Solucionario de Transferencia

Fundamentos de Transferencia de Calor

FRANK INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANFERENCIA DE CALOR –CUARTA EDICIÓN EN ESPAÑOL – CAPITULO 1 – INTRODUCCIÓN A LA TRANFERENCIA DE CALOR

PROBLEMA 1.1

Un flujo de calor de 3Kw se conduce a través de una sección de una material aislante de área de sección transversal 10 m2 y espesor 2,5 cm. Si la temperatura de la superficie interna (caliente) es de 415°C y la conductividad térmica del material es 0,2 W/m.K. ¿Cuál es la temperatura de la superficie externa?

SOLUCIÓN 1.1

Suposiciones 1) Conducción unidimensional en dirección x 2) Condiciones de estado estacionario 3) Propiedades Constantes Análisis Según la Ley de Fourier

q cond = q x = q"x . A = −K Web site: www.qukteach.com

dt T1 − T2 . A = K. A. dx L

e-mail: [email protected]

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Para :

T2 = T1 −

q cond . L K. A

3. 103 Wx2,5. 10−2m T2 = 415°C − = 415°C − 37,5°C = 377,5°C W 2 x10m 0,2 m. K PROBLEMA 1.2

Una pared de concreto, que tiene un área superficial de 20 m2 y 0,30 m de espesor, separa el aire acondicionado de una habitación del aire ambiental. La temperatura de la superficie interna de la pared se mantiene a 25°C, y la conductividad térmica del concreto es 1W/m.K. a) Determine la pérdida de calor a través de la pared para temperaturas ambientes en el rango de -15°C a 38°C, que corresponden a extremos de invierno y verano, respectivamente. Muestre en forma gráfica sus resultados En su gráfica, también trace la pérdida de calor como función de la temperatura ambiente para materiales de la pared que tengan conductividades térmicas de 0,75 y 1,25 W/m.K. Explique la familia de curvas que obtiene.

SOLUCIÓN 1.2

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Suponer 1) 2) 3) 4)

Conducción unidimensional en dirección x Condiciones de estado estacionario Propiedades Constantes Temperatura exterior es la del aire en el ambiente.

Análisis Según la Ley de Fourier

q cond = q x = q"x . A = −K Entonces :

qx =

dt T1 − T2 . A = K. A. dx L

K. A x(T1 − T2 ) … … … 𝛼 L

Para K = 1

W → q x1 = mK

1 W�m. K . 20m2 0,3m

. (25 − T2 ) = 66.67(25 − T2 ) … … . . (β)

En (β) para T2 = −15°C → q x1 = 2666.67 W para T2 = 38°C → q x1 = −866.67 W

0,75 W�m. K . 20m2

W → q x2 = mK 0,3m = 50(25 − T2 ) … … . . (δ)

Para K = 0,75

. (25 − T2 )

En (δ) para T2 = −15°C → q x2 = 2000 W para T2 = 38°C → q x2 = −650 W

1,25 W�m. K . 20m2

W → q x3 = mK 0,3m = 83,33(25 − T2 ) … … . . (θ)

Para K = 1,25

. (25 − T2 )

En (θ) para T2 = −15°C → q x3 = 3333.33 W para T2 = 38°C → q x3 = −1083.33 W Web site: www.qukteach.com


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PROBLEMA 1.3

Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50 mm de espesor, cuyas temperaturas sobre las superficies interna y externa son 40 y 20°C, respectivamente es 40 W/m2. ¿Cuál es la actividad térmica de la madera?

SOLUCIÓN 1.3

Suposiciones: 1) Conducción unidimensional en dirección x 2) Condiciones de estado estacionario 3) Propiedades constantes Análisis Según la Ley de Fourier

𝐪"𝐱 . 𝐀 = −𝐊

K = q"x ∗

𝐝𝐭 𝐓𝟏 − 𝐓𝟐 = 𝐊. 𝐝𝐱 𝐋

L W 0.05 m W W = 40 2 ∗ = 0.10 ó 0.10 T1 − T2 m 40 − 20°C m°C mK

La variación de temperatura en grados Celsius es igual que en grados Kelvin → ∆T(°C) = ∆T(K)

PROBLEMA 1.4 Web site: www.qukteach.com


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Las temperaturas de la superficie interna y externa de una ventana de vidrio de 5 mm de espesor son 15 y 5°C. ¿Cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que mide 1x3 m de lado. La conductividad térmica del vidrio es 1.4 W/m.K

SOLUCIÓN 1.4

Suposiciones a) Conducción unidimensional en la dirección x b) Condiciones de estado estacionario c) Propiedades constantes Análisis Según la Ley de Fourier

q"x = −K

dt T1 − T2 w (15 − 5°C) W = K. = 1.4 ∗ = 2800 2 dx m. K 0,005m m L

Para un flux uniforme de calor

q perdido = q"x . A = 2500 Web site: www.qukteach.com

W ∗ 3m2 = 8400 W 2 m


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PROBLEMA 1.5

El comportamiento de un congelador consiste en una cavidad cúbica que tiene 2m de lado. Suponga que el fondo está perfectamente aislado. ¿Cuál es el espesor mínimo de aislante de espuma de poliuretano (K=0.0030 W/m.K) que debe aplicarse en las paredes superior y laterales para asegurar una carga de calor de menos de 500 W, cuando las superficies interior y exterior están a -10 y 35°C?

SOLUCIÓN 1.5

Suponer: 1) 2) 3) 4)

Fondo perfectamente aislado Flujo unidimensional sobre 5 paredes de área 4 m2 Estado estacionario Propiedades constantes

Análisis: Según la Ley de Fourier

q x = q" . Atotal = K.

∆T . Atotal L

Atotal = 5(4m2 ) = 20m2



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W [35 − (−10°C)] 0.03 K. ∆T m. K L= . Atotal = ∗ (20m2 ) q 500 W L = 0,054 m

PROBLEMA 1.6

¿Cuál es el espesor que se requiere de una pared de mampostería que tiene una conductividad térmica de 0.75 W/m. K, si la velocidad del calor será 80% de la velocidad del calor a través de un pared de estructura compuesta que tiene una conductividad térmica de 0.25 W/m. K y un espesor de 100 mm? Ambas paredes están sujetas a la misma diferencia de temperatura superficial.

SOLUCIÓN 1.6

Esquema:

Suposiciones: a) b) c) d)

Ambas paredes están sujetas a la mima variación de temperatura Conducción unidimensional Condición de estado estacionario Propiedades constantes

Análisis: Según la ecuación: Web site: www.qukteach.com


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𝑞″ = 𝑘. •

∆𝑇 𝐿

Como ∆𝑇 es el mismo para ambas:

𝑘1 𝑞 ″ 2 𝐿1 = 𝐿2 . × ″ 𝑘2 𝑞 1 •

Además:

𝑞″1 = 0.8𝑞 ″2

→ 𝐿1 = 100 𝑚𝑚 .

0.75𝑊/𝑚. 𝑘 1 × → 𝐿1 = 375 𝑚𝑚 0.25 𝑊/𝑚. 𝑘 0.8

PROBLEMA 1.7

Un chip cuadrado de silicio

tiene un ancho

mm de lado y espesor

mm. El chip se monta en sustrato de modo que sus lados y la superficie inferior quedan aislados, mientras que la superficie frontal se expone a un fluido refrigerante.

Si se disipan 4

de los circuitos montados en la diferencia de temperaturas de estado estable

entre las superficies inferior y frontal?

SOLUCIÓN 1.7



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Esquema:


Condición de estado estacionario Propiedades constantes Conducción unidimensional La disipación de calor es uniforme

Análisis: Según la ley de Fourier, tomando el calor disipado:

P = q = k. A. → ∆T =

∆T ∆x

;

A = L2

∆x. P 0.001m. 4W = = 1.1℃ k. L2 150W/m. K. (0.005m)2

PROBLEMA 1.8

Una galga para medir el flujo de calor de una superficie o a través de un material laminado emplea termopares de película delgada de cromel/alumel (tipo K) depositados sobre las superficies superior e inferior de una plaquita con una conductividad térmica de 1.4 W/m.K y un espesor de 0.25 mm.



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(a) Determine el flujo de calor q“ a través de la galga cuando el voltaje de salida en los conductores de cobre es 350 μV. El coeficiente de Seebeck de los materiales tipo K del termopar es aproximadamente 40 μV/℃.

¿Qué precaución es necesaria al usar una galga de esta naturaleza para medir el flujo de calor a través de la estructura laminada que se muestra arriba?

SOLUCIÓN 1.8

Esquema:

-

Material termopar tipo k (A - cromel y B - alumel)

-

Coeficiente Seebeck, 𝑆𝐴𝐵 = 40𝜇𝑉/℃

Suposiciones:



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a) Condiciones de estado condicionado b) Propiedades constantes c) Conducción de calor unidimensional en la galga Análisis: a) Aplicando la ley de Fourier:

𝑞″ = 𝑘.

∆𝑇 ∆𝑥

→ El gradiente puede ser expresado como:

∆𝑇 ∆𝐸/𝑁 = ∆𝑥 𝑆𝐴𝐵 . 𝑒

Donde N es el número de unidades conectadas (5). → Se tiene:

1.4W/m. K × 350 × 10−6V q = = 9800W/m2 −6 −3 5.40 × 10 V/℃ × 0.25 × 10 m ″

b) La mayor preocupación a tomar en cuenta con este tipo de galgas es que coincida su conductividad térmica con la del material en el que está instalado. Si una galga está conectada entre las láminas y si su conductividad térmica es significativamente diferente de las láminas, un flujo de calor unidimensional la perturbará y la galga leerá incorrectamente.

PROBLEMA 1.9

Usted ha experimentado el enfriamiento por convección si alguna vez sacó la mano por la ventana de un vehículo en movimiento o si la sumergió en una corriente de agua. Si la superficie de la mano se considera a una temperatura de 30 ℃, determine el flujo de calor por convección para (a) una velocidad del vehículo de 35 km/h en aire a -5℃ con un coeficiente de convección de y (b) una velocidad de 0.2 m/s en una corriente de agua a 10 ℃ con un coeficiente de Web site: www.qukteach.com


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convección de

. ¿En cuál condición se sentiría más frío? Compare estos resultados

con una pérdida de calor aproximadamente

en condiciones ambientales normales.

SOLUCIÓN 1.9

Esquema:

Suposiciones: a) Temperatura es uniforme sobre la superficie de la mano b) Coeficiente de convección es uniforme sobre la mano c) Insignificante intercambio de radiación entre la mano y sus alrededores en caso del flujo de aire Análisis: Para este calor perdido, según la ley de enfriamiento de Newton:

q″ = h(Ts − T∞ ) •

Para la corriente de aire:

𝑞″ 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 40𝑊/𝑚2. 𝐾 × [30 − (−5)]𝐾 = 1400 𝑊/𝑚2 •

Para la corriente de agua:

𝑞″ 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 900𝑊/𝑚2. 𝐾 × [30 − (−5)]𝐾 = 1800 𝑊/𝑚2 -

La pérdida de calor de la mano en el chorro de agua es mayor que cuando está frente a una corriente de aire para la temperatura y condiciones de coeficiente de convección definidas.

Por el contrario, la pérdida de calor en un ambiente normal de la habitación es de 30𝑊/𝑚2 que es de 400 veces menor que la pérdida ante la corriente de aire. Entonces ante el aire y las corrienWeb site: www.qukteach.com


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tes de agua, la mano sentirá más frio ya que la pérdida de calor es alto que a condiciones ambientales.

PROBLEMA 1.10

Sobre un cilindro largo, de 25 mm de diámetro con un calentador eléctrico interno, fluye aire a 40 ℃. En una serie de pruebas, se realizaron mediciones de la potencia por unidad de longitud, P´, que se requiere para mantener la temperatura superficial del cilindro a 300 ℃, a diferentes velocidades V de la corriente libre del aire. Lo resultados son los siguientes: Velocidad del aire, V (m/s)

1

2

4

8

12

Potencia, P´ W/m

450

658

983

1507

1963

(a) Determine el coeficiente de convección para cada velocidad, y muestre gráficamente los resultados. Suponiendo que la dependencia del coeficiente de convección con la velocidad es de la forma , determine los parámetros C y n a partir de los resultados de la parte (a).

SOLUCIÓN 1.10

Esquema:

Datos: 𝑉(𝑚/𝑠)

𝑃′ 𝑒 (𝑊/𝑚)

1

2

4

8

12

450

658

983

1507

1963

Suposiciones: Web site: www.qukteach.com


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a) Condición de estado estacionario. b) Temperatura uniforme sobre la superficie del cilindro. c) Intercambio de radiación insignificante entre el cilindro y los alrededores. Análisis: a) Del balance energético, la energía disipada por el calentador energético es trasferido por convección a la corriente de aire, usando la ley de enfriamiento de Newton:

→ 𝑃′ 𝑒 = ℎ (𝜋𝐷 )(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

𝑃′ 𝑒 𝑃′ 𝑒 ℎ= = (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝜋 × 0.025𝑚 (300 − 40℃) 𝑃′ 𝑒 𝑊 →ℎ= × 2 20.41 𝑚 . 𝐾 •

→ℎ=

•

→ℎ=

Para 𝑉 = 1𝑚/𝑠

450 = 22.0 𝑊/𝑚2. 𝐾 20.41 Para 𝑉 = 2𝑚/𝑠

658

20.41

= 32.2 𝑊/𝑚2. 𝐾

Para los demás: 𝑉(𝑚/𝑠)

𝑃′ 𝑒 (𝑊/𝑚)

ℎ(𝑊/𝑚2 . 𝐾)

1

450

22.0

2

658

32.2

4

983

48.1

8

1507 73.8

12

1963 96.1

Gráfico:



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b) Para determinar los parámetros (C, n); según la ecuación:

ℎ = 𝐶𝑉 𝑛

→ log ℎ = log 𝐶 + 𝑛. log 𝑉 De los datos:

𝑉(𝑚/𝑠) ℎ(𝑊/𝑚2 . 𝐾) log 𝑉 log ℎ 1 22 0 1.342 2 32.0 0.301 1.508 4 48.1 0.602 1.682 8 73.8 0.903 1.868 12 96.1 1.079 1.983 Haciendo el uso de calculadora el Microsoft Excel se realizará la regresión obteniendo:

log ℎ = 1.33 + 0.59 log 𝑉 → 𝐶 = 10ˆ1.33 = 21.37 𝑛 = 0.59

PROBLEMA 1.11

Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye agua con una temperatura de 25 ℃ y velocidad de 1 m/s cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la superficie a una temperatura uniforme de 90 ℃ es de 28 kW/m. Cuando fluye aire, también a 25 ℃, pero con una velocidad de 10 Web site: www.qukteach.com


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m/s, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la misma temperatura superficial es 400 W/m. Calcule y compare los coeficientes de convección para los flujos de agua y aire.

SOLUCIÓN 1.11

Esquema:

Suposiciones: a) Flujo de calor transversal al cilindro Análisis: El calor convectivo desde el cilindro por unidad de longitud de cilindro tiene la forma:

𝑞′ = ℎ (𝜋𝐷 ). (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

Entonces para el coeficiente convectivo:

𝑞′ ℎ= 𝜋. 𝐷 × (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Para cada condición: •

ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 •

Agua:

28 × 103 𝑊/𝑚 = = 4572.92𝑊/𝑚2 . 𝐾 𝜋. 0.03𝑚 × (90 − 25)

Aire:



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ℎ𝑎𝑖𝑟𝑒 =

400 𝑊/𝑚 = 65.3𝑊/𝑚2 . 𝐾 𝜋. 0.03𝑚 × (90 − 25)

→ Por lo tanto, ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 es aproximadamente 70 veces el calor de ℎ𝑎𝑖𝑟𝑒 .

PROBLEMA 1.12

Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma cilíndrica de longitud exterior D

y diámetro

. En condiciones de operación normal el calentador disipa 2 kW, mientras se

sumerge en un flujo de agua que está a 20 ℃ y provee un coeficiente de transferencia de calor por convección de . Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los extremos

del calentador, determine la temperatura superficial

. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo

mientras el calentador continúa operando, la superficie del calentador se expone al aire que tam. ¿Cuál es la temperatura superficial corresbién está a 20 ℃, pero para el que pondiente? ¿Cuáles son las consecuencias de tal evento?

