Alumna: Talavera Karen Mariela Mariela Soledad Lic. En Genética
Diferencia de Muestras 4.5.1 Un investigador se siente inclinado a creer c reer que los niveles de vitamina A en el hígado de dos poblaciones de seres humanos tiene, cada una, una distribución normal. Se supone que las variancias de las dos poblaciones son las siguientes:
Población 1: σ² = 19600 ₁
Población 2: σ² = 8100 ₂
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 15 de la primer población y otra de tamaño 10 de la segunda población proporcionen un valor de x - x ≥ 50, si no hay diferencia entre las dos medias de la población? ₁
₂
( )(₁)− ( (1−) 2 ) − = √ (₁) ₁ + ₂ 50 = √ 19.19.(50−0) = 615 6 + 81.1000 28.48 =1.75 µ
µ
²
²
4.5.2 En un análisis de gastos familiares anuales para el cuidado general de la l a salud, se investigaron dos poblaciones con los siguientes resultados: Poblacion 1: n = 40; x = $346 ₁
₁
Poblacion 2: n = 35; x = $300 ₂
₂
Si se sabe que la variancia de las poblaciones es de σ² = 2800 y σ² = 3250, respectivamente, ¿Cuál ₁
₂
es la probabilidad de obtener resultados de muestras (x - x ) tan amplios como lo mostrados si no hay diferencia entre las medias de las dos poblaciones? ₁
₂
46−0 = 12.4676 =3.60 = √ 2800 240800 + 325035
1 – 0.9998 = 0.0002
4.5.3 Dadas dos poblaciones con distribución normal y con medias iguales y variancias σ² = 100 y σ² = 80, ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras de tamaño n = 25 y n = 16, proporcionen un valor de x - x ≥ 8? ₁
₁
₂
₂
₂
₁
8 Z= √ 18−0 = =2. 6 6 3 0025 + 8016
1 – 0.9961 = 0.0039 4.5.5
Para una población de hombres jóvenes de 17 años de edad y otra población de mujeres jóvenes de 17 años de edad, las medias y desviación estándar respectivamente del grosor del pliegue subscapular son como sigue: para los varones de 9.7 y 6.0; y para mujeres es de 15.6 y 9.5. Sise obtiene una muestra aleatoria simple de 40 varones y otra de 35 mujeres a partir de dicha población ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre medias de muestras Xchicas – Xvarones sea mayor que 10?
9 = 1.4.510 =2.73 Z= √ (6.10−5. 035) + (9.405) ²
²
5.4.2 Una muestra de 10 niñas y una muestra de 10 niños de 12 años de edad, porporcionaron valores de estatura media de x = 59 y x = 58.5. Suponiendo que la estatura sigue una distribución normal con σ = 2 y σ = 3. Calcular: ₁
₂
₁
₂
a) El intervalo de confianza del 90% para x - x b) El intervalo de confianza para el 95% para x - x c) El intervalo de confianza para el 99% para x - x ₁
₁ ₂ ₁ √ n₁₁ + n₂₂ √ + (X - X ) ± Z - α ²
²
= 1.14
σ²
σ²
₂
₁
₂
₁
₂
.90% 0.5 ± 1.645 x (1.14) 0.5 ± 1,88 = (-1.38 ; 2.38) .95% 0.5 ± 1.96(1.14) 0.5 ± 2.23 = (-1.73 ; 2.73) .99% 0.5 + 2.58(1.14) 0.5 + 2.94 = (-2.44 ; 3.44)
