Alejandra Moreno Tarazona - 2151841 Lina Marcela Ruiz García - 2152488 Brayan Camilo Valenzuela Rincón - 2151843 TALLER ESTADÍSTICA
6.40 Determinar o estimar la probabilidad p de cada uno de los eventos siguientes: a) Al extraer de una baraja bien barajada una sola carta, obtener rey, as, sota de tréboles o rey de diamantes. Com Como se pued puede e sabe saber, r, para para obte obtene nerr un rey o un as, as, se tien tienen en cuat cuatro ro tipo tipos, s, tanto anto los que que se ven en la figura como reyes, como el as.
Podemos ver que si se saca un rey, puede salir de las cuatro posibilidades, corazones, picas, tréboles o diamantes. Por tanto se podría ver como 4 C1 y esto es igual a 4. Tanto los reyes reyes como los ases serían 4C1 = 4 por lo tanto quedaría: Reyes: p Reyes: p = 4C1 = 4 Ases: p Ases: p = 4C1 = 4 Sota de tréboles = 1 Rey de diamantes = 1 Com Como se pued puede e saca sacarr cual cualqu quie ierra de las car cartas tas pedi pedida das, s, se sum suman los val valores ores.. Por lo tant tanto o casos favorables = 4+4+1+1 = 10. la los P r = (casos favorables) favorables) / (casos totales) P r = 10 / 52 P r = 5 / 26
b) Se lanzan dos dados, una sola vez, y la suma de los puntos que aparecen en ellos resulte 8.
Para Para que que los los punt puntos os entr entre e los los dado dados s resu result lte e 8 tien tiene e las las sigu siguie ient ntes es form formas as:: (6,2 (6,2), ), (5,3 (5,3), ), (4,4 (4,4), ), (3,5) y (2,6).
Cuando se tiran los dados, el primero de estos tiene posibilidades de sacar un número del 2 al 6 y el segundo dado debe necesariamente completar la pareja mostrada anteriormente. Por tanto la probabilidad será la siguiente P r = (casos favorables) / (casos totales) P r = (5 / 6) * (1 / 6) P r = 5 / 36
c) Encontrar un tornillo que no esté defectuoso si de 600 tornillos examinados, 12 estuvieron defectuosos. Como de 600 tornillos examinados 12 estuvieron defectuosos lo que se hace es restarlos, por lo tanto lo que no están defectuosos (favorables) serían los siguientes 600 - 12 = 588 Por tanto la probabilidad será la siguiente P r = (casos favorables) / (casos totales) P r = 588 / 600 P r = 49 / 50 0.98 ≃
d) Se lanzan dos dados una vez y la suma de los puntos resulte 7 u 11. Para que la suma de dos dados de siete son las siguientes parejas (6,1), (5,2), (4,3) y sus inversos, por tanto el primer dado puede obtener cualquiera de los seis números que tiene el dado, mientras que el segundo debe obtener la pareja para que la suma obtenga siete. P r {7} = (6 / 6) * (1 / 6) P r {7} = 1 / 6
De la misma forma se hace con la suma de once, a diferencia que las parejas serían (6,5) y su inversa (5,6) por tanto el primer dado solo puede sacar dos posibilidades, el 5 o el 6 y el segundo dado debe sacar el complemento para que la suma de 11 P r {11} = (2 / 6)*(1 / 6) P r {11} = 1 / 18
Como puede ser la suma de 7 o 11, se suman las probabilidades: P r = (1 / 6) + (1 / 18) P r = 2 / 9
e) Al lanzar tres veces una moneda obtener cara por lo menos una vez. Cuando se lanza una moneda solamente pueden haber dos opciones, que salga cara o que salga sello, como se lanzan tres veces, las posibilidades existentes son las siguientes CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS Como podemos ver hay ocho posibilidades pero de esas ocho, hay siete en las cuales la moneda obtiene cara por lo menos una vez por lo tanto la probabilidad sería P r = 7 / 8
Otra forma de hacerlo es la siguiente, se sabe que son tres tiros de los cuales en al menos uno puede ser cara, por lo tanto la probabilidad de que caiga o cara o sello sería P r = (1 / 2)*(1 / 2)*(1 / 2) P r = 1 / 8
De esa probabilidad se le multiplica un 7, el cual serían los casos favorables en los cuales se puede sacar por lo menos una cara. P r = 7 / 8
6.41 Un experimento consiste en extraer sucesivamente tres cartas de una baraja bien barajada. Sea E 1 el evento “rey” en la primera extracción, E 2 el evento “rey” en la segunda extracción y E 3 el evento “rey” en la tercera extracción. Exprese en palabras el significado de: a) P r { E 1 E 2} Probabilidad de extraer un rey en la primera extracción, pero no sacar un rey en la segunda.