SOLUCIÓN 1.12

Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estacionario. b) Toda la energía eléctrica es transferida al fluido por convección. c) Transferencia de calor insignificante en los extremos. Análisis: Tomando: Web site: www.qukteach.com


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𝑃 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣

Según la ley de enfriamiento de Newton:

𝑃 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ. 𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = ℎ. 𝐷. 𝜋. 𝐿(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Temperatura superficial

𝑇𝑠 = 𝑇∞ + •

En agua:

𝑇𝑠 = 20 + •

2000𝑊

𝑊 5000 2 . 𝜋 × 0.02𝑚 × 0.2𝑚 𝑚 .𝐾

= 20 + 31.8 = 51.8℃

En aire:

𝑇𝑠 = 20 + -

𝑃 ℎ. 𝐷. 𝜋. 𝐿

2000𝑊

𝑊 50 2 . 𝜋 × 0.02𝑚 × 0.2𝑚 𝑚 .𝐾

= 20 + 3184.7 = 3204.7℃

Se observa que el aire es mucho menor efectivo que el agua como fluido de transferencia de calor. En consecuencia, la temperatura de cartucho es mucho más alto en el aire, tan alto que el cartucho se derretiría.

Ante el aire la temperatura del cartucho implicaría que la radiación sea significativa.

PROBLEMA 1.13 Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho

de lado y está montado en un sustrato de

modo que sus superficies lateral e inferior estén bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a . A partir de consideraciones de confiabilidad, la temperatura del chip no debe exceder


.


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Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de convección correspondiente es , ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un , ‘Cuál es la potencia máxima admisible?

líquido dieléctrico para el que

SOLUCIÓN 1.13

Esquema:

• •

Aire, ℎ = 200𝑊/𝑚2 . 𝐾 Fluido dieléctrico, ℎ = 3000𝑊/𝑚2 . 𝐾


Condición de estado estacionario Transferencia de calor insignificante en los lados y la base. El chip posee una temperatura uniforme (isotérmico). Transferencia de calor por radiación insignificante.

Análisis: Toda energía eléctrica disipada es transferida por convección al refrigerante. Por tanto:

𝑃=𝑞

;

𝑇𝑠 = 𝑇𝑚á𝑥 → 𝑃 = 𝑃𝑚á𝑥

Según la ley de enfriamiento de Newton:

𝑃𝑚á𝑥 = 𝑞 = ℎ. 𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) •

Para el aire:



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𝑃𝑚á𝑥 = ℎ. 𝐿2 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 200𝑊/𝑚2. 𝐾 × (0.005𝑚)2 × (85 − 15)𝐾 = 0.35𝑊 •

Para el fluido dieléctrico:

𝑃𝑚á𝑥 = ℎ. 𝐿2 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 3000𝑊/𝑚2. 𝐾 × (0.005𝑚)2 × (85 − 15)𝐾 = 5.25𝑊 PROBLEMA 1.14

Se propone el uso de la colisión de chorros de aire como medio de enfriar de manera efectiva chips lógicos de alta potencia en una computadora. Sin embargo, para que la técnica se pueda aplicar debe conocerse el coeficiente de convección asociado con el chorro que choca contra la superficie de un chip. Diseñe un experimento que sirva para determinar los coeficientes de convección asociados con el choque de un chorro de aire sobre un chip que mide aproximadamente 10 mm por 10 mm de lado.

SOLUCIÓN 1.14

Esquema:

Suposiciones: Condición de estado estacionario Un enfoque sería usar el actual sistema chip-sustrato, caso(a), para realizar las mediciones. En este caso la energía eléctrica disipada en el chip será transferida desde el chip por radicación y conducción (al sustrato), así también por convección al chorro. Se tiene un balance de energía del chip:

𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 + 𝑞𝑟𝑎𝑑 Web site: www.qukteach.com


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Por tanto, 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ. 𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) ; donde 𝐴 = 100𝑚𝑚2 Se obtiene:

ℎ= -

𝑞𝑒𝑒é𝑐 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 … … … . (1) 𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

Mientras que la energía eléctrica (𝑞𝑒𝑒é𝑐 ) , y las temperaturas del chorro (𝑇∞ ) y la superficie (𝑇𝑠 ) pueden ser medidos, las pérdidas del chip por conducción y radiación podrán ser estimadas. A menos que las pérdidas sean insignificantes (condición poco probable), la exactitud del procedimiento puede verse comprometida por las incertidumbres asociadas a la determinación de las pérdidas de conducción y radiación.

Para el segundo enfoque, caso(b), podría incluir la fabricación de una unidad del calentador para que se controle la conducción y la radiación, los cuales son pérdidas, además de reducirlas al mismo. Un bloque de 10 mm X 10 mm de cobre (𝑘~400𝑊/𝑚. 𝐾) puede ser insertada en un sustrato mal conductor (𝑘 < 0.1𝑊/𝑚. 𝐾)y un calentador de parche puede ser aplicado atrás del bloque y aislado debajo. Si la conducción tanto en el sustrato y el aislamiento puede resultar insignificante, el calor se transferirá exclusivamente a través del bloque. Si la radiación fuera insignificante al aplicar un recubrimiento de baja emisividad (𝑒 < 0.1) a la superficie del cobre, prácticamente todo el calor se transferirá por convección al chorro. Por tanto, 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 y 𝑞𝑟𝑎𝑑 podrán ser despreciadas en la ecuación (1), y la expresión se puede utilizar para determinar de manera precisa ℎ de los conocidos: (𝐴 = 100𝑚𝑚2 ), y de los medibles: 𝑞𝑒𝑒é𝑐 , 𝑇𝑠 , 𝑇∞ .

PROBLEMA 1.15

El control de temperatura para una secadora de ropa consiste en un conmutador bimetálico montado sobre un calentador eléctrico unido a una almohadilla aislante instalada en la pared.



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El conmutador se fija para abrirse a 70 ℃, que es la temperatura máxima del aire secado. A fin de operar la secadora a una temperatura de aire más baja, se suministra potencia suficiente al calen) cuando la temperatura de aire sea metador de modo que el conmutador alcance 70 ℃ ( nor que

. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el aire y la superficie

expuesta del conmutador de 30

es

, ¿cuánta potencia de calentamiento

requiere cuando la temperatura deseada del aire es

se

?

SOLUCIÓN 1.15

Esquema:

Suposiciones: a) b) c) d) e)

Condición de estado estacionario. El calentador eléctrico es aislado perfectamente por la pared secadora. El calentador y conmutador son isotérmicos a temperatura máxima. Transferencia de calor insignificante desde los lados del calentador al conmutador. La superficie, 𝐴𝑠 , de conmutador pierde calor por convección.

Análisis:

Definiendo como volumen de control alrededor del conmutador bimetálico que experimenta el calor de entrada del calentador y transfiere calor al aire deL secador por convección. Del balance:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0

𝑞𝑒𝑒é𝑐 − ℎ. 𝐴𝑠 × (𝑇𝑚á𝑥 − 𝑇∞ ) = 0 Web site: www.qukteach.com


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La potencia de calentamiento:

𝑃𝑒 = 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = ℎ. 𝐴𝑠 × (𝑇𝑚á𝑥 − 𝑇∞ ) = 25 𝑃𝑒 = 15 × 10−3𝑊

𝑊 × 30 × 10−6𝑚2(70 − 50)𝑘 𝑚2. 𝐾

PROBLEMA 1.16

El coeficiente de trasferencia de calor por convección libre sobre una placa delgada vertical caliente en aire quieto se determina observando el cambio en la temperatura de la placa al paso del tiempo, a medida que ésta se enfría. Suponiendo que la placa es isotérmica y que el intercambio de radiación con sus alrededores es insignificante, evalúe el coeficiente de convección en el momento en que la temperatura de la placa es de 225 ℃ y que el cambio en la temperatura de la placa con el tiempo es . La temperatura del aire ambiente es de 25 ℃ y la

placa mide 0.3 X 0.3 m con una masa de 3.75 kg y un calor específico de 2770 J/kg.K.

SOLUCIÓN 1.16

Esquema:

Suposiciones: a) Placa isotérmica y a temperatura uniforme b) Transferencia de calor por radiación insignificante. c) Pérdida de calor en los cables de suspensión insignificante Análisis: Web site: www.qukteach.com


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Como se ve el gráfico según la curva de enfriamiento la temperatura de la placa disminuye con el tiempo. La condición de interés es 𝑇0 . → Para una superficie de control sobre la placa, el balance energético será:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜

−2ℎ. 𝐴𝑠 × (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 𝑀. 𝐶𝑝 ×

𝑑𝑇 𝑑𝑡

→ Donde 𝐴𝑠 es el área superficial de un lado de la placa, despejando ℎ:

ℎ=

𝑀. 𝐶𝑝 𝑑𝑇 3.75𝑘𝑔 × 2770𝐽/𝑘𝑔. 𝐾 𝑘 � �= × 0.022 2(0.3 × 0.3)𝑚2 × (225 − 25)𝑘 𝑠 −2. 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝑑𝑡

ℎ = 6.35𝑊/𝑚2 . 𝐾 PROBLEMA 1.17

Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que disipan 150 W. Si la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.8, y la sonda no recibe radiación de otras superficies como, por ejemplo, del Sol, ¿cuál es la temperatura de la superficie?

SOLUCIÓN 1.17

Esquema:

Suposiciones: a) Condición estado estacionario Web site: www.qukteach.com


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b) Radiación incidente sobre la sonda insignificante Análisis: Según la conservación de energía, hay equilibrio entre la generación de energía dentro de la sonda y la emisión de la radiación desde la superficie de la sonda. Por tanto:

𝐸̇𝐼𝑁 + 𝐸̇𝑠 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0

𝐸̇𝑠 − 𝜀 × 𝐴𝑠 × 𝜎 × 𝑇 4 𝑠 = 0

1/4 1/4 𝐸̇𝑠 150𝑊 𝑇𝑠 = � � =� � 0.8. 𝜋. (0.5𝑚)2. 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2 . 𝐾 4 𝜀. 𝜋. 𝐷 2 . 𝜎

𝑇𝑠 = 254.7𝐾

PROBLEMA 1.18

Un paquete de instrumentación tiene una superficie exterior esférica de diámetro emisividad

y

. El paquete se coloca en una cámara de simulación espacial grande cuyas pa-

redes se mantienen a 77 K. Si la operación de los componentes electrónicos se restringe el rango de temperatura , ¿cuál es el rango de disipación aceptable de potencia para el paquete? Muestre los resultados en forma gráfica, y también el efecto de las variaciones en la emisividad al considerar valores de 0.20 y 0.30.

SOLUCIÓN 1.18

Esquema:



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Suposiciones: a) Condición de estado estacionario. b) Temperatura en la superficie uniforme en toda ella. c) Las paredes son largas comparadas con el paquete esférico. Análisis: De un balance de energía global en el paquete, la disipación de energía interna 𝑃𝑒 será transferida por radiación entre el paquete y las paredes de la cámara; se tiene:

𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝑃𝑒 = 𝜀. 𝐴𝑠 . 𝜎. �𝑇 4 𝑠 − 𝑇 4𝑠𝑢𝑝 �

→ Para la condición:

;

𝐴𝑠 = 𝜋. 𝐷 2

𝑇𝑠 = 40℃ 𝜀 = 0.25

𝑃𝑒 = 0.25(𝜋) × (0.1𝑚)2. 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2. 𝐾 4 × [(40 + 273)4 − 774 ]𝐾 4 𝑃𝑒 = 4.3𝑊

→ Para la condición:

𝑇𝑠 = 85℃

𝜀 = 0.25

𝑃𝑒 = 7.3𝑊

∴ para 40 ≤ 𝑇𝑠 ≤ 85℃. El 𝑃𝑒 estará entre 4.3W y 7.3W - Para 𝜀 = 0.3

-

Para 𝜀 = 0.2

Para 𝑇𝑠 = 40℃

𝑃𝑒 = 5.1𝑊 Para 𝑇𝑠 = 85℃ 𝑃𝑒 = 8.8𝑊 Para 𝑇𝑠 = 40℃



Pág. 26


𝑃𝑒 = 3.4𝑊 Para 𝑇𝑠 = 85℃

𝑃𝑒 = 5.8𝑊 PROBLEMA 1.19

Una superficie de

de área, emisividad 0.8, y 150 ℃ de temperatura se coloca en una cáma-

ra grande al vacío cuyas paredes se mantienen a 25℃. ¿Cuál es la velocidad a la que la superficie emite radiación? ¿Cuál es la velocidad neta a la que se intercambia radiación entre la superficie y las paredes de la cámara?

SOLUCIÓN 1.19

A=0.5 m2

Tsup=25°C

Ts=150°C Ɛ=0.8

Suposiciones: a) Área de las paredes cerradas es mucho menor que las paredes de la cámara. Análisis: a) La velocidad de emisión de radiaciones por la superficie está dado por:

𝑞𝑒𝑚𝑖𝑡 = 𝐸. 𝐴 = 𝜀. 𝐴. 𝜎. 𝑇 4𝑠

𝑞𝑒𝑚𝑖𝑡 = 0.8(0.5𝑚2)2 . 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2. 𝐾 4[(150 + 273)𝐾]4 𝑞𝑒𝑚𝑖𝑡 = 726.1𝑊

b) Para la velocidad neta a la cual la radiación es transferencia de la superficie de la paredes es:



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𝑞 = 𝜀. 𝐴. 𝜎. �𝑇 4𝑠 −𝑇 4 𝑠𝑢𝑝 �

𝑞 = 0.8(0.5𝑚2) × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2. 𝐾 2[(423𝐾 )4 − (298𝐾 )4 ] 𝑞 = 547𝑊

PROBLEMA 1.20

Si

en la ecuación 1.9, el coeficiente de transferencia de calor por radiación puede apro-

ximarse como:

Donde

. Deseamos evaluar la validez de esta aproximación comparando los va-

lores de

y

para las siguientes condiciones. En cada caso represente los resultados en forma

gráfica y comente la validez de la aproximación. (a) Considere una superficie de aluminio pulido

o pintura negra

temperatura puede exceder la de los alrededores (

, cuya

en 10 a 100℃. También

compare sus resultados con los valores del coeficiente asociado con la convección libre en aire , donde . Considere condiciones iniciales relacionadas con la colocación de una pieza a horno grande cuya temperatura de las paredes varía en el rango

en un . De acuer-

do con el terminado o recubrimiento de la superficie, la emisividad tomará los valores 0.05, 0.2 y 0.9. Para cada emisividad, elabore una gráfica del error relativo , como función de la temperatura del horno.

SOLUCIÓN 1.20

Suposiciones: a) Para el coeficiente de transferencia de calor por radiación, (Ec. 1.9):

ℎ𝑟 ≡ 𝜀. 𝜎. (𝑇𝑠 + 𝑇𝑎𝑒𝑟 )(𝑇 2𝑆 + 𝑇 2 𝑎𝑒𝑟 )

Si 𝑇𝑠 ≈ 𝑇𝑠𝑢𝑝 , el coeficiente puede ser aproximado por la expresión:

ℎ𝑟,𝑎 = 4𝜎𝑇� 3



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Donde:

𝑇� = � •

𝑇𝑠 + 𝑇𝑎𝑒𝑟 � 2

Para la condición: 𝜀 = 0.05 ; 𝑇𝑠 = 𝑇𝑎𝑒𝑟 + 10 (Aluminio pulido) 𝑇𝑎𝑒𝑟 = 25℃ = 298𝐾

𝑇𝑠 = 298 + 10 = 308𝐾

→ Se obtiene:

ℎ𝑟 = 0.05 × 5.67 × 10−8 𝑊/𝑚2 . 𝐾 4 (308 + 298)(3082 + 2982 )𝐾 3 = 0.315 𝑊/𝑚2 . 𝐾

ℎ𝑟 = 4 × 0.05 × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2. 𝐾 4[(308 + 298)/2]3𝐾 3 = 0.315 𝑊/𝑚2. 𝐾

Para la convección libre en aire con:

𝑇𝑠 = 35℃ = 308𝐾

𝑇∞ = 𝑇𝑎𝑒𝑟 = 25℃ = 298𝐾

ℎ = 0.98∆𝑇 1/3 = 0.98(308 − 298)1/3 = 2.11 𝑊/𝑚2. 𝐾

∴ Para el rango: 10 ≤ 𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑒𝑟 ≤ 100℃, con 𝜀 = 0.05 (aluminio pulido) y 𝜀 = 0.9 (pintura negra)

𝑇𝑎𝑒𝑟 = 25℃(298𝐾) 𝑇𝑠 : [308𝐾; 398𝐾] 𝑇𝑠 (𝐾) 308 398

𝜀 0.05 0.9 0.05 0.9

Coeficientes 𝑊/𝑚2 . 𝐾 ℎ𝑟,𝑎 ℎ𝑟 ℎ 0.315 0.315 2.1 5.7 5.7 0.51 0.50 4.7 9.2 9.0

Para este rango de temperaturas de alrededores y superficie, los coeficientes de radiación y convección libre son de magnitud comparable a valores moderados de la emisividad, como 𝑒 > 0.2 b) Las expresiones anteriores para la radiación, ℎ𝑟 y ℎ𝑟,𝑎 , son usadas para el objeto con 𝑇𝑠 = 25℃ colocado dentro de un horno con paredes, las cuales pueden variar de 100 ℃ a 1000 ℃.  El error relativo (ℎ𝑟 − ℎ𝑟,𝑎 )/ℎ𝑟 , será independiente de la emisividad de la superficie y puede ser graficado en función de 𝑇𝑎𝑒𝑟 .



