 /E) =

un

a.

m

éstas son las probabilidades finales o o posterion que no son más que las prooabilidades a pnon corregidas o modificadas por la información contenida en el hecho de que la lámpara comprada ha resultado normal. es oportuno detenerse ante el hecho siguiente:

on t

En sste ñi

w w

w

.a

dm

yc

Tanto P (Cj/E) como P (E/C.) son probabilidades condicionales que son susceptiles de ser evaluadas en foi-ma autónoma,, aplicando cualquiera de los critetrios de asignación discutidos anteriormente; sin embargo, en cuanto a dificultad, existe una gran diferencia entre asignar la probabilidad P (C./E) y asignar la probabilidad P (E/C.). Notemos que mientras la evaluación de P (E/C.) es un proceso que va de lo general a lo particular, ia evaluación de P (C-/E) implica un proceso inverso; se puede decir, prácticamente, que la diferencia entre un proceso y otro es la misma diferencia que existe entre el proceso de interpolación de un valor dentro de una tabla de valores y el proceso de extrapolación. Indudablemsnte que lo primero es mucho más simple y menos riesgoso que lo segundo.

En el ejemplo de las lámparas incandescentes que acabamos de examinar, el evaluar, P (E/C t ) es un proceso que está exclusivamente ligado al conocimiento de los estándar de calidad del proveedor No. 1, o sea, bajo el estado de conocimiento de que la lámpara proviene de tal proveedor, la probabilidad de que dicha lámpara sea o no defectuosa es una mera consecuencia de los estándares de calidad de dicho fabricante. Mientras, en la evaluación de P (Cl /E) pretendernos conocer que la lámpara proviene de tal o cual fabricante, partiendo del simple hecho de que la misma es normal. Esto es evidentemente mucho más difícil que lo primero, y de allí se desprende precisamente la importancia del Teorema ds Bayes, porque partiendo de las probabilidades a priori o iniciales. ,k

58



y de las verosilimitudes como también son" llamadas las

P(E/Cj) }

i = l,...-

permite determinar mediante la ec. 3.7, las nrobabilidades a posteriori, o finales P (C/E),

j = 1 ...... , k

Para fijar las ideas examinemos un segundo ejemplo. Pongamos el caso de una empresa fabricante de bienes de consumo masivo que ha desarrollado un nuevo producto.

fo ro

s. c

om

Los analistas de la empresa han determinado que la fabricación de este producto entra dentro de los cánones aceptables de rentabilidad, sólo si del mismo se produce un volumen no inferior a las 1000 unidades mensuales, a partir del cual los precios de venta comienzan a ser competitivos en el mercado,

a.

m

Actualmente la empresa ha establecido una línea de producción experimental que puede arrojar un máximo de 10 unidades semanales.

on t

un

El problema consiste en determinar la conveniencia o no de implantar una línea de producción definitiva, capaz de permitir la colocación en el mercado de, por lo menos, 1000 unidades.

.a

dm

yc

Entre las etapas importantes en el análisis de la decisión está la de evaluar o estimar la probabilidad de que ese mercado pueda o no absorber un mínimo de 1000 unidades.

w w

w

Con la intención de hacer una exploración antes de tomar cualquier decisión definitiva, se procede a lanzar el producto dentro de un segmento restringido del mercado, aprovechando la capacidad de producción de la línea experimental. (La conveniencia o no de esta exploración está relacionada con el costo de la información, que es un concepto que estudiaremos en el Módulo II). Como estados de la naturaleza para el mercado global podemos tomar: 0^ : "El mercado global es favorable, se venden 1000 o más unidades del producto por mes" Q2

: "Lo contrario de 0^'

para la muestra de mercado, o sea, para el sector donde se piensa introducir la producción de la línea experimental, podemos considerar los siguientes estados de la naturaleza: /is : "La muestra de mercado es favorable, se vende toda la producción experimental*' ¿¿2 : "Lo contrario de MI "



Supongamos que una vez efectuada y evaluada la exploración del mercado, resulte que el estado ¡JLI se verifica y que las probabilidades iniciales, o estiinacio nes a priori para 61 y 62, sean las siguientes: P ( 0 j ) = 0,6

P ( 0 2 ) = 0,4

De experiencias pasadas en campos similares, se conocen los siguientes valores para las verosimilitudes. P ( M i / 0 i ) = 0,9

y

P ( M , / 0 2 ) = 0,3

Nótese que estos valores representan la confiabilidad de los resultados de la exploración de mercado. Las probabilidades a posteriori, o corregidas por la información que ha suministrado la exploración sobre el mercado muestral son:

fo ro

s. c

om

i ) Y P (0 2 / M i ) Q ue utilizando el Teorema de Bayes resultan

un

a.

m

0,9 • 0,6 0,9 • 0,6 + 0,3 • 0,4

w w

w

.a

dm

yc

on t

- 0,82

0>3 • 0,4 0,9 - 0,6+0,3 - 0,4

- 0,18



En la asignación de las probabilidades de ocurrencia de los eventos que aparecen a continuación en la tabla, señale entre los aspectos siguientes:

Las características físicas inherentes al evento

B

La rata de ocurrencia del evento en situaciones pasadas (si existieron)

c

Las relaciones entre el evento y otros eventos posibles

D

La opinión de los especialistas

E

Cualquier información disponible relacionada con el evento que se considere confiable

!

om

A

s. c

El aspecto más importante a considerar.

fo ro

(Coloque en la columna de la derecha la letra correspondiente a la respuesta elegida).

a.

m

TABLA

ASPECTO

on t

un

EVENTOS Obtener un premio en la lotería

2)

Que en los Valles de Aragua, para el segundo semestre del año próximo, el índice pluviométrico estará entre los 95 y 100 mm

3)

Que la conversación telefónica entre, un par de corresponsales cualesquiera, de cualquier parte del mundo civilizado, se lleve a cabo sin interferencias apreciables

4)

Que sea vendida la totalidad de la producción mensual de un nuevo detergente que se introduce en el mercado

5)

Que en los próximos seis meses sea descubierta la cura contra el cáncer

6)

Que para el año 2000 deje de ser el hambre una de las principales causas de muerte

7)

Saín* de su casa y resultar atracado

w

.a

dm

yc

1)

w w

1)


61


2)

El departamento de procesamiento de datos de una empresa opera treü computadoras que manejan el 20%, 50% y 30%, respectivamente, del volumen total del trabajo generado por la compañía. Las probabilidades de que estas computadoras cometan errores son respectivamente 5%, 15% y 8% Determinar la probabilidad de cometer un error en el departamento de procesamiento de datos de la compañía.

B

P = 0,891

(c)

P = 0,109

D

P = 0,280

om

p- 0,720

Supóngase una prueba de embarazo (E) que cumple las propiedades siguientes:

fo ro

s. c

3)

A

m

P (A/E) =0,95 y P (A/E') - 0,95

un

a.

donde:

on t

E denota el evento "la paciente está embarazada",

yc

A denota el evento "la prueba indica que la paciente está embarazada^

.a

dm

Suponga que la probabilidad de que la mujer que se somete a la prueba esté embarazada sea de 0,05.

w w

w

Calcule la probabilidad de que, dado que la prueba diagnostica embarazo, la mujer realmente lo esté: A

0.087

B

0.913

C

0.005

D

O.S95 •

4)

Para las elecciones presidenciales del año próximo se lanzan dos candidatos; los observadores políticos estiman que las probabilidades de triunfo de los candidatos A y B son respectivamente 0,6 y 0,4. Los especialistas en comunicación de masas del partido del candidato B, para mejor orientar la campaña electoral, deciden contratar los servicios de üí .empresa encuestadora, la cual tiene un gran prestigio basado resultados:

62



a)

En el 90% de los casos en que las encuestas han dado como vencedor a un candidato, éste efectivamente ha triunfado.

b)

En el 30% de los casos en que las encuestas han dado como vencedor a un candidato, éste ha perdido.

s. c fo ro m a.

0,82

un

D

on t

0,18

yc

C

dm

0,54

.a

B

w

0,46

w w

A

om

Si una vez efectuada la encuesta, ésta pronostica como vencedor al candidato B, ¿cómo se modifica la probabilidad de triunfo que le habían asignado los observadores con esta información?


63


SOLUCIÓN DE LA

PREGUNTA

CLAVE

AUTOEVALUACION

OBJETIVO EVALUADO

SECCIÓN DE REFERENCIA

A

7

3.1

1.2.

B

7

3.1

1.3.

A

7

3.1

1.4.

C

7

3.1

1.5.

D

7

3.1

1.6.

D

7

3.1

1.7,

A

7

3.1

2

C

8

3.2

3

A

8

4

B

8

om

1.1

3.4

a.

m

fo ro

s. c

3.3

on t

un

Clave Razonada

yc

Pregunta 1

Naturalmente que desde el punto de vista estrictamente racional, la probabilidad de obtener un premio en la lotería tiene que ver esencialmente con el número de acciones compradas y el número total de acciones emitidas. Queda claro, sin embargo, que muchos de los asiduos jugadores asignan sus probabilidades tomando en consideración una serie de factores que muchas veces rayan en lo metafísico (sueños, apariciones, etc.)

Evento 2

De los fenómenos metereológicos, desde hace muchísimos años se llevan estadísticas que, científicamente, arrojan estimaciones confiables sobre los mismos.

Evento 3

Este es un evento que esencialmente está sujeto a los aspectos tecnológicos de los equipos empleados para su suceso, del diseño adecuado de los sistemas y de las características físico-ambientales de donde se se lleva a cabo la prueba (conversación telefónica).

Evento 4

Esto depende fundamentalmente de la correlación entre el nuevo producto y sus competidores en el mercado, (publicidad, distribución, saturación del mercado, etc.).

Evento 5

Este evento depende, fundamentalmente, del estado actual de los estudios y las investigaciones efectuadas por los especialistas y estimaciones 4e éstos, los aspectos esenciales a considerar en la asignación déla probabilidad.

w w

w

.a

dm

Evento 1


65


Evento 6

Misma razón anterior.

Evento 7

Sin duda que en este evento lo esencial es considerar características, como el lugar del hecho, la fecha del mes, la hora del día, el aspecto físico de la víctima, pero también podrían considerarse el íadíes delictivo para el momento en que ocurre, el índice del desempleo en la zona, el ingreso per cápita y su distribución en las distintas capas sociales, el número de agentes policiales por habitante, y otros aspectos que hubieran dado como respuesta correcta una combinación ds las letras B), C) y E).

om

Este hecho, antes de crear confusión en el estudiante, debe hacerle reflexionar sobre la materia que se está tratando, por cuanto -^ importante que note que hay situaciones en las cuales es difícil establecer, apriori, un criterio de asignación de probabilidades; en definitiva todo dependerá de la situación particular y del grado de información disponible, como ya se ha dicho.

P (A) = 0,20

fo ro

De los datos del problema se tiene

s. c

Pregunta 2

un

a.

m

P (E/A)-0,05

on t

P (B) - 0,50

P(E/C) = 0,

.a

dm

yc

P(C)-0,30

P(E/B) = 0,15

w w

w

según la fórmula de las probabilidades totales tenemos P ( E ) - P ( A ) • P (E/A) + P (B) - P(E/B) + P ( C ) • P (E/C)

sustituyendo P (E)-0,20 - 0,05 + 0,50 - 0,15 + 0,30 - 0,08 P (E)-0,109 Pregunta 3

P(A/E) -0,95 P (AVE') -0,95

P (E/A) = ? .1

P (E/A) P (E/A) -

P (E) - 0,005

66


P


Aplicando el Teorema de Bayes

P (E/A) -

P(A/E) - • P(E) P (A/E) • P (E) + P (A/E) • P (E')

_

0,95 • 0,005 0,95 • 0,0005 + 0,05 - 0,995

P (E/A)

P (E/A) - 0,087 P(A/E')=1-P(AYE') P (A/E1) = 1-0,95 = 0,05 Pregunta 4

om

Consideremos los siguientes eventos:

s. c

î : "el candidato B perderá"

fo ro

*2 •* "candidato B vencerá"

a.

un

M 2 : "la encuesta da como vencedor a B"

m

M j : "la encuesta da como perdedor a B"

dm

yc

on t

según se desprende de la situación planteada

w

.a

P(M 2 /0 2 ) = 0,

w w

aplicando el Teorema de Bayes, la probabilidad de que B resulte vencedor, modificada por la información que ha dado ia encuesta será: P(0 2 /M 2 ) =

P(M 2 /0 2 ) • P ( 0 2 ) 2 2J — P(M2/^j) • P ^ J + P í M j / ^ j ) • P(^2)

0,9 - 0,6 + 0,3 • 0,4

0,66



UNIDAD

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deberá estar en capacidad de; 9) Aplicar los conceptos de variable aleatoria y de leyes de probabilidad, al proceso de asignación de probabilidades.

un

a.

m

fo ro

s. c

om

10) Distinguir los principios y técnicas de la metodología de asignación de probabilidades.

on t


Pag. 70

yc dm

4.1. Variables aleatorias

72

w w

w

4.2.1. Caso discreto 4.2.2. Caso continuo 4.2.3. Fractiles

,

.a

4.2. Funciones de probabilidad

,.

4.3. Metodología de la asignación de probabilidades

,

4.3.1. Principios a observar en el proceso de asignación de probabilidades .,..,., 4.3.2. Sesgo en la asignación de probabilidades 4.3.3. Métodos para la asignación de probabilidad Autoevaluación

.



73 76 76 79 79 80 82 87 91


4.1. VARIABLES ALEATORIAS Para Introducir el concepto de variable aleatoria utilizaremos el siguiente ejemplo: La tabla 4.1. representa el número de camisas que un comercio vende durante un mes, clasificadas por tallas. La tabla 4.2 representa eí diámetro, en décimas de milímetros, de las arandelas que produjo la máquina M de una fábrica de herrajes para carpintería, durante el primer día de funcionamiento, después de su instalación, momento para el cual se le hacía el seguimiento de norma.

Taba 4.2. "No. de arandelas producidas'1

Tabla 4.1. "No. de camisas vendidas"

117

200

s. c

• <

118 119 120

60

15

34

15 1/2

18

16

10

121

1,500 2.580 1.420

122

750

fo ro

38

14 1/2

700

150

> 123

on t

un

14

m

10 14

a.

13

13 1/2

No, arandelas

No. camisas

om

talla

.a

dm

yc

Si trasladamos los valores de estas tablas a sendas gráficas, tenemos:

w

60 ••

w w

te

2700 -

50 •

U 2400

40 .,

1 210° 1 1800 •o 1500 o 1 200

30 -• 20 -•

600 300

10 •• 13

14

fig. 4.1.

15

16 talla

'

117

119

121

123

fig. 4.2.

Observando las figuras 4.1 y 4.2, notamos que aun cuando los respectivos valores de abscisas y ordenadas difieren, por cuanto describen situaciones verdaderamente distintas, la forma de las gráficas es prácticamente la misma en ambos casos. 70



Gomo ya hemos dicho en la Unidad 2, la totalidad de los eventos aleatorios elementales, resultado de una prueba o experimento aleatorio, constituyen un espacio de evantos. A cada uno de los eventos de ese espacio, corresponde una asignación de probabilidad que representa, dentro del universo incierto que envuelve la prueba o experimento aleatorio, una medida numérica de la factibilidad de realización de tal evento. Podemos afirmar también que el conjunto de tales medidas numéricas describe una característica atribuida al fenómeno, prueba o experimento aleatorio, que se tiene entre manos. En la práctica, se observa frecuentemente que un cierto número de fenómenos, todos de naturaleza aleatoria pero pertenecientes a los más disímiles campos del conocimiento o comportamiento humano, tienen como rasgo común el queja! esâîp_¿^^y^niosjgue describe a cada uno de ellos, le corresponde un conjunto de probabilidades asignadas que presenta, para todos los fenómenos considerados, características similares, al punto de que a tal iconjunto_d^probabilidades)puede llamársele "ley o función de probabilidades".

fo ro

s. c

om

Esto tiene una gran utilidad porque permite, una vez reconocido un determinado fenómeno, decir que se ajusta a tal o cual ley de probabilidades, ley que en su forma más general y haciendo abstracción de consideraciones particulares, puede ser estudiada, analizada y hasta representada por una expresión matemática adecuada.

un

a.

m

El estudio de estas leyes o funciones de probabilidad, es factible a través del concepto de variable aleatoria.

on t

Definición:

.a

dm

yc

Una variable aleatoria X es una función real de los elementos del espacio de eventos, su dominio es el espacio de eventos y su rango es un subconjunto de los números reales.

w

X

w w

""" •—-^ ,

R

fig. 4.3.

Así, en el ejemplo de las camisas, de la tabla 4.1, el espacio de eventos está constituido por: S =(x/x = cada una de las camisas vendidas!

Podemos definir lógicamente la variable aleatoria:

T (x) = talla de la camisa x, Vx e S Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

71


que es una v.a. discreta cuyo dominio de definición es S y cuyo rango es RT - { 13,13 1/2,14, 14 1/2,15,15 1/2,16 ) Veamos otro ejemrlo. Supongamos que el instante en el cual una persona deja su casa para dirigirse a su trabajo, cualquiera de los días laborables de la semana, está entre las 7,30 y las 8:00 AM. Si designamos con Z la v.a. que representa el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante en que la persona deja su casa y las 8:00 AM, tenemos que: el espacio de eventos será SHx/7:30
S ={K/O < x < 30}

s. c

om

con esté espacio de eventos la expresión funcional de la variable Z será:

m

{ z/0
a.

Rz=

fo ro

que es una v.a. continua cuyo dominio es S y cuyo rango es

on t

un

Es usual designar las v.a. por las últimas mayúsculas del alfabeto y ios valores que toma la variable por la correspondiente minúscula.

yc

Como acabamos de ver con los ejemplos, una variable aleatoria puede ser discreta o continua.

w w

w

.a

dm

Decimos que la variable aleatoria X es discreta si su rango Rx es un intervalo o la unión de intervalos de la recta real (se entiende que los intervalos a los que hacemos referencia son no puntuales).

4.2. FUNCIONES DE PROBABILIDAD En esta sección describiremos la manera de formalizar lo que en la sección anterior hemos designado como el "conjunto característico de medidas numéricas o asignaciones de probabilidad correspondientes a un espacio de eventos". Hasta ahora, dado un espacio de eventos Í2, a cada uno de los eventos que lo conformaba le era asignada una probabilidad déla forma siguiente.

fig. 4.4.



Con la definición de variable aleatoria tenemos:

flg.4.6.

fo ro

s. c

om

El hecho de que el proceso de asignación se aplique a un subconjunto de los números reales y no ya a un conjunte de eventos cualquiera, de la naturaleza más variada, sin duda que facilita el estudio ordenado y generalizado de los fenómenos aleatorios; la consideración de las variables aleatorias permite la homogeneización del conjunto sujeto de la asignación. Sea cual fuere el fenómeno aleatorio que se trate, la asignación de probabilidad se hará siempre sobre un subconjunto discreto o continuo de números reales.

un

a.

m

De esta forma las funciones de probabilidad que a continuación señalaremos, son una descripción analítica de las probabilidades asignadas a una variable aleatoria considerada.

yc

on t

Vamos a considerar separadamente los casos referentes a v.a. discretas y a v.a. continuas.

dm

4.2.1. Caso Discreto

w

.a

4.2.1.1. Función densidad de probabilidad

w w

Sea X una v.a. discreta, la función densidad de probabilidad para X es una función designada por Px (x), de la variable real x y definida como: Px (x)- P ( X M - x ) ,

V x S R y co e n

Ejemplo: sea X la v.a. que representa la suma de los puntos en el lanzamiento de un par de dados. El rango de X es:

r x =12,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} el dominio está dado por que por extensión es.

D(2) = D(3) =

D (x) = { w/X (w) = x

(1, l)í (1,2), (2,1)}


73


D(4)=

{(1, 3), (2, 2), (3,1))

• c

•

D(12) = f(6,6)J D (x) -

{.$}

para cualquier x £ r x

aplicando la definición clásica de probabilidad tendremos: PX (2)- 1/36 Px (3)= 2/36

om

PX W = 3/36

s. c

Px (6) = 1/36

fo ro

PX ( x ) ~ O para cualquier x ^ rx

a.

m

que son los valores de la función densidad de probabilidad correspondiente a la v.a. X.

on t

un

4.2.1.2. Función de distribución acumulada

w w

w

.a

dm

yc

En la mayoría de los problemas de Análisis de Decisiones resulta más cómodo asignar la probabilidad al evento que, consiste en que la v.a. esté dentro de un rango definido de valores que al evento elemental que considera un valor particular de ia v.a. Es por ello que resulta de gran utilidad la función de distribución acumulada que designamos por F x (t) Y que representa la probabilidad de que el valor x de la v.a. X no exceda del valor t =P ( x ' S x<

a manera de ejemplo, en la figura 4.6. se representan, para el caso del lanzamiento de los dados, tanto la función de densidad como la función de distribución acumulada • 6/36 .

P x (x)

i , Fx (t)

5/36 4/-36

24/36 .

•

3/sa

16/36 .

2/36 .

12/36

1/36 .

6/36

1

4

-^

30/3fi

"~1

2

s

—i 4 5 a

w.

s-

-

y

1

I

9 1 0 11 12 X ' 1 2 3 4 5 6 7 8 —fig.www.admycontuna.mforos.com 4.6. Digitalizado por Liz Zambrano para 7

9 10 11 ¿2


La función densidad de probabilidad resulta útil en la determinación de algunos parámetros de la v.a. correspondiente, así: Llamamos media o valor esperado de la v.a. X al valor

mx= E(X)=

S

x • P x (x)

Rango de X ,

2

H(x) • P x (x)

fo ro

Rango de X

s. c

E[H(x)]=

om

en forma más general, el valor de una función H de la v.a. X, H (X) sería:

un

a.

m

La variancia de la v.a. X, denotada por varx ó ax está dada por:

on t

™ r x = ax2 = E [ ( X - m x ) 2 ]

dm

yc

= E [ X 2 ] -m x2

w w

w

.a

En el ejemplo que venimos tratando, de la v.a. X asociada al par de dados, si consideramos la función H (X) = 100X—500 y queremos determinar su valor esperado tendremos: H(x) - P x (X)

sustituyendo:

E [ H ( X ) ] = (100.2-500) ~ + (100.3-500) — + ob

uO

+(100.4-500) ¿- + (100.5-500) A. + +(100.6 - 500) ¿ + dOO.7 - 500) ¿ + +(100.8-500) -|r +

+

+(100.12 - 500)— 36 E [ H (X) ] = 7200 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

75


4.2.2, Caso Continuo 4.2.2.1. Función densidad de probabilidad 3ea X una v.a. continua, si existe f (x) tal que P (x < X < x + dx) = f(x) • dx

m

fo ro

s. c

om

entonéis f x (x) recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Como ejemplo mencionaremos la función de densidad "Normal" sin duda ampliamente conocida po* ustedes,

un

a.

Función de distribución acumulada

w w

w

.a

dm

yc

on t

La función de distribución acumulada, para la variable X, designada por FX , es una función que representa la probabilidad de que el valor x de la v.a. X no exceda el valor t F x ( t ) = Px ( x < t ) = /

f(x)
— OO

f (x) es la función de densidad. Para la v. a. Normal estandarizada (m = O, o2 = 1) la expresión de la función de distribución acumulada es . i x T

2

, <&

esta integral está tabulada en muchos libros y algunas de las modernas calculadoras de bolsillo la tienen programada. 4.2.3. Fractües De gran utilidad en la codificación de la incertidumbre en el Análisis de Decisiones son los fractiles. Tomemos O < k < 1, el lOOk —ésimo fractil de la v.a. X denotado por t k , es el menor de los números para el cual-la probabilidad de que la v.a. no lo exceda es k \ ~\f F Y /f V^k / R-

76

En la figura 4.7, por ejemplo, tQ 20 es Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Px(x
fig.4.7.

m

t0í50 = segundo cuartil o mediana

s. c

10 25 = primer cuartil

fo ro

Hay fractiles que reciben nombres especiales,

om

el vigésimo vi fractü, F(tQ 2 0 ) = 0,20

un

a.

t 0 7 5 = tercer cuartil

on t

Ejemplo:

yc

sea X una v.a. cuya función de distribución es

dm

Fx (t) = O para todo t < O

w w

w

.a

VTparaO
= 1 para todo t > 1

si queremos hallar la mediana o segundo cuartü (t 0i&0 ) hacemos, por definición,

de donde

= (0,50)2 = 0,25 Mediana = 0,25

de forma similar se podrán determinar los cuartiles t nU,„ y tnU,« (pri... ¿O * 7O ** mer y tercer cuartü), obteniéndose: t

t o . 2 6 = °'°625

t O T 5 = 0,5625 Una cantidad a menudo útil es el rango intercuartÜes,7 t 0,75 f - 1 f t, ,. 0,25 * en nuestro ejemplo O,75

^ 0 . 2 5 =0,5


77


Desarrollemos el siguiente ejemplo: El departamento de marketing de una empresa desea determinar la distribución de probabilidad del precio que ofrecerá una de las empresas competidoras, en un concurso o licitación pública para el suministro de diez mil unidades de un producto, que ha abierto un organismo X, Después de una consulta a los expertos en precios se tiene 3o siguiente. — Una de cada 100 veces podría ocurrir que el precio por unidad ofrecido sea inferior a Bs. 35 mil — 25 de cada 100 veces podría ocurrir que el precio por unidad ofrecido sea inferior a Bs. 48 mil

om

— 50 de cada 100 veces podría ocurrir que el precio por unidad ofrecido sea inferior a Bs. 50 mil

s. c

— 75 de cada 100 veces podría ocurrir que el precio por unidad ofrecido sea inferior a Bs. 53 mil

m

fo ro

— 99 de cada 100 veces podría ocurrir que el precio por unidad ofrecido sea inferior a Bs. 60 mil.

on t

un

a.

Estamos interesados en construir la curva de distribución de la v.a. que representa el precio unitario ofrecido por las distintas empresas; veamos del enunciado se desprende: 50

=50.000 ;

yc

=48.000 ,t 0

dm

VTE» =53.000 y t0 99 = 60.000.

w w

w

.a

Representando estos valores en una gráfica tendremos.

35

40 45

45

50

55

60

fig. 4.8.

78


65

70

t

4.3. METODOLOGÍA DE LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES En la sección 3,1 introdujimos la problemática de la asignación de probabilidades y su relación con el grado de información poseído sobre el experimento aleatorio, sus respectivos eventos y las condiciones bajo las cuales éstos se podrían realizar. Resaltamos cómo las distintas concepciones de la probabilidad y los distintos estados de información arrojaban asignaciones que aun siendo de distinto valor podrían considerarse, todas, como buenas asignaciones de probabilidad, producto de un estado de información, conocimiento o condicionamiento de quien hacía la asignación. En esta sección veremos cómo se realiza en la práctica un proceso de asignación de probabilidades, el cual en definitiva, consiste en traducir en funciones de distribución de probabilidad el juicio de personas conocedoras (especialistas).

fo ro

s. c

om

Distinguiremos las figuras de "analista" y la de "especialista" o "experto", el primero es quien conduce el proceso de asignación, por cuanto es el conocedor de la metodología, el segundo es aquel que por su condición de conocedor de la materia sobre la cual se investiga, o mejor dicho, de la variable cuya incertidumbre se quiere codificar, le corresponde la verdadera tarea de la asignación.

a.

m

El especialista es siempre designado por el decisor que es la persona (o grupo de personas) sobre quien recae la responsabilidad de la decisión.

un

4.3.1. Principios a observar en el proceso de asignación de probabilidades

w w

w

.a

dm

yc

on t

Una vez que se construye el modelo de Análisis de Decisiones, según el procedimiento que se indicará en el Módulo III, quedan definidos cuáles son los estados de la naturaleza o variables aleatorias cuya incertidumbre se desea codificar; claro está, dado que el proceso de análisis es un proceso iterativo, es factible que un primer modelo sea refinado ulteriormente con la introducción de información adicional, acción con la cual pueden surgir nuevas variables o estados nuevos, que harán replantear el proceso de asignación iniciado con el primer modelo. Vale la pena apuntar que la decisión de refinamiento del modelo lleva implícito un estudio o análisis de costos, cuestión que escapa a los objetivos de esta Unidad y que será tratada en el Módulo II. Lo que sí interesa recalcar ahora, es que a raíz de la construcción del modelo de decisión es que se tiene el conjunto de variables cuya incertidumbre es necesario codificar, proceso para el cual es importante observar una serie de principios que servirán de base para estructurar y definir cada una de las variables. Es conveniente asegurarse, antes de iniciar el'proceso de asignación, que se cumpla la lista que a continuación detallamos, de lo contrario es casi inevitable encontrarse con dificultades: a) La variable cuya incertidumbre se desea codificar debe ser importante para el proceso de decisión, en el sentido de que las resultados del modelo de decisión sean muy sensibles a los valores de la variable. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

79


b) El ni/el de detalle requerido en el proceso de asignación debe ser previ úñente establecido para cada variable, de acuerdo a su importancia dentro del proceso de decisión. Pudiera ocurrir que para cierta variable bastara establecer tres o cuatro puntos de su curva de distribución, mientras para otra de mayor importancia sea necesario determinar, dentro de un cierto rango, un número grande de puntos. c) Bajo la estructuración que se le ha dado al problema en consideración, la variable debe representar un estado de'la naturaleza sin lugar a ambigüedades, la variable no debe sufrir influencia alguna de las acciones que lleve a cabo el decisor. En caso contrario deberá reestructurarse el problema.

om

d) Las variables deben ser estructuradas, en el sentido de que si están sujetas a condicionamiento por otras variables, tal condicionamiento debe figurar en forma explícita.

un

El analista deberá describir la variable, empleando una escala o unidades que sean significativas para el especialista que hará las asignaciones. Por ejemplo, en la industria del petróleo puede hablarse de litros, galones, barriles o toneladas. Es importante que la unidad sea elegida de manera que el especialista se sienta cómodo, de modo que no realice ningún esfuerzo respondiendo sus preguntas.

.a

dm

yc

on t

f)

a.

m

fo ro

s. c

e) Las variables deben ser claramente definidas; no debe existir la posibilidad de interpretaciones equívocas. Por ejemplo, no tiene sentido preguntar por el "precio del petróleo en 1976" sin aclarar la cantidad, calidad o tipo, la época del año, en cuál mercado. Una mejor pregunta es sin duda "el precio del barril de petróleo pesado para el lo. de enero <}e 1976 en el mercado de Rotterdam".

w w

w

4.3.2. Sesgo en la asignación de probabilidades Ya hemos dicho que la probabilidad es un concepto eminentemente intuitivo; las personas percibimos y apreciamos la incertidumbre de forma similar como percibimos y apreciamos la distancia. De la misma forma como un automovilista estima las distancias lo suficientemente bien como para evitar accidentes, un ejecutivo, generalmente, es capaz de evaluar la incertidumbre, lo suficientemente bien como para beneficiar su empresa. Con esta premisa, cada manera de juzgar las situciones, puede conducir a resultados sistemáticamente De allí que sea importante considerar este punto de manera que, una vez detectada la presencia del sesgo en una situación real, el analista sea capaz de aplicar los correctivos para minimizar su efecto. Las fuentes, orígenes del sesgo o de las influencias y tendencias sistemáticas que se pueden presentar en un determinado proceso de asignación de probabilidades, pueden ser esencialmente de carácter cognoscitivo o de carácter motivacional. 80



El sesgo de origen motivacionaí consiste en "ajustes" que a nivel consciente o subconsciente hace el especialista de manera tal de "orientar** la decisión. Supongamos el caso del lanzamiento de un nuevo modelo de automóvil; un especialista que sea consultado, que particularmente le agrade mucho el auto por razones no del todo explicables^ seguramente hará un pronóstico muy optimista, de manera de favorecer la decisión del lanzamiento del producto.

om

Puede suceder también que las respuestas de un especialistas estén sesgadas por el temor de que sea juzgada su persona a través de los resultados; por ejemplo, un gerente de ventas bien podría suministrar un pronóstico pesimista sobre las futuras ventas pensando que él será "mejor visto" si las. ventas reales exceden su predicción. Puede hasta suceder que el individuo suprima toda incertidumbre en su pronóstico, pensando que de una persona de su posición dentro de la empresa, se espera un conocimiento certero sobre todo lo que ha de suceder dentro del área de su incumbencia.

fo ro

s. c

En fin, aun cuando supongamos honestidad de parte del especialista, en el sentido de que asumimos la ausencia del sesgo de carácter motivacionaí, queda por considerar el sesgo de carácter cognoscitivo,

un

a.

m

Este consiste también en algunos "ajustes" que introducé sistemáticamente en sus respuestas el individuo, en la medida en la cual va procesando intelectualmente sus percepciones, por ejemplo:

w w

w

.a

dm

yc

on t

Es común que una determinada respuesta esté influida por una información en particular, simplemente porque esta información es más reciente y por lo tanto se encuentra más a la mano; no es extraño que cuando a nuestro gerente de ventas le sea pedido un pronóstico para el año venidero, le dé mayor peso al resultado de las ventas del presente año que al de las ventas de los años anteriores. Puede darse también el caso en el cual el especialista ignore ciertas circunstancias, que aun escapando a su dominio, sean factibles, como pueden ser virajes políticos, controles financieros inusuales, devaluación de la moneda, conflictos bélicos, etc. Vemos claramente que una de las responsabilidades del analista es entonces la de tratar de detectar las actitudes asumidas por el especialista y su modo de juzgar las situaciones, con el fin de intentar minimizar el sesgo y lograr lo que es denominado el conocimiento firme o estable que posee éste sobre la materia tratada. No nos detendremos sobre las formas de lograrlo, ya que escapa al objetivo de este texto, simplemente llamamos la atención sobre la importancia de que tales consideraciones tienen en el proceso de asignación. Para concluir este aspecto, en la figura 4.9. podemos apreciar, gráficamente, cómo queda alterada la función de densidad de probabilidad asignada a un cierto estado de la naturaleza, por la presencia del sesgo que hemos mencionado. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

81


•ucfl 3 :=! J2

ta

43

o

"S TJ

Valor fig. 4.9.

s. c

om

Si asumimos que la curva A representa el conocimiento firme, estable que tiene el especialista sobre la variable que se investiga, las curvas B, B' y C representan el conocimiento sesgado.

un

a.

m

fo ro

Veamos que mientras B representa un intento de reducir al mínimo la incertidumbre, B' significa una actitud totalmente contraria, un intento del especialista de hacer más vago el conocimiento ya intrínsecamente incierto, que tiene sobre el estado de la ntarualeza investigado.

on t

La C representa claramente un desplazamiento en el valor de la variable investigada.

dm

yc

4.3.3. Métodos para la asignación de probabilidad

w w

w

.a

La generalidad de los métodos de codificación o de asignación de probabilidad se basan en cuestiones cuyas respuestas pueden ser representadas como puntos de una curva o función de distribución acumulativa que representa el estado de la naturaleza investigado. Una clasificación de los métodos de codificación es la siguiente: Método P.

Fijado un rango de valores de la variable aleatoria se piden respuestas sobre la escala de probabilidades.

— Método V.

Fijadas las probabilidades de realización de la variable aleatoria, se piden respuestas sobre la escala del valor.

-

Las preguntas se pide sean respondidas usando ambas escalas conjuntamente.

-

Método P.V.

Los cuestionarios son elaborados de manera que las respuestas puedan ser de forma directa o indirecta. Y las técnicas de codificación varían según los métodos y según el tipo de respuesta; este esquema se resume en la tabla 4.3.



Allí se puede apreciar que el tipo de respuesta directa requiere que el especialista dé un número que, según el método usado, puede representar una probabilidad o un valor. Por ejemplo, con el método P, podemos preguntar al experto; ¿cuál es la probabilidad de que para el próximo año las ventas globales de un determinado producto sean menores o iguales a 3,000 unidades? O, usando el método V, ¿cuál es el nivel de ventas que corresponde a una probabilidad del 10%? La respuesta a la primera pregunta puede ser dada como un número absoluto; 0,20, como un porcentaje. 20% o puede ser expresada como una fracción "uno en cinco", "dos en diez". La respuesta a la segunda pregunta será simplemente un número que representa un volumen de unidades.

om

TABLA 4.3. Clasificación de las Técnicas de Asignación de Probabilidad

Método de codificación

INDIRECTA Proceso de referencia Eventos internos al proceso externa

DIRECTA

fo ro

Probabilidad (fijo el valor)

s. c

Tipo de respuesta

Mediante un Disco fijando el valor

Mediante la asignación de fracciones de probabilidad a eventos mutuamente exciuyentes

Mediante Disco fijando la Mediante la técnica del intervalo probabilidad del evento

.a

Mediante fractfles

w w

w

Valor (fija la probabilidad)

dm

yc

on t

un

a.

m

Mediante curva de distribución acumulativa

Probabilidad Valor (ninguno fijo)

Dibujando un gráfico ; descripción para métrica

TABLA 4.3.

Con el método P. V. se emplea exclusivamente el tipo de respuesta directa; el especialista en este caso podrá dibujar la curva de densidad o de dbtribucion acumulativa, o bien puede señalar parejas de puntos (valor, probabilidad); también puede expresar su respuesta dando la distribución en forma paramétrica; por ejemplo, podría afirmar que la variable considerada tiene una distribución "Normal con media = 15 y variancia = 4".


83


Con el tipo de respuesta indirecta se puede recurrir al uso de eventos internos al proceso de asignación, o bien se puede utilizar lo que se llama un proceso externo de referencia.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Como proceso externo de referencia es común el empleo de un "disco de probabilidad'1 que no es más que un disco dividido en dos sectores, uno azul y uno rojo, por ejemplo, con un apuntador fijo en el centro; mediante un ajuste sencillo se puede variar el área de los dos sectores complementarios y, de esta forma, se varía también la probabilidad de que el apuntador, señale uno u otro sector cuando el disco se detenga una vez que haya sido impulsado para que gire. En la figura 4.10 se puede observar una representación del disco.

fig. 4.10

Este disco se usa en la forma siguiente: Se le pide al especialista que elija, entre una apuesta relativa a la cantidad que se investiga, por ejemplo, "que la producción el año próximo no exceda de X unidades" o una apuesta relativa al disco, por ejemplo que una vez impulsado éste, el apuntador marque sobre el sector rojo. La porción de rojo en el disco se varía hasta que para el especialista sean indiferentes ambas apuestas; en este momento se habrá encontrado la probabilidad que será la cantidad relativa de rojo en el disco. En este ejemplo hemos hecho referencia al método P. puesto que el valor había sido fijado y se busca la probabilidad. En general, el disco es preferible emplearlo casi siempre con este método, aunque puede usarse con el método V. 84



Una característica importante del disco de probabilidad es que permite obtener asignaciones que varían en forma continua entre O y 1, cosa que es difícil realizar, por ejemplo, con la técnica de los fractiles empleada con el tipo de respuesta directa. Una técnica similar a la del disco es la de una barra horizontal con un apuntador que define dos eventos, a su izquierda y a su derecha. Con el uso de los eventos internos se procede así: Método P. Se le pide ai experto que asigne probabilidades relativas a dos eventos bien definidos, por ejemplo, se le pregunta al experto si es más probable que las ventas del año próximo estén por encima o por debajo de las 5,000 unidades. Una vez que ha respondido, se le pide que diga cuan probable es.

a.

m

fo ro

s. c

om

Método V, Se emplea la llamada técnica del intervalo. Se inicia con un intervalo que cubre todas las posibles realizaciones del experimento aleatorio y se divide en dos partes; se le pregunta al especialista cuál cree que sea más factible y a continuación se desplaza la división de manera de reducir la parte que él ha considerado la más probable y se vuelve a preguntar. Cuando el especialista decide que cualquiera de las dos tiene la misma probabilidad de realización, se habrá encontrado entonces la mediana.

yc

on t

un

Dividiendo sucesivamente los intervalos, se puede encontrar los cuartiles y así podría continuarse, aunque la práctica ha demostrado que es inconveniente proseguir después de los cuartíles.

w w

w

.a

dm

Aunque en este libro no nos ocuparemos de describir el proceso de la entrevista ni la manera de conducir la fase de cuantificación del conocimiento del especialista, diremos que, dependiendo de cada situación, son empleados en forma conjunta un grupo de las distintas técnicas que acabamos de señalar. Es usual, por ejemplo, que para definir los extremos de la curva de distribución se emplee, preferiblemente, el tipo de respuesta directa, y para la definición del resto de los puntos la técnica del intervalo, conjuntamente al disco de probabilidad; sin embargo, esto no constituye una regla y podrían ser otras las técnicas que más se adecúen a la codificación de una determinada variable.


85


AUTO E VALUACIÓN Instrucciones A continuación se le presentan distintas situaciones seguidas de alternativas de respuesta. Sólo una de las alternativas es correcta para cada situación. Seleccione la correcta y señálela encerrando en un círculo la letra ,que la identifica. Suponga que tiene la v.a. X la cual representa un costo que se sabe está entre los 100 mil y los 300 mil bolívares; la distribución de probabilidad acumulada de la v.a. es la que muestra la figura. Se quiere determinar, en forma aproximada, el valor esperado de la v.a.; para ello suponga que los valores se agrupan en cuatro grupos equiprobables y que el valor representativo de cada uno es su punto medio.

150

200

250

300

t(Bs. 10a)

w w

w

100

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

1.

El valor esperado es aproximadamente:

2.

A

Bs. 183.000

B

Bs. 200.000

C

Bs. 487.000

Una persona piensa contraer una deuda próximamente basándose en un aumento de salario que le va a ser acordado y ha decidido que para amortizar dicha deuda no aportará más del ,'20 % del salario que devengue para elmomento, el cual depende del aumento esperado. Supongamos que esa persona está interesada en conocer el tiempo en que amortizará la deuda, asumiendo que éste es aproximadamente M/C, (M=monto de la deuda y O= cuota aportada). El aumento que recibirá el candidato es una v.a. que se distribuye según la curva siguiente: Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

91


P(A
rf

u

>-

/

E

15%;

= 15M/c

15%,

t = M/l,15c

a.

m

(\

s. c

17,5 %;t = M/l,175c

fo ro

A

om

^x íj ^\e cuál es el valor esperado del porcentaje de aumento y, en conse( > v cuencia, el valor esperado del tiempo de amortización, si antes de recibir el aumento la persona estaba dispuesta a aportar la cantidad de C bolívares.

Antes de iniciar un proceso de asignación de probabilidades para un cierto fenómeno aleatorio, lo más importante es.

on t

un

3.

Construir el modelo de decisión definiendo claramente los distintos estados de la naturaleza, que son importantes para el fenómeno aleatorio y sus iníerrelaciones

dm

B

yc

Conocer la distribución de probabilidades de cada uno de los eventos

.a

'M AN

r\

. /

w

V

O » i/)

{V

I; !

Decidir si el estado de información del especialista es suficiente como para responsabilizarse por la decisión

w w

7 j /T

D

4.

Considerar la posición dentro de la empresa de los integrantes del panel de especialistas

Cuando el analista formula la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que la tasa de inflación interna para el segundo semestre del año próximo exceda el 20 % anual? está requiriendo: A

Una respuesta directa referida al valor que toma la v.a. considerada

B

Los parámetros de la curva de distribución de la v.a. considerada

C

Una respuesta directa sobre la probabilidad de un evento

D

El vigésimo f ractil de la distribución de la v .a. considerada



5. El sesgo de las respuestas en un especialista tiene poco que ver con:

Su conocimiento sobre el fenómeno aleatorio considerado y su entorno B

La opinión que pueda formarse el Decisor sobre el especialista La estructuración del problema de decisiones

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

La consideración de solamente una parte de toda la información disponible

w w

D


89



PREGUNTA

CLAVE

OBJETIVO EVALUADO

SECCIÓN DE REREFERENCIA 4.2

4.2

4.3

10

4.3

om

10

10

fo ro

s. c

4.3

a.

m

Clave Razonada

on t

un

Pregunta 1 Refiriéndonos a la gráfica y usando la sugerencia del problema, tenemos identificados cuatro grupos de valores: Grupo de valores

yc

Punto medio aprox.

w w

w

.a

dm

de 100 a 150

de 200 a 300

125 166 192 250

Los puntos medios representan a su grupo y por lo tanto podemos suponer que cada uno de esos puntos ocurre con una probabilidad de 0,25, con lo cual el valor esperado de la variable aleatoria será, aproximadamente, E (X) = 125 • 0,25 + 166 • 0.25 + 192 • 250 • 0,25

E (X) = 183,25 Como los valores estaban dados en miles de bolívares, la respuesta será: "El valor esperado de X es aprox. B' 183.000". Nótese que si los valores se hubieran agrupado en vez de cuatro en 5,10, 20 ó más grupos equiprobables, se hubiera tenido una aproximación mayor. 91 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Pregunta 2 Como una aproximación consideramos en la c.d. de los valores agrupados en cuatro grupos cuyo representante es el valor central del grupo, de esta manera GRUPO

VALOR CEN

VL

PROBABILIDAD

0-10%

5%

0,25

10-15 %

12,5 %

0,25

15-20 %

17,5 %

0,25

20-30%

25 %

0,25

El valor esperado del porcentaje de aumento de salario será: E = 5 • 0,25 + 12,5 • 0,25 4- 17,5 • 0,25 + 25 • 0,25

s. c

om

E «15 %

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

Si antes de recibir el aumento la persona estaba dispuesta a aportar una cuota c a la amortización de la deuda, ahora podrá aportar una cuota igual a 1,15 x c con lo que el tiempo de amortización será: M/l, 15c.