5.4.4 Se llevo a cabo un estudio para comparar las concentraciones de lipo-proteinas de al ta densidad en hombres adultos con trabajos sedentarios y de trabajos manuales. Los datos de la muestra proporcionaron los siguientes resultados: Trabajadores S: x= 56.5; s= 14.1; n= 55 Trabajadores M: x= 51.3; s= 13.5; n= 50 Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las poblaciones. T1=2.0086 T2=2.003 X – X = 5.2 ₁
₂
( ) 14. 1 W = 55 = 3.65 W = (3.505)² =3.64
) + (63.464) x (2.003) =2.005 T´= (3.65) x (2.00863.65+3. 23..06055 + 2.3.06054 = 1.048
.95% 5.2 ± 2.005 (1.048) 5.2 ± 2.10 = (3.10 ; 7.30)
5.4.6 La medición del diámetro transversal del corazón de hombres y mujeres adultos da los siguientes resultados: Grupo Varones Mujeres
Tamaño de Muestra 12 9
X (cm)
S(cm)
13.21 11.00
1.05 1.01
Si las poblaciones siguen una distribución normal de variancias iguales, construir intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para X - X . ₁
₂
( ) ( ) ( ) 12−1 x 1. 0 5 + 9−1 x (1. 0 1)² Sp²= =1.06 12+9−2 112.06 + 1.906 =0.4539
.95% 2.21 ± 2.0930 (0.4539) 2.21 ± 0.95 = (1.26 ; 3.14) .90% 2.21 ± 1.328 (0.4539) 2.21 ± 0.6027 = (1.61 ; 2.81) .99% 2.21 ± 2.539 (0.4539) 2.21 ± 1.15 = (1.06 ; 3.36)
5.4.7 Veinticuatro animales de laboratorio con deficiencia de vitamina D fueron divididos en dos grupos iguales. El grupo 1 recibió un tratamiento consistente en una dieta que proporcionaba la vitamina D. El segundo grupo no fue tratado. Al terminar el periodo experimental, se midieron las concentraciones de calcio en suero, obteniéndose los siguientes resultados: Grupo tratado: x = 11.1 mg/100 ml; s = 1.5 Grupo S/Tratamiento: x = 7.8 mg/ 100 ml; s = 2.0 Suponer que las poblaciones siguen una distribución normal con variancias iguales y calcular los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para la diferencia entre las medias de las poblaciones. µ1 - µ2 = 11.11 – 7.8 = 3.3
( ) ( ) ( ) 12−1 x 1. 5 + 12−1 x (2. 0 )² Sp²= =3.12 12+12−2 312.12 + 3.1212 =0.75
.90% 3.3 ± 1.321 (0.72) 3.3 ± 0.95 = (2.39 ; 4.25) .95% 3.3 ± 2.0687 (0.72) 3.3 ± 1.49 = (1.81 ; 4.79) .99% 3.3 ± 2.508 (0.72) 3.3 ± 1.81 = (1.49 ; 4.79)
5.4.10 En un estudio de factores que se consideran responsables de los efectos del tabaquismo sobre la reproducción humana, se midieron los niveles de codmio (nanogramos por grano) en el tejido de la placenta de una muestra de 14 mujeres embarazadas que fumaban y una muestra aleatoria independiente de 18 mujeres no fumadoras. Los resultados fueron los siguientes
No fumadoras: 10.0, 8.4, 12.8, 25.0, 11.8, 9.8, 12.5, 15.4, 23.5, 9.4, 25.1, 19.5, 25.5, 9.8, 7.5, 11.8, 12.2, 15.0 Fumadoras: 30.0, 30.1, 15.0, 24.1, 30.5, 17.8, 16.8, 14.8, 13.4, 28.5, 17.5, 14.4, 12.5, 20.4 Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las poblaciones. ¿Es probable que el nivel medio de cadmio registrado sea mayor entre las fumadoras que entre las no fumadoras? ¿Por qué se llegaría a esta conclusión?