Pág. 29


Para 𝑇𝑎𝑒𝑟 > 150℃, la expresión aproximada proporciona estimaciones con un error mayor a 5%. La expresión aproximada debe utilizarse con cuidado y sólo para las diferencias de 50 a 100 ℃ entre las temperaturas de la superficie y alrededores.

PROBLEMA 1.21

Considere las condiciones del problema 1.13. Con transferencia de calor por convección al aire, se encuentra que la potencia máxima permisible del chip es 0.35 W. Si también se considera la transferencia neta de calor por radiación de la superficie del chip a alrededores a 15℃, ¿cuál es el porcentaje de aumento en la potencia máxima permisible en el chip proporcionado por esta consideración? La superficie del chip tiene una emisividad de 0.9.

SOLUCIÓN 1.21

Esquema:

Suposiciones: Web site: www.qukteach.com


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a) Condición estado estacionario b) Intercambio de radiación entre la pequeña superficie y las paredes del recinto. Análisis: La transferencia desde el chip debido al intercambio de radiación neta con el entorno es:

𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜀. 𝑊 2 . 𝜎. (𝑇 4 − 𝑇 4𝑠𝑢𝑝 ) 𝑞𝑟𝑎𝑑 = 0.9(0.005𝑚 𝑞𝑟𝑎𝑑 = 0.0122𝑊 -

)2

10−8𝑊 4 × 5.67 × . 𝐾 (3584 − 2884 )𝐾 4 2 𝑚

El porcentaje de aumento en la potencia máxima permisible será:

𝑞𝑟𝑎𝑑 0.0122𝑊 ∆𝑃 . 100% = . 100% = . 100% = 3.47% 0.35𝑊 𝑃 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 PROBLEMA 1.22

Un sistema al vacío, como los que se usan para la deposición eléctrica por sublimación catódica de películas delgadas conductoras en microcircuitos, consta de una placa base sostenida por un calentador eléctrico a 300 K y un recubrimiento dentro del recinto que se mantiene a 77 K mediante un circuito refrigerante de nitrógeno líquido. La placa base, aislada en el lado inferior, tiene 0.3 m de diámetro y una emisividad de 0.25.



Pág. 31


(a) ¿Qué potencia eléctrica debe proporcionarse al calentador de la placa base? (b) ¿A qué flujo debe suministrarse el nitrógeno líquido al recubrimiento si su entalpía de vaporización es 125 k.J/kg? Para reducir el consumo de nitrógeno líquido, se propone unir una placa delgada de hoja de aluminio a la placa base. ¿Tendrá esto el efecto que se desea?

SOLUCIÓN 1.22

Esquema:


Condición de estado estacionario No hay pérdida de calor por debajo del calentador o lados de la placa. Reciento vacío grande en comparación a la placa base. Recinto percibe una convección casi nula (insignificante). El nitrógeno líquido (𝐿𝑁2 ) es calentado solo por el calor transferido de la cubierta (recubrimiento).

Análisis: a) De un balance de energía en la placa base:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝑞𝑒𝑒é𝑐 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 = 0

Usando la Ec.1.7 para intercambio de radiación entre la placa base y la cubierta (recubrimiento). Web site: www.qukteach.com


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𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 𝜀𝑃 . 𝐴𝑃 . 𝜎 (𝑇 4𝑃 − 𝑇 4 𝑟𝑒𝑐 ) ; 𝐴𝑃 = Reemplazando:

𝜋 2 .𝐷 𝑃 4

𝜋 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 0.25. (0.3𝑚)2 × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2. 𝐾 4(3004 − 774 )𝐾 4 4 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 8.1𝑊

b) Para un balance de energía en el recinto, la transferencia de radiación calienta la corriente de nitrógeno líquido que causa la evaporación.

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 Donde:

→

𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑚̇𝑁2 . ℎ𝑓𝑔 = 0

ℎ𝑓𝑔 = 𝜆𝑉 = 125𝑘𝐽/𝑘𝑔 𝑚̇𝑁2 =

𝑞𝑟𝑎𝑑 8.1𝑊 = = 6.48 × 10−5𝑘𝑔/𝑠𝑒𝑔 𝐽 ℎ𝑓𝑔 125 × 103 𝑘𝑔

𝑚̇𝑁2 = 0.233

𝑘𝑔 ℎ𝑟

c) Si se une una delgada placa de hoja de aluminio sobre la placa base:

𝑞𝑟𝑎𝑑,ℎ𝑜𝑗𝑎 = 𝑞𝑟𝑎𝑑 (𝜀ℎ𝑜𝑗𝑎 /𝜀𝑃 ) Donde:

𝜀ℎ𝑜𝑗𝑎 = 0.09 𝜀𝑃 = 0.25

→ 𝑞𝑟𝑎𝑑,ℎ𝑜𝑗𝑎 = 8.1𝑊(0.09/0.25) = 2.9𝑊

Y la tasa de consumo de nitrógeno líquido se reducirá en:

0.25 − 0.09 = 64% 0.25

a

0.083𝑘𝑔/ℎ

PROBLEMA 1.23



Pág. 33


Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme de 95 ℃, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura ambiente de 25 ℃. No tome en cuenta la resistencia eléctrica de los alambres de conexión.

(a) Considere el resistor como un sistema alrededor del cual se coloca una superficie de control y se aplica la ecuación 1.11a. Determine los valores correspondientes de . Si se coloca una superficie de control alrededor del sistema entero; ¿cuáles son los valores de

.

(b) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un cilindro de diámetro del resistor, que es un cilindro de diámetro y longitud , ¿cuál es la velocidad de generación de calor volumétrica,

?

Sin tener en cuenta la radiación del resistor, ¿cuál es el coeficiente de convección?

SOLUCIÓN 1.23

Esquema:



Pág. 34



Condición de estado estacionario. Temperatura del resistor es uniforme. Energía eléctrica disipada en los cables insignificantes. El intercambio de radiación entre el resistor y alrededores es insignificante. La energía eléctrica es disipada uniformemente dentro del resistor.

Análisis: a) Conservación de energía para un volumen de control, en un instante de tiempo:

𝐸̇𝐼𝑁 + 𝐸̇𝑔 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚

Ecuación 1.11a

→ la energía eléctrica entregada por la batería es 𝑃 = 𝑉. 𝐼 = 24𝑉. 6𝐴 = 144𝑊 •

Volumen de control

Resistor:

𝐸̇𝐼𝑁 = 0 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 144𝑊 𝐸̇𝑔 = 144𝑊 𝐸̇𝑎𝑙𝑚 = 0

→ El término 𝐸̇𝑔 se debe a la conversión de energía eléctrica a térmica. El término 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 se debe a la convección de la superficie del resistor al aire. •

Volumen de control:

Sistema Batería-Resistor:

𝐸̇𝐼𝑁 = 0 𝐸̇𝑔 = 0

𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 144𝑊 𝐸̇𝑎𝑙𝑚 = 144𝑊

→ El término 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 representa la disminución de la energía química en la batería. La conversión de energía química a energía eléctrica y su subsecuente conversión a energía térmica son procesos internos del sistema los cuales no están asociados a 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 o 𝐸̇𝑔 . El término 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 se debe a la convección de la superficie del resistor al aire. Web site: www.qukteach.com


Pág. 35


b) Del balance energético en el resistor, con un volumen de: 𝑉 = (𝜋. 𝐷2 /4) − 𝐿

𝐸̇𝑔 = 𝑞̇ 𝑉

144𝑊 = 𝑞̇ (𝜋(0.06𝑚)2 /4) × 0.25𝑚

→

𝑞̇ = 2.04 × 105 𝑊/𝑚3

c) Del balance energético en el resistor y la ley de enfriamiento de Newton, con el área:

𝐴𝑠 = 𝜋. 𝐷𝐿 + 2(𝜋𝐷 2 /4)

𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

144𝑊 = ℎ[𝜋 × 0.06𝑚 × 0.25𝑚 + 2(𝜋 × 0.062 𝑚2 /4)]. (95 − 25)℃ 144𝑊 = ℎ[0.0471 + 0.0057]𝑚2 × (70°𝐶) ℎ = 38.96𝑊/𝑚2. 𝐾

PROBLEMA 1.24 La variación de temperatura con la posición en una pared se muestra abajo para un tiempo específico, , durante un proceso transitorio (variante con el tiempo).

¿La pared se está calentando o enfriando?

SOLUCIÓN 1.24



Pág. 36


Esquema:

Análisis: A partir de la gráfica, se ve el gradiente o distribución de temperaturas para un instante 𝑡1 , pero claramente vemos que a causa de este gradiente existirá un flujo de calor de izquierda a derecha, por tanto a medida que pasa el tiempo la pared se calienta.

PROBLEMA 1.25 Una esfera sólida de diámetro

m y emisividad superficial

se precalienta y después

se suspende en una cámara grande de vacío enfriada criogénicamente, cuyas superficies inferiores se mantienen a 80 K. ¿Cuál es la velocidad de cambio de la energía almacenada por el sólido cuando su temperatura es 600K?

SOLUCIÓN 1.25

Esquema:



Pág. 37


Suposiciones: a) Propiedades constantes. b) No hay generación de energía. Análisis: Tomando a la esfera como volumen de control, se obtiene el siguiente balance de energía, para un instante:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 ;

𝐸̇𝐼𝑁 = 0

−𝜀. 𝜎. 𝐴𝑠 (𝑇 4 − 𝑇 4 𝑎𝑒𝑟 ) = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚

𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = −0.3 × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2𝑘 4 × 𝜋(1𝑚)2 (6004 − 804 )𝑘 4 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = −6920 𝑊

∴ Significa que se perderá 6920 J/s

PROBLEMA 1.26 Una esfera sólida de aluminio de emisividad está inicialmente a una temperatura elevada y se enfría colocándola en una cámara. Las paredes de la cámara se mantienen a una temperatura baja, y se hace circular un gas frio a través de la cámara. Obtenga una ecuación que sirva para predecir la variación de la temperatura del aluminio con el tiempo durante el proceso de enfriamiento. No intente obtener la solución.

SOLUCIÓN 1.26

Esquema:



Pág. 38


Suposiciones: a) No hay generación de energía interna. b) Propiedades constantes Análisis: Para el volumen de control en al esfera, se tiene para un instante el balance energético:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 ;

𝐸̇𝐼𝑁 = 0

0 − [ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) + 𝜀. 𝜎. 𝐴𝑠 (𝑇 4𝑠 − 𝑇 4 𝑎𝑖𝑟 )] =

𝑑 (𝜌. 𝑉. 𝑐. 𝑇) 𝑑𝑡

𝜋𝐷 3 𝑑 −ℎ. 𝜋𝐷 𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) − 𝜀. 𝜎. 𝜋𝐷 𝑇 𝑠 − 𝑇 𝑎𝑖𝑟 ) = �𝜌. . 𝑐. 𝑇� 𝑑𝑡 6 2(

�

2( 4

4

𝑑𝑇 𝐷 � . 𝜌. . 𝑐 = −ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) − 𝜀. 𝜎(𝑇 4 𝑠 − 𝑇 4𝑎𝑖𝑟 ) 𝑑𝑡 6

𝑇∞ < 𝑇𝑠

→

0 < 𝑇𝑠 − 𝑇∞

𝑇 4𝑎𝑖𝑟 < 𝑇 4𝑠 → 0 < 𝑇 4𝑠 − 𝑇 4 𝑎𝑖𝑟

𝑑𝑇 [ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) + 𝜀. 𝜎 (𝑇 4𝑠 − 𝑇 4 𝑎𝑖𝑟 ) → = −6 𝑑𝑡 𝜌. 𝐷. 𝑐

PROBLEMA 1.27 Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posición horizontal, con su superficie inferior bien aislada. Se aplica un recubrimiento delgado especial a la superficie superior que absorbe 80% de cualquier radiación solar incidente, mientras tiene una emisividad de 0.25. Se sabe que la densidad y el calor específico del aluminio son y , respectivamente. a) Considere las condiciones para las que la placa está a una temperatura de 25 ℃ y la superficie superior se expone súbitamente al aire ambiente a y a radiación solar que proporciona un flujo incidente a

. El coeficiente de transferencia de calor por

convección entre la superficie y el aire es

. ¿Cuál es la velocidad inicial de

cambio de la temperatura de la placa?



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b) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de estado estable? Las propiedades radiactivas de la superficie dependen de la naturaleza específica del recubrimiento aplicado. Calcule y elabore una gráfica de la temperatura de estado estable como función de la emisividad para , mientras todas las demás condiciones permanecen como se estay elabore una gráfica de los resultados

bleció. Repita los cálculos para valores de con los que se obtuvieron para

. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa,

¿cuál es la combinación más deseable de emisividad de placa y su absortividad, debido a la radiación solar?

SOLUCIÓN 1.27

Esquema:

Suposiciones: a) No hay generación de calor interno b) Radiación insignificante desde los alrededores c) Superficie inferior adiabática d) Propiedades constantes e) Temperatura de la placa uniforme en cualquier instante. Análisis: a) Aplicando un balance de energía, en un instante de tiempo a un volumen de control sobre la placa:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 ; para una unidad de área superficial 𝛼𝑠 𝐺𝑠(1𝑚2) − 𝐸 (1𝑚2 ) − 𝑞″ 𝑐𝑜𝑛𝑣 (1𝑚2) =

𝑑𝑇 𝑑 (𝑀. 𝑐. 𝑇) = 𝜌(1𝑚2. 𝐿). 𝑐 � � 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Usando y reemplazando las ecuaciones 1.3 y 1.5: Web site: www.qukteach.com


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1 𝑑𝑇 = [𝛼𝑠 . 𝐺𝑠 − 𝜀. 𝜎. 𝑇 4𝑖 − ℎ(𝑇𝑖 − 𝑇∞ )] 𝑑𝑡 𝜌. 𝐿. 𝑐

𝑑𝑇 𝑘𝑔 𝐽 −1 𝑊 𝑊 = �2700 3 × 0.004𝑚 × 900 � . �0.8 × 900 2 − 0.25 × 5.67 × 10−8 2 4 (298𝑘)4 𝑚 𝑘𝑔. 𝐾 𝑚 𝑚 .𝐾 𝑑𝑡 𝑊 − 20 2 (25 − 20)𝐾� 𝑚 .𝐾 b) Bajo condición de estado estacionario o estable; 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = 0 y la ecuación del balance se reduce a:

𝛼𝑠 𝐺𝑠 = 𝜀. 𝜎. 𝑇 4 + ℎ(𝑇 − 𝑇∞ )

0.8 × 900𝑊/𝑚2 = 0.25 × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2 𝑘 4 × 𝑇 4 + 20 𝑊/𝑚2 . 𝐾(𝑇 − 293𝐾) La solución sería T= 321.4 K = 48.4℃ c) De la ecuación anterior:

𝛼𝑠 𝐺𝑠 = 𝜀. 𝜎. 𝑇 4 + ℎ(𝑇 − 𝑇∞ )

Para 𝛼 = 0.8:

0.8 × 900𝑊/𝑚2 = 𝜀 × 5.67 × 10−8𝑊/𝑚2𝑘 4 × 𝑇 4 + 20 𝑊/𝑚2. 𝐾(𝑇 − 293) → 5.67 × 10−8 × 𝑇 4(𝜀). 𝜀 + 20𝑇𝜀 − 6580 = 0

Para 𝛼 = 0.5:

→ 5.67 × 10−8 × 𝑇 4(𝜀). 𝜀 + 20𝑇𝜀 − 6310 = 0

Para 𝛼 = 1:

→ 5.67 × 10−8 × 𝑇 4(𝜀) . 𝜀 + 20𝑇𝜀 − 6760 = 0

Graficando en una calculadora programable:

PROBLEMA 1.28 En una estación espacial orbital, un paquete electrónico se almacena en un compartimiento que , que se expone al espacio. En condiciones normales de operatiene un área superficial ción, los dispositivos electrónicos disipan 1kW, que debe transferirse en su totalidad de la superfiWeb site: www.qukteach.com


Pág. 41


cie expuesta al espacio. Si la emisividad de la superficie es 1.0 y la superficie no se expone al sol, ¿cuál es su temperatura de estado estable? Si la superficie se expone a un flujo solar de

y su absortividad a la radiación solar es

0.25, ¿cuál es la su temperatura de estado estable?

