Testes e resolução BA1

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO

Índice

1º TESTE

22/11/2007 ................................................................................ 3

RESOLUÇÃO ..................................................................................................... 6 A ) ARMADURAS LONGITUDINAIS: ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... 7 B ) ARMADURAS T RANSVERSAIS RANSVERSAIS: ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 9 C ) DISPENSA DE A ARMADURAS LONGITUDINAIS: ................................................... 13 2º TESTE

18/01/2008 .............................................................................. 19

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 21 D ) ARMADURAS LONGITUDINAIS: .................................................................... 23 ) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL?......................................................... 25 E ) ARMADURAS T RANSVERSAIS F RANSVERSAIS: ..................................................................... 25 G ) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR :................................................... 26 ) V ERIFICAÇÕES H ERIFICAÇÕES:...................................................................................... 28 ) DISPENSAS: ......................................................................................... 33 I EXAME

21/01/2008 .................................................................................. 36

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 38 a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 40 B ) ARMADURAS T RANSVERSAIS RANSVERSAIS: ..................................................................... 41 C ERIFICAÇÕES:...................................................................................... 43 ) V ERIFICAÇÕES D ) DISPENSA DE ARMADURAS:........................................................................ 46 2º EXAME 3/02/2004 ................................................................................. 48

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 51 a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 51 B ) ARMADURAS T RANSVERSAIS RANSVERSAIS: ..................................................................... 52

JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

2

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 1º Teste

22/11/2007

GRUPO 1

ACÇÕES:

CP = 40 kN/m (γ (γ CP CP=1,5)

MATERIAIS: C25/30

SC = 20 kN/m (γ (γ SC SC=1,5)

A500NR

Rec = 4 cm a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite último de flexão nas secções de esforços condicionantes. Comente as respectivas secções quanto à sua ductilidade.

b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção condicionante.

Dimensione

e

pormenorize

as

suas

armaduras

(transversais e longitudinais obtidas na alínea anterior). Considere θ=26,7º; concentre a armadura do banzo inferior na largura de 1,0m.

c) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal longitudinal e pormenorize em alçado. Efectue as verificações que achar necessárias.


3



4


GRUPO 2 a) Porque razão é que a resistência do betão obtido em provetes cúbicos é superior à obtida em provetes cilíndricos? Qual desses valores melhor representa a resistência do material nas estruturas? es truturas? b) Porque razão e em que aspectos é que o excesso de armaduras pode ser prejudicial para uma estrutura de betão armado? c) O que entende por largura efectiva de uma viga sujeita à flexão? De que forma pode ser calculada essa largura? Enumere as vantagens e desvantagens para o cálculo em betão armado? d) O que entende por torção de compatibilidade e equilíbrio? De exemplos dos 2 tipos de torção.


5

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Resolução

GRUPO 1 Cálculo dos esforços e diagramas:



psd= γ CP x CP + γ SC x SC =1,5 x 40 + 1,5 x 20 = 90 kN/m

Esforços:     

∑Fv

=

p sd , total ⋅ L

∑ MA

=

0

Vsd A

=

VsdB, dir Msd-

=

 A B R sd A = −540 kN R sd + R sd = 1080 kN   ⇔  ⇒  R B = 1620 kN 90 × 122 B R 4 0 × =  sd  sd 2 

540 kN 90 × 8 = 720 kN → VsdB, esq 90 × 8 2 = 2880 kN.m 2 =


=

1620 − 720

=

900 kN

6


a) ARMADURAS LONGITUDINAIS: Para o cálculo da altura útil vamos supor que se utilizarão dois patamares de varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será:

d = h-

0,20 2

=

0,90 - 0,10

=

0,80 m

Determinar o valor de momento flector reduzido:

µ =

Mrd b ⋅ d2 ⋅ f cd

=

2880 3,00 × 0,802 × 16,7 × 103

=

8,982 × 10-2

Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária: i) ii) iii)

ω = µ × (1 + µ ) =

8,982 × 10 -2 × (1 + 8,982 × 10-2 ) = 9,789 × 10-2 1 − 1 − 2,42 × 8,982 × 10 - 2 = 1,21

ω =

1 − 1 − 2,42 × µ 1,21

ω =

1 − 1 − 2,055 × µ 1,028

=

1 − 1 − 2,055 × 8,982 × 10- 2 = 1,028

9,532 × 10- 2 =

9,435 × 10- 2

Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.: k

= 1,47 ⋅ ω = 1,47 × 9,789 × 10 -2 =

x

=

k ⋅ d = 0,109 × 1,1395

=

0,144

0,115 m

Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas supondo que a viga é rectangular maciça. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

7



8

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Cálculo das armaduras longitudinais:

A sL

= ω ⋅ b ⋅ d ⋅

f cd f syd

=

9,789 × 10 − 2 × 3,00 × 0,80 ×

16,7 435

=

90,19 cm2

Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,21m) a secção é considerada dúctil, ou seja, as armaduras entram em cedência antes do betão.