No fumadores X:
10.0+8.4+12.8+25.0+11.8+9.8+12.5+15.4+23.518+9.4+25.1+19.5+25.5+9.8+7.5+11.8+12.2+15.0 =14.72 Fumadores X:
30.0 +30.1 +15.0 +24.1 +30.5 +17.8 +16.8 14+14.8 +13.4 +28.5 +17.5 +14.4 +12.5 +20.4 =20.41 No fumadores S²:
22.27+39.94+3.68+105.67+8.52+24.20+4.94+0.46+77.08+28.17 30+107.74+22.84+116.20+24.20+52.12+8.52+6.35+0.078 =38.41 Fumadores S²:
91.96+93.89+29.26+13.61+101.80+6.81+13.03+31. 4 7+49. 1 4+65. 4 4+8. 4 6+36. 1 2+62. 5 6+0. 0 001 =46.42 13 µ1 - µ2 = 20.41 – 14.72 = 5.69
₁= (.) =153.92 ₂= (.) =81.96
t1=1.7709
t2=1.7396
81. 9 6 (1. 7 396) = 153.91 (1.153.7709)+ =1.759 91+81.96 ´
(46.1442)2 + (38.4181) 2 =15.36
.95% 5.69 ± 1.759 (15.36) 5.69 ± 27.01 = (-21.32 ; 32.7)
6.3.2 Un epidemiólogo desea comparar dos vacunas antirabicas para averiguar si es posible concluir que es posible su efectividad. Las personas que previamente habían sido vacunadas contra la rabia se dividieron en dos grupos. El grupo 1 recibio una dosis de refuerzo de vacuna del tipo 1, y el grupo 2 recibio una dosis de refuerzo de vacuna tipo 2. Las respuestas delos anticuerpos se registraron dos semanas después. Las medias, desviación estándar y el tamaño de las muestras para los dos grupos fueron los siguientes: Grupo 1 2
Tamaño de la muestra 10 9
X S 4.5 2.5 2.5 2.0
Sea α = 0.05 Ho: µ1-µ2 ≤0 Ha: µ1-µ2˃0 t = ± 2.0301
α=0.05
(10−1)(2. ) 5 + (9−1)(2)² =5.2 = 10+9−2 0 =0.95 = (10−9)− √ 510.2 + 5.92
Decisión: -2.0301 < 0.95 < 2.0301 No se rechaza Ho ya que Z=0.95 está en la región de aceptación. Los datos indican que no hay diferencia en la efectividad del medicamento.
6.3.3 Se registraron los valores medios de la velocidad de conducción de un nervio motor en 10 personas internadas en el centro de control de envenenamientos de un hospital metropolitano, con diagnostico de envenenamiento con metilmercurio. Se hicieron también determinaciones similares en 15 personas aparentemente sanas. Las medias y desviaciones estándar son las siguientes: Envenenados Normales
x 55 63
s 6 5
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para indicar que las medias de las poblaciones representadas por las muestras son diferentes? Sea α =0.05
( ) 9 6 + 14 (5)² =18.80 ²= 9+14−2
) − 0 =4.51 = √ (63−55 18.1580 + 18.1080 Se rechaza. Los datos indican que no hay evidencia suficiente para indicar que las medias de las poblaciones sean de muestras diferentes.
6.3.7 Se midieron las concentraciones de cortisol en dos grupos de mujeres al momento de dar a luz. Al grupo 1 se le practico una operación cesárea de urgencia después de inducido al parto. Las del grupo 2 dieron a luz mediante operación cesárea o vía vaginal después de presentarse el trabajo de parto espontáneamente. El tamaño de las muestras, los niveles medios de cortisol y las desviaciones estándar fueron las siguientes: Muestra 1 2
n 10 12
x 435 645
s 65 80
¿Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar que existe una diferencia en las concentraciones medias de cortisol en las dos poblaciones?