SOLUCIÓN 1.28

Esquema:

Suposiciones: Condición de estado estable Análisis: Aplicando la conservación de energía a una superficie de control sobre el comportamiento en cualquier instante:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 + 𝐸̇𝑔 = 0

→ 𝛼𝑠 . 𝐴 𝑠 . 𝑞 ″ 𝑠 − 𝐴 𝑠 𝐸 + 𝑃 = 0

→ 𝛼𝑠 . 𝐴𝑠 . 𝑞 ″ 𝑠 − 𝐴𝑠 . 𝜀. 𝜎. 𝑇 4 𝑠 + 𝑃 = 0 → 𝑇𝑠 = �

𝛼𝑠 . 𝐴𝑠 . 𝑞 ″ 𝑠 + 𝑃 𝐴𝑠 . 𝜀. 𝜎

1/4

�

No hay exposición al sol: 𝑞 ″ 𝑠 = 0 Web site: www.qukteach.com


Pág. 42

Fundamentos de Transferencia de Calor 1/4 1000𝑊 𝑇𝑠 = � 2 � = 364 𝐾 1𝑚 × 1 × 5.67 × 10−8 𝑊/𝑚2 . 𝐾 4

Ante el sol:

1/4

0.25𝑚 × 1𝑚2 × 750 𝑊/𝑚2 + 1000 𝑊 𝑇𝑠 = � � 1𝑚2 × 1 × 5.67 × 10−8 𝑊/𝑚2 . 𝐾 4

= 380 𝐾

PROBLEMA 1.29 El consumo de energía relacionado con un calentador de agua doméstico tiene dos componentes: (i) la energía que debe suministrarse para llevar la temperatura del agua de la red de abastecimiento a la temperatura de almacenamiento del calentador, conforme se introduce para remplazar el agua caliente que se ha usado, y (ii) la energía necesaria para compensar las pérdidas de calor que ocurren mientras el agua se almacena a la temperatura establecida. En este problema, evaluaremos el primero de esos componentes para una familia de cuatro personas, cuyo consumo diario de agua caliente es aproximadamente 100 galones. Si el agua de la red está disponible a 15℃, ¿cuál es el consumo anual de energía relacionado con el calentamiento del agua a una temperatura de almacenamiento de 55 ℃? Para un costo unitario de potencia eléctrica de , ¿cuál es el costo anual asociado con el suministro de agua caliente por medio de (a)

calentamiento con resistencia eléctrica o (b) una bomba de calor que tiene un COP de 3 y una eficiencia de compresor (conversión de energía eléctrica a trabajo mecánico) de 85 por ciento?

SOLUCIÓN 1.29

Esquema:



Pág. 43


Suposiciones: a) Propiedades del agua constantes. b) El proceso puede ser modelado como una adición de calor en un sistema cerrado. Propiedades del agua: medidos a:

𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 =

15 + 55 = 35℃ = 308𝐾 2

→ En la tabla A.6 (Apéndice A): Para T = 308 K:

𝜌 = 𝑉𝑓 −1 = 993 𝑘𝑔/𝑚3 𝐶𝑝,𝑓 = 4.178 𝑘𝐽/𝑘𝑔. 𝐾 Análisis:

De la ecuación 1.11c, el calor requerido es:

𝑄𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = ∆𝑈𝑡 = 𝑀. 𝐶. ∆𝑇 = 𝜌. 𝑉. 𝐶(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) Además:

𝑉=

100 𝑔𝑎𝑙 = 0.379 𝑚3 3 264.177 𝑔𝑎𝑙/𝑚

→ 𝑄𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = 993

𝑘𝑔 𝑘𝐽 3) ( × 0.379𝑚 (40)𝑘 × 4.178 𝑚2 𝑘𝑔𝐾

𝑄𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = 62 895 𝑘𝐽 Para un año (365 días)

𝑄𝑎𝑛𝑢𝑎𝑒 = 365. 𝑄𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = 2.3 × 107 𝑘𝐽 •

Se sabe: 1𝑘𝑊ℎ = 1

𝑄𝑎𝑛𝑢𝑎𝑒 = 6376.9 𝑘𝑊ℎ

𝑘𝐽 𝑠

(3600𝑠) = 3600 𝑘𝐽

(a) Para el calentador de resistencia eléctrica, 𝑄𝑎𝑛𝑢𝑎𝑒 = 𝑄𝑒𝑒𝑒𝑐 y al asociarlo con el costo: 𝐶 = 6376.9(0.08) = $510.2 (b) Si la banda del calentador es usado, 𝑄𝑎𝑛𝑢𝑎𝑒 = 𝐶𝑂𝑃(𝑊𝑒𝑒𝑒𝑐 ). Por tanto

𝑊𝑒𝑒𝑒𝑐 = 𝑄𝑎𝑛𝑢𝑒 /𝐶𝑂𝑃 = 6379.9 𝑘𝑊ℎ/3 = 2130 𝑘𝑊ℎ

El costo correspondiente será: Web site: www.qukteach.com


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𝐶 = 2130𝑘𝑊ℎ �

$0.08 � = $170.1 𝑘𝑊ℎ

PROBLEMA 1.30

El laminado en caliente es un proceso en el que se aplanan lingotes de acero sucesivamente a su paso por una serie de rodillos de comprensión. Del último conjunto de rodillos salen tiras (hojas) de metal que se enfrían a medida que se desplazan por rodillos de transporte antes de ser enrolladas. Es posible identificar tres zonas de enfriamiento. Precisamente adelante del último conjunto de rodillo y poco antes de la bobina, hay regiones en las que la tira se expone a los alrededores fríos. Entre estas regiones, hay una zona de enfriamiento acelerado en la que se lanzan chorro planos de agua sobre la tira. El agua se mantiene en fase líquida a través de gran parte de la región de choque del chorro, pero las grandes temperaturas de la placa inducen la ebullición y la producción de un manto de vapor en una región de ebullición laminar.

(a) Para la producción de tiras de acero bajo en cromo

,

las condiciones de operación representativas corresponden a una temperatura de salida del rodillo de compresión de , una temperatura del agua de 25℃ Web site: www.qukteach.com


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en los chorros de choque, y una velocidad de la tira, ancho y espesor de y , respectivamente. ¿cuál es la velocidad a la que debe extraerse calor de la tira para alcanzar una temperatura de bobinado de la tira de ? Identifique todos los procesos de trasferencia de calor que contribuyen al enfriamiento de la placa.

SOLUCIÓN 1.30

Esquema:

Suposiciones: a) Propiedades constantes. b) El acero pierde calor por el sistema de enfriamiento. Análisis: (a) Para hallar la velocidad de extracción de calor, se halla el 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 del volumen de control:

𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝑚̇(𝜈𝑖 − 𝜈0)

→ 𝑚̇ = 𝜌. 𝜈𝑠 (𝑊𝑠 . 𝑡𝑠 )

𝜈𝑖 − 𝜈0 = 𝐶𝑝 . (𝑇𝑖 − 𝑇0)

→ 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝜌. 𝜈𝑠 . (𝑊𝑠 . 𝑡𝑠 ). 𝐶𝑝 . (𝑇𝑖 − 𝑇0) 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 7840

𝑘𝑔 𝑚 𝐽 ( ) (940 − 540)𝐾 × 10 . 2𝑚 × 0.004𝑚 . 970 𝑚3 𝑠 𝑘𝑔 . 𝐾

𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 243.35 𝑀𝑊

(b) Procesos de transferencia de calor que contribuyen al enfriamiento:



Pág. 46


•

𝑞 ′ 𝑐𝑜𝑛𝑑 : transferencia de calor por conducción a través del agua

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 : transferencia de calor por convección a través del aire y vapor de agua que hay y se forma.

PROBLEMA 1.31

En una etapa de un proceso de recocido, 304 hojas de acero inoxidable se llevan de 300K a 1250K conforme pasan a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de . y

El espesor y ancho de la hoja son ancho y largo del horno son

,

, respectivamente, mientras que la altura, ,y

, respectivamente. La parte supe-

rior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores, cada uno a 300 K, y la temperatura de la superficie, coeficiente de convección y emisividad respectivos son , y

. La superficie interior del horno también está a 350 K y reposa en una

placa de concreto de 0.5 m de espesor cuya base está a 300 K.

Estime la potencia eléctrica,

, que se requiere suministrar al horno.

SOLUCIÓN 1.31



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Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Propiedades constantes. c) Cambios en energía cinética y potencial insignificantes. Propiedades de la tabla A.1 (Apéndice A) •

Para aceros inoxidables AISI 304

𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 =

𝑇𝑖 +𝑇0 2

= 775𝐾 , a esta temperatura:

𝜌 = 7900 𝑘𝑔/𝑚3 •

∧

𝐶𝑝 = 578 𝐽/𝑘𝑔. 𝐾

Para el concreto, según la tabla A.3 : a 𝑇 = 300 𝐾 , 𝐾𝑐 = 1.4𝑊/𝑚. 𝐾

Análisis: La tasa de adición de energía para el horno debe equilibrar la tasa de transferencia de energía a la hoja de acero y la tasa de pérdida de calor del horno. Con: 𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑐 + 𝑚̇(𝜈𝑖 − 𝜈0 ) − 𝑞 = 0 Donde el calor transferido desde el horno con:

𝑚̇ = 𝜌. 𝜈𝑠 (𝑊𝑠 . 𝑡𝑠 )

𝜈𝑖 − 𝜈0 = 𝐶𝑝 (𝑇𝑖 − 𝑇0) y Web site: www.qukteach.com


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𝑞 = (2𝐻0 𝐿0 + 2𝐻0 𝑊0 + 𝑊0 𝐿0 ) × �ℎ (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) + 𝜀𝑠 . 𝜎�𝑇 4 𝑠 − 𝑇 4 𝑠𝑢𝑝 �� + 𝑘𝑐 (𝑊0 𝐿0 )(𝑇𝑠 − 𝑇0 )/𝑡𝑐

Por tanto se obtiene:

𝑃𝑒𝑒𝑒𝑐𝑡 = 𝜌. 𝜈𝑠 (𝑊𝑠 . 𝑡𝑠 )𝐶𝑝 (𝑇0 − 𝑇𝑖 ) + (2𝐻0 𝐿0 + 2𝐻0 𝑊0 + 𝑊0 𝐿0) × �ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇0) + 𝜀𝑠 . 𝜎�𝑇 4𝑠 − 𝑇 4𝑠𝑢𝑝 �� + 𝑘𝑐 (𝑊0 𝐿0)(𝑇𝑠 − 𝑇0)/𝑡𝑐

Reemplazando todos los datos:

𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡 = 840 𝑘𝑊 PROBLEMA 1.32

En un contenedor cilíndrico largo de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos gene, donran energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación de

es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen,

es una constante, y

es el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergiendo el contenedor en un líquido que está a

y proporciona un coeficiente de convección

uniforme.

Obtenga una expresión para la velocidad total a la que se genera energía por unidad de longitud del contenedor. Aproveche este resultado y obtenga una expresión para la temperatura de la pared del contenedor.

SOLUCIÓN 1.32 Web site: www.qukteach.com


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Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) La caída de temperatura a través de las paredes es insignificante. Análisis: El flujo de generación de energía será: 𝑟0 𝑟 2 𝑟 2 𝐸̇𝑔 = � 𝑞̇ 𝑑𝑣 = � 𝑞0 �1 − � � � . 2𝜋𝑟𝐿. 𝑑𝑟 = 2𝜋. 𝑞̇ 0 . 𝐿 � �1 − � � � 𝑟. 𝑑𝑟 𝑟0 𝑟0 0 0 𝑟0

𝑟 20 𝑟 20 𝜋. 𝑞̇ 0 . 𝐿. 𝑟 20 ̇ 𝐸𝑔 = 2𝜋. 𝑞̇ 0 . 𝐿 � − �= 2 4 2 O por unidad de longitud:

𝐸̇ ′𝑔 =

𝐸̇𝑔 𝜋. 𝑞̇ 0 𝑟 20 = 𝐿 2

→ Al realizar un balance de energía para la superficie de control, en un instante

𝐸̇ ′𝑔 − 𝐸̇′ 𝑂𝑈𝑇 = 0

Y al sustituir por el flujo de calor por convección por unidad de longitud:

𝜋. 𝑞̇ 0𝑟 20 = ℎ(2𝜋𝑟 20)(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 2 Web site: www.qukteach.com


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→ 𝑇𝑠 = 𝑇∞ +

𝑞̇ 0 4ℎ

PROBLEMA 1.33

Se usa un contenedor esférico de acero inoxidable (AISI 302) para almacenar químicos reactivos que proporcionan un flujo de calor uniforme a la superficie interior. El contenedor se sumerge repentinamente en un baño de líquido de temperatura

, donde

es la temperatura ini-

cial de la pared del contenedor.

(a) Suponiendo gradientes de temperatura insignificantes en la pared del contenedor y un flujo de calor constante , desarrolle una ecuación que gobierne la variación de la temperatura de la pared con el tiempo durante el proceso transitorio. ¿Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la pared si ? (b) ¿Cuál es la temperatura de estado estable de la pared? El coeficiente de convección depende de la velocidad asociada con el flujo de fluido sobre el contenedor y de si la temperatura de la pared es o no suficientemente grande para inducir la ebullición en el líquido. Calcule y elabore una gráfica de la temperatura de estado estable como función de para el rango . ¿Existe un valor de por debajo del cual la operación resulte inaceptable?

SOLUCIÓN 1.33



Pág. 51


Esquema:

Suposiciones: a) El gradi8ente de temperatura en la pared es significativa b) Propiedades constantes c) El flujo de calor es independiente del tiempo en la superficie interior Análisis: (a) Al realizar un balance de energía sobre el contenedor:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 Para el proceso:

𝑑𝑇 4 𝑞𝑖 ″(4𝜋𝑟𝑖 2) − ℎ. (4𝜋𝑟02)(𝑇 − 𝑇∞ ) = 𝜌. 𝜋(𝑟03 − 𝑟𝑖 3). 𝐶𝑝 . 𝑑𝑡 3 →

𝑑𝑇 3 [𝑞𝑖 ″ . 𝑟𝑖 2 − ℎ𝑟02(𝑇 − 𝑇∞ )] = 3 3 𝑑𝑡 𝜌. 𝐶𝑝 (𝑟0 − 𝑟𝑖 )

Por tanto al sustituir los valores numéricos:

𝑑𝑇 3[105 𝑊/𝑚2. (0.5𝑚)2 − 500 𝑊/𝑚2 . 𝐾. (0.6𝑚)2 . (500 − 300)𝐾 ] � � = 𝑘𝑔 𝐽 𝑑𝑡 𝑖 8055 3 × 510 × [(0.6)3 − (0.5)3 ]𝑚3 𝑘𝑔. 𝑘 𝑚 →�

𝑑𝑇 � = −0.089 𝑘/𝑠 𝑑𝑡 𝑖

(b) Para estado estable se tiene: 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = 0, lo cual ocasiona en la ecuación:

𝑞𝑖 ″(4𝜋𝑟𝑖 2) = ℎ (4𝜋𝑟02)(𝑇 − 𝑇∞ ) Web site: www.qukteach.com


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𝑞𝑖 ″ 𝑟𝑖 2 105 𝑊/𝑚2 0.5 2 → 𝑇 = 𝑇∞ + � � = 300 𝐾 + × � � = 438.8 𝐾 0.6 ℎ 𝑟0 500 𝑊/𝑚2 . 𝐾 (c) Para realizar la gráfica correspondiente es necesario realizar la función:

𝑞𝑖 ″ 𝑟𝑖 2 105 𝑊/𝑚2 0.5 2 𝑇 = 𝑇∞ + � � = 300 𝐾 + ×� � 0.6 ℎ 𝑟0 ℎ 𝑇(ℎ) = 300 + •

69444.4 ℎ

Para ℎ = 100 → 𝑇 = 994𝐾 ℎ = 10000 → 𝑇 = 306.94𝐾

→ Realizando una gráfica, en una calculadora con graficador, el resultado obtenido será.