b) ARMADURAS TRANSVERSAIS : Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das armaduras: Vsd (z ⋅ cotgθ ) = Vsd i) Escolha do ângulo

θ

− p sd ⋅ z ⋅ cotgθ

quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da

co-tangente de ângulo θ θ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se escolhermos o valor médio temos que cotg θ =1,75 que equivale a um ângulo θ =30°, neste caso o valor é dado θ θ= 26,7°.

ii) z

=

0,9 ⋅ d = 0,9 × 0,80 = 0,72m VsdB, esq (z ⋅ cotgθ ) = 900 − 90 × 0,72 × cotg 26,7°

=

771,16 kN

VsdB, dir (z ⋅ cotgθ ) = 720 − 90 × 0,72 × cotg 26,7°

=

591,16 kN

Cálculo das armaduras transversais:


9

A sw B, esq s

=

Vsd (z ⋅ cotgθ ) z ⋅ cotgθ ⋅ f syd

=

A sw B, dir s

=

Vsd(z ⋅ cotgθ ) z ⋅ cotgθ ⋅ f syd

=

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 771,16 = 12,38 cm2 /m 3 0,72 × cotg 26,7° × 435 × 10 591,16 0,72 × cotg 26,7° × 435 × 103

=

9,49 cm2 /m

Como é uma secção em “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de suspensão. A sw s suspensão

=

F f syd

i) Calculo de F:

F

=

( − ppalma pp

F

=  40 -   0,40 × 0,20 +

F

=

  

+

SC ) ⋅ γ i

   

   0,40 + 0,20  × 0,10 + 0,20 × 0,40  × 25   + 20 × 1,5  2    

82,88 kN/m A sw s suspensão

=

F f syd

=

82,88 435000

= 1,91

cm2 /m

ii) Armadura total na alma: A sw B, esq A sw B, esq A sw = + s Total s s suspensão → EST 2R φ 10//0,10 m A sw B, dir A sw A A sw = + s Total s s suspensão → EST 2R φ 10//0,10 m

=

=

12,38 + 1,91 = 14,29 cm2 /m →

9,49 + 1,91 = 11,40 cm2 /m →

Cálculo das armaduras transversais no banzo:


10

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO i) Ligação banzo-alma:

A sf B, esq s

=

A sw 2

=

12,38 2

=

A sf B, dir s

=

A sw 2

=

9,49 2

4,75 cm2 /m

=

6,19 cm2 /m

i) Flexão no banzo: Supondo que se trata de uma viga invertida que suporta uma laje, vamos calcular a carga permanente no banzo da viga (subtrair às cargas permanentes, CP, o valor do peso próprio da alma da viga) e distribuí-la pelo beff , fazendo o mesmo com as sobrecargas:

Sd

=

( − ppalma + SC ) ⋅ γ i ] [ pp b eff

        + 0,20 0,40    × 0,10 + 0,20 × 0,40  × 25  + 20 × 1,5   40 -   0,40 × 0,20 +  2          Sd =

3

Sd

=

27,63 kN/m2 27,63 × 0,90 2 = 5,60 kN.m Msd- = 2 2 Msd 5,60 µ = = b ⋅ d2 ⋅ f cd 1,00 × 0,1552 × 16,7 × 10 3 µ = 1,396 × 10 - 2 1,396 × 10-2 × (1 + 1,396 × 10-2 ) ω = 1,415 × 10 - 2 ω =


As

= 1,415 × 10 − 2 × 1,00 × 0,155 ×

As

=

16,7 435

0,84cm2 /m

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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO B, esq

A sf s Total/Ramo

=

B, dir

A sf s Total/Ramo

=

A sf s 2 A sf s 2

+

As

=

6,19 2

+

0,84

=

3,94 cm2 /m → EST 2R φ 10 //0,20 m

+

As

=

4,75 2

+

0,84

=

3,22 cm2 /m → EST 2R φ 10 //0,20 m


12


c) DISPENSA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS: Para a dispensa das armaduras neste caso não será considerada a alternância de sobrecargas.

20φ 25 (A sL, ef = 90,20 cm2 ) → 10φ 25 (A sL, ef = 45,10 cm2 ) i) Momento resistente: A sL, ef = 45,10 cm2 ω =

A sL, ef ⋅ f syd b ⋅ d ⋅ f cd

=

→ ω → µ →

45,10 × 10 − 4 × 435 × 103 3,0 × 0,80 × 16,7 × 103

µ = ω ⋅ (1 − 0,588 ⋅ ω ) =

MRd

=

b ⋅ d2 ⋅ f cd

MRd

⋅ µ =

4,895 × 10 − 2

×

=

4,895 × 10 − 2

(1 − 0,588 × 4,895 × 10 2 ) = 4,754 × 10 −

3,0 × 0,802 × 16,7 × 10 3 × 4,754 × 10 − 2

= 1524,31

−2

kN.m

ii) Comprimento de translação: aL

=

z 0,72 ⋅ cotgθ = × cotg30 2 2

o

=

0,62 m

iii) Determinação das coordenadas “x”:


