Tarea#3 - Criterios de estabilidad de Routh

CRITERIO CRITERIO DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH ELABORADO POR:

GRUPO #5

-Hanliet Lira

2007-21950

-Claudia Mendez

2007-21558

-Sergio Mendieta

2007-21604

-Sabrina Mendoza

2007-21557

-Francisco Sevilla

2007-21835

-Frederick Ramirez

2007-21655

GRUPO 4T1 – ELECTRONICA

10/Nov/2010

OBJETIVOS



Entender el concepto de Estabilidad de los Sistemas Sistem as de Control LTI. LTI.



Conocer y comprender los Criterios de Estabilidad de Routh y su significado en la determinación de la estabilidad de los sistemas.

ESTABILIDAD “Estabilidad”, definido simplemente, es la cuantificación de cómo los sistemas responden a perturbaciones externas. •

Cualquier diseño en sistemas de control esta restringido en el dominio de la estabilidad. •

Para que el sistema funcione funcion e correctamente las condiciones de estabilidad deben satisfacerse satisfacerse •

ESTABILIDAD Para el análisis de estabilidad estabi lidad se considera a las perturbaciones como condiciones iniciales del sistema. •

La estabilidad de un sistema lineal: (Bounded ed Input Input - Bounde Bounded d Output Output)) BIBO(Bound ZIZO(Zero Input – Zero Output)

•

•

•

Perturbaciones

Entrada

Salida

CRITERIOS DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH El criterio de estabilidad de Routh permite determinar determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener tener que factorizar factorizar el polinomio. •

Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos •

•

Es una forma forma simple simple para para determin determinar ar la estabilidad estabilidad de un siste sistema ma dado. dado.

Este Este metod metodo o no nece necesita sita resolv resolver er la ecuacion ecuacion diferenc diferencial ial que describe describe el sistema sistema fisico. fisico. •

Requier Requieree unicament unicamentee el analisis analisis de los polos que se encuentr encuentran an en la funcion funcion caract caracterist eristica ica (denomina (denominador dor de la funcion funcion de transfer transferenc encia) ia) •

PROCEDIMIENTO CRITERIO CRITERIO DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH 1. Escrib Escribir ir el polino polinomio mio en en s del denominador en la forma siguiente: Los coeficientes son cantidades reales . Se elimina cualquier cualquie r raíz cero cero

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo

PROCEDIMIENTO CRITERIO CRITERIO DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordenar los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el arreglo siguiente

PROCEDIMIENTO CRITERIO CRITERIO DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH Los coeficientes coeficientes b1, b2, b3,…, c1, c2, c3,…, d1, d2,… se evalúan del modo siguiente:

La evaluación continua hasta que todas las restantes son cero

Ejemplo 1:

Dada la siguiente ecuación características, determine la estabilidad del sistema:

Ejemplo 1:


1

3

2

4

1 -6 5

5

5

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Estos significa que existen dos raíces con partes reales positivas, por lo que el sistema es inestable.

Ejemplo 1: (Solución en MATLAB®) Ecuación Característica: >> den=[1 2 3 4 5]; >> r=roots(den) r = 0.2878 0.28 0.287 78 -1.2878 -1.2 -1.287 878 8

+ + -

1.4161i 1.41 1.4161 61i i 0.8579i 0.85 0.8579 79i i

>> zplane(0,r)

Ejemplo 2:

Considere el sistema de la figura. f igura. Determine Determ ine el rango de valores de K para la estabilidad. estabili dad.

La función de transferencia es:

La ecuación característica del sistema es:

Ejemplo 2:

Determine el rango de valores de K para la estabilidad. estabilida d.