Como se muestra hay un fuerte aumento de 𝑇 para ℎ < 1000 𝑊/𝑚2 . 𝐾 • •

Para 𝑇 > 380 𝐾, la ebullición se produce en la superficie del recipiente y para 𝑇 > 410 𝐾 ocurrirá una condición conocida como película de ebullición. Aunque el envase o contenedor se mantiene muy por debajo del punto de fusión del acero inoxidable para ℎ = 100 𝑊/𝑚2 . 𝐾, el punto de ebullición se debe evitar por tanto el coeficiente de convección debe ser:

ℎ > 1000 𝑊/𝑚2. 𝐾



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PROBLEMA 1.34

En un contenedor esférico de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos generan energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación , donde es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen,

es una constante, y

es

el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergiendo el contenedor en un líquido que está a y proporciona un coeficiente de convección uniforme.

Obtenga una expresión para la velocidad total a la que se genera energía térmica en el contenedor. Con este resultado obtenga una expresión para la temperatura de la pared del contenedor.

SOLUCIÓN 1.34

Esquema:

Suposiciones: a) Condición estado estable. b) La caída de temperaturas a través de las paredes es insignificante. Web site: www.qukteach.com


Pág. 54


Análisis: El flujo de generación de energía: 𝑟0 𝑟 2 4 3 𝑟2 𝐸̇𝑔 = � 𝑞̇ . 𝑑𝑣 = � 𝑞0 . �1 − � � � . 𝑑 � 𝜋𝑟 � = � 𝑞0 �1 − 2� . 4𝜋𝑟 2𝑑𝑟 𝑟0 3 𝑟0 0 0 𝑟0

𝑟0

𝐸̇𝑔 = 4𝜋. 𝑞0 � �𝑟 2 − 0

𝑟0 𝑟4 𝑟3 𝑟5 � 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑞0 � − �� 𝑟02 3 5𝑟02 0

Expresión de velocidad a la que se genera energía:

8𝜋. 𝑞0 . 𝑟03 𝐸̇𝑔 = 15

→ Al realizar un balance de energía para la superficie de control, en un instante:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 + 𝐸̇𝑔 = 0

;

𝐸̇𝐼𝑁 = 0

→ 𝐸̇𝑔 = 𝐸̇𝑂𝑈𝑇

8𝜋. 𝑞0 . 𝑟03 → = ℎ(4𝜋𝑟02 ). (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 15 → 𝑇𝑠 = 𝑇∞ +

2. 𝑞0 . 𝑟0 15. ℎ

PROBLEMA 1.35 En un contenedor esférico cuya superficie externa es de 500 mm de diámetro y está a una temperatura de –10 ℃ se almacena oxígeno líquido, que tiene un punto de ebullición de 90 K y un calor . El contenedor se almacena en un laboratorio cuyo aire y latente de vaporización de

paredes están a 25 ℃.

(a) Si la emisividad de la superficie es 0.20 y el coeficiente de transferencia de calor asociado con la convección libre en la superficie externa del contenedor es , ¿cuál es el flujo, en kg/s, al que se debe descargar vapor de oxígeno del sistema?

La humedad en el ambiente tendrá como resultado formación de escarcha en el contenedor, lo que causará que la emisividad de la superficie aumente. Suponiendo que la temperatura de la superficie y el coeficiente de convección permanecen a –10 ℃ y , respectivamente, calWeb site: www.qukteach.com


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cule la rapidez de evaporización de oxígeno (kg/s) como función de la emisividad de la superficie sobre el rango .

SOLUCIÓN 1.35

Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estacionario. b) Temperatura exterior del contenedor igual al punto de ebullición del oxígeno. Análisis: (a) Aplicando un balance de energía sobre la superficie de control del contenedor, para cualquier instante:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 ó 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑞𝑒𝑣𝑎𝑝 = 0

La pérdida de calor por vaporización es igual al producto del flujo másico de la producción de vapor y el calor de vaporización. Por tanto: 4 𝐴𝑠 �ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) + Ɛ. 𝜎�𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇𝑠 4�� − 𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝 . ℎ𝑓𝑔 = 0 … … . . (1)

𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝

4 − 𝑇𝑠 4�� ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) + Ɛ. 𝜎�𝑇𝑠𝑢𝑝 = … … . . (2) , ℎ𝑓𝑔

𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝 =

�10

𝑇𝑠 = 263𝐾 𝑇∞ = 𝑇𝑠𝑢𝑝 = 298𝐾

𝑤 𝑊 (298 − 236)𝐾 + 5.67 × 10−8 × 0.2 2 4 (2984 − 2634 )𝑘 4 � 𝜋(0.5𝑚)2 2 𝑚 .𝑘 𝑚 .𝑘 214000 𝐽/𝑘𝑔



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𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝 = 1.41 × 10−3𝑘𝑔/𝑠 (b) De la ecuación (2):

𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝

[10(298 − 263) + 𝜀. 5.67 × 10−8(2984 − 2634 )]0.785 = 214000

→ 𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝

(𝑠)

=

274.75 + 138.0596 × 𝜀 214000

Se trata de una función lineal Se obtiene:

𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝 (𝜀 = 0.2) = 1.41 × 10−3𝑘𝑔/𝑠 • 𝑚̇𝑒𝑣𝑎𝑝 (𝜀 = 0.94) = 1.89 × 10−3 𝑘𝑔/𝑠 •

El efecto de la emisividad es cada vez mayor para aumentar la transferencia de calor en el recipiente o contenedor, por tanto aumenta el flujo de producción de vapor.

PROBLEMA 1.36 Un trozo de hielo en un contenedor de paredes delgadas de 10 mm de espesor y 300 mm por lado se coloca en una almohadilla bien aislada. En la superficie superior, el hielo se expone al aire amy el coeficiente de convección es . Sin tomar en cuenta biental para el que Web site: www.qukteach.com


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la transferencia de calor de los lados y suponiendo que la mezcla de hielo-agua permanece a 0℃, ¿cuánto tiempo tardará en fundirse por completo el hielo? La densidad y calor latente de fusión del hielo son y , respectivamente.

SOLUCIÓN 1.36

Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Temperatura de la superficie de control igual al punto de fusión del hielo. Análisis: Aplicando un balance de energía sobre la superficie de control sobre el contenedor (no hay transferencia por los lados). Por tanto:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 Donde:

𝐸̇𝐼𝑁 = 𝑚̇. ℎ𝑓𝑔

𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) Además:

𝑚̇ =

𝜌. 𝑉 ; 𝑉 = 𝑡. 𝐿2 𝑡



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→ ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) =

𝜌. 𝑉 . ℎ𝑓𝑔 𝑡

𝑘𝑔 920 3 (0.01𝑚)(0.3𝑚)2 × 334 × 103 𝐽/𝑘𝑔 𝜌. 𝑉. ℎ𝑓𝑔 𝑚 = →𝑡= 𝑊 ( ) ℎ. 𝐴𝑠 𝑇∞ − 𝑇𝑠 25 2 . (0.3𝑚. 0.01𝑚)(25 − 0)𝐾 𝑚 𝐾

𝑡 = 147494.4 𝑠𝑒𝑔. PROBLEMA 1.37

Siguiendo el vacío caliente que forma una mezcla de pulpa de papel, el producto, un cartón de huevo, se transporta por una banda 18 s hacia la entrada de un horno de gas donde se seca a un contenido final deseado de agua. Para aumentar la productividad de la línea, se propone que se instale sobre la banda un banco de calentadores de radiación infrarroja, que proporciona un flujo radiante uniforme de . El cartón tiene un área expuesta de y una masa de 0.220 kg, 75% de la cual es agua después del proceso de formación.

El jefe de ingenieros de su planta aprobará la compra de los calentadores si el contenido de agua del cartón se reduce de 75 a 65%. ¿Recomendaría la compra? Suponga que el calor de vaporización del agua es .

SOLUCIÓN 1.37



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Esquema:

Suposiciones: a) Todo el flux de radiación del banco de calentadores es absorbido por el cartón. b) La pérdida de calor por radiación y convección del cartón es insignificante. c) Pérdida de masa en la parte inferior insignificante. Análisis: Tomando como volumen de control a la caja de cartón de huevo; y teniendo esto para un intervalo de tiempo (∆𝑡).

𝐸𝐼𝑁 − 𝐸𝑂𝑈𝑇 = ∆𝐸𝑎𝑒𝑚 = 0 Dónde:

𝐸𝐼𝑁 : Flux absorbido (𝑞𝑛 ″)

𝐸𝑂𝑈𝑇 : Energía que sale por la evaporación del agua. Por tanto:

𝑞𝑛 ″ . 𝐴𝑠 . ∆𝑡 = ∆𝑀. ℎ𝑓𝑔

𝑞𝑛 ″ . 𝐴𝑠 . ∆𝑡 (5000)(0.0625)(18) = = 0.00234 𝑘𝑔 ∆𝑀 = 24000 × 103 ℎ𝑓𝑔 •

El jefe de ingenieros, exigió remover 10% del contenido de agua (75% - 65%)

∆𝑀𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 = 𝑀 × 0.1 = 0.22 𝑘𝑔 × 0.1 = 0.022 𝑘𝑔

Siendo este resultado mayor que el valor obtenido por evaporización de agua. Por tanto la compra no debe ser recomendada, ya que la eliminación de agua exigida no se puede lograr.

PROBLEMA 1.38 Web site: www.qukteach.com


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Unos dispositivos electrónicos de potencia se montan en un disipador de calor que tiene un área de superficie expuesta de y una emisividad de 0.80. Cuando los dispositivos disipan una potencia total de 20 W y el aire y los alrededores están a 27 ℃, la temperatura promedio del disipador es de 42 ℃. ¿Cuál temperatura promedio alcanzará el disipador cuando los dispositivos disipen 30 W para la misma condición ambiental?

SOLUCIÓN 1.38

Esquema:

Realizando el análisis: Definiendo el volumen de control alrededor del disipador: Web site: www.qukteach.com


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𝑃𝑒 − ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) − 𝐴𝑠 . 𝜀. 𝜎. �𝑇𝑠 4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4 � = 0 … … … (1)

• Para la situación: 𝑃𝑒 = 20 𝑊, con 𝑇𝑠 = 42℃, donde se obtienen;

ℎ = �𝑃𝑒 ⁄𝐴𝑠 − 𝜀. 𝜎�𝑇𝑠 4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4 ��/(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

ℎ = [20⁄0.045 − 0.8 × 5.67 × 10−8(3154 − 3004 )]/(315 − 300)𝐾 ℎ = 24.4 𝑊/𝑚2 . 𝐾

• Para la situación cuando: 𝑃𝑒 = 30 𝑊, usando el ℎ hallado; en (1):

30 𝑊 − 24.4

𝑊

𝑚2

× 0.045𝑚2 (𝑇𝑠 − 300)𝐾 − 0.045𝑚2 . 0.8 × 5.67 × 10−8

→ 30 = 1.098(𝑇𝑠 − 300) + 2.041 × 10−9 �𝑇𝑠 4 − 3004 �

𝑊

𝑚 2.𝑘 4

�𝑇𝑠 4 − 3004 � = 0

• Usando una calculadora programable:

𝑇𝑠 = 322𝐾 = 49℃

PROBLEMA 1.39 ,

El techo de un automóvil en un establecimiento absorbe un flujo solar radiante de

mientras que el lado contrario está perfectamente aislado. El coeficiente de convección entre el techo y el aire ambiente es . (a) Sin tomar en cuenta el intercambio de radiación con los alrededores calcule la temperatura del techo bajo condiciones de estado estable si la temperatura del aire ambiente es 20 ℃ (b) Para la misma temperatura del aire ambiental, calcule la temperatura del techo si la emisividad de la superficie es 0.8. El coeficiente de convección depende de las condiciones del flujo de aire sobre el techo, y se incrementa con el aumento de la velocidad del aire. Calcule y elabore una gráfica de la temperatura de placa como función de para .

SOLUCIÓN 1.39



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Esquema:

Suposiciones: a) Condición estado estable. b) Insignificante transferencia de calor al interior del auto. c) Insignificante radiación de la atmósfera. Análisis: (a) Aplicando un balance de energía sobre la superficie de control, mostrado en el esquema, para un instante de tiempo, además de que una emisión de radiación es considerada insignificante. ″ 𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 → 𝑞𝑠,𝑎𝑏𝑠 . 𝐴𝑠 − ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 0

″ 𝑞𝑠,𝑎𝑏𝑠 800 𝑊/𝑚2 → 𝑇𝑠 = 𝑇∞ + = 20℃ + = 20℃ + 66.7℃ = 86.7℃ ℎ 12 𝑊/𝑚2. 𝐾

(b) Con una radiación que se emite desde la superficie, el balance de la energía tomará la siguiente forma:

″ 𝑞𝑠,𝑎𝑏𝑠 . 𝐴𝑠 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝐸. 𝐴𝑠 = 0

″ . 𝐴𝑠 − ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) − 𝜀. 𝐴𝑠 . 𝜎. 𝑇𝑠 4 = 0 𝑞𝑠,𝑎𝑏𝑠

-

800

Al sustituir valores, pero 𝑇∞ = 20℃ + 273 = 293𝐾

𝑊 𝑊 4 −8 𝑊 ( ) − 12 × 𝑇 − 293𝐾 − 0.8 × 5.67 × 10 �𝑇𝑠 � = 0 𝑠 2 2 4 𝑚 𝑚 .𝐾 𝑚2 . 𝐾

→ 4.536 × 10−8𝑇𝑠 4 + 12𝑇𝑠 − 4316 = 0



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Con uso de calculadora programable:

𝑇𝑠 = 320𝐾 = 47℃

(c) De la ecuación anterior:

800 − ℎ (𝑇 − 293) − 0.8 × 5.67 × 10−8𝑇 4 = 0 → Para ℎ = 2:

4.536 × 10−8𝑇 4 + (2)(𝑇 − 293) − 800 = 0 𝑇 = 350.54𝐾

→ Para ℎ = 200:

4.536 × 10−8𝑇 4 + 200(𝑇 − 293) − 800 = 0 𝑇 = 295.97𝐾

Se obtiene:

ℎ(𝑊/𝑚2 . 𝐾 ) 𝑇(𝐾)

2

10

350.54

323.4

20

40

60

80

100

120

311.6 303.4 300.2 298.5 297.5 296.7

140

160

180

200

296.2

295.8

295.5

295.27

Se grafican los datos:

PROBLEMA 1.40 La temperatura de operación de un detector infrarrojo para un telescopio espacial se controla ajustando la potencia eléctrica, 𝑞𝑒𝑒é𝑐 , para un calentador delgado intercalado entre el detector y el Web site: www.qukteach.com


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“dedo frio” cuyo extremo opuesto está inmerso en nitrógeno líquido a 77 K. La varilla del dedo frio de 5 mm de diámetro tiene una conductividad térmica de 10𝑊/𝑚 . 𝐾 y se extiende 50 mm sobre el nivel del nitrógeno líquido en un frasco Dewar. Suponga que la superficie del detector tiene una emisividad de 0.9 y el vacío del recinto se mantiene a 300 K.