92



UNIDAD

5

ARBOLES DE DECISIONES

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deberá estar en capacidad de: 11) Estructurar un problema de decisiones en forma de Árbol de Decisiones y determinar la estrategia óptima de Decisión. ESQUEMA DE CONTENIDO 5.1. Introducción .

fo ro

5.2. Definición de Grafo

s. c

om

Pág

m

5.3. Definición del Árbol

94 95

, ,,.,

96

,,.

101

5.6. Estructuración de! Árbol de Decisión . , = . , . . , , . . . . . . . . . . . . . , . ,

101

un

a.

5.4. Árbol de Probabilidades . . . . . . , . ,

94

yc

on t

5.5. Árbol de Decisión . . , . ,

.a

dm

.... ............... 5.6.2. Fases para la estructuración del Árbol de Decisión .........

........................

110

w w

w

5.7. Operaciones sobre Arboles de Decisión

101 109

5-8, Evaluación del Árbol de Decisiones

........

.

..................

5.8.2, Paso 2: Árbol Modificado ........ ". . ....... , 5.0,8. Paso 3; Proceso da Max irnis ación . . . . . . . .......

.......... . .......

110

112 113

5.9. Esquematización del procedimiento general para la Evaluación del Árbol de Decisiones. . . . . ..................................

115

5.10. Interpretación de ios resultados de la Evaluación del Árbol de Decisiones ........ . .................. . ....................

122

Autoevaluación . . . . . . ....... ......

...........

123

Solución de la Autoevaluación ..... .

..........

.

...............

. ...... . ..... . . . . .

127 93



5.1. INTRODUCCIÓN En esta Unidad nos dedicaremos a estudiar una técnica para facilitar la estructuración de un problema de decisiones. La Teoría de las Probabilidades introducida en las unidades anteriores, junto con la Teoría de la Utilidad, a su ves desarrollada en el próximo Módulo, constituyen los principales instrumentos utilizados en el Análisis de Decisiones. Existen una serie de técnicas basadas en dichas teorías, que facilitan el análisis de problemas de decisiones; dentro de éstas, podríamos decir que la más importante y utilizada, debido a la forma en que contribuye a la clara e ilustrativa estructuración del problema, es la del Árbol de Deciciones.

fo ro

s. c

om

Antes de que definamos lo que llamaremos Árbol de Decisiones y nos dediquemos a aprender cómo estructurarlo y utilizarlo, es conveniente introducir los conceptos de Graf o y de Árbol, como caso particular de aquel. Posteriormente al referirnos a Arboles consideraremos dos casos: Árbol de Probabilidades y Árbol de Decisiones.

m

5.2. DEFINICIÓN DE GRAFO

dm

yc

on t

un

a.

Se entiende por Grafo a una figura formada por puntos llamados vértices o nodos y por segmentos de línea, que conectan dichos nodos, denominados ramas. La Teoría de Grafos es un instrumento de uso común en gran cantidad de campos. Inicialmente tuvo su mayor aplicación en diagramas eircuitales y moleculares, pero su campo de acción se ha ido ampliando de manera asombrosa y hoy en día su uso se ha extendido a casi todas las ramas del saber (Ingeniería, Economía, Biología, Sicología, etc.),

w w

w

.a

A través de un ejemplo podemos entender mejor el significado de un Grafo, Supongamos un campeonato de béisbol en el que participan cuatro equipos que llamaremos A, B, C y D. Después de cuatro semanas de haberse inciado el campeonato la situación es la siguiente: A ha jugado con B, C, D B "

"

" A,C

C "

"

" A,B,D

D "

"

" A,C

Para ilustrar esta situación podemos utilizar un Grafo — Cada punto representa un equipo — Cada línea conectando un equipo con otro indica que esos equipos han jugado entre sí. En la figura 5-1 se ilustra la situación



6

FIG. 5-1 Grafo campeonato de béisbol

om

Los puntos A, B, C, D son los nodos del Grafo. Los segmentos AB, AD, AC, CB y CD son las ramas del Grafo.

un

a.

m

fo ro

s. c

Se denomina camino de un Grafo a un conjunto de ramas consecutivas que unen o enlazan dos nodos cualesquiera. En la figura 54 las ramas AB y AC constituyen un camino entre los nodos C y B, nótese que la rama CB es también un camino entre los nodos C y B o sea, entre ese par de nodos hay más de un camino posible. Observamos también que el camino constituido por las ramas CA, AD y DC es un camino cerrado.

on t

5.3. DEFINICIÓN DE ÁRBOL

dm

yc

El árbol es un caso particular de Grafo en el cual no se presentan caminos cerrados y entre cualquier par de nodos el camino es único.

.a

De acuerdo a esta definición, el ejemplo anterior no constituye un árbol.

w w

w

Usaremos el siguiente ejemplo para ilustrar un árbol. Supongamos el experimento que consiste en lanzar una moneda dos veces. La descripción de los resultados puede presentarse a través de un árbol (figura 5-2). A, Bs C, D, E, F, G representan los nodos del árbol. AB, AC, BD, BE, GF y CG son las ramas del árbol. Nótese que: Número de ramas = número de nodos menos uno (1). Relación que se cumple para cualquier árbol. Tabla de Resultados Cara - Cara

Cara - Sello Sello - Cara

Sello - Sello FIG. 5-2 Árbol experimento lanzar moneda dos veces


95


5.4 ÁRBOL DE PROBABILIDADES La estructuración de un árbol de probabilidades permite simbolizar y determinar más fácilmente la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento condicio nado que haciendo uso de las ecuaciones existentes para este propósito.

s. c

om

El árbol de probabilidades está constituido por nodos y ramas. Cada uno
fo ro

Nodo Incertidumbre

a.

m

FIG. 5-3 Nodo incertidumbre

w

.a

dm

yc

on t

un

Donde x.,. x0« x.3 representan variables aleatorias discretas. 1

w w

Nodo incertidumbre

FIG. 5-4

Donde x representa una variable aleatoria continua que tiene una función densi dad de probabilidad f(x) dada. Tomemos ahora nuestro ejemplo de las lámparas analizado en las unidades anteriores, e identifiquemos los estados de la naturaleza para él mismo, Cj : lámpara procede fabricante A C : lámpara procede fabricante B B: M:

resulta buena "

mala

Los eventos terminales o resultantes serán aquellos eventos a partir de los no se considera la ocurrencia de ningún otro estado de la naturaleza.

96



En nuestro ejemplo serán: Cl B: lámpara buena proveniente fabricante A C.M: C 2 B.

C 2 M:

" mala buena

"

"

A

"

"

B

" mala

B

Por otra parte las ramas de un árbol de probabilidades indica que a partir de un estado de la naturaleza (1) pasamos a un estado de la naturaleza (2) En la figura 5-5 se indica el árbol de probabilidades para el ejemplo considerado. B

om

B C,

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

C.

MC,

w

.a

FIG. 5-5 Árbol probabilidades. Ejemplo 1

w w

A cada una de las ramas que se indican en la figura 5-5, se le asigna un valor de probabilidad determinado. T>, D ,~ J— ^-n0,

P(C 1 )= 0,7

P(C2J=0,3

FIG. 5-6 Árbol probabilidades. Ejemplo 1 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

97


Veamos el procedimiento para determinar a través del árbol, la probabilidad de cada uno de los eventos terminales: —

Se multiplican las probabilidades de cada una de las ramas que partiendo del nodo terminal llegan al nodo inicial. Por ejemplo:

^PÍB/CJ - P(c t ) = 0,595 i ) ^ 0,35 ° 0,7= 0.595 De igual forma podemos calcular la probabilidad para el resto de los nodos terminales.

om

P ( M C j ) = P ( M / C , ) - P ( C J = 0,105

s. c

P ( B C 2 ) = P(B/C 2 ) - P ( C 2 ) = 0,195

fo ro

P(MC 2 ) = P(M/C 2 ) • P ( C 2 ) = 0,105

un

a.

P(B) =P (L. buena, fabricante A) +

m

Entonces la probabilidad del evento "lámpara buena" vendrá dada por;

on t

P (L. buena, fabricante B)

w

.a

P(B) = 0,790

0,595

dm

P(B) = 0,195 +

yc

P(B) = P(BC 1 ) + P(BC 2 )

w w

De la misma manera, la probabilidad del evento "lámpara mala" será: P(MJ = P(MC 1 ) + P ( M C 2 ) P(M) = 0,105 + 0,105 P(M) = 0,210 Lo cual es igual a lo obtenido a través de la aplicación de las fórmulas. Como se observa, una vez que se adquiere práctica estructurando el árbol, el cálculo de las probabilidades asociadas a ciertos eventos se calcula con rapidez y se visualiza con mayor facilidad. Para nuestro ejemplo de las urnas o cajas de la Unidad 3, construyamos el árbol correspondiente. Los nodos de incertidumbre serán. C : pelota proviene de caja 1 98



C :

pelota proviene de caja 2

N:

r>

negra

B:

"

blanca

Los eventos terminales NC : pelota negra proveniente de caja 1 BC, :

"

NC 2 : BC 2 .

"

blanca

"

" " 1

negra

»

>í

)í

blanca

í:

"

"2

n

om

En la figura 5-7 se indica el árbol de probabilidades correspondiente EVENTO TERMINAL NC,

fo ro

s. c

N

m

C

on t

un

a.

BC,

BC,

FIG. 5-7 Arboi probabilidades. Ejemplo 2

w w

w

.a

dm

yc

NC,

Cada una de las ramas que se indican en la figura 5-8, tiene asignado un valor de probabilidades.

te. f/c

'3)

FIG. 5-8 Árbol probabilidades. Ejemplo 2 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

99


¿Cómo se determina a través del árbol la probabilidad de cada uno de los eventos terminales? Se multiplican las probabilidades de cada una de las ramas, que partiendo del nodo llegan al nodo inicial; por ejemplo: P(NC.)= — 5

• — 2

4 P(NC.) - —

Reconozcamos cuáles son cada una de las probabilidades anteriores

om

P ( N C 1 ) = P (N/C,) - P ( C , )

fo ro

s. c

De igual forma podemos calcular las probabilidades para el resto de los nodos terminales

m

J =1/10

un

a.

P(NC 2 ) -3/10

on t

P(BC 2 ) - 2/10

yc

Por lo tanto la probabilidad del evento pelota negra será:

.a

dm

P(N)=

10

w w

w

10

P(N)=¿ y la probabilidad del evento pelota blanca

P(B) = P ( B C Í ) + P(BC 2 )

"

1

3

10

" 10

P(B)--^

Note que: P(N) + P(B) = 1 _6_ 4 10+ 10 100

= 1



5.5. ÁRBOL DE DECISIÓN

Cuando nos encontramos ante un proceso de toma de decisiones, el Decisor debe elegir entre una serie de alternativas que constituyen la totalidad de las posibles acciones a seguir. Independientemente de cuál sea la alternativa seleccionada, se producirán una serie de consecuencias, producto éstas de los estados de la naturaleza, que pueden ser caracterizados por distribuciones probabilísticas. Las consecuencias de un determinado curso de acción serán medibles siempre y cuando pueda establecerse una función Beneficio Neto, que permita cuantificar la magnitud que el Decisor asocia a cada una de las consecuencias o resultados.

fo ro

s. c

om

En el desarrollo de esta Unidad utilizaremos como criterio de decisión del Valor Esperado del Beneficio Neto (monetario), debiendo quedar claro de que éste no es el único criterio de decisión posible, material que revisaremos en detalle, en el Módulo II.

5.6. ESTRUCTURACIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

dm

yc

on t

un

a.

m

Como indicamos al inicio de esta Unidad, un árbol de decisiones es un método gráfico que nos permite visualizar e ilustrar el proceso del análisis de decisiones, expresando en orden secuencia! las acciones alternativas que están disponibles para el Decisor, los estados de la naturaleza y los resultados determinados por la incertidumbre.

.a

5.6.1. Elementos de un árbol de decisión

w w

w

Para realizar la estructuración de un árbol de decisión debemos establecer los elementos que lo forman. Para ilustrar la determinación de elementos nos basaremos en el siguiente ejemplo: El presidente de una compañía de perforaciones de pozos petroleros, que realiza actualmente trabajos de perforación en un área de productividad razonable, está evaluando la posibilidad de iniciar una perforación. Los posibles estados de la naturaleza son:

0 j : El pozo está seco 0 2 :,,

„

es pequeño

03; „

„

„ grande

. ir. I

Nótese que los eventos # ¿ > # 2 * ^ 3 son exduyentes. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


La probabilidad de ocurrencia de los eventos 6l, 0 2 , 0 3 dependerá, claro está del tipo de terreno donde se vaya a perforar. Por experiencias anteriores se sabe que si el terreno es tipo A, se tendrá: P (VA) = 0,4

P(0 2 /A)=0,2 P (0 3 /A) = 0,4

Otro tipo de terreno distinto a A (A'), determinará la siguiente probabilidad de ocurrencia de los eventos:

om

P (VA') = 0,6

s. c

P(0 2 /A') = 0,3

fo ro

P(0 3 /A')=0,1

on t

P(A) = 0,4

un

a.

m

La unidad de geología de la compañía, no ha hecho pruebas sobre el terreno, pero estima que por su constitución y experiencias en perforaciones en zonas adyacentes, tiene una probabilidad de 0,4 de ser tipo A.. P(A') = 0,6

w w

w

.a

dm

yc

Por otra parte sabemos que el costo asociado a una perforación es .de doscientos mil bolívares (Bs 200.000) y se estima que la compañía tendrá las siguientes ganancias, dependiendo del tipo de pozo

B (6Í) = 'O

B (B2) = 500.000

B(0 3 ) = 1.200.000

Identifiquemos ahora los elementos que constituyen el árbol de decisiones y procedamos a estructurarlo.

5.6.1.1. Nodos Como todo árbol, el árbol de decisiones tiene nodos, los cuales pueden ser de tres tipos: 1)

Nodos de decisión A partir de los cuales se originan las diferentes alternativas o acciones a seguir. Para esquematizarlas utilizaremos un pequeño cuadrado. En nuestro ejemplo, las diferentes acciones que nos hemos planteado son si perforamos o ño el pozo, las cuales se derivan del nodo de decisión. Esta situación la esquematizamos en la figura 5-9


fo ro

s. c

om


Nodos de incertudumbre

a.

2)

m

FXG. 5-9 Nodo Decisión

dm

yc

on t

un

Son los nodos de los cuales se derivan los eventos o estados de la Naturaleza. Estos nodos estarán representados por círculos.

w w

w

.a

En nuestro ejemplo del nodo de incertidumbre ce derivan los estados de la naturaleza (0,, 0 2 , 0 3 ). En la figura 5-10 se indica esta situación.

NODO INCERTIDUMBRK

FIG. 5-10 Nodo incertidumbre Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

103


Observemos que estos nodos son los mismos que hemos definido en el árbol de probabilidades. Nótese que ios eventos que convergen a un nodo de incertidumbre son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. 3)

Nodos terminales

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

En un árbol de decisión los nodos terminales recogen la ocurrencia secuencial de una serie de eventos, al tomar un determinado curso de acción. Al través del siguiente diagrama, figura 5-11, resumirémos los conceptos antes indicados:

5;6.1.2.

NODOS INCERTIDUMBRE

FIG. 5-11

NODOS TERMINALES

Ramas Definamos ahora las ramas en el árbol de decisión. Podríamos diferenciar dos tipos de ramas. Ramas que representan alternativas o acciones a tomar y ramas que representan ocurrencia de eventos inciertos o estados de la naturaleza. En nuestro ejemplo identificaremos como alternativas — Perforar pozo — No perforar pozo e identificaremos como eventos inciertos o estados de la naturaleza a: — Encontrar pozo seco

104



pequeño —

"

" grande

eventos inciertos

FIG. B-12

.a

dm

yc

li_. alternativa

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Identifiquemos las ramas dentro de nuestro árboi de decisiones

w w

w

Mediante la utilización del ejemplo hemos identificado los nodos y ramas de un árbol de decisión. Analicemos otro ejemplo que nos permita determinar las ramas y nodos de un árbol. Supongamos que el gerente de la compañía petrolera se le ocurre la idea de realizar un estudio de suelos, previamente a tomar la decisión de perforar el pozo; ahora bien, esto involucra un costo, el cual es de cincuenta mu bolívares (Bs 50.000). La pregunta que surge es: ¿se debe realizar el estudio o se debe tomar la decisión con la información que se tiene disponible? Para esta nueva situación, podemos identificar las siguientes alternativas de acción: —

Perforar

—

No perforar


105


Pregunta 4

—

Hacer el estudio

om

las cuales iniciarían la estructuración del árbol de decición, tal como se indica enjg figura 5-13

s. c

FIG. 5-13 Nodo Decisión

m

fo ro

Otro nodo de decisión se presentará una vez que se haya realizado el estudio; al obtener el resultado, se preguntará la conveniencia de perforar o no.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

Los nodos de incertidumbre estará definidos en este caso por los puntos donde convergen los estados de la naturaleza ( 0 1 ? 0 2 , 0'3) y para el caso que decidamos hacer el estudio, los posibles estados de la naturaleza serán A y A. En la figura 5-14 se ilustran estos elementos.

jrarj" Perforar

>«— Alternativas —*jvEventos — \o Nodo Decisión Incertidumbre

106

1*-Alternativas ivas-Jn- Eventos Nodo Nodo Decisión Incertidumbre

FIG. 5.14 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Resumiendo, en el ejemplo tendremos las siguientes alternativas 1) Perforar 2) No perforar 3) Hacer estudio y perforar 4)

"

"

" no perforar

Los estados de la naturaleza

6-2

" pequeño

03

" grande

om

91 Pozo seco

s. c

A Terreno tipo A

fo ro

A' Terreno tipo A'

Asignación de valores

dm

5.6.1.3.

yc

on t

un

a.

m

Observemos a través de este ejemplo, que la estructuración del árbol requiere de una lógica, en el razonamiento. Nótese que la decisión de realizar el estudio es previa a la de perforar, es decir, una vez que perforamos la información que nos podría suministrar el estudio pierde validez.

w w

w

.a

Hasta ahora hemos identificado los nodos y ramas que conforman el árbol de decisión. Para poder evaluar cuál de las alternativas resulta mas atractiva para el Decisor,j es nej. cesario asignarle valores a cada uno de los elementos del árbol.

Cada una de las posibles alternativas que tiene el Decisor para su selección lleva un costo involucrado. Por otra parte, los estados de la naturaleza tienen asignado un valor de probabilidades. En la Unidad anterior hablamos de cómo asignar dichos valores de probabilidades; por el momento vamos a suponerlos como conocidos. Adicionalniente a cada uno de los nodos terminales, íes podemos asignar un valor de ganancia o pérdida, el cual es el Beneficio Neto Involucrado y que se determine por la diferencia entre el beneficio bruto que se obtiene al seguk un determinado curso de acción, suponiendo la ocurrencia de un determinado evento y el



costo involucrado al seguir ese curso de acción. Los valores de Beneficio Neto se. representan como la función de Beneficio Neto (B), que, como ya mencionamos, está determinada por la alternativa a seguir, llamémosla A, y por los estados de la naturaleza #*, es decir, B (A,tf). Nótese que O representa al conjunto de estados de la naturaleza, los cuales pueden representar fenómenos aleatorios de naturaleza tanto discreta como continua.

om

La función Beneficio Neto generalmente se mide en términos monetarios, aunque tal como veremos en el Módulo II, pueden definirse funciones que no se midan exclusivamente en valores monetarios.

fo ro

s. c

Para efectos del análisis, de esta Unidad, consideraremos que la función B(A,0) mide el Beneficio Neto Involucrado en tomar cierto curso de acción.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Dado que los posibles estados de la naturaleza son inciertos, la función B(A,f) también constituirá una vajiable aleatoria y por lo tanto el valor esperado de la función Beneficio Neto B(A,0) será un valor esperado del beneficio que se incurre al seguir un curso de acción A. Volvamos a analizar nuestro ejemplo de la compañía petrolera que debe decidir si perfora o no un determinado pozo. Supongamos que se perfora el pozo; esto necesariamente involucra un costo, el cual hemos supuesto en doscientos mil bolívares (Bs 200.000). Si al perforar se encuentra un pozo seco, que corresponde al nodo terminal (4) en la figura 5-10, se obtendrá un beneficio bruto de cero (0) bolívar: por lo tanto, el Beneficio Neto (B4) para ese nodo terminal será de doscientos mil bolívares (B* 200.000).

Si al perforar el pozo, se encuentra un pozo pequeño, el beneficio bruto será de quinientos mil bolívares (Bs 500.000) y el Beneficio Neto de trescientos mil bolívares (B* 300.000). Esta situación está representada por el nodo (5) de la misma figura 5-15. Por último, si al perforar se encuentra un pozo



grande, se obtendrá un beneficio bruto de un millón doscientos mil bolívares (B* 1.200. 000), siendo el Beneficio Neto de un millón de bolívares, situación representada por el nodo terminal (6) de la figura 545. Por otra parte, el costo asociado a la acción de no perforar es de cero (0) bolívar y, por lo tanto, el Beneficio Neto es igual a cero (0) bolívar. Todas estas asignaciones de valores podemos concretarlas en el siguiente gráfico (figura 5-15).

+3OO.OOO

+ 1.000.000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

6

m

fo ro

5

s. c

om

- 200.000

5.6.2.

FIO. 5-15

Fases para la estructuración del Árbol de Decisión Como se puede observar, para la estructuración del árbol de decisión hemos procedido a: 1.

Identificar los nodos y ramas.

2.

Organizar el árbol como un arreglo cronológico de las alternativas que controla el Decisor y los resultados que determine el azar (estado de la naturaleza).

3.

Asignar valores a cada una de las alternativas, eventos de incertidumbre y nodos terminales (resultados) que conforman el árbol. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com 109


5.7. OPERACIONES SOBRE ARBOLES DE DECISIÓN En las secciones anteriores se han dado los elementos de un problema de decisión a través de la estructuración del árbol y a asignación de valores a nodos terminales y ramas. Una vez finalizado este proceso, es necesario establecer una estrategia de decisión. Recordemos que en el Módulo II nos ocuparemos de definir cuáles son los criterios de decisión que es posible seguir. Por el momento considérenlos que la mejor decisión es aquella que maximiza el Beneficio Neto. Para alcanzar la decisión óptima, dada una determinada estrategia, se realizan sobre un árbol básicamente dos operaciones. 1)

Determinación del Valor Esperado del Beneficio Neto

2)

Maximización del Valor Esperado del Beneficio Neto.

s. c

om

El Valor Esperado se obtiene en los nodos de incertidumbre, ya que a ellos están asociados los estados de la naturaleza o eventos inciertos.

fo ro

La Maximización del Valor Esperado del Beneficio Neto corresponde a nodos de decisión.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Lo anterior se esquematiza en la figura 5-16.

Nodo Operación

Decisión Incertidumbre Maximización Valor Esperado

FIG. 5-16

De esta forma, al obtener el árbol definitivo cada uno de los nodos y ramas tendrán valores monerarios asignados a ellos. 5.8. EVALUACIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN Veamos el procedimiento para evaluar el árbol de decisión, obteniendo los valores asignados a los nodos de incertidumbre y decisión.

110



El proceso se inicia en los nodos terminales y se realizan los cálculos de atrás hacia adelante. A fin de facilitar la comprensión de dicho proceso de cálculo, hemos dividido el mismo en varios pasos, los cuales describiremos a continuación. 5.8.1. Paso 1 Proceso de Expectación: cálculo del Valor Esperado asociado a los nodos de incertidumbre a)

Cada uno de los valores asignados a los nodos terminales, se multiplican por la probabilidad asociada a la rama correspondiente hasta el nodo de incertidumbre más cercano.

b)

Se suman todos los valores que convergen a un nodo de incertidumbre y ese será el valor esperado asignado a ese nodo de incertidumbre.

s. c

om

Vamos a utilizar nuestro ejemplo de perforación de pozos petroleros para ilustrar esta parte del proceso (figura 5-17).

fo ro

4 -200.000

300.000

+ 1.000.000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

0,52

FIG. 5-17

Los nodos 4, 5 y 6 son nodos terminales que convergen al nodo de incertidumbre 2 y el nodo terminal 7 converge al nodo de incertidumbre 3. Procedamos a realizar el paso 1 Paso 1-a Se multiplican los valores de los nodos terminales por la probabilidad asociada a sus respectivas ramas.

Convergen nodo 2

(Valor nodo 4) (Valor nodo 5)

P (0 j ) = (-200.QOO) (O 52) = -104.000 P(0 2 )= ( 300.000) (0,26) = + 78.000

(Valor nodo 6)

P (0 3 ) = (1-000.000) (0,22) - + 220.000

Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com111


{(Valor nodo 7) • P<0) = (0) • (1) = O

Convergen nodo 3

Efectuamos el Paso 1-b Se suman los valores que convergen a un mismo nodo de incertidumbre.

Nodo incertidumbre (2) - - 104.000 + 78.000 + 220.000 = 194.000 Nodo incertidumbre (3)= O

om

Los valores así determinados corresponden al Valor Esperado de cada nodo de incertidumbre.

-200.000

300.000

un

a.

m

fo ro

s. c

Representemos esto en el árbol de decisiones

w w

w

.a

dm

yc

on t

1.000.000

FIG. 5-18

Los valores indicados sobre cada nodo de incertidumbre representan entonces el Valor Esperado de los valores terminales, con respecto a las probabilidades de las ramas correspondientes. Como se puede notar, la operación de expectación está asociada a cada uno de los nodos de invertidumbre 5.8.2.

Paso 2 Árbol modificado Para lograr una mejor visualización, y a efectos de la evaluación del árbol de decisión, se puede asumir que a este nivel, sobre el árbol han sido eliminadas todas aquellas ramas que fueron utilizadas en el paso anterior, quedando ahora como nodos terminales los riodos de incertidumbre más próximos, que tendrán asignado el valor terminal igual al valor esperado calculado en el paso anterior.

112



o

om

FIG. 5-19

s. c

A este nuevo árbol lo llamamos árbol modificado,

fo ro

Ahora se examina el árbol modificado y se procede de la siguiente manera:

un

a.

m

a) Si alguno de los nodos subsiguientes es un nodo de incertidumbre, se procede a aplicar el paso 1.

yc

on t

b) Si alguno de los nodos subsiguientes es de incertidumbre, entonces se procede a seguir el paso 3, el cual indicaremos a continuación.

w w

5.8.3. Paso 3

w

.a

dm

En nuestro ejemplo de la perforación del pozo, representamos el árbol modificado por la figura 5-19. Como se observa en este ejemplo, estamos ante una situación como (b).

Proceso de Maximización: cálculo del Valor Esperado asociado a los nodos de decisión Se elige entre los valores esperados o terminales que convergen a un nodo de decisión, el que tenga el máximo valor y se toma ese valor como el valor asociado al nodo de decisión que, a su vez, está asociado a una determinada alternativa, es decir: Valor asociado al nodo = Máximo de decisión

Valores esperados asociados a los nodos precedentes

Una vez finalizado el paso 3, se regresa nuevamente al paso 2. El cálculo del árbol habrá finalizado una vez que se llega al nodo inicial del árbol de decisiones. Volviendo al ejemplo que estamos analizando, como indicamos anteDigitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

113


riormente, una vez obtenido el árbol modificado observamos que en la próxima etapa nos encontramos con nodos de decisión, por lo tanto, debemos proceder a aplicar el paso 3, Valor nodo inicial

Máximo

(l94.000 ;0}

194,000

Por lo tanto, el valor que maximiza el Beneficio Neto es ciento noventa y cuatro mil bolívares (Bs. 194,000), valor asociado al nodo de decisión, y que corresponde a la alternativa de perforar el pozo.

(0)

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

¡194.000)

Este valor representa el Beneficio Neto (BN) promedio que obtendremos al tomar la decisión de perforar el pozo. El Beneficio Bruto (BB) promedio estará dado por BB = BN + costo = 194.000+ 200.000 = 394.000 El proceso de determinación de los valores asignados a los nodos ha culminado, ya que se ha asignado un valor (Bs. 194.000) al nodo inicial, el cual corresponde a la decisión de perforar el pozo. Por lo tanto, el presidente de la compañía de pozos petroleros, de seguir un análisis de esta naturaleza y asumiendo todas las prez das, deberá decidir t



5.9. ESQUEMATIZACION DEL PROCEDIMIENTO GENERAL PARA LA EVALUACIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN A través deí diagrama de flujo que se indica a continuación, se indica el procedimiento que, en forma general, se sigue para determinar los valores asignados a los nodos de incertidumbre y de decisión. Estructural Árbol

PASO O Estructuración

Asignar valores a ramas y nodos terminales

L

Hallar valores esperados de nodos' de incertidumbre más cercanos

om

PASO 1 Expectación

a.

m

fo ro

s. c

Hallar árbol modificado

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

Se-

llegó al nodo inicial?

PASO 2 Árbol modificado

¿Hay nodos de incertidumbre próxima etapa1?

Maximizar valor esperado y asignarlo nodo decisión

L

PASOS Maxim ización


115


Utilicemos el procedimiento para operar sobre árboles de decisión en el ejemplo de la perforación del pozo petrolero, considerando adicionalmente la conveniencia de realizar, previo a la perforación o no del pozo, un estudio de suelo. Supondremos que los resultados del estudio son 100 % confiables. Procedimiento Paso O

Procedamos a granear el árbol de decisión.

Tabla de Valores

fo ro

s. c

om

Nodo

6

1.000.000

12

-300,000

13

200.000

14

900.000

15

-100.000

16

-300.000

17

200.000

18

900.000

11

11

-100.000

19

19

m a.

-200.000 300.000

JL2

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

Valor Esperado

F1G. 5-21 Árbol decisión perforación pozo



Paso 1 En este primer paso los nodos de incertidumbre son (4) (9) (10) Por lo tanto Paso 1.1.

(-200.000) • 0.52: 300.000 • 0,26 = 1.000.000 - 0,22:

-104.000 78.000 220.000

Converge nodo 9

(-300.000) -0,4 = ( 200.000) - 0,2 (900.000) -0,4 =

-120.000 40.000 360.000

Converge nodo 10

(-300.000) • 0,6 = (200.000)- 0,3 = ( 900.000) • 0,1 -

-180.000 60.000 90.000

s. c

om

Converge nodo 2

fo ro

Paso 1—a

194.000 280.000 -30.000

un

a.

m

Nodo incertidumbre (2)= Nodo " (9)= Nodo " (10)=

w w

w

.a

dm

yc

on t

Paso 2

Fig. 5-22 Árbol modificado



En este caso estamos ante la situación b, entonces procedemos al paso 3. Paso 3 Los nodos de decisión son el (7) y (8), hay que maximizar, es decir, Valor nodo (7) - Máximo 280.000; - 280.000

100.000

Por lo tanto, el valor asignado al nodo 7 es-280.000 que corresponde a la decisión de perforar. Por otra parte I -30.000;

-100.000

om

Valor nodo (8)= Máximo = -30.000

s. c

Por lo tanto el valor asignado al nodo 8 es -30.000 que corresponde a la decisión de perforar.

(Perforar.)

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

Una vez finalizado este cálculo, regresamos al paso 2, es decir, construimos ei árbol modificado

w w

w

(Perforar)

FIG.5-23. Árbol modificado

Preguntamos ahora, ¿hemos llegado al nodo inicial? La respuesta es no, por lo tanto continuamos al próximo paso del ciclo. ¿Hay nodos de incertidumbre? La respuesta es sí, el nodo (3) por lo tanto debemos realizar las operaciones indicadas en el Paso 1. Valor esperado nodo 3

118

= 0,4 280.000 + 0,6 • (-30.000) = = 152.000-18.000=134.000



Continuando el ciclo procedemos al paso 2

s. c

om

El árbol modificado será.

fo ro

fig. 5-24

a. un

on t

¿Hay nodos de decisión no valorados? Sí

m

¿Hay puntos de incertidumbre no valorados? No

yc

Entonces procedemos a la Maximización del nodo de decisión (1)

dm

(Paso 3)

w w

w

.a

Valor nodo (3) -Máximo (194.000; 134.000; o) = 194.000, que corresponde a la alternativa de perforar sin hacer el estudio previo. Entonces para este problema de decisión la alternativa que maximiza el valor esperado del Beneficio Neto es perforar el pozo sin realizar estudio previo. Analicemos un tercer ejemplo, donde contemplamos la presencia de variables aleatorias continuas. Un comerciante desea analizar la posibilidad de comprar o no una determinada maquinaria. El costo de inversión es de veinte mil bolívares (B S20.000) y él estima que puede obtener un beneficio neto de cien mil bolívares (B $ 100.000), por la operación de la maquinaria en el lapso de un año. Ahora bien, la vida de operación de la máquina es una variable aleatoria representada por f(x) f

(X)

1/3


119


es decir J- O

f(x) O

x >

3

El Beneficio Neto total que podrá obtener el comerciante, en su forma más simplificada, vendrá dada por: B (x) - 100.000 x -20.000 Donde x: número de años que opera la máquina.

om

Estructuremos el árbol de decisiones.

fo ro

Comprar máquina No comprar máquina

m

— —

s. c

Las alternativas serán:

on t

un

a.

Los estados de la nat'irale¿a, estarán representados por el tiempo de operación de la máquina, que en nuestro ejemplo es una variable aleatoria continua, expresado por la función de probabilidades J_

x > 3

.a

dm

O

0< x < 3

yc

3

f(x) =

w

Paso O

w w

La figura 5-25 indica el árbol estructurado

X

100.000 x-20.000

FIG. 5-25

120



Pasol Calculemos ahora los valores esperados asociados a los nodos de incertidumbre 2 y 3. Nodo de incertidumbre (2) Por ser la función densidad de probabilidad una función continua, sabemos que para cada estado de la naturaleza xi se cumple que

B(x)f(x) =

(100.000 x - 20.000) _1_0 < x < 3 3 O

x>3

B (x) f(x) es la variable aleatoria que representa el beneficio neto.

1

J

=( JO

(100.000 x -20.000) _1_ dx 3 100.000 6

x 2 - 20.000 x

150.000

m

a.

130.000

un

[B(x)f(x)] =

on t

E

20.000 =130.000

s. c

[B(x)f(x)l

fo ro

E

om

Por lo tanto, el valor esperado en el nodo 2 será

yc

Mientras que valor esperado para el beneficio neto en el nodo 3 es cero (0).

dm

Ardol modificado

w w

w

.a

130.000

FIG. 5-26

O

Entonces procederemos a preguntar ¿hay más nodos de incertidumbre, en próxima etapa? No ¿Hay más nodos de decisión próxima etapa? Sí Procederemos entonces, al paso 3 Paso 3 Maximización Valor nodo (1)= Máximo = 130.000

{130.000; 0}



Por lo tanto, el valor asociado al nodo de decisión es ciento treinta mil bolívares (B si30.000) y la alternativa es adquirir la máquina.

5.10. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIONES Como indicamos al inicio de la sección, el criterio de decisión para evaluar una determinada estrategia no es único.

s. c

om

El criterio de maximización del valor esperado de los beneficios netos es uno de ellos. En función de ese criterio hemos decidido, en nuestro ejemplo de la compañía perforadora de pozos petroleros, que la estrategia que proporcione el Beneficio Neto esperado máximo es la de perforar el pozo, es decir, ciento treinta y ocho mil bolívares (Bs 138.000). Pero, ¿qué interpretamos por el valor de ciento treinta y ocho mil bolívares asociado a la acción de perforar el pozo?

m

fo ro

Ese valor representa el Beneficio Neto que se debe esperar a la larga, sabiendo que la decisión debe tomarse una sola vez y que el comportamiento de la naturaleza, es decir, la ocurrencia de los posibles eventos, continúa siendo en lo sucesivo como lo ha sido en el pasado.

dm

yc

on t

un

a.

Realmente, una vez que se toma la decisión sobre la alternativa a elegir, el Beneficio Neto que se obtendrá no coincidirá con el valor ciento treinta y ocho mil bolívares (B s 138.000), sino que será alguno de los beneficios netos que se obtienen al producirse uno de los eventos de la naturaleza contemplados, es decir, que el Beneficio Neto será o bien Bs (-200.000) o Bs 300.000 ó Bs 1.000,00 y no otro cualquiera, siempre que la naturaleza se comporte como hemos supuesto.

w w

w

.a

En conclusión, el valor asignado a un nodo de decisión, al seguir el criterio de decisión que maximiza el valor esperado del Beneficio Neto, no es exactamente el que se obtendrá una vez que se efectúa la acción y se produzca la ocurrencia de uno de los posibles estados de la naturaleza. Pero ese valor permite evaluar, en términos monetarios, el hecho de que no todos los eventos son .igualmente probables y que el Beneficio Neto que se obtendrá al producirse una acción exitosa, es considerable. Debemos entender que el criterio de maximización del valor esperado del Beneficio Neto, podría, en ciertas situaciones, no ser el más adecuado, tal como es el caso de situaciones en las cuales las pérdidas o ganancias son muy elevadas. En general, los beneficios monetarios no caracterizan plenamente todas las posibles consecuencias o situaciones que puedan ser importantes para el Decisor.

122



AUTOE VALUACIÓN Instrucciones PRIMERA PARTE Dados los problemas de decisión propuestos, responda las preguntas planteadas al final de cada enunciado. 1)

Un empresario dispone de diez millones de bolívares (B s 10,000.000) para invertir en la construcción de una fábrica. Si las condiciones económicas del país no cambian, él estima que la inversión le producirá un rendimiento anual del 15%, pero si ocurre una recesión económica el rendimiento puede bajar hasta el 6%.

om

Adicionalmente, está considerando la posibilidad de inversión en bonos que proporcionan un beneficio seguro del 9% anual.

s. c

Se pide:

Estructurar el problema en forma de árbol de decisión

B

Determinar cuál es la probabilidad que debe asegurar el empresario, a la ocurrencia de una recesión económica antes de opinar que la decisión de invertir en bonos es la mejor estrategia a seguir.

on t

Una persona que posee bienes por un valor A recibe una herencia en joyas por un valor X. En las negociaciones para asegurar las joyas, tanto la compañía aseguradora como él asigna una probabilidad P de que las joyas .puedan ser robadas. Asuma que tanto la aseguradora como el dueño de las joyas se guían por el criterio del Valor Esperado y han acordado un valor R, para la póliza anual que pagará éste.

3)

w w

Se pide:

w

.a

dm

yc

2)

un

a.

m

fo ro

A

A

Plantear el problema en forma de árbol de decisión

B

Establecer condiciones necesarias en R, el monto de la póliza anual, que debe pagar el dueño de las joyas

Un competidor en una carrera asigna una probabilidad de 0,5 a que completará la carrera en un tiempo menor o igual a cuatro minutos. Si él completa la carrera, entonces: 1) Su tiempo de terminación de la carrera (t) estará uniformemente distribuido entre 3, 5 y 4 minutos. 2) Un premio que recibirá será X = 1000 (4-t). Si él no completa la carrera dentro de los cuatro minutos no recibirá ningún premio. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

123


Se pide:

Estructurar el problema en forma de árbol de decisiones B

4)

Determinar la estrategia óptima utilizando el criterio del Valor Esperado

Una compañía de tarjetas de crédito estima, basada en la experiencia, que los solicitantes de tarjetas se pueden clasificar en dos tipos: solicitantes con buen crédito (B) y solicitantes con mal crédito (M). La experiencia ha indicado igualmente que las probabilidades que un solicitante resulte con buen crédito es de 0,6.

s. c

om

Para la compañía, un tarjeta-habiente de buen crédito representa un beneficio anual de mil quinientos bolívares (B $1.500) mientras que un mal crédito representa una pérdida de mil bolívares (B si.000) anual.

on t

un

a.

m

fo ro

Para cada aplicación o solicitud de tarjeta la compañía puede decidir otorgar la tarjeta (T) o negarla (R) lo que puede hacer realizando o no una investigación (I) del crédito del solicitante. Para ello utiliza los servicios de una agencia de investigación de créditos que investiga las referencias del solicitante y emite un informe que puede ser favorable (F) o desfavorable (D), al solicitante. Generalmente, si el solicitante es un buen crédito la agencia es 60% confiable, esto es P (F/B) - 0,6.

dm

yc

Si por el contrario, el solicitante es realmente un mal crédito, la agencia es todavía más confiable y P (D/M) = 0,9.

w w

w

.a

La agencia de investigación de crédito cobra fijo diez bolívares (B *10) por cada reporte y, adicionalmente, veinte bolívares (Bs. 20) si el reporte es favorable, pues toma más tiempo verificar un buen crédito que eliminar un sujeto con mal crédito.

Se pide:

Estructurar el problema en forma de árbol B

Determinar la decisión óptima utilizando el criterio del valor esperado



Instrucciones

SEGUNDA PARTE A continuación se le presentan distintas situaciones seguidas de alternativas de respuesta. Sólo una de las alternativas es correcta para cada situación. Seleccione la alternativa correcta y señálela encerrando en un círculo la letra que la identifica. Un Decisor enfrenta la situación de decisiones indicada en el árbol de decisiones siguiente:

m

fo ro

s. c

om

5)

D

0,5

on t

1,0

yc

C

dm

0,4

.a

B

w

0,6

w w

6)

A

un

a.

¿Para qué valor de P, el Decisor será indiferente entre seleccionar la estrategia M o la estrategia N?

Un Decisor que sigue el criterio de decisión del Valor Esperado enfrenta la situación de decisiones diagramada debajo:

-12

o o Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

125


La decisión óptima es; Alternativa I

B

Alternativa II

C

Alternativa III

D

Alternativa I y II

La vida útil de una mini-computadora es una variable aleatoria representada por

om

7)

A

s. c

f(x)

un

a.

m

fo ro

0,4

X

dm

yc

on t

Supóngase que queremos decidir si compramos o no una mini-computadora; sabemos que cuesta veinte mil bolívares y que cada año que esté funcionando nos reportará un Beneficio neto de quince mil bolívares. Para tomar la decisión nos basaremos en el cálculo del Valor Monetario Esperado (VME). VME- 45.000

w

w w

B

.a

A

VME- 25.000

C

VME = 37.500

D

VME-

0




1-B 2 2-A

OBJETIVO EVALUADO

Ver vlave razonada P=2/3

11

5.6

11

5.6

Ver clave razonada

11

5.7-5.8

om

1 1-Á

CLAVE

s. c

PREGUNTA

2-B

5.7-5.8

Participar en carrera

11

m

11

5.6

5.10

11

5,6

Otorgar tarjeta sin realizar investigación del crédito del solicitante

11

5.10

5

b (P - 0.4)

11

5.9-5.10

6

d (alternativa I y II)

11

5.9-5.10

d(VME -53.500)

11

5.9-5.10

yc dm

w w

4-B

Ver clave razonada

.a

4 4-A

w

3-B

on t

un

a.

Ver clave razonada

fo ro

11 3 3~A

SECCIÓN REFERENCIA


127


Clave razonada:

fo ro

s. c

om

Pregunta 1

o 9%

dm

yc

on t

un

a.

m

E (Fábrica) = (1-P) 15% + P • 6% E (Bonos) = 1 - 9 9 6 E (Fábrica) = E (Bonos) (1-P) 15% + P 6 % = 9 % 6P + 15 • 15P = 9

.a

Pregunta 2

w w

w

A-fx-R

x - R > P A + (1-P) (A + x) R

Pregunta 3 De los datos del problema

(4-t)

w

E(nodo 3 )=

.a

dm

Cálculo del árbol de decisiones

w w

b)

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

1000

1.1000(4-t)dt

3.5

E (nodo 3) =

125

E(nodo 2) =

O

E (nodo 3) >

E(nodo 2)

Luego: La estrategia óptima es: Participar en carrera


129


15ÜÜ

Pregunta 4

1490

4010

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

1470

w w

w

.a

Gákuío dé las probabilidades

0,24

0,04

P("F")

iao


*


Entonces el árbol quedará de la siguiente forma:

a.

m

fo ro

s. c

om

1500

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

1470

-1010

O -10

• ' .


131


Cálculos sobre el árbol -

fo ro

s. c

om

b)

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

(500)

(1220)

Del árbol

(•10)

E(T)= 500 E(R)= O E (I) = 482.

E (T) >E (R,

Por lo tanto la Estrategia óptima es T y en definitiva la decisión óptima es otorgar la tarjeta de crédito sin realizar la investigación del crédito del solicitante.



Pregunta 5

E(M) = E (N) =

(6)

-P) = 9P-3

(-3) (-3)

E (M) = E (N) 9P - 3 = 1 - P P = 04

Indiferencia ante estrategias M y N.

Pregunta 6

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

(+2)

í+2}

La respuesta (d) es la correcta, pues las alternativas I y II son óptimas ambas. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

133


Pregunta 7 De acuerdo a los datos, el Beneficio Neto total, en su forma más simplificada, vendrá dado por BN = 15.000 x - 20.000 donde x representa el tiempo, en años, que opera la computadora. Estructuremos el árbol de decisiones. Las alternativas serán. — Comprar minicomputadora — No comprar minicomputadora

fo ro

s. c

om

Los resultados de la naturaleza estarán representados por el tiempo de duración de la minicomputadora, que en nuestro ejemplo es una variable aleatoria, expresada por la función de probabilidades. 0
fO,4

a.

