SOLUCIONARIO Ángulos en la circunferencia
1 V 6 1 A2 2 T M 7 3 0 C A C A U C S
1
TABLA DE CORRECCIÓN Ítem
Alternativa
Habilidad
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B E B B D C E A A B C C B E A D B D D C A B B A C
Aplicación Comprensión Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Comprensión Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación ASE ASE
2
1. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
El perímetro de una circunferencia de radio 6 cm es 2·π·6 = 12π cm. El perímetro de un cuadrado es igual al cuádruple de su lado. Entonces, si un cuadrado tiene el mismo perímetro de la circunferencia (12π cm), la medida de su lado es 3π cm. La diagonal de un cuadrado es lado·
2
. Luego, la diagonal del cuadrado mide 3π
2
cm.
2. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Comprensión
Si el radio inicial es r , al aumentar al doble el radio final es 2r . Luego: I)
Verdadera, ya que el diámetro final (4r ) es el 200% del diámetro inicial (2r ). ).
II) Verdadera, ya que el perímetro final (4πr ) es el doble del perímetro inicial (2πr ). ). III) Verdadera, ya que el área final (4πr ²) ²) es el cuádruple del área inicial (πr ²). ²). Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
3. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Como AO = 8 cm, entonces AO´ = 4 cm. Luego, el área del círculo mayor es π∙82 = 64π cm² y el área del círculo menor es π∙42 = 16π cm². El área achurada equivale a la diferencia entre las áreas de los círculos. Por lo tanto, el área 2 achurada mide (64π – 16π) – 16π) = 48π cm .
3
4. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
La longitud de un arco de circunferencia de ángulo del centro α se calcula como: Arco Arco
2
π
radio 360º
α
Por lo tanto, la longitud del arco AB mide
2 π 8 60
16 π
360º
60 360º
1
16 π
6
8π
3
cm.
5. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
El triángulo ABC tiene tiene tres lados iguales, o sea es equilátero. Por lo tanto, cada uno de sus ángulos interiores mide 60°. El área achurada se puede obtener como la diferencia entre el área del triángulo ABC y y el área de los tres sectores circulares.
C 1
1
60
A
2
1
1
El área del triángulo equilátero se calcula como (lado) 2 3 2 3 3 Área 4 4
60
60
1
1
B
El área del sector circular de ángulo de centro α se calcula como π
Por lo tanto, el área de cada sector es Área
2
1 60
360º
π
Área
60 360º
π
π
6
Por lo tanto, el área achurada mide Área triángulo – 3 3 · Área sector circular =
3
– 3· 3·
4
π
6
=
3
π cm2. 2
(radio) 2 360º
α
6. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
El perímetro de la circunferencia se calcula como 2π∙radio. Si el perímetro de la circunferencia de la figura es 4π, entonces su radio mide 2 cm.
2 E
A
4
2
B
4
O
Luego, el largo del rectángulo EBCF mide 4 cm y su ancho mide 2 cm. D
2
2
Por lo tanto, el área del rectángulo mide (4·2) = 8 cm .
F
2
C
7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si el ángulo BOA = 100°, entonces el ángulo AOC mide 80º. Como es un ángulo del centro y subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito ABC , entonces ABC = = 40º.
A
40°
40° 100° 80° O C
8. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si Arco AB = Arco BC = = Arco CA = x, entonces 3 x = 360º x = 120º Como es ángulo inscrito, entonces mide la mitad del arco AB. Luego, si AB = 120º, entonces = 60º. Por lo tanto, la cuarta parte de es
5
60 4
= 15º
B
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si el triángulo OBC es es equilátero, entonces el ángulo BOC mide mide 60º y el arco BC = = 60°. Como el ángulo BAC es inscrito, mide la mitad del ángulo BOC (o la mitad del arco BC ), ), entonces BAC = = 30º. Por lo tanto, el 10% del ángulo BAC es es el 10% de 30º, es decir, 3º.
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
El arco BC tiene tiene la misma medida del ángulo central BOC , que mide 140º por ser adyacente al ángulo AOB.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si AD es diámetro entonces x + 2 x + 3 x = 6 x = 180º x = 30º Luego, como el Arco BA= 3 x, entonces Arco BA = 3(30°)= 90º.
12. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
La suma de todos los arcos es 360°, luego + 2 + 4 + 8 = 15 = 360º = 24º Entonces, COB = 2 = 48º
6
13. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Como los arcos son congruentes, entonces Arco AB =
360º 5
= 72º. Como es ángulo del
centro y subtiende el arco AB, entonces = 72º. Por otro lado, el ángulo mide la mitad de , ya que es inscrito y subtienden el mismo arco AB. Entonces, =
72 º 2
= 36º.
14. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si el arco AB mide 30º, el ángulo de centro AOB mide 30° y su opuesto por el vértice, DOC, también mide 30º, por lo tanto el arco DC mide 30º. El ángulo DBC , por ser inscrito, mide la mitad del arco DC , entonces DBC = = 15º.
15. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
La suma de los arcos AB, BC, CD y DA es 360º, entonces:
AB
+ BC +
CD + DA
= 360º
(Reemplazando)
90º + 100º + 110º + DA = 360º
DA =
DA =
360º – 300º 300º 60º
El ángulo DCA es inscrito y subtiende el arco DA, entonces DCA = 30º
7
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
α = β = 30°, por ser ángulos inscritos que subtienden arcos iguales.
Luego, + = 60º el quíntuple es 5(+ ) = 300º.
17. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Si AB es diámetro, al sumar los arcos de la figura resulta: (3 x – 10°) 10°) + (2 x + 40°) + (7 x + 30°) = 180° 12 x + 60° = 180° 12 x = 120° x = 10º Luego, el ángulo menor es = 3 x – 10 10° = 20º – 10 = 3∙10 – 10°
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Comprensión
Como el heptágono es regular, sus lados y ángulos interiores son de igual medida, entonces cada uno de los siete arcos que determina mide
Por lo tanto, AOB =
360º 7
.
8
360 º 7
.
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Como HPI es ángulo interior, entonces se cumple que HPI =
120º =
arco HI arco FG 2
2 60 15 2
(Reemplazando)
(Despejando)
240° = 3 – 45° 45° 285° = 3 95° = Por lo tanto, la medida del arco FG es ( + 15°) = (95° + 15°) = 110°.
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Como PR es diámetro de la circunferencia, el arco RP mide mide 180°, y como el arco SP mide mide 130°, entonces el arco RS mide mide 50°. Además, como arco QS = = arco SP = 130°, entonces el arco QR mide 80°, lo que implica que el arco PQ mide 100°. Por otro lado, es ángulo interior. Por lo tanto, la medida de es =
Arco Arco PQ Arco Arco RS 2
100 50 2
150 2
9
= 75°
21. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: CAD =
10° =
Arco Arco CD Arco Arco EB 2
Arco EB β Arco 2
(Reemplazando)
(Despejando)
Arco EB 20° = – Arco Arco EB = – 20° 20°
Por lo tanto, la medida del arco EB siempre se puede expresar como – 20°. 20°.
22. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia Aplicación
Como TSOR es un rombo, entonces STR = ROS = . Dado que el ROS es es un ángulo del centro, entonces Arco RS = = ROS = . La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: STR = =
Arco PQ Arco Arco RS 2 144 2
(Reemplazando)
(Despejando)
2 = 144° – – 3 = 144° = 48° Por lo tanto, la medida de es 48°.
10
23. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Habilidad I)
Circunferencia Aplicación
Falsa, ya que el arco AB podría tener variadas medidas, implicando variadas medidas para . No se indica que DA y CB sean paralelas, o que AC y DB sean diámetros,
II) Verdadera, ya que =
III) Falsa, ya que =
80 40 2
110 50 2
60 2
120 2
= 60°.
= 30°.
Por lo tanto, solo en II el valor de es 60°.
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia ASE
(1) + = 50º. Con esta información, se puede determinar la medida del arco AB, ya que se puede concluir que = = 25°, y el arco AB mide el doble del ángulo inscrito que lo subtiende, es decir, 50°. (2) = . Con esta información, no se puede determinar la medida del arco AB , ya que se desconoce la medida de alguno de los ángulos inscritos. Por lo tanto la respuesta es: (1) por sí sola.
11
25. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Habilidad
Circunferencia ASE
(1) ACB = 80º. Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC , ya que el ángulo conocido no subtiende el arco BC . (2)
Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC , ya que no se entrega la medida de ningún ángulo. AB
AC .
Con ambas informaciones, sí se puede determinar la medida del arco BC , ya que el triángulo ABC es es isósceles en A , entonces ACB = CBA = 80º y BAC = = 20º. Luego, el arco BC mide mide 40°. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).
12