b) P r { E 1 + E 2} Probabilidad de extraer un rey a la primera, extraerlo en la segunda o en ambas.
c) E 1 + E 2 No extraer un rey en la primera extracción ni en la segunda extracción o en ninguna.
d) P r { E 3| E 1 E 2} Probabilidad de sacar un rey en la tercera extracción teniendo en cuenta que se extrajo un rey en la primera extracción, pero no en la segunda extracción.
e) E 1 E 2 E 3 No sacar un rey ni en la primera ni en la segunda ni en la tercera extracción.
f) P r { E 1 E 2 + E 2 E 3} Probabilidad de extraer un rey en la primera extracción y en la segunda o sacar un rey en la segunda extracción dado que se sacó uno en la segunda o ambas.
6.42 De una caja que contiene 10 canicas rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 anaranjadas, se extrae una canica. Hallar la probabilidad de que la canica extraída sea: a) Anaranjada o roja Dado que hay 10 canicas rojas, 15 anaranjadas y un total de 75 canicas, entonces la probabilidad de que la canica extraída sea de dichos colores es la suma del evento E1 el cual representa “de la caja se extrae una canica anaranjada” y E2 es el evento “de la caja 15 10 y P r { E 2} = 75 se extrae una canica roja” entonces P r { E 1} = 75 por tanto, la probabilidad de que en una sola extracción salga una canica roja o anaranjada es P r { An, R} =
b) Ni azul ni roja
15 75
+
10 75
=
1 3
Hay 20 canicas azul y 10 rojas, si se establece que E1 es el evento “de la caja no se extrae 30 una canica azul” y E2 es “de la caja no se extrae una canica roja” entonces P r { E 1} = 75 10 y P r { E 2} = 75 y la probabilidad de que en una sola extracción no salga una canica azul o roja es 1 menos la probabilidad de cada uno de los eventos 30 75
P r { A, R} = 1 −
15 75
−
=
3 5
Otra manera de hacerlo es tomando la probabilidad de las canicas blancas y anaranjada y sumarlas, ya que ahí se está asegurando que no salga ninguna canica azul o roja P r { B, An} =
30 75
15 75
+
=
3 5
c) No azul Se encuentran 3 eventos, E1 “de la caja se extrae una canica blanca”, E2 “de la caja se extrae una canica anaranjada” y E3 “de la caja se extrae una canica roja” entonces para asegurar que no se va a extraer una canica azul se suma cada uno de los eventos anteriormente mencionados. P r { B, An, R} =
30 75
+
15 75
+
10 75
=
11 15
Otra manera de hacerlo es tomando la probabilidad total (1) y se le resta la probabilidad de que la canica extraída pueda ser de color azul P r { A} = 1 −
30 75
=
11 15
d) Blanca Sólo se tiene un evento el cual es que la canica extraída pueda ser blanca, por lo tanto se toma la cantidad total de canicas blancas y se divide por la cantidad total de canicas P r { B} =
30 75
=
2 5
e) Roja, blanca o azul Hay 3 eventos posibles, E1 que “la canica extraída sea roja”, E2 que “la canica extraída sea blanca” y E3 que “la canica extraída sea azul”, por lo tanto se puede obtener la 10 30 20 , P r { E 2} = 75 . La probabilidad de cada uno de los eventos P r { R} = 75 y P r { A} = 75 probabilidad total viene dada por: P r { R, B , A} =
10 75
+
30 75
+
20 75
=
4 5
Otra manera de hacerlo es tomar la probabilidad total (1) y restarle la probabilidad de que la canica extraída sea anaranjada P r { An} = 1 −
15 75
=
4 5
6.43 De la caja del problema 6.42 se extraen sucesivamente dos canicas, devolviendo a la caja cada canica después de extraída. Encontrar la probabilidad de que:
Dado que se devuelve a la caja la canica después de ser extraída se puede establecer que la suma total de canicas para cada uno de los enunciados que se describen a continuación es de 75 tanto en el primer lanzamiento como en el segundo.