13



14

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Consola:

x2 MSd (x ) = p sd ⋅ 2

−

1524,31 = 45x2

− 720x + 2880 ⇒

VsdB, dir ⋅ x + MSdB, dir

=

-45x 2

+ 720x + 2880

x1

=

2,18 m

=

-45x 2

Vão:

x2 MSd (x ) = p sd ⋅ 2

−

VsdB, dir ⋅ x + MSdB, esq

1524,31 = 45x2

−

900x + 2880 ⇒ x 2

=

+

900x + 2880

1,64 m

iv) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura: Tensão de aderencia f bd σ sd

lb,rqd lbd

=

=

A sL, disp ⋅ f A sL, total syd

σ sd 4 f bd

φ

⋅

=

=

=

2,25 ⋅η1 ⋅η2 ⋅ f ctd

=

2,25 × 1 × 1 ×

1,8 1,5

=

2,7 MPa

45,10 × 435 = 217,5 MPa 90,20

0,025 217,5 × 4 2,70

= α 1 ⋅ α 2 ⋅ α 3 ⋅ α 4 ⋅ α 5 ⋅ lb, rqd =


=

0,50 m

lb,rqd

=

0,50 m

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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO = 2,18 + 0,62 − 0,50 = 3,30 m → 3,30 m

X1

=

x1

+

aL

+ lbd

X2

=

x2

+

aL

+ lbd = 1,64 +

0,62 + 0,50

=

2,76 m → 2,80 m

v) Verificações: Armaduras longitudinais: i) Armadura mínima: A sL, mín

=

0,26 ⋅

f ctm 2,6 ⋅ b t ⋅ d = 0,26 × × 0,40 × 0,80 f syk 500

=

4,33 cm2

ii) Armadura máxima:

A sL, máx

=

0,04 ⋅ Ac

A sL, máx

=

316 cm2

A sL, mín

=

=

0,04 ×   3,0 × 0,20 + 2 × 0,40 × 0,20 + 

4,33 cm2

<

A sL, ef

=

90,20 cm2

<

0,40 + 0,20  × 0,1 2 

A sL, máx

=

316 cm2

iii) Espaçamento entre varões: s

=

s

=

b − 2 ⋅ c − 2 ⋅ φ estribo − n ⋅ φ A sL = (n − 1) 0,40 − 2 × 0,04 − 2 × 0,01 − 5 × 0,025 (5 − 1)

=

0,044 m

s,mín = máx{ φ A sL,maior ; φ , eq,maior ; dg + 5mm; 2cm } = = máx{ 0,025m; 0,035m; 0,025 + 5mm; 0,02m } = 0,035 m < 0,044 m iiii) Armaduras nos apoios de extremidade:


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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b temos: FT

=

1,2 ⋅ Vsd

= 1,2 × 540 =

648 kN ⇒ A s, apoio +

=

FT f syd

=

648 435000

= 14,90

cm2

Armaduras transversais: i) Armadura mínima: 0,08 ⋅ f ck A sw ,mín = ⋅ bw s f syk

=

0,08 × 25 × 0,20 = 1,60 cm2 /m 500

ii) Diâmetro mínimo dos estribos: φ estribo ≥

6mm; 0,25 ⋅ φ A sL φ estribo ≥ {6mm; 6,25mm}

≥

6mm; 0,25 × 25

iii) Espaçamento máximo entre estribos: s estribo

≤

0,7 ⋅ d ⋅ (1 + cotgα )

com

α =

Vsd z

Em geral o espaçamento deve ser inferior a 0,5d, neste caso inferior a 0,40m. Verificação das compressões: i) Devido ao esforço transverso: Bielas comprimidas


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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO σ c,BC σ c,BC σ c,BC

  em MPa   f   ck  Vsd (z ⋅ cotgθ )   = ≤ 0,6 ⋅ 1  ⋅ f cd 0,9 ⋅ d ⋅ b w ⋅ senθ ⋅ cosθ 250     771,16 25   = ≤ 0,6 × 1 × 16,7 × 10 3  0,9 × 0,80 × 0,2 × sen26,7 × cos26,7  250  = 13,34

MPa ≥ 10,6 MPa ⇒ Não Verifica


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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 2º Teste

18/01/2008

PARTE A - GRUPO 1

ACÇÕES:

CP = 60 kN/m (γ CP=1,5)

MATERIAIS: C30/37

SC = 20 kN/m (γ SC=1,5)

A500NR

Rec = 4 cm d) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite último de flexão na secção de esforço condicionante. e) Comente a respectiva secção quanto à sua ductilidade. f) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção condicionante e dimensione as suas armaduras. g) Verifique o estado limite último relativo ao momento torsor na secção condicionante e dimensione as suas armaduras. h) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e pormenorize a secção transversal sobre o pilar da esquerda (armaduras transversais e longitudinais obtidas nas alíneas anteriores). i) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima. j) Pormenorize a viga em alçado. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

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PARTE A – GRUPO 2 e) Explique como faria para calcular a armadura de um tirante à tracção? Predimensione a sua secção de aço e betão considerando 4% de área de aço em relação ao betão e uma carga de tracção de 600 kN. f) Complete os gráficos abaixo e explique as suas fases e a que se referem os respectivos eixos. g) Como pode ser calculada a largura efectiva de uma viga com banzo à compressão? Enumere as vantagens e desvantagens para o cálculo de betão armado.


