SOLUCIÓN TAREA 3

SOLUCIÓN TAREA 3 PROFESOR: DR. JUAN MARTIN ALUMNO: ADOLFO BARRIOS SANTA MARTA, COLOMBIA, FEBRERO 8 DE 2016 3. Prob!"# $! "o$!o $! !!%&r'( )br! El modelo del electrón libre da afortunadamente información de algunas de las propiedades metálicas. metálicas. En la la propuesta propuesta por Drude Drude la deficienci deficienciaa del modelo modelo se presenta presenta cuando hace hace uso de la mecánica estadística clásica para describir la conducción por electrones. Como resultados predice campos termoeléctricos y calores específicos mucho más grandes de los observados a temperatura ambiente. La solución de Sommerfeld de la estadística de ermi! Dirac a la conducción por electrones resuelve estos problemas mientras retiene todas las otras suposiciones del modelo de electrón libre. Sin embargo" el modelo de electrón libre de Sommerfeld hace predicciones cuantitativas #ue son completamente contradichas por la observación y algunas algunas preguntas #uedan sin respuestas.

Prob!"#* %o( ! "o$!o $! !!%&r'( )br!.  $roblemas en los coeficientes de transporte de electrón libre. El coeficiente de %all. Solo los elementos alcalinos se comportan de acuerdo a las •  predicciones. El modelo predice un &% #ue no depende de la temperatura" ni del tiempo de rela'ación" ni de la magnitud del campo magnético. E(perimentalmente depende de estas magnitudes y para campos muy grandes no tiene el signo predicho  por la teoría del electrón libre. La magneto resistencia. La teoría de electrón libre predice #ue la resistencia de un • alambre perpendicular a un campo magnético no debe depender de la intensidad del campo. Cosa #ue ocurre casi siempre. El campo termoeléctrico. aun#ue en orden de magnitud está correcto. El signo no • es siempre el #ue se espera. •

La ley ley de )iedem iedemann ann! !ra ran*. n*. Las Las pred predic icci cion ones es son son corre correct ctas as a temp temper erat atur uraa ambiente y probablemente a ba'as temperaturas. + temperaturas intermedias falla y k  σT   depende de la temperatura.

•

Dependencia con la temperatura de la conductividad eléctrica para DC. El modelo no cuenta de una dependencia con la temperatura de esta magnitud. Dependencia con la dirección de la conductividad eléctrica para DC. En algunos casos ,pero no en todos- la conductividad en metales para DC depende de la orientación orientación de la muestra ,si es adecuadamente adecuadamente preparada- con respecto al campo. En tales muestras la corriente J   no es siempre paralela al campo. ca mpo.

•

•

Conductividad +C. %ay una sutil dependencia con la frecuencia" de manera #ue la  propiedades ópticas del metal no pueden ser reproducidas por la constante dieléctrica calculada en el modelo.

Prob!"#* !( &!r"o$)(+")%#* !*&#$*&)%#*. •

•

ermino lineal en el calor específico. La teoría de Sommerfeld da cuenta ra*onablemente bien del tama/o del término lineal en  en el calor específico a ba'a temperatura de los metales alcalinos" no funcionando para metales nobles ni de transición. ermino cubico en el calor especifico. 0o e(plica por#ue a ba'as temperaturas el Calor el calor específico debe ser dominado por la contribución electrónica. +demás" en la teoría de Sommerfeld el termino cubico está errado en signo y es 6

10 •

 veces más pe#ue/o.

La compresibilidad de los metales. +un#ue la teoría de electrón libre hace una muy  buena estimación del módulo de volumen de muchos metales" es claro #ue la atención debe ser puesta en los iones y en la interacción electrón1electrón si uno desea una más precisa estimación de al ecuación de estado de un metal.