a) Las dos sean blancas Sea E1 el evento “la canica extraída sea blanca” y E2 “la segunda canica extraída sea blanca”, son eventos dependientes. En en este caso, E1 y E2 tienen la misma probabilidad dado que ambas canicas son del mismo color. Por lo tanto, la probabilidad es P r { BB} =
30 75
*
30 75
=
4 25
b) La primera sea roja y la segunda sea blanca Si E1 es el evento “la primera canica sea roja” y E2 “la segunda canica sea blanca” entonces se halla la probabilidad tanto para E1 como para E2 y como son eventos dependientes se multiplican, dando como resultado: P r { RB} =
10 75
*
30 75
=
4 75
c) Ninguna sea anaranjada Hay un único evento que es que la canica extraída no sea anaranjada. Cabe recordar que hay 15 canicas anaranjadas, se puede asegurar que no salga en ninguna de las extracciones una canica de dicho color si a 75 (canicas totales) se le resta 15. Como sólo importa que no salga alguna canica anaranjada en cada uno de los lanzamientos se dice que: 60 60 16 P r { N o An} = 75 * 75 = 25
d) Sean rojas o blancas o las dos cosas (roja y blanca) Se encuentran dos eventos, E1 es “canica extraída de color rojo” y E2 “canica extraída de color blanco”. En este enunciado se puede presentar 3 casos diferentes: el primero, que las dos canicas sean rojas, segundo que las dos sean blancas y tercero que salga una roja y una blanca, pero en este último se debe multiplicar por la combinación ya que se puede obtener de dos maneras, que en el primer lanzamiento salga una canica roja y en el segundo una blanca o que en el primero se obtenga una canica roja y en el segundo una blanca. 10 10 30 30 10 30 64 P r { R, B } = 75 * 75 + 75 * 75 + ( 75 * 75 ) * 2C 1 = 225
e) La segunda no sea azul Lo importante en este caso es que la segunda canica no sea azul, o sea que la primera canica extraída puede ser de cualquier color, pero como la segunda no debe ser azul se le resta a la cantidad total (75) el número de canicas azules (15) y se obtiene que la probabilidad es: P r { La segunda no sea azul } =
f) La primera sea anaranjada
75 75
*
55 75
=
11 15
Como se debe asegurar que la primera canica extraída sea anaranjada entonces se obtiene la probabilidad de obtener una canica de dicho color en el primer lanzamiento, 15 P r { An} = 75 mientras que en el segundo lanzamiento se puede sacar una canica de cualquier color. P r { La primera sea anaranjada} =
15 75
*
75 75
1 5
=
g) Por lo menos una sea azul El enunciado específica que “por lo menos” una canica sea azul, lo cual significa que se puede obtener 2 casos, el primero que sólo se obtenga una canica azul en cualquiera de los lanzamientos y el segundo, que las dos puedan ser azul. Estos casos se suman ya que puede ser uno o el otro. 20 P r { por lo menos una azul } = ( 75 *
55 ) 75
* 2C 1 +
20 75
*
20 75
=
10 75
h) Cuando mucho una sea roja “Cuando mucho” significa que la máxima cantidad de canicas rojas que puede obtenerse es una, pero se puede presentar el caso de que no se obtenga ninguna de dicho color, por lo tanto se suman cada uno de los casos. 10 P r {cuando mucho una roja} = ( 75 *
i)
65 ) 75
* 2C 1 +
65 75
*
65 75
=
221 225
La primera sea blanca, pero la segunda no Se especifica un orden, que la primera sea blanca pero la segunda no, dado que la 30 75
y el color que se obtenga en el segundo lanzamiento debe ser diferente del primero entonces se multiplica la probabilidad de que se pueda sacar una blanca y luego una canica de cualquier color, excepto blanca.