20


PARTE A – GRUPO 1 Cálculo dos esforços e diagramas:




Esforços:

Vsd A

=

Msd

psd ⋅ L2 = 8

+

VsdB

Tsd A

=

TsdB

Tsd A

=

TsdB

=

p sd ⋅ L 2

=

120 × 12 2

120 × 122 = 8

SC sd ⋅ L ⋅ e 2 = 36 kN.m =

=

=

=

720 kN

2160 kN.m

30 × 12 × 0,20 2

Caracterização da secção: b = 1,20 m b w = 0,40 m 

d = h -  rec - φ estribo 


−

φ As 



2 

21


f cd Características de cálculo dos materiais:

f syd


f = ck γ c =

f syk γ s

=

30 1,5 =

=

20 MPa

500 1,15

≅

435 MPa

22


d) ARMADURAS LONGITUDINAIS: Para o cálculo da altura util vamos supor que se utilizarão dois patamares de varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será:

d = h-

0,15 2

=

1,20 - 0,075 = 1,125 m


µ =

Mrd b ⋅ d2 ⋅ f cd

=

2160 1,2 × 1,1252 × 20 × 103

=

7,1111 × 10- 2


ω = µ × (1 + µ ) =

7,1111 × 10-2 × (1 + 7,1111 × 10-2 ) = 7,6168 × 10-2 1 − 1 − 2,42 × 7,1111 × 10- 2 = 1,21

ω =

1 − 1 − 2,42 × µ 1,21

ω =

1 − 1 − 2,055 × µ 1,028

=

7,4466 × 10- 2

1 − 1 − 2,055 × 7,1111 × 10-2 = 1,028

=

7,3882 × 10- 2


= 1,47 ⋅ ω = 1,47 × 7,6168 × 10 -2 =

x

=

k ⋅ d = 0,109 × 1,1395

=

0,112

0,126 m

Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas supondo que a viga é rectangular maciça (sem aberturas). JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

23



24


A sL

= ω ⋅ b ⋅ d ⋅

f cd f syd

=

7,1111 × 10 − 2 × 1,20 × 1,125 ×

20 435

=

47,28 cm2

e) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL? Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,29m) a secção é considerada dúctil, ou seja, as armaduras entram em cedência antes do betão.

f) ARMADURAS TRANSVERSAIS : Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das armaduras: Vsd (z ⋅ cotgθ ) = Vsd i) Escolha do ângulo

θ


quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da

co-tangente de ângulo θ θ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se escolhermos o valor médio temos que cotg θ =1,75 que equivale a um ângulo θ =30°.

ii) z

=

0,9 ⋅ d = 0,9 × 1,125 = 1,0125m Vsd (z ⋅ cotgθ ) = 720 − 120 × 1,0125 × cotg 30°


=

509,56 kN

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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Cálculo das armaduras transversais: A sw s

=


=

509,56 1,0125 × cotg 30° × 435 × 103

=

6,68 cm2 /m

Como é uma secção oca há necessidade de colocar estribos de ligação banzoalma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da armadura calculada anteriormente. A sf s

=

A sw 2

=

6,68 2

=

3,34 cm2 /m

g) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR : Definição da secção oca eficaz:

2 ⋅ c' ≤ hef

2 ⋅ c' = 2 × (rec + φ estribo) = 2 × (0,04 + 0,008) = 0,096 m A  ≤ u  A 1,202 1,44 = = = 0,30 m  u 4 × 1,20 4,80

Considerando hef = 0,15 m temos: hm = 1,20 − 0,15 = 1,05 m  uef = 4 × 1,05 = 4,20 m   ⇒  b = 1,20 − 0,15 = 1,05 m A = 1,052 = 1,1025 m2  m  ef

A área “A” e a área efectiva “A ef ”, para efeitos de cálculo das armaduras devido ao momento torsor é calculada independentemente de haver ou não aberturas na viga, como é o caso da viga em estudo. Isto pode ser constatado no capítulo 6.6 do Eurocódigo 2. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

26



27

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Cálculo das armaduras: i) longitudinais: A sL

=

Tsd ⋅ uef ⋅ cotgφ 36 × 4,20 × cotg30º = 2 ⋅ A ef ⋅ f syd 2 × 1,1025 × 435000

=

2,73 cm2

ii) transversais: A st s

=

Tsd 2 ⋅ A ef ⋅ hef ⋅ cotgφ ⋅ f syd

=

36 2 × 1,1025 × 0,15 × cotg30º

× 435000

= 1,44

cm2 /m

h) VERIFICAÇÕES: i) Armaduras longitudinais Flexão + Torção: A sL +

=

47,28 +

2,73 2

=

48,65 cm2 ⇒ 44

φ 12

(49,72 cm2 )