2

1. B#*!* $! "o$!o $! Dr-$!  /rob!"# r!*-!&o /or So""!r!$ El modelo de Drude" utili*a la teoría cinética de los gases para tratar de e(plicar las  propiedades de los metales. Considera #ue lo electrones de valencia se mueven libremente dentro del metal y por lo tanto pueden ser considerados como las  partículas constituyentes de un gas clásico. Con este modelo se pueden calcular  algunas de las propiedades físicas de los metales como la conductividad eléctrica" la conductividad térmica" el coeficiente %all y la magneto resistencia entre otras  propiedades. Drude considero #ue la carga positiva #ue compensa a los electrones estaba ligada a partículas mucho más pesadas" las cuales las consideró inmóviles. Las suposiciones básicas del modelo de Drude3 Entre dos colisiones" los electrones de conducción se mueven libremente" • despreciando las interacciones3 electrón!electrón ,apro(imación de electrones independientes-" electrón!ion ,apro(imación de electrones libres-. Las colisiones con los iones son eventos instantáneos #ue cambian • repentinamente la velocidad de los electrones interactuantes. Las colisiones entre electrones no son relevantes. El tiempo medio entre colisiones es τ  " es decir" un electrón choca con • 1

 probabilidad

•

τ   por unidad de tiempo. El tiempo

τ  se conoce como3

tiempo de rela'ación" tiempo de colisión o tiempo libre medio. Los electrones alcan*an un e#uilibrio con su entorno sólo a través de colisiones. Estas colisiones se suponen #ue mantienen el e#uilibrio

termodinámico local de la siguiente manera3 después de una colisión el electrón emerge con una velocidad cuya dirección es completamente aleatoria y con una magnitud dada por la temperatura en el lugar de la colisión. El modelo de Drude es la apro(imación clásica para describir el gas de electrones libres. +  pesar de su sencille*" da predicciones cualitativamente correctas de muchas de sus  propiedades" pero" las propiedades de transporte como el poder termodinámico es de $o* 'r$!(!* $! "#()&-$ más grande #ue el observado y el signo del %o!)%)!(&! # !* *)!"/r! (!#&)o contrario a lo #ue se observa e(perimentalmente en algunos metales. $redice incorrectamente" %#")(o* )br!* "!$)o* %o"/#r#b!* al parámetro de la red del cristal.

Prob!"# r!*-!&o /or So""!r!$ Los problemas presentados en el modelo de Drude y #ue son mencionados en el párrafo anterior fueron resueltos por Sommerfeld. El modelo de Sommerfeld es la versión cuántica del gas de electrones libres #ue contempla el principio de e(clusión de $auli" dando lugar al gas de electrones degenerado tal y como se reali*ó en el átomo. La función de distribución clásica de 4a(5ell!6olt*man del modelo de Drude se reempla*a por la distribución de ermi!Dirac en el modelo cuántico #ue introduce la energía de ermi como la escala nueva de energía #ue domina las propiedades electrónicas incluso a temperatura ambiente ya #ue es mucho más pe#ue/a #ue la temperatura de ermi. Esto hace #ue el camino libre medio de los electrones del gas cuántico sea dos órdenes de magnitud más grande #ue el  parámetro de red" en contra de las predicciones del modelo de Drude.

El movimiento de un electrón puede ser descrito clásicamente si se puede especificar su  posición y momentum con la precisión necesaria sin violar el principio de incertidumbre. Si un electrón tiene un momento ℏ K  F  entonces su incertidumbre en el momentum debe ser pe#ue/a para una buena descripción clásica" es decir  Δ p ≪ ℏ K  F  . Si utili*amos el  principio de incertidumbre podemos determinar su posición  Δ x  " tenemos  Δ x =

ℏ

 Δ p

≫

1

 K  F 

0

≈ r s ≈ 1 [ A ]

Claramente este valor hace imposible una descripción clásica" con electrones locali*ados dentro de distancias atómicas. Sin embargo" los electrones de conducción en un metal no están ligados a ning7n ion en particular" ellos pueden ser pensados como libres en el volumen del metal. El modelo de Drude supone #ue conocemos la posición del electrón solo en dos conte(tos3

Cuando hay variaciones espaciales tanto térmicas como de campos electromagnéticos con ≤λ . longitud de onda  λ  debemos tener #ue  Δ x Las variaciones en los campos de la lu* visible son sólo apreciables en las distancias del 0 3 [ A ] " lo cual anda bien. Sin embargo" para longitudes de onda de rayos orden de 10 8 estas resultan ser menores #ue el

 Δ x  y debemos usar mecánica cuántica para resolver 

el movimiento inducido por el campo. %ay también una suposición implícita en el modelo de Drude es #ue uno puede locali*ar un electrón dentro de una distancia substancialmente menor #ue

l

. +fortunadamente esta

suposición se cumple para metales. 0  Δ x ≤l ≈ 100−1000 [ A ] +demás" el principio de $auli reduce en forma dramática la tasa de colisiones entre electrones.