P r { B} =
P r { primera sea blanca, segunda no} =
j)
30 75
*
45 75
=
6 25
Sólo una sea roja No se establece que la canica roja se extraiga en el primer o segundo lanzamiento, lo importante es obtener una canica roja, en total hay 10 canicas de dicho color, por lo tanto a la cantidad total de canicas se le resta dicho valor y se multiplica por la combinación 2C1, ya que se puede presentar en diferente orden de extracción. 10 P r { R} = ( 75 *
65 ) 75
* 2C 1 =
52 225
6.44 Repetir el problema 6.43, pero suponiendo que una vez extraídas las canicas no se devuelven a la caja. Como la canica extraída en el primer evento no se devuelve a la caja entonces la cantidad de canicas totales (75) irá disminuyendo.
a. Las dos sean blancas En este caso el evento E1 y E2 es el mismo, que se extraiga una canica blanca en cada uno de las extracciones, como son eventos independientes entonces se multiplica la probabilidad de que ocurra E1 y E2. Como la canica no se devuelve a la caja entonces en la primera extracción hay 30 canicas posibles, mientras que en la segunda 29. P r { B} =
30 75
*
29 74
=
29 185
b. La primera sea roja y la segunda sea blanca Hay 10 canicas rojas y 30 blancas en total, el evento E1 es “la primera sea roja” y E2 es “la segunda sea blanca”, por lo tanto se multiplica cada uno de los eventos. P r { R, B } =
10 75
*
30 74
2 37
=
c. Ninguna sea anaranjada Lo importante es que ninguna canica sea anaranjada, por lo tanto no interesa que color se obtenga en cada una de las extracciones. Hay 15 anaranjadas, a la cantidad total (75) se le resta dicha cantidad para así hallar la probabilidad. P r {ninguna anaranjada} =
60 75
*
59 74
=
118 185
d. Sean rojas o blancas o las dos cosas (roja y blanca) Se pueden obtener 3 eventos diferentes, E1 “que las dos sean rojas”, E2 “que las dos sean blancas” y E3 “que una sea roja y la otra blanca”, dado que en E3 no especifican el orden en el que deben extraerse las canicas se debe multiplicar por 2C1 para tener en cuenta las dos opciones. P r { R, B } =
10 75
*
9 74
+
30 75
*
29 74
10 + ( 75 *
30 ) 74
* 2C 1 =
52 185
e. La segunda no sea azul Se pueden presentar dos casos, el primero que se obtenga una canica azul en el primer lanzamiento y una canica de cualquier color en el segundo, el segundo, que ninguna de las canicas sean azules, ahí ya se está asegurando que la segunda no sea azul, por lo tanto se realiza la multiplicación de los eventos en cada uno de los casos y se suman. P r {la segunda no sea azul } =
f.
20 75
*
55 74
+
55 75
*
54 74
=
11 15
La primera sea anaranjada Hay dos casos, que la primera sea anaranjada pero la segunda sea de cualquier color y que las dos canicas extraídas sean anaranjadas. Por lo tanto la probabilidad es la suma de estos dos casos. Para el primero se tiene que E1 es “la primera canica sea anaranjada” y E2 es “la segunda canica sea de cualquier color” mientras que en el segundo se tiene que E3 es “la primera sea anaranjada” y E4 “la segunda sea anaranjada.