(a) ¿Cuál es la temperatura del detector cuando no se suministra ninguna potencia al calentador? (b) ¿Qué potencia de calentamiento se requiere para mantener al detector a 195 K?

Calcule y elabore un gráfica de la potencia de calentamiento requerida para mantener una temperatura de detector de 195 K como función de la conductividad térmica del dedo frio para 0.1 ≤ 𝑘 ≤ 400𝑊/𝑚 . 𝐾. Seleccione un material adecuado del dedo que permita mantener la temperatura establecida del detector a un nivel bajo de consumo de potencia.

SOLUCIÓN 1.40

Esquema:



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Condición de estado estable Conducción unidimensional a través del dedo frio El detector y calentador son delgados e isotérmicos a 𝑇𝑠 Detector es menor al contenedor, en cuanto superficies.

Análisis: Al estar definido el volumen de control (Detector-calentador), aplicando el balance energético:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 0 Dónde:

→ 𝐸̇𝐼𝑁 = 𝐸̇𝑂𝑈𝑇

𝐸̇𝐼𝑁 = 𝑞𝑟𝑎𝑑 + 𝑞𝑒𝑒é𝑐 ; 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 De estos:

𝜀. 𝐴𝑠 . 𝜎. �𝑇𝑎𝑖𝑟 4 − 𝑇𝑠 4� + 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 𝐾. 𝐴𝑠 . (𝑇𝑠 − 𝑇𝐿 )/𝐿. … … … … (1) (a) Para el caso 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 0

𝜀. 𝐴𝑠 . 𝜎. �𝑇𝑎𝑖𝑟 4 − 𝑇𝑠 4� = 𝐾. 𝐴𝑠 . (𝑇𝑠 − 𝑇𝐿 )/𝐿

0.9 × 5.67 × 10−8 𝑊 ⁄𝑚2. 𝐾 4 �3004 − 𝑇𝑠 4 � = 10 𝑊 ⁄𝑚. 𝐾 × (𝑇𝑠 − 77)𝐾/0.05𝑚

5.103 × 10−8�3004 − 𝑇𝑠 4� = 200(𝑇𝑠 − 77)

𝑇𝑠 = 79.1𝐾

(b) Para 𝑇𝑠 = 195𝐾; en (1)

(195 − 77)𝐾 𝜋 𝑊 0.9 � (0.005𝑚)2� . 5.67 × 10−8(3004 − 1954 )𝐾 4 + 𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 10 × 4 𝑚. 𝐾 0.05𝑚 Web site: www.qukteach.com


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𝑞𝑒𝑒é𝑐 = 0.457𝑊 = 457𝑚𝑊 PROBLEMA 1.41

Considere el sistema físico que se describe en el ejemplo 1.5 bajo condiciones en las que los gases de combustión están a 1300 ℃ y la transferencia de calor por convección de los gases a la superficie interna se caracteriza por un coeficiente de convección de . La pared del horno está construida con un ladrillo de sílice diatónico para el que

y

,

mientras que el medio circundante permanece a 25℃. El intercambio de radiación entre los gases de combustión y la superficie interior se puede dejar de lado. Calcule y elabore una gráfica de las temperaturas de las superficies interior y exterior, y , como función del espesor de la pared para un coeficiente de convección externo de función del coeficiente de convección de

y

adecuados para mantener a

para

y como . Sugiera valores

por debajo de un valor máximo permisible de 100 ℃.

SOLUCIÓN 1.41

Esquema:

Suposiciones: a) Estado estable b) Conducción unidimensional Análisis: Se realiza un balance de energía, en las superficies: Web site: www.qukteach.com


Pág. 67


Superficie 1: ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,1 1

ℎ1 �𝑇∞1 − 𝑇1� = 𝐾 (𝑇1 − 𝑇2)/𝐿 … … … . . (1)

Superficie 2:

″ ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑟𝑎𝑑 2 1

4

4

𝐾(𝑇1 − 𝑇2 )/𝐿 = ℎ2 �𝑇2 − 𝑇∞2 � + 𝜀. 𝜎 �𝑇2 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 � … … … (2)

De (1) y (2); se obtiene:

𝐾 −1 𝐾 𝑇1 = �ℎ1 + � . �ℎ1 𝑇∞1 + 𝑇2� 𝐿 𝐿

𝜀. 𝜎. �𝑇24 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4� + ℎ2 �𝑇2 − 𝑇∞2 � −

𝐾 ℎ1𝑇∞1 − ℎ1 𝑇2 � �=0 𝐿 ℎ1 + 𝐾⁄𝐿

𝑇1 = (50 + 0.3⁄𝐿)−1. �50 × 1573 +

0.3 .𝑇 � 𝐿 2

Para ℎ2 = 10 𝑊⁄𝑚2 . 𝐾 y las otras constantes 𝑇1 , 𝑇2 vs. 𝐿:

0.8 × 5.67 × 10−8�𝑇24 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4 � + 10(𝑇2 − 298) − 0.3 �

Se obtiene: 𝐿(𝑚) 𝑇2 (𝐾) 𝑇1 (𝐾)

0.025 614.5 1387.5

0.05 531.1 1461.4

0.075 485.2 1492.4

0.01 455.3 1509.7

50 × 15 + 3 − 50 × 𝑇2 �=0 50. 𝐿 + 0.3

0.125 433.88 1520.8

(Los valores restantes y gráfica se realizan en Excel) • • 𝑇1 =

Los valores de 𝑇2 , se obtienen usando métodos numéricos. Similarmente para 𝐿 = 0.15𝑚

1 (50 × 1573 + 2𝑇2 ) 52

0.8 × 5.67 × 10−8�𝑇 4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4 � −

2 (50 × 1573 × 50𝑇2) + (𝑇2 − 298)ℎ2 = 0 52

Por el mismo proceso anterior se tiene la gráfica en Excel. Web site: www.qukteach.com


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Usando métodos numéricos para hallar T2.

PROBLEMA 1.42

Se sabe que le flujo de calor por difusión a través de una pared plana hasta la superficie es . Determine la temperatura de la superficie para cada una de las siguientes condiciones: (a) Convección entre la superficie y un flujo de aire a 20 ℃ con coeficiente de transferencia de . calor El mismo proceso de convección ocurre junto con transferencia radiactiva de calor entre la superficie y los alrededores fríos a –150 ℃, con un coeficiente de transferencia radiactiva .

SOLUCIÓN 1.42

Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) La difusión se da a través de la pared, de manera uniforme. Análisis: (a) Para el caso que solo exista convección entre la superficie y flujo de aire.


″ − ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 0 𝑞𝑑𝑖𝑓 Web site: www.qukteach.com


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Fundamentos de Transferencia de Calor ″ 𝑞𝑑𝑖𝑓

400 𝑊 ⁄𝑚2 → 𝑇𝑠 = 𝑇∞ + = 20℃ + = 60℃ ℎ 10 𝑊 ⁄𝑚2 ℃ (b) Para el caso de que exista convección y radiación:


″ − ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) − ℎ𝑟 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 ) = 0 𝑞𝑑𝑖𝑓 ″ 𝑞𝑑𝑖𝑓 + ℎ𝑇∞ + ℎ𝑟 𝑇𝑎𝑖𝑟 → 𝑇𝑠 = (ℎ + ℎ𝑟 )

400 𝑊 ⁄𝑚2 + 10 𝑊 ⁄𝑚2. 𝐾 × 20℃ + 5 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 × (−150℃) = −10℃ 𝑇𝑠 = 10 𝑊 ⁄𝑚2. 𝐾 + 5 𝑊 ⁄𝑚2. 𝐾

PROBLEMA 1.43

Una superficie cuya temperatura se mantiene a 400℃ está separada de un flujo de aire por una capa aislante de 25 mm de espesor, cuya conductividad térmica es . Si la temperatura del aire es 35℃ y el coeficiente de convección entre el aire y la superficie exterior del aislante es , ¿cuál es la temperatura de esta superficie exterior?

SOLUCIÓN 1.43

Esquema:



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Suposiciones: a) Condición de estado estable b) Conducción en el asistente, unidimensional c) Insignificante intercambio de radiación entre la superficie exterior y los alrededores. Análisis: Balance de energía sobre la superficie exterior en un instante de tiempo: ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣

Reemplazando ecuaciones:

𝐾.

(𝑇1 − 𝑇2) = ℎ(𝑇2 − 𝑇∞ ) 𝐿

Para 𝑇2 :

0.1 𝑊 ⁄𝑚. 𝐾 𝐾 . (400℃) + 500 𝑊 ⁄𝑚2. 𝐾 (35℃) . 𝑇1 + ℎ𝑇∞ 0.025𝑚 𝐿 𝑇2 = = 𝐾 0.1 𝑊 ⁄𝑚. 𝐾 ℎ+ ⁄𝑚2. 𝐾 + 500 𝑊 𝐿 0.025𝑚 → 𝑇2 = 37.89℃ = 310.89𝐾

PROBLEMA 1.44

La pared de un horno que se usa para curar partes de plástico tiene un espesor

y la

superficie externa está expuesta a alrededores y aire, que están a 300K. (a) Si la temperatura de la superficie externa es 400 K y el coeficiente de convección y la emisividad son y , respectivamente, ¿cuál es la temperatura de la superficie interna si la pared tiene una conductividad térmica

?

(b) Considere condiciones en las que la temperatura de la superficie interna se mantiene a 600 K, mientras el aire y los alrededores a los que está expuesta la superficie externa se mansobre (i) la temperatura de tienen a 300 K. Explore los efectos de las variaciones en la superficie externa, (ii) el flujo de calor a través de la pared y (iii) los flujos de calor asociados con la transferencia de calor por convección y la radiación de la transferencia de calor de la superficie externa. De manera específica, calcule y elabore una gráfica de las variables dependientes anteriores para variaciones paramétricas alrededor de las condiciones base de . Los rangos sugeridos de las Web site: www.qukteach.com


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variables

independientes

son:

Exponga las implicaciones físicas de sus resultados. ¿En qué condiciones la temperatura de la superficie externa será menor que 45℃, lo cual es un límite superior razonable para evitar daños por quemaduras si se hace contacto?

SOLUCIÓN 1.44

Esquema:

Suposiciones: a) Condiciones estado estable. b) Intercambio de radiación. Análisis: a)

″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑

→𝐾

Aplicando el balance de energía para la superficie exterior en un instante de tiempo:

″ ″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑟𝑎𝑑

𝑇1 − 𝑇2 = ℎ (𝑇2 − 𝑇∞ ) + 𝜀. 𝜎(𝑇24 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4) 𝐿

→ 𝑇1 = 𝑇2 + → 𝑇1 = 400 +

𝐿 �ℎ(𝑇2 − 𝑇∞ ) + 𝜀. 𝜎(𝑇24 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4 )� 𝐾

0.05 m 𝑊 �20 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾(100𝐾) + 0.8 × 5.67 × 10−8 2 4 (4004 − 3004 )𝐾 4 � 0.7𝑊/𝑚. 𝐾 𝑚 .𝐾

→ 𝑇1 = 599.6𝐾 ≈ 600𝐾 b) Variación: 𝑇2 vs. 𝐾

→ 20(𝑇2 − 300) + 4.536 × 10−8�𝑇24 − 3004 � + 𝐾(𝑇2 − 600). 20 = 0 Web site: www.qukteach.com


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Para: 𝐾(𝑊/𝑚. 𝐾) 𝑇(𝐾)

•

0.1

1

10

20

40

50

100

150

200

321.85

422.9

554.8

574.8

586.58

589.1

594.4

596.2

597.2

250

300

350

400

597.7

598.1

598.4

598.6

Para 𝑇2 vs. h:

ℎ(𝑇2 − 300) + 0.8 × 5.67 × 10−8�𝑇24 − 3004 � + 200(𝑇2 − 600) = 0 4.536 × 10−8�𝑇24 − 3004 � + 200(𝑇2 − 600) + ℎ(𝑇2 − 300) = 0 Se obtiene:

𝐾(𝑊/𝑚. 𝐾) 𝑇(𝐾)

•

2

10

20

40

60

80

100

120

140

574.4

563.3

554.8

535.9

519.5

505.1

492.3

481

470.9

160

180

200

461.9

453.8

446.4

Para 𝑇2 vs. ε:

𝜀 × 5.67 × 10−8�𝑇24 − 3004 � + 20(𝑇2 − 300) + 200(𝑇2 − 600) = 0 Se obtiene:

𝜀

0.05

0.10

0.15

0.2

𝑇(𝐾) 571.5

570.2

568.98

567.8

0.3

0.4

0.5

565.5 563.2 561.0

0.6

0.7

0.8

0.9

558.89

556.8

554.8

552.9

1.0 551.05

Graficando en Excel: Web site: www.qukteach.com


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Fundamentos de Transferencia de Calor k (W/m*K) 0.1 1 10 20 40 50 100 150 200 250 300 350 400

T2 321.85 422.9 554.8 574.8 586.58 589.1 594.4 596.2 597.2 597.7 598.1 598.4 598.6

h (W/m2*K) 2 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

T2 574.4 563.3 554.8 535.9 519.5 505.1 492.3 481 470.9 461.9 453.8 446.4



Pág. 74


e 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

T2 571.5 570.2 568.98 567.8 565.5 563.2 561 558.89 556.8 554.8 552.9 551.05

PROBLEMA 1.45

Un experimento para determinar el coeficiente de convección relacionado con el flujo de aire sobre la superficie de un molde grueso de acero implica la inserción de termopares en el molde a una distancia de 10 y 20 mm de la superficie a lo largo de una línea hipotética normal a la superficie. El acero tiene una conductividad térmica de . Si los termopares miden temperaturas de 50 y 40℃ en el acero cuando la temperatura del aire es 100℃, ¿cuál es el coeficiente de convección?

SOLUCIÓN 1.45 Web site: www.qukteach.com


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Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable b) Conducción unidimensional en la dirección 𝑥 c) Propiedades constantes Análisis: Aplicando un balance energético en la superficie exterior: ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣

Dónde:

″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ(𝑇∞ − 𝑇0)

•

Según la ley de Fourier:

″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘.

𝑇1 − 𝑇2 𝑊 (50 − 40)𝐾 = 15 . 𝑚. 𝑘 (20 − 10). 10−3m 𝑋2 − 𝑋1

″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 15000 𝑊/m2

•

Aplicando la misma ley, se obtiene 𝑇0 :

″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘.

𝑇0 − 𝑇1 𝑊 𝑊 (𝑇0 − 50)℃ → 15000 2 = 15 . 𝑚 𝑚. 𝑘 10 × 10−3m 𝑋1 − 𝑋0

→ 𝑇0 = 60℃ •

Reemplazando en el balance:

″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ(𝑇∞ − 𝑇0) Web site: www.qukteach.com


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Fundamentos de Transferencia de Calor ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 15000 𝑊 ⁄m2 →ℎ= = = 375 𝑊 ⁄m2 . 𝐾 (𝑇∞ − 𝑇0) 40𝐾

PROBLEMA 1.46

Un elemento delgado de calentamiento eléctrico proporciona un flujo de calor uniforme

a la

superficie externa de un ducto a través del cual fluye aire. La pared del ducto tiene un espesor de 10 mm y una conductividad térmica de .

(a) En una cierta posición, la temperatura del aire es 30℃ y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el aire y la pared interna del ducto es . ¿Qué flujo de calor

se requiere para mantener la superficie interna del ducto a

(b) Para las condiciones del inciso (a), ¿cuál es la temperatura

?

de la superficie del ducto

contigua al calentador? Con aireado interior

, calcule y elabore una gráfica de para el intervalo

como función del coeficiente de convección . Analice brevemente sus resultados.