A sL −

=

20,36 +

2,73 2

=

21,73 cm2 ⇒ 20

φ 12

(22,60 cm2 )

ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso: Estribos de 4 ramos A sw A 6,68 = 6,68 cm2 /m         → sw ,ramo = s s 4 ⇒ EST. 4R φ 8//0,30 m

= 1,67

cm2 /m

iii) Armaduras transversais devido à Torção: A st s

= 1,44

único     → φ 8//0,30 m cm2 /m  Ramo


28

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Armaduras longitudinais: i) Armadura mínima: A sL, mín

=

0,26 ⋅

f ctm 2,9 ⋅ b t ⋅ d = 0,26 × × 1,20 × 1,125 = 20,36 cm2 f syk 500

ii) Armadura máxima:

A sL, máx

=

0,04 ⋅ Ac

A sL, mín

=

=

0,04 × 1,202

20,36 cm2

<

A sL, ef

−

=

0,9 × 0,8

=

49,76 cm2

288 cm2

<

A sL, máx

=

288 cm2

iii) Espaçamento entre varões: b − 2 ⋅ c − 2 ⋅ φ estribo − n ⋅ φ A sL = (n − 1) 1,20 − 2 × 0,04 − 2 × 0,008 − 22 × 0,012 s= (22 − 1) s

=

=

0,04 m

s,mín = máx{ φ A sL,maior ; φ , eq,maior ; dg + 5mm; 2cm } = = máx{ 0,012m;- - -; 0,025 + 5mm; 0,02m } = 0,03 m < 0,04 m iiii) Armaduras nos apoios de extremidade: Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b temos: FT

=

1,2 ⋅ Vsd

A s, apoio − A s, apoio −

= 1,2 × 720 =

864 kN ⇒ A s, apoio +

=

FT f syd

=

864 435000

= 19,86

cm2

{A s,mín; 0,15 ⋅ A sL } ≥ {20,36; 0,15 × 47,28} ≥ {20,36; 7,09} ⇒ 20,36 cm2 ≥


29

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Armaduras transversais: i) Armadura mínima: 0,08 ⋅ f ck A sw ,mín = ⋅ bw s f syk

=

0,08 × 30 500

× 0,40 =

3,51 cm2 /m


6mm; 0,25 ⋅ φ A sL φ estribo ≥ {6mm; 4mm}

≥

6mm; 0,25 × 12


≤

0,7 ⋅ d ⋅ (1 + cotgα )

com

α =

Vsd z


σ c,BC σ c,BC σ c,BC

  em MPa   f  ck   Vsd (z ⋅ cotgθ )   = ≤ 0,6 ⋅ 1  ⋅ f cd 0,9 ⋅ d ⋅ b w ⋅ senθ ⋅ cosθ 250     506,84 30   = ≤ 0,6 × 1 × 20 × 10 3  0,9 × 1,1395 × 0,4 × sen30 × cos30  250  =

2,9 MPa ≤ 10,6 MPa ⇒ Verifica


30

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO ii) Devido ao momento torsor: Bielas comprimidas


 f ck   em MPa    Tsd    ⋅ f = ≤ 0,6 ⋅ 1 2 ⋅ A ef ⋅ hef ⋅ senθ ⋅ cosθ 250  cd    36 30   3 2 0 10 = ≤ 0,6 × 1 × ×  2 × 1,1025 × 0,15 × sen30 × cos30  250  =


ii) Devido à interacção do esforço transverso e do momento torsor: Bielas comprimidas

σ c,BC σ c,BC

 f ck   em MPa    Transverso Torsor    ⋅ f = σ c,BC + σ c,BC ≤ 0,6 ⋅ 1 cd 250     = 2,9 + 0,251 = 3,151 MPa ≤ 10,6 MPa ⇒ Verifica

Verificação nas armaduras devido à Torção: i) Espaçamento das armaduras longitudinais: s máx = 35 cm ii) Espaçamento das armaduras transversais: 1   1  ⋅ uef ; b; h; 0,75 ⋅ d  = mín × 4,20; 1,20; 1,20; 0,75 × 1,1395   8   8  s,máx = mín{ 0,525; 1,20; 1,20; 0,855 } = 0,525 m s,máx = mín


31

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Pormenorização:


32


i) DISPENSAS: Armaduras longitudinais: i) Armaduras longitudinais:

44

φ 12

(49,72 cm2 ) → 22 φ 12 (24,86 cm2 )

ii) Momento resistente: A sL, ef = 24,86 cm2 ω =

A sL, ef ⋅ f syd b ⋅ d ⋅ f cd

=

→ ω → µ →

24,86 × 10 − 4 × 435 × 103 1,2 × 1,125 × 20 × 103

µ = ω ⋅ (1 − 0,588 ⋅ ω ) =

MRd

=

MRd

4,0052 × 10 − 2

×

=

4,0052 × 10 − 2

(1 − 0,588 × 4,0052 × 10 2 ) = 3,9109 × 10 −

b ⋅ d2 ⋅ f cd ⋅ µ = 1,2 × 1,1252 × 20 × 10 3 × 3,9109 × 10 − 2

=

−2

1187,94 kN.m

iii) Comprimento de translação: aL

=

z 1,0125 ⋅ cotgθ = × cotg30 2 2

o

=

0,88 m

iv) Determinação das coordenadas “x”:


33


MRd

x2 −p sd ⋅ 2

=

+

Vsd A ⋅ x

1187,94 = -60x2

=

-60x 2

720x ⇒ x1

+

+ 720x

= 1,97

m ∨ x2

= 10,03

m

v) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura: Tensão de aderencia f bd σ sd

A sL, disp ⋅ f A sL, total syd

=

lb,rqd

=

σ sd 4 f bd

φ

⋅

=

=

=

2,25 ⋅η1 ⋅η2 ⋅ f ctd

=

2,25 × 1 × 1 ×

2,1 1,5

=

3,15 MPa

24,86 × 435 = 217,5 MPa 49,72

0,012 217,5 × 4 3,15

lbd

= α 1 ⋅ α 2 ⋅ α 3 ⋅ α 4 ⋅ α 5 ⋅ lb, rqd =

X1

=

x 1

−

aL

− lbd =

X2

=

x 2

+

aL

+ lbd = 10,03 +

=

0,21 m

lb,rqd

=

0,21 m

1,97 − 0,88 − 0,21 = 0,89 m → 0,90 m 0,88 + 0,21 = 11,11 m → 11,10 m

Armaduras transversais: i) Cálculo do Esforço Transverso resistente:


34

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO A sw ,mín = 3,51 cm2 /m ⇒ VRd s A VRd = sw ,mín ⋅z ⋅ cotgθ ⋅ fsyd = 3,51 × 10 − 4 × 1,0125 × cotg30 × 435 × 103 s VRd = 267,76 kN ii) Determinação dos pontos de dispensa:

Vsd − VRd p sd x1 = 3,77 m x1

=

Estribos 4R A sw A 3,51 = 3,51 cm2 /m       → sw ,ramo = s s 4 ⇒ EST. 4R φ 6//0,30 m


=

=

720 − 267,76 120

0,88 cm2 /m

35

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Exame

21/01/2008

GRUPO 1

ACÇÕES:

CP = 30 kN/m (γ CP=1,5)

MATERIAIS: C30/37

SC = 24 kN/m (γ SC=1,5)

A500NR

Rec = 3 cm a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite último de flexão na secção B. Comente quanto à sua ductilidade. b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção condicionante e dimensione as suas armaduras. c) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e pormenorize a secção B (armaduras transversais e longitudinais obtidas nas alíneas anteriores). d) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

36

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO e) Pormenorize a viga em alçado.

GRUPO 2 a) A classe de um betão é indicada pela letra C seguida de dois números (C30/37, por exemplo). O que representam estes dois números e como são obtidos? b) Diga porque razão, para a pormenorização das armaduras longitudinais em vigas, se deve efectuar uma translação de diagramas de momentos flectores de “al=z/2cotgθ”. c) Explique porque razão na análise dos esforços de uma estrutura de betão armado se pode, em geral, desprezar a rigidez de torção.


37


GRUPO 1 Cálculo dos esforços e diagramas: 


Esforços:     

∑Fv

=

∑ MA

=

Vsd A

=

VsdB, dir MsdMsd +

p sd , total ⋅ L 0

 A B R sd A = 418,66 kN R sd + R sd = 1109,7 kN   ⇔  ⇒  B R B = 691,04 kN 81 × 13,72 =0  sd R sd × 11 2 

418,66 kN

81 × 2,7 = 218,70 kN → VsdB, esq = 691,04 − 218,70 81 × 2,72 = = 295,25 kN.m 2 81 × 112 = − 295,25 = 929,88 kN.m 8 =


=

472,34 kN

38



39


a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: 

d = h -  rec + φ estribo 

+

0,012    = 1,00 -  0,03 + 0,008 +  = 0,956m 2  2  

φ As 


µ =

Msd b w ⋅ d2 ⋅ f cd

=

295,25 0,4 × 0,9562 × 20 × 103

=

4,0382 × 10- 2


ω = µ × (1 + µ ) =

4,0382 × 10 -2 × (1 + 4,0382 × 10 -2 ) = 4,2012 × 10-2

ω =

1 − 1 − 2,42 × µ 1,21

ω =

1 − 1 − 2,055 × µ 1,028

1 − 1 − 2,42 × 4,0382 × 10 - 2 = 1,21

=

4,1420 × 10- 2

1 − 1 − 2,055 × 4,0382 × 10- 2 = 1,028

=

4,1236 × 10- 2


= 1,47 ⋅ ω = 1,47 × 4,2196 × 10 -2 =

x

=

k ⋅ d = 0,062 × 0,954

=

0,062

0,059m

Como a posição da Linha Neutra situa-se na alma, o modelo de cálculo utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas supondo que a viga é rectangular maciça com b=b w=0,40m. Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,25m) a secção é considerada dúctil, ou seja, as armaduras entram em cedência antes do betão. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

