TALLER 2 DE PRINCIPIOS DE DINÁMICA Cinemática de Partículas 1. La barra AB de 500 mm de longitud se conecta mediante unión de bola y cuenca a los collarines A y B, los cuales se deslizan a lo largo de las dos barras en la forma que se indica. El collarín B se mueve hacia el soporte E a una velocidad constante de 400 mm/s. Si se denota por d la distancia desde el punto C hasta el collarín B, utilice software para determinar y graficar: a) La velocidad absoluta del collarín A y velocidades angulares de la barra AB, respecto a valores de d de 0 a 300 mm. b) La aceleración absoluta del collarín A y aceleraciones angulares de la barra AB, respecto a valores de d de 0 a 300 mm.
Solución: Se redibuja el esquema correspondiente en el cual se indica el sistema de coordenadas usado:
̅ ̅ √ |⃗| |⃗| ̅ ⃗
Datos conocidos:
Dónde d toma valores de 0 a 300 mm
Se requiere determinar cada uno los siguientes ocho valores: ;
Para cada valor de d.
a) Para determinar la velocidad absoluta y velocidades angulares del collarín A, primero se relaciona la velocidad del collarín B con la v elocidad del collarín A:
⃗⃗ ⃗ ⁄ ⁄
Se determina primero la velocidad del collarín B:
Dónde:
⃗
Figura 1. Representación esquemática del problema, utilizada para determinar .
⃗ ⃗ ⁄ ⁄ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Por lo tanto:
Se procede a determinar
Donde
y
son los vectores posición que van del origen a A y B respectivamente.
De las siguientes figuras se determina
.
√ √ √
Figura 2. Representación esquemática del problema, utilizada para determinar Dónde:
.
Así:
√ ⃗ √ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⁄ ⃗ ⃗ √ ⃗ ( ⃗) ⁄ √ ⃗ ⃗ ⁄ ⃗ ⃗ ⁄ ⁄ ⃗ ⁄ ⁄ [ √ ] Se determina :
Dónde:
Por lo anterior:
Como:
Al desarrollar el producto
se tiene:
Así:
√ ⃗ ⁄ ⁄ √ ⃗ { ⃗
Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente en
:
√ ⃗⃗ ⃗ ⁄ ⁄ √ ⃗ { √ ⃗ √ ⃗ { ⃗ ⃗ ⃗ √ ⃗ √ Así:
(1)
Ya que el collarín A solo se mueve sobre el eje la velocidad Suponiendo que dicha velocidad está dirigida hacia arriba:
tendrá solo componentes en .
(2)
Igualando término a término las componentes vectoriales de (1 ) y (2) se obtiene: Para :
(3)
Para :
(4)
Para :
(5)
Para resolver el sistema de ecuaciones se necesita una ecuación más. Puesto que la ve locidad angular de una línea es perpendicular a la línea, se tiene la siguiente ecuación:
⃗ ⁄
Siendo
⃗ ⁄ ⃗ ⁄ ⃗ ⁄ √ ⃗
el vector unitario que va desde B hasta A en cada instante.
Así se obtiene una cuarta ecuación:
⃗ ⁄ ⃗ ⁄ √
(6)
Al resolver el sistema de ecuaciones (3), (4), (5) y (6) para diferentes valores de , entre 0 y 300 mm, se obtienen los siguientes valores para la velocidad del collarín A y las velocidades angulares de la barra AB.
0
-240
0
0,512
0,384
10
-248,54
-0,014
0,512
0,384
20
-257,09
-0,027
0,512
0,385
30
-265,68
-0,041
0,512
0,385
40
-274,33
-0,055
0,512
0,386
50
-283,05
-0,069
0,512
0,387
60
-291,87
-0,083
0,512
0,389
70
-300,8
-0,097
0,512
0,391
80
-309,88
-0,112
0,512
0,393
90
-319,11
-0,127
0,512
0,396
100
-328,54
-0,142
0,512
0,398
110
-338,19
-0,157
0,512
0,402
120
-348,08
-0,173
0,512
0,405
130
-358,27
-0,189
0,512
0,409
140
-368,78
-0,206
0,512
0,414
150
-379,66
-0,223
0,512
0,419
160
-390,96
-0,242
0,512
0,425
170
-402,75
-0,26
0,512
0,431
180
-415,09
-0,28
0,512
0,438
190
-428,06
-0,301
0,512
0,445
200
-441,76
-0,323
0,512
0,454
210
-456,31
-0,346
0,512
0,463
220
-471,82
-0,371
0,512
0,474
230
-488,49
-0,398
0,512
0,486
240
-506,54
-0,426
0,512
0,501
250
-526,22
-0,458
0,512
0,515
260
-547,88
-0,493
0,512
0,533
270
-572,01
-0,531
0,512
0,553
280
-599,19
-0,575
0,512
0,577
290
-630,33
-0,625
0,512
0,606
300
-666,67
-0,683
0,512
0,64
Tabla 1. Resultados de
⃗ ,
y
para diferentes valores de , entre 0 y 300 mm.
