Tema 3.1 y 3.2 Investigacion de Operaciones

TECNOLÓGICO DE ESTUDIO SUPERIORES DE TIANGUISTENCO

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

INVESTIGACION DE OPERACIONES 1

NOMBRE DEL TRABAJO: INVESTIGACION BIBLIOGRAFICA Unidad 3- DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD NOMBRE DE LOS INTEGRANTES DEL EQUIPO: ROSA HERNANDEZ CERON ABRAHAM ALONSO ALEXIS BENJAMIN CESAR MANDUJANO ALEXIS DANIEL MARTINEZ KARL HANSSEN SIGURD EDI URIAS NOMBRE DEL PROFESOR SARAI

TIANGUISTENCO, MÉX., 19 DE OCTUBRE DE 2013.

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INDICE 3.1. Teoría primal-dual 3.2. Formulación del problema dual. 3.3. Relación primal-dual. 3.4. Dual-Simplex 3.5. Análisis de sensibilidad: cambio en el vector recursos (bj) y sus limites, cambio en el vector (Ci) y sus limites, adición de una variable (Xi), cambio en coeficientes tecnológicos (aij), Adición de una nueva restricción 3.6. Interpretación del análisis de sensibilidad 3.7. Uso de software

INTRODUCCION Encontrar el óptimo de un problema de optimización, es solo una parte del proceso de solución. Muchas veces nos interesara saber cómo varia la solucion si varıa

alguno de los parámetros del problema que frecuentemente se asumen como determinísticos, pero que tienen un carácter intrínsecamente aleatorio. Más especialmente nos interesara saber paraqué rango de los parámetros que determinan el problema sigue siendo válida la solución encontrada.

CONCLUSION BIBLIOGRAFIA









UNIDAD 3 DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en c ualquier

aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades. El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. 

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero. 

Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiara por separado si la modificación es para una variable nobásica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes. 

Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar mencionar que una variación en el coeficiente de una variable nonobásica, no necesariamente conlleva a una infracción no mejorada a la solución óptima actual, aunque en ciertas ocasiones si lo haga.

3.1.

TEORÍA PRIMA-DUAL. PRIMA-DU AL.

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (u original). Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de que la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al









de restricciones (     ), y el signo de las variables (no negativas o restrictivas). Requiere expresar el problema primal en la forma de ecuación (todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo, y todas las variables son negativas). Este requerimiento es consistente, de ahí que cualesquier resultados obtenidos a partir de la solución óptima primal se aplica diferente al problema dual asociado. Las ideas clave para construir el dual a partir del primal se resumen como sigue: 1. Asigne un variable dual por cada restricción primal. 2. Construya una restricción dual por cada variable primal. 3. Los coeficientes de restricción y el coeficiente objetivo de la variable primal j-ésima definen respectivamente los lados izquierdos y derecho de la restricción dual j-ésima. 4. Los coeficientes objetivo duales son iguales a los lados derechos de las ecuaciones de restricción primales. 5. Las reglas rigen el sentido de la optimización de las desigualdades y los signos de las variables en el dual.

3.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL. Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo establecido. En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de programación dual. La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente información respecto del problema de programación original: 1.

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el









REGLAS PARA CONSTRUIR EL PROBLEMA DUAL Problema dual Objetivo del Signo de las problema primal ª Objetivo Tipo de restricción variables Maximización Minimización Irrestricta ≧ Minimización Maximización Irrestricta ≦ PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN Restricciones

PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN Variables

≧



≦0

≦



≧0

= Variables



≧0



≦0



Irrestrictas



Restricciones irrestrictas

=

EJEMPLO: Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2). La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2. El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

OPERACIÓN

HORAS MANUAL

REQUERIDAS ELECTRICA

O1 O2

3 1

2 2

CAPACIDAD (HRS MENSUALES) 2000 1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.









VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir



X1 = número de máquinas de escribir manuales X2 = número de máquinas de escribir eléctricas Maximizar Z= 40 X1 + 60X2 Sujeto a:               

Minimizar Z=2000 W1 + 1000 W2 Sujeto a:               

V. Básica Z S1 W1 Solucion óptima dual:               

Z 1 0 0

W1 0 1 0

W2 0 0 1

S1 5 1/ 2 -1/ 4

S2 25 -1/2 3/ 4

Solución 35000 500 250

Solucion optima primal:               

TAHA HAMDY A. Investigación de Operaciones. 9na edición. Ed., PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012. Pág. 137- 174.













3.3 DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL (Relaciones primal-dual) Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD) , que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como problema primal (PP). Las relaciones las podemos enumerar como siguen: a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal. d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de minimización. h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original. Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y „normalizada‟, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o iguales para los problemas de maximización.









La dualidad permite generar métodos como el método dual del simplex de gran importancia en el análisis de pos optimización y en la programación lineal paramétrica. Bibliografía o cibergrafia investigaciondeoperaciones.net/dualidad_en_programacion_lineal...

3.4 DUAL SIMPLEX 2.1 Teoría del método simplex Para poder aplicar el método simplex a un modelo de programación lineal es necesario que este se encuentre en su forma estándar. La forma estándar. Las características de la forma estándar son: 1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de no negatividad que permanecen como desigualdades. 2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuación son no negativos. 3.-Todas las variables son no negativas. 4.-la función objetivo es del tipo de Maximización o minimización.









3.-Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le antepone el signo negativo a su lado derecho. 4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o cero) es equivalente a la diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X es irrestricta en signo puede remplazarse por (X +-X-) donde X + y X- son 5.icando ambos lados por (-1). 6.-Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones opuestas. 7.-La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización de la expresión negativa de esta función –f(x), y viceversa. El método simplex. Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar. En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas. La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el número de variables que son iguales a cero en un punto extremo, las cuales son llamadas variables no básicas, básicas, y las variables restantes son llamadas básicas. El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica. 1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la tabla simplex









como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente negativo y en minimización como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente positivo, en la ecuación X 0. Un empate entre dos variable no básicas o más se rompe arbitrariamente. Cuando los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación X 0 (Función objetivo) son no negativos (maximización) o no positivos (minimización) se ha llegado al punto óptimo. 5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica correspondiente al cociente más pequeño de los valores actuales de las variables básicas entre los coeficientes positivos de las restricciones de la variable que entra. Un empate puede romperse arbitrariamente. http://itsuiiideo1.blogspot.mx/2012/02/21-teoria-del-metodo-simplex.html









3.5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en la solución óptima al realizar cambios en cualquiera de los parámetros del modelo de programación lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se investigan están: los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo tanto para variables básicas como para las variables no básicas, cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variación de los coeficientes de utilización en las restricciones e introducción de una nueva restricción.

El objetivo principal del análisis de sensibilidad : es identificar el intervalo permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar sin que cambie la solución óptima. Sin embargo, así mismo se identifica aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima. Los investigadores de operaciones tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar que estas fluctuaciones pueden desembocar en una solución no factible. A modo general, cuando se realiza un análisis de sensibilidad a una solución óptima se debe verificar cada parámetro de forma individual, dígase los coeficientes de la función objetivo y los límites de cada una de las restricciones. En ese sentido se plantea el siguiente procedimiento:











5. Prueba de optimalizad: se verifica si esta solución es optima y factible, mediante la comprobación de que todos lo coeficientes de las variables no básicas del reglón Z permanecen no negativos. 6. Re-optimización: si esta solución no pasa una de las pruebas indicadas en en los puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solución optima a partir de la tabla actual como tabla Símplex inicial, luego de aplicadas las conversiones de lugar, ya sea con el método Símplex o el Símplex Dual.