P r { primera sea anaranjada} =
15 75
*
60 74
+
15 75
*
14 74
=
1 5
g. Por lo menos una sea azul Dado que el enunciado dice “por lo menos” se debe asegurar que al menos una sea azul, para hallar esta probabilidad se tienen dos opciones, la primera, que en cualquiera de las extracciones se obtenga una canica azul y la segunda, que ambas canicas sean azules. 20 P r { por lo menos una azul } = ( 75 *
55 ) 74
* 2C 1 +
20 75
*
19 74
=
86 185
h. Cuando mucho una sea roja Se especifica que “cuando mucho una sea roja” es decir, que máximo una canica debe ser roja pero puede que ninguna lo sea, lo cual significa que se tienen dos casos. El primero, que se obtenga en cualquiera de las extracciones una canica de color rojo, por ello se debe multiplicar por 2C1, el segundo que no se extraiga ninguna canica roja. 10 P r {cuando mucho una sea roja} = ( 75 *
i.
65 ) 74
* 2C 1 +
65 75
*
64 74
=
182 185
La primera sea blanca pero la segunda no En este caso se tienen 2 eventos, E1 “que la primera sea blanca” y E2 “que la segunda sea de cualquier color”, estos eventos son independientes, por lo tanto se multiplica la probabilidad de E1 y E2. P r {la primera sea blanca, la segunda no} =
j.
30 75
*
45 74
=
9 37
Sólo una sea roja Para asegurar que una de las canicas sea roja se debe multiplicar por 2C1, dado que se puede obtener en la primera o segunda extracción. Se tienen 2 eventos, E1 el cual representa que una de las canicas sea roja, y E2 que la canica sea de cualquier color excepto roja. 10 65 26 P r { sólo una sea roja} = ( 75 * 74 ) * 2C 1 = 111
6.45 Encontrar la probabilidad de que al lanzar dos veces dos dados los puntos que se obtengan sumen 7: a) En el primer lanzamiento El evento E1 es “cae en el primer lanzamiento” por lo tanto la probabilidad sería: 6 P r { E 1} = ( 36 *
30 ) 36
=
52 225
b) En uno de los dos lanzamientos La ocurrencia del evento E1 “que en el primer lanzamiento se obtenga la suma de 7” y E2 “que en el segundo lanzamiento se obtenga la suma de 7” se puede definir como eventos mutuamente excluyentes dado que el enunciado dice que se obtenga en uno de los dos lanzamientos más no que se obtenga en los dos. Por lo tanto E1 + E2 denota el evento ocurre E1 o E2 o ambos. P r { E 1 + E 2} =
c) En los dos lanzamientos
6 36
+
6 36
−
6 36
*
6 36
=
11 36
Como se debe obtener la probabilidad de que se obtenga la suma de 7 en los dos eventos entonces se dice que son eventos independientes, multiplicando la probabilidad de que la suma del dado si sea 7 en cada uno de los lanzamientos. 6 P r { E 1 E 2} = ( 36 *
6 ) 36
=
1 36
6.46 De una baraja de 52 cartas, bien barajada, se extraen sucesivamente dos cartas. Encontrar la probabilidad de que: a) La primera carta extraída no sea un 10 de tréboles o un as. Para que la primera carta que extraiga no sea un as, quiere decir que no puede ser ni picas, ni diamantes, ni corazones y mucho menos tréboles, por tanto serían cuatro cartas que no se pueden sacar, más el 10 de tréboles serían cinco, por tanto los casos favorables serían 52 - 5 = 47. La probabilidad sería: P r = 47 / 52
b) La primera carta sea un as, pero la segunda no. Si se desea que la primera carta sea un as, lo que se necesita es asegurar que alguna de las cuatro cartas de las sea la primera, por tanto sería P r { sacar as} = 4 / 52
Cuando se extrae esta carta, lo que queremos saber es que no vuelva a aparecer, ningún as, por tanto 54 - 4 = 48 y quedaría de la forma P r {cualquier otra carta} = 48 / 51
Como son eventos independientes la probabilidad sería: P r = (4 / 52)*(48 / 51) P r = 16 / 221
c) Por lo menos una de las cartas sea un diamante. Para saber si alguna de las cartas sea un diamante tenemos que asegurarnos de que puede tanto que salgan las dos, como haber una de ellas. Para el caso de que haya al menos una, se puede sacar la carta tanto a la primera como a la segunda, de igual forma puede ser desde A - K, por tanto cualquiera de estas 13 cartas pueden salir, y ya la otra carta no tiene necesidad de ser diamante, de forma que se le restarian las 13 cartas de diamantes a las totales, 52 - 12 = 39. Por tanto la probabilidad quedaría: P r {una diamante} = (13 / 52)*(39 / 51) * 2 C 1 P r = 13 / 34