2
un

l(3-X)0,4

m

f(x) =

15000 X - 20.000

w w

w

.a

dm

yc

on t

La figura indica el árbol estructurado

Ali

Calculemos ahora los valores esperados asociados a los nodos de incertidumbre2y 3 (Paso 1).

Nodo de incertidumbre (2) Por ser una función continua sabemos que para cada estado de naturaleza x.



(15.000 x -20.000)

0,4

o < x <2

COStO X;

(15.000 x-20.000) 0,4 (3-x) 2 < x < 3 P(x¡) COStO X;

lo tanto (15.000 x-20.000) 0,4 dx

E(nodo 2)

s. c fo ro

+

m

I2 E (nodo 2)- 6000 j¿-8000 x 9 Jo

om

(15.000x-20.000) 0,4 (3-x) dx

un

a.

18 000 x 2 - 6.000^ -24.000 x + 8000 x 7 T 3 2

dm

«- 1000

w w

w

.a

E (nodo 2) = -1000 Mientras que:

24.000

yc

on t

- 12000-16.000 4- 26.000 _5_-6000. 19. 2 3

E (nodo 3) - O

Paso 2 Árbol Modificado


135


Preguntamos ¿hay más nodos de incertidumbre? No ¿Hay más nodos de decisión? Sí Entonces procedemos al paso 3 Paso 3 Maxim ización. Valor nodo (1) = Máximo í -1000,0 } = -1000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Por lo tanto, el valor asociado al nodo de decisión es cero bolívares (Bs.) y la alternativa a elegir es no adquirir la mini-computadora para tener el máximo valor esperado..

136



BIBLIOGRAFÍA EMPLEADA PARA EL MODULO I Teoría de Decisiones en el Sector Público y en la Empresa Privada. Representaciones y Servicios de Ingeniería, México, 1977.

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w

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w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

PAPOULIS, Athanasios

138



s. c

om

MODULO II fo ro

LAS PREFERENCIAS DEL DECISOR Y SU

w

w w

Lista de Unidades

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

ACTITUD ANTE EL RIESGO

Unidad 6.

Las Preferencias del Decisor

Unidad 7.

La Actitud del Decisor ante el Riesgo

Unidad 8.

Criterios de Decisión \d 9. El Valor de la Información

Objetivos Al finalizar el estudio del Módulo II, el estudiante deberá estar en capacidad de:

—Dado un problema de decisión, determinar la alternativa óptima de acuerdo a los objetivos y preferencias del Decisor. — Determinar el Valor de la Información en un problema de decisión.


a.

m

fo ro

s. c

om


un

Introducción

yc

on t

Tomar decisiones no es un acto aislado, sino que es un proceso que se realiza en varias etapas: Diagnóstico y clasificación del problema de decisión.

2)

Estructuración del problema de decisión.

3)

Análisis de las alternativas.

4)

Selección de la alternativa óptima.

w w

w

.a

dm

1)

En el primer Módulo de este Curso hemos aprendido a resolver las dos primeras etapas de este proceso de analizar decisiones; en el segundo estudiaremos los instrumentos para llevar a cabo las dos últimas etapas. La primera Unidad del Módulo se dedica a las Preferencias al Valor y a las Preferencias Temporales. La segunda Unidad estudia las Preferencias al Riesgo o actitud del decisor ante el riesgo. Las tercera establece los Criterios de Decisión para seleccionar la alternativa óptima. En la última Unidad se contempla el Valor de la Información en un problema de decisiones.


( .

Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com XL

^.

.

_

.

^^

LAS PREFERENCIAS DEL DECISOR

Al finalizar el estudio de esta Unidad, usted deberá estar en condiciones de: 12) Asignar valores a los resultados de un problema de decisión.

om

13) Aplicar el criterio del Valor Presente para considerar las preferencias temporales del Decisor.

s. c


fo ro

6.1. Preferencias del Decisor

Pag. 144 144

a.

m

6.2. Preferencias al Valor

145

un

6.3. Criterios de Valoración y Asignación de Valores

dm

151 152

w

6.5. Conceptos Básicos

Interés Tasa de Interés Valor Temporal del Dinero Diagama-de Flujo de Fondos Equivalencia Fórmulas de Interés , Equivalencia de Flujos de Fondos

w w

6.5.1. 6.5.2. 6.5.3. 6.5.4. 6.5.5. 6.5.6. 6.5.7.

145 146 147

.a

6.4. Preferencias Temporales

-

yc

on t

6.3.1. Objetivos y Atributos 6.3.2. Selección del Criterio de Valoración 6.3.3. Ejemplos de Valoración

. „.

6.6. Criterios o índices de Comparación de Alternativas 6.6.1. 6.6.2. 6.6.3. 6.6.4.

Flujo Neto de Fondos Cálculo del índice Valor Presente Utilización del índice Valor Presente Criterio para la utilización del índice Valor Presente

152 152 152 153 154 155 159 162

... .

6.7. Resumen

162 164 165 167 168

Autoevaluación

.

Solución de la Autoevaluación Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

169 173 143


6.1. PREFERENCIAS DEL DECISOR Una vez que se ha estructurado el problema de decisión, identificando los elementos que lo conforman y desarrollado alternativas y resultados es necesario analizar y comparar las alternativas factibles. La comparación de alternativas requiere la valoración y evaluación de los resultados, en función de los objetivos y preferencias del Decisor, con el propósito final de determinar la alternativa que más satisfactoriamente cumple con sus objetivos y preferencias.

om

Para la valoración de resultados se utilizan criterios de valoración. Como estudiaremos posteriormente, en la mayoría de los problemas de decisión, la manera más fácil de valorar adecuadamente los resultados es atribuir un valor monetario a las consecuencias de cada alternativa. A este proceso de asignar valores a los resultados se le llama Valoración y al medio o recurso de asignación se le llama Criterio de Valoración. Los criterios de valoración vienen determinados por los objetivos y preferencias del Decisor.

s. c

Por valor entenderemos la deseabilidad de un resultado.

fo ro

Por preferencias entenderemos la actitud del Decisor hacia los resultados, actitud que puede estar en referencia a:

m

— El valor del resultado

un

a.

— El tiempo en que ocurra el resultado

on t

— El riesgo que involucra el resultado

dm

yc

El análisis de decisiones ha realizado una importante contribución al estudio de esos problemas al proveer una metodología para el tratamiento de Valores y Preferencias. Dicha metodología considera tres tipos de preferencias.

w

.a

— Preferencias al Valor

w w

— Preferencias Temporales

— Preferencias al Riesgo

El problema fundamental del tratamiento de las preferencias del Decisor estriba en cómo introducirlas en el análisis, cómo lograr cuantificarlas de manera que permitan la valoración y evaluación del árbol de decisiones. En esta Unidad nos dedicaremos al estudio de. los métodos y criterios para establecer las preferencias al Valor y las Temporales. En la Unidad siguiente estudiaremos la actitud del Decisor ante el riesgo o Preferencias al Riesgo. 6.2. PREFERENCIAS AL VALOR La Preferencia al Valor, asignación de valor o simplemente valoración, considera la existencia de los varios resultados posibles y la necesidad de establecer el valor relativo de cada resultado con el fin de compararlos. Por lo tanto, la preferencia al valor responde a la pregunta: ¿cuánto más valioso es este resultado que aquél?

144



Como es lógico suponer, el primer paso para la comparación de alternativas es asignar valores numéricos a los posibles resultados. La primera suposición que debe hacerse es que dos posibles resultados, cualesquiera que ellos sean, puedan ser comparados, es decir, dados dos resultados el Decisor debe poder establecer cuál prefiere. Aunque en algunos casos, las decisiones pueden alcanzarse como producto de ordenar los resultados en términos de una deseabilibilidad o cualidad que salte a la vista, la mayor parte de los problemas requiere un criterio para ordenar los resultados; tal criterio se conoce como Criterio de Valoración. 6.3. CRITERIOS DE VALORACIÓN Y ASIGNACIÓN DE VALORES

fo ro

s. c

om

Los Criterios de Valoración} funciones de valoración o modelos de valoración, como también se les llama, cuantifican la preferencia del Decisor por un resultado en comparación con otros, asignando valores a cada resultado. Asignar un alor significa asociar un valor cualitativo o cuantitativo a un resultado. Aunque un resultado pueda tener muchas características o atributos que lo describan, generalmente, la asignación de valor utiliza un solo número o figura, que se asocia con el resultado, y el cual resume el conjunto de atributos.

dm

yc

on t

un

a.

m

Como veremos posteriormente, en algunos casos es fácil asignar objetivamente un valor a cada resultado» valcjr que describe adecuadamente las consecuencias de ese resultado. Por ejemplo, en un problema de negocios, el valor de que hablarr.os sería un valor numérico y monetario, que refleje plenamente todas las consecuencias financieras y económicas del resultado, sin que haya lugar a considerar 3tros factores. En un problema de medicina, el valor podría ser la rata de curación para una enfermedad dada. En tales problemas, las consecuencias se describen adecuadamente en términos de un atributo, el cual se escoge porque refleja satisfactoriamente las consecuencias y efectos asociados ai resultado que se considera.

w

.a

Tal atributo no es un parámetro escogido al azar sino que su selección está en estrecha concordancia con los objetivos y preferencias del Decisor.

w w

6.3.1. Objetivos y Atributos No existe una definición umversalmente aceptada de los términos Objetivos y Atributos; en el contexto del análisis de decisiones, estos términos se manejan en relación con las ideas de índice de deseabilidad o medidas de efectividad de un resultado. De manera que entenderemos por objetivos a los fines que persigue e! Dedsor, Los objetivos son un reflejo de su escala de valores y rigen sus preferencias. Los objetivos pueden medirse o ser observados mediante un atributo. Por atributo entenderemos al parámetro o característica que se utiliza para medir el grado en que un resultado satisface un objetivo. El valor de un atributo generalmente se expresa en cantidades escalares, en cuyo caso se habla de atributo escalar. También se habla de atributos vectoriales cuando tienen varios componentes. En resumen: un atributo provee una escala para medir el grado en el cual se satisface el objetivo respectivo.



Para aclarar estas ideas, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que estamos estudiando el servicio de Correos. El objetivo global del Correo es proveer un servicio eficiente y confiable. Este objetivo global puede instrumentarse en otros más detallados y manejables en términos analíticos: 1)

Minimizar el tiempo de entrega del correo.

2)

Maximizar el porcentaje de correo entregado..

Para el primer objetivo, minimizar el tiempo de entrega se puede definir el atributo, tiempo en días desde el remitente al destinatario.

om

La definición de atributos se realiza con la finalidad de valorar, evaluar y comparar resultados. El proceso de generar objetivos y atributos es un proceso creativo por parte del analista y del Decisor y por lo tanto no admite métodos formales ni recetas efectivas para todos los casos prácticos.

un

a.

m

fo ro

s. c

Recordemos el caso del Correo, donde el objetivo establecido era minimizar el tiempo de entrega, el cual fue caracterizado por el atributo: minimizar el número de días de entrega del correo; por lo tanto el parámetro sobre el cual debe enfocarse el análisis es el tiempo de entrega y, por consiguiente, se analizarán y compararán los resultados en base al tiempo y se considerarán mejores los resultados y alternativas que optimicen el para'metro (atributo) tiempo.

on t

6.3.2. Selección del Criterio de Valoración

w w

w

.a

dm

yc

En situaciones comerciales o empresariales, el valor asociado a un reresultado es típicamente alguna forma de beneficio económico; el Decisor o el analista escogerán tomando en cuenta los objetivos del decisor, el criterio de valoración a utilizar, así podrían valorarse los resultados en base a utilidades, beneficio neto, crecimiento, etc. o cualquier parámetro financiero. En general, si el problema de decisión se refiere a la asignación de recursos monetarios, entonces en lógico medir el valor en términos monetarios. Cuando un Decisor sea particularmente opuesto a asignar valores en una escala monetaria directamente puede emplearse una escala cardinal; ésta se construye de tal manera que el beneficio óptimo represente un valor máximo que se fija. Los otros beneficios se refieren a ese valor máximo, obteniéndose así un sistema o escala de valores relativos.

En otras áreas, especialmente en problemas sociales, militares, de salubridad, etc., la asignación de valor es más difícil porque requiere cuantificar el valor de una vida humana, el valor de una vida saludable, etc., en términos numéricos y aun monetarios. Estos casos son difíciles de cuantificar porque los factores involucrados son complejos. Los criterios a utilizar, en este tipo de problemas, es capan al nivel de este Curso y por !o tanto, no serán considerados.



6.3.3, Ejemplos de Valoración Ejemplo No. 1 Suponga que usted se plantea la posibilidad de pasar un día en la playa. La decisión de ir a la playa puede resultar en un alto grado de satisfacción si el día es soleado o en un alto grado de desagrado si es lluvioso. Estos niveles de satisfacción se invertirían si la decisión que se toma es la de permanecer en casa. Usted desea estudiar el problema de decisión y valorar los resultados Solución: Las alternativas son dos:

om

— Ir a la playa

s. c

— Permanecer en casa

fo ro

Los estados naturales son dos:

m

~ Sol

a.

— Lluvia

on t

un

De manera que para cada alternativa hay dos resultados posibles; por lo que, en total, tenemos que valorar cuatro resultados.

dm

yc

Para efectuar la valoración debemos seleccionar algún criterio de valoración. Para ilustrar el problema realizaremos la valoración utilizando criterios diferentes.

w w

w

.a

Hagamos en primer lugar una valoración cualitativa de los resultados lo cual ilustramos en la gráfica 6-í.

ESTADO NATURALES

SOL

tí

PLAYA

SATISFACCIÓN

CASA

MALHUMOR

LLUVIA

DISGUSTO

CONFORMIDAD

Gráfica 6-1 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

147


En la gráfica hemos valorados a cada resultado según el efecto que nos produce. Podemos realizar otro tipo de representación para la misma valoración, como en la gráfica 6-2.

ESTADOS NATURALES

un

a.

m

fo ro

s. c

om

i on t

GRÁFICA 6-2

w w

w

.a

dm

yc

Probablemente consideremos que las valoraciones anteriores, a pesar de ser muy gráficas e ilustrativas, no nos ayudan a decidir, así que trataremos otro criterio, utilizando una escala de valoración; escogemos el resultado que nos parezca más valioso, el que preferimos a los otros y le asignamos un valor de 10, por ejemplo, y sobre esta base valoramos los resultados restantes. Los valores los indicamos en la gráfica 6-3 ESTADO NATURALES

SOL

PLAYA

LLUVIA

10

CASA

GRÁFICA 6-3

148



Los valores positivos se interpretan como un beneficio para el Decisor; mientras que los valores negativos se interpretan como un costo para él. Alternativamente podemos estructurar el problema en forma de árbol de decisión, gráfica 6-4

ÁRBOL DE DECISIÓN

VALOR

10

fo ro

s. c

om

Playa

a.

m

Casa

GRÁFICA 6-4

.a

dm

yc

on t

un

Lluvia

w w

w

Es importante que el estudiante perciba y entienda el carácter netamente subjetivo de la valoración. Debe quedar muy claro que el valor asignado a cada resultado refleja la actitud del Decisor hacia ese resultado y que ella es producto de sus objetivos y preferencias. Igualmente debe comprenderse, que diferentes personas podrían asignar diferentes valores al mismo resultado, lo cual confirma el carácter subjetivo de la valoración. Ejemplo No. 2 Un industrial debe decidir si adquiere una maquinaria por 1,5 millones de bolívares, la cual le produciría una ganancia que ha sido estimada como se indica en la tabla anexa, siendo los costos de operación del orden de Bs. 150.000 anuales. Otra posibilidad de inversión contemplada por el industrial, es invertir su dinero a plazo fijo al 20 % de interés anual.Para los fines de 1 año.

análisis a realizar debe suponerse un período


149

.


TABLA DE GANANCIAS

Probabilidad de que Ja ganancia sea (G.)

GANANCIA (G) en millones

3.5

0.35

3.0

0.25

2.0

s. c

Gráfica 6-5

om

0.40

m

fo ro

El industrial desea estudiar sus alternativas, valorar los resultados y escoger una estrategia.

un

a.

Solución

on t

Considerar las alternativas:

yc

I: Comprar maquinaria

dm

II: Depositar a plazo fijo

w w

w

.a

III: Guardar dinero en casa (no hacer nada) Valoración Puesto que se trata de un problema de inversión, donde el principal objetivo del Decisor es elrendimiento o rentabilidad de su inversión, es apropiado utilizar, como criterio de valoración, el beneficio económico, definido como la diferencia entre los ingresos totales menos los costos totales, o sea:

B= I-C

donde B es el beneficio neto I son los ingresos o ganancias totales C son los costos totales 150



Estructuración; (cantidades en millones)

ÁRBOL DE DECISIÓN

VALOR = 3.5-(1.5 +0,15) = 1.86m

B = 3.0-(1.5 +0.15)

3 = 2.0—(1.5 +0.15)

s. c

om

3= 0.35m.

m

fo ro

1=1.5 + 0 . 2 ( 1 . 5 } ¡ = 1.80 m

on t

un

a.

III

¡= 1.5 m

dm

yc

Gráfica 6-6

w

.a

Después de asignar su valor a cada resultado, debemos determinar la mejor estrategia, para lo cual calculamos el valor esperado para cada alternativa.

w w

E [I] = .40(1.85) +35(1.35)+ .25( .35) E [I] =1.3

E [II] =1(1.8) =1.8 E[III]= 1(1.5) = 1.5 Puesto que el mayor valor esperado es el de alternativa II, debe seleccionársele y por consiguiente la estrategia a seguir es depositar a plazo fijo. 6.4. PREFERENCIAS TEMPORALES Si los resultados y consecuencias de una decisión se producen en el transcurso del tiempo, es necesario establecer las preferencias temporales del Decisor. Preferencias temporales, o preferencia al tiempo, es un término utilizado para describir el fenómeno humano de la impaciencia. Esta impaciencia se traduce en preferir percibir poco ahora, que mucho después, o sea, que todos deseamos que las cosas buenas nos sucedan más bien pronto que tarde. El pago de intereses por el uso del dinero es un reflejo práctico de este fenómeno. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

151


Al igual que las personas, la tendencia general de las empresas y organizaciones es considerar más valiosos los resultados percibidos pronto que los recibidos más tarde. En las organizaciones, este fenómeno usualmente ocurre en conexión con el flujo de beneficios en el tiempo; de hecho, los flujos de beneficios que muestran una mayor porción de retorno en los períodos tempranos, se prefieren generalmente. En el proceso del análisis de decisiones, la asignación de valores a los resultados, en primer lugar, y segundo, el establecimiento de las preferencias temporales del Decisor permiten jerarquizar u ordenar los resultados, primero como un conjunto de valores y luego como un valor equivalente, el cual permitirá y facilitará la comparación de alternativas.

s. c

om

Para el tratamiento de las preferencias temporales se dispone de un buen número de conceptos y métodos que han sido desarrollados, principalmente, dentro de los campos de las matemáticas financieras y de la ingeniería económica. Dichos métodos permiten describir y estructurar las preferencias temporales, reduciendo o simplificando las corrientes de valores en el tiempo, a un simple valor o figura adecuada para la comparación de alternativas.

on t

6.5. CONCEPTOS BÁSICOS

un

a.

m

fo ro

A continuación presentamos algunos de los conceptos básicos más utilizados para el tratamiento de las preferencias temporales del Decisor. Dicha presentación será muy resumida y restringida a los conceptos y fórmulas directamente aplicables al Análisis de Decisiones. El estudiante deberá ampliar estos conceptos en la Bibliografía Recomendada.

yc

6.5.1. Interés

w w

w

.a

dm

El término interés se usa generalmente para designar el monto que las instituciones financieras cobran o pagan por el uso del dinero. Esta remuneración por el uso del dinero es lo que le otorga su valor temporal. Puesto que la casi totalidad de las decisiones relativas a proyectos implican una inversión, es importante que el valor temporal del dinero utilizado se refleja en el análisis de la decisión correspondiente.

6.5.2. Tasa de Interés Usualmente la tasa de interés se especifica en una base anual y representa la ganancia porcentual sobre el dinero invertido. (O

Cuando entendemos por interés la cantidad de dinero recibida como resultado de una inversión, este representa una ganancia.

\

Cuando entendemos por interés la cantidad pagada por el uso del diñero prestado, este representa un costo.

^

6.5.3. Valor Temporal del Dinero Ya hemos mencionado el hecho de que una suma de dinero por recibir en el futuro, no luce tan atractiva como la misma suma de dinero recibida hoy; la razón de esto es que el dinero puede reproducirse a una tasa de interés, si se le invierte y, por lo tanto,nos beneficiamos

152



más si percibimos la suma hoy y la invertimos a un cierto interés, que si recibimos la misma suma en el futuro. Es esta relación entre la tasa de interés y el tiempo lo que conduce al concepto de Valor Temporal del Dinero. El Valor Temporal del Dinero significa que iguales cantidades de dinero en diferentes puntos de tiempo tienen diferentes valores, siempre que la tasa de interés considerada sea mayor que cero. Ejemplo; mil bolívares recibidos hoy valen mas que recibidos dentro de 10 años, puesto que si los recibimos hoy podemos invertirlos a cierto interés y hacerlos producir durante 10 años. 6.5.4. Diagrama de Flujo de Fondos

fo ro

s. c

om

El análisis de alternativas requiere una comparación de las consecuencias económicas de las alternativas. A las alternativas frecuentemente se les describe señalando los montos de los ingresos (ganancias) y de los egresos (costos) relacionados con la alternativa en referencia y el momento en que dichos montos ocurren. De manera que estos dos factores: cantidad y tiempo, caracterizan la alternativa bajo estudio.

yc

on t

un

a.

m

Como una ayuda para identificar las consecuencias económicas de las alternativas, se utiliza comúnmente una descripción gráfica llamada Diagrama de Flujo de Fondos, la cual incorpora los factores que hemos mencionado anteriormente: cantidades y tiempos, y por lo tanto provee la información necesaria para analizar los aspectos económicos de la alternativa bajo estudio.

Los ingresos percibidos con signo positivo, como flechas orientadas hacia arriba y colocadas al final del período en que ocurren.

—

w w

w

.a

—

dm

El diagrama de flujo de fondos representa:

Los egresos producidos, con signo negativo, como flechas orientadas hacia abajo y colocadas al comienzo del período en que ocurren.

Un ejemplo de un diagrama de flujo de fondos se muestra en la gráfica 6-7, así como la tabla correspondiente. 1

20

I ngresos

0

• 7

f

1

t2

I5 3

tiempo

3

^ 100 Egresos

'20

Diagrama de Flujo de Fondos Figura 6-7


153


PERIODO

INGRESOS

EGRESOS

0

100

1

5

0

2

20

3

3

5

0

4

7

20

Tabla del Diagrama de Flujo de Fondos

s. c

om

6.5.5. Equivalencia

m

fo ro

Dos cosas se dice que son equivalentes cuando producen el mismo efecto y por lo tanto uu Decisor es indiferente entre obtener una u otra.

on t

un

a.

Tres factores están involucrados en la equivalencia de sumas de dinero:

Los montos (cantidad) de las sumas.

—

El tiempo en que ocurren las sumas.

dm

La tasa de interés.

w w

w

.a

—

yc

—

El análisis de alternativas requiere que las características de cada alternativa (ingresos y egresos) deban reducirse a una base equivalente que facilite la comparación de las alternativas. Por ejemplo: si a usted le preguntan si acepta 100 dólares a 500 bolívares, antes de responder usted convierte las alternativas a una base común y se replantea el problema en términos de comparar 430 bolívares con 500 bolíres; después de realizar esta conversión, la decisión es fácil de tomar. La reducción de las características de las alternativas a una base equivalente puede lograrse mediante el uso de las fónnulas de interés y del concepto de equivalencia de flujos de fondos, de lo cual nos ocuparemos a continuación. Las fórmulas de interés que estudiaremos consideran los factores monto, tiempo e interés, así que constituyen una manera conveniente de tomar en cuenta el valor temporal del dinero, para calcular la equivalencia de cantidades de dinero que ocurren en diferentes puntos de tiempo.

154



6,5.6. Fórmulas de Interés 6.5.6.1. Símbolos Para las fórmulas,de interés utilizaremos los siguientes símbolos: i = tasa de interés, generalmente anual. n ~ número de períodos de tiempo, generalmente en años. P = monto o cantidad en el momento presente, t = 0. ~Z F = monto o cantidad en el futuro, al final de n períodos de tiempo y equivalente a P a la tasa i.

s. c

om

A = monto o valor periódico de una serie uniforme durante un lapso de n períodos de tiempo, siendo la serie completa equivalente a P a la tasa i.

m

fo ro

6.5.6.2. Fórmula para calcular el Valor Presente (P) dado un Valor Futuro (F).

on t

un

a.

Si una cantidad o monto (P) se invierte ahora a una tasa de interés (i), ¿cuánto capital e interés se habrá acumulado después de n períodos?

w w

w

.a

dm

yc

El diagrama de flujo de fondos para la situación en cuestión se muestra en la gráfica 6-8.

Diagrama de Flujo de Fondos Figura 6-8 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

155


Puesto que la inversión realizada (P) no prevé ningún ingreso o egreso hasta el último período (n), el cálculo del interés se realiza como se muestra en la gráfica 6-9. Período

Cantidad al comienzo del período

1

P

2

P(l + i)

P (1 + i) i

P(l+i) + P(l+i)i = = P(l + i)2

3

P(l + l) 2

P(l-M)2 i

P(l+i) 2 +P(l+i) 2 i = - P (1 + i)3

Interés ganado durante el período

Cantidad total al final del período P + Pi

=

P (1 + i)

n-l

n— 1

P(l + i) i

P(l-H)

n— 1

n— 1

P ( l + i ) + P ( l + i) i = = P (1 + i)" = F

fo ro

n

s. c

om

P i

m

Gráfica 6-9

on t

un

a.

En la tabla 6-9 se muestra que para obtener la cantidad total al final del período se suman el interés percibido y el capital. n

P permite calcular tanto F

F=

w w

w

.a

dm

yc

El factor resultante; F = (1 + i) dado P como P dado F o sea:

o

;

Con la segunda ecuación podemos calcular el valor presente (P) correspondiente a un valor futuro (F) después de n períodos y a una tasa de interés i. Ejemplo:

X

¿Cuánto debe invertirse el lo. de julio de 1982 al 6% de interés anual a fin de disponer de Bs. 1.790 el lo, de julio de 1988? Solución: F = 1790

i- 0.06

(1 + i)n



P=1790 X

(1 + 0.06)'

P= 1.266 Nótese que el problema anterior es equivalente a preguntar. ¿Cuál es el valor presente el lo. de julio de 1982, de Bs. 1790 el lo, de julio de 1988 si la tasa de interés es del 6& anual? 6.5.6.3. Fórmula para calcular el Valor Presente (P) dado un Valor Periódico (A)

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Supongamos que un depósito de monto (P) es realizado ahora, a una tasa de interés (i), y que el inversionista desea retirar el capital más el interés percibido en una serie de montos periódicos iguales, cada uno al final de cada período. Cuando se realice el último retiro no deberán quedar fondos en depósito. El diagrama de flujo de fondos para esta situación se muestra en la gráfica 6-10.

Diagrama de Flujo de Fondos Gráfica 6-10

Deseamos obtener una fórmula que relacione P y A. \o la fórmula de P/F desarrollada en el punto anterior, podemos determinar el valor presente correspondiente de cada uno de los montos periódicos A, y por lo tanto podemos escribir:

-"(i+ir1 d+i) Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

157


multiplicando la ecuación anterior por (1 -f i) obtenemos:

II) (1+i) P-

A

+

A

(1 + i) "' A

A

A

i n—2

n-l

sustrayendo I-II), se obtiene:

P-(l+i) P =

A

-A +

simplificando

om

A

A-

s. c

iP =

fo ro

de donde

un

a.

m

P- A

dm

yc

on t

El factor entre paréntesis se utiliza para calcular el valor presente (P) correspondiente a una serie de montos iguales (A) que ocurren durante un número n de períodos y a una tasa de interés i.

w w

w

.a

Ejemplo: ¿Cuál es el valor presente de una serie de pagos anuales de Bs. 10.000 durante 7 años a un interés del 6% anual?

P= A

10.000

i (l+i) n (1+0.06)7 - l l

€.06 (1+0.06)7

55.820

6.5.6.4. Convenciones para el uso de las fórmulas de interés Para facilitar el uso de las fórmulas de interés es recomendable tener en cuenta las siguientes convenciones: —

158 ,_

El final de un período es igual al comienzo del próximo período.



—

P ocurre al comienzo del período que se escoge como presente,

—

F ocurre al final del período n contando a partir del peperíodo escogido como presente.

—

A ocurre al final de cada período durante el lapso bajo consideración.

—

Cuando P y A están involucrados el primer A de la serie ocurre un período después que P.

6.5.7. Equivalencia de Flujos de Fondos

fo ro

s. c

om

Para que un flujo de fondos sea equivalente a otro, los valores equivalentes de ambos deben ser iguales en cualquier punto del tiempo. De no ser así, el Decisor que esté considerando las alternativas, no podrá ser indiferente a alguno de ellos y no podrá decirse que los flujos de fondos sean equivalentes.

m

Ahora bien, ¿cómo podemos determinar los valores equivalentes de los flujos de fondos que deseamos saber si son equivalentes?

dm

yc

on t

un

a.

Para el cálculo de los valores equivalentes utilizaremos las fórmulas de interés ya desarrolladas. Las comparaciones las podemos establecer calculando, en base a las fórmulas que ya conocemos, el valor presente de cada flujo de fondos para un mismo punto del tiempo. Alternativamente podríamos establecer si los flujos son equivalentes, calculando las cargas anuales (A) correspondientes a cada flujo o el valor Futuro (F) de cada flujo.

w

.a

Veamos un ejemplo.

w w

Determinar si los siguientes dos flujos de fondos son equivalentes si la tasa de interés es del 5%. A * 272.3

100

100

100

Gráfica 6-11 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

159


Si los flujos son equivalentes un Decisor debe ser indiferente entre recibir ahora Bs. 272.3 o recibir tres anualidades de Bs. 100 si la tasa de interés es del 5%. Los cálculos pertinentes son: Calculemos el valor presente del segundo flujo. P-100X

(1+0.05)3 -ll 0.05 (1+0,05)2

= 272.3

Comparamos con el primer flujo y concluimos que son equivalentes.

om

El valor relativo de varios flujos de fondos no es generalmente fácil de apreciar por simple inspección de los flujos de fondos, hasta que éstos no hayan sido reducidos a una base equivalente. Veamos otro ejemplo.

fo ro

s. c

Un ingeniero ha cedido a una compañía una patente sobre un invento y se le ofrecen dos alternativas de pago:

m

Al) Bs. 100.000 a la firma del documento de cesión por concepto de pago único.

un

a.

A2) Bs. 25.000 anuales durante cinco años.

dm

yc

on t

Los flujos de fondos correspondientes a ambas alternativas son:

w w

w

.a

100.000

25.000 Ji

-»

¡ J*.. ......... 1

i

Gráfica 6-12

160



El ingeniero estima que 10% es una tasa de interés apropiada para el análisis. Puesto que el dinero tiene un valor temporal, no es aparente de una observación de los flujos de fondos cuál alternativa es económicamente más deseable. Por ejemplo, sería incorrecto decir que la alternativa A2 es más deseable que Al porque la suma de los ingresos de A2 es Bs. 125.000 mientras que la de Al es Bs. 100.000. Véase gráfica 6-13:

AI 100.000

0

25.000

2

25.000

3

25.000

m

fo ro

1

om

0

A2

s. c

AÑO

4

un

a.

25.000

2

on t

5

125.000

.a

dm

yc

100.000

25.000

w

Gráfica 6-13

w w

Los valores equivalentes para estas alternativas se pueden encontrar con la ayuda de las fórmulas de interés. Una manera sería calcular el valor presente del flujo de fondos de la alternativa A2. ., n

P2 = A

P2= 25.000

-1

(1+0.10)5 —1 (0.10) (1+0.10)'

:= 94.770 Esta cifra de Bs. 94.770 sí es directamente comparable con el valor presente de Bs. 100.000 porque ambas representan cantidades de dinero en el mismo punto del tiempo. Así, el decisor puede concluir, sobre una base equivalente, que la suma de Bs. 100.000 en un solo pago es preferible a 5 pagos anuales de Bs. 25.000 y por lo tanto se decidirá por la alternativa Al. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


6.6 CRITERIOS O ÍNDICES DE COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS Hemos estudiado que el establecimiento de las preferencias temporales del Decisor requiere la reducción de los resultados de las alternativas a un simple valor, figura, índice, criterio de comparación o medida de equivalencia que permita establecer las diferencias entre las alternativas para poder compararlas, Un índice de comparación es un valor o base que contiene la información acerca de los ingresos y egresos que representan una alternativa. La reducción de alternativas a un índice o base común es necesaria, de manera tal que las diferencias aparentes vengan a ser diferencias efectivas directamente comparables y que, por lo tanto, puedan usarse como elemento de decisión. Los índices de comparación de alternativas más utilizadas son: 1) El Valor Presente

om

2) El Valor Futuro

fo ro

4) La Ruta Interna de Retorno

s. c

3) El Valor Equivalente Anual

a.

m

5) El Período de Recuperación del Capital

un

6) El Valor Prospectivo

dm

yc

on t

La metodología del Análisis de Decisiones utiliza fundamentalmente el índice del Valor Presente, por lo cual consideramos sólo este índice de comparación. El estudiante interesado podrá estudiar los otros índices en la Bibliografía suministrada.

w w

w

.a

Es importante aclarar que la utilización de los índices de comparación constituye sólo una etapa más dentro de la metodología del Análisis de Decisiones. Antes de estudiar el índice del Valor Presente es necesario aprender qué se entiente por flujo neto de fondos. 6.6.1. Flujo Neto de Fondos Ya hemos aprendido, cuando estudiamos Flujob de Fondos, que las consecuencias monetarias de una alternativa pueden describirse en términos de los ingresos y egresos que se producirían si la alternativa fuese elegida y que la representación de estos montos, y del tiempo en que ocurren, se conoce como diagrama de flujo de fondos de la alternativa. Cuando una alternativa en particular muestra ingresos y egresos ocurriendo simultáneamente, se acostumbra trabajar con el flujo neto de fondos, el cual resulta de la suma algebraica, por cada punto o momento del tiempo, de los ingresos y los egresos. Cuando el flujo neto es positivo, representa un ingreso o beneficio o sea, que el ingreso supera a los egresos; mientras que si el flujo de neto de fondos es negativo, representa un egreso o costo, o sea que los egresos superan los ingresos. 162



Algebraicamente el flujo neto de fondos se representa por Xt donde Xt debe entenderse como el beneficio neto que ocurre en el momento t, si Xt > O representa un ingreso neto y si Xt < O representa un costo neto. La representación gráfica de un flujo neto de fondos típico adopta la forma que se indica en la figura 6-14. »Xn X.

i•

A

fo ro

s. c

om

,')'

m

Flujo Neto de Fondos Figura 6-14

un

a.

Ejemplo:

on t

Una empresa está considerando la adquisición de una nueva maquinaria la cual puede pagarse de la manera siguiente:

dm

yc

Cuota inicial: Bs. 20.000 Cuotas anuales: 2 de Bs. 5000 cada una.

w w

w

.a

Se espera que la maquinaria producirá un beneficio anual de Bs.15.000 y que al final del tercer año de operación podría venderse en Bs. 8.000. Se desea establecer el diagrama de flujo neto de fondos.

Año

Ingresos

0

Egresos

Flujo Neto

20.000

- 20.000

1

15.000

5.000

10.000

2

15.000

5.000

10.000

3

15.000

23.000

8.000 Flujo Neto de Fondos Figura 6-15


163


23.000

10.000

10.000

ji

fo ro

s. c

om

20.000

un

a.

m

Diagrama Flujo neto de Fondos Figura 6-16

on t

6.6.2. Cálculo del índice Valor Presente

dm

yc

El valor presente es un valor estimado para el momento (t = 0) tal que es equivalente al flujo neto de fondos de una alternativa a una cierta tasa de interés i.

w w

w

.a

Supongamos el flujo neto de fondos de la figura 6-17.

x_

^0

Flujo Neto de Fondos Figura 6-17

164



Así el valor presente (VP) del flujo neto de fondos X (t) a una tasa de interés i y durante un lapso de n períodos puede estimarse, utilizando la fórmula de P dado F, como:

x,

\T'D V

La cual podemos escribir también como;

fo ro

s. c

om

X(t) x

representa el flujo neto de fondos en función del tiempo.

on t

X (t)

un

a.

m

Expresión que se utiliza para calcular el valor presente VP de cualquier flujo neto de fondos y donde, como hemos dicho:

representa al tiempo

^ (Lu, (T-

n

representa al número de períodos

i

representa la tasa de interés

^ ^

JU °/e

w

.a

dm

yc

t

w w

El estudiante deberá tener claro que tanto el cálculo del valor como su utilización como índice de comparación, se basan en el concepto de equivalencia. 6.6.3. Utilización del índice Valor Presente Conocido el flujo neto de fondos que representa la alternativa y dada una tasa de interés, fue posible calcular una cantidad equivalente, el valor presente, al flujo neto de fondos. Así que siempre es posible estimar una cantidad equivalente en cualquier punto del tiempo que equivale en valor al flujo neto de fondos. Puesto que este valor presente resume o representa el valor neto de los fondos, puede apropiadamente utilizársele como índice de comparación. Ejemplo: Supongamos que una alternativa está descrita por el flujo neto de fondo que se indica y que deseamos calcular el valor presente equivalente al flujo neto de fondos a una tasa de interés del 10% anual. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

165


Años

Montos

0

-1000

1

400

2

400

3

400

4

400

s. c

om

Gráfica 6-18

fo ro

Diagrama de Flujo de Fondos

400

400

400

on t

un

a.

m

400

t

dm

yc

4

w w

w

.a

1000

Gráfica 6-19

Cálculo del valor presente: VP-

X(t)

Z

X

t= VP=

-1000

X .. _- r + 400 X + 400 X (14-0.1)° (1-fO.l)2 (l+O.l)1

400X

(l+O.l)3

+ 400 X

1

De lo anterior resulta, después de efectuar operaciones: VP= +. 268

166



Este valor de 268 es equivalente, en t = O, al flujo neto de fondos, de manera que un Decisor debe ser indiferente entre recibir Bs. 268 ahora o recibir el flujo neto de fondos ya indicado. El índice valor presente muestra una serie de características que lo hacen especialmente apropiado como índice de comparación: 1) El valor presente considera el valor temporal del dinero de acuerdo a la tasa de interés escogida para el cálculo. 2) El método del valor presente concentra el valor equivalente de cualquier flujo de fondos en un solo índice, en un particular punto del tiempo.

fo ro

6.6.4. Criterio para la utilización del índice Valor Presente

s. c

om

3) El valor del índice valor presente es siempre único para cada flujo neto de fondos, o sea, que una secuencia de ingresos y egresos originará un valor presente único para un determinado valor de tasa de interés y para un particular punto del tiempo.

un

a.

m

En la figura 6-20 se muesrra la variación del índice valor presente, para el flujo neto de fondos dei problema del punto 6-6-3, representado en función de la tasa de interés.

w w

w

.a

dm

yc

on t

VP

Gráfica 6-20

El examen de la gráfica VP ~ f(i) provee información muy útil. El rango de tasa de interés (i) para el cual el valor presente (VP) es positivo corresponde a ingresos mayores que egresos y por lo tanto la alternativa es deseable, mientras que cuando (VP) es negativo corresponde a ingresos menores que egresos (pérdidas) y la alternativa no es deseable. Por lo tanto, el valor presente provee un criterio o medida directa y muy visible y de fácil interpretación acerca de la deseabilidad de una alternativa o resultado. A mayor valor presente, mejor y más atractiva es la alternativa Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

167


El único punto pendiente a discusión acerca del valor presente, es cuál debe ser la tasa de interés a utilizar en el cálculo. Existen discrepancias de opinión acerca de qué tasa de interés usar y de las implicaciones de la tasa utilizada. El problema de la selección de una tasa de interés apropiada escapa al alcance de este Curso, por lo cual no se ahondará más en este punto, bastando señalar que la consideración fundamental para la selección de la tasa de interés adecuada es la relación de la organización con su medio financiero.

6.7. RESUMEN En esta Unidad nos hemos dedicado al estudio de las Preferencias al Valor y a las Preferencias Temporales del Decisor.

s. c

om

Mediante el estudio de los Criterios de Valoración hemos aprendido a valorar los resultados, los que nos permite considerar las Preferencias al Valor del Decisor,

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

Mediante el estudio y aplicación del Criterio del Valor Presente hemos aprendido a establecer las Preferencias Temporales del Decisor.

168



AUTOE VALUACIÓN Instrucciones Para cada uno de los problemas suministrados, responda la (s) pregunta (s) :orrespondiente (s).

om

1) Un fabricante debe decidir si manufactura un nuevo producto. La decisión de fabricar el producto involucra una inversión de 0.5 millones de bolívares, siendo la demanda bastante incierta. Si la demanda fuese alta, la compañía esperaría un ingreso bruto de alrededor de 2 millones; si fuese moderada, el retorno bruto sería de alrededor de 1.6 millones, mientras que una demanda baja produciría un retorno de alrededor 0.8 millones. Se ha estimado que la probabilidad de una demanda alta es 0.1 y la de una demanda baja es de 0.5.

s. c

Se pide: Estructurar el problema en forma de árbol de decisión.

B)

Establecer el Criterio de Valoración y asignar valores a los resultados.

C)

Determinar la estrategia óptima.

a.

m

fo ro

A)

8 10

.a w

Probabilidad de que el costo sea X

w w

Costo (X) en millones

dm

yc

on t

un

2) Una compañía constructora debe decidir si aceptará un contrato para la construcción de un túnel por el cual percibirá un pago de 12.5 millones de bolívares. Debido a que la estructura geológica de la montaña que será atravesada por el túnel es desconocida, el costo de construcción es una variable aleatoria descrita como se indica en la tabla.

0.2 0.4

12

0.3

14

0.1

Se pide: A)

Estructurar el problema en forma de árbol de decisión.

B)

Asignar valores a los resultados.

C)

Determinar la mejor alternativa.

3) Una empresa ha experimentado tres respuestas básicas, medidas en términos de aceptación del producto, a sus pasadas campañas de publicidad. En el presente, la firma está considerando dos posibles campañas, I y II. Debido a que cada campaña tiene un énfasis diferente, se espera que el porcentaje de publiDigitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

169


co que responsa de una manera particular variará de acuerdo al programa que se escoja. En la tabla anexa se muestran los flujos de fondos que se espera se producirían para cada campaña y para cada tipo de respuesta del público. En cada caso se asume un 100% de respuesta del público.

Campaña I

Porcentaje Público

Año

0

.

60%

-500

20%

-500

2

3

200

100

200

200

300

200

200

200

300

Campaña II

dm

yc

on t

un

a.

m

C

-500

s. c

B

20%

fo ro

A

1

om

Tipo Respuesta

Porcentaje Público

w w

w

.a

Tipo Respuesta

Año

0

1

2

3

A

30%

-600

300

200

200

B

40%

-600

200

300

300

C

30%

-600

300

300

300

Se pide:

170

A)

Estructurar el árbol de decisión correspondiente.

B)

Asignar valores a los resultados y determinar para una tasa de interés del 10% , qué campaña de publicidad deberá adoptarse, por medio del cálculo del Valor Presente. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


4) Una compañía debe decidir entre mejorar un producto existente o fabricar uno nuevo. Se dispone de la siguiente información para ayudar al análisis de la decisión.

Fabricar Producto

Costo Inicial

15.000

30.000

Beneficio Anual Neto

12.000

25.000

1

0.4

0.6

2

0.6

0.4

s. c

10%

a.

m

Tasa de interés

fo ro

Probabilidad de duración en años de las ventas

om

Mejorar Producto

un

Se pide:

Estructurar el problema en forma de árbol de decisión.

B)

Determinar cuál es la mejor estrategia a seguir, asignando valores y utilizando el método del Valor Presente.

w w

w

.a

dm

yc

on t

A)


171


SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUAC1ON Sección Referencia

Objetivo Evaluado

Problema

1

12

6-3

2

12

6-3

3

13

6-6

4

13

6-6

om

Clave Razonada

s. c

Problema 1

fo ro

A) Estructurando el problema en forma de árbol de decisión se tiene: B) Cálculo del Valor

Valor

B=f 2-0.5)

1.5

B= (1.6 -0.5)

1.1

B=(.8~0.5)

0.3

dm

yc

on t

un

a.

m

A) ÁRBOL DE DECISIÓN

w w

w

.a

\

B= (0-0) B) Por tratarse de un problema de tipo empresarial es lógico utilizar como criterio de valoración el beneficio económico neto definiéndolo como donde

B = beneficio neto I = ingresos o ganancias C= costos

Utilizando esta fórmula se calculan los valores para cada resultado, los cuales se indican en la tabla. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

173


C) Para determinar cuál es la mejor alternativa calculamos el valor esperado del beneficio neto. E

[I] = 0.1(1.5) + 0.4(1.1) +0.5(0.3) = 0.74

E

[II]- O

Puesto que

E [ I ] > E [ II ]

Por lo tanto Seleccionar alternativa I: Fabricar Problema 2

fo ro

s. c

om

A) Estructurando el problema en forma de árbol de decisión tenemos:

B) CALCULO DEL VALOR

VALOR

un

a.

m

A) ÁRBOL DE DECISIÓN

(12.5

4.5

(12.5-10)

2.5

(12.5-12)

0.5

(12.5-14)

-1.5

w w

w

.a

dm

yc

on t

0,2

0-0 )

Siendo I, la alternativa aceptar contrato para construir túnel, í , la alternativa no aceptar contrato. Como criterio de valoración utilizaremos el beneficio neto, calculado como ingresos menos costos. B = I — C. En la tabla se indican los cálculos realizados para calcular el valor de cada resultado.



