METODOS NUMERICOS METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES
JULIÁN ANDRÉS GIL SANTOS COD. 20112020105 PROF. CARLOS ALFONSO ACOSTA SERRANO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS METODOS NUMERICOS BOGOTÁ D.C. 2012
1. METODO NICOLAS TARTAGLIA - CARDANO:
El matemático Nicolás Tartaglia ideó el método de resolución de ecuaciones de tercer grado. El tratamiento de la ecuación cúbica general proporcionó, por vez primera argumentos válidos para la aceptación de los números complejos. Tartaglia descubrió la forma de resolver una ecuación de tercer grado de la forma:
(1)
Tartaglia comunico el hallazgo a su colega Cardano, quien, a pesar de haberle prometido que no lo divulgaría, publico en su obra Ars Magna la teoría c ompleta de la ecuación de tercer grado. Hay quien afirma, no obstante, que fue Cardano quien encontró la solución a las citadas ecuaciones antes que Tartaglia. Por el método Cardano - Tartaglia las raíces de la ecuación cubica se pueden obtener por medio de finitas sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. En aquellos tiempos se había podido resolver ecuaciones cubicas de la forma:
(2)
Pero en realidad Tartaglia ya había podido resolver ecuaciones de la forma:
y finalmente . Pero Cardano había resuelto ecuaciones como:
,
(3)
Su método era reducir dicha ecuación No (1), a las de forma de la ecuación No (2) mediante una sustitución. Dicha, consistía en sustituir
, obteniendo:
por , en la ecuación (1)
( ) ( ) ( ) que a su vez corresponde a:
( ) , donde y son constantes por lo que la ecuación toma la forma de . Donde la ecuación de la forma , según Cardano se resuelve sustituyendo , y desarrollando la forma cubica .
Y donde finalmente
y
.
2. METODO APROCIMACIONES SUCESIVAS
Se entiende por método de aproximaciones sucesivas, que a partir del conocimiento aproximado de una raíz o “cero” de una función, nos acerca o satisface aproximadamente a la solución,
mediante la aplicación repetida de una ecuación, llamada recurrencia (1), que es la que define al método.
, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, , definida en la forma . Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial y calculamos una nueva aproximación . Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores , que si converge, tendrá como limite la solución del Procedimiento: Dada la ecuación
problema.
; ; … . Por ejemplo para √ ; ; . Entonces la fórmula de recurrencia nos quedaría: …. Nos quedaría algo como:
Y así sucesivamente hasta que converge a un número.
√ ; donde
Vemos un ejemplo claro en la siguiente tabla: con f(x) = x^2
RESULTADO
ITERACION
0,6
0,774559
0
VALOR DE LA ECUACION -0,85
1
-0,7275
X
Xo
2
-0,7982
0,6
-0,5
3
-0,7611
4
-0,7819
5
-0,7706
6
-0,7768
7
-0,7734
8
-0,7753
9
-0,7742
10
-0,7748
11
-0,7745
12
-0,7747
13
-0,7746
14
-0,7746
15
-0,7746
Donde podemos ver que
√ , y que después de la iteración 13 ya aseguramos su
valor por medio de aproximaciones sucesivas.
3. ECUACION DE CUARTO GRADO
Una ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: 4
3
2
ax + bx + cx + dx + e = 0, Donde a, b,c, d y e (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida: 4
4
3
2 2
3
4
(a - b) = a - 4a b + 6a b - 4ab + b . En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, después de un largo cálculo. Los pasos de la resolución son:
Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene: 4
3
2
x + b'x + c'x + d'x + e' = 0 ,
con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a y e' = e/a
Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/4, para suprimir el término cúbico. En efecto, al 4 3 desarrollar (z - b'/4) con la identidad precedente, vemos aparecer e l término -b'z , 3 3 compensado exactamente por b'z que aparece en b'(z - b'/4) . Se obtiene: 4
2
z + pz + qz + r = 0, con p, q y r números del cuerpo.
2
2
Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en (z + αz + β )( z - αz + γ), lo que es posible 3 porque no hay z en el polinomio.
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones: 2
2
β + γ - α = p (coeficiente de x ) α( γ - β ) = q (coeficiente en x) βγ = r (término constante)
Después de algunos cálculos, hallamos: 6
4
2
2
2
α + 2pα + (p - 4r)α - q = 0 Es una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo
aparece con potencias pares.
2
Pongamos A = α . Entonces: 3
2
2
A + 2pA + (p - 4r)A - q = 0, lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado. 2
2
Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven z + αz + β= 0 y z - αz + γ = 0, y para rematar, no se olvide que x = z - b'/4. Nota: El último tema No 3, corresponde a la solución de ecuaciones de cuarto grado,
correspondiente al método de Brown. De no ser posible obtener mucha información sobre el mismo, fue pertinente describir un método similar.
REFERENCIAS:
-
Algunos métodos para resolver problemas que involucran ecuaciones cúbicas en la enseñanza media. Martha Liliana Mogollón. Universidad Nacional de Colombia. Facultado de ciencias. 2012. http://www.bdigital.unal.edu.co/7257/1/marthalilianamogollonbecerra.2012.pdf
-
Modelado Orientado a Objetos para evaluar Métod os Numéricos utilizando Interfaces visuales. F. Meneses, W. Fuertes. Departamento de Ciencias de la Computación, Escuela del Ejercito, Sangolquí-Ecuador. {fmenesesb, wfuertesd}@espe.edu.ec. http://biblioteca.espe.edu.ec/upload/Revista_DECC_FMeneses_WFuertes.pdf.
-
Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Chapra Raymond P Canalle. Editorial Mc Graw Hill. 6ta edición.