40


A sL −

= ω ⋅ b ⋅ d ⋅

f cd f syd

=

4,2196 × 10 − 2 × 0,40 × 0,956 ×

20 435

=

7,39cm2

b) ARMADURAS TRANSVERSAIS : Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das armaduras: Vsd (z ⋅ cotgθ ) = Vsd


i) θ =30°. ii) z

=

0,9 ⋅ d = 0,9 × 0,956 = 0,8604m VsdB, esq (z ⋅ cotgθ ) = 472,34 − 81 × 0,8604 × cotg 30°

=

351,62 kN

VsdB, dir (z ⋅ cotgθ ) = 218,70 − 81 × 0,8604 × cotg 30°

=

97,99 kN

Cálculo das armaduras transversais: A sw B, esq s


=

351,62 0,8586 × cotg 30° × 435 × 103

=

5,42 cm2 /m

A sw B, dir Vsd (z ⋅ cotgθ ) = s z ⋅ cotgθ ⋅ f syd

=

97,99 0,8586 × cotg 30° × 435 × 10 3

=

1,51 cm2 /m

=

Como é uma secção em “T” há necessidade de colocar estribos de ligação banzo-alma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da armadura calculada anteriormente. JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

41



42


c) VERIFICAÇÕES: Armaduras longitudinais: i) Armadura mínima: A sL, mín −

=

0,26 ⋅

f ctm 2,9 ⋅ b t ⋅ d = 0,26 × × 1,0 × 0,954 f syk 500

= 14,39

cm2

ii) Armadura máxima: A sL, máx −

=

0,04 ⋅ Ac

=

0,04 × (1,00 × 0,3 + 0,4 × 0,7) = 232 cm2

A sL, mín −

=

14,39 cm2

>

A sL −

=

7,40 cm2

Utilizando varões de 12mm serão necessários 13 varões para verificar o E.L.U. de Flexão AsL, ef (13 φ φ 12) = 14,69 cm2. iii) Espaçamento entre varões: b − 2 ⋅ c − 2 ⋅ φ estribo − n ⋅ φ A sL = (n − 1) 1,00 − 2 × 0,03 − 2 × 0,008 − 13 × 0,016 s= (13 − 1) s

=

=

0,06 m

s,mín = máx{ φ A sL,maior ; φ , eq,maior ; dg + 5mm; 2cm } = = máx{ 0,012m;- - -; 0,025 + 5mm; 0,02m } = 0,03 m < 0,06 m A s, apoio −

≥

{A s,mín; −} ≥ {14,39; −} ⇒ 14,39 cm2

Armaduras transversais:


43

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO i) Armadura mínima: 0,08 ⋅ f ck A sw ,mín = ⋅ bw s f syk

=

0,08 × 30 500

× 0,40 =

3,51 cm2 /m


6mm; 0,25 ⋅ φ A sL φ estribo ≥ {6mm; 4mm}

≥

6mm; 0,25 × 16


≤

0,7 ⋅ d ⋅ (1 + cotgα )

com

α =

Vsd z



 f ck   em MPa    Vsd (z ⋅ cotgθ )    ⋅ f = ≤ 0,6 ⋅ 1 cd 0,9 ⋅ d ⋅ b w ⋅ senθ ⋅ cosθ 250     351,62 30   3 20 10 = ≤ 0,6 × 1 × ×  0,9 × 0,956 × 0,40 × sen30 × cos30  250  =


Pormenorização: i) Armaduras longitudinais Flexão: JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

44

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO A sL −

= 14,39

cm2 ⇒ 13

φ 12

(14,70 cm2 )

ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso: Estribos de 2 ramos A sw B, esq A 5,42 = 5,42 cm2 /m         → sw , ramo = s s 2 ⇒ EST. 2R φ 8//0,15 m

A sw B, dir A sw A 3,51 Est 2R =   → sw , ramo = ,mín = 3,51 cm2 /m   s s s 2 ⇒ EST. 2R φ 8//0,25 m


=

2,71 cm2 /m

= 1,78

cm2 /m

45


d) DISPENSA DE ARMADURAS: Armaduras longitudinais: Não é possível dispensar armaduras longitudinais superiores, pois esta armadura é a mínima e indispensável para o bom funcionamento da estrutura quer ao nível da resistência, quer ao nível do controlo da fendilhação. Armaduras transversais: i) Cálculo do Esforço Transverso resistente: A sw ,mín = 3,51 cm2 /m ⇒ VRd s A VRd = sw ,mín ⋅z ⋅ cotgθ ⋅ fsyd = 3,51 × 10 − 4 × 0,8604 × cotg30 × 435 × 103 s VRd = 227,54 kN ii) Determinação do ponto de dispensa: VsdB, esq − VRd x= p sd x = 3,02 m