Aplicación del análisis de sensibilidad Este análisis casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los valores de las bi, la cantidad del recurso i (i = 1, 2,. . ., m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo. La interpretación económica de las variables duales (las yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que se deben estudiar. P r im i m e r c a s o : C a m b i o s e n l a s b i ( c o l u m n a l ad a d o d e r ec ec h o )

Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de









Tercer caso : Cambio s en los co eficientes d e una variable básic a

Ahora suponga que la variable xj (con j fija) que se está estudiando es una variable básica en la solución óptima que se muestra en la tabla simplex final. El caso 3 supone que los únicos cambios al modelo actual se hacen en los coeficientes de esta variable. El caso 3 difiere del 2a debido al requisito de que la tabla simplex debe estar en la forma apropiada de eliminación de Gauss. Esta forma permite que los elementos en la columna de una variable no básica tengan cualquier valor, así que no afecta en el caso 2a. Sin embargo, para el caso 3 la variable básica xj debe tener coeficiente 1 en su renglón de la tabla simplex y coeficiente 0 en todos los demás renglones (incluyendo el renglón 0). Por lo tanto, una vez que se han calculado los cambios en la columna xj de la tabla simplex final, es probable que sea necesario aplicar la eliminación de Gauss para restaurar la forma apropiada. Este paso, a su vez, quizá cambie los valores de la solución básica actual, y puede hacerla no factible o no óptima (con lo que puede ser necesario re optimizar). Cibergrafias o citas: http://www.investigaciondeoperaciones.net/analisis_de_sensibilidad.html









El análisis de sensibilidad permite estudiar como las variaciones en los valores de los coeficientes del modelo modificaran la solucion optima sin tener que resolver el problema para las distintas posibilidades. Este análisis co nstituye una parte muy importante en el estudio de los problemas de pl. p l. La justificación formal del análisis de sensibilidad la da el estudio del problema dual al problema principal que se está viendo. Las relaciones entre la solucion del problema dual y el primal permiten calcular otros parámetros como los precios sombra de los recursos, los límites de variación aceptables para que no se modifique la solucion optima, las holguras complementarias o como cambiarían las cosas si se debe introducir una nueva restricción. Todos estos parámetros se pueden analizar de manera analítica, aunque no se hara en el presente texto pues el enfoque es aprender por medio del análisis de problemas. Análisis de sensibilidad: interpretación gráfica El análisis de sensibilidad estudia los efectos sobre la solucion optima debidos a: a) cambios en los coeficientes de la FO, b) cambios en la disponibilidad de los recursos, c) cambios en los coeficientes técnicos debidos, por ejemplo, a cambios en la tecnología o en las materias primas utilizadas, d) la introducción de un nuevo producto (otra variable), e) la introducción de una nueva restricción. Centraremos el análisis en los puntos a, b y e ya que son los que suelen cambiar









12

4x1 +2x2=24

10

8

8x1 +8x2=64 0x1 +1x2=6

6

4

150x1 +200x2=1500

2

2

4

6

8

Optimal Decisiones (x1, x2) : (2, 6)

10

12









Una vez que se obtiene la solución óptima se puede requerir varios informes, sin embargo, nos concentraremos en el informe de Sensibilidad. La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde a dicho informe. La











CONCLUSIONHay que considerar que todo problema de programación lineal tiene, asociado a él, un problema dual de programación lineal. Existen ciertas relaciones útiles entre el problema original (primal) y su problema dual que refuerzan la habilidad para analizar el problema original. Por ejemplo, la interpretación económica del problema dual proporciona los precios sombra que miden el valor marginal de los recursos en el problema primal, al igual que permite dar una interpretación del método simplex. Puesto que el método simplex se puede aplicar directamente a cualquiera de los dos problemas para obtener la solución de ambos al mismo tiempo, es posible ahorrar una gran cantidad de esfuerzo computacional si se maneja directamente el problema dual.

Tema 3.1 y 3.2 Investigacion de Operaciones

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