SOLUCIÓN 1.46

Esquema: Web site: www.qukteach.com


Pág. 77



Condición de estado estable. Propiedades constantes. Una conducción unidimensional en la pared de ducto. Radiación insignificante

Análisis: a) Realizando un balance de energía: • •

″ Superficie inferior: 𝑞0″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 ″ ″ Superficie superior 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞0″ 𝑊

″ 𝑞0″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ(𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) = 100m2 .𝐾(85 − 30) = 55000 𝑊 ⁄m2

b) Según la ley de Fourier, para la pared del ducto:

″ 𝑞0″ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 =𝐾

𝑇0 − 𝑇𝑖 𝐿

𝑞0″ . 𝐿 55000 𝑊 ⁄m2 . 𝐾 (0.01m) → 𝑇0 = 𝑇𝑖 + = 85℃ + = 87.8℃ 𝐾 20 𝑊 ⁄m. K c) 𝑇0 en función de ℎ:

″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 → ℎ(𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) = 𝐾

𝑇0 = 𝑇𝑖 +

ℎ. 𝐿 0.01 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) = 85 + ℎ. � � . (85 − 30) 𝐾 20

𝑇0 = 85 + 0.0275ℎ •

𝑇0 − 𝑇𝑖 𝐿

Para ℎ = 10

𝑊 m2 .𝐾

→ 𝑇0 = 85.275℃



Pág. 78


ℎ(𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 ) 40 𝑇0 (℃)

86.1

80

120

160

200

87.2

88.3

89.4

90.5

PROBLEMA 1.47

La superficie de una pared de 10 mm de ancho de acero inoxidable

se man-

tiene a 90℃ mediante la condensación de vapor, mientras que la superficie opuesta se expone a un flujo de aire para el que . ¿Cuál es la temperatura de la superficie adyacente al aire?

SOLUCIÓN 1.47

Esquema:



Pág. 79


Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción dentro de la pared unidimensional. c) Insignificante radiación entre la superficie exterior y alrededores. Análisis: Balance de energía sobre la superficie exterior, en un instante de tiempo: ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣

Reemplazando:

𝐾

(𝑇1 − 𝑇2) = ℎ(𝑇2 − 𝑇∞ ) 𝐿

→ 𝑇2 =

𝐾 𝐿 . 𝑇1

+ ℎ. 𝑇∞

ℎ + 𝐾𝐿

𝑇2 = 88.85℃

15 𝑊 ⁄m. K . (90℃) + 25m𝑊 2 .𝐾(20℃) 0.01m = 15 𝑊 ⁄m. K 25m𝑊 2 .𝐾 + 0.01m

PROBLEMA 1.48

Una placa de vidrio a 600℃ se enfría al pasar aire sobre la superficie de modo que el coeficiente de transferencia de calor por convección es . Para evitar fracturas, se sabe que el gradiente de temperatura no debe exceder 15℃/mm en punto alguno del vidrio durante el proceso de enfriamiento. Si la conductividad térmica del vidrio es y la emisividad superficial es 0.8, ¿cuál es la temperatura más baja del aire que se puede usar inicialmente para el enfriado? Suponga que la temperatura del aire es igual a la de los alrededores.

SOLUCIÓN 1.48

Esquema:



Pág. 80


Suposiciones: a) Conducción unidimensional en dirección 𝑥. b) Intercambio de radiación con alrededor largos. Análisis: El máximo gradiente de temperatura existirá en la superficie del vidrio y en el instante que el enfriamiento se inicia por tanto: ″ ″ ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑟𝑎𝑑

→ −𝑘.

𝑑𝑇 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) + 𝜀. 𝜎�𝑇𝑠 4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 4� 𝑑𝑥

Se sabe:

�

𝑑𝑇 � = −15℃/mm = −15000℃/m 𝑑𝑥 máx

→ −1.4

∧

𝑇𝑎𝑖𝑟 = 𝑇∞

𝑊 ℃ W 𝑊 �−15000 � = 5 2 (873 − 𝑇∞ )𝐾 + 0.8 × 5.67 × 10−8 2 / �8734 − 𝑇∞ 4 �𝐾 4 m. K m m .𝐾 m .𝐾

Resolviendo en una calculadora programable:

𝑇∞ = 618𝐾 = 345℃ PROBLEMA 1.49



Pág. 81


Un flujo solar de

incide sobre un colector solar plano que se utiliza para calentar agua.

El área del colector es

, y 90% de la radiación solar pasa a través de la cubierta de vidrio y es

absorbida por la placa de absorción. El colector refleja el 10% restante. Fluye agua por la tubería en la parte posterior de la placa de absorción, y se calienta de una temperatura de entrada a una temperatura de salida

. La cubierta de vidrio, que opera a 30℃, tiene una emisividad de

0.94 y experimenta un intercambio de radiación con el espacio abierto a –10℃. El coeficiente de convección entre la cubierta de vidrio y el aire ambiente a 25℃ es .

(a) Lleve a cabo un balance de energía general sobre el colector para obtener una expresión de la rapidez a la que se colecta calor útil por unidad de área del colector, . Determine el valor de

.

(b) Calcule la elevación de temperatura del agua, el calor específico del agua es La eficiencia del colector

, si el flujo es 0.01 kg/s. Suponga que

.

se define como la razón del calor útil colectado a la rapidez con que

incide la energía solar sobre el colector. ¿Cuál es el valor de ?

SOLUCIÓN 1.49



Pág. 82


Esquema:

Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) El área del colector es pequeño comparado con los alrededores. Análisis: a) Definiendo al colector como volumen de control y estableciendo la conservación de energía por unidad de área:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 + 𝐸̇𝑠 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 Reemplazando:

″ ″ ″ 𝑞𝑠𝑜𝑒𝑎𝑟 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑢″ = 0 ″ Donde 𝑞𝑠𝑜𝑒𝑎𝑟 = (𝑞𝑠″ )0.9

4 𝑞𝑢″ = 0.9𝑞𝑠″ − 𝜀. 𝜎�𝑇𝑐𝑝 4 − 𝑇𝑐𝑖𝑒𝑒𝑜 � − ℎ(𝑇𝑆 − 𝑇∞ )

𝑞𝑢″ = 0.9 × 700

𝑞𝑢″ = 386

𝑊 m2

𝑊 𝑊 𝑊 − 0.94 × 5.67 × 10−8 2 4 (3034 − 2634 )𝐾 4 − 10 2 (30 − 25)𝐾 2 m m .𝐾 m .𝐾

b) El calor total usado para este propósito (del agua) será 𝑞𝑢″ . 𝐴. definiendo como volumen de control el agua en la tubería, este calor es usado para un cambio de entalpía en el flujo de agua. Por tanto:

𝑞𝑢″ . 𝐴 = 𝑚̇𝐶𝑃 (𝑇𝑖 − 𝑇0) Web site: www.qukteach.com


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𝑊 × 3m2 2 m → (𝑇𝑖 − 𝑇0) = = 27.7℃ ⁄ 0.01 𝑘𝑔 𝑠 × 4179 J/kg. K 386

c) Eficiencia del colector:

𝑞𝑢″ 386 𝑊 ⁄m2 𝑛= ″= = 0.55 ó 55% 𝑞𝑠 700 𝑊 ⁄m2 PROBLEMA 1.50

Considere un colector solar plano que opera en condiciones de estado estable. La radiación solar incide, por unidad de área superficial del colector, a una rapidez . La cubierta de vidrio es completamente transparente a esta radiación, y la fracción de la radiación absorbida por la placa negra de absorción se designa α (absortividad). La fracción de la radiación no absorbida por la placa de absorción (1 – α) se supone que se refleja a través de la cubierta y regresa a la atmósfera y al espacio. Se obtiene energía útil del colector al pasar un fluido de trabajo a través de una tubería de cobre que está pegada al lado inferior de la placa de absorción. La tubería forma un arreglo en serpentín para el que el fluido, a un fluido constante y calor específico , se calienta de una temperatura de entrada

a una temperatura de salida

. Aunque el fondo del colector se supone que está

perfectamente aislado (ninguna pérdida de calor), habrá una pérdida de calor de la placa de absorción debido a la convección a través del espacio de aire e intercambio de radiación con la cubierta. Suponiendo que las placas de absorción y de cubierta tienen temperaturas uniformes , respectivamente, los flujos paralelos de calor por convección y radiación se expresan como . La cantidad

es el coeficiente de transferencia de calor por radia-

ción asociado con el espacio de aire, mientras que

es el coeficiente de transferencia de calor

por radiación asociado con la combinación placa de absorción-placa de cubierta. La cubierta de vidrio también transfiere calor por convección al aire ambiente , e intercambia energía en la forma de radiación con sus alrededores,

. La temperatura efectiva

del cielo y superficies circundantes vistas por el vidrio de la cubierta es por lo general menor que la temperatura del aire ambiente. (a) Escriba una ecuación para la velocidad a la que el fluido de trabajo colecta energía útil , y exprese los resultados en términos de .



Pág. 84


(b) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa de absorción. Con este balance obtenga una expresión para en términos de (área de la superficie de las placas de absorción y cubierta).

(c) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa de la cubierta. (d) Haga un balance de energía general sobre todo el colector, trabajando con un volumen de control alrededor del colector. Compare sus resultados con los que se obtienen en las partes (b) y (c). (e) La eficiencia del colector se define como la razón del calor útil colectado a la rapidez con que incide la energía solar sobre el colector. Obtenga una expresión para . Comente qué efecto tendrá el vapor de

sobre

. ¿qué pasaría con

si se quitara la pla-

ca de la cubierta?

SOLUCIÓN 1.50

Esquema:



Pág. 85


Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Propiedades constantes. Análisis: a) Para hallar la velocidad a la que el fluido colecta energía:

𝐸̇𝐼𝑁 = 𝑞𝑢 = 𝑚̇(𝜈0 − 𝜈𝑖 ) ;

→ 𝑞𝑢 = 𝑚̇(𝑇0 − 𝑇𝑖 )

donde 𝜈0 − 𝜈𝑖 = 𝐶𝑃 (𝑇0 − 𝑇𝑖 )

b) Balance de energía sobre la placa de absorción:


″ ″ ″ − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑞𝑢″ = 0 → 𝑞𝑠𝑜𝑒𝑎𝑟 𝑐,𝑎 𝑐,𝑎

→ 𝑞𝑢″ =

𝑞𝑢 = 𝛼. 𝐺𝑠 − ℎ𝑎 (𝑇𝑎 − 𝑇𝑐 ) − ℎ𝑟,𝑎𝑐 (𝑇𝑎 − 𝑇𝑐 ) 𝐴

𝑞𝑢 = 𝐴�𝛼. 𝐺𝑠 − ℎ𝑎 (𝑇𝑎 − 𝑇𝑐 ) − ℎ𝑟,𝑎𝑐 (𝑇𝑎 − 𝑇𝑐 )�

c) Balance de energía sobre la placa de la cubierta:




Pág. 86

Fundamentos de Transferencia de Calor ″ ″ ″ → 𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 =0 𝑐,∞ 𝑎,𝑐 𝑐,𝑎𝑖𝑟

ℎ𝑟 ,𝑎𝑐 (𝑇𝑎 − 𝑇𝑐 ) = ℎ∞ (𝑇𝑐 − 𝑇∞ ) + ℎ𝑟 ,𝑐,𝑎𝑖𝑟 (𝑇𝑐 − 𝑇𝑎𝑖𝑟 ) = 0 d) Balance general:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝐸̇𝑎𝑒𝑚

″ ″ ″ ; 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑟𝑎𝑑 + 𝑞𝑢″ 𝐸̇𝐼𝑁 = 𝑞𝑠𝑜𝑒𝑎𝑟 𝑐,∞ 𝑐,𝑎𝑖𝑟

″ 𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 (Convección hacia el aire dentro del sistema) 𝑐,𝑎

″ ″ ″ ″ 𝑞𝑠𝑜𝑒𝑎𝑟 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑟𝑎𝑑 − 𝑞𝑢″ − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 =0 𝑐,∞ 𝑐,𝑎 𝑐,𝑎𝑖𝑟

Esta ecuación se puede obtener al reemplazar la ecuación de (c) en (b) e) Eficiencia:

𝑛=

f)

″ 𝑞𝑢

″ 𝑞𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟

•

=

𝑚̇(𝑇0 −𝑇𝑖 ) 𝛼.𝐺𝑠

El valor de 𝑚̇ tiene un efecto directo sobre la eficiencia (𝑛) y de la misma manera (𝑇0 ), además de tener efecto inverso sobre 𝑇𝑎 , es decir si aumentamos 𝑚̇ aumentará 𝑛.

Al quitar la cubierta 𝑇𝑎 descendería, es decir sería menor al valor actual, debido a una mayor pérdida por convección y radiación.

PROBLEMA 1.51



Pág. 87


Considere un transistor montado en superficie sobre una tarjeta impresa para circuitos cuya temperatura se mantiene a 35℃. Fluye aire a 20℃ sobre la superficie superior de dimensiones 4 mm por 8 mm con un coeficiente de convección de . Tres alambres conductores, cada uno de sección transversal 1 mm por 0.25 mm y longitud 4 mm, conducen calor desde la caja a la tarjeta impresa. El hueco entre la caja y la tarjeta es 0.2 mm.

(a) Suponiendo que la caja es isotérmica y sin tomar en cuenta la radiación, estime la temperatura de la caja cuando el transistor disipa 150 mW y (i) aire estancado o (ii) una pasta conductora llena el hueco. Las conductividades térmicas del alambre conductor, aire y pasta conductora son 25, 0.0263 y , respectivamente. Con el uso de la pasta conductora para llenar el hueco, deseamos determinar el punto al que la disipación de calor aumentada se puede acomodar, sujeta a la restricción de que la temperatura de la caja no exceda 40℃. Las opciones incluyen aumentar la velocidad del aire para lograr un mayor coeficiente de convección y/o cambiar el material del alambre conductor a uno de mayor conductividad térmica. Considerando independientemente los conductores fabricados con materiales cuyas conductividades térmicas sean de , calcule y elabore una gráfica de la disipación de calor máxima

admisible

para variaciones en

sobre el rango

.

SOLUCIÓN 1.51

Esquema:



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Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Caja de transistor isotérmico. c) Radiación insignificante. Análisis: a) Teniendo al transistor como sistema, identificamos los modos de transferencia de energías:

𝐸̇𝐼𝑁 − 𝐸̇𝑂𝑈𝑇 + 𝐸̇𝑔 = ∆𝐸̇𝑎𝑒𝑚 = 0

−𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 − 3𝑞𝑎𝑒𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒 + 𝐸̇𝑔 = 0

−ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝑐 − 𝑇∞ ) − 𝐾ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 . 𝐴ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 Dónde:

(1)

(𝑇𝑐 − 𝑇𝑏 ) (𝑇𝑐 − 𝑇𝑏 ) − 3𝐾𝑎𝑒 . 𝐴𝑎𝑒 . + 𝐸̇𝑔 = 0 𝑡 𝐿

𝐴𝑠 = 𝐴ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 = 𝐿1 × 𝐿2 = 4 × 8 mm2 = 32 × 10−6m2

𝐴𝐶 = 𝑡 × 𝑤 = 0.25 × 1mm2 = 25 × 10−8m2

𝑊 Reemplazando y resolviendo 𝑇𝐶 , para la condición de aire 𝐾ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 = 0.0263m.𝐾

ℎ. 𝐴𝑠 . 𝑇∞ + [𝐾ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 . 𝐴𝑠 /𝑡 + 3(𝐾𝑎𝑒 . 𝐴𝑎𝑒 /𝐿)]. 𝑇𝑏 + 𝐸̇𝑔 𝑇𝑐 = ℎ. 𝐴𝑠 + 𝐾ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 . 𝐴𝑠 /𝑡 + 3(𝐾𝑎𝑒 . 𝐴𝐶 /𝐿) 𝑇𝑐 =

32 × 10−6 m2 25 × 10−8 m2 + 3 �25m𝑊.K × �� 35 −3 0.2 × 10 m 4 × 10−3 m −6 2 −8 2 −6 m2 + 0.0263 𝑊 × 32 × 10 m + 3 �25 𝑊 × 25 × 10 m � 50m𝑊 2 .𝐾 × 32 × 10 −3 −3 m.K m .K 0.2 × 10 m 4 × 10 m

𝑊 −6 2 50m𝑊 m × 20℃ �0.0263m.K × 2 .𝐾 × 32 × 10

→ 𝑇𝐶 = 47℃



Pág. 89


• Para la condición de la pasta 𝐾ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜,𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎 = 0.12 𝑊 ⁄m. K, se obtiene en la misma ecuación:

𝑇𝐶 = 39.9℃ b)

De la ecuación (1):

Se sabe que la potencia disipada = 𝐸𝑂𝑈𝑇

𝑃 = ℎ. 𝐴𝑠 (𝑇𝐶 − 𝑇∞ ) + 𝐾𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎 . 𝐴𝑠 . •