C) Para determinar la mejor estrategia, calculamos el valor esperado para cada alternativa. E ( I ) - 0.2 (4.5) 4- 0.4 (2.5) + 0.3 (0.5) + 0.1 (-1.5)

E ( I ) = 1.9 E ( I )= 1(0) = O Puesto que

E (I) > E ( I )

La decisión óptima es aceptar el contrato para construir el túnel.

Problema 3

fo ro

s. c

om

A) Estructuración del problema (Árbol de decisión)

VALOR

1.3

72

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

ÁRBOL DE DECISIÓN

-3

-12

55

146

B) Para valorar cada nodo terminal debemos calcular el Valor Presente del Flujo de Fondos correspondiente a cada resultado. Los valores que se obtengan se asignarán a cada nodo terminal.


175


Aplicaremos la fórmula para calcular el Valor Presente:

X(t)

X

t=o con n = 3

e

i = 10%

Para la alternativa I: VP
200

100

(l+O.l)2

(1+0.1)

300

+

+ 13

om

Similarmente se obtiene:

s. c

VP (IB) = 72

Para la alternativa II:

m

200

fo ro

VP (IC) = -3

200

+55

on t

VP(IIB)=

un

a.

30°

yc

VP (IIC) = + 146

.a

dm

Para determinar cuál alternativa es la mejor, calculamos el valor esperado para cada una

ü.2 (13) + 0.6 (72) + 0.2 (-3)

w w

w

E [ I ]= E [ I ]=

45.2

E [ U ]=

0.3 (-12) + 0.4 (55) + 0.3 (146)

E [ II ]=

62.2

Puesto que

E [ II ] >

E [I]

Debe seleccionarse la alternativa II, o sea la campaña ü.



Problema 4 A) Estructuración del problema (Árbol de Decisión).

ÁRBOL DE DECISIÓN

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

M

Alternativa M Alternativa N

:

w w

w

-.izaremos:

mejorar el producto existente fabricar nuevo producto

7 ;r.5¡dera>'emos: I¿t¿do Natural 1: Espado Natural 2:

Producto tiene vida económica útil de 1 año. Producto tiene vida económica útil de 2 años

Método del Valor Presente ?ÍT= valorar cada nodo terminal calcularemos el valor presente correspondente a cada resultado, a una tasa de interés del : i.*i .a alternativa M: VP
-15000

VF(M1)=

-4091

12.000 (l+O.l) 1


177


Similarmente

VP (M2) -

5826

Para la alternativa N VP (NI) =

-30.000 +

25.000

( i + o.i)i

VP (NI) - -7273 Similarmente

VP (N2) -

25000

25000

om

-30000 -i13388

.-, -4091

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Los valores anteriormente calculados se asignan a los nodos terminales del árbol de decisión.

.0

5826

w w

w

.a

dm

yc

M

-7273

13388

Calculemos ahora los valores esperados para determinar la mejor alternativa: E [M] = 0.4 (-4091) + 0.6 (5826) E [M]- 1860

E [ N ] = 0.6

(-7273) +0.4(13388)

E [ N ] = 991

Puesto que

E [M] > E [N]

Debe seleccionarse la alternativa M o sea mejorar el producto existente. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


UNIDAD

7

LA ACTITUD DEL DECISOR ANTE EL RIESGO

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deherá estar en capacidad de:

om

14) Establecer, gráfica y analíticamente, la función de utilidad del Decisor y determinar la consistencia del mismo, a través de la utilización de los axiomas de la Teoría de la Utilidad.

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

15) Establecer la estrategia óptima tomando en consideración las preferencias del Decisor y su actitud ante el riesgo.

yc


.a

Lotería Valor monetario de la Lotería Equivalente cierto de una Lotería Axiomas de la Teoría de la Utilidad

w w

7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4.

w

~,2. Teoría de la Utilidad . . .

dm

Ll. Introducción

Pag. 180 180

181 182 183 184

U. Función de Utilidad: Determinación

190

~.4. Determinación de la Actitud del Decisor ante el Riesgo

197

U. Utilización de la función Utilidad en el proceso de Decisión

198

A .;: Devaluación

205

:•: !ución de la Autoevaluación

211


179


7.1. INTRODUCCIÓN Cuando un Decisor se enfrenta ante una serie de alternativas, la selección de la estrategia a seguir constituye un problema, ya sea porque hay incertidumbre sobre la ocurrencia de los estados de la naturaleza, o porque no se tiene certeza de las consecuencias que involucraría un determinado curso de acción. En general, el Decisor procurará elegir aquella alternativa que le garantice el máximo provecho o máxima utilidad como la llamaremos de ahora en adelante.

fo ro

s. c

om

Por ejemplo, si a usted le dieran a elegir entre un juego de dominó donde al ganador le pagarán Bs. 1000 o el juego de lanzar una moneda al aire donde el que saque cara ganará Bs. 100. ¿Cuál sería el juego en el que usted estará dispuesto a participar? o ¿qué decisión tomaría un inversionista que dispone de un capital, entre participar en un negocio de importación con un posible rendimiento del 40 %,o invertir en cédulas hipotecarias con un rendimiento del 18 %? En general no es cierto que los beneficios monetarios caractericen plenamente todas las consecuencias de las situaciones de decisión que pueden ser importantes para el Decisor. Los resultados obtenidos a! escoger un curso de acción particular, dependerán de factores como el prestigio personal del Decisor, el tamaño de la organización, la actitud ante el riesgo, etc.

un

a.

m

Cuantificar las preferencias de un Decisor es una necesidad, a fin de establecer un mecanismo que permita determinar la alternativa más favorable, de acuerdo con su evaluación subjetiva frente a un conjunto de factores. Con este propósito se utiliza la Teoría de la Utilidad.

yc

on t

Los valores de utilidad reflejan los elementos subjetivos que interesan al Decisor.

w w

w

.a

dm

En esta Unidad se desarrollan las funciones de utilidad de aquellos que toman decisiones racionalmente y se describen sus diferentes actitudes ante el riesgo. Veremos que una función de utilidad no pretende representar el valor del dinero como tal, sino que refleja una integración de diversos elementos que tienen que ser tomados en cuenta, tales como: los beneficios o las pérdidas potenciales^ el patrimonio financiero inicial de! Decisor, sus perspectivas a corto plazo, los posibles cambios de la actitud ante el riesgo, etc. 7,2. TEORÍA DE LA UTILIDAD La teoría de la utilidad nos provee de una serie de elementos o mecanismos para establecer una cuantificación de las preferencias del Decisor. El resultado de este proceso será una función utilidad, la cual tomará en cuenta las preferencias del Decisor, tanto monetarias como no monetarias, en un determinado momento y con un estado de conocimiento. La función utilidad, a la cual simbolizaremos por U (.), es una medida subjetiva de la trascendencia que para el Decisor representa la incetidumbre sobre las consecuencias, tanto cualitativa como cuantitativamente. El valor de utilidad U (X) indicará el "beneficio" o "utilidad" que para él representa disponer de X unidades del bien o atributo considerado. Pero, ¿cómo constuiremos la función utilidad para cada uno de los diferentes decisores? Para establecer la función de utilidad es necesario introducir una serie de nuevos conceptos, los cuales describiremos a continuación.

180



7.2.1. Lotería Si nos encontramos observando un resorte, una forma de evaluar los efectos que sobre el material causan las variaciones de temperatura es midiendo la longitud del resorte para diferentes valores de temperatura y, con estas mediciones, trazar una curva de elongación versus temperatura. Para medir las variaciones utilizamos una cinta métrica. De forma análoga, para establecer la función de utilidad se utiliza una lotería. Lotería, la cual representaremos por (L), es un término técnico que define una selección de premios o consecuencias, a los que designaremos por (X17 X 2 ,,. . X ), de los cuales solamente uno se obtendrá, y que tiene asociados a cada uno de ellos una probabilidad P¡ de obtener el premio, tal que 2 P. = 1

[(X^P^CX^MX^PJJ

= L ( X , , P i ) 1-1....n

s. c

L

om

Simbólicamente representaremos las loterías por:

fo ro

donde X.: premio i

a.

m

P, : probabilidad de obtener el premio i

un

Gráficamente representaremos una Lotería L de premios

.a

w w

w

LÍX,,?,)

dm

yc

on t

(X 1( ...X n )por:

donde ^

equivalente a

Ilustremos este concepto a través de unos ejemplos. Supongamos que usted compra por Bs. 10 el boleto de una rifa de 200 números y el premio para el boleto favorecido es Bs. 10.000, la lotería se representaría entonces por: dO.OOO,

(~10,-¡|-) 10.000

-10 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

181


Suponga ahora que a usted le proponen el juego de lanzar una moneda al aire, si sale cara usted gana Bs. 50, si sale sello pierde Bs. 10, esta Lotería estara representada por: 50 i/2

-10 7.2.2. Valor monetario esperado de la Lotería Para cada una de las loterías L¡ planteadas a un Decisor es posible Determinar el valor esperado de la Lotería, al cual representaremos por E (L) = X, definido como:

s. c

om

X = E (X)= Í X. P. v ' 1=1 l >

fo ro

donde

Valor asociado al premio i, medido en unidades del bien o atributo.

P¡ •

probabilidad de obtener Xi

un

a.

m

X- :

on t

Calculemos X en cada uno de los ejemplos anteriores.

yc

Xx = E (L1 ) = Ganancia X p (ganar) 4- pérdida X p (perder)

w w

w

.a

dm

X1=E(L1)«10.000x--10x

Como se observa

= 50 2

200

--

*

20

m ^ 20 2

X2 < Xj

Planteemos ahora el siguiente problema de decisión ¿cuál Lotería preferiría, Para contestar esta pregunta estructuremos el árbol de decisión 1/200

/

10-000

199/200

-10 50

10



Suponga ahora que a usted le proponen el juego de lanzar una moneda al aire, si sale cara usted gana Bs. 50, si sale sello pierde Bs. 10, esta Lotería estara representada por: 50 1/2

-10

7.2.2. Valor monetario esperado de la Lotería Para cada una de las loterías L. planteadas a un Decisor es posible determinar el valor esperado de la Lotería, al cual representaremos por E (L) = X, definido como: X = E (X) = i v ' =

s. c

om

X. P. l '

fo ro

donde

Valor asociado al premio i, medido en unidades del bien o atributo.

P¡ •

probabilidad de obtener Xi

un

a.

m

X-:

on t

Calculemos X en cada uno de los ejemplos anteriores.

yc

X1 = E (L 1 ) = Ganancia X p (ganar) + pérdida X p (perder)

SOL

w

=

w w

X2

.a

dm

^-Eí^)-10.000X^-10X1»--

*

Como se observa

w. _ ly. - 20 2

2

X2 < X!

Planteemos ahora el siguiente problema de decisión ¿cuál Lotería preferiría, LXÓL2? Para contestar esta pregunta estructuremos el árbol de decisión 10.000



Si el Decisor sólo toma en cuenta el valor monetario esperado y utiliza el procedimiento indicado anteriormente el árbol se reducirá:

s. c

om

y la decisión deberá ser elegir Ll, es decir, participar en la rifa, sin embargo, la probabilidad de salir favorecido con el juego de la moneda es mayor. Habrá personas que preferirán participar en L 2 .

fo ro

Esto nos indica que el valor esperado de una Lotería no es necesariamente la mejor medida de las preferencias de un Decisor.

a.

m

Para valorar esas preferencias es necesario introducir el próximo concepto.

un

7.2.3. Equivalente cierto de una Lotería

dm

yc

on t

/•* El equivalente cierto de una Lotería L (X., P.), al cual designamos por X, es la cantidad X para la cual el Decisor es indiferente entre participar en la Lotería L (Xp P¡) y recibir X con certeza, es decir,

w w

1

w

.a

^ x,

X

siendo 'v ; símbolo que indica indiferencia. Tomemos un ejemplo para interpretar mejor este concepto; supongamos que usted posee un boleto para la rifa de un pasaje ida y vuelta a París que tiene un total de 100 números. Si le pidieran su opción a la rifa ¿cuál sería el precio por el cual usted estaría dispuesto a vender su boleto? Digamos que usted dice Bs. 100, esto significa que usted es indiferente entre tener la opción a la rifa o disponer de Bs. 100 seguros. 1/100

Ir a París

Gráficamente, 100 99/100

Quedarse en casa


183


el equivalente cierto = X = Bs. 100 Cuando X¡ son cantidades monetarias, entonces el equivalente cierto de una Lotería se refiere al equivalente monetario. Esta definición de equivalente cierto nos permite obtener los valores de utilidad frente a diferentes loterías de una manera consistente y de esta forma establecer una metodología o procedimiento para la codificación de las preferencias del Decisor a través de su curva de utilidad. A través de la función de utilidad debe reflejarse el comportamiento consistente del Decisor, para lo cual es necesario que se cumplan una serie de axiomas, que constituyen la base de la teoría de la utilidad. Estos axiomas se enumeran a continuación. 7.2.4. Axiomas de la Teoría de la Utilidad

om

7.2.4.1 Axioma 1. Ordenabilidad

X,

Xi

un

a.

>

m

fo ro

s. c

Este axioma se refiere a que un Decisor debe poder clasificar una serie de premios dados X1,. . . . , Xj,. . . . X , de acuerdo a sus preferencias. Digamos que las preferencias del Decisor se pueden resumir en

yc

on t

Tomemos un ejemplo para ilustrar este axioma. Supongamos las siguientes consecuencias o premios:

dm

X1 = Ir a París

.a

X2 - Ir a Los Roques

w w

w

En este ejemplo hay sólo tres posibles situaciones. Si usted prefiere ir a París que a Los Roques entonces *i >

X2

Si por el contrario prefiere Los Roques a ir a París entonces X2

> Xx

.

y si es indiferente entre ir a Los Roques o a París

X

X

La ordenabilidad obliga a la transitividad, es decir, si un Decisor prefiere X. a X. + l (X. > X. +1) y a su vez X¡ + j a X. + 2 (X. + 3 > Xj + 2 ) entonces X¡ > Xj + 2



Tomando el ejemplo anterior Si Ir a París > Ir a Los Roques e Ir a Los Roques > Ir a Margarita entonces Ir a París > Ir a Margarita

om

En general, una persona consistente tiende a mantener el principio de transitividad cuando evalúa la naturaleza de las consecuencias en su totalidad y no un aspecto parcial o particular de cada una de ellas; por ejemplo, ir de viaje a París le atrae por el valor histórico de la ciudad y sus espectáculos. Por el contrario, Los Roques le atraen por la belleza de sus playas y su tranquilidad, pero el Decisor tiene que evaluar desde todo punto de vista cuál le gustaría realmente más y establecer una jerarquización de preferencias.

s. c

En este proceso de codificación de preferencias, podría darse el caso de incurrir en inconsistencias.

A

^

V A 2-

m

V Al

fo ro

Desarrollemos un ejemplo. Supongamos que a nuestro Decisor le es indiferente entre ir a París (Xj) o a Los Roques (X2), es decir,

yc

x, -v x3

on t

un

a.

Supongamos que nos dicen que el premio de ir a Los Roques incluye disponer de una lancha para sus exploraciones por la isla (premio X 3 ), aun así usted dice que es indiferente entre X2 ^ X3, por lo tanto, aplicando el principio de transitividad:

.a

dm

Supóngase que además de ir a París el premio incluye una gira adicional (X 4 ) y usted dice que X3 ^ X 4 , siguiendo este procedimiento donde Xj 'v X¡ 4- A X¡ podríamos llegar a situaciones donde

w w

w

Los Roques 4 Islas cercanas ^ París 4- gira alrededor Aplicando el axioma de ordenabilidad se establecería que: Ir a Los Roques ^ Ir a París 4- giras alrededores Lo cual luce bastante inconsistente, lo que esto quiere decir es que esta serie de indiferencias entre consecuencias tendrá un punto de quiebre y es necesario revisar la consistencia de esta cadena de indiferencias. No sucede así con el comportamiento de estricta preferencia. Todas estas preferencias dependen del momento en que se estén evaluando las consecuencias, ya que el momento o el conocimiento adicional adquirido puede variar la preferencia. Un ejemplo típico de esto es cuando usted va a adquirir un vehículo y su selección está entre A y B. En este momento usted prefiere indiscutiblemente B, sin embargo, un amigo suyo que tiene un taller mecánico, le dice que los carros B han tenido grandes problemas en el motor ¿Seguirá usted entonces prefiriendo B? Lo más probable es que no. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

185


Muchas veces la transitividad de las preferencias pareciera no satisfacerse y esto se debe a que el Decisor involucrado en el proceso ha asimilado nuevas experiencias a su comportamiento que pueden hacer variar sus preferencias, es decir, se ha realizado un proceso de cambio en el estado de información. En este caso la transitividad no ha sido violada sino que se ha producido un cambio en el estado de información del Decisor, lo que ha ocasionado una alteración en el orden de sus preferencias. Para la aplicación de estos axiomas a un mismo Decisor, necesariamente debe considerarse el mismo marco de referencia y estado de información.

7.2.4.2. Axioma 2. Continuidad

Figura 7-1

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Supongamos que tenemos un conjunto de tres consecuencias: X 1 ( X 2 , X 3 . El Decisor puede ordenar estas consecuencias sin tomar en cuenta las probabilidades de obtenerlas, digamos que el orden es Xj > X2 > X 3 . El axioma de continuidad establece que es posible construir una Lotería L de premios o consecuencias X! y X 3 , L [ (X 1} P); (X 3 , 1—P) ] con probabilidad P, tal que el Decisor sea indiferente entre recibir X 2 con certeza o participar en la Lotería L, es decir,

w w

w

de esta forma, observamos que X2 coincidirá con el equivalente cierto de L. (La figura 7-1 es equivalente al árbo! de decisión.)

x

-x,

Este axioma es de vital importancia ya que nos permite determinar la función de utilidad, para el proceso de toma de decisiones.

186



Pongamos un ejemplo. Supongamos una Lotería que tiene los premios: Xj -Bs. 1000 X 2 = Un pasaje a Margarita X3 = Boleto para el cine y supongamos X1 > X 2 > X 3

om

Entonces debemos establecer el valor P que hace que el Decisor sea indiferente entre recibir X 2 con certeza y participar en una Lotería L de premios (X-p X 3 ), es decir, 1000

fo ro

s. c

x.

m

Boleto cine

un

a.

Supongamos P =—, esto quiere decir que usted será indiferente entre o recibir un pasaje a,Margarita y participar en una Lotería, (1000,-|); (Boleto cine, ± {

ó

O

yc

'

on t

L

dm

7.2.4.3. Axioma 3, Substitutabilidad

w

.a

A un Decisor le es indiferente entre recibir el equivalente cierto de una Lotería L o participar en la lotería.

w w

Si un decisor es indiferente ante dos loterías LÍ y L 2 , éstas son intercambiables sin que se afecten las preferencias del Decisor. Por ejemplo, supongamos las siguientes loterías.

Si el Decisor es indiferente ante esas dos loterías, entonces L^ ^ L 2 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

187


7.2.4.4. Axioma 4. Monotonicidad Supongamos que enfrentamos a un Decisor con dos loterías L X ) L 2 , las cuales tienen los mismo premios X1?. . . . X 2 . Supongamos que las preferencias del Decisor son:

X1>x2>....>xn entonces, él deberá preferir aquella Lotería que le proporcionará la mr,yo¿' probabilidad de cbtanau el premio "más deseado" (XA Utilicemos la nomenclatura tradicional para representar éste axioSeaL

m

Si X, > X2 > . . , . > Xa

fo ro

s. c

om

tal que

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

y ?1 > P , entonces L 1 > L

p' r

Este axioma de monotonicidad es una de las características más importantes de las funciones de utilidad, ya que permite establecer la estrategia que maximizará la utilidad del Decisor. La maximización de la utilidad dependerá del parámetro de ponderación utilizado. Si por ejemplo se toma si valor monetario como aquel que sirve para ponderar las diferentes consecuencias o premios, preferirán el mayor

U(X)

188



Ahora bien, pueden existir una serie de consecuencias cuyo atributo o parámetro de ponderación no necesariamente sea el valor monetario de un bien; digamos que el parámetro será el tiempo de ejecución de una obra; es evidente que un constructor preferirá el menor tiempo Supongamos t1 > t 2 ; donde t x representa unidades de tiempo en este caso U ( t 2 ) > U ( t 1 ) 7.2.4.5. Axioma 5. Descomponibiiidad Las loterías presentadas ante el Decisor no necesariamente son sencillas, sino que podrían ser unas cuyos premios fueran otras loterías. A este tipo de Lotería se le conoce con el nombre de compuesta

a.

m

Ilustremos esto a través de un ejemplo.

fo ro

s. c

om

El axioma de descomponibilidad establece que una Lotería Compuesta puede ser reducida a una Lotería sencilla que tenga por premios todos los incluidos en la Lotería Compuesta y cada uno de los premios (concecuencia) tenga asociado un valor de probabilidad determinado a través de la utilización de la Teoría de las Probabilidades.

w w

w

.a

dm

i-p

yc

on t

un

Supongamos las loterías Lp L 2 tal como se indican a continuación:

La Lotería L1 puede ser transformada en:

pp

Todos estos axiomas nos permiten establecer una metodología consistente para la determinación de la función utilidad, lo cual analizaremos en la próxima sección. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

189


7.3. FUNCIÓN DE UTILIDAD; DETERMINACIÓN La función de utilidad nos permitirá asignar a cada consecuencia o premio (X) un valor de utilidad U (X), siempre y cuando el Decisor, a quien se le están codificando las preferencias, satisfaga los axiomas de la Teoría de la Utilidad. Una característica importante de la función de utilidad U (.), que se deriva de los axiomas de la Teoría de la Utilidad, es que las preferencias del Decisor no ss afectan si se realiza una transformación lineal sobre la misma, es decir, que si U (X) es una función de utilidad; entonces U'(X)= P + m U(X)

m>0

también será una función de utilidad que codificará las preferencias del Decisor, ec decir,

om

U (X) 'v U'(X )

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Esto indica que la utilidad es un valor relativo y no absoluto, pudiendo de esta forma atribuir un valor arbitrario a dos consecuencias y luego asignar valores relativos a las otras consecuencias respecto a los valores indicados, es decir, se procede a una normalización de la curva de utilidad en función a dos consecuencias arbitrarias. A fin de establecer una metodología, y con el propósito de facilitar el análisis, supongamos un grupo de premios X 15 X 2 . . . X n , tales que X1 > X ? >....> Xn, donde X1 es el de mayor preferencia y Xn es el de menor preferencia, llamemos a X1 = Xm áx y Xn = Xm ín Entonces asignemos ios valores de utilidad tal que

w w

w

.a

Esta asignación establece una escala o rango de variación de la utilidad, la cual nos parmíte tenei* otros plintos de la curva de utilidad a fin de codificar las preferencias del Decisor ante un conjunto de consecuencias o premios (X, > ..... , X ) ¿Cómo procedemos a determinar los puntos restantes de la curva de utilidad?, es decir, para un premio X x < X; < X n ? V i. ¿Qué valor de utilidad le asignaremos? Para determinar U (X) 5 el Decisor debe determinar el valor X de los resultados o eonsecu^cias posibles que haría que fuese Indiferente (para el Decisor) entre poseer X con certeza o participar en la Lotería L (X máx , 1/2); (X m f n , 1/2) con premio (X^,,. , ~ ; ^ rnín ), es decir.

I/ X

rain.



Reconozcamos aquí que eí valor de X corresponde al equivalente cierto de la Lotería L. Este valor de X nos determinaría otro punto de la curva de utilidad. Hasta ahora tenemos tres puntos de la curva Premio

Utilidad

Xmáx.

1

X

0.5

X mín.

O

m

fo ro

s. c

om

Para determinar otros puntos de la función de utilidad, se le pregunta al Decisor qué valor X' haría que fuese indiferente para el poseer X' con certeza o participar en una Lotería (L) equiprobable de premios (X, Xmín ), es decir,

un

a.

X'-VL

Analíticamente

w w

w

.a

dm

yc

on t

1/2

U(X') = — X0.5 + — X 0 = — 2 2 4

U(X')=4Utilizando este procedimiento se determinarían los puntos de la curva de utilidad. La curva de utilidad puede establecerse también realizando otro tipo de pregunta al Decisor, estableciendo la misma asignación de valores,

U ( X min. 191 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Y para determinar puntos adicionales en la curva se establece con qué probabilidad (P) se podría recibir el premio Xmáx de una lotería L [ (X , P); (X mfn 1—P) ] tal que fuese indiferente para el Decisor participar en la Lotería L u obtener con seguridad la cantidad X, es decir, máx.

1-P

Analíticamente, U(X) = P

U(X m á J + (l-P) U ( X m í n ) = P

Premio (.)

Utilidad Ú (o)

0

-

a.

m

A.

P

fo ro

X

s. c

1

Xmáx

om

En este caso el cuadro de valores para granear la curva sería:

on t

un

La derivación de la curva de utilidad utiliza ambos procedimientos con el propósito de establecer la consistencia del Decisor en la derivación de la función.

yc

Utilicemos un ejemplo para analizar esta metodología. Supongamos que estamos ante una Lotería con premios antre Bs. 1000 y Bs. O, en este caso,

dm

U(X m í n .) = 0

w w

w

X m í n.

U(Xmáx.)=l

100°

.a

=

Para determinar los puntos restantes de la curva preguntemos al Decisor, qué valor de X le resultaría indiferente entre participar en la Lotería L [ (1000, 1/2); (O, 1/2) ] y recibir X con certeza. Supongamos que X = Bs. 350, por lo tanto 1000 1/2

1 350 i/2

U(350)=-U v 2

- U ( 0 ) = 0.5 2

U (350)- 0.5 Nótese que 350 sería el equivalente cierto de la Lotería L. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Determinemos otro punto; ¿para qué valor X le sería indiferente participar en la Lotería L [ (350, 1/2); (O, 1/2) ] con certeza? Supongamos que nuestro Decisor responde X = 150, es decir,

1/2 1 150

om

1/2

fo ro

s. c

U (150) - — U (350) + — U (0) = O,,25 2¿> """ 2 ¿¡

m

U (150)-0,25

on t

un

a.

Para otro punto y efectuando la misma pregunta supongamos que el Decisor TS indiferente entre

w w

w

.a

1 250 -v L

dm

yc

350

1/2 150

U (250) -

Con estos valores podríamos entonces trazar la curva de utilidad tal como se :a en la figura 7-2

FUNCIÓN UTILIDAD

1000 FIG. 7-2 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

193


Ahora bien, antes de afirmar que esa gráfica representa la curva de utilidad de un Decisor, es necesario comprobar la consistencia de la actuación del mismo. Preguntárnosle matonees al Duchen- ¿cuál será la probabilidad (P) que lo haría indiferente ante una Lotería L[(1000, P); (O, l~P)]o recibir con segundad 250 Bs. Supongamos que nuestro Decisor establece P = 0.75; determinemos si el comportamiento es coiioiGteüte con los axiomas de la Teoría de la Utilidad

000

om

0.75

fo ro

U (1000) '

4

a.

m

U (250

s. c

Esto equivaldría a

o

•

on t

un

Pero anteriormente establecimos que la \J (250) - -— para ese mismo Decisor lo

dm

yc

cual determina un comportamiento inconsistente por parte suya. Esto nos indica que debemos realizar nuevas pruebas para establecer ía veracidad de las curvas y efectuar los cambios que sean necesarios.

w w

w

.a

La función de utilidad que hemos derivado, lo cual refleja en definitiva, la s ¿itiv: • ' • ' • -' '••:•- • ' - . ---'•• >::- psirrdtká evaluar la subjetividad de éste a la unión de una serie de elementos, no necesariamente monetarios, donde intervie—

La situación actual del Decisor, tanto monetaria como perspectivas a corto y mediano plazo.

-

Los problemas o beneficios potenciales involucrados en el problema.

—

Las preferencias del Deciscr.

—-

Factores subjetivos- como posición, prestigio, etc.

'••-: -•. . . - . . - - . '.:.-•• . ' . ....... ." ;:•;;/: ::;¿. yî cîie cada uno délos posibles premios (consecuencias) derivados de un curso de acción pueden describirse en términos de un solo bien o atributo (dinero^ tiempo, bonos); en nuestro caso hemos tomado como atributo de evaluación, el dinero. Sin embargo, podría darse el caso de que las consecuencias de una determinada alternativa no pudieran ser identificadas en términos de un solo bien. En este caso estaríamos en el de curvas multidimensionales. Todo esto constituye parte de un análisis más profundo, que se escapa del carácter introductorio de este Curso; por lo tanto, analizaremos curvas ae utilidad dovele al parámetro udlhado es a! bíen moneteio.

194Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


, :-.be destacar que el procedimiento discutido no es único y que hay muchas cas que permiten determinar las funciones de utilidad, pero, independientedeJ procedimiento utilizado, el Decisor deberá, dado un conjunto de pre-

I

ordenar los premios o consecuencias según sus preferencias.

2)

asignar valores de utilidad a dos de las consecuencias. En nuestro desarrollo hemos utilizado U(X máx .) = 1 U(X . )= 1 min. ' O

om

~ez el analista deberá:

s. c

determinar valores de la función

fo ro

verificar consistencia del Decisor.

f

on t

un

a.

m

mo toda gráfica, las curvas de utilidad pueden ser representadas analítica3in embargo, la representación analítica es muchas veces complicada y no n valores exactos sino aproximaciones. Para ello pueden utilizarse cualese los métodos de ajuste de curvas disponibles en la literatura.

w w

sarrollemos el siguiente ejemplo:

w

.a

dm

yc

a función de utilidad puede estar perfectamente representada por una i del tipo U (X) = — e ~a x Va > 0; normalmente tratamos con curvas ñas crecientes, pero eso no excluye la posibilidad de que la función esté representada por otro tipo de función.

1:

pongamos que una persona tiene una función de utilidad descrita por X

X>0

X

x<0

lál sería en ese caso el equivalente cierto de la Lotería L?

L-v -160



Cabe destacar que el procedimiento discutido no es único y que hay muchas técnicas que permiten determinar las funciones de utilidad, pero, independientemente del procedimiento utilizado, el Decisor deberá, dado un conjunto de premios, ( X I ) t . . X n ) : 1)

ordenar los premios o consecuencias según sus preferencias. Y

"">

^> Y

A! >

2)

> Xn

asignar valores de utilidad a dos de las consecuencias. En nuestro desarrollo hemos utilizado

u(x m i n .)=o

2)

verificar consistencia del Decisor.

s. c

determinar valores de la función

fo ro

1)

om

y a su vez el analista deberá:

on t

un

a.

m

Como toda gráfica, las curvas de utilidad pueden ser representadas analíticamente. Sin embargo, la representación analítica es muchas veces complicada y no se logran valores exactos sino aproximaciones. Para ello pueden utilizarse cualesquiera de los métodos de ajuste de curvas disponibles en la literatura.

w

.a

dm

yc

Una función de utilidad puede estar perfectamente representada por una ecuación del tipo U (X) = —e a x Va > 0; normalhiente tratamos con curvas Monótonas crecientes, pero eso no excluye la posibilidad de que la función utilidad esté representada por otro tipo de función.

;ernplo 1:

w w

Desarrollemos el siguiente ejemplo:

Supongamos que una persona tiene una función de utilidad descrita por v s^ ->. U n .A.

X

X

x<0

¿Cuál sería en ese caso el equivalente cierto de la Lotería L?



El equivalente cierto de esta Lotería vendría dado por un valor X tal que

U(X) =

U (100)+

U (20)-

U (-160)

Ahora bien, para esa persona U (100) -100 U ( 20)- 20 U (-160) = -40 Por lo tanto U(X) = 25 + 10-10-25 U (X) - 25 X -U 1 (25)

om

Tal como se desprende de la definición de U entonces

fo ro

s. c

X - 2 5 yaque X > 0

en este caso el equivalente cierto para esa Lotería sería X = 25.

a.

m

Ejemplo 2

1/4

•60

1/3

6°

10

w

.a

dm

yc

on t

un

. Analicemos el siguiente ejemplo para establecer si el comportamiento de un Decisor es consistente. Supongamos que nos dice que prefiere la Lotería L, a L 2 l es decir, Ll > L 2 siendo

w w

60

10

Para analizar ambas loterías debemos reducirlas a otras equivalentes; a tal efecto y aplicando el axioma de descomponibilidad a L2 tendremos 60-

L, 1/2

10

en este caso hemos llegado a la conclusión que ambas loterías son idénticas, es decir, L j 'v L2 y si el decisor prefiere Ll > L 2 ; esto indica inconsistencia, ya que ha violado un axioma de la Teoría de la Utilidad.

196



7.4. DETERMINACIÓN DE LA ACTITUD DEL DECISOR ANTE EL RIESGO Como ya hemos indicado, las curvas de utilidad nos permiten codificar la actitud ante el riesgo del Decisor. Al establecer las curvas, nos encontraremos ante un espectro infinito de posibles situaciones; sin embargo, centraremos nuestra atención ante las situaciones más típicas en cuanto a la actitud hacia el riesgo del Decisor.

ATRIBUTO (X)

a.

m

fo ro

s. c

om

UTILIDAD (U (.))

w w w

\:

.a

E (U (X) ) < U (E (X) )

dm

Analíticamente se representa por:

yc

on t

un

"-3.S curvas señaladas en el gráfico por 1,2 . . . . n nos indican que el equivalente cierto de una Lotería L es menor que el valor monetario esperado, representado . -:e último por una línea recta de pendiente 45° y que pasa por el origen de coor:? nadas.

U (X) = E (U (X) ) = (equivalente cierto) U [ E (X) ] = U (Valor monetario esperado.) «E esie caso diremos que el Decisor tiene aversión al riesgo. Por el contrario, las curvas (— 1, —2, . . . — n) nos indican que el equivalente : de la Lotería L es mayor que el valor esperado monetario de los premios, es E - U ( X ) ) > U[E(X)] :e caso diremos que el Decisor tiene preferencia al riesgo. 7 jr último, la curva (0) nos indica que el equivalente cierto de la Lotería es - _ valor monetario esperado, es decir,

i ;u(X)]= U E Í X ) *s:e caso la curva es la línea recta y decimos que el Decisor es indiferente al é : 3 sea, que tiene el mismo comportamiento que un Decisor cuyo criterio de : <¿ : ~ será elegir la alternativa que maximice el valor monetario esperado.



En el ejemplo que utilizamos para la derivación de la curva de utilidad, el Decisor tenía aversión al riesgo. 7.5. UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN UTILIDAD EN EL PROCESO DE DECISIÓN Hasta ahora hemos establecido cómo determinar la curva de utilidad de un Decisor, pero no sabemos cómo utilizar esa función dentro del proceso de decisiones, a fin de tomar en cuenta las preferencias individuales de cada uno de los decisores (actitud ante el riesgo). Los axiomas de la Teoría de la Utilidad conducen a establecer un criterio de decisión acorde con las preferencias del Decisor.

om

En un problema de decisión, el primer paso es establecer el conjunto de alternativas, estados de la naturaleza y resultados o consecuencias derivados de éstos y estructurales a través de un árbol de decisiones.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Supongamos que las posibles consecuencias del problema de decisión son • , X n ) y, que el Decisor puede establecer una jerarquizaron de esas (X i » consecuencias tal que X j > X 2 > . . . > X n y por ende U (X^) > U (X 2 ) > . . . > U (X n ) (por el axioma de monotonicidad). Para simplificar el análisis supongamos que el problema de decisión tiene dos alternativas (A, A*) y que a cada una de ellas corresponden dos posibles consecuencias ( X 1 , X 2 ) y (X 3 , X 4 )

por el axioma de continuidad para cualquier consecuencia Xi debe existir una Lotería L (X máx> . X mín ) equivalente, es decir, que Xí debe ser el equivalente cierto de una Lotería L

1

X 'v L

donde U ( X i ) = a U (Xmax.) + (1-a) U ( X m i n . ) U(Xi)= a



un

a.

m

fo ro

s. c

om

Por lo tanto, X 2 ) X 3 pueden ser sustituidos por loterías con premios X 1 ( X4;en este caso quedaría el árbol

yc

on t

siendo a- U (X 2 ) y b = U (X 3 ) , U (X,) - 1U (X 4 ) =0

w w

w

.a

dm

r el axioma de descomponibilidad, este árbol de decisión podría ser reducido a S loterías

X4

(l-P ) + P (l-b)

X4

_i¿ loterías Lj y L 2 son loterías con los mismos premios pero con diferentes var¿5 de probabilidades, por lo tanto, podemos establecer las preferencias del I Tiísor frente a las alternativas. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

199


Por el axioma de monotonicidad sabemos que L! > L2

*>

P + a ( 1-P) > P! b

Sustituyendo a- U ( X 2 ) b = U(X,) P+ U ( X 2 ) (1-P) > P' U ( X 3 ) Entonces el criterio de decisión está establecido y nos indica que el Decisor deberá elegir; La alternativa A, siempre y cuando

om

1)

Será indiferente entre A y A' si

fo ro

2)

s. c

P 4 - U ( X 2 ) (1-P) > P J U ( X 3 )

P + U ( X 2 ) (1-P)- P' U ( X 3 ) Deberá elegir A' si

a.

3)

m

•

U(X2

on t

un

P'U(X3)

dm

yc

Notemos que en el criterio de decisión ha sido involucrado el valor de utilidad para cada uno de los premios (1. X 2 , X 3 , X 4 ) y que para establecer ese criterio se ha hecho uso de los axiomas de la Teoría de la Utilidad.

w w

w

.a

Este desarrollo es equivalente a asignar a cada uno de los nodos terminales de nuestro árbol de decisión (consecuencia o premio), el valor de utilidad correspondiente, según la función de utilidad dada, y calcular el valor esperado de utilidad para cada una de las alternativas, tal como se hizo al final de la Unidad 5. El criterio de decisión será en este caso el de maximizar el valor esperado de utilidad. Procedamos a emplear esta metodología y comprobar que llegamos al mismo resultado. Premio X,

Utilidad

U (Xa) U(XB)

i-p' X4 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Operando el árbol tendremos.

P + (1-P)

U ( X 2 ) = E [U (A)]

om

P' U ( X 3 ) = E [U (A')]

A - A'

(1--P)U(X2) = P'U(X3)

fo ro

(1-P)U(X 2 ) < P ' U ( X 3 )

m

A1

a.

(1-P)U(X 2 ) > P ' U ( X 3 )

un

A

s. c

entonces la decisión será elegir la alternativa de máximo valor esperado de la utilidad.

on t

Tomo se observa, ambos procedimientos llevan al mismo criterio de decisión.

.a

dm

yc

Resumiendo, diremos que para establecer el curso de acción a seguir en un Determinado problema de decisión, donde se toman en cuenta las preferencias :el Decisor a través de una curva de utilidad, deben realizarse los siguientes pasos: ESTRUCTURAR EL ÁRBOL DE DECISIÓN.

2)

ASIGNAR A CADA CONSECUENCIA O NODO TERMINAL DEL ÁRBOL, UN VALOR DE UTILIDAD PARA CADA UNA DE LAS ALTERNATIVAS.

3)

CALCULAR EL VALOR ESPERADO DE LA UTILIDAD PARA CADA UNA DE LAS ALTERNATIVAS.

4)

ELEGIR AQUELLA ALTERNATIVA QUE MAXIMICE EL VALOR ESPERADO DE LA UTILIDAD.

w w

w

1)

Tomemos un ejemplo sencillo para determinar el efecto de las preferencias un problema de decisión. Supongamos que un Decisor que tiene un cierto capital en cédulas hipotea un interés fijo, le ha llegado el momento de renovarlas, pero se le ha preado la oportunidad de invertir en un negocio manufacturero que le proporcio¿ un alto rendimiento aunque con un riesgo que estima podría ser considéraJ Cuál será la mejor decisión que puede tomar?


201


El árbol de decisiones se representaría en este caso por: Capital al cabo 1 año 20.000

60.000

-

10.000

E (A) - 20.C 30.000 .. 30.000

fo ro

P / A ' w 60.000

s. c

om

si se siguiera el criterio de maximizar el valor monetario esperado, la solución la determinaría

m

4

a.

siendo

on t

un

E (A) > E (A 1 ) y en ese caso la alternativa a tomar sería dejar el dinero en cédulas hipotecarias.

dm

yc

Notemos que en este criterio no han intervenido la actitud ante el riesgo del Decisor.

w

.a

Supongamos ahora que la función de utilidad del Decisor es tal que 1

X

w w

U(X) 0.5

20.000

1

60.000

f

0

- 10.000

-10.000

U(')

;_ £0.000

Determinemos ahora la estrategia a seguir, utilizando como criterio la maximización del valor esperado de la utilidad. En este caso el árbol es:

202



El valor esperado de la utilidad para cada alternativa es entonces: E [U (A)]- 0.5 E [ U ( A ' ) ] = -j- ' l + -f-' 0« -3-

Siendo el criterio máx. E (U (A 2 )) AI entonces E (U (A) ) > E (U (A') ) La alternativa a elegir será nuevamente dejar el dinero en cédulas hipotecarias.

om

=*

X

fo ro

s. c

Asumamos ahora que el Decisor tiene una-función de utilidad tal que

UjX)

10,000

on t

un

a.

m

0.2 1 0

20.000 60.000 10.000

- 0.2 1 4

w w

w

E (U (A')) =

.a

E (U (A)

dm

yc

en este caso el criterio de maximizar el valor esperado de la utilidad nos indica que para ese Decisor la alternativa de invertir en el negocio (A') es más atractiva, ya que:

- E (U (A) )<

- +' -4- ' 0 = 0.25

E (U (A') ) ** A' > A

Con este simple ejemplo hemos querido ilustrar el efecto que sobre la decisión tienen las preferencias del Decisor (función de utilidad). Utilicemos ahora el ejemplo de la tarjeta de crédito, desarrollado en la autoevaluación del Módulo I, e introduzcamos la función de utilidad de la compañía. Las condiciones del problema son las mismas y la función de utilidad de la compañía está representada por:

X

si

XX)

2X

si

X>0

U(X) =

El árbol de decisión para este problema lo resumimos en la figura 7-3 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

203


VALOR MONETARIO

1500

1500

1000

2000

o

O 1470

1030

- 2060

30

60

1490

1490

om

1470

- 2020 10

-

20

m

fo ro

s. c

0,6

a.

FIG 7-3

on t

un

Determinemos cuál será la decisión óptima para la compañía, tomando en cuenta su función de utilidad.

w w

w

.a

dm

yc

Resolviendo el árbol tendremos

E(U(T)) = E(U(R)) = E (U (1))

100

o

En este caso la decisión óptima es -realizar la investigación antes de otorgar el crédito. Si recordamos este ejemplo tal como se desarrolló en el Módulo anterior, la decisión es diferente, ya que hemos tomado en cuenta la actitud ante el riesgo (preferencias de la compañía).

204




X

fo ro

Supongamos un Decisor cuya curva de utilidad está definida por:

a.

m

si X< O

un

U(X) =

on t

si O < X < 2 2 + 3X

dm

yc

si 2 < X

w

.a

Supongamos la Lotería

w w

1)

s. c

om

Resolver los problemas indicados a continuación contestando las preguntas indicadas.

-i

Indique la certeza o falsedad de las siguientes observaciones: A)

El Decisor tiene aversión al riesgo para todo X

B)

El decisor viola los axiomas de la teoría de la Utilidad.

C)

El equivalente cierto de L puede no ser "único.


205


2)

Considere las siguientes funciones y establezca si podrían ser funciones de utilidad. De no ser así, ¿qué axioma estarían violando?

om

(a)

w w w

(c)

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

(b)

3)

Usted ha sido contratado para determinar la función de utilidad de una compañía que tiene como parámetro de evaluación las ganancias de un año, medidas en millones de bolívares. El presidente de la compañía establece que U (0)

= O

U (100)

=

1

Al preguntársele a éste se obtienen las siguientes respuestas (marcadas en un recuadro).



100

I)

(IV)

O 100

II)

1/2

40

fo ro

s. c

om

58

a.

m

15

un

Se pide:

Determinar el valor de la utilidad de las cantidades en el recuadro.

B)

¿Son consistentes todos los valores indicados en- las loterías? Razone su repuesta.

C)

Grafique la función.

4)

w w

w

.a

dm

yc

on t

A)

Supongamos que en entrevista con el gerente de una compañía se ha deducido la siguiente información: A)

Es consistente con las axiomas de la Teoría de la Utilidad.

B)

100 1/2 30

O 30

1/2

10 1/2


207


100

10

1 p

a)

Supongamos que un Decisor tiene la siguiente función de utilidad

X

U (X) =

1

4+-X

<*

8

8

fo ro

X *

om

X

s. c

5)

¿Cuál sera el valor de P°

B

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

El Decisor se enfrenta al siguiente problema de decisión, representado en el anexo

0,5

11

208



Se pide: ¿ Qué decisión deberá tomar?