=

472,34 − 227,54 81

A sw Estribos 2R = 3,51 cm2 /m       → s A sw 3,51 ,ramo = = 1,76 cm2 /m s 2 ⇒ EST. 2R φ 8//0,25 m


46



47


2º Exame

3/02/2004

2ª PARTE

ACÇÕES:

CP = 48 kN/m (γ CP=1,5)

MATERIAIS: C30/37

SC = 36 kN/m (γ SC=1,5)

A500NR

Rec = 3 cm a) Verifique a segurança da viga ao E. L. U. de flexão no apoio B. b) Verifique a segurança ao E. L. U. de esforço transverso na zona do apoio B e dimensione as armaduras transversais necessárias.


48

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO c) Pormenorize as armaduras calculadas na secção B Pormenorize as armaduras transversais ao longo do troço AB (não considere alternância de sobrecargas).


49


1ª PARTE a) Represente o diagrama momento-curvatura de uma secção de betão armado identificando os fenómenos físicos que nesse diagrama ficam patentes. Identifique o que entende por ductilidade em flexão e explique porquê pode avaliar esse parâmetro através da posição da Linha Neutra no E. L. U. b) Explique porque razão se devem adoptar armaduras longitudinais distribuídas numa viga sujeita à torção. Explique porque razão se trata o E. L. U. de resistência à torção de secções rectangulares com um modelo de secção oca.


50


GRUPO 1 Cálculo dos esforços (tabelas):

p sd

1,50 × (48 + 36) = 126 kN/m 3 Vsd A = × 126 × 8 = 378 kN 8 5 Vsd B,esq = × 126 × 8 = 630 kN 8 126 × 8 2 M sd = = 1008 kN.m 8 =

a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: d = h -   rec + φ estribo 

+

0,025    = 1,00 -  0,03 + 0,008 +  = 0,95m 2  2  

φ As 



51

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Msd 1008 = = 5,5845 × 10- 2 2 2 3 b w ⋅ d ⋅ f cd 1,00 × 0,95 × 20 × 10

µ =


ω = µ × (1 + µ ) =

5,5845 × 10-2 × (1 + 5,5845 × 10-2 ) = 5,8964 × 10-2

ω =

1 − 1 − 2,42 × µ 1,21

ω =

1 − 1 − 2,055 × µ 1,028

1 − 1 − 2,42 × 5,5845 × 10-2 = 1,21

=

5,7871 × 10-2

1 − 1 − 2,055 × 5,5845 × 10- 2 = 1,028

=

5,7374 × 10- 2


= 1,47 ⋅ ω = 1,47 × 4,2196 × 10 -2 =

x

=

0,087

k ⋅ d = 0,087 × 0,95 = 0,083m

Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas supondo que a viga é rectangular maciça com b=b w=1,00m. Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,25m) a secção é considerada dúctil, ou seja, as armaduras entram em cedência antes do betão. Cálculo das armaduras longitudinais: A sL −

= ω ⋅ b ⋅ d ⋅

f cd f syd

=

5,8964 × 10 − 2 × 1,00 × 0,95 ×

20 435

=

25,75cm2

b) ARMADURAS TRANSVERSAIS : Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das armaduras: JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

52

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO Vsd (z ⋅ cotgθ ) = Vsd


i) θ =30°


53

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO ii) z

=

0,9 ⋅ d = 0,9 × 0,95 = 0,855m Vsd A (z ⋅ cotgθ ) = 378 − 126 × 0,855 × cotg 30° = 191,41 kN VsdB, esq (z ⋅ cotgθ ) = 218,70 − 81 × 0,8604 × cotg 30°

=

443,41 kN

Cálculo das armaduras transversais na alma: A sw A s

=

A sw B, esq s

Vsd (z ⋅ cotgθ ) z ⋅ cotgθ ⋅ f syd =

=

191,41 0,855 × cotg 30° × 435 × 10 3


=

=

443,41 0,855 × cotg 30° × 435 × 103

2,97 cm2 /m

=

6,88 cm2 /m

Como é uma secção em “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de suspensão. A sw s suspensão

=

F f syd

i) Calculo de F: F

=

( − ppalma pp

A sw s suspensão

=

F f syd

+

SC ) ⋅ γ = [(48 - 0,15 × 1,00 × 25) + 36] × 1,5 = 116,63 kN

=

116,63 435000

=

2,68 cm2 /m

ii) Armadura total na alma: A sw B, esq A sw B, esq A sw = + s Total s s suspensão → EST 2R φ 8//0,10 m A sw A A sw A A sw = + s Total s s suspensão → EST 2R φ 8//0,15 m JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS

=

=

6,88 + 2,68

2,97 + 2,68

=

=

9,56 cm2 /m →

5,65 cm2 /m →

54



55

Testes e resolução BA1

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