1

3

3

2 K

K

K

Ejemplo 2:

Determine el rango de valores de K para la estabilidad. estabilida d. 1

3

3

2

K

K K Para que el sistema sea estable K debe cumplir las siguientes condiciones:

Por lo tanto, el rango de K es: es :

Ejemplo 2: (Solución en MATLAB®) Ecuación Característica:

>>k=-2

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -2.2372 -0.6189 + 1.2242i -0.6 -0.618 189 9 - 1.22 1.2242 42i i 0.4751

>> zplane(0,r)


>>k=-1

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -2.1365 -0.5860 + 1.0832i -0.5 -0.586 860 0 - 1.08 1.0832 32i i 0.3086

>> zplane(0,r)


>>k=0

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = 0

-2.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5 -0.500 000 0 - 0.86 0.8660 60i i >> zplane(0,r)


>>k=0.25

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.9554 -0.4442 + 0.7883i -0.4 -0.444 442 2 - 0.78 0.7883 83i i -0.1562 >> zplane(0,r)


>>k=0.5

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.9034 -0.3396 + 0.7169i -0.3 -0.339 396 6 - 0.71 0.7169 69i i -0.4175 >> zplane(0,r)


>>k=1

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.7549 -1.0000 -0.1226 + 0.7449i -0.1 -0.122 226 6 - 0.74 0.7449 49i i >> zplane(0,r)


>>k=1.25

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.6046 -1.2772 -0.0591 + 0.7787i -0.0 -0.059 591 1 - 0.77 0.7787 87i i >> zplane(0,r)


>>k=1.5

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.4903 -1.4 -1.490 903 3 -0.0097 -0.0 -0.009 097 7

+ + -

0.2551i 0.25 0.2551 51i i 0.8100i 0.81 0.8100 00i i

>> zplane(0,r)


>>k=1.75

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.5311 + 0.3776i -1.5 -1.531 311 1 - 0.37 0.3776 76i i 0.0311 + 0.8383i 0.03 0.0311 11 - 0.83 0.8383 83i i

>> zplane(0,r)


>>k=2

>>den=[1 3 3 2 k]; >> r=roots(den) r = -1.5661 + 0.4588i -1.5 -1.566 661 1 - 0.45 0.4588 88i i 0.0661 + 0.8641i 0.06 0.0661 61 - 0.86 0.8641 41i i

>> zplane(0,r)

Caso Especial 1: Ejemplo 3:


1

3

2

4

1 0 ?

2

2

Si todo un renglón en el arreglo de Routh esta compuesto por ceros, indica que hay raíces de igual valor y opuestas en el plano complejo. Para continuar el arreglo se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes del renglón anterior.


Determine la estabilidad del sistema: Polinomio auxiliar con los coeficientes del renglón anterior. 2 2

0

Derivada del polinomio auxiliar


>>den=[1 2 3 4 2]; >> r=roots(den) r = -0.0000 + 1.4142i -0.0 -0.000 000 0 - 1.41 1.4142 42i i

-1.0000 + 0.0000i -1.0 -1.000 000 0 - 0.00 0.0000 00i i >> zplane(0,r)



Ejemplo 4:


2

2

1

3

3 0

3

2

2





1

5

3

3

b1



b2



b3

c1

66 3 3 4







 

3 94

3

0 1 0

0





1 0

1

3 5

3 

Ejemplo 4:

c1 

3  1 

2  5

2

 2

12  6

9  3

1

2

15  6

9  3



3  (1)

3  1



c´2



c3





2  5 

2  0



2

2

1



5

d 1





12  6

9  3 2

d 2



15  6

9  3

5


>>den=[2 3 2 3 1 2 3 2]; >> r=roots(den) r = -1.4567 0.7090 + 0.6667i 0.70 0.7090 90 - 0.66 0.6667 67i i

-0.0955 -0.0 -0.095 955 5 -0.6351 -0.6 -0.635 351 1

+ + -

1.1048i 1.10 1.1048 48i i 0.4313i 0.43 0.4313 13i i

>> zplane(0,r)

CRITERIOS DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE ROUTH (CONCLUSION)

El criterio criterio de estabilid estabilidad ad de Routh- Hurwitz Hurwitz plantea plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes coef icientes de la primera columna del arreglo.

La condición necesaria n ecesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos términos de la primera primera columna columna del arreglo arreglo tengan tengan signo signo positiv positivo. o.

Tarea#3 - Criterios de estabilidad de Routh

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