B)

Represente su curva de utilidad. ¿Qué actitud ante el riesgo indica?

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

A)

209



OBJETIVO EVALUADO

PROBLEMA

SECCIÓN REFERENCIA

14

7.2

2

14

9.2

3

14

7.2-7.3

4

14

7.4

5

15

fo ro

s. c

om

1

un

a.

m

7,5

.a

1:

w

La gráfica de la curva de utilidad será:

w w

:-*::*ema

dm

yc

on t

Clave razonada

7

.


211


A)

Falsa, ya el Decisor tiene el siguiente comportamiento: Aversión al

riesgo

VX > O

B)

Falsa, de la información suministrada no es posible concluirlo.

0}

Correcta, Icú-a O < X < 2 la U (X) es la misma, por lo tanto hay varios valores de X que proporcionan la misma utilidad al Decisor.

Problema 2 Esta gráfica podría representar una función de utilidad. Lo único que indica que a partir de X, la utilidad de disponer de una unidad más de X decrece.

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

A)

dm

.a

Esta gráfica podría representar una función de utilidad, ya que no existe ningún axioma que obligue a que diferentes bienes representen diferentes valores de utilidad.

w w

w

B)

x

X X X 3

U (X t ) = ningún axioma.

212

U (X 2 ) =

2

3

U (X 3 ), sin embargo, ésta no viola



Podría ser una curva de utilidad si tenemos una gráfica:

x

m

fo ro

s. c

om

Pero si la gráfica fuera

U (40) - y U (100) + i U (0) = y

w

.a

A)

dm

yc

on t

un

a.

no podría ser una función de utilidad ya que para un mismo valor de X habría dos valores de utilidad U j (X), U 2 (X); esto viola el axioma cíe continuidad

w w

U (15)=-i-U (40)

+-§-U(0) =

U (58) - -¿i- U (100) U ( 0 ) = O - ~ U (15) + l-U(-2) U (-2)- -1/4 U (38) =4¿¡ U (58) +4¿¡ U (15)=

B)

Las loterías (a) y (e) indican que U (40)-

U (38)


213


Sin embargo, esto no viola ningún axioma de la Teoría de la Utilidad, luego no hay inconsistencia. C)

NC.)

100 X

•obiema 4

fo ro

s. c

om

A)

1/2

on t

un

1/2

a.

m

10

dm

yc

Aplicando sustitutabilidad de loterías tendremos

w

.a

1/2

100

w w

1/2

100

10

Por lo tanto

P = 0.25



Problema 5 A)

9

om

6,5

7,25

un

a.

m

fo ro

s. c

11

9

10

w w

w

.a

dm

yc

on t

DC

La que optimiza el valor esperado de la utilidad será la Alternativa II

Para ~%, > B el Decisor es indiferente ai riesgo Para X < 8 el Decisor tiene aversión a! riesgo. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

215


UNIDAD

S

CRITERIOS DE DECISIÓN

Al finalizar el estudio de esta Unidad, usted deberá estar en capacidad de:

un

a.

m

fo ro

s. c

om

16) Aplicar los criterios de decisión a un problema de decisiones estructurado en forma de Árbol de Decisiones o en forma Matriz de Decisiones, para determinar la estrategia óptima.

yc

on t


dm

8.1. Introducción

218

B.3, Criterio del Valor No Monetario Esperado o Criterio del Valor de la Utilidad

220

8.4. Otros Criterios de Decisión

222

w w

w

.a

8.2. Criterio del Valor Monetario Esperado

Pag. 218

8.4.1. 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4. 8.4.5. 8.4.6. 8.4.7. 8.4.8.

Introducción La Matriz de Decisiones Criterio Maximin o de Wald Criterio Maximax Criterio de Hurwicz Criterio de Laplace Criterio del Arrepentimiento o Criterio de Savage Resumen Comparación de Criterios

222 223 227 228 229 230 231 233

Autoevaluación

235


239


217


8.1. INTRODUCCIÓN Una vez que el problema de decisión ha sido estructurado, habiendo identificado sus elementos, asignado probabilidades a la ocurrencia de los estados naturales y valores a cada resultado y establecido preferencias y actitudes temporales ante el riesgo, es necesario disponer de un criterio que permita la selección de la alternativa óptima. El establecimiento de un criterio de decisión responde a la pregunta de ¿cuál alternativa debe seleccionarse? ¿La alternativa con el mayor valor esperado de beneficio neto? ¿La alternativa con la mínima pérdida máxima? ¿La alternativa con la mayor utilidad esperada? La pregunta es difícil de responder.

s. c

om

Ya hemos dicho que la escogencia del Criterio de Decisión se realiza con el propósito de seleccionar la alternativa óptima. Una alternativa se dice óptima si satisface los objetivos y preferencias del Decisor. Lo anterior pone de manifiesto la estrecha relación entre objetivos, preferencias y criterios de decisión. De hecho, la decisión de cuál criterio utilizar no es sino un reflejo de las preferencias del Decisor.

Criterio del Valor Monetario Esperado

—

Criterio del Valor Esperado de la Utilidad

—

Criterio Maximin o de Wald

—

Criterio Maximax

—

Criterio de Hurwicz

—

.a

dm

yc

on t

un

a.

—

w

m

fo ro

En esta Unidad revisaremos los criterios de decisión más comúnmente aceptados:

w w

Criterio de Laplace

—

Criterio del Arrepentimiento o de Savage

En páginas anteriores hemos introducido y utilizado ampliamente los dos primeros criterios, por lo que en esta Unidad nos limitaremos a su formalización, sin abundar en detalles puesto que el estudiante ya conoce su aplicación. Por lo tanto, la Unidad se dedicará principalmente al estudio de los otros criterios. 8.2. CRITERIO DEL VALOR MONETARIO ESPERADO Ya hemos mencionado que en gran parte de los problemas de decisión, el valor asignado a un resultado puede establecerse adecuadamente en términos monetarios. Este hecho justifica el uso frecuente de este criterio en los problemas de decisión, especialmente del área empresarial donde el objetivo del Decisor es optimizar alguna forma de Valor Monetario y maximizar el beneficio económico neto. El procedimiento para aplicar el criterio del Valor Monetario Esperado es el siguiente;

218



Faso 1.

Calcular el Valor Monetario correspondiente a cada resultado,

Paso 2.

Calcular el Valor Esperado del Valor Monetario, para eada alternativa.

Paso 3,

Selecciona* la alternativa que permite el máximo Valor Monetario Es-

Hay que tener claro que en realidad no ocurre que una vez tomada la decisión, se obtenga un beneficio igual al Valor Monetario Esperado. En realidad, el valor que se obtendrá estará determinado por el estado natural que ocurra y no coincidirá, en genera], con el Valor Monetario Esperado; sin embargo, este valor permite tomar en cuenta el hecho de que no todos los eventos son igualmente probables. El hecho es por lo tanto que el Valor Monetario Esperado representa un valor ficticio y no un valor real.

om

Ejemplo:

s. c

Un Decisor enfrenta el problema de decisión que se ilustra.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

Determine cuál alternativa debe seleccionarse.

: i.ucion: l i i a la información suministrada, el Decisor deberá utilizar el criterio de . : r. ¿el Valor Monetario Esperado. ,::: io tanto, aplicando el procedimiento se deberá calcular: ô: monetario de cada resultado, que para este problema es un dato. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

219


2)

El valor esperado del valor monetario, para cada alternativa. E

f AI]

B

o | í.5 x 10} + (6 x 8) |

+ -5 ! (.5 x 4) + (.5 x 2) ] = 6

E [AJ = 6

3}

E

¡A,] - .5 j{,5 x 3) 4- (.5 x 5) j

E

{A2f

-f .5

(.5 x 9)

+ (.5 x 11} ]

- 1

Seleccionar la alternativa que permita el máximo valor monetario esperado, Puesto que

E

A

A,

Seleccionar alternativa

s. c

om

8.3. CRITERIO DEL VALOR NO MONETARIO ESPERADO O CRITERIO DEL VALOR ESPERADO DE LA UTILIDAD

un

a.

m

fo ro

Sabemos que, en general, los valores monetarios no caracterizan plenamente todos ios resultados importantes para el Decisor, como es el caso de situaciones donde los niveles de pérdidas o ganancias son muy elevadas. En estos casos, se requiere un criterio de decisión más amplio, que además de los factores monetarios incluya la influencia de otros factores, tal criterio es el criterio del Valor Esperado

dm

yc

on t

Ya hemos estudiado que los índices o valores de utilidad se proponen de tal manera que permiten la tema de decisiones sobre la base del Valor Esperado de

w

Calcular la Utilidad correspondiente a cada resultado.

w w

Paso 1.

.a

El procedimiento para aplicar el Criterio del Valor Esperado de la Utilidad es el siguiente:

Paso 2.

Calcular ei Valor Esperado de la Utilidad para cada alternativa.

Paso 3.

Seleccionar la alternativa que permita el máximo Valor Esperado de la Utilidad.

Es importante recordar que el Valor Esperado de la Utilidad representa un valor ficticio que no pretende representar el valor del dinero como tal, sino que refleja la integración de diversos elementos que conforman las preferencias del Decisor. Ejemplo: Un Decisor cuya actitud hacia el riesgo es expresada por la función de utilidad U (x). enfrenta el problema de decisión que se ilustra en el árbol de decisiones suministrado. Determinar cuál alternativa debe seleccionarse.

220



VALOR

ÁRBOL DE DECISIÓN

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

10

dm

yc

11

w

.a

Solución:

w w

El Decisor del problema deberá utilizar el criterio del valor esperado de la utilidad; por lo tanto, aplicando el procedimiento se deberá calcular: 1)

La utilidad para cada nodo terminal del árbol. VALOR

CALCULO

10

10

8 4 2

UTILIDAD

1

4 + 4 +

10 8

6 2 2

f21

5

3

4 +

CO\

5,5

5

4 -f — (B)

6,5

9 11

2 9 11

9 11


221


2)

3)

El valor esperado ó.» la utilidad para cada alternativa: E

U (Ai) =

,5 ( (.5 X 10) + (.5 X S) j + .5 i (.5 X 8) 4- (.5 x 5) 1

E

U (A,) -

7.25

E

U (A 3 ) =

.5 [ (.5 X 5,5) + (.5 X 8,5) | + ,5 |(.5 X 9) + (.5 X 11) ]

E

U (Á 2 ) =

8,00

Seleccionar la alternativa que permite el máximo valor esperado de la utilidad. Puesto que

E j U {A 2 ) j

Seleccionar alternativa

>

E

| U i A, > j

A2

s. c

om

8,4. OTROS CRITERIOS DE DECISIÓN

fo ro

8.4.1. Introducción

on t

un

a.

m

Hemos estudiado (Módulo 1, Unidad 3) que los autores que siguen la comente subjetiva de las probabilidades defienden la tesis de que la asignación de éstas a la ocurrencia de los estados naturales, relevantes a un problema de decisión, siempre es posible, aun por pequeña o escasa que sea la información -disponible respecto a los eventos.

dm

yc

Por otra pavte, los autores no subjetivistas consideran que existen situaciones de decisión en las cuales puede ser imposible asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados naturales. Como razones para tal afirmación se señalan los hechos siguientes:

w w

w

.a

La dificultad para la obtención de datos suficientemente significativos para derivar, calcular y asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados naturales. La oposición del Decisor mismo, a la asignación de probabilidades, hecho que ocurre frecuentemente cuando el estado natural pertinente es un evento desagradable o comprometedor.

En general, se argumenta que este tipo de problemas de decisión se presentan cuando los decisores enfrentan situaciones nuevas, que nunca han ocurrido antes y que quizás no puedan volver a repetirse. Bajo estas condiciones los criterios de decisión que hemos estudiado hasta ahora no pueden aplicarse a estos casos, por lo que es necesario examinar otros criterios alternativos. Los criterios de decisión que vamos a estudiar reflejan igualmente los valores y preferencias del Decisor. Ninguno de ios criterios goza de aceptación universal; cada uno de ellos conduce a la selección de la mejor alternativa de acuerdo a las premisas del criterio y, como se verá posteriormente, ia aplicación de los diversos critenos a un mismo problema arroja diferentes resultados, por lo que la selección del criterio

222



de decisión a utilizar en un problema particular viene a constituir, por sí mismo, un problema de decisión. 8,4,2, La Maai¿ de Decisiones A fin de facilita): el estudio de estos criterios de decisión, vamos a estudiar ima forma, alternativa, al árbol de decisión» para la representación de un problema de decisión; esta estructura alternativa se conoce como Matriz de Decisiones. La matriz de decisiones es una manera formal de exhibir o estructurar la interacción de las alternativas y de los estados naturales. Igual que siempre, entenderemos por alternativas los cursos de acción entre los cuales debe seleccionarse, y por estados naturales, el conjunto de eventos inciertos sobre los cuales el Decisor no tiene ningún control,

s. c

En resumen, para estructurar la matriz de decisiones:

om

La matriz de decisiones asocia un valor cualitativo o cuantitativo a cada resultado, producto de una alternativa y de un estado natural.

a.

m

Se designa por E- a los estados naturales.

fo ro

Se designa por A i a las alternativas o cursos de acción.

on t

un

Para cada alternativa (A¡) y para cada estado natural (E.) se asocia un resultado (R^) único al cual, se le asigna un valor (V..) cualitativo o cuantitativo.

dm

yc

Con los elementos anteriores se construyen una matriz rectangular, en la cual:

Cada columna representa un estado natural específico.

w w

—

w

.a

Cada fila representa una alternativa específica.

La matriz de decisiones adopta la forma siguiente:

MATRIZ DE DECISIÓN

ESTADOS NATURALES


223


Nótese que el valor V nm corresponde al resultado R n m producto de la combinación de la alternativa n con la ocurrencia del estado natural m. Debe tenerse claro que los conjuntos de las alternativas (A ; ) y de los estados naturales (E.) deben enumerarse de manera que los elementos sean mutuamente excluyentes y totalmente exhaustivos para el problema particular que se considere, Como ejemplo para ilustrar la estructuración de un problema de decisiones en forma de matriz de decisiones, consideremos el siguiente ejemplo, tomado de Kngineenng Economy por H. G. Thuesen

om

Una compañía de ingeniería civil dedicada al diseño y construcción de obras tiene la oportunidad de participar en una licitación de dos contratos muy importantes.

fo ro

s. c

El primero de ellos involucra el diseño y construcción de una fábrica, y el segundo contempla el diseño y construcción de un sistema colector de aguas negras.

on t

un

a.

m

La compañía esta en posición de ganar cualquiera de las licitaciones e incluso ambas y por ello desea analizar el problema y establecer la mejor estrategia a seguir

yc

Estructuración del Problema; Elementos dei Problema

w w

w

.a

dm

El Decisor Los directivos de la compañía

Estados naturales (E, | Obtener contrato 1 ( E 2 ) Obtener contrato 2 (E.j í Obtener contrato 1 y 3 Alternativas: Al considerar las oportunidades relativas al contrato, se pueden desarrollar cuatro alternativas. A,

Compañía actúa como gerente del proyecto y subcontrata todo el trabajo.

A2

Compañía subcontrata el diseño y realiza el trabajo.

A3

Compañía realiza el diseño y subconírata construcción.

A 4 : Compañía realiza diseño y construcción.

224



— Resultados: Una vez identificados los estados naturales y las alternativas, deben identificarse los resultados y asignarse valores a cada resultado. En este ejemplo, pueden identificarse doce resultados, producto de cuatro alternativas y tres estados naturales, e igualemente deben asignarse doce valores El método de asignación de valores que la compañía ha escogido seguir es el siguiente: Listar los ingresos y egresos proyectados en el tiempo asociado a cada i, -ultado.

—

Obtener el valor presente del beneficio neto correspondiente.

om

—

s. c

Estructuración de la Matriz de Decisiones

fo ro

Los valores obtenidos por el procedimiento señalado se muestran en la figura 8-2.

un

a.

m

En dicha matriz puede verse que la compañía incurrirá en una pérdida de cuatro millones si la alternativa 1 es seleccionada y si el contrato 1 es otorgado.

MATRIZ DE DECISIÓN

w w

w

.a

dm

yc

on t

Si el contrato es otorgado el beneficio será de 1 millón; si los dos contratos le son otorgados el beneficio neto, en valor presente, será de 2 millones.

A

-2

A

FIG. 8-2

Nótese que cada fila de la matriz de decisión representa los valores asignados a cada resultado asociado a cada estado natural (columna) para una alternativa particular (fila). Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

225


Los valores en la matriz de decisión no requieren ser de carácter monetario, pueden ser expresiones cualitativas o cuantitativas de la utilidad asociada a cada resultado. Es esencial sin embargo, que los valores asignados estén expresados en una medida o unidad común directamente comparable, tales como valor presente, útiles, equivalente anual, etc. En la matriz de nuestro ejemplo los valores se expresan en valor presente. El estudiante debe tener muy claro que la matriz de decisión es una representación alternativa al árbol de decisión, quedando al criterio del analista cuál forma de representación le conviene utilizar para cada problema particular.

a.

m

fo ro

s. c

om

A fin de que el estudiante pueda establecer sus propias conclusiones y formarse un criterio propio, estructuraremos también nuestro ejemplo en forma de árbol de decisión.

un

A

-4 1 2

on t

1

yc

1

.a

dm

4

w w

w

-2

1,6 6 O 2 5

ÁRBOL DE DECISIÓN

FIG. 8-3

Habiendo concluido el proceso de estructuración del problema de decisión, podemos pasar a estudiar los criterios para seleccionar alternativas; para ilustrar la aplicación de los distintos criterios utilizaremos continuamente el mismo ejemplo que acabamos de desarrollar.

226



8.4.3. El Criterio Maximin o Criterio de Wald El criterio Ma>. imin está basado en una visión pesimista del futuro; su utilización supone que la naturaleza es malévola y producirá el estado natural que minimiza el beneficio del Decisor. La aplicación de criterio Maximin permitirá al Decisor seleccionar la alternativa que asegure el mejor de los peores resultados posibles, o sea que deberá escogerse la alternativa que maximice los beneficios mínimos. Si en la matriz de decisiones V^ representa el valor asignado al resultado asociado a la. alternativa i y al estado natural j, la aplicación del criterio Maximin se realiza en los pasos siguientes:

Vi

fo ro

nin V ; j ), j

s. c

om

Fásol: Selecf nar el valor mínimo para cada fila de la matriz de decís! íes o sea:

un

a.

m

Paso 2: Escoger ei máximo de los valores mínimos determinados en el paso 1, siendo la alternativa que lo produce, la seleccionada por el criterio, es decir:

yc

on t

A - A i / m a x [min, (V )] Vi AI " Siendo A = alternativa óptima

w

.a

dm

El procedimiento lo ilustraremos utilizando nuestro problema anterior de la compañía de ingeniería civil y usando la matriz de decisiones que ya desarrollamos.

w w

Los resultados se muestran en la figura 8-4

CRITERIO MAXIMIN • Alternativa

[minj ( V U ) ]

AI

A

A2

1

A3

-2

A4

0

MaXj [ min- (Vij) ]

i

FIG. 8-4


227


La selección de la alternativa A asegura al Decisor un resultado o beneficio de al menos 1 millón, independientemente del estado natural que resulte. 8.4.4. El Criterio Maximax El criterio Maximax está basado en una visión optimista del fu turo; su utilización supone que la naturaleza es bondadosa y producirá el estado natural que maximiza el beneficio del Decisor. La aplicación del criterio Maximax permitirá al Decisor escoger la alternativa que corresponda al mejor de los mejores resultados posibles o sea, que deberá escogerse la alternativa que maximice los beneficios máximos.

s. c

om

Si, al igual que antes, Vu representa el valor asignado al resultado asociado a la alternativa i y al estado natural j, la aplicación del criterio Maximax se realiza en los pasos siguientes:

m

fo ro

Paso 1: Seleccionar el valor máximo para cada fila de la matriz de decisiones o sea: Vi

un

a.

[max

yc

on t

Paso 2: Escoger el máximo de los valores máximos determinados en el paso 1, siendo la alternativa que lo produce, la seleccionada por el criterio, o sea: [max (V^) ] i

.a

dm

A = A; /max AÍ

Siendo A - alternativa óptima

w w w

Vi

El procedimiento lo ilustramos en la figura 8-5

CRITERIO MAXIMAX Alternativa

228

[Maxj

(Vy)]

AI

2

A2

4

A3

6

A4

5

Maxi

[Maxj (V y ) ]

6

FIG. 8-5



La selección de la alternativa A 3 promete un valor de 6 millones si la naturaleza resulta ser benévola. El optimismo del criterio Maximax contrasta con el pesimismo del criterio Maximin. Un Decisor que siga el criterio Maximin considera sólo el peor resultado posible para cada alternativa y selecciona la que promete el mejor de los peores resultados posibles. En nuestro ejemplo, si A2 es selec^ cionada, la empresa se asegura un resultado de al menos 1 millón, pero elimina la posibilidad de obtener un resultado mayor de 4 millones.

om

En contraposición, si un Decisor sigue el criterio Maximax, es un optimista que decide basándose sólo en el mejor resultado ofrecido por cada alternativa; así, si en nuestro ejemplo, la alternativa A2 es seleccionada, la compañía enfrenta la posibilidad de una pérdida de 2 millones, en su &íán por obtener una ganancia de 6 millones.

s. c

8.4.5. Criterio de ti rwicz

yc

on t

un

a.

m

fo ro

La aplicación del criterio de Hurwicz permite al Decisor establecer un compromiso entre los resultados más optimistas y los más pesimistas. • El razonamiento básico del criterio de Hurwicz es el hecho de que muchas decisiones concentran su atención en los resultados o consecuencias extremas, olvidándose de los resultados intermedios. La utilización de este criterio permite ponderar la importancia relativa que el Decisor asigna a los valores extremos.

O < a < 1

w

.a

dm

El criterio de Hurwicz propone la utilización de un índice de optimismo relativo a , tal que

w w

Cuando a = 1, el Decisor es optimista acerca del futuro. Cuando a = O, el Decisor es pesimista acerca del futuro. Una vez que se ha especificado el valor de a , la aplicación del criterio de Hurwicz requiere: Paso 1: Calcular el coeficiente de Hurwicz (CH) para cada alternativa, CH=

a [maXj (V u ) ] + (1—a) [minj (Vu) ] donde Vü es el valor asociado al resultado producto de la alternativa i y del estado natural j.

Paso 2: Seleccionar el máximo de los valores del coeficiente de Hurwicz, calculados en el paso 1 para todas las alternativas y asociado a la alternativa que lo produce, o sea: CH M = Max ja [Max (Vu) J + (1-*) [min, (Vü)] i

I

i

' 229



Para ilustrar la aplicación del criterio de Hurwicz considérese la matriz de decisión de nuestro ejemplo y habiendo el Decisor especificado a = -0.25 CRITERIO DE HURWICZ

Cálculo de CH

CH"

AI

u. 25 (2) +0.75 ( — 4 )

-2.5

A2

0.25(4) +0.75 ( 1 )

+ 1.75

A3

0,25 (4) + 0,75 (-- 2)

-0.50

A4

0.25 (5) + 0 . 7 5 ( Ü )

+ 1.25

Máximo CH

+ 1.75

om

Alternativa

F1G. 8-6

fo ro

s. c

Según el criterio de Hurwicz el Decisor deberá escoger la alternativa que muestre el mayor coeficiente de Hurwicz y por lo tanto seleccionará A 2 .

on t

un

a.

m

Vale la pena hacer notar al estudiante que cuando a = O, el criterio de Hurwicz da el mismo resultado que el criterio Maximin, mientras que cuando a = 1, el criterio de Hurwicz da el mismo resultado que el criterio Maximax.

dm

yc

Así, que los criterios Maximin y Maximax constituyen casos particulares del criterio de Hurwicz.

.a

8.4.6. Criterio de Laplace

w w

w

Ei criterio de Laplace supone que los estados naturales tienen iguales posibilidades de ocurrir. El razonamiento para esta suposición es que puesto que no se dispone de ninguna información para presumir que un estado es más probable que otro, puede entonces suponerse que todos tienen idénticas probabilidades de ocurrencia. El principio en el cual se basa este criterio se conoce como Principio de Laplace o de la Razón Insuficiente, el cual supone que la naturaleza es indiferente a la ocurrencia de los estados naturales. La aplicación del criterio Laplace se realiza en tres pasos:

Paso 1: Estimar la probabilidad de ocurrencia de los estados naturales

P = donde n es el número de estados naturales considerados.



Faso 2: Calcular el valor esperado de les valores asignados a los resultados correspondientes a cada alternativa, o sea:

E [ V j = p 2 V¡,

Vi.

J

Faso 3: Seleccionar la alternativa con el mayor valor esperado, o sea: A - A,; / Max [p 2 \\¡ ] Á

Vi

j

sien-do A - alternativa óptima. Para nuestro ejemplo de la compañía de ingeniería civil, los cálculos se muestran en la figura 3-7.

om

p = -s-

s. c

n= 3

fo ro

CRITERIO DE LAPLACE Cálculo

(p 2v¡j) J

IMaxjpDVij) i i

3

-0.33

f — 4 + 1 -f 2)

un

AS

a.

m

Alternativa

yc

on t

1 a

dm

1 — ( -2 + 1.5 + 6 )

w

-— (0 +2 + 5} 3

w w

A4

.a

A3

'

^2,00

j

U i

1.80

2.30

2.30

pin u,7

La alternativa con el mayor valor esperado es la alternativa A4 y. por lo tanto, es seleccionada. Nótese que si en vez de suponer probabilidades iguales para todos los estados naturales, asignáramos probabilidades por cualquier método, estaríamos aplicando los criterios del Valor Esperado que hemos estudiado en eí comienzo de esta Unidad, 8.4.7. Criterio del Arrepentimiento o Criterio de Savage Este se basa en ia suposición de que el Decisor, al seleccionar una alternativa en particular, desea minimizar el arrepentimiento que pueda surgir de la escogencia realizada. El monto del arrepentimiento se estima como la diferencia entre el resultado que se hubiera obtenido de no haber existido incertidutnbre y el que se obtuvo en realidad.



La aplicación dei criterio de Savage requiere la formulación de una matriz de arrepentimiento, que se deriva a partir de la matriz de decisiones, lo cual se realiza de la manera siguiente: Paso 1: Identificar el máximo valor para cada estado natural (columna) de la matriz de decisiones, o sea identificar [max Paso 2: Calcular los valores de arrepentimiento (AR¡j) correspondientes a la alternativa i y al estado j, sustrayendo cada valor en la columna del valor máximo de la misma columna, identificado en el paso 1 , o sea calcular | max

s. c

om

Paso 3: Calcular los valores de arrepentimientos máximos o sea: Vi

Seleccionar la alternativa A, que asegure el mínimo de los arrepentimientos máximos, es decir, seleccionar la alternativa con el arrepentimiento Minimax, o sea A

r

un

a.

m

Paso 4

(ARij)

fo ro

max) , = max

A, min |max ( A R l t )

on t

A,

Vi

i

dm

yc

siendo A - alternativa óptima.

w w

w

.a

Para nuestro ejemplo, la aplicación del procedimiento se indica en las figuras 8-8 y 8-9. MATRIZ DE DECISIONES

1.5

© FIG. 8-S

232


j


MATRIZ DE ARREPENTIMIENTOS

mín max

fo ro

s. c

om

AR 13

a.

m

figura 8-9

on t

un

La alternativa que minimiza ios arrepentimientos máximos es A 4 y por lo tanto se la selecciona.

dm

yc

8.4.8. Resumen de la Comparación de Criterios

w w

w

.a

Las alternativas seleccionadas siguiendo los criterios presentados se resumen en la figura 8-10

COMPARACIÓN DE CRITERIOS

CRITERIO

|

ALTERNATIVA ESCOGIDA

MAXIMIN

A2

MAX ¡MAX

A3

HURWICZ

A2

L APLACE

A4

SAVAGE

A4

Figura 8-10


233


Debe notarse que la aplicación de los criterios no arroja resultados consistentes. Debe recordarse igualmente, que estos criterios fueron desarrollados pensando en situaciones de decisión donde no se puede o no se desea asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados naturales. Una revisión de los criterios expuestos indica que cada uno tiene sus méritos y sus fallas.

om

Varios factores pueden afectar la escogencia del criterio de decisión para una situación particular; quizás los más relevantes sean la actitud del Decisor ante la incertidumbre (pesimismo u optimismo) y su función de utilidad personal. De tal manera que la escogencia de una regla de decisión para un problema dado se basa fundamentalmente en el juicio subjetivo del Decisor. Esto es completamente lógico, pues al no disponerse de probabilidades no se puede derivar un procedimiento objetivo.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Debe mantenerse claro que si la asignación de probabilidades es posible y se desea, estaremos en un caso donde podemos aplicar las técnicas que hemos estudiado en las otras unidades y podremos seleccionar la alternativa óptima utilizando los criterios del Valor Esperado, ya sea monetario o de la utilidad.

234




Para cada uno de los problemas suministrados, responda la pregunta que se indica al final. Una empresa está planificando la introducción de un nuevo producto, el cual es similar a otro ya existente en el mercado. En base a un estudio realizado por los departamentos de mercadeo y producción, se han hecho estimaciones del flujo de fondos futuros que generaría esa introducción.

s. c

om

Los estimados realizados (en millones), se muestran en la tabla anexa e indican que la introducción del producto generaría un flujo de fondos A si la demanda disminuye; un flujo B, si la demanda permanece estacionaria y un flujo C, si la demanda crece.

m

fo ro

Basándose en experiencias pasadas y en proyecciones futuras, se ha estimado que las posibilidades de una demanda decreciente, demanda constante y demanda creciente son, 0.1, 0.3 y 0.6, respectivamente.

un

a.

La empresa comúnmente utiliza una rata de interés del 10% anual para sus análisis económicos. ,

on t

Pregunta:

dm

yc

En base a los datos suministrados y utilizando el criterio del valor monetario esperado, estimar y justificar si la empresa debe introducir el nuevo producto.

.a

Sugerencia:

w

a) Estructurar el árbol de decisión.

w w

1)

b) Asignar valores a reultados. c) Determinar estrategia óptima.

Año

Probabilidad de ocurrencia de Flujo de Fondos P ( A ) = 0.1

P(B) = 0.3

P ( C ) = 0.6

0

-30

-30

1

11

11

4

2

10

11

7

3

9

11

10

4

8

11

3

-30

TABLA PROBLEMA No. 1 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

235


2)

Suponga que los directivos de la empresa del problema No.l se rigen por la función de utilidad definida como: X para X < O 3X + 5 para X > O Pregunta: Utilizando el criterio del Valor Esperado de la Utilidad, estimar y justificar si la empresa debe introducir el nuevo producto. Sugerencia: a) Estructurar el árbol de decisión

om

b) Asignar valores a resultados

Un inversionista dispone de una suma de dinero para invertir; después de estudiar las posibilidades existentes reduce sus alternativas a tres:

fo ro

3)

s. c

c) Determinar estrategia óptima

a.

m

Invertir en acciones especulativas Invertir en acciones de bancos Invertir en bonos gubernamentales

un

A2 A3

on t

Adicionalmente, el inversor considera tres estados naturales:

.a

dm

yc

E! : Revolución E 2 : Paz- sin recesión económica E 3 : Paz con recesión económica

w w

w

Un análisis preliminar arroja la siguiente matriz de valores en términos de tasa de retorno en porcentaje anual: El

E2 -i

E3

A,

20

A2

9

8

0

A3

4

4

4

-6

MATRIZ PROBLEMA 3

Pregunta: Qué alternativa se seleccionará de acuerdo al criterio de: a) b) c) d) e)

236

Maximin Maximax Hurwicz con o¿= 0.50 Lapiace Arrepentimiento o Savage. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


La tabla anexa muestra la matriz de decisión (en útiles) para tres alternativas y tres estados naturales

MATRIZ PROBLEMA 4

Pregunta:

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Maxim in Máxima:: Hurwicz con a = 0.75 L aplace Arrepentimiento o Savage.

w

a) b) c) d) e)

om

Qué alternativa se seleccionará de acuerdo al critero de:

w w

4)




OBJETIVO EVALUADO

PREGUNTA

SECCIÓN REFERENCIA

16

8-2

2

16

8-3

3

16

8-4

4

16

8-4

om

1

s. c

CLAVE RAZONADA

A: B: C:

Demanda decreciente Demanda constante Demanda creciente

m

Introducir producto No introducir producto

dm

yc

on t

un

Estados naturales

I: I:

a.

Alternativa

w

.a

ÁRBOL DE DECISIÓN

w w

a)

fo ro

1)

VP,

«

O


239


b)

CÁLCULOS DEL VALOR PRESENTE VPA - -30 + 11 X

9X VPA =

1

4. i () y

(l + O.l)1

(l+O.l)2

+ 8 X

--.-.,---

(1 + 0.1)2

(i + oír

+ 0.492

Similarmente se obtiene VPB = VPC =

+ 4.870 - 4.185

s. c

om

Estos valores se asignan a los nodos terminales del árbol de decisión y por lo tanto

VALOR

0.492

4.870

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

ÁRBOL DE DECISIÓN

c)

Cálculo del Valor Monetario Esperado E [I] = 0.1 (.492) + 0.3 (4.870) + 0.6 (-4.185)

E [I] = - 1.000 E[T]= O Puesto que

E [I] < E [ f ]

debe seleccionarse la alternativa I y por lo tanto no debe introducirse el producto.

2) a)

240

El árbol de decisión es el mismo del problema anterior



VALOR PRESENTE

ÁRBOL DE DECISIÓN

0.492

4.870

un

CALCULO DE LAS UTILIDADES

on t

b)

a.

m

fo ro

s. c

om

-4.185

X < O

yc

X

dm

U(X)

X >O

w w

w

.a

3X + 5

U(.492) = 3 (.492) + 5 - 6.48 U (4.870) - 3(4.870) + 5 = 19.6! U (-4.185)- 4.185 U (0) - 3 (0)+ 5 = 5 c)

CALCULO DEL VALOR ESPERADO DE LA UTILIDAD E ¡U (i) j - 0.1(6.48) + 0.3(19.61) + 0.6 (-4.135) E [U (1)]'= 4,03 E [U ( ! ) ] = 1(5) E [U ( I ) ] -

5

Puesto que

E [U (I) ]

<

E [U ( T )]

debe seleccionarse la alternativa I y por lo tanto no debe introducirse el producto. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

241

om


CRITERIO MAXIMIN a}

A,

20

-1

—6

A2

9

8

A3

4

•

ALTERNATIVA ÓPTIMA

—3

0

A3

0 W ...

yc

on t

un

a.

4

MAXIMIN (V)

s. c

E3

fo ro

E2

m

EÍ

dm

CRITERIO MAXIMAX

w w

w

.a

ALTERNATIVA! OPTiMA

O

CRITERIO HTjaWICZ (a =.5) 1

Aj

242

V t]

E-¿

E3

20

•—I

-6

L__^____

A2

9

8

0

A3

4

4

4

CALCULO CH ^-(20) +4-Í -«) ¿(9) +J-(0) 2 2 i(4)+ ±.(4) 2 2

CH

© 4.5 4


Alternativa Óptima AI


d) CRITERIO LAPLACE (n ~

3

e)

CRITERIO SAVAGE AR.. AR., i3 \¿

Minímax AR

Alternativa Óptima

©

Al

E3

ARn

0

9

10

0

4

11

-i

ü

20

-1

-6

A2

9

&

0

11

A3

4

4

4

16

16

yc

on t

un

a.

m

AI

om

E:

s. c

|

fo ro

E,

MAXIMIN

b

MAXIM AX

c

HURWICZ

AI

.a

a

DECISIÓN

dm

GRITERÍO

A3

d

w w

w

A3

LAPLACE

A]

e

SAVAGE

A,

CRITERIO MAXIMIN MAXIMIN (V)

El

E2

E3

A,

50

80

80

(&8)

A2

60

70

'¿0

20

A3

90

3u

60

20

ALTERNATIVA ÓPTIMA AI


243


b)

CRITERIO MAX MAX

c)

AI

50

80

80

f-{80) + ^ - ( 5 0 )

A2

60

70

20

|(70) + ^(20)

A3

90

30

60

4(90) 4- 4<30)

CH

Alternativa Óptima

72.5

57. 5 (75)

A3

un

a.

m

fo ro

s. c

om

EI

CRITERIO HURWICZ (a-0.75) ' ' " ' ™ E2 CALCULO CH B3

on t

d)

CRITERIO LAPLACE ( n = 3 ) CALCULO E [Vif

E [Vi]

80

80

•J-(50 + 80 + 8 0 )

©

60

70

20

4(60 +70 + 20) o

50

90

30

60

4(90 +30 + 6 0 )

60

w w

A3

E3

50

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w

A2

dm

AI

E5

yc

El

.... E,

244

E2

o

SAVAGE .___ —CRITERIO """"" E3 AR Í2 AR Í3 AKn

.,_„- „ Alternativa Óptima

A!

Minimax Alternativa Óptima (AR)

(43)

Aj

50

80

80

40

0

0

A2

60

70

20

30

10

60

60

A3

90

30

60

0

50

20

50


A,


UNIDAD

B

EL VALOR OE LA INFORMACIÓN

Al finalizar el estudio de esta Unidad e! estudiante deberá estar en capacidad de:

17) Dada una situación de decisión bajo un estado de conocimiento, determinar el valor esperado de ia información perfecta,

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

18) Dada una situación de decisión bajo un estado de conocimiento, evaluar la conveniencia de la adquisición de información adicional.

9.1. Introducción , ,

246 ,

246

w

.a

9.2. Pronosticador Perfecto

dm

yc


246

9.4. Análisis a posteriori y valor de la información adicional

254

9.5. El valor de la información y la actitud ante el riesgo del Decisor

260

w w

9.3. Valor esperado de la información perfecta

9.6. El valor de ia información y la pérdida de oportunidad

,..

263

Autoevaluación

267

Solución de la Autoevaluación .

271



9.1. INTRODUCCIÓN En la Unidad 3 destacarnos la importancia que tiene el grado de información disponible, respecto a un fenómeno aleatorio determinado, en la asignación de las probabilidades a los posibles eventos en él asociados. También estudiamos corno se modificaba la probabilidad asignada apriori a un evento dado, con la consideración de información adicional. En esta Unidad centraremos nuestro interés en la determinación y evaluación del costo de adquisición de información adicional una vez que se dispone de una parte de ella. En el Análisis de Decisiones, el estudio de este aspecto es importante porque permite conocer hasta qué punto vale la pena, económicamente hablando, llevar a cabo una actividad de captación de nueva información antes de la toma de la decisión definitiva.

fo ro

s. c

om

Una vez identificados todos ios estados de la naturaleza involucrados en el problema de decisiones que se analiza, y habiendo considerado toda la información al alcance, se tiene una idea deí grado de incertidumbre que se posee, asociado éste a nuestra parcial o total incapacidad para hacer asignaciones de probabilidad para las distintas variables aleatorias especificadas.

on t

un

a.

m

El problema radica en si el Decisor debe actuar con la información disponible o si pospone la decisión e inicia un proceso de captación de información adicional.

yc

9.2, PRONOSTICADOR PERFECTO

w w

w

.a

dm

Postularemos una "persona" denominada "pronosticador perfecto" o "clarividente" como "alguien" que por adelantado conoce ío que va a suceder respecto a cualquier fenómeno aleatorio, conoce con exactitud qué valor en particular va a tomar cada una de las variables aleatorias involucradas en nuestro problema. Mediante el pronosticador perfecto estaremos en capacidad de eliminar todo tipo de incertidumbre, de disponer de la información perfecta, pero claro está, a un determinado costo. Es obvio que materialmente no existen los clarividentes o los pronosticadores perfectos; se trata, sencillamente, de un postulado útil en el proceso real de captación de nueva información, porque permite establecer un tope máximo a lo que vale la pena pagar a fin de obtener información adicional. La determinación de este tope máximo es esencial en la decisión de si debe iniciarse o no el proceso de captación de información adicional.

9.3. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA Eí valor esperado de la información perfecta (VEIP) puede estimarse como la diferencia entre el beneficio esperado cuando se dispone de la información perfecta (BEIP) y el beneficio esperado que se puede obtener bajo un estado de información a priori (BEIAP)

246



Para un¿- variable aleatoria determinada, el valor esperado de la información perfecta representa el límite superior del costo de cualquier programa o proceso diseñado para la captación de información adicional, sobre tal variable. Por ello, que es importante la determinación de tal valor, porque sir¿e como punto de referencia en el momento de la contratación de cualquier estudio tendente a recolectar información adicional. Por otro lado, es importante conocer el valor espetado de la información perfecta en una situación determinada, porque ello sirve de orientación acerca de si es importante o no conducir una investigación. Cuanto más alto sea el VEÍP asociado a una situación de incertidumbre, más importante será iniciar un proceso de captación de información adicional.

om

Para ilustrar esta definición, tomemos como ejemplo el caso de la perforación del pozo petrolero tratado en la Unidad 5 y determinemos cuánto es en ese caso el valor esperado de la información perfecta (VEIP).

fo ro

s. c

Según podemos recordar, los estados de la naturaleza con sus respectivas probabilidades a priori y el beneficio neto correspondiente a cada acción y a cada estado, son los que aparecen en el cuadro 9-1.

m

ESTADOS DE LA N A T U R A L E Z A

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

?2 — Pczo pequeño 6'3- Pozo grande

Cuadro 9-1

Según la definición, lo primero que debemos hacer es determinar el beneficio neto esperado, asumiendo poseer la información perfecta (BEIP). Veamos que si el pronosticados" perfecto nos asegura que ocurrirá # , entonces la decisión lógica será llevar a cabo la acción A : (por ser la de mayor benei'icio); si en cambio, el "clarividente*' nos asegura que ocurrirá 0 2 ó 0 3 la decisión obvia será optar por la acción A, que es la que optimiza el beneficio en estos casos. El beneficio esperado en base a la información perfecta es la suma ponderada ie estos beneficios óptimos, con las respectivas probabilidades de ocurrencia de cada uno de los estados, probabilidades que gracias al clarividente coinciden con .as probabilidades de obtener tales beneficios; de esta forma: BEIP - 0.52 X O -f 0.26 X 300.000 + 0.22 X 1,000.000 BEIP - 298.000 Si H este valor que acabamos de obtener le restamos el valor esperado del >rneficio neto en condiciones de incertidurnbre (que ya calculamos en la Unidad Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

247


5 y es de Bs, 194,000) obtenemos la cantidad de Bs. 104.000 que representa el VEIP VEIP= 104.000 y el cual as el máximo precio a pagar por cualquier estudio geofísico tendente a determinar la identidad dol sucio,. Al VEIP también Be le denomina con frecuencia "costo de la ineertidumbre", denominación qu>3 tiende a resaltar el hecho de que tal valor os ío qu;e nos cuesta tomar la decisión bajo un estado de ineertidumbre caracterizado por im estado de oíisicicí! determinado,

Estados de la Naturaleza

P(E,)

—

Al A2

E2

...

P(E 2 ) V, v i tí.

2Í

V22

•

Sn

|

P(E n ) VIH

V!J

v, ;

V2n

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..„

un

a.

V

...

P(%)

— VM

EJ

s. c

1

fo ro

. EJ

Acciones

m

.Alternativas o

I?

om

Formalizando el proceso llevado a cabo en el ejemplo, tenemos que s dado un problema de decisiones estructurado como indica el cuadro 9-2,

CUADRO 9.2

donde los EJ (j = 1,.. . n) son ios distintos estados de la naturaleza con sus respectivas probabilidades P (E i ) l las Ai (i - 1, . . . m) son las distintas alternativas o cursos de acción y V^- es el beneficio neto o valor monetario correspondiente a cada pareja (Aj, EJ), según e! criterio que maximiza el beneficio neto esperado, la alternativa elegida debe ser aquella para la cual el valor

, . , .m

(9.2)

sea máximo, o sea, el curso de acción elegido con las probabilidades asignadas usando la información disponible a priori arrojará un beneficio neto esperado que puede expresaran como BEIAP= máx (B;

248

(8-3)



Ahora bien, recurriendo ai "clarividente" o pronosticado* perfecto, hemos dicho que la acción que llevamos a cabo es siempre aquella que produce el mayor beneficio bajo el estado de la naturaleza que el "cíaiividente" asegura va a producirse, o sea, si el "clarividente" asegura que se producirá el estado E, entonces la acción A; que se lleva a cabo será aauélla oara la cual V¡; sea máximo (para todo i). De esta forma el beneficio esperado, disponiendo de ía información perfecta (BEIP), puede expresarse como BEÍ?=

i = 1, . . . m

(9.4)

Así, según Ía definición que hemos dado, la expresión del valor esperado de la información perfecta será:

fo ro

s. c

om

VEIP = BEIP - BEIAP

m

A manera de verificación, el estudiante podrá sustituir en esta expresión los respectivos valores dados en el cuadro 9-1 y obtener VEIP - 104=

yc

on t

un

a.