Los valores de la velocidad del collarín A y los valores de las velocidades angulares de la barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm, se grafican a continuación:
Velocidad Collarín A 0 0
50
100
150
200
250
300
-100 s / m-200 m A-300 n í r a l l -400 o C d -500 a d i c o -600 l e V
-700 -800
Distancia , entre 0 y 300 mm (mm)
Grafica 1. Velocidad del collarín A respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 2. Velocidad angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 3. Velocidad angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 4. Velocidad angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
b) Se procede a determinar la aceleraciosns absoluta del collarín A y aceleraciones angulares de la barra AB, primero se relaciona la aceleración del collarín B con la de l collarín A mediante la expresión: (7)
⃗ (⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⁄ [ √ ]
Puesto que el collarín A solo se mueve sobre el eje paralela al eje, entonces:
, la aceleración tiene una componente
(8)
Se asigna a la aceleracion angular
Por el problema se tiene que:
(9)
Desarrollando cada termino de (7) por separado:
√ ⃗ ⁄ √ ⃗ { √ ⃗ ⁄ ⁄ √ ⃗ { (10)
Como:
Luego:
⃗ (⃗) [ √ ]
Desarrollando el triple producto vectorial se tiene:
⃗(⃗ ) √ { √ ⃗
(11)
Al reemplazar (8), (9), (10) y (11) en (7) se tiene:
√ √ { √ √ ⃗
√ √ ⃗ √ √ Igualando término a término las componentes vectoriales de ( 12) se obtiene: Para :
(13)
Para :
(14)
Para :
Para resolver el sistema de ecuaciones se necesita una ecuación más. Al igual que antes la aceleración angular de una línea es perpendicular al plano descrito por la trayectoria de la línea. Por lo tanto se tiene la ecuación:
⃗ ⁄ ⃗ ⁄ ⃗ ⁄ ⃗ √ ⃗ ⁄
Siendo
el vector unitario que va desde B hasta A en cada instante.
Así se obtiene una cuarta ecuación:
⃗ ⁄ ⃗ ⁄ √
(16)
(15)
Al resolver el sistema de ecuaciones (13), (14), (15) y (16) donde se remplaza los valores de las velocidades angulares encontradas en a para diferentes valores de , entre 0 y 300 mm, se obtienen los siguientes valores para la aceleración absoluta del collarín A y aceleraciones angulares de la barra AB.
-341,33
-0,546
0
0
10
-341,7
-0,547
0
0,011
20
-342,79
-0,548
0
0,022
30
-344,64
-0,551
0
0,033
40
-347,24
-0,556
0
0,044
50
-350,64
-0,561
0
0,056
60
-354,64
-0,568
0
0,068
70
-359,98
-0,576
0
0,081
80
-366,03
-0,586
0
0,094
90
-373,11
-0,597
0
0,107
100
-381,27
-0,61
0
0,122
110
-390,65
-0,625
0
0,138
120
-401,38
-0,642
0
0,154
130
-413,61
-0,662
0
0,172
140
-427,52
-0,684
0
0,192
150
-443,36
-0,709
0
0,213
160
-461,41
-0,738
0
0,236
170
-482,01
-0,771
0
0,262
180
-505,57
-0,809
0
0,291
190
-532,65
-0,852
0
0,324
200
-563,92
-0,902
0
0,361
210
-600,22
-0,96
0
0,403
220
-642,69
-1,028
0
0,452
230
-692,77
-1,108
0
0,51
240
-752,42
-1,204
0
0,578
250
-824,3
-1,319
0
0,659
260
-912,15
-1,459
0
0,759
270
-1021,29
-1,634
0
0,882
280
-1159,65
-1,855
0
1,039
290
-1339,4
-2,143
0
1,243
300
-1580,25
-2,528
0
1,517
0
Tabla 2. Resultados
⃗ ,
y
para diferentes valores de , entre 200 y 300 mm.
Los valores de la aceleración del collarín A y los valores de las aceleraciones angulares de la barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm, se grafican a continuación:
Grafica 5. Aceleración del collarín A respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 6. Aceleración angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 7. Aceleración angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
Grafica 8. Aceleración angular
barra AB respecto a la distancia , entre 0 y 300 mm.