es porque puede salir la carta de diamantes tanto como La combinación que se hace 2 C1 en la primera como en la segunda carta. Para el caso en el cual ninguna carta sean los dos diamantes, debemos asegurar que se sacarán cartas necesariamente de diamantes, por lo tanto quedaría: P r {dos diamantes} = (13 / 52)*(12 / 51) P r = 1 / 17
Como estos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad quedaría de la siguiente forma: P r = (13 / 34)+(1 / 17) P r = 15 / 34
d) Las cartas no sean de un mismo palo. Para asegurar que las cartas que se saquen no sean del mismo palo se asegura que en la primera se saque una carta, de cualquier palo, de la A - K y de allí tenemos que asegurar que ya no se puede sacar ninguna carta más de ese palo, por tanto a 52 se le restan las 13 y esto da 19, de ahí se saca una combinación 4C 3 ya que pueden ser, corazones, picas, tréboles o diamantes las cartas que se saquen, por tanto la probabilidad es: P r = (13 / 52)*(39 / 51)*4 C 3 P r = 13 / 17
e) No más de una de las cartas sea una figura (sota, reina o rey) Para resolver este punto, debemos tener el cuenta que pueden salir tanto que una de las cartas sea una figura, como que ninguna lo sea. Como podemos ver, la sota, rey o reina son tres cartas de las cuales están en los cuatro palos, por tanto habrían doce de estas cartas. La probabilidad de que salga solamente una de estas cartas sería que en una de las dos cartas salga una figura y en la otra no, pero hay que tener en cuenta que esto puede suceder en cualquiera de las dos cartas, por tanto esto sería: P r { f igura} = (12 / 52)*(40 / 51)*2 C1 P r { f igura} = 80 / 221
Para que ninguna carta sea una figura, le restamos la cantidad de figuras, entonces 52 - 12 = 40, entonces se pueden escoger cualquiera de las 40 cartas para extraer dos de ellas, por lo tanto esta probabilidad sería: P r {ninguna f igura} = (40 / 52)*(39 / 51) P r {ninguna f igura} = 10 / 17
Como estos elementos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad sería: P r = (80 / 221)+(10 / 17) P r = 210 / 221
f) La segunda carta no sea una figura. Para que la segunda carta no sea figura se tienen dos posibilidades, que la primera sí sea figura o que ninguna de las dos lo sean. Para que la primera sea una figura lo que se hace es garantizar que se saque una de las 12 cartas de las 52 que se tienen y ya la segunda carta tendría 40 opciones que no sean figura para que esto se cumpla, por tanto la probabilidad sería la siguiente: P r { primera sea una f igura} = (12 / 52)*(40 / 51) P r { primera sea una f igura} = 40 / 221
Para que ninguna de las dos sea una figura, le restamos las 12 figuras a las 52 cartas, y de allí podemos sacar cualquier carta y no serán figuras. P r {ninguna sea una f igura} = (40 / 52)*(39 / 51)
P r {ninguna sea una f igura} = 10 / 17
Como estos elementos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad sería: P r = (40 / 221) + (10 / 17) P r = 10 / 13
g) La segunda carta no sea una figura dado que la primera sí fue una figura. Como se está seguro que en la primera sí fue una figura, en cambio la segunda carta no debe ser una figura por tanto sería 52- 12 = 40 cartas de las cuales se pueden escoger P r = (52 / 52)*(40 / 51) P r = 40/ 51
h) Las cartas sean figuras o espadas o ambas. se calcula la probabilidad de que ambas cartas sean espadas:
pe = 13/52 * 12/51 = 1/17 se calcula la probabilidad de que ambas sean figuras:
p f = 12/52 * 11/51 = 11/221 se Calcula la probabilidad de que se saque una combinación de ambas:
pc = 12/52 * 13/51 * 2 = 2/17 sumando estas tres posibilidades:
pt = 1/17 + 11/221 + 2/17 = 50/221
6.47 Una caja contiene papelillos numerados del 1 al 9. Si se extraen 3 papelillos de uno en uno, encontrar la probabilidad de que tengan números: 1) Non, par, non o 2) Par, non, par. Como sabemos, en los números del 1 - 9 hay 5 impares (1,3,5,7,9) y cuatro pares (2,4,6,8) por tanto la probabilidad de que salga un impar, par e impar sería: P r {impar } = (5 / 9)* (4 / 8)* (4 / 7) Ya que para el primero hay 5 impares de los nueve números, para el segundo cuatro pares de los ocho números ya que se había sacado uno, y al final cuatro impares de los siete restantes.