Es equivalente a la definición resumida por las ecuaciones 9.1 y 9.5 la interpretación que permite definir el valor esperado de ía información perfecta como la cantidad en la cual se incrementa nuestro beneficio neto esperado como cpnse;u encía de haber tenido conocimiento de la información perfecta, Si designamos :n K esta cantidad podríamos escribir (9.6)

dm

BEIAP + K = BEIP

w w

w

.a

:. «ordenamos los términos de esta ecuación y sustituimos las ecuaciones 9.2, 9.3 • 9,4 obtenemos ? ( £ , ) máx (V u ;

(9.7)

-K=máx

ión que en virtud de las propiedades del Valor Esperado de una variable ña, puede escribirse como £

P (E¡ ) Vu

~i

(9.8)

i is ana ecuación de primer grado en K, Siendo la cantidad K un incremento en nuestro beneficio esperado, resultado - iber tenido conocimiento de la información perfecta, la ecuación 9,8 permite r .-i retar esa cantidad como un pago que estaríamos dispuestos a hacerle al "clairir.e'' íeí mejor pago) a fin de que nos suministre la información que él posee. - i= debido a que apareciendo K como un sustraendo al beneficio V u produci::: la alternativa A^ cuando se da el estado natural E i f una vez que hemos •: ::do pagar ese precio, hemos de pagarlo independientemente del curso detxr. y del estado natural que se dé. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

249


El interés por llegar a esta interpretación cobrará importancia cuando en la sección 9,5 consideremos el caso en el cual el Decisor, a diferencia de lo que hemos supuesto hasta ahora, no es indiferente al riesgo, y por lo tanto está caracterizado por una particular función de utilidad. Mientras tanto agreguemos que la ecuación 9.8 sugiere el siguiente procedimiento pare evaluar el VEIP: Dado un problema, estructurado como indica el cuadro 9.2 (matriz de decisiones) Evaluar el beneficio neto esperado con la información a priori {miembro derecho de la ecuación 9.8)

b)

Restar la cantidad K de cada valor de beneficio neto correspondiente a cada par (A¡, Ej}

e)

Para cada j = 1. , n determinar el valor máx (V Í 5 -K) i

d)

Evaluar el miembro izquierdo de la ecuación 9.8

e)

Igular los resultados obtenidos en a) y d)

f)

Despejar el valor de K

a.

m

fo ro

s. c

om

a)

w

.a

dm

yc

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un

Ahora bien, debido a que en este Curso hemos estructurado los problemas de decisiones principalmente en forma de árbol, describiremos a continuación el procedimiento a emplearse para determinar el VEIP, cuando se tiene tal estructuración. Es importante notar que en una estructuración en forma de árbol, los estados Ej del cuadro 9.2 equivaldrían a los estados representados por los nodos termínales del árbol, las probabilidades P (Ej), las probabilidades asociadas a dichos nodos terminales y los beneficios V 4 j a los beneficios netos asociados a cada uno de tales nodos.

w w

Tenemos entonces: Dado un problema estructurado en forma de árbol de decisiones a)

j Ii Evaluar el beneficio neto esperado asociado al árbol que considera la j

información a priori b)

;i

Construir el "árbol del clarividente'' el cual consiste en intercambiar en \ árbol orig modo tal que cada decisión se toma una vez que se conoce el estado que va a ocurrir

c)

Restar la cantidad K de cada valor de beneficio neto correspondiente a cada nodo terminal del "árbol del clarividente"

d)

Evaluar el beneficio esperado correspondiente al "árbol del clarividente"

e)

Igualar los resultados obtenidos en a) y d)

f)

Despojar el valor de K Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Ejemplifiquemos este procedimiento, tomando el problema del cuadro 9.1; para ello estructurémoslo en forma de árbol: -200.000

300.000

om

1000.000

s. c

Figura 9.1

m

fo ro

En la figura 9.1 se observa que de la aplicación del paso a) del procedimiento, se obtiene un beneficio neto esperado con la información a priorí (BEIAP) de Bs. 194.000.

on t

un

a.

Aplicando los pasos b) y c) tenemos lo mostrado en la figura 9.2

-O

0-K 300.000 —K 0-K 10000.000—K

w w

w

.a

dm

yc

'-r-,000-K)

„ -200.000-K

Figura 9.2

El resultado de aplicar el paso d) aparece también en la figura 9.2 indicado en el óvalo asociado al nodo inicial. Aplicando los pasos e) y f) consecutivamente, tenemos: 298.000 -K = 194. K - 104.000 que coincide con el obtenido incialmente, empleando las ecuaciones 9.1 ó

9.5. Veamos el siguiente ejemplo, donde determinaremos el VEIP empleado ini: emente la manera sugerida por la ecuación 9.1 y luego el procedimiento sugeri:: por la ecuación 9.8. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

251


El grupo XXX, ejecutante de música "rock", ha decidido cortar (grabar) un disco. Los representantes de la compañía disquera tienen sus dudas sobre los resultados que puedan tener; asignan una probabilidad subjetiva de 1/4 a que el disco sea un éxito. Los costos de fabricación y distribución son de Bs. 20.000. Si resultara un éxito, el grupo y la casa disquera obtendrían un beneficio neto de Bs. 100.000, si fracasara se quedarían con el lote de discos "frío". Sean: El disco resulta un éxito.

E:

Lo contrario de E (fracaso).

G:

Grabar el disco

G;

Lo contrario de G (no grabar).

om

E:

100.000

20.000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

el árbol de decisiones correspondiente es el de la Fig. 9.3.

FIG. 9.3

De la evaluación del mismo resulta que la decisión debe ser grabar el disco, con un beneficio neto esperado de Bs. 10.000. Supongamos ahora que el grupo XXX y compañía tiene la posibilidad de consultarle al profesor Alfa quien es un pronosticador perfecto y posee información perfecta sobre los procesos mentales de todos los fanáticos de la música "rock"; consideremos los eventos "E": El profesor Alfa dice que el disco será un éxito. "E": Lo contrario de "E" en este caso, previo a cualquier decisión hay que considerar la información perfecta suministrada por el profesor Alfa; si éste dice que el disco será un éxito, la decisión será grabar, de lo contrario no traerá ningún beneficio hacerlo. Calculemos cuánto es el beneficio neto esperado en caso de poseer ia información perfecta del profesor Alfa; el árbol correspondiente (árbol del clarividente) es el de la figura 9.4. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


100.000

"E" 1/4

- 20000

«*£„

15,000

m

VEIP =

fo ro

s. c

om

El beneficio neto esperado en este caso es el de Bs. 25.000, por lo tanto, cualquier consejo que pueda dar el profesor, tiene un valor para ei grupo, de Bs. 15.000, que es ia diferencia de beneficio esperado antre tomar la decisión disponiendo de la información perfecta y tomaila con la información a priori representada por la asignación de probabilidades hecha al inicio, diferencia que hemos designado como el valor esperado de la información perfecta.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

Si quisiéramos emplear la interpretación sugerida por la ecuación 9.8, el árbol de la figura 94 nos quedaría como indicamos a continuación en la figura 9.5 (aplicación de los pasos b), cj y d) del procedimiento) i ooooo -K

Figura 9.5

igualando el beneficio aspeado que arroja este árbol (paso e) con el beneficio esperado correspondiente ai árbol de la figura 9.1 (información inicial) tenemos la siguiente ecuación: _1_ 4 :e donde, despejando K (paso f) se obtiene: K = VEIP= Bs. 15,í :al y como habíamos obtenido antes. E! análisis que hemos conducido hasta el momento está basado en las proba:i]idades que han sido asignadas cers la información disponible apnon, según un rierto estado de conocimiento, V-aremos en el próximo punto cómo incorporar •formación adicional (aunque no perfecta) y proseguir así con si análisis. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

253


9.4. ANÁLISIS A POSTERIORI Y VALOR DE LA INFORMACIÓN ADICIONAL

Supongamos que ei grupo XXX, para mejorar su estado de información, no pudiendo disponer de un "verdadero" profesor tiene la alternativa de realizar algunos estudios de mercado, cuya confiabilidad es la siguiente: 0,6 = probabilidad de que el estudio indique un buen mercado para el disco cuando efectivamente así será. 0,8 = probabilidad de que el estudio indique un mercado no receptivo para el disco cuando efectivamente así será.

P (e~/É) = 0,8

Píe/E) = 0,2

s. c

P(e/E) = 0,4

fo ro

P(e./E) = 0,6

om

Si indicamos con e¡ el evento; "el i-ésimo estudio del mercado indica que el disco será un éxito", la confiabilidad del estudio se traduce en las siguientes probabilidades.

m

que se puede resumir en el árbol de probabilidades de la figura 9.6

yc

on t

un

a.

0,15= PtEOe.

0,10 =P (E H e •

dm

0,4

w w

w

.a

Ü,15=P (É

3/4

0(60=P(Én¿.» Figura 9,6

Para analizar el árbol de decisiones que contemple el estudio de mercado, es necesario conocer las probabilidades a posteñon. Veamos: del árbol de probabilidades de la figura 9-6 se desprende que P (E n e . ) = 0,15

;

P ( E n e . ) = 0,10

P (En e .) = 0,15

,

P (En e.) = 0,60

P (e.) = 0,30

,

;

P(i¡) = 0,70

valores que llevados al árbol de ia figura 9-7 permiten determinar P (E/e.) =1/2 ;

254

P (E/e.) =1/7

,

P(E/e.)= 1/2



y P (E/gj) = 8/7. Nótese que heñios empleado el árbol de probabilidades como un procedimiento alternativo ai empleo directo de la fórmula de Bayes. 0,15

0,60

om

Figura 9.7

-20000

100.000

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Estamos en condiciones ahora de analizar el árbol de decisiones, contemplan:o un primer estudio de mercado (figura 9—8)

w w

20000

F i g u r a 9,8

jperando sobre este árbol se obtiene que el beneficio neto esperado, una vez que _:~ ha realizado el primer estudio de mercado, es de Bs 12.000, tal como se indica en la figura 9-8. El valor esperado de la información que arroja el estudio de mercado se pue:e calcular como la diferencia entre el beneficio neto esperado, tomando en cuen:¿ la investigación menos el beneficio neto esperado según el análisis realizado con .i= probabilidades a priori, "análisis a priori". A este valor se le suele llamar Valor esperado de la información imperfecta o valor esperado de la información auestral (VEIM). En el ejemplo tenemos entonces, VEIM-Bs (12.000-10.000)- Bs 2.000 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

255


Empleando un procedimiento similar al sugerido por la ecuación 9-8 para el caso de la información perfecta, podríamos también determinar el valor esperado de la información imperfecta. Veamos: En la figura 9-9 aparece de nuevo el árbol de decisiones correspondiente a nuestro problema del Grupo XXX considerando el estudio de mercado. Nótese que sólo difiere en el de la figura 9-8 en que el beneficio asociado a cada nodo terminal está reducido en una cantidad K', que representa lo máximo que estaríamos dispuestos a pagar por un estudio de mercado de la confiabüidad ofrecida,

om

(172(80000- 2 K

fo ro

s. c

(80000-2 K')+"0,7 (-?

(jV7- „(IQQQOO^K 4- K/j) ___-E o 100.000 _ - , _ . _ 7.)'-6/7(20000 . . _ ..__

20000 - K

-K

F i g u r a 9.9

dm

yc

on t

un

a.

m

s^

w w

w

.a

igualando el valor que aparece en el nodo incial con el beneficio neto esperado con la información a priori, podremos despejar a K' que será el valor esperado de la información muestral o imperfecta (VEIM).

0,3 --7H8000Q -2K') + 0,7 (-K') - 10.000 12.000-K' - 10.000 K' - 2000 - VEIM tal como habíamos obtenido anteriormente. Hay que resaltar que esta información adicional que incorporamos a nuestro estado de información inicial (a priori), siendo en la mayoría de los casos producto de un estudio estadístico sobre una muestra restringida, pero representativa de la población sujeto del problema de decisiones, es una información imoerfecta porque no existe ninguna investigación, estudio o encuesta que pueda decirnos con precisión, qué es lo que va a suceder ante un fenómeno de naturaleza aleatoria, salvo el clarivi .ente que postulamos al inicio. Es importante notar que en el análisis a posteriori, cuando se incorpora información adicional a la disponible en e! análisis a priori, lo que se pretende es disminuir la incertidumbre y, poi- lo tanto, teniendo mayor conocimiento de la situación que 22 tiene enire manos, resultará factible que una estrategia recomendada

256



Empleando un procedimiento similar al sugerido por la ecuación 9-8 para el caso de la información perfecta, podríamos también determinar el valor esperado de la información imperfecta, Veamos: En la figura 9-9 aparece de nuevo el árbol de decisiones correspondiente a nuestro problema deí Grupo XXX considerando el estudio de mercado. Nótese que sólo difiere en el de la figura 9*8 en que el beneficio asociado a cada nodo terminal está reducido en una cantidad K', que representa lo máximo que estaríamos dispuestos a pagar por un estudio de mercado de la confíabilidad ofrecida, 100,000

K

fo ro

s. c

om

20,000

-C£^

o

100.000 - K'

E *^H

6/7

20000- K'

Figura 9.9

dm

yc

on t

un

a.

G

m

^Q/7 (lOOOOO-K + K7))_ E \ _ _ , _, _,f )-"6/7(20QOO „. _ , ^—_

w w

w

.a

igualando el valor que aparece en el nodo incial con el beneficio neto esperado con ia información a priori, podremos despejar a K' que será el valor esperado de la información muestra! o imperfecta (VEIM). 0,3 •-^(80000 - 2K') + 0,7 (-K') - 10.000 12.000 ~ K ' - 10.000 K' - 2000 - VEIM tal como habíamos obtenido anteriormente. Hay que resaltar que esta información adicional que incorporamos a nuestro estado de información inicial (a priori), siendo en la mayoría de los casos producto de un estudio estadístico sobre una muestra restringida, pero representativa de la población sujeto del problema de decisiones, es una información imoerfecta porque no existe ninguna investigación, estudio o encuesta que pueda decirnos con precisión, qué es lo que va a suceder ante un fenómeno de naturaleza aleatoria, salvo el clarivi .ente que postulamos al inicio. Es importante notar que en el análisis a posteriori, cuando se incorpora información adicional a !a disponible en el análisis a priori, lo que se pretende es disminuir la incertidumbre y, por lo tanto, teniendo mayor conocimiento de la situación que se tiesse entre manos, resultará factible que una estrategia recomendada 256



inicialmente durante el análisis a priori, pase a ser sustituida por otra anteriormente desechada. Es realmente en este caso, cuando la investigación o ei experimento empleado en la recolección de información adicional, es más valioso. La adquisición de información adicional nunca es gratuita, siempre conlleva un costo que está estrechamente relacionado, o bien con un proceso de muestreo estadístico o bien con los honorarios de los especialistas consultados. Este costo es comúnmente denominado Costo Asociado a ía Adquisición de Información,

om

Vale Ía pena realizar un muestreo estadístico o una consulta, sólo si el valor esperado de la información que de él se piensa recabar, es mayor que eí costo que implica tal muestreo o consulta. La diferencia entre VEIM y dicho costo, es lo que se denomina la Ganancia esperada de la información muestral o imperfecta (GEM).

fo ro

s. c

En nuestro ejemplo, para que el estudio de mercado implique una ganancia, debe tener un costo inferior a los Bs. 2.000.

dm

yc

on t

un

a.

m

Volvamos ahora sobre el problema de ia perforación del pozo petrolero que vimos ai inicio de la sección 9-3, Recordemos de la Unidad 5 que la empresa de perforación consideraba la contratación de un estudio geofísico para la determinación de las características del suelo. Tal estudio tenía un costo de Bs. 100.000, o sea, el costo asociado a la adquisición de información es igual a Bs. 100.000. Calculemos ahora la ganancia esperada de tal estudio. Para ello es necesario que calculemos el VEIM.

w w

w

.a

Consideremos que la confiabilidad del estudio garantizada por ia empresa que lo va a realizar, es la siguiente:

P (a/A) = 0.9 P (a/A')= 0,3

donde:

a - el estudio dice que el terreno es del tipo A a' = el estudio dice que el terreno es del tipo A' A= eí terreno es el tipo A A'— el terreno es del tipo A'

Estas, junto con las probabilidades a príon P (A) y P (A') se pueden representar en el árbol de probabilidades ríe la figura 9-10. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

257


0,36

0,1 >>

0,04

0,18 0,6

om

0.42

fo ro

s. c

Figura 9.10

on t

P ( A ^ a ' ) = 0,04 P (A' n a') = 0,42 P ( a ' ) - 0,46

yc

P ( A ^ a ) =0,36 , P (A' n a) « 0,18 , P ( a ) = 0,54 ,

un

a.

m

Para analizar el árbol de decisiones que contempla la realización del estudio geofísico es necesario que determinemos las probabilidaes a posteriori (Bayes). Del árbol de la figura 940 se desprende:

w

.a

dm

valores que llevados al árbol de la figura 9-11.

w w

0,36

0,18

0,04 0,46

0/2

Figura 9.11

258



permiten determinar ? (A/a ) ™ 2/3 ; P (A'/a) = 1/3 ; P ( A / a ) - 2/23

; P(A ? / a; ) - 21/23

De esta forma el árbol de decisiones queda estructurado como en la figura 9-12.

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Cada nodo terminal tiene asignado el beneficio neto correspondiente, disminuido de la cantidad K' (los valores han sido tomados del cuadro 9-1 y expresados en Bs -103), que es el valor esperado del estudio (VEIM) y es lo que queremos determinar.

-K

.12

igualando el valor del beneficio esperado obtenido considerando el estudio (según aparece en el nodo inicial del árbol de la figura 9-12, es de 194—K') al valor del beneficio esperado según el análisis a priori se obtiene la siguiente ecuación 194 -K f - 194 que arroja un VEIM = O Recordando que el costo del estudio es de Bs. 100,000 (costo asociado a la adquisición de información), la ganancia esperada de la información muestra! (GEIM) en este caso es: GEIM - O - 100.000 GELM - - 100.000 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

259


o sea, una perdida, Es interesante detenerse eri el hecho de que independientemente del resultado que dé el estudio de suelo (véase figura 9-10), la decisión óptima es siempre la de perforar (por ser la de mayor beneficio neto esperado) además, aun $n hacer el estudio, perforar es también la decisión óptima. En otras palabras, el estudio no aporta ninguna información que al Decisor haga modificarle la estrategia elegida a prióri. 9.5. EL VALOR DE LA INFORMACIÓN Y LA ACTITUD ANTE EL RIESGO DEL DECISOR

s. c

om

Ya en la Unidad 7 quedó establecida la importancia que puede tener la consideración de la actitud del Decisor ante el riesgo en la toma de decisiones. Vimos que cada Decisor queda caracterizado por una curva o función de utilidad y que la decisión es tomada buscando maximizar esta utilidad, que refleja el grado de satisfacción que le puede producir uno u otro beneficio (monetario o no).

m

fo ro

En el caso de la determinación del valor del valor de la información, podemos ver que es también muy importante la consideración de las preferencias al riesgo.

on t

un

a.

Si en la ecuación 9.8 hacemos que se maximicen no los beneficios sino la utilidad que tales beneficios producen, obtendremos:

P (E.)-máx I U (Vy -K) ) - máx

PÍE.J-UÍ^.)

(9.9)

.a

dm

yc

S

w w

w

Esta es una ecuación en K, pero ya no de primer grado (a menos que la función utilidad, U (v), sea lineal), K sigue siendo el valor esperado de la información perfecta, pero ahora, está determinado no por una relación de beneficios sino por una relación de la utilidad que al Decisor le producen tales beneficios. Dependiendo de la forma de la función U (v), de si tiene expresión analítica o no, será más o menos fácil el despeje de K. Este despeje, en todo caso, puede conducirse mediante un proceso de tanteo. Nótese que gracias al axioma de monotonicidad, a pesar de ser K una incógnita a despejar, siempre podrá establecerse el valor

máx

[ U (V'

-K)

JJ = 1. , . n

e,n el primer miembro de la ecuación 9.9. Continuemos con nuestro ejemplo de la perforación del pozo petrolero y supónganos ahora que nuestro Decisor se caracteriza por una actitud ante el riesgo representada por ¿a funcióü utilidad que aparece en la figura 9.13

260


m

1000

300

on t

un

a.

100

fo ro

s. c

om


w w

w

.a

dm

yc

En la figura 8.14 aparece el árbol correspondiente a? análisis a priori; en cada nodo terminal aparece, junto al beneficio neto correspondiente (en Bs '10— 3 ). el valor de utilidad respectivo según la curva. Encerrados en un óvalo representamos valores de beneficios, ias utilidades equivalentes aparecen encerradas en un rectángulo. Nótese que según se consideren beneficios o utilidades, la alternativa escogida cambia. En el primer caso la mejor es A¡ mientras que en el segundo es A3.


281


Veamos ahora cuanto vale el VEIP El árbol correspondiente es el de la figura 9.15 (árbol del clarividente)

BENEFICIO

UTILIDAD

- 200 -K

[¡ (-200— K )

0 0,52 U f - K ) + 0,26 U (300-K)

K

300

Kj

n

U ( - K)

K V (300 -K) u

K;

om

1000

!' .

K i

L'(IOOO-K) U i- K)

m

Figura 9,15

fo ro

s. c

O

Vi

un

a.

Empleando la ecuación 9.9 tenemos

-Kí = 0,5

on t

0.52 U ( -K) + 0,26 t (300 -Kí + 0,22 L (1000

.a

Para K = 200 0,52 U ( -200) + 0,26 U Í100) +• 0,22 U (800) -

w

1.

dm

yc

Dado que U ( v ) no está representada por una función analítica continua, es necesario resolver esta ecuación por tanteo. Trataremos de reproducir el miembro derecho de la ecuación, sustituyendo valores de K en el miembro izquierdo.

w w

O

2.

4 0,26.0,75 + 0,22.0,96

0,5

0,4056

O, 5

Para K - O 0,52 U (0) + 0,26 U (300) + 0,22 U (1000) O, 52. 0,5 + 0,26. O, 85 + 0,22

3.

4.

1 0,7010

Para K - 104 0,52 U (-104) + 0,26 U (196) + 0,22 U (896) 0,52. 0,24

+ 0,26 . 0,80 + 0,22.0,98 0,5485

Of5 = 0,5 :> 0,5

=

0,5

- 0,5 > 0,5

Para K - 130 0,52 U (-130) + 0,26 U (170) + 0,22 U (870) = 0,52. 0.18 + 0,26. 0.77 + 0,22. 0,97 0,51

262

0,5

0,5

- 0,5 ^ 0,5



Si aceptamos la aproxknación, el Valor esperado de la información perfecta, considerando la función de utilidad de la figura 9.13 es: VEJP = Bs. 130.000 9.6. EL VALOR DE LA INFORMACIÓN Y LA PERDIDA DE OPORTUNIDAD Muchos autores enfocan el análisis del valor de la información considerando, asociado a cada nodo terminal del árbol de decisiones, un valor de pérdida dé oportunidad en cambio de un valor de beneficio neto. A pesar de que se trata simplemente de un modo alternativo de resolver el mismo problema, a continuación lo trataremos, ya que en algunos casos su uso facilita la determinación del valor de la información.

om

Volviendo a nuestro ejemplo de la perforación del pozo petrolero, vernos que en la figura 9.16 apar an en los nodos terminales del árbol los correspondientes valores de pérdida
m

fo ro

s. c

200.000

un

a.

o

on t

o

1000000 0,22 Figura 9 . 1 6

w w

w

.a

dm

yc

300.000

Vemos que si por ejemplo decidimos no perforar y el pozo es grande (estado 0 3 ) la pérdjda ôportunidad es de Bs. 1.000.000, que es lo que dejamos de ganar por no haber tomado la decisión óptima bajo el estado dado (por ser grande el pozo, la decisión óptima es perforar); igualmente, si decidimos perforar y el pozo está seco ( 0¡) la pérdida de oportunidad es de Bs. 200.000 que es lo que dejamos de ganar por no haber tomado la decisión óptima que, en este caso, era no perforar (la ganancia consiste en una pérdida evitada, la cual en este caso es de Bs. 200.000). Evaluado el árbol vemos que la pérdida de oportunidad asociada a cada estrategia es: Estrategia Aí : 0,52 X 200.000 + 0,34 X O + 0,14 X O . = 104.000

Estrategia A 2 : 0,52 X O 0,26 X 300.000 0,22 X 1.000.000= 298.000

la estrategia óptima es la de menor pérdida de oportunidad asociada, o sea, A1. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

263


En términos de pérdida de oportunidad, el Valor esperado de la información perfecta (VEIP) se define como la pérdida de oportunidad esperada asociada con la estrategia óptima, bajo el estado de información a priori considerado. Por lo tanto tenemos que VEIP = Bs. 104.000 tal como habíamos determinado en la sección 9.3 Para los efectos de la información imperfecta, el VEIM puede ser calculado como la diferencia entre la pérdida de oportunidad asociada a la estrategia óptima en un estado de información a priori (VEIP) menos la pérdida de oportunidad asociada a la estrategia óptima bajo conocimiento de la información muestral (imperfecta).

om

En nuestro ejemplo de la grabación del disco tenemos:

20.000 100.000

on t

un

a.

m

fo ro

E

s. c

bajo el estado de información a priori el árbol es el de la figura 9-17

dm

yc

Figura 9.17

w w

w

.a

de donde se desprende que las pérdidas de oportunidad asociadas con las estrategias G y G son respectivamente 15.000 y 25.000, por lo que G es la estrategia óptima y 15.000 es la pérdida de oportunidad a ella asociada. VEIP = 15.000 Una vez que se considera la información muestral se tiene lo reflejado en la figura 9-18

O 20000 100000

CiGoTogo/T?

Figura 9.18

264


O


del mismo se puede observar que reiterando los resultados del árbol de la figura 9.8, si la encuesta pronostica éxito, entonces la estrategia óptima es G ( l a de menor pérdida de oportunidad); si en cambio, pronostica fracaso, la estrategia a elegir sera G; en iodo caso la pérdida de oportunidad asociada con la estrategia óptima después de conocer la información muestra! es, como se lee en el árbol, de Bs. 13.000, por lo tanto 15,000 - Í3

,000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

es corno habíamos dicho e! VEIM.



Instrucciones Resuelva los siguientes problemas: Dada la siguiente matriz de decisiones, donde a cada par (A., E.) le corresponde un beneficio V.- expresado en miles de bolívares, el cual representa el ingreso neto resultado de la comercialización de un producto; E 1 ( E3 y E 3 ESTADOS NATURALES E

E3

2

A,

600

A2

700

2100

om

CURSOS DE ACCIÓN

1400

s. c

1)

1000

fo ro

700

un

a.

m

son tres posibles grados de aceptación del producto por parte del público, cuyas probabilidades a priori son respectivamente 0,3; 0,6; y 0,1 y A I , Aj y A3 son tres distintas estrategias de ventas, determinar: El beneficio neto esperado con la información a priori, (en Bs ).

b)

El valor esperado de la información perfecta.

dm

yc

on t

a)

w

.a

Suponga ahora que el Decisor no es neutral al riesgo, sino que responde en un caso a la función de utilidad dada por: 700

w w

U, ( X ) = l - e

>X

O

y en otro caso a la función de utilidad dada por; X-2SOÜ 700

U 2 (X) = e

2100 > X > O

Determine en ambos casos el valor esperado de la información perfecta (respuestas c y d). 2)

Suponga usted que existen tres eventos de interés con las probabilidades de ocurrencia siguientes: E! : el empresario obtendrá éxito completo, con P (E a ) = 0,58 E 2 : el empresario obtendrá un éxito limitado con P (E 2 ) = 0,25 E 3 : ei empresario fracasará, con P (E 3 ) - 0,17 Suponga también la siguiente matriz de beneficios netos dados en Bs -103 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

267


Estados Naturales

Cunos de Aeeióvs

E5

A,

5000

2000

1000

A2

0

0

0

£3

2

donde A! . invertir en el negocio del empresario.

om

A2 : no invertir en el negocio del empresario.

m a.

un

Se observa e, con P (e, ) = 0,6 Se observa e 2 con P (e 2 ) = 0,3 Se observa e 3 con P (e 3 ) - 0,1

fo ro

s. c

Se lleva a cabo una encuesta cuyo costo es de Bs. 125.000. La misma arroja los siguientes resultados muéstrales:

on t

Además, las probabilidades a postenon son las siguientes:

dm

yc

P (E, / e , } -0,8 P ( E , e 2 ) - 0 , 3 , P ( E , 'e3 ) - 0,1 P ( E 2 / e i ) - 0 , l ; P ( E 2 - ' e 2 ) = 0,5 , p ( E 2 / e 3 ) = 0,4 P ( E s / e , ) = 0,l ; P ( E 3 / e 3 ) = 0,2 , P ( E 3 / e 3 ) = 0,5

w

.a

Conteste las siguientes preguntas. ¿Cuál es el VEIP con la información a prior/?

b)

¿Cuál e¡$ el valor esperado de la información muestral?

c)

¿Cuál es la ganancia neta asociada a la encuesta?

w w

a)

3)

En el problema de la grabación del disco del Grupo XXX tratado en esta Unidad, supóngase que se conducen dos estudios de mercado independientes del mismo tipo (igual contabilidad) del que se señala en el texto. Determínese la estrategia óptima y la pérdida de oportunidad asociada a ella, suponiendo que uno de los estudios pronosticó éxito y el otro fracaso. Determine el valor esperado de la información muestral.

4)

Cierto comerciante tiene un hotel ubicado cerca de un lugar en donde pronto se instalará una exposición industrial internacional. El comerciante cavila sobre la posibilidad de construir unos cuartos adicionales temporales. Estos cuartos adicionales carecerán de valor en cuanto se clausure la exposición internacional, puesto que la capacidad del hotel es más que suficiente para aterido? la demanda normal.

268



Sean las estrategias factibles las siguientes: A j : construir los cuartos adicionales A 2 : no construirlos Sean los eventos de interés los siguientes: E , : la demanda es suficiente para cubrir el costo de construcción de los cuartos adicionales. E 2 ; lo contrario de E, Suponga también las siguientes probabilidades a priori: P ( E 2 ) - 0,5

om

P Í E , ) = 0,5 ,

fo ro

s. c

Existe la posibilidad de realizar una encuesta que reportará las observaciones muéstrales e, y e2 con las características siguientes: P ( e i / E 2 ) = 0,50 P ( e 2 / E 2 ) - 0,50

a.

m

P ( e , / E , ) - 0,55 P(e 2 /EJ- 0,45

un

Suponga la siguiente matriz de pérdidas de oportunidad:

on t

ESTADOS NATURALES

CURSOS DE ACCIÓN

yc dm

0

500000

550000

0

w w

w

.a

AI

A7

E2

E,

Obtenga la siguiente información:

L

a)

El curso de acción óptimo a priori.

b)

El curso de acción óptimo si se observa e,.

c)

El curso de acción óptimo si se observa e 2 .

d)

Píe,) y P(ea)

e)

El valor esperado de la información muestra!.


269


AUTOEVALUACIOIM

Sección de Referencia

Objetivo Evaluado

í

17

9.3

J«

9.4

17

9,4

18

9.4 - 9.6

s. c

Problema

om

SOLUCSOISI OE LA

fo ro

Solución al problema No, 1

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Construyamos el árbol correspondiente y evaluámoslo

100

1000 700

la acción recomendable es la A 3 y su beneficio neto esperado es de Bs. 700.000. Para la determinación del VEIP es necesario que construyamos el "árbol del clarividente". Para ello intercambiamos los nodos de decisión con los nodos de incertidumbre. Obtenemos el siguiente árbol en cuyos nodos terminales hemos colocado eí beneficio correspondiente disminuido de la cantidad K que es nuestra incógnita.


271


300-K 300-K 100-K

600-K 700-K 1000-K 2100--K 1400—K 700~K

Efectuando la igualdad y despejando se obtiene:

s. c

om

900 - K = K - 200

fo ro

El valor esperado de la información perfecta, VEIP, es de Bs. 200.000.

BENEFICIO

w w £72

Ui

U2

300

0,1331

0,0764

600

0,5756

0,1173

2100

0,9502

1,000

300

0,3486

0.0764

700

0,6321

0,1353

1400

0,8647

0,3679

100

0,1331

0,0574

1000

0,7603

0,2077

700

0,6321

0,1353

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Para la segunda parte del problema, cuando ei decisor no es indiferente o neutral al riesgo, tenemos que asociarle a cada nodo terminal la utilidad correspondiente al beneficio respectivo, según la función de utilidad del Decisor considerado. A continuación repetimos el árbol con los valores de utilidad correspondientes a las funciones U i (X) y U 2 (X).



Como vemos, la utilidad equivalente máxima para el Decisor caracterizado por U 2 (X) es de 0,5703 y corresponde a la alternativa A 2 , mientras que para el Decisor caracterizado por U 2 (X), la alternativa mejor es la Aj con una utilidad equivalente de 0.1883, Construyamos ahora el "árbol del clarividente" con las utilidades asociadas.

U j (300—K)

U 2 (300-K)

300 - K

U! (300— K)

U 2 (300-K)

100 - K

U j (100-K)

U 2 (100-K)

600 - k

U j (600-K)

U2 (GOO-K)

700 -K

U j (700-K)

om

300 — K

fo ro

U j í l O O O - K ) U2 (1000—K) U! (2100— K) U 2 (2100— K)

un

a.

m

2100- K 1400 - K

U 2 (700-K)

s. c

1000 - K

5

U2

Ui

Beneficio

Uj(1400-K) U 2 (1400— K) U i (700-K)

U 2 (700-K)

yc

on t

700 - K

.a

dm

Veamos primero lo concerniente al Decisor caracterizado por U!.

w

La utilidad equivalente asociada al nodo inicial es

w w

0,3 U i (300-K)+ 0,6 U! (1000 ~K)+0,1 U, (2100-K) Si la igulamos a la utilidad equivalente máxima, obtenida con la información a príori nos queda:

0,3 U, (300-K) + 0,6 U, (1000-K) + 0,1 U, (2100-K) - 0,5703 Sustituyendo la expresión de Uj (X) tenemos: 1000-K^ 700

3.00—K 700

0,3(1-6 K 700

1-e

) +0,6(l-e 3_ ~~ 7

(0,3 e

_ 30 7

+0,6 e

2100-K 700

) + 0,l(l-e

) = 0,5703

—3

+ 0,1 e

) = 0,5703

/. K - 155.3 Para el Decisor caracterizado por U, el VEIP es entonces igual a Bs. 155.300 (respuesta c). Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

273


Veamos ahora para el Decisor caracterizado por U 2 En forma similar tendremos: 0,3 U 2 (3GO-K) 0,6 U 2 (1000-K) 0,1 U 2 (2100- -K)= 0,1933 Sustituyendo nos queda; 300- K. 2100 P «-

700

1000—K- 2100 ,

r,

A

700

-r O5n * V W P ^

l

K

18

e 7~

(0,3 e K

- 0,1933

11

4 0,6 e

7

+ 0,1 e

2100 -K -2100 700

7

+ 0 , 1 ) -0,1933

173,3

fo ro

s. c

om

Para el Decisor caracterizado por U 2 el VEIP es entonces igual a Bs. 173.300. (Respuesta d).

m

Solución al problema No 2

•SO O O

15,

20ÜÜ

0,25

o r

-o

1000

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

El árbol correspondiente es

Eí "árbol del clarividente" es 5000

C_3400

274


K


Igualando tenemos: 3400-K = 3230 K = 170 El valor esperado de la información perfecta es: VEIP= Bs. 170.000

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Construyamos ahora el árbol que considera la encuesta:

w w

w

Igualando el beneficio neto esperado (óvalo del nodo inicial) con el beneficio neto esperado con la información a priori, obtenemos: 3230-K'-3230 K'=

O

o sea, el valor esperado de la información muestral es nulo, VEIM - 0. Esto obviamente era de esperar desde que se observa en el árbol anterior que, independientemente del resultado que arroje la encuesta, la estrategia recomendable es siempre A j , la misma que se había seleccionado en el análisis apriori. La ganancia neta asociada a la encuesta es: GEIM - VEIM - costo del estudio GEIM= O - 125.000 GEIM- - 125.000 O sea, es una pérdida. No vale la pena realizar esa encuesta.


275


Solución al problema No. 3 Dado que los estudios conducidos son independientes podemos construir el siguiente árbol de probabilidades: 0,09

0,06 0,06

0,04 0,03

3/4

0,12

0,18

fo ro

s. c

om

0,12

un

a.

m

SeaM = [(e t n e 2 ) U (e t n e 2 )] , nos interesa determinar P (E/M) y P (E/M) del árbol vemos que P (M/E) - 0,6 X 0,4 + 0,4 X 0,6 - 0,48 y P (M/E) - 0,2 X X 0,8 + 0,8 X 0,2 = 0,32 aplicando la fórmula de Bayes tenemos que

on t

P (M/E) • P (E) P (M/E) • P (E) + P (M/E') - P (E') J_ 3

0.48 X 1/4 0.48 X 1/4 + 0.32 X 3/4

.a

dm

yc

P (E/M) =

w w

w

P (E/M) = 2/3

de esta manera podemos construir el siguiente árbol de decisiones: (M es el complemento de M) en cuyos nodos terminales hemos indicado la pérdida de oportunidad respectiva.

20000 100000

o o 20000 100000



Resolviendo el árbol se nota que para ei caso en que uno de los estudios determina éxito y el otro fracaso (para el caso en el cual se verifica M) la estrategia con menor pérdida de oportunidad es G (grabar el disco) con un valor asociado de Bs. 13.333,33. Nótese que no hemos resuelto la parte del árbol asociada a M; el estudiante puede hacerlo y de esta forma determinar el VEIM, recordando que para este problema VEIP = POEIAP = Bs. 15.000. Solución al problema No. 4 Construyamos el árbol correspondiente:

om

500.000

550.000

0,5

^

O

a.

m

fo ro

s. c

250.000)

yc

w

.a

Construyamos el árbol considerando el estudio muestral:

w w

b)

POEIAP- 250.000

dm

,

on t

un

Con las probabilidades a priori, el mejor curso de acción es A! por ser el de menor pérdida de oportunidad. La pérdida de oportunidad esperada con la información apriori es:

500000

C238095.53

500000 550000

0,52632



Ya habíamos determinado que POEIAP - 250.000, VEIM - POEIAP -POEIM VEIM = 250.000-248.748,7

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

VEIM = 1251,3


279


Calculemos las P (Ej !e-}) que nos interesan, conocemos P ( 6 l / E j ) = 0,55 ; P ( e / E 2 ) = 0,50; P ( e a / E 1 ) = 0 , 4 5 ; P ( e 2 / E 2 ) - 0,50 aplicando la fórmula de Hay es tenemos;

/E,) • P(EO +P(e, 0,55 X 0,5"

P(EI/el) =

0,55 X 0,5

0,50 X 0,5

P(E2)

•= 0,522381

0,47368

P(E2/e2 ) -

0,52632

s. c

P(E1/e2 ) -

fo ro

0,47619

m

P(E2/e, ) =

om

Similarmente se obtienen:

un

a.

Llevando estos valores al árbol se pueden obtener las pérdidas de qportunidad asociadas con cada estrategia, tal como se indica.

yc

on t

Si se observa e{ el curso óptimo de acción será A t , por ser el de menor pérdida de oportunidad asociado. Si se observa e 2 el curso óptimo de acción será A 2 por ser el de menor pérdida de oportunidad asociado.

d)

P(e ,) - P ( e , / E ( )

• P ( E , ) + P (e , /E 2 ) • P (E 2 )

w w

w

.a

dm

c)

P (e! ) = 0,55 X 0,5 + 0,50 X 0,5 -

0,525

P ( e 2 ) = P ( e 2 / E , ) • P ( E t ) + P (e2 / E 2 ) • P (E 2 ) P ( e 2 ) = 0,45 X 0,5 +0,50 X 0,5 -

0,475 C.238095,0)

C248748.7)

0,475 (260524,0)

POEIM - 248748,7 278 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Ya habíamos determinado que POEÍAP = 250.000, VEM - POEÍAP - POEIM VEíM « 250.000-248.748,7

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VEIM - 1251,3


279


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I METODOLOGÍA DEL ANÁLISIS DE DECISIONES

Lista de Unidades El ciclo y las fases del Análisis de Decisiones.

om

Unidad 10.

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Objetivos

Al finalizar el estudio del Módulo III, el estudiante deberá estar en capacidad

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de:

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Aplicar la metodología del Análisis de Decisiones a la resolución de un caso práctico.

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Introducción

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Con todos los elementos que se han analizado durante el desarrollo de este Curso, esencialmente con:

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- La codificación de la Incertidumbre inherente a un ambiente o escenario de decisión, - La codificación de las Preferencias de quien ha de tomar la decisión. Se tiene un cuadro lo suficientemente completo el cual, junto con una Estructuración adecuada del problema de decisiones que se tenga entre manos, es suficiente para conducir un análisis que lleve a la determinación de la Decisión más adecuada para el Decisor. En este tercer Módulo se presenta una Metodología que permite conducir el proceso de análisis de decisiones en una forma orgánica, articulada, bien estructurada, de manera tal que, paso a paso se pueda visualizar todo lo concerniente al proceso relacionando convenientemente todos los elementos que lo constituyen. Esta metdología no es el único camino a seguir en un proceso de análisis de decisiones; es una metodología que ha sido desarrollada por el "grupo de Análisis •5 Decisiones'1 del Stanford Research Institute y adoptada por los autores de este lurso por considerarla clara, coherente y lo suficientemente amplia como para _barcar la mayoría de las posibles situaciones leales de decisión.



UNIDAD FASES OEL ANÁLISIS DE DECISIONES

Ai finalizar el estudio de esta unidad usted estará en capacidad de: 19) Aplicar la Fase Deterrninística del Ciclo del Análisis de Decisiones en la resolución de un caso práctico. 20) Aplicar la Fase Probabiiística del Ciclo del Análisis de Decisiones en la resolución de un caso práctico. 21) Aplicar la Fase ínformacional dei Ciclo del Análisis de Decisiones en la resolución de un caso práctico. ESQUEMA DE CONTENIDO

10.2.

La Fase Determinística

289

-

289 292

m

10.2.1, Etapa de Modelación, . 10.2.2. Etapa de Análisis

287

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El Ciclo del Análisis de Decisiones

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10.1.

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La Fase Probabiiística

294

10.4.

10.3.1. Codificación de incertidumbre en las Variables Aleatorias. . 10.3.2. Desarrollo de Loterías de Valor 10.3.3. Estudio de la Dominancia Estocástica 10.3.4. Codificación de la Preferencia al Riesgo 10.3.5. Estudio de la Sensibilidad Estocástica 10.3.8. Estudio de la Sensibilidad al Riesgo » La Fase Inforrnacionai

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10.3.

294 296 297 298 299 300 300

10.4.1. Etapa de Análisis 10.4.2. Etapa de Modelación. ,

300 301

10.5.

Realimentación en el Ciclo de Análisis de Decisiones

301

10.6.

La Modelación

302

10.7.

introducción al Estudio de Casos

308

10.8.

Caso de Estudio "Plásticos S. A."

309

10.9.

Estudio del Caso "Plásticos S. A."

312

10.9.1. Organización de la Información del Caso 10.9.2. Aplicación del Ciclo del Análisis de Decisiones

312 315

Autoevaluación

,


.., ,

,

337 ;

345



10.Í. EL CICLO DEL ANÁLISIS DE DECISIONES Tal como dijimos en la Introducción de este Curso, la intención es la de presentar una teoría normativa de lo que un individuo normal, enfrentado con un problema de decisiones, deberá hacer para seleccionar un curso de acción que sea consistente con las convicciones y preferencias suyas o de su organización. A continuación esquematizamos una metodología o procedimiento que ha sido establecido por el "Grupo de Análisis de Decisiones" del Stanford Research Institute. Este procedimiento no es el único e inalterable camino para conducir el análisis dej¿n problema de decisiones, pero constituye una forma eficiente de asegurarse que en dicho análisis han sido considerados coherentemente los pasos esenciales del proceso previo a la toma de decisiones.

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Como se notará en el estudio del caso al final de este Módulo, dependiendo de cada situación, hay pasos del procedimiento que no será necesario llevar a cabo y el orden en el cual hay que seguir esos pasos tampoco es del todo rígido. Todo depende del problema en particular que se analiza y, por supuesto, de la experiencia del analista, la cual et ;n todo caso muy importante.

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En la figura 10-1 se esquematiza el procedimiento. Como vemor 3 trata de un ciclo constituido de tres fases esenciales más un bloque de realime. ación que cierra el ciclo.

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FASE DETERMINISTLGA

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Información Inicial

FASE PROBABILISTICA

Captación de nueva Informa ción

FASE INFORMACIONAL

FIG. 10.1 El Ciclo del Análisis de Decisiones Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

287


La primera fase, o fase determinística, comprende aquella parte del análisis destinada a la definición de las variables que intervienen en la decisión, las relaciones que entre ellas existen y el rango de valores que pueden asumir. La segunda fase o fase probabilística, contempla tanto la consideración de las probabilidades asignadas a las variables de naturaleza incierta, como la consideración de preferencia al riesgo del Decisor. La tercera fase o fase informacional, se concreta a la determinación del valor de la incertidumbre y a la evaluación de la conveniencia o no de la obtención de información adicional. Dependiendo de los resultados que arroje esta fase del análisis, podrá o no iniciarse un proceso de captación de información adicional, proceso a raíz del cual pueden producirse modificaciones, algunas veces sustanciales, en el modelo construido durante las anteriores y por lo menos la asignación de probabilidades de alguna variable, sufrirá alternaciones.