( ) ( ) 9 65 + 11 80 ²= 9+11−2 =6023.61
) − 0 = −0.398 = √ 6(435−645 023.10 61 + 6023.12 61 6.3.9 Un investigador esta interesado en saber si los niños nacidos prematuramente con acidosis metabólica tardía y los niños prematuros que no tienen dicha enfermedad difieren en lo que respecta a las concentraciones en la orina de la cierta sustancia química. Las concentraciones medias, desviaciones estándar y el tamaño de la muestra para ambos grupos son las siguientes: Muestra C/condición S/condición
N 35 40
x S 8.5 5.5 4.8 3.6
¿Qué puede concluir el investigador con base en estos resultados? Sea α = 0.05
₁= (5.355)² =0.86→2.0423 (3. ) 6 = 40 = 0.32 →2.0301 + 0.3322 (2.0301) =2.039 ´= 0.86 (2.04230.8)6+0. = √ (8.(5.55−4.)² +8)(3.−6)²0 =3.40 35 40
Con base en los resultados el investigador puede concluir que los niños nacidos con dicha enfermedad y los niños que no, no difieren en las concentraciones de una sustancia química.
6.3.12 ¿Es posible concluir que, en promedio, los linfocitos y las células tumorales difieren en tamaño? Los siguientes datos son el tamaño de las células de 40 linfocitos y 50 células tumorales obtenidas a part ir de la biopsia del tejido de pacientes con melanoma: 9.0 6.3 3.6 7.4 8.8
9.4 5.7 7.0 8.7 5.2
12.6 16.7 20.0 17.7 16.3
14.6 15.9 17.8 15.1 17.7
4.7 5.0 6.8 4.9 7.1
Linfocitos 4.8 8.9 3.5 7.8 7.1 5.7 7.4 6.4 5.3 4.7
16.2 15.8 13.9 16.9 18.1
Células Tumorales 23.9 23.3 17.1 20.0 16.0 17.9 13.4 19.1 22.1 13.9 18.3 22.8 16.4 22.8 19.4 19.6 24.3 11.2 19.5 18.6
4.9 10.4 7.6 7.1 8.4
8.4 8.0 6.2 6.3 6.4
5.9 8.0 7.1 8.8 8.3
21.0 16.6 13.0 18.4 16.4
19.1 18.9 17.9 18.2 16.1
19.4 18.7 15.2 20.7 21.5
Sea α = 0.05 Ho: µ1=µ2 Ha: µ2≠µ2 Linfocitos X1: Z= (X1 – X2) – (µ1 - µ2)
√ϭ12/n1+ϭ22/n2
92)− 0 = −4.300 = (6.√ (6.825−17. 0400)² + (17.5000)²
Se rechaza. No es posible concluir que los linfocitos y las células tumorales difieren de tamaño.
6.4.1 Diez animales de laboratorio fueron sometidos a condiciones que simulaban una enfermedad. Se registro el número de latidos cardiacos por minutos y después del experimento de la siguiente forma:
Latidos por minutos Animal Antes Después 1 70 115 2 84 148 3 88 176 4 110 191 5 105 158
Latidos por minutos Animal Antes Después 6 100 178 7 110 179 8 67 140 9 79 161 10 86 157
¿Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar que la condición experimental aumenta el numero de latidos del corazón por minuto? Sea α = 0.05
−= 70410 =70.4 ) − (704)² ²= 10 (51174 10 (9) =179.155 = √ 70.179.4−0155 =16.29 10
Estos datos sí son evidencia de que los latidos aumentan.
6.4.2 Se llevo a cabo un studio para averiguar si un nuevo procedimiento terapéutico es mas eficaz que el procedimiento estándar para mejorar la destreza digital de ciertas personas discapacitadas. Se utilizaron veinticuatro parejas de individuos en el estudios y cada pareja se formo con base en el grado del impedimento, inteligencia y edad. A uno de los miembros de cada pareja se le asigno aleatoriamente el nuevo tratamiento, mientras que el otro recibió el tratamiento estándar. Al termino del periodo experimental, se sometió a cada individuo a prueba de destreza digital y se obtuvieron las siguientes puntuaciones. Sea α = 0.05 Par 1 2 3 4 5 6 7 8
Nuevo Estándar 49 54 56 42 70 63 83 77 83 83 68 51 84 82 63 54
Par 13 14 15 16 17 18 19 20
Nuevo Estándar 52 41 73 67 52 57 73 70 78 72 64 62 71 64 42 44
9 10 11 12
67 79 88 48
62 71 82 50
21 22 23 24
51 56 40 81
44 42 35 63
−= 13924 =5.79 ) − (139)² ²= 24 (1683 24 (23) =38.17 = 5.√ 738.9−017 =4.59 24
Se rechaza. El nuevo tratamiento no es mejor que el estándar.