1. D!*%r)/%)'( $! !!%&o # $artiendo de una lámina ubicada en el interior de un campo eléctrico

 E x

" el cual

atraviesa la lámina longitudinalmente siendo la dirección de  E x  el del semie'e de las  x " y un campo magnético transversal

B z

como se muestra en la figura 9

Si se #uiere #ue no circule corriente fuera de la lámina en la dirección corriente

 j y

 y " la densidad de

debe ser cero y esto se consigue cuando se hace incidir un campo

magnético transversal en la forma en #ue se muestra en la figura

de corriente  j x

La densidad #ue atraviesa la lámina es originada por el campo eléctrico

 E x

.La dirección de la

velocidad de despla*amiento de los electrones cargados negativamente mostrada en la figura se da después de aplicar el campo eléctrico. La dirección desviada en la dirección  y  es producida por el campo magnético. +sí" los electrones se acumulan sobre una cara de la lámina tal y como se ve en la figura esto hace #ue en la cara opuesta a ésta apare*ca un e(ceso de iones positivos" generándose así un campo eléctrico transversal  E y llamado campo %all. La separación de los electrones y los iones negativos se da hasta cuando el campo %all e#uilibra la fuer*a de Lorent*. De donde se obtiene el cociente  R H   llamado coeficiente %all  R H =

E  y  j x B

:alorándolo en este modelo sencillo" se utili*a 2

 j x =n e τ E x / m

De donde se obtiene en el sistema ;C
− eB τ E x / mc 2

ne τ E  x B / m

=

−1 nec

  Ecu . 1

> para el sistema ;S?=  R H =

−1 ne

$ara el caso de electrones libres este valor es negativo" por ser e positivo por definición. Cuanto más ba'a es la concentración de portadores" más elevado es el valor del coeficiente %all. El cálculo de

 R H 

  es importante por#ue permite conocer la concentración de

 portadores. El resultado de la ecuación 9 se deduce de la hipótesis de #ue todos los tiempos de rela'ación son iguales" con independencia de la velocidad del electrón. Si el tiempo de rela'ación es una función de la velocidad debe aparecer un factor numérico del orden de la unidad. La e(presión resulta un poco más complicada si contribuyen a la conductividad tanto electrones como huecos. El efecto %all se hace de nuevo simple en el caso de campos magnéticos intensos tales #ue ω c τ  1 " donde ω c es la frecuencia del ciclotrón y τ   es el tiempo de rela'ación. +l comparar los valores observados del coeficiente de %all con valores calculados a partir  de la concentración de portadores. Los valores e(actos para 0a y @ concuerdan de forma e(celente con los cálculos suponiendo un electrón de conducción por átomo y utili*ando la ecuación 9.

Los valores observados para el +l y el ?n coinciden con los calculados para un portador de carga positiva por átomo y difieren notablemente en valor y signo con los valores calculados a partir de los portadores de carga esperados con tres cargas negativas. Los signos positivos aparecen también en el 6e y +s. Seg7n Lorent*" Aparece demostrarse #ue debemos imaginar dos clases de electrones libres" predominando en algunos cuerpos el movimiento de los positivos" mientras #ue en otros predominan los negativosB. El movimiento de los portadores de signo aparente positivo" #ue ahora llamamos AhuecoB" no  puede e(plicarse mediante el gas de ermi de electrones libres" sino #ue e(ige la teoría de  bandas de energía. Esta teoría de bandas e(plica también la e(istencia de valores muy grandes del coeficiente de %all" como en el caso de el +l" Sb y 6i.