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Una vez que se ha incorporado la información recolectada, se repiten las tres fases y de nuevo se llega al punto en el cual se tomará una nueva decisión.

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Este ciclo se repetirá tantas veces como sea conveniente, dependiendo de la evaluación que se realiza en la fase tercera.

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CUADRO 10-1

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FASE DETERMINÍSTICA

Identificación de las alternativas

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(2)

Delimitación de la Decisión

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(1)

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Etapa de Modelación

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(3)

(4)

Establecimiento de los atributos que servirán para medir los resultados

Selección de las variables del sistema

(5)

Creación del modelo estructural

(6)

Creación del modelo de valor

(7)

Creación del modelo de preferencia temporal

Etapa de Análisis

(8)

288

Estudio de ia sensibilidad de los resultados a las variables del sistema



10.2, LA FAOE DETEKMiMSTÍCA La fase dsterrrnmstica ônaisñe, esencialmente, en k elaboración del diseño conceptúa!, desde ur mmo de vista de sistemas, del problema que se tiene entre manos. Esta fase ro Üe-ya a cabo en dos etapas, una de modelación y ote de análisis, En el cuadro 10.1 aparecen los pasos a seguir en cada una de ellas. Todos ssí;os pasos aapecfiSoados consiituyeu una guía de trabajo* dependiendo de cada problema en particular, podrá ser lógico seguir a otro orden, o simplemente suprimir alguno de los pasos. í0.2,1. Etapa de Modelación

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Durante la etapa de modelación se representan todas las entidades involucradas en el problema y se formalizan las relajones que existen entre ellas, sintetizando todo en un Modelo.

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En la figura 10.2 podemos observar un esquema en él cual, las variables de estado Sj (i = 1, . . . n), fuera del control del Decisor por representar a les estado-a izaturaies, junto con las variables de decisión dj (j - 1,. . . M) por él controladas, producen un resultado que para él tiene un valor ?, Las variables Sj, dj y el valor v están relacionados entre sí, según establece el modelo.

Detallamos a continuados el significado cíe cada uno de ios pasos que, según el cuadro 1.0.1, hay que seguir en esta etapa de modelación: 1. La delimitación dé la decisión es siempre el primer paso. Es importantísimo puesto que consiste en la especificación precisa de que es lo que hay que decidir. Si simplemente estomos haciendo s' sobze los yesvlfcados que se obtendrán después de un :;;:/:;;b evento, no estamos frente a un problema de decisión; tal vet lo que-tengamos es alguna preocupación. Estamos ante un problema de decisión cuando tenemos que optar por algo, cuando tenemos que comprometer algén recurso, de una u otra forma. Por ejemplo, una empresa que presta un servicio a la comunidad está ante un problema cíe decisiones cuando tiene que fijar cuál es la cüüiriad del servicio que pretende prestar y a qué precio lo ••, • :• orast-ar. S: en vz.&tto. h empresr; e.?,tá 'sineiendi: estudios *^ los equipos que usa o está pronosticando el Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

289


nivel futuro de venias, puede que esté recolectando información útil para una posterior decisión, pero no está realmente ante un problema de decisiones. Si el gerente de la empresa se está interrogando sobre las consecuencias de un posible aumento de tarifas, no está realmente ante un problema de decisiones, mientras que si debe elegir entre dejar la tarifa al nivel actual o aumentaría peí" ejemplo, sn un 35% , entonces sí está ante una decisión que, sin duda, traerá consecuencias considerables sobre el beneficio neto de la empresa al cierre del año. 2. La identificación de alternativas equivale a responder cuáles son los posibles cursos de acción, qué alternativas tiene el Decisor. Este es un paso de suma importancia, porque la omisión de una alternativa viable puede complicar o falsear la toma de decisiones. La inclusión deí mayor número de alternativas posibles conduce generalmente a mejores decisiones.

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3. Eí establecimiento de los atributos que servirán para medir los resultados que reflejan ios objetivos del Decisor constituye la forma en la cual éste elige medir la deseabilidad de tales resultados. En el problema de la aceptación que pueda tener un producto en el mercado de consumo, un atributo que mediría el éxito del negocio sería el nivel de ventas anuales, otro podría ser el beneficio neto anual. En un problema de salud pública, es algo complicado elegir estos atributos; sin embargo, ante la necesidad de hacerlo, un buen atributo podría ser, por ejemplo, el índice de mortalidad, o bien la esperanza de vida al nacer; también se puede optar por una combinación de varios atributos.

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4. La selección de las variables del Sistema constituye una tarea que, en la medida en la cual tratamos con sistemas más complejos, rnás difícil se torna. Se trata de hecho, de un proceso en el cual se eligen las variables que rigen el sistema, por lo cual, la dificultad está directamente relacionada con el número de las entidades que lo conforman. Nótese que hemos dicho "elegir" y no "determinar" las variables del sistema; esto tiene que ver con el carácter mismo de las situaciones reales de toma de decisiones, en las cuales difícilmente se trata con sistemas físicos regidos por leyes más o menos precisas, No existe una prescripción exacta acerca de la forma en la cual se deben elegir las variables del sistema; podemos sin embargo decir que, será necesario fijar la atención sobre aquellas que ejercen influencia sobre el resultado obtenido, determinando consecuentemente el valor de v; por ejemplo, en el problema de la introducción de un nuevo producto, el precio en el mercado es una variable determinante. Son importantes también la calidad del producto, la publicidad, la capacidad de la planta productora, el nivel de ingreso del público, la saturación del mercado, la red de distribución, el costo de ia materia prima, etc. En la figura 10.2 se pudo notar que las variables elegidas se dividen en dos grupos: las s¡, que son aquellas sobre las cuales el Decisoí uo tiene control alguno, o sea, las que están determinadas por el ambiente, por la naturaleza; éstas son denominadas

290



variables de estado o variables ambientales. El segundo grupo, el de las d¡ está constituido por las variables de decisión; éstos son totalmente controladas por el Decisor. En el ejemplo anterior son variables de decisión eí precio del producto, el tipo e intensidad de la campaña publicitaria y otras.

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En el proceso de selección de variables esta implícita la fijación de los valores nominales de las mismas y su rango de variación. El Decisor, o los especialistas que él designe, darán estos valores. Para las variables de decisión d Í5 estos valores representarán la percepción que a príori tiene el Decisor acerca de las distintas alternativas o cursos de acción; mientras, que para las variables de estado %, ios valores dados reflejan la inceríidumbre en ellas implícita. Aun cuantío en esta Fase Detennmística no se indague sobre la distribución de probabilidad de cada una de las variables de estado s,., se procura fijar su media o valor esperado y sus extremos (décimo y nonagésimo fractil).

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5. La Creación del Modelo estructural consiste en la especificación de todas las relaciones entre las distintas variables previamente definidas. Estas relaciones, generalmente, toman la forma de ecuaciones matemáticas y/o de sentencias lógicas y son susceptibles, casi siempre, de ser organizadas en forma de un programa de computador, lo cual es sumamente importante para efectos de cálculo,

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6. La creación del modelo de valor o modelo de valoración es prácticamente una prolongación del paso (3), o sea, una vez que el Decisor ha elegido los atributos mediante los cuales va a medir los resultados, tiene ahora que asignarles un valor, ponderarlos.

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Establecer una norma sobre cómo deben valorarse los atributos es imposible, todo depende de la situación y del Decisor. Supongamos por ejemplo, en el campo militar, el caso en el cual se desea evaluar los resultados de una acción de guerra; dependiendo del Decisor, los atributos elegidos podrían ser: Aí = Kilómetros cuadrados de terreno enemigo ocupado, A2 = número de aviones enemigos derribados, A3 = número de prisioneros capturados, A4 = rango de ios prisioneros, A5 = número de aviones derribados por el enemigo, A6 = cantidad de población civil sometida por el enemigo, A7 = número de blindados destruidos al enemigo.,, y así podríamos seguir enumerando. Crear un modelo de valor consiste en asignarle un valor relativo a esos atributos, por ejemplo, un Decisor podría evaluar el éxito de una acción mediante el parámetro:

A,

A,

A 5 - A, otro podría elegir:


291


• A2 * A 3 ' A 7 A5 • (A6)2

A5 ^ O Ô

como vernos, para el segundo Decisor es mucho más importante la propia población civil que para el primero; igualmente, le da menos importancia a las tierras ocupadas y también incluye en su modelo de valoración a los blindados, que carecen de importancia para el primer Decisor.

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A

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En un ejemplo concerniente a un proceso de selección de los aspirantes al primer semestre de una determinada carrera universitaria, podríamos mencionar ios siguientes atributos: A, - promedio de calificaciones sn los estudios medios, A2 - nivel socioeconómico del aspirante, A 3 = nivel obtenido en la prueba psicométrica, A4 = calificación obtenida en la evaluación del curso propedéutico. Un modelo de valoración posible sería: log A2

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La creación del modelo de preferencia temporal es necesaria cuando los resultados de la acción tornada no se producen en un único instante sino que están escalonados en el tiempo. La creación del modelo de .preferencia en e! tiempo consiste en elegir un mecanismo que permita conducir a un único número los valores de los distintos resultados, que se han producido en los distintos instantes de tiempo.

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En la sección 64 de la Unidad 6 se trató en forma suficientemente extensa, todo lo necesario para la, creación del modelo temporal.

10.2.2. Etapa de Análisis Una vez cumplida la etapa de Modelación se procede a efectuar un análisis cuyo objetivo es observar cómo influyen en el valor del resultado, las fluctuaciones de las distintas variables dentro de sus rangos establecidos. Este proceso se denomina análisis de sensibilidad y esencialmente consiste en fijar el valor de un grupo de variables y, modificando el valor de las restantes, observar las variaciones del valor del resultado. El análisis de sensibilidad puede efectuarse tanto sobre las variables de estado corno sobre las de decisión, sin embargo, normalmente se efectúa solamente sobre las primeras. El proceso es como sigue; se selecciona una de las variabes ^(1 = 1, . . . N) y se hace fluctuar su valor dentro del rango establecido. Para cada uno de ios valoras que toma la variable ^ se observa el valor del resultado, esto, Mayado a una gráfica, sería como indica la figura 292



Fig. 10-3

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De esta manera se puede detectar cuan importante es la incertidumbre en la variable analizada; en general se cumple que en la medida en la cual v es mayormente afectada por las fluctuaciones de s^, en la misma medida es importante codificar detalladamente la naturaleza incierta de Sj.

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Esta manera de conducir el análisis de sensibilidad, haciendo fluctuar un determinado grupo de variables habiendo fijado otras que pueden hasta ser dependientes de las ftuctuantes, es usual en el Análisis de Decisiones, pudiendo sin embargo, no tener validez en otro tipo de estudios.

v = v(r, s, t , x , y , z ) .

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En la figura 10.4 podemos observar los resultados de un hipotético estudio de sensibilidad efectuado sobre seis variables, no necesariamente independientes, que definen un modelo de valor,

2 3 4 Vaíor Nominal o media ra. 10-4 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

293


Y0 es ei valor que tc:na V cuando ?;, s, t, x,, y, z, valen respectivamente v 0 , s e , t 0 ; x 0 , y ü j 20 que es su correspondiente valor nominal o medio. Como vemos; Y es poco afectado por x y por t, mientras que las variaciones de £ y r son realmente importantes. Las variables que afectan notablemente en su fluctuación, al valor de V, se suelen denominar variables cruciales. Si sucediera que V es insensible a las fluctuaciones de s¡, entonces esta última puede considerarse fija en su valor nominal, con la consecuente simplificación del pi-oblerna.

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Es importante determinar también, para los distintos valores que toma la variable s^ cuál es k alternativa o curso de acción que es más favorable al Decisor y cuánto vale el resultado asociado a esta alternativa. En este proceso se detectarán aquellas alternativas que nunca son favorables, independientemente del valor que torne siestas alternativas se denominan dominadas y pueden ser suprimidas simplificándose e?, problema.

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El proceso expuesto se ha referido siempre a la consideración de una variable a la vez, fijando las restantes; pudiera suceder sin embargo, que un par (o un grupo más numeroso) de variables, al variar juntas produjeran iva efecto que por sí solas no causarían. El análisis de sensibilidad conjunta no es sencillo de realizar, sobre todo cuando se trata con sistemas complejos; sin embargo, en determinadas ocasiones, pudiera ser de mucKa importancia efectuarlo. De todos modos, en problemas complejos, ijada puede hacerse sin la ayuda del computador: en cada situación io que hay entonces que juzgar es cuan costoso puede resultar realizar un determinado análisis de sensibilidad, en comparación con los beneficios (simplificación del problema) que pueda traer.

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10.3. LA FASE PROBABILISTICA

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Una vez que se ha concluido la fase determinística, se tienen seleccionadas, entre el conjunto de variables de astado (s^, aquellas que el análisis de sensibilidad ha permitido calificar de cruciales. El propósito fundamental de la Fase Probabilística es hacer explícita la incertidumbre inherente a estas variables. En el cuadro 10.2 aparecen las etapas y íes pasos fundamentales a seguir en esta fase; como vemos, al igual que en la fase determinística, formalmente se contempla una etapa de modelación y otra de análisis; sin embargo, en la explicación que sigue, no nos ceñiremos rígidamente a este esquema formal, sino que, para mayor claridad en ia explicación, describiremos ios distintos pasos concatenados lógicamente, independientemente de si corresponden a Ja etapa de modelación o a la de análisis. 10.3.1. Codificación de incertidumbre en las Variables Aleatorias El primer paso que describiremos consiste en la codificación de la incertidumbre de las variables de estado {%) consideradas cruciales en la fase detecmmístiea; para ello se deben hallar las distribuciones de probabilidad de las mismas, para io cual se puede emplear la metodología de asignación descrita en la Unidad 4, del Módulo L Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


CUADRO •

FASE PRCBABILISTICA Etapa de Modelación

Codificación de la incertidumbre de las variables» de estado aleatorias

('2)

Codificación de la preferencia al riesgo

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(1 )

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Etapa de Análisis

Desarrollo de las Loterías de valor

(4)

Estudio de la dominancia estocástica

(5)

Estudio de la sensibilidad estocástica

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(6)

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(3)

Estudio de ¡a sensibilidad al riesgo

Como se recuerda, la asignación de probabilidad que se hace de cada variable, está condicionada a un estado de conocimiento o información, el cual, si lo designamos con E, la distribución de probabilidad de la variable s, queda expresada así: f (s./E). La correspondiente función de distribución acumulada se expresa como F (SÍ/E). Para fines prácticos vale la pena recordar, que, tal como describe la figura 10-5, una curva de distribución acumulada continua puede ser aproximada a una función escalera de forma que los valores correspondientes a cada tramo, puedan ser llevados a las ramas del árbol de Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

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decisión. Basta tener el cuidado de que la función escalera sea construida de modo que las áreas indicadas con el mismo número en la figura, sean aproximadamente iguales.

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Fig. 10-5

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Curva resultado de la codificación

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Es necesario también, distinguir entre el grupo de variables %, aquellas que son independientes entre sí; para éstas la distribución de probabilidad correspondiente será simple. Para el resto de las variables serán consideradas distribuciones condicionales.

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10.3.2, Desarrollo de Loterías de Valor

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Una vez que se conocen las distribuciones de las Sj, dado que de la fase determinística se conoce el modelo estructural que relaciona V con el conjunto de las s^ y las dj, es posible, para cada una de las alternativas o cursos de acción, encontrar la distribución de probabilidad de V.

En ia figura 10-6 se esquematiza lo dicho; en ella, Jes un particular valor del vector:

f(V/E)

M ODE LO

f(S /E)

6 d

296



d - {cL, d ¿ , , . . d j f . . . d M ) de variables de decisión, el cual representa una particular alternativa o curso de acción. A la función de distribución f (V/S) se le designa como Lotería de valor y representa ía probabilidad que tiene el Decisor, de obtener un resultado cuyo valor sea V. una vez que ha decidido el curso de acción d, La determinación de esta Lotería de valor, en la práctica puede conducirse mediante métodos analíticos, mediante métodos de simulación o bien construyendo un árbol de probabilidades que concatene toda? las variables aleatorias involucradas y, de esta forma, aproximadamente, deducir la distribución de la variable V.

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10.3.3. Estudio de la Dominancia Estocástica

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En principio, debería poderse disponer de una Lotería de valor para cada posible alternativa o curso de acción; sin embargo, en ios casos en los cuales estas alternativas son numerosas, conviene examinar previamente cuáles son las alternativas realmente importantes y deducir las loterías de valor sólo para ellas. Claro está, esto no es siempre sencillo de hacer.

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Una vez que para cada una de las alternativas consideradas se tienen construyas las Loterías de valor, el analista debe determinar qué curso de acción recomendar al Decisor, bajo el estado de información que hemos designado E,

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Supongamos que tenemos que decidir entre dos loterías (Al y A 2 ) como las que aparecen representadas en la figura 10-7;

P{V

Fig. 10-7 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

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E« obvio que cualquiera que sea el valor de t, tiene mayores probabilidades de ser excedido por el valor v con la alternativa A2 que con la alternativa A}. Este hecho suele denominarse como Dominancia Estocástica; en nuestro ejemplo, la alternativa A2 domina estocásticamente a la AI ,

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En la figura 10-8 se presenta un caso en el cual no hay dominancia estocástica; en éste la elección no es obvia y conviene entonces considerar la actitud ante el riesgo del Decisor, para así evaluar de nuevo las alternativas bajo ese ángulo. Hay que notar que hasta los momentos hemos supuesto un Decisor neutral al riesgo.

Fig. 10-8

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P(v

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10.3.4. Codificación de la Preferencia al Riesgo Considerar la actitud del Decisor ante el riesgo significa codificar sus preferencias al riesgo, o sea, construir su curva de utilidad, tal como fue expuesto en la Unidad 7 de este Curso. (Ver figura 10-9} Para cada una de las Loterías de valor deducidas anteriormente puede entonces determinarse un índice, que es la utilidad esperada de la Lotería de valor y que puede calcularse multiplicando la utilidad correspondiente a cada posible valor de la Lotería por la probabilidad correspondiente a ese valor y sumando para todos los posibles valores. Si un Decisor, entonces, es consistente con los axiomas de la lotería de la utilidad, debe preferir, estre todas las loterías, aquella de mayor utilidad esperada. Esta es la manera de resolver el caso en el cual no se verifica la dominancia estocástica de una alternativa sobre otra. Dado que el índice "utilidad esperada" usuaimente carece de significado directo, una. vez calculada la utilidad esperada correspondiente a una Lotería, mediante la curva de utilidad, puede determinarse qué 298



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CODIFICACIÓN CURVA DE UTILIDAD {PREFERENCIA AL KIESGÜ)

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Figura 10.3

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valor corresponde a esa utilidad esperada, Á este valor Be le denomina el Equivalente Cierto de la Lotería y, como se sabe, está expresado en las unidades del atributo que fue elegido en la fase determinística, como medida de la deseabilidad del resultado, por lo cual, obviamente, sí debe ser significativo para el Decisor.

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10.3.5. Estudio de la Sensibilidad Estocástiea

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En la fase daterrniníEtica se estudió cómo se reflejaba, sobre el valor del resultado, ía oscilación alrededor de su valor nominal de una de ias variables de estado. La sensibilidad estoeástica indica la forma en la cual varía el equivalente cierto cuando, a una de las variables de estado, se le hace tomar ios distintos valores comprendidos en su rango, permaneciendo, las restantes variables, gobernadas por sus respectivas funciones de distribución de probabilidad (condicionadas estas funciones a la variable que se estudia). A pesar de que una vez que se han comparado las distintas loterías de valor, se sabe cuál de ellas as la de mayor equivalente cierto y por ende, cuál es el curso de acción más apropiado, es necesario conducir el análisis de sensibilidad estoeástica debido a que el modelo que se ha construido, de antemano, por definición, se sabe que no es perfecto; son muchas las aproximaciones y suposiciones que se hacen para su construcción. Esto significa que si la decisión es muy sensible a las fluctuaciones de una de ias variables, por ejemplo, podrá justificarse un perfeccionamiento del modelo que representa esa variable. De la misma forma, variables que durante la fase determinística parecían tener una gran importancia, resultan msigniíicantes a raíz dei análisis de sensibilidad estüeástiea. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

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En fin, es importante señalar que en la práctica se procede así: a) Para cada valor de ía variable ^ analizada se determina el valor del "máximo equivalente*' y la alternativa o curso de acción a él (o ella) asociado (a). b) Se llevan a una gráfica estos valores y se tendrá así la sensibilidad estocástica de la variable si. Con respecto al análisis de sensibilidad estocástica conjunta, que considera más de una variable a la vez, se puede decir algo similar a lo señalado cuando nos referimos a la fase determinística, sólo que en esta ocasión la complejidad es aún mayor debido a que no nos limitamos a determinar un simple número sino una función de distribución. 1Ú.3.6. Estudio de la sensibilidad al riesgo

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Finalmente, pudiera justificarse en un determinado caso, efectuar un análisis de sensibilidad al riesgo, esto es, la determinación de cómo es afectado el valor del equivalente cierto de las alternativas más favorables, con la variación de la actitud ante el riesgo del Decisor. En este Curso no nos detendremos sobre este punto.

a.

10,4. LA FASE INFORMACIONAL

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Esta tiene por objeto estudiar si vale la pena o no llevar a cabo un proceso de captación de información adicional antes de decidir un determinado curso de acción, a fin de eliminar incertidumbres en algunas de las variables aleatorias.

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Esta fase constituye una guía mediante la cual el Decisor puede orientarse para mejorar su estado de información y consecuentemente su decisión. Es decir, mediante esta fase, se puede determinar cuál es el costo de la incertidumbre en las variables de estado que en la fase profaabilística se revelaron importantes y, de esta forma, evaluar si se está dispuesto a pagar un determinado precio para eliminar o reducir tal incertidumbre. Como usted recordará, en la Unidad 9, Módulo II, se trató extensamente el tema del valor de la información, por lo cual no nos detendremos aquí a explicar los procedimientos de cálculo para la evaluación de los distintos parámetros. En el cuadro 10-3 aparecen las distintas etapas que contemplan la fase informacional. 10.4.1. Etapa de Análisis El primer paso a seguir es la determinación del valor de la información perfecta; a este proceso se le designa como medida de la sensibilidad económica y se efectúa para cada una de las variables de estado consideradas. Si una variable muestra una alta sensibilidad económica, entonces será la primera candidata a ser explorada en cualquier programa de captación de información adicional; si en cambio, el valor de 1?. información perfecta concerniente a la variable, es bajo, puede no valer la pena hacer ninguna investigación adicional. Este es 300



CUADRO lC-3

FASETNFOBMACIONA

(1)

Medida d? la sensibilidad economice, {determinación de! valor de la eliminación de la meertidumbre en las variables aleatorias)

Etapñ do Modelación Exploración de las distintas alternativas pafa la captación de información adicional

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uno de ios motivos por los que es importante determinar el valor de la información perfecta.

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Otro motivo es el hacho de que el valor de la información perfecta es el límite máximo a pagar por cualquier información no perfecta. Obviamente, si obtener cualquier información tiene un costo mayor que el valor de la información perfecta, no tiene entonces ningún sentido adquirirla. 10.4.2, Etapa de Modelación En esta etapa el Decisor, junto con el analista, deben identificar las alternativas de captación de información que sean relevantes y ambos deberán también elegir enere realizar entrevistas, encuestas, contratar especialistas, efectuar experimentos de laboratorio, etc., seleccionando el programa que, ai menor costo, traiga mayores beneficios a la toma de decisiones. 10.5. REALIMENTACION EN EL CICLO DE ANÁLISIS DE DECISIONES Una vez que se decide llevar a cabo un determinado programa de captación de información adicional, queda entonces solamente iterar en el ciclo, para revisar de esta manera las asignaciones de probabilidad de las distintas variables aleatorias, realizadas en la fase probabilística. También es factible que con la nueva información aparezcan nuevas alternativas, o quede mejor dei;:nit?.Ú£. la decisión; en ese caso se producirán también cambios en el modelo determim'stico. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

301


De esta forma, el cielo de análisis de decisiones puede repetirse cuantas veces sea necesario obteniendo en cada iteración, un modelo más real de la situación o de decisiones, que se tiene entre manos. 10,6. MODELACIÓN Como se ha podido notar a través de las anteriores secciones, en la conducción de un análisis de decisiones se construyen sucesivamente distintos modelos, cada uno representativo dal problema en sus distintas fases de análisis. También se l>iabí:á o'; HnivzíiQ ^v ^G^FIS vaziabi-ac son j;ep<:oooEtadas por un modelo; la relación ente ks distintas variables es cambien representada por un modelo, las preferencias ante el nesgo son también representadas por un modelo y, en fin, cada vez que se efectúa una iteración en el ciclo del análisis de decisiones se logra también un modelo "más perfecto", más aproximado a la situación real que se desea representar.

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Dado que la idea de "Modelo" aparece en forma tan reiterada en este Módulo y dada también su importancia,, se ha querido, antes de entrar en la sección dedicada al "Estudio de Casos", incluir esta sección denominada "Modelación", en la cual se verán lincamientos generales útiles a la construcción de un modelo y se s&ñalazán además algunos modelos, los cuales, por la frecuencia con que aparece 9tf h ^tótka ?v3R&atai6nt6 ^ jccssiiuaván do utilidad.

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En el estudio de cualquier situación real que nos ocupe recurrimos a los modelos porque resulta mucho más económico y menos comprometedor, hacer ensayos o pruebas sobre el modelo, que sobre la situación misma. Antes de que el arquitecto decida el diseño definitivo de un determinado edificio, ha realizado un número considerable de bocetos, dibujos y hasta una maqueta, la cual le ha permitido hacerse una idea lo más aproximada posible de la realidad que le concierne. Evidentemente, si ao hiciera esto, sino que estuviera obligado a esperar la construcción del edificio ideado para tener una visión del resultado, no sería nada fácil hacer correcciones y modificaciones; es más, podría serle imposible.

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La importancia de la modelación o construcción de modelos radica en que el procedimiento de ensayo y error no es un instrumento aconsejable cuando está eo juego el éxito de uaa empresa o cuando el error es tan costoso que pueda entenderse como desastre. Cuando éste es el caso, es preferible ensayar sobre un modelo. Los modelos son una aproximación de la realidad en la cual se consideran solamente las cosas que son esenciales al objetivo perseguido. E:dtói: aisontos tipo:; de modelo; eo el cuadro 10,4 se presenta un resumen extraído del texto de Murick y Ross, reportado en la Bibliografía. Como vemos, en teoría pueden existir 3 X 3 X 2 X 2 X 2 - 7 2 tipos de modelos distintos. La maqueta de nuestro arquitecto será un modelo descriptivo, icónico, estático, determinístico y específico de la realidad, mientras que si quisiéramos construir un modelo representativo deí flujo de aviones, carga y pasajeros de un aeropuerto, seguramente t:eeumría.mos a un modelo predictivo, simbólico, dinámico, probabi'lístieo y general. Todo dependa de ío que persigamos, de lo que hayamos considerado esencial y de lo que estemos dispuestos a invertir en su construcción, ya que obviamente es aiás costoso y complicado construir un modelo probabilístico que uno rí -terminístico, uno dinámico que uno estático y así sucesivamente.

302



CUADRO 10.4 LOS MODELOS SEGÚN LA GENERALIDAD .

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Do lermi rustico^. Tara un determinado valor cíe las variables independientes hay un único valor de las variables dependientes. Ej, Los modelos de la mecánica el asi ca

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Dinámicos, Consideran
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Analógicos.. Construido con elemejitos de comportamiento análogo a los elementos reales que sustituyen Ej.: Simulación mediante una red eléctrica de! flujo de dinero en una economía

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Simbólicos. Emplean símbolos para describir la realidad. Ej.: Tocias las situaciones descritas por una ecuación matemática

Probabüuticos. Las variables involucradas pospon un carácter cstotíástico y generalmente tienen asignada una distribución de probabilidad. Ej.: Los modelos de la mecánica estadística, las modelos de colas

.a

Normativos. Recomiendan la mejor alternativa o estrategia a seguir. Ej,: Nivel de Inventario óptimo, localización óptima de plantas, etc.

Estáticos. Na consideran los cambios ocurridos ec-in eí tiempo, Ej-: Organigramas, mo délos estructurales

w

Predicíivos. Sirven para predecir; "Si ocurre esto entonces seguirá aquello", relacionan variables dependientes e independientes. Ej.: costos de producción Costo Materia Prima + Costo Mano de Obra 4Oeprociación del equipo

Icóüicos. Conservan ¡as características físicas de las cosas que representan, Ej.: algunos juguetes, planos de un aeropuerto, maqueLa de un edificio, etc.

LAINCERTIDUMBRE

w

Descriptivos Dan una imagen de una situación Ei.; organigramas, mapas, etc.

EL TIEMPO

LA ESTRUCTURA

w

LA FUNCIÓN

Ce O Co


Específicos. Se refieran a un problema particular, que forma parte de una generalidad. Ej.: El modelo de crecimiento dul sector carbonífero

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A continuación reportamos una serie de cuadros donde aparecen diversos modelos que pueden ser de utilidad a ia hora de efectuar la modelación de un sistema dado, algunos de estos cuadros han sido también tomados del libro de Murdick y Ross,

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MODELO DE COLAS REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

PRESENTACIÓN PICTÓRICA

Llegadas según Poisson. Tiempo de servicio distribuidos exponencialmente

AT

Una yola estación de servicio

X — promedio del número de llegadas por período

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[I— promedio del número de servicios completos en un período

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T ~: períodos

Promedio de longitud de la fila

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longitud de la fila

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Población

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de unidades eri -

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P [ n llegadas en T ] :

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Encontrar la longitud promedio de una cola o fila de espera y el tiem tiempo medio de espera de una unidad en la cola

NOMENCLATURA DE LAS VARIABLES

w

OBJETIVO


Período promedio de espera de una - 1 (//- X) unidad en el sistema


05

Í MODELO DE FLUJO GRÁFICO

m

NOMENCLATURA DE LAS VARIABLES

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

co

REPRESENTACIÓN PICTÓRICA

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fo

Variables independientes: É — Beneficio de la inversión

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C — Inversión fija

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Variable dependiente.

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i — Inversión

w

Relacionar recíprocamen" te las variables en una situación compleja y derivar una expresión matemática para las variables dependiente

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OBJETIVO


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K - costo del mantenimiento de existencias

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tamaño del pedido

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REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

REPRESENTACIÓN PICTÓRICA

8 — costos de pedidos

ro

Encontrar el ordon económico Cantidad por intercambio de costos de existencia y de pedidos, a fin de aminorar el costo del sistema

NOMENCLATURA PARA LAS VARIABLES PERTINENTE

fo

OBJETIVO

1_) — . demanda anual eslimada

na

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tiempo

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tu

TC — costo total de! sistema

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Costo

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para el costo mínimo


10.7. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE CASOS Para ilustrar la aplicación del Ciclo de Análisis de Decisiones a un problema de decisiones, utilizamos el estudio de un caso. Para la solución del mismo, el analista deberá seguir todas las fases del ciclo del Análisis de Decisiones y arribar a una recomendación específica sobre la decisión óptima para el Decisor. Antes de proceder a la aplicación directa del Ciclo del Análisis de Decisiones, es conveniente explicar al estudiante qué es un estudio de casos y qué características presenta.

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El objetivo del estudio de casos es facilitar la comprensión del estudiante, mostrándole cómo se presentan ios problemas de decisión en la realidad. Un caso es una descripción de hechos, circunstancias, condiciones v prácticas, las cuales caracterizan ei problema de decisión y el medio en que éste ocurre. Un caso difiere de un problema en que, generalmente, el caso contiene más de un problema, algunos de los cuales son evidentes y los otros tendrá que identificarlos el analista. Otra de las características de los casos es la verosimilitud de la situación que describe. Puesto que un caso es un intento de reconstruir un problema de la vida real, la redacción del material está hecha de tai manera, que requiere la reorganización de la información y la interpretación de los hechos, incluyendo la evaluación de las opiniones expresadas en él.

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a.

Mucha de la información suministrada puede ser relevante a la solución del caso, pero algunos datos podrían no serlo. La intención, como se ha dicho, es simular la vida real donde ios problemas no se presentan lógicamente estructurados y organizados. Los casos, generalmente, a diferencia de tos problemas, no plantean directamente la pregunta cuya respuesta se desea. El caso sugiere cuál es el problema, aunque no necesariamente hace preguntas. Los casos de estudios en general no tienen una única solución, sino que dependiendo del enfoque adoptado pueden tener más de una. En nuestro caso las suposiciones y razonamientos que haga el estudiante y la correcta aplicación de la metodología del Análisis de Decisiones, son más importantes que la solución misma. Con el fin de aprovechar al máximo el estudio de casos, se sugiere seguir los pasos siguientes:

PASOS PARA ESTUDIO DE CASOS 1.

Una primera lectura rápida del caso completo.

2.

Una segunda lectura, más lenta y subrayando párrafo por párrafo la información considerada relevante.

3.

Organizar dicha información, revisando el material subrayado.

4.

Aplicar ia metodología del Análisis de Decisiones, empezando por la fase determmística, continuando con la probabilística y luego la informacional.

Los casos para estudio utilizados en este texto son adaptaciones de los publicados por Harvard Business School, Cambridge, Mass. USA. El caso "Plásticos 5. A." es una modificación del caso "Brunswick Corporation" y el caso "Fertilizantes C. A." es adaptación del caso "Fertüizers, Inc." 308



10.8. CASO PLÁSTICOS S. A. A finales del mes de abril, Juan Gómez, Gerente de Mercadeo de Plásticos S, A., estaba tratando de establecer cuántas unidades de patinetas debería ordenar producir a la planta, con miras a cubir la demanda de fin de año. Las patinetas eran un nuevo producto que Plásticos S. A. había introducido al mercado el año anterior y debido a las dificultades de predicción de las ventas, la producción resultó insuficiente para satisfacer la demanda. El Sr. Gómez estaba ansioso de no incurrir en la misma situación este año y al mismo tiempo no deseaba excederse en el volumen del lote a. producir, a fin de evitar quedarse con mercancía sin vender.

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Las patinetas que fabrica Plásticos S. A. se destinan al mercado infantil y juvenil y están constituidas por una plancha de material plástico con cuatro ruedas del mismo material. El usuario se coloca encima y se impulsa con un pie, hasta adquirir velocidad; así, que el manejo de la patineta es sumamente fácil de aprender.

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Las patinetas se fabrican en dos modelos: de lujo y regular. Ambos tienen la misma estructura y materiales, diferenciándose sólo en la decoración y colores empleados. El modelo regular es unicolor, mientras que el de lujo combina diferentes colores, incluyendo las ruedas.

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El producto se fabrica bajo licencia del fabricante norteamericano, quien mantiene la patente sobre el diseño.

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El contrato de licencia prevé el pago de una suma por el derecho a fabricación, más un porcentaje sobre el monto de las ventas.

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El primer año de venta el producto fue promocionado como un juego infantil; sin embargo, las patinetas resultaron tener una gran aceptación entre los adolescentes, factor que nq había sido previsto adecuadamente, siendo ésta la razón por la cual el Gerente de Mercadeo estimaba que se habían quedado cortos en la previsión de la demanda. El número total de patinetas vendidas durante el primer año fue de 35.000 unidades, de las cuales el 60% correspondía al modelo lujoso. En base a la experiencia del año anterior, el Gerente de Mercadeo estaba convencido de las excelentes perspectivas para las ventas del corriente año pero, aún así. tanto él como José González, Gerente de Producción, se sentían inseguros acerca de cuál sería la demanda real del mercado y qué fracción de éste correspondería a cada modelo. De lo que sí estaban seguros era de que a fin de maximizar la rentabilidad el lote debería calcularse de manera cuidadosa. La Gerencia de Producción requería, por razones operativas, que la orden de producción estuviese lista para la segunda semana de mayo, así que la decisión habría que tomarla pronto. Como un primer paso para determinar el volumen del lote a producir, los gerentes decidieron revisar las estructuras de costos para los dos modelos. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

309


La maquinaria de producción existente, adquirida a un costo de Bs. 500.000, funcionaba satisfactoriamente y tenía una capacidad de producción de un total de 150.000 patinetas por año, de cualquier clase de modelos. Sin embargo, si la producción aumentara a un nivel entre 150.000 y 200. unidades, se requeriría una inversión adicional de Bs. 150. Para aumentar la producción por encima dé las 200.000 unidades anuales, se requeriría de Bs. 550.000 en adición a los Bs. 150.000 ya mencionados. Para realizar cálculos de costos, Plásticos S. A. acostumbraba amortizar completamente las maquinarias en el año en que se las adquiría. La Gerencia de Mercadeo planeaba vender las patinetas a los siguientes pre-

Bs. 55

Modelo Regular:

Bs. 43

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ielo de Lujo:

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:ios:

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Los costos directos de los modelos eran estimados en Bs. 25 para el modelo regular y Bs. 32 para el de lujo.

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En adición a los costos directos, se estimaba que el 9% del margen bruto {para ambos modelos) se requería para gastos de ventas y licencia, mientras que un 3% adicional se requeriría para promoción y publicidad.

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Habiendo revisado los costos involucrados, los gerentes dirigieron su atención al problema de la demanda, independientemente de la incertidumbre acerca del número de unidades a producir, ellos descartaban la posibilidad de competencia por parte de otro fabricante. Adicionalmente, dándose cuenta de que las patinetas constituían una novedad y una moda, concluyeron que la demanda debería comportarse de manera similar a la de tantos otros productos que surgen y se imponen hasta que el público se cansa de ellos, y, por lo tanto, la demanda desciende bruscamente. Debido a la extrema incertidumbre acerca de estos factores, se decidió concentrar el análisis en un solo año. Consultado el vendedor "estrella" de la compañía, estimó que la demanda media podría estar alrededor de 150.000 unidades, pero que con certeza no bajaría de 50.000 y que de ser muy alta, no sobrepasaría las 300.000 unidades. También indicó que había 1 posibilidad en 4 de que la demanda sería al menos de 190.000 unidades y 3 posibilidades en 4 de que sería al menos de 125.000 unidades. A fin de determinar la cantidad de unidades a ordenar de cada modelo, los gerentes resolvieron que deberían estimar qué porcentaje de la demanda correspondía a cada modelo. Después de la discusión correspondiente, se pusieron de acuerdo en que el porcentaje de la demanda correspondiente a cada modelo era independiente del nivel de la demanda total. El razonamiento que se hizo para llegar a esta conclusión fue que el comprador se decidirá por un modelo en particular, básicamente por su propio gusto y por las características y tal decisión no estará influida de manera alguna por el número total de unidades vendidas. Continuando la discusión convinieron en que el modelo de lujo podría absorber, probablemente, el 40 % de la demanda total, aunque podría elevarse hasta un 60 % , sin embargo, *n ningún caso creían que podría bajar del 30 %. Adicionalmente coin-

310



cídieron en que habría un 75 %de posibilidades de que el porcentaje del mercado para la de lujo fuese 45 % y un 25 % de que el modelo de lujo absorbiese el 36 % de ia demanda total de patinetas. En estas condiciones los gerentes consideraron que ya disponían de la información básica necesaria para conducir el análisis, y establecer la estrategia óptima. El presidente de Plásticos 8, A,, Alberto Ramos, le ha contratado a usted a fin de que ayude en el análisis de la decisión-problema. En la reunión sostenida para discutir -a! asunto en cuestión, el Sr, Ramos le entrega a usted, en adición a toda ia información anterior, un sumario de las recomendaciones y sugerencias que le han hecho los gerentes de Plásticos S. A. involucrados en el problema, así como la sugerencia de la presidencia misma. PLÁSTICOS S. A.

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Caracas, 27 de Abril de 198 Asunto: Producción de Patinetas

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SUMARIO DE SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES

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Gerencia de Mercadeo

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La Gerencia de Mercadeo estima que el lote debe ser de 225,000 unidades, de las cuales 130.000 deben ser regulares y 95.000 de lujo

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Gerencia de Pro-ducción

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La gerencia de Producción recomienda una producción de 150.000 unidades, de las cuales 70.000 sean de lujo y 80.000 regulares

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Presidencia

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La Presidencia considera acertada una producción de 200.000 unidades (85.000 de lujo y 115.000 regulares), peus este volumen podría resultar en excelentes beneficios sin incurrir en una inversión mu,y elevada en maquinaria

Para asegurarse que la decisión que se tome sea la correcta, el presidente desea que las posibilidades o recomendaciones contenidas en el sumario sean analizadas exhaustivamente. En respuesta a preguntas que usted Le ha formulado en relación a la actitud ante el riesgo de Plásticos S. A., el presidente le señala que la compañía siempre evita incurrir en riesgos innecesarios y que, por supuesto, procura los mayores beneficios. Ademas declara que es indiferente enire: a) Participar o no en una Lotería equiprobable de ganar Bs. 4.000.000 y perder Bs. 3,000.000. b) Recibir Bs, 1,250.000 con certeza o participar en una Lotería equiprobable de ganar Bs. 4.000.000 y no ganar nada. c) Recibir Bs. 2.000.000 o participar en una Lotería equiprobable de ganar Bs. 4.000.000 y ganar Bs. 1.250, d) Perder Bs. 300.000 con certeza o participar en una Lotería equiprobable Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

311


de ganar Bs. 1.250.000 y perder Bs. 300.000. 10.9. ESTUDIO DEL CASO: "PLÁSTICOS S. A." 10.9.L Organización de la Información del Caso La información considerada relevante se puede resumir de la manera siguiente: TABLA 1

A) PRECIOS Y COSTOS DE PRODUCCIÓN

MODELO REGULAR -i 3

Costos Variables

(Bs)

25

Costos Promoción y Publicidad

(Bs,

Cosíos Totales

(Bs¡

55

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(Bsj

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Precio

MODELO LUJO

2,8

21,2

34,8

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2,2

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32

TABLA 2

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B)

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COSTOS DE MAQUINARIAS

COSTO (Bs.)

150.000

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PRODUCCIÓN (n)

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n <

150.000 < n < 200.000

150.000

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TOO. 000

200.000

C) Codificación de ías Curvas de Distribución de ía demanda y de la fracción (porcentaje) de la demanda correspondiente a patinetas de lujo. — Demanda (d) La información suministrada señala que; — La demanda media sería de 150.000 unidades. — El valor rnás bajo de la demanda sería de 50.000 unidades. — El valor más alto de la demanda sería de 300.000 unidades. 312



Habría 1 posibilidad en 4 de que la demanda sea de al menos de 190.000 unidades. Habría 3 posibilidades en 4 de que la demanda sea de al menos de 125,000 unidades.

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a.

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om

La anterior información genera cinco (5) puntos de la curva de" distribución de ía demanda total, a partir de los cuales se puede dibujar dicha curva. La misma se muestra en la figura No. 3,

50

150

TOO

250

Curva de Distribución de la demanda total

300

Demanda (d) en miles de unidades Figura. 3

— Fracción o porcentaje de la demanda correspondiente al modelo de lujo (v). La información disponible indica: — Modelo de lujo absorbería el 40% de la demanda total. —

Eí valor más elevado de v podría ser hasta el 60 %. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

313


— El valor más elevado de v podría ser 30 %, — Se le asignó un 75% de probabilidad de que el porcentaje de mercado fuese 45%, — Se asignó un 25% de probabilidad de que el pocentaje del mercado fuese 36%. La anterior información genera cinco puntos de la curva de distribución acumulativa de v. La curva obtenida se muestra en la figura No.4.

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40

45

Distribución Acumulativa de v.

50 55 Porcentaje de patinetas de lu.fti v (% ,i

Fig. 4

Rangos de variación de las variables, Rango = (Valor mínimo, Valor medio, Valor máximo) Demanda total de patinetas (d). (De la figura 3) d = (100,150,230). Porcentaje de la demanda correspondiente al modelo de lujo (v).

314


60


(De la figura 4) v = (0,33; 0,40; 0.52) Estos valores corresponden a los fractiles 0,10; 0,50 y 0.90 de las respectivas curvas de distribución. 10.9.2. Aplicación del Ciclo del Análisis de Decisiones 10.9.2.1. Fase Determinístiea Etapa de Modelación; A)

Delimitación de la Decisión

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Las decisiones a tomar son dos:

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- Tamaño del lote de producción. (Cuántas unidades de patinetas fabricar).

a.

m

Discriminación del lote de producción. (Número de patinetas de lujo y número de patinetas regulares).

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B) Alternativas

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Alternativa I : Producir 225,000 patinetas (95.000 de lujo y 130.000 regulares).

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Alternativa II

Producir 150.000 patinetas (70.000 de lujo y 80.000 pregulares).

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Alternativa IÍÍ: Producir 200.000 patinetas (85.000 de lujo y 115.000 regulares).

C)

Atributos El atributo escogido es el Beneficio Económico Neto.

D)

Variables del Sistema Variables de Decisión: Número total de patinetas a producir — Porcentaje, del número total de patinetas, correspondientes al modelo de lujo.

