SOLUCIÓN A PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO (PRACTICAS DE IO CON POM-QM) Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. I.
Day Trader desea invertir una suma de dinero que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Están disponibles dos grupos de acciones: acciones de primera clase y acciones de alta tecnología, con rendimientos anuales promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología producen un mayor rendimiento, son más riesgosas, y Trader quiere limitar la suma invertida en estas acciones a no más de 60% de la inversión total. ¿Cuál es la suma mínima que Trader debe invertir en cada grupo de acciones para alcanzar su objetivo de inversión? Solución: 1. Definición del problema - Invertir en acciones de primera, con rendimiento promedio del 10% anual - Invertir en acciones de alta tecnología ,con rendimiento promedio del 25% anual - Limitar la inversión acciones de alta tecnología por ser riesgosa a no más del 60% de la inversión total. - Generar un rendimiento anual mínimo de $10,000. - Minimizar la suma a invertir para alcanzar el objetivo o rendimiento. - No sabemos cuánto invertir en acciones de primera clase, la llamaremos: $X1 - No sabemos cuánto invertir en acciones de alta tecnología, la llamaremos: $X2 2. Construcción del Modelo matemático: La función objetivo es Minimizar la inversión, esto es: Min z= $X1 + $X2 Sujeta a las restricciones siguientes: 0.10X1 + 0.25X