Para 𝐾𝑒 = 400 𝑊⁄m. K

(𝑇𝐶 − 𝑇0) (𝑇𝐶 − 𝑇0) + 3. 𝐾𝑒 . 𝐴𝑒 × 𝐸 𝐿

𝑃(ℎ) = 0.471 + 6.4 × 10−4. ℎ

Para ℎ = 50 → 𝑃 = 0.503 𝑊 ∧ ℎ = 250 → 𝑃 = 0.63 𝑊 •

Para 𝐾𝑒 = 200 𝑊⁄m. K

𝑃(ℎ) = 0.2835 + 6.4 × 10−4. ℎ

Para ℎ = 50 → 𝑃 = 0.32 𝑊 ∧ ℎ = 250 → 𝑃 = 0.44 𝑊 Como son funciones lineales se obtiene:

PROBLEMA 1.52

Al analizar el funcionamiento de un sistema térmico el ingeniero debe ser capaz de identificar los procesos de transferencia de calor relevantes. Sólo entonces es posible cuantificar de forma apropiada el comportamiento del sistema. Para los siguientes sistemas, identifique los procesos pertinentes designándolos mediante flechas etiquetadas apropiadamente en un bosquejo del sistema. Conteste las preguntas adicionales que aparecen en el planteamiento del problema. Web site: www.qukteach.com


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(a) Identifique los procesos de transferencia de calor que determinan la temperatura de un pavimento de asfalto en un día de verano. Escriba un balance de energía para la superficie del pavimento. (b) Se sabe que la radiación de microondas es transmitida por plásticos, vidrio y cerámicas, pero es absorbida por materiales que tienen moléculas polares como el agua. Las moléculas de agua expuestas a la radiación de microondas se alinean e invierten la alineación con la radiación de microondas a frecuencias por arriba de , ocasionando que se genere calor. Compare el acto de cocinar en un horno de microondas con el de cocinar en un horno convencional de radiación o en uno de convección. En cada caso, ¿cuál es el mecanismo físico responsable de calentar la comida? ¿Cuál horno tiene la mayor eficiencia de utilización de la energía? ¿Por qué?. El calentamiento por microondas se está considerando para el secado de ropa. ¿En qué diferiría la operación de una secadora convencional? ¿Cuál es probable que tenga la mayor eficiencia de utilización de energía y por qué? (c) Considere una parte de su cuerpo expuesta (por ejemplo, su antebrazo si viste una playera de manga corta) mientras está sentado en una habitación. Identifique todos los procesos de transferencia de calor que ocurren en la superficie de su piel. Para conservar combustible y recursos, la esposa del ingeniero insiste en mantener el termostato de su casa en 15℃ (59℉) en los meses de invierno. El ingeniero es capaz de tolerar esta condición si la temperatura del aire ambiental exterior está por encima de –10℃ (14℉), pero se queja de tener frío si la temperatura ambiente cae muy por abajo de este valor. ¿Está imaginando cosas el ingeniero? (d) Considere una fuente de luz incandescente que consiste en un filamento de tungsteno encerrado en un bulbo de vidrio lleno de gas. Suponiendo una operación de estado estable con el filamento a una temperatura de aproximadamente 2900 K, elabore una lista de todos los procesos de transferencia de calor pertinentes para (i) el filamento y (ii) el bulbo de vidrio.

(e) Hay considerable interés por desarrollar materiales de construcción con aislamiento de mejor calidad. El desarrollo de tales materiales contribuirá mucho a la conservación de la energía reduciendo los requerimientos de calentamiento espacial. Se sugiere que sería posible obtener calidades estructurales y de aislamiento superiores con el compuesto que se muestra. El material consiste en un panal, con celdas de sección transversal cuadrada, intercaladas entre losas sólidas. Las celdas están llenas de aire, y las losas, así como la matriz del panal, se fabrican con plásticos de baja conductividad térmica. Identifique todos los procesos de transferencia de calor pertinentes para el funcionamiento del compuesto. Sugiera formas en las que sería posible mejorar este funcionamiento.



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(f) Se usa la unión de un termopar para medir la temperatura de un chorro de gas caliente, que fluye a través de un canal, insertando la unión en el chorro de gas. La superficie del canal se enfría de modo que su temperatura está por debajo de la del gas. Identifique los procesos de transferencia de calor asociados con la superficie de la unión. ¿La unión percibirá una temperatura menor, igual o mayor que la del gas? Una coraza de radiación es un tubo pequeño de extremos abiertos que encierra la unión del termopar, pero que permite el paso del gas. ¿Cómo mejora el uso de tal coraza la precisión de la medición de la temperatura? (g) Una pantalla de vidrio doble contra fuego se inserta entre el hogar de una chimenea y el interior de una habitación. La pantalla consiste en dos placas verticales de vidrio separadas por un espacio a través del cual puede fluir aire de la habitación (el espacio está abierto en la parte superior y en la inferior). Identifique los procesos de transferencia de calor asociados con la pantalla contra fuego.



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SOLUCIÓN 1.52 (a) Esquema:

Balance de energía: (Superficie de control) Dónde:

″ ″ ″ )=0 𝑞𝑠 ″ − (𝑞𝑟𝑎𝑑 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑

𝑞𝑠 ″: es calor transferido a causa de radiación solar. ″ • 𝑞𝑟𝑎𝑑 : Radiación emitida de la superficie al aire. ″ • 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 : Transferencia de calor por convección de la superficie al aire. ″ • 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 : Transferencia de calor por conducción hacia el asfaltado. •

(b)

•

•

La cocina de microondas se produce como resultado de la generación volumétrica de energía térmica a través de la comida, sin calentar el recipiente de comida o la pared del horno, lo cual ocurre en un horno convencional el cual está basado en la transferencia de calor por radiación de las paredes del horno y/o transferencia de calor por convección desde el espacio de aire a la superficie de la comida. Por tanto la cocina de microondas es más eficiente. En un secador de microondas, la radiación de microondas que calienta el agua, pero no la tela, directamente (el tejido que se calienta indirectamente por la transferencia de energía del agua). Al calentar el agua, la energía que van directamente a la evaporación a diferencia de un secador convencional, donde las paredes y el aire se calientan eléctricamente o por un calentador a gas, luego se transfiere a la ropa mojada. Es por esto que será más eficaz y tendrá mayor eficiencia que el secador convencional.

(c)

Esquema:



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Procesos de transferencia de calor: ″ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 : Transferencia de calor por convección de la piel al aire del cuarto.

″ 𝑞𝑟𝑎𝑑 : Radiación entre la superficie de la piel y los alrededores (paredes del cuarto).

•

(d)

No está imaginando cosas, a pesar de que el aire de la habitación se mantiene a una temperatura fija (𝑇∞ = 15℃), la temperatura de la superficie interior de las paredes exteriores, 𝑇𝑎𝑖𝑟 , disminuye al disminuir la temperatura del aire exterior. Sobre la exposición a estos muros, la pérdida de calor será mayor debido al incremento de 𝑞𝑟𝑎𝑑 .

Esquema:

Los procesos asociados al filamento y el bulbo:

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑓 : Radiación emitida por el filamento de tungsteno, (una porción se transmite a través del

vidrio).

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑓 : Convección libre del filamento al aire (𝑇𝑎,𝑖 < 𝑇𝑓 ).

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑏,𝑖 : Radiación emitida por la superficie interna del vidrio, una porción de ésta es interceptada por el filamento.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑏,𝑖 : Convección libre del aire a la superficie interna del bulbo (𝑇𝑏,𝑖 < 𝑇𝑎,𝑖 ). 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑏 : Conducción a través de la pared del bulbo.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑏,0: Convección libre de la superficie externa del vidrio hacia el aire del cuarto Web site: www.qukteach.com


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𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑏,𝑎𝑖𝑟 : Radiación neta entre la superficie externa del vidrio y los alrededores (𝑇𝑏,0 > 𝑇𝑎𝑖𝑟 ). (e) Esquema:

Del esquema del panal con celda cuadrada, suponiendo que 𝑇𝑆,𝑖 > 𝑇𝑆,0 , la transferencia de calor será según el gráfico.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑖 : Conducción a través de las losas internas.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,ℎ𝑐 : Convección libre a través del espacio de aire en la celda. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,ℎ𝑐 : Conducción a través de la pared del panal. 𝑞𝑟𝑎𝑑,ℎ𝑐 : Radiación entre superficies del panal.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,0: Conducción a través de la losa externa. •

El calor puede ser transferido a la superficie interna por convección y radiación (𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑖 ∧ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑖 ) de igual modo se pierde hacia la parte externa con 𝑞𝑟𝑎𝑑,0 ∧ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,0 .

Para mejorar el funcionamiento, se logra al usar materiales de baja conductividad térmica 𝑘 y emisividad, al evacuar el aire y no permitir la transferencia de calor por convección libre. (f) Esquema:



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Suposiciones: a) La unión es pequeña en relación a las paredes del canal. b) Estado estacionario. c) Insignificante calor transferido por los cables del termopar. •

Los procesos de transferencia de calor:

𝑞𝑟𝑎𝑑 : Radiación entre la junta o unión y las paredes.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 : Convección desde el gas hacia la unión o junta. •

Balance de energía en la unión:

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞𝑟𝑎𝑑

→ ℎ. 𝐴�𝑇𝑗 − 𝑇𝑔 � = 𝜀. 𝐴. 𝜎�𝑇𝑗 4 − 𝑇𝑠 4 �

𝑇𝑠 < 𝑇𝑗 < 𝑇𝑔 (Satisface el balance) •

El error de medición �𝑇𝑔 − 𝑇𝑗 � se reduce mediante el uso de un protector de radiación. En-

tonces la unión intercambia radiación con el protector, cuya temperatura debe ser superior a la de la pared. Por tanto se reduce la pérdida de radiación de la unión y su temperatura se aproxima más a la del gas. (g) Esquema:

Procesos de transferencia de calor:

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑1 : Condición a través la primera placa.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑2 : Conducción a través la segunda placa.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣1 : Convección entre la chimenea y la placa interna.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣2 : Convección a través del aire entre las dos placas. Web site: www.qukteach.com


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𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣3 : Convección entre la superficie externa de la placa externa y el aire del cuarto. 𝑞𝑟𝑎𝑑1 : Radiación de las flamas y las paredes de la cavidad (Chimenea).

𝑞𝑟𝑎𝑑2 : Emisión de la superficie interna de la placa interna hacia la chimenea.

𝑞𝑟𝑎𝑑3 : Radiación neta entre la superficie externa de la placa interna y la superficie interna de la

placa externa.

𝑞𝑟𝑎𝑑4 : Radiación neta entre la superficie externa de la placa externa y las paredes del cuarto. PROBLEMA 1.53

Al considerar los siguientes problemas referentes a la transferencia d calor con el ambiente natural (exterior), s reconoce que la radiación solar tiene componentes de longitud de onda larga y corta. Si esta radiación incide sobre un medio semitransparente, como el agua o el vidrio, le sucederán dos cosas a la parte no reflejada de la radiación. El componente de longitud de onda larga será absorbido en la superficie del medio, mientras que el componente de longitud de onda corta será transmitido por la superficie. (a) El número de vidrios de una ventana puede influir de manera muy notable en la pérdida o transferencia de calor de una habitación caliente al aire ambiente exterior. Compare las unidades de un solo vidrio y de los vidrios que se muestran identificando los procesos de transferencia de calor relevantes para cada caso.



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(b) En un colector solar plano típico, la energía se colecta mediante un fluido de trabajo que se hace circular a través de tubos que están en buen contacto con la cara posterior de una placa de absorción. La cara posterior está aislada de los alrededores, y la placa de absorción recibe la radiación solar sobre la cara frontal, que normalmente está cubierta por una o más placas transparentes. Identifique los procesos de transferencia de calor relevantes, primero para la placa de absorción sin cubierta y después para la placa de absorción con cubierta de una sola placa. (c) El diseño de colector de energía solar que se muestra en la figura siguiente se utiliza en aplicaciones de agricultura. Se hace circular aire a través de una tubería larga de sección transversal que tiene la forma de un triángulo equilátero. Un lado del triángulo se compone de una cubierta semitransparente de dos vidrios, mientras que los otros dos lados están construidos con hojas de aluminio pintadas de negro mate en el lado interno y cubiertas en el exterior con una capa de aislante de espuma de poliuretano. Durante los periodos soleados, el aire que entra en el sistema se calienta para que vaya a un invernadero, una unidad de secado de granos o un sistema de almacenamiento. Identifique todos los procesos de trasferencia de calor asociados con los vidrios de la cubierta, las placas de absorción y el aire.

(d) Los colectores solares de tubos al vacío son capaces de dar mejor rendimiento en relación con los colectores planos. El diseño consiste en un tubo interior encapsulado en un tubo externo que es transparente a la radiación solar. El espacio anular entre los tubos está al vacío. La superficie opaca exterior del tubo interior absorbe la radiación solar, y un fluido de trabajo pasa por el tubo para colectar la energía solar. El diseño del colector por lo general consiste en una fila de estos tubos acomodados frente a un panel reflector. Identifique que todos los procesos de transferencia de calor relevantes para el funcionamiento de este dispositivo.



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SOLUCIÓN 1.53

(a) Esquema:

•

Procesos de transferencia relevantes:

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣1 : Convección del aire del cuarto a la superficie interna del primer vidrio.

𝑞𝑟𝑎𝑑1 : Intercambio de radiación neta entre paredes del cuarto y superficie interna del primer panel de vidrio.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑1 : Conducción a través del primer panel de vidrio.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑠 : Convección a través del espacio de aire entre los paneles de vidrio.

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑠 : Intercambio de radiación neta, la superficie externa del primer vidrio y la superficie inter-

na del segundo.



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𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑2 : Conducción a través de la segunda placa de vidrio.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣2 : Convección de la superficie externa de la placa (unitaria o segunda) de vidrio al ambiente de aire.

𝑞𝑟𝑎𝑑2 : Intercambio de radiación neta entre superficie externa de la placa (sola o la exterior) y el ambiente (alrededores).

𝑞𝑠 : Radiación solar incidente durante un día. (b) Esquema:

•

Procesos de transferencia:

𝑞𝑠 : Radiación solar incidente.

𝑞𝑟𝑎𝑑,∞ : Intercambio de radiación neta entre placa de cubierta o placa de absorción y alrededores.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,∞: Convección de la placa de absorción o placa de cubierta y el ambiente de aire. 𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑎−𝑐 : Intercambio de radiación neta entre las placas; de absorción y de cubierta. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑎−𝑐 : Convección a través del aire entre la placa de cubierta y de absorción. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 : Conducción a través del aislante.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 : Convección hacia el fluido de trabajo. (c) Esquema:



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Asumiendo que las temperaturas de las placas de absorción son mayores que la temperatura del aire. Los procesos relevantes serán:

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑎−𝑖 : Convección desde el espacio interior a la superficie interna.

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑝−𝑖 : Transferencia de radiación neta de la placa de absorción a la superficie interna. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑖−0: Convección a través del espacio de aire entre las placas.

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑖−0: Transferencia de radiación neta de la placa interior a la cubierta exterior. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑎−∞ : Convección de la cubierta exterior al ambiente de aire externo.

𝑞𝑟𝑎𝑑0 : Transferencia de radiación neta de la cubierta externa hacia los alrededores. 𝑞𝑠 : Radiación solar incidente. •

Adicionalmente

𝑞𝑠,𝑡 : Radiación solar transmitida por las cubiertas.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑝−𝑎 : Convección desde la placa de absorción y el espacio interno. 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 : Conducción a través del aislante. (d) Esquema:



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•

Los procesos de transferencia relevantes serán:

𝑞𝑠 : Radiación sola incidente, incluido la reflexión.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑎 : Convección de superficie externa hacia el ambiente externo.

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑎−𝑠𝑢𝑟 : Intercambio de radiación neta entre la superficie externa (tubo externo) y los alrededores.

𝑞𝑠,𝑡 : Radiación solar transmitida a través del tubo externo e incidente.

𝑞𝑟𝑎𝑑,𝑖−0: Intercambio de radiación neta entre la superficie interna del tubo externo y la superficie externa del tubo interno.

𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑖 : Convección hacia el fluido de trabajo, desde el tubo interno.



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Solucionario de Transferencia

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