6.4.4 Diez varones de 16 años de edad fueron medidos al momento de levantarse por la mañana y al acostarse por la noche con los siguientes resultados: Estatura (cm) Individuo Mañana 1 169.7 2 168.5 3 165.9 4 177.7 5 179.6
Tarde 168.2 165.5 164.4 175.7 176.6
Estatura (cm) Individuo Mañana 6 168.8 7 169.2 8 167.9 9 181.8 10 163.3
Tarde 166.5 167.4 166.3 179.7 161.3
−= −17.10 6 = −1.76 4) − (−20.6)² =0.30 ²= 10 (45.210(9)
= −1.√ 07.36−0 = −10.35 00 10 -d
+t(1 – α/2)S-d
-1.76 + 10.091(0.17) -1.76 + 1.710 -3.47 ; -0.05
6.4.5 Un grupo de investigadores desea saber si es posible concluir ( α = 0.05) que el flujo craneano de sangre en recién nacidos saludables es diferente según la etapa del sueño. Se colectaron los datos de 20 individuos durante sueño activo y durante sueño tranquilo. Tales resultados fueron los siguientes: Flujo sanguíneo durante Individuo S. Activo S. Tranquilo 1 38.8 26.8 2 51.3 34.8 3 43.8 31.8 4 64.9 56.6 5 29.8 29.0 6 43.4 37.2 7 44.8 36.3 8 33.9 25.2 9 62.7 42.2 10 40.1 29.3
Flujo Sanguíneo durante Individuo S. Activo S. Tranquilo 11 55.3 44.1 12 47.4 46.1 13 32.5 26.5 14 60.6 53.2 15 32.0 30.6 16 60.6 53.2 17 45.7 32.1 18 63.0 49.2 19 69.9 51.9 20 33.6 28.7
−= −180.20 5 = −9.025 1)− (−180−3)² = 24.78 ²= 20(2096.320(19) = −9.√ 204.25−0 720 8 = −8.10
5.7.1 La administradora de un hospital desea estimar el peso medio de los bebes nacidos en su hospital. Si se desea un intervalo de confianza para el 99% con una amplitud de 1 libra ¿Qué tan grande debe ser la muestra de los registros de nacimientos? Supóngase que un estimador razonable para σ es 1 libra. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si el coeficiente de confiabilidad se hace descender al .95?
Respuesta: 27 y 16
( ) ( ) 2. 5 3 1 ₁= (5) = 0.26 ( ) 1. 9 6 ₂= (5)² (1)² =0.1153
5.7.3 Un medico desea conocer el valor medio de glucosa en sangre en ayunas (mg/100ml) de pacientes atendidos en una clínica para diabéticos durante el transcurso de los últimos 10 años. Determinar el número de registros que el médico debe examinar para obtener un intervalo de confianza para el 90% para u si la dimensión requerida para el intervalo es de 6 unidades y una muestra piloto presenta una variancia de 60.
= (1.(3)²65)² =18.5 →10
5.7.4 Se desea estimar la edad media en la que los pacientes de esclerosis múltiple se les diagnostico el padecimiento por primera vez. Se requiere un intervalo de confianza para el 35% con una dimensión de 10 años. Si la variancia de la población es de 90. ¿Qué tan grande deberá ser la muestra? 0.95 ____ 1.96 0.35 ____ x = 0.65
( ) 0. 6 5 = (5) 90 =7.60 →8