(n)

(1)

En base a estas dos variables se puede derivar: — Número de patinetas de lujo a producir siendo x - 1 n


(x)

315


- Número de patinetas regulares a producir siendo y = n — x

(y)

Variables de Estado: - Demanda total de patinetas

(d)

Porcentaje de la demanda correspondiente al modelo de lujo

(v)

Modelo Estructural

fo ro

s. c

E)

om

Nótese que la información suministrada por el caso indica ciara y explícitamente que las variables de estado d y v son independientes, lo cual permitirá determinar las distribuciones de probabilidad de la demanda de unidades de lujo y regulares,

VALOR

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ÁRBOL DE DECISIÓN

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dm

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t£ h. 1

El primer nodo describe la decisión a realizar al escoger n (número total de unidades a producir) y 1 (el porcentaje de las patinetas correspondientes a modelo de lujo). El segundo describe la ineertidumbre o distribución de probabilidad de d (demanda total de patinetas). El tercer nodo describe la ineertidumbre o distribución de probabilidad del porcentaje de la demanda correspondiente a patinetas de lujo. El valor se expresa como Beneficio Neto (B) el cual es una función de n, 1, d y v. La decisión se plantea en términos de escoger n y 1, de tal manera que el valor esperado del Beneficio Neto (B) con respecto a d y v sea máximo.

316



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El texto del caso establece claramente cuáles son las alternativas que se desean analizar, por lo tanto el árbol de decisión se puede simplificar de la manera siguiente, discretizando el nodo de decisión:

F)

Modelo de Valoración. El Beneficio Neto (B) se calculará como: Beneficio Neto = Ingresos — Costos B = 1PL V L + P R V R ] - [ CL V'L+ (iV R + C (I1) ] donde: P L = Precio de venta de patinetas de lujo. PR = Precio de venta de patinetas regulares. V L - Volumen de ventas de patinetas de lujo. V R = Volumen de ventas de patinetas regulares. V L = Volumen de patinetas de lujo producidas. V R = Volumen de patinetas regulares producidas. C L ~ Costos totales de patinetas de lujo. C R = Costos totales de patinetas regulares.


317


C (r) - Costo de maquinarias. Los precios de venta ?r y P RR son fijos y el estudio no considera su variación. Los volúmenes de ventas V L y V R se estiman como; VL = Mínimo (producción de patinetas de lujo, demanda de patinetas de lujo). VR = Mínimo (producción de regulares, demanda de regu-

om

El volumen de patinetas de lujo y regulares producidas son variables de decisión del problema, mientras que la demanda de patinetas de lujo y regulares son variables de estado.

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Los costos totales C L y C R se obtienen de la tabla No. 1 "Precios y Cosíos Totales".

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a.

m

El costo de maquinarias C ( n ) es una función discontinua del número total de unidades a producir y se obtiene de la tabla No. 2 "Cosíos de Maquinarias''.

n < 150.000

150.000

si

150.000 < n < 200.00

700.000

si

yc

on t

si

n > 200.000

w w

w

.a

dm

Cfn > =

El caso indica claramente que los costos de maquinarias se amortizan en el año en que se adquiere la maquinaria; por lo tanto, el costo de la maquinaria existente, Bs. 500.000, ya fue amortizado el año anterior y por consiguiente no debe aparecer en el análisis.

G)

Modelo de Preferencia Temporal La información suministrada señala que el problema se analizará para un año solamente y por lo tanto no se requiere la elaboración de un modelo de preferencia temporal.

Etapa de Análisis H)

318

Sensibilidad de las variables de estado



Procedimiento Para cada una de las variables de estado se establecen los valores máximo, medio y mínimo, es decir, un rango de variación.

om

Para establecer la sensibilidad de una determinada variable de estado, se fijan el resto de las variables de estado en su valor promedio y se modifica la variable cuya sensibilidad se va a analizar en todo su rango (valores máximos y mínimos). Esto nos permite determinar si la decisión cambia al modificarse la variable en todo su rango. Si la decisión se mantiene, diremos que la decisión no es sensible a cambios en la variable y en ese caso fijaremos el valor de la variable en su valor medio.

s. c

Sensibilidad de la variable de estado Demanda (d)

fo ro

Rango de variación d = (100,150,230)

m

\"mín, *-%ied, U m a x J

un

a.

Fijemos entonces v en su valor promedio,

on t

v = 0,4

w w

w

.a

dm

yc

Construyamos el árbol correspondiente.


319

j


Calculemos ahora el Beneficio para cada una de las alternativas, suponiendo que se producen las diferentes demandas, Si d = 100 X 103 entonces B, - 60 X 15, 8 + 40 X 20, 2 -- 70 X 27, 2 - 55 X X 3,48 ~ 700 = El = -2762,0 miles de Bs. B if - 60 X 15, 8 + 40 X 20, 2 - 20 X 27, 2 - 30 X X 84, 8 = 168 Bn = 168 miles de Bs,

s. c

BIII ~ ~ 1456 miles de Bs.

om

B I U = 6 0 X 15, 8 + 40 X 2 Q , 2 - 5 5 X 2 7 , 2 - 4 5 X X 34,8-150 =

a.

m

fo ro

Como se observa de estos valores, en el caso de que d = 100 X 1G3, tendremos que la mejor decisión corresponde a la Alternativa II (80,70) (reg. luj).

un

Analicemos ahora.d = 230 X 103

yc

on t

B, - 130 X 15, 8 + 95 X 20, 2 - 700 = 3273 miles de Bs.

dm

B,,= 3 0 X 15,8 + 70 X 20, 2 = 2678 miles de Bs.

w w

w

.a

Bm = 115 X 15, 8 + 85 X 20, 2 - 150 - 3384 miles deBs.

Como se observa B, u > Bj > Bn entonces para d = = 230 X a 103 la Alternativa III es la adecuada. Estos resultados los podemos resumir en el siguiente cuadro.

d X 103

100

230

320

BI

BU

B ni

- 2762

3273

-1456

2678

/


3384

j


Como se observa, al variar la demanda entre su posible rango de valores se tiene un cambio de decisión, diferentes alternativas óptimas, es decir la demanda es una variable crucial. Sensibilidad de la variable de estado Porcentaje demanda patinetas de lujo (v). Rango de variación V - (0;33; 0,4; 0,52) demanda en valor promedio d = 150 X 103

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Construyamos el árbol correspondiente.

,'i v™ 0,33, entonces Í00.50

100,50

100,50


321


B ; - 100 X15, 8+50X20, 2-30X27, 2-45 X X 34, 8-700 = B¡ = -492 miles de Bs.

B¡, « SO X 15, 8 + 50 X2G, 2 - 2 0 X34, 8- 1578 B u - 1578 miles de Bs. BIU -100 X15, 8+50 X20,2-15X27,2-35 X X34, 8-150 = B IU = 814 mués de Bs.

om

Como puede observarse: B,, > B 7? . >B T para v - 0,33, S.S :

s. c

I i

fo ro

Si v = 0,52 y analizando el árbol en forma análoga ai anterior tendremos:

m

B! = — 134 miles de Bs,

un

a.

B n = + 2248 miles de Bs,

on t

B in = 1324 miles de Bs.

yc

por lo tanto

w w

w

.a

dm

B n > B m > B T p a x a v - 0,52

V

Resumiendo : (miles de Bs.)

B,

BU

B ni

0,33

-492

Q578)

814

0,52

- 134

(224^

1324

1

Se observa que la decisión no es sensible a los cambios en la variable v por lo tanto v no es una variable de estado crudal.

322



CONCLUSIÓN DEL ANÁLISIS DETERMINISTICO

RESULTADO ANÁLISIS

NUEVO ÁRBOL

o

Q EH

d

Variable estado Crucial

Variable Aleatoria

V

Variable estado no crucial

Colocar en Valor Nominal

S

2

O

11

*

on t

un

VARIAB

r

w w

Nuevo Árbol

w

.a

1

dm

yc

III '

No se eliminan alternativas

a.

No hay alternativa Completamente dominante para todo rango de variación de las variables de estado

ce

m

I

fo ro

s. c

om

^ 5

ÁRBOL DECISIÓN

VALOR


323


10.9.2.3. Fase Probabüística Etapa de Modelación: Codificación de incertidumbre en variables aleatorias Al final de la fase determinística se concluyó que la única variable de estado crucial era la demanda (d), por lo tanto únicamente consideramos la incertidumbre en esa variable.

om

Para codificar la incertidumbre debemos derivar la curva de distribución de la demanda (d) lo cual hemos realizado en el punto C del apartado "Organización de la información del caso" (10.9.1).

1/4

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

Mediante el gráfico No, 3 (Curva Distribución de la Demanda) y utilizando los conceptos sobre discretización de curvas, podemos obtener los siguientes resultados.

324



Discretización de la Distribución de la Demanda

A\a

15

om

J5«

fo ro

s. c

O

100

250

300

10" X Demanda (d)

yc

on t

un

50

a.

m

1/4

dm

Procedimiento para discretización de la Curva Se divide la abscisa en tres regiones:

—

Cuartil inferior Intercuartil Cuartil superior

(2)

w

w w

—

.a

(1)

Se determina el valor promedio haciendo coincidir las áreas de los triángulos así formados. V A L O R PROMEDIO

PROBABILIDAD 1/4

1/2 1/4

(3) Con estos valores se obtiene la distribución aproximada discreta, es decir,



100 1/4

150

230

Cantida.des en miles de patinetas.

s. c

om

Nota:

fo ro

Codificación de la Preferencia al riesgo

4.000.000

dm

yc

on t

un

a.

m

De la información suministrada por el presidente de la compañía podemos inferir la preferencia al riesgo de la misma, siendo las loterías correspondientes:

w w

w

.a

1.250.000

•4.000.000

2.000.000

1.250.000



1.250,000

1/2 3.000.000

s. c

om

4 000.000

fo ro

- 3.000.000

un

a.

m

Utilizando estos valores se codifica la curva de utilidad (preferencia al riesgo).

on t

Procedimiento

yc

Se asignan valores de utilidad a los valores extremos:

.a

dm

u (4.000.000)= 1 u (0) - O

w w

w

tomando como referencia estos valores de utilidad obtendremos puntos sobre la curva. 1 1 u (1. 250.000) - - - u (4.000 .000} + — u (0) ^

u (1.250. 000)- — de igual forma 1 1 ui (2.000.000) --u (400.000) + y u (125.000)

u (2.000.000) =

1

1

3

u (-300.000) - ~ u (1.250.000) + -i- u (3.000.000) ¿j

u ( 300.000)

2

¿i

2

2

X 1


327


TAmbién de

om

4.000.000

s. c

~ u (4.000.000) +— u (-3.000.000) - O 2 2

fo ro

Por lo tanto

m

u (-3.000.000) = - u (4.000.000)

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

u (-3.000.000)=-!

C U R V A Db! U T I L I D A D

CODIFICACIÓN DE LA CURVA DE UTILIDAD (Preferencia al riesgo)

328



Etapa de Análisis Desarrollo de las Loterías de Valor Procedimiento Se establece para cada una de las alternativas con qué probabilidad se obtienen los posibles beneficios para cada uno de los diferentes valores de la variable de estado, aleatoria o crucial (d). Debemos calcular el valor del Beneficio Neto (B) correspondiente a cada valor de probabilidad. De acuerdo con esto, para la Alternativa I tendremos lo siguiente:

fo ro

s. c

om

Alternati a I

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Demanda 100.000

en cuyo caso se obtendrá: B = 60 X 4 3 +40 X 55-130 X 2 7 , 2 -95X 34,8-700 = — 2.768 miles de bolívares.


329


es decir, que con probabilidad de 0,25 (p = 1/4), se obtendrá una pérdida de 2,768 miles de Bs. Para esta misma Alternativa I se tendrá B = 9 0 X 4 3 + 6 0 X 5 5 - 1 3 0 X 2 7 , 2 -95 X34,8-700 = = - 372 miles de Bs. es decir, que con una probabilidad de 0,5 (p = drá una pérdida de 372 miles de Bs.

) se obten-

Y por último con una probabilidad de 0,25 (p - 1/4) se obtendrá:

B = 130 X43+92 X 55-130X27, 2 - 9 5 X 34,8-700 =

om

= 3.108 miles de Bs.

un

a.

m

fo ro

s. c

Resumiendo tendremos:

on t

LOTERÍA DE VALOR

I

BENEFICIO (miles de Bs. ) 2768

w w

w

.a

dm

yc

ALTERNATIVA

168

- 1456

Procediendo de forma similar, podemos establecer la distribución de probabilidad del beneficio para las alternativas II y III. El resumen de resultados se indica a continuación:



168

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

2128

iie mpre a va ¡siempre domina

minarse la alternati-

UtilMimch ¡os resultados obtenidos j/ des&irollar las loterías de va¡or« tendremos Ja simiente i&hfa resumen: Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com331


p

BU

BI

BIII

-2768

168

- 1456

i/2

- 372

2128

934

1/4

3108

2678

3384

fo ro

s. c

om

1/4

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Con estos valores procederemos a construir la función de densidad para las diferentes alternativas.

B (mBs)

F U N C I Ó N DE DENSIDAD.

332



om

De igual forma podemos granear la distribución acumulativa de las funciones de densidad.

fo ro

FUNCIÓN ACUMULATIVA DEL BENEFICIO

s. c

3(mBs)

a.

m

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS DE DOMINANCIA ESTGCAfíTICA

yc

on t

un

(1) No hay dominancia estocástica entre II y I y II y III.

w w

w

.a

dm

Por lo tanto, dado que la Alternativa i nunca supera a la Alternativa III, ésa (I) puede ser eliminada del análisis y en consecuencia, k comparación de alternativas se hará entre Nuevo Árbol

ÁRBOL DECISIÓN

VALOR


383


Sensibilidad Estocástica Del análisis anterior se concluyó que las alternativas II y III no tenían ninguna dominancia estocástica; por lo tanto, para establecer cuál resultará la decisión más favorable, es necesario determinar, utilizando la curva de utilidad del Decisor, cuál será el equivalente cierto para cada una de las alternativas. La decisión nías favorable resultará ser aquella que maximice el equivalente cierto. Para el caso de este ejemplo tendremos el siguiente árbol: Beneficio
Utilidad (x) 0,1

2128

0,76

om

1/4

0,86

-1456

-0,82

934

0,33

3384

0,96

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

2678

yc

Por lo tanto

0,1 +—X 0,76+-XO,86 = 0,62 2 4

u (EC IH ) = -yX (-0,82) +y X 0,33 + y 0,96-0,2

w w

w

.a

dm

u ( E C n ) = —X 4

en este caso u(EC u ) > u(EC i n ) por lo tanto la Alternativa II proporcionará al Decisor una mayor utilidad y en este caso la decisión deberá ser producir un total de 150.000 patinetas, 80.000 del tipo regular y 70.000 de lujo. Fase Informacional Valor de la Información Supongamos que el presidente de la compañía Plásticos S. A. quiere contratar una empresa de mercadeo que le proporcione mayor información sobre la demanda real de patinetas. ¿Cuál sería la cantidad máxima que él debería pagar por información adicional?

334



Para resolver esto se procede de forma análoga a lo indicado en la Unidad 9, del Módulo II. El árbol que hay que calcular será:

Beneficio

u- 1 (máx)

168-K

II

2128-K

U

3384-K

III

om

1/4

Alternativa

fo ro

s. c

siendo k la cantidad que estaremos dispuestos a pagar por la información. Nota: Unidades expresadas en miles de Bs.

on t

un

a.

m

Para calcular k se parte de la consideración de que la utilidad que obtendremos con el árbol indicado sea al menos igual a la utilidad sin obtener ningún tipo de información, es decir:

.a

dm

yc

u (máx) < -j- u (168-k) + -s-u (2128-k) + T u (3384-k)

w

u ( m á x ) = 0,62

w w

por lo tanto

0,62- -i u(168-k)+-i- u (2128-k) + ~ u (3384-k)

para calcular k debemos proceder por tanteo, utilizando la curva de utilidad.

Si k-100 - 1 x O +lx 0,73 + j 0,92 - 0,6 Si k - 5 0 -jX 0,08+ y X 0 , 7 5 + — X 0,92-0,63 >r lo tanto 50 < k < 100

335



Hagamos un nuevo tanteo para k - 70 obtendremos entonces ~ X 0,04 + j x 0,74 + j- X 094, - 0,62

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Por lo tanto, el presidente de Plásticos S. A. lo máximo que puede pagar por una investigación de mercado serían Bs. 70.000,



INSTRUCCIONES Para el caso propuesto, usted deberá aplicar la metodología del Ciclo del Análisis de Dscisiones y conduir con una recomendación para el Decisor. Específicamente se solicita que usted realice lo siguiente:

om

Fase Deierminístiea:

(B) Identifique las alternativas,

a.

m

(C) Establezca los atributos para valorar los resultados,

fo ro

s. c

(A) Delimite la decisión.

un

(D) Establezca las variables de decisión y las variables de estado,

dm

yc

(F) Desarroííe el Modelo de Valoración,

on t

(E) Desarrcíle un modelo estructural en forma de árbol de decisión,

.a

(G) Desarrolle el Modelo de Preferencia Temporal.

w w

w

•(H) Determine las variables de estado aleatorias o cruciales, luego elimine las alternativas dominadas determinísticamente y simplifique el árbol de decisión. Fase ProbabiHstica: (í)

Codifique las curvas de distribución de probabilidad de las variables de estado, cruciales o sensibles, y discretice dichas curvas.

(J)

Desarrolle las loterías de valor.

(K) Estudie la dominancia estocástica y elimine las alternativas dominadas estocásticamente. (3)

Codifique la preferencia al riesgo y obtenga la Curva de Utilidad.

(M) Determine el equivalente cierto de la alternativa óptima. Fase Informacionah (N) Determine el valor de la Mcrniaeíón Perfecta en las variables sensibles. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

337


CASO DE ESTUDIO: "FERTILIZANTES C. A." Fertilizantes C, A. es una compañía que se dedica a la producción de fertilizantes sintéticos de base nítrica. La división de mercadeo de la compañía, en base a un estudio de tendencias de!, mercado, ha realizado una proyección que indica que la demanda de fertilizantes de nitratos se va a expandir después de varios años de crecimiento lento. Los fertilizantes de nitrato son utilizados por íos agricultores para enriquecer el nitrógeno natural del suelo. Los dos fertilizantes de base nítrica más comunes son el nitrato de amonio y el sulfato de amonio. El nitrato de amonio (NH 4 NO 3 ) y el sulfato de amonio (NH 4 ) 2 S04 son sintetizados por medio de procesos muy similares.

om

El nitrato se obtiene combinando amoníaco (NH 3 ) con ácido nítrico (HN0 3 ) mientras que eí sulfato se obtiene tratando amoníaco ( N H 3 ) en ácido sulfúrico (H 2 S0 4 ).

fo ro

s. c

El amoniaco y el ácido nítrico se obtienen utilizando materiales químicos fácilmente disponibles (agua, oxígeno y nitrógeno) y grandes cantidades de energía (gas natural).

a.

m

El cicío de producción es como se explica a continuación:

on t

un

1) Se hace pasar vapor de agua a 650° sobre hierro pulverizado para producir hidrógeno ( H 2 ) .

dm

yc

2) Eí hidrógeno así obtenido se combina con nitrógeno a elevadas temperaturas (400° C ~ 500° C) y elevadas presiones, para formar amoníaco.

.a

3) Finalmente se oxida el amoníaco a 300° C para formar ácido nítrico.

w w

w

En contraste, la producción de ácido sulfúrico requiere cantidades muy pequeñas de energía, EÍ proceso consiste en quema)' azufre (S) y disolverlo en agua para formar ácido sulfúrico El diagrama de flujo del proceso completo se muestra a continuación: C "aior

NO

HNO-,

N H 4 ) 2 S04 Diagrama df Flujo del Proceso Gráfica No. 1

338



El directorio de Fertilizantes C. A. enfrenta un momento de decisiones cruciales: ¿deberá la compañía construir una nueva planta, la cual tendrá una capacidad anual de producción de 160.000 toneladas? y si es así, ¿deberá la nueva planta producir nitrato de amonio y sulfato de amonio? Cada compuesto posee ventajas. El nitrato de amonio es un fertilizante de mayor calidad, puesto que es menos ácido y tiene mayor nitrógeno fijo; por lo tanto, se vende mejor y a mayor precio. Por otra parte, los costos de construcción y de operación de una planta para fabricar nitrato de amonio son también más elevados. A fin de ayudar en la toma de decisiones, Fertilizantes C. A. ha contratado sus servicios como Analista de Decisiones. Durante entrevistas sostenidas con el personal gerencial de la compañía, usted ha logrado obtener la información adicional siguiente:

om

Los costos primario: para cada proceso de producción son los costos variables de los mismos (gas r : tu ral para ambos procesos y ácido sulfúrico para el de obtención del sulfato) y los costos de construcción.

a.

m

fo ro

s. c

La gráfica No.2 muestra las cantidades de cada insumo (materiales y energía) para producir 1 tonelada de cada producto, (productos intermedios y finales, claro está).

CANTIDAD MATERIAL (TONELADAS)

CANTIDAD GAS MPC

P R O D U C T OS

on t

NOMBRE PRODUCTO

CANTIDAD PRODUCTO (TONELADA)

16Ü

.a

dm

yc

NOMBRE DEL MATERIAL

un

I N S U M O S

H2

1

NH 3

1

H:O

w w

w

'

.20

144

NH3

40

24

HN0 3

1

NH3 HNOj

.80

Despreciable

NH4NO3

1

NH 3

• 2fi -"'

H : SÜ 4

.80

Despreciable

( N H 4 ) 2 S04

1

,23

Cantidades de insumos y productos Gráfico No. 2



Para cada costo (costos de producción y de construcción), usted ha codificado la distribución de probabilidad de la variable relevante y ha trazado la curva de Distribución Acumulativa correspondiente. Para cada caso ha supuesto que los valores, bajos medios y altos corresponden a los fractiles 0,05, 0,5 y 0.95 respectivamente. Todos los costos se medirán en bolívares de 1982. Fertilizantes C. A. desea utilizar una tasa de descuento del 10% anual para el cálculo de valores presentes. Para fines del análisis puede suponerse que todos los costos y beneficios ocurren al final de cada año y que la vida de la planta es infinita. Igualmente, y a fin de simplificar, se ha considerado conveniente no incluir el efecto de impuesto en el análisis. El costo del gas natural se expresa en bolívares por mil pies cúbicos (Bs/mpc); de tal manera que el costo del gas varía entre un valor bajo de 10 (Bs/mpc) y un valor alto de 20 (Bs/mpc) con un valor medio de 12,5 (Bs/mpc).

s. c

om

El costo del ácido sulfúrico en (Bs/tonelada) tiene un valor medio de 200 (Bs/tonelada) con un valor bajo de 150 (Bs/tonelada) y un valor alto de 250 (Bs/ tonelada).

un

a.

m

fo ro

El costo de construcción depende del proceso que se trate. Se estima que debido al paso adicional involucrado en la producción del nitrato, (véase el diagrama de flujo del proceso), el costo de producción para el proceso del sulfato es siempre, aproximadamente, 20% menor que el costo de construcción para el proceso del nitrato.

yc

on t

El costo para el proceso del nitrato, (a precios de 1982) varía entre 400 millones de bolívares y 1.200 millones de bolívares, con una media de 750 millones. "~—

.a

dm

En adición a estos costos, se prevén costos adicionales de alrededor de 20 millones de bolívares anuales para la planta de nitrato, y de 25 millones de bolívares, también anuales, para la planta de sulfato.

w w

w

Las distribuciones acumulativas de los precios del gas natural, ácido sulfúrico y costos de construcción, se muestran en las figuras 3, 4 y 5, respectivamente. El beneficio económico que se obtenga será necesariamente una función del precio del producto y del volumen de ventas. Para fines del análisis puede suponerse: — El precio del fertilizante depende fundamentalmente de ios costos variables de la producción. — Debido a que la industria de fertilizantes maneja casi exclusivamente contratos grandes y tiende a mantener estables los márgenes de beneficio, la relación de los precios con los costos está muy bien definida y adopta la forma que se indica en la curva de la figura 6. Después de una entrevista con el grupo de Mercadeo,'ha sido posible establecer la proyección de las ventas para cada producto en función del precio de cada uno. Las figuras 7 y 8 muestran, para cada producto, la proyección de ventas para los fractiles 0.05, 0.25, 0.50, 0.75 y 0.95. Los dos juegos de curvas son dependien340 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


tes; es decir, si el nivel de ventas es alto para un producto, será alto también para el otro. ¿ín otra entrevista celebrada con ese propósito, fue posible obtener información útil para establecer la actitud ante el riesgo de Fertilizantes C. A. El presidente del directorio manifestó que la política de la compañía siempre ha sido preferir más o menos, pero se prefiere nunca asumir riesgos.

10

Distribución Acumulativa del precio dd gas (Bc/mpc).

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Al plantear la discusión en términos de una Lotería, el presidente manifestó ser indiferente entre participar en una Lotería con igual probabilidad de ganar 400 millones de bolívares y perder 200 millones; igualmente señaló ser indiferente entre recibir 150 millones de bolívares con certeza, o participar en una Lotería con iguales probabilidades de obtener nada y 400 millones de bolívares.

200

Figura 4:

°,50

300

Distribución Acumulativa del precio del ácido sulfúrico (B«/Tn)


341


PROBABILIDAD ACUMULATIVA

PRECIO DEL FERTILIZANTE (Bs/Tn)k O l M

c n o o o o o o

M f e O I O C O

o i o o i o o o o o o o o o

C d t U .

w o o o o o

:%

Oí

e n e o o o o

co

m

3 í

ro

s.

-o g *

fo

n O IO

S1

a

g-

na

O

.m

* (6 a

O

i»

on

tu

» a o' ü

yc

3 9. 0>

a A

O V o 3 3 ü¡

Eí O* 3

B

»

w

w

w

.a

dm

a a

o



VOLUMEN DE VENTAS ANUALES (Tn),

na

.m

fo

ro

s.

co

m

VOLUMEN BE VENTAS ANUALES (Tu).

tu

21 B

w

w

w

.a

dm

yc

on

a a

ss

CO



SQLUÍ3ÜGSÍSI BE LA

AUTOEVALUACIOIM

11 PREGUNTA

CLAVE

OBJETIVO EVALUADO

SECCIÓN REFERENCIA

19

10.2

19

10.2

19

10.2

i

u

"

D

'i

E

u

19

10.2

19

10.2

»

G

n

H

!í

19

10.2

19

10.2

19

10.3

20

10.3

20

10.3

20

10.3

20

10.3

w w

1

w

.a

dm

yc

on t

un

F

a.

m

c

s. c

;

Ver Estudio d*J Caso

fo ro

A

om

1

'!

J

"

K

I!

L

"

M

»

L_

20

21

10.3

10.4 - 10.5


345


CLAVE RAZONADA: AUTOEVALUACIÓN No. 10 ESTUDIO DEL CASO "FERTILIZANTES C. A." El estudio del caso se efectuará siguiendo el procedimiento explicado a lo largo de la Unidad 10. Después de efectuar la lectura del caso y antes de empezar a aplicar la meto•dología de! Análisis de Decisiones, el analista organiza la información relevante del caso. Cumpliendo So anterior, se procede a la aplicación del Ciclo del Análisis de Decisiones. APLICACIÓN DEL CICLO DE ANÁLISIS DE DECISIONES

om

FASE DETERfflNISTICA

s. c

Etapa de Modelación

fo ro

(A) Delimitación de la Decisión

m

Se identifican dos decisiones:

un

a.

— Construir o no una planta de producción de fertilizantes con capacidad de producción de 160.000 toneladas anuales.

yc

on t

— Tipo de fertilizante que debe fabricar la planta: nitrato de amonio o sulfato de amonio.

dm

(B) Alternativas

.a

Representando la información anterior se establecen tres alternativas:

w w

w

Alternativa I ; Construir planta de nitrato de amonio. Alternativa II : Construir planta de sulfato de amonio Alternativa III : No construir ninguna planta. (C) Atributos El atributo escogido es el Beneficio Económico Neto derivado de la construcción y explotación de la planta. (D) Variables del Sistema Variables de Decisión: Construcción de la Planta Variables de estado: Costo de Construcción: (en millones de bolívares). C, = Costo de construcción de la planta de nitrato. C2 = Costo de construcción de la planta de sulfato. 346 Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


Precio del gas (Pg) (en Bs/mpc). Precio del ácido sulfúrico (Pa) (en Bs/tn) Volumen de ventas del fertilizante: (en miles de unidades) V j ~ Volumen de ventas del nitrato V - Volumen de ventas dei sulfato (E) Modelo Estructural

VALOR

Ilí

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

ÁRBOL DE DECISIÓN

w w

w

El primer nodo describe la decisión de fabricar la planta de nitrato, o la planta de sulfato o ninguna de las dos. El segundo nodo describe ía incertidumbre y distribución de probabilidad de ía variable de estado Costo de Construcción (C¡ ) y (C 2 ). El tercer nodo describe ia incertidumbre y distribución de probabilidad de la variable de estado, precio del gas {Pg). El cuarto nodo, (sólo en ía Alternativa II), describe la incertidumbre y distribución de probabilidad de la variable de estado precio del ácido sulfúrico (Pa). El último nodo describe la incertidumbre y distribución de probabilidad condicional del volumen de ventas deí fertilizante en función del precio del gas, (V,/Pg). El valor al final, Beneficio Neto (B) es una función de C, Pg, Pa y V/Pg; por lo tanto la decisión se plantea en términos de seleccionar la alternativa que maximice eí Beneficio Neto (B),


347


(F) Modelo de valoración: Calculemos el Beneficio Neto (B). E = Ingresos totales — Costos totales. Ingresos totales : I - V X P siendo: V = Volumen áe ventas del fertilizante (en toneladas). P - Precio unitario de venta del fertilizante (en bolívares por tonelada).

l^~Vl X P,

para el nitrato.

I2 = V 2 X P2

para el sulfato. C T = C 4- C v + C A

fo ro

s. c

Costos totales:

om

Por lo tanto:

siendo:

a.

m

C = costo de construcción de la planta (en Bs).

un

C v = costo variable unitario de producción del fertilizante (en Bs/Tn),

yc

dm

Por lo tanto:

on t

C A = costo adicional (en Bs.)

.a

C T ¡ - C¡ 4- V¡ X C v + C A t

para el sulfato.

w w

w

C T = C2 + V 2 X C v + C A

para el nitrato.

Por consiguiente el beneficio neto B será: Bj = V,?! — (C, -4- V , C V + C A )

para planta de nitrato

B n = V 2 P 2 -(C 2 + V 2 C V + C A i )

para planta de sulfato.

Reordenando términos se obtiene: ECUACIONES DEL MODELO DE VALORACIÓN -CAJ

para planta nitrato

BH-VatPa-Cv,)-^ -cA2

para planta sulfato

B ^ V , ( P t - C v l ) "C,



Para aplicar las ecuaciones anteriores hay que tener en cuenta que: ~~ CA , Y CA. se í.onocen del texto y sus valores son: CA ¡ - 20 millones de bolívares. CA - 25 millones de bolívares — C¡ tiene distribución conocida (Figura 5) y además se sabe que: C 2 = 0.8 C, — Cv ¡ y Cy 2 , los costos variables de producción no se conocen, pero sabemos que dependen de cada proceso. Por lo tanto, debemos examinar las ecuaciones de cada proceso y determinamos que los costos variables para cada proceso son: Para proceso de nitrato: = costo total del gas

om

C

fo ro

Cv, ~ costo total del gas 4- costo total del ácido sulfúrico.

s. c

Para el proceso del sulfato:

yc

De la tabla No, £ es deduce

on t

un

a.

m

Estos costos sabemos que son función de la cantidad requerida por cada proceso; por lo tanto debemos establecer una ecuación para cada uno y para ello utilizaremos la tabla No.2. Además conocemos la distribución del precio del gas (?g) y del precio del ácido sulfúrico (Pa).

(1)

0.4 NH 3 -h 24 gas

(2)

NH 3 -

0,2 H 2 4- 144 gas

(3)

-

w w w

H,

.a

HNO 3

dm

NH 4 N0 3 - 0.23 NH 3 + 0,8 HN0 3

160 gas

(4)

Sustituyendo (4) en (3) NH 3 =

Sustituyendo (5) en (2)

(5)

HN0 3 -

(6)

94.4 gas

Sustituyendo (6) en (1) NH 4 N0 3 - 116 gas

Por lo tanto: Cy.

-

116 Pg



Similarmente (NH 4 ) 2 S04 - 0.25 NH 3 + 0.8 H 2 S04

(1)

Sustituyendo (5) en (7) (NH 4 ) 2 S04 - 44 gas + 0.8 H 2 S04 Por lo tanto: C v = 44 Pg + 0.8 Pa

— P! y P 2 se derivan de la figura 6 conociendo los valores de los costos variables C v y C v .

om

~ V, y V2 se derivan de las figuras 7 y 8, respectivamente, conociendo los precios P, y P 2 .

fo ro

s. c

Con las anteriores aclaraciones se pueden utilizar ya las ecuaciones del Modelo de Valoración.

m

(G) Modelos de Preferencia Temporal:

yc

on t

un

a.

Las ecuaciones anteriormente obtenidas describen el Beneficio Económico Neto (B) para ei primer año de operación. Para tomar en consideración los flujos de fondos correspondientes a los años siguientes, utilizaremos el criterio del-valor presente y supondremos que la vida de la planta es infinita como lo sugiere el caso.

w w

w

.a

dm

En el diagrama anexo se ilustra el flujo de fondos para cualquiera de las plantas.

0

pXv !

i

PXV

1

pyv

, k i

o o ooo o o

'C

<•

c

- vcv

i vcv

PXV

1\

y vvr H-

J

'CA

vc\

Diagrama Flujo de Fondos

Nótese del diagrama que el costo de construcción solo ocurre en t = O, y que los ingresos y costos ocurren a\\e cada año.



Calculemos eí Valor Presente; VPíB}-

Pero como C sóio ocurre en t-= O y el resto de los ingresos y costos ocurren al iiaal del año. [V (P-CV ) - C A ] X

om

VP (B) = - C 4-

fo ro

s. c

Del diagrama de flujo de fondos se ve que ios valores no varían en el tiempo, por lo tanto 1

on t

un

a.

m

(1 4- i)

dm

yc

Luego

w

.a

Por consiguiente:

w w

,

VP ( B M ) = - C 2 + -p

í V 2 (P2 -C V j ) -C A j ]

Sábenos además que: Ci -

j-i

L

r~-

y

u2 ~

!'\ f"~i

_

U.o O . -

A O í~^

U.o O

20 millones y CA-, ~ 25 malones i - 10% Por consiguiente: VP(B,)

-€ +10 V, (P, - C v , ) ~ 200

VP(BM)

-0,8C +10V, (P 2 - C v 2 )

VPfB.p'

)

-250

(No construir no genera beneficio)


351


y además sabemos que;

44 Pg + O.í

Etapa de Análisis (H) Sensibilidad a las variables de estado, Sensibilidad a ia variable de estado Costos de Construcción (C)

fo ro

s. c

C = (Valor mínimo, Valor medio, Valor Máximo) C- (400,750,1200)

om

Rango de Variación, (ver figura 5)

w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

Se fijan las otras variables en sus valores medios y se calcula para cada nodo terminal el valor del Beneficio Neto (B) correspondiente, utilizando las fórmulas desarrolladas en el modelo de valoración. Ejemplo:

Cuadro: Cálculo de sensibilidad al costo de construcción

352



Para el primer nodo terminal de la alternativa i:

G -400 X10 6 P - 2300 VP (B) -

P g = 12,5

Fa= O

C v = 1450

V -: 130. C +10 Vj (F , -Cv . ) ~ 200 X 106

Cv - 116 Pg= 116 X 12,5 = 1450 VP(B) = - C + 1 0 V , (P,--1450) -200 VP (B) - - 400 X10» + -10 (130 X 103) (2300 - 1450) - 200 X106 VP (B) ~ 505 millones de bolívares.

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

En el cuadro siguiente se resumen ios resultados obtenidos

om

De igual manera se calculan los otros valores.

w w

w

Cuadro: Sensibilidad a) costo de construcción

En el cuadro para cada valor C se muestra con un círculo la mejor alternativa. Al variar el costo de construcción en su rango, se produce un cambia de decisión; por lo tanto, el costo de construcción es una variable de estado crucial pues la decisión es sensible a (C), Nótese además que se cumple que el Beneficio (B{) de la alternativa I es siempre mejor que el de la Alternativa II (B n ) 5 pero no siempre mejor que Bu i oseaB > B n . Sensibilidad a !a variable de estado Precio de! gas (Pg). Rango de variación; (Ver figura 3). Pg-(10; 12,5; 20} Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

353


Se sigue el mismo procedimiento que para el costo de construcción, fijando las otras variables en sus valores medios. El procedimiento se resume en el cuadro anexo:

VP(B)

1950

150

230

1450

2300

130

155

2320

3600

80

74

600

1350

126

95

710

1450

120

38

104

1800

60

104

m

fo ro

s. c

200

1160

om

V

un

a.

Cuadro: Cálculo sensibilidad al precio del gas

10

(áioN

20

w w

12.5

w

.a

v^

3,,

95

0

B,i > B,, , M >B III

38

0

B, > B „ > B i II III

-60

0

Bn

dm

"i

yc

on t

Los resultados se resumen en el cuadro siguiente:

0

RELACIÓN

B,>Bm>B,,

Cuadro: Sensibilidad al precio del ácido sulfúrico

Al variar Pg no se produce cambio de decisión, por lo tanto la decisión es insensible al cambio en Pg y Pg no es una variable de estado crucial. Nótese que el beneficio Bj es siempre mejor que el beneficio BM y B U I , o sea BI > BU > B UI . Sensibilidad a la variable de estado precio del ácido sulfúrico (Pa). Rango de varíación^ver figura 4) Pa- (15, 20, 25)

354



Pa

/

/

rt

H

150

X~

Pg

.

P

V

VP(B)

12 5

750

12.5

670

1400

123

48

„

710

1450

120

38

750

1500

117

28

200

\0

cv

750

/

/

,,

,,

" !I

0

fo ro

s. c

om

\

BI

.a

Pa

dm

yc

on t

un

a.

m

Cuadro: Cálculo de sensibilidad al precio del ácido sulfúrico

15

20

25

w

I j

/

H

MLB.s)

w w

!

//

r "

C

© ©

RELACIÓN

Bn

"u,

48

0

Bi>Bn>Bni

38

0

B I > B II >B III

28

0

B I > B II > B III

Cuatro: Sensibilidad al precio del ácido sulfúrico

La d«cisión no es sensible al cambio en el precio del ácido sulfúrico; por lo tanto Pa no es una variable crucial. Nótese que además se cumple siempre que: BI > Bn > B UI Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com

355


Sensibilidad al volumen de ventas (V) Rango de Variación; (Ver figuras 7 y 8) V , - (120.130,150) V2 = (110, 120, 135)

Pa

750

VP(B)

Cv

1450

12.5

2300

90 155

12.5

s. c

om

325

710

1450

fo ro

200

m

38

.a

dm

yc

on t

un

a.

139

w w

w

Cuadro: Cálculo de sensibilidad ai volumen de ventas

vl

RELACIÓN

V.

Bl

Bn

Bm

120

110

90

-33

0

BI>BII

130

120

155

38

0

BI>BH>BIH

150

135

325

139

0

BI>BII>BIII

Cuadro: Sensibilidad al volumen de ventas

356

-33



La decisión no es sensible al volumen de ventas y por lo tanto V no es una variable crucial Nótese que siempre se cumple: Bj > Bu

y

B, > Bm

Conclusión del Análisis Determinísíico

Crucial

Variable

P»

No crucial

Valor nominal (Pg)

Pa

No crucial

V

No crucial

om

C

s. c

-3n

NUEVO ÁRBOL

RESULTADO

VARIABLE

(U

»

"G

on t

yc

.,

dm

III

Eliminar alternativa U

.a

"C'w A O >Q

denominada por la alternativa I

w

II

w w

fl

4>

un

I

3:2

Valor nominal (V)

a.

m

>

Vaior nominal (V)

fo ro

^

3 a

NUEVO ÁRBOL

ÁRBOL DE DECISIÓN

VALOR

VP(BH|)


357


Fase Ptobabüística. (!)

Codificación de Incertidumbre en variables aleatorias. En la fase determinística se concluyó que la única variable de estado crucial es el costo de construcción (C), por lo tanto, únicamente se considera incertidumbre c-n asa variable. El texto del caso incluye la curva de distribución acumulativa del costo de construcción, figura 5, por lo cual no se requiere ninguna derivación adicional.

a.

m

fo ro

s. c

om

Utilizando los conceptos para discretización de curvas de distribución y aplicándolas a la figura 5 podemos obtener los siguientes resultados:

un

D

sD

yc

on t

o

dm

o

w w

w

.a

Q O

200

400

600

800

1000

1200

1400

Distribución Acumulativa de C

Procedimiento: 1)

Se divide el eje de ordenadas en tres regiones correspondientes a los cuartiles superior e inferior y a la región intercuartil, lo que equivale a probabilidades de 0,25, 0,25 y 0,50 respectivamente.

2)

Para cada región se encuentra el punto en la curva que haga que las áreas sombreadas sean iguales.

3)

Los puntos así determinados aproximan la distribución.

Los resultados son:

358



P(C)

(I)

1/4

490

1/2

760

1/4

1090

Desarrollo de Loterías de Valor

VALOR (B)

m

fo ro

s. c

om

ÁRBOL DE DECISIÓN

un

a.

415

on t

145

w w

w

.a

dm

yc

185

(K) Estudio de la dominancia estocástica.

p

B,

RELACIÓN

Bm

1/4

415

0

B,

1/2

145

0

BI>BIII

1/4

-185

0

B,

> Bm

< B «n


355


w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om

Función de densidad de probabilidad

Función acumulativa del beneficio

Conclusiones deí análisis de dominancia estocástica. De las gráficas se desprende que no existe alternativa completamente dominante. Nótese qua para los valores negativos de (B) la alternativa dominante es III, mientras que para valores positivos de (B), la alternativa dominante es I. Puesto que no hay alternativa dominante, no se pueden eliminar alternativas dominadas y en consecuencia es necesario proseguir el análisis, comparando las alternativas í y IÍÍ con el mismo árbol. Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


ÁRBOL DE DECISIONES

VALOR

415 —o

145

-o

-135

III

(L) Codificación de la preferencia al riesgo Las loterías correspondientes son: 400 m

400 m

s. c

om

150

on t

Se calcula:

- -^- u (400) + -~-u(0) —.

¿s

yc

A 50)

a.

u (0)= O

un

y

m

Por io tanto, asignando: u (400)- 1

O m

fo ro

-200

dm

u (150) = — (1) + -— (0) =*

u (400) -f y

¿4

u (-200)

w w

w

u(0) - y

u (150) - —

¿I

.a

¿

O = ™- (1)+ -i¿ .¿i

u (-200) -> u (-200)-

-1

Con estos cuatro valores se construye la Curva de Utilidad.



(M) Determinación de Equivalente Cierro y Alternativa Óptima.

.X—'

185

a.

m

fo ro

s. c

om

/ \

on t

un

' i. / T -—- U S

1

,

0,92)

dm

yc

4

.a

u = 0.26

rva de Utilidad se determina el Equivalente Cierto de

w w

w

la Alt£:*¿¿í:tiva '.

Alternar,!va ÜI ,'- f i

i '

VT 7

Puesto que la utilidad de la Alternativa I ss mayor que> ia utilidad de la III, se prefiera aquella, cuyo e uivalevUe cierto es 78 millones.

Fase Informacional: (N) Valor de la Información Perfecta en las variables aleatorias o cruciales



fo ro

s. c

om

(M) Determinación de Equivalente Cié™ y Alternativa Óptima.

a.

m

Alternativa I

dm

yc

0.48

on t

un

i, 1 u (415) -i- ™ u (145) + — u (- 135)

w w

w

.a

Con este ydor es la Curva de Utilidad se determina el Equivalente Cierto de la Alterativa I u- 0.26 «» EC^ 78 millones.

Alternativa ííi u - 1 X u (0) -

Puesto que la utilidad de la Alternativa I es mayor que la utilidad de la III, se prefiere aqueüa, cuyo e nivélente cierto es 78 millones. 1 /^

Gpüina

Fase Información»!; (N) Valoi de la Información Perfecta en las variables aleatorias o cruciales,



L?. ¿nica variable crucial as (C) eí costo de construcción.

BENEFICIO

415-k

u (415—i)

145—k

u(145-k)

om

J?ü£!L_ _rt_____I

UTILIDAD

II!

u (-le)

fo ro

0-k

m

—O-

s. c

1/4

on t

Calcular k tai que se cumpla

un

a.

u (y) - y u (415-fc) + y u (145-k) + -~- u (0-k)

dm

yc

u (y) - u (y') - 0.26 (de la pregunta M)

w

.a

Resolviendo por ¿auto la ecuación 0.26 - -ru (415-k) 4- T u (415-k) + ~ u (-k)

w w

*±

£

4

Se obtiene k = 70 aproximadamente Por lo tanto, el valor de la información perfecta del costo de construcción es de 70 millones de bolívares.


363


BIBLIOGRAFÍA MODULO III Introducción al Análisis de Sistemas e Investigación de Operaciones. Representaciones y Servicios de Ingeniería, S.A., México, -• ÍV7Q i y 10.

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yc

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w

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w w

w

.a

dm

yc

on t

un

a.

m

fo ro

s. c

om


UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CARACAS - VENEZUELA


Texto Teor_a de Decisiones (1)_2

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