P r {impar } = 10 / 63
De la misma forma sucede con los pares pero de forma inversa, primero cuatro pares de los nueve números, luego cinco impares de los ocho números luego de sacar uno y al final tres pares de los siete restantes. P r { par } = (4 / 9)* (5 / 8)* (3 / 7) P r { par } = 5 / 42
Como puede ser el uno o el otro, las dos probabilidades se suman para dar la total:
P r = P par + P impar P r = 5 / 18
6.48 Las oportunidades de que A gane un partido de ajedrez contra B son 3:2. Si se van a jugar 3 partidos, ¿cuáles son las posibilidades: a) A favor de que A gane por lo menos dos de los tres partidos. partiendo de :
a : b entonces : p = a /(a + b)
(2)
d onde : p es la probabilidad de que a gane un partido 3 : 2 entonces : p1 = 3/5 : probabilidad de que gane a En ese orden de ideas: p2 = 2/5 probabilidad de que gane b
●
Si A gana dos partidos pag 2 = 3/5 * 3/5 * 2/5 * 3 = 54/125
●
Si A gana 3 partidos pag 3 = 3/5 * 3/5 * 3/5 = 27/125
Estos son eventos mutuamente excluyentes por lo tanto la probabilidad de que a gane al menos dos partidos e:
54/125 + 27/125 = 81/125 usando de nuevo la definición (2) tenemos:
81/125 = a/(a + b)
entonces :
a = 81; 81 + b = 125; b = 44
las posibilidades son de 81:44
b) ¿En contra de que A pierda los dos primeros partidos contra B? P r {a pierda contra b 2 primeros juegos 1} = 2/5 * 2/5 * 3/5 = 12/125
P r {a pierda contra b 2 primeros juegos 2} = 2/5 * 2/5 * 2/5 = 8/125 De nuevo son eventos mutuamente excluyentes:
P r {a pierda contra b} = 12/125 + 8/125 = 4/25 Aplicando de nuevo la definición 2:
4/25 = a /(a + b) entonces : a = 4 ; 4 + b = 25 ; b = 21 Posibilidades en contra = 21:4
6.49 En un monedero hay dos monedas de plata y dos monedas de cobre, en otro monedero hay cuatro monedas de plata y 3 monedas de cobre. Si se toma al azar una moneda de uno de los dos monederos, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moneda de plata?
Se tienen dos monederos, de los cuales la probabilidad de sacar cualquiera de los dos es ½, suponiendo que se sacan las monedas de plata del primer monedero, esta probabilidad sería: P r {monedero uno} = (1 / 2)*(2 / 4) P r {monedero uno} = 1 / 4 Suponiendo que ahora se saca del segundo monedero, la probabilidad de que se saque una moneda al azar y esta sea de plata sería: P r {monedero dos} = (1 / 2)*(4 / 7) P r {monedero dos} = 2 / 7
Como son eventos mutuamente excluyentes se suman y la probabilidad total de sacar una moneda de plata tanto en el monedero uno como en el dos es: P r (1 / 4) + (2 / 7) P r = 15 / 28
6.50 La probabilidad de que en 25 años un hombre esté vivo es 35 y la probabilidad de que en 25 años su esposa esté viva es 23 . Encontrar la probabilidad de que en 25 años: Para resolver el ejercicio se establece que E 1 = E l hombre est é vivo y E 2 = L a mujer est é viva
a) Ambos estén vivos Como se quiere obtener la probabilidad de que tanto el hombre como su esposa estén vivos se multiplica cada uno de los eventos usando la probabilidad que da el enunciado, se realiza una multiplicación ya que representa un evento dependiente. P r { E 1 E 2} =
3 5
*
2 3
=
2 5
b) Sólo el hombre esté vivo Se desea saber la probabilidad de que solo el hombre esté vivo, por lo tanto se toma la probabilidad que da el enunciado ( 35 ) y eso se multiplica por la resta entre la probabilidad total (1) y la probabilidad de que la mujer esté viva. P r { E 1} = 35 (1 − 23 ) =
1 5
c) Sólo la esposa esté viva En este caso se toma la probabilidad que da el enunciado de que la mujer esté viva ( 23 ) y se multiplica por la resta entre la probabilidad total y la probabilidad de que el hombre esté vivo. 4 P r { E 2} = 23 (1 − 35 ) = 15
d) Por lo menos uno esté vivo Se tienen 3 posibles casos, el primero que sólo el hombre esté vivo, el segundo que sólo la mujer esté viva y el tercero que ambos estén vivos, dado que el enunciado específica que “por lo menos” uno debe estar vivo, es decir, mínimo debe ser alguno de los dos o ambos. Como dichas probabilidades se obtuvieron en los enunciados anteriores se sumaron los resultados obtenidos.
P r { por lo menos uno est é vivo} =
1 5
+
4 15
+
2 5
=
13 15
6.51 De 800 familias con cuatro hijos cada una, ¿qué porcentaje se espera que tenga cada uno de los siguientes enunciados? Suponga que la probabilidad tanto de niño y niña es la misma. Como se dice que la probabilidad de tener niños o niñas en la familia es la misma se dice que para cada uno de los casos es 12 y cada resultado obtenido se multiplica por 100 dado que el enunciado pregunta por el porcentaje. En general se pueden establecer dos cosas, la primera, como son 4 hijos por familia y la probabilidad de tener niña o niño es la misma entonces la probabilidad para las 4 posiciones serán 4 la misma lo cual se resume en ( 12 ) , lo segundo, en cada uno de los enunciados se irá multiplicando por una combinación la cual varía dependiendo del valor que tome X, la cual representa el número de niños en una familia.
a) 2 niños y 2 niñas Como la familia puede tener 2 niños entonces se multiplica por 4C2 lo cual da como resultado el 37.5% P r {2 niños} = 12 x 12 x 12 x 12 x4c2 =
3 8
= 38 x100 = 37.5%
b) Por lo menos 1 niño Se dice “por lo menos” lo que significa que se pueden tener los siguientes casos: al menos 1 niño en la familia, 2 niños, 3 niños e inclusive que los 4 sean niños. Cada uno de estas posibilidades se suman y se multiplica por la respectiva combinación (cantidad de niños en la familia). 4
4
4
4
P r { X > 1 niño} = ( 12 ) x4c1 + ( 12 ) x4c2 + ( 12 ) x4c3 + ( 12 ) x4c4 =
15 16
=
15 x100 16
= 93.75%
c) Ninguna niña Que en la familia no se tenga ninguna niña es lo mismo que decir que la familia tiene 4 niños, por lo tanto se multiplica por 4C4. P r {4 niños} = 12 x 12 x 12 x 12 x4c4 =
1 16
=
1 x100 16
= 6.25%
d) ¿Cuándo mucho 2 niñas? “Cuando mucho 2 niñas” establece que deben ser mínimo 2 niños y máximo los 4 niños, ya que no pueden haber menos de 2 niñas. El proceso que se implementó fue sumar cada uno de los casos posibles, es decir, tener 2, 3 y 4 niños. 4
4
4
P r { X > 2 niños} = ( 12 ) x4c2 + ( 12 ) x4c3 + ( 12 ) x4c4 =
11 16
=
11 x100 16
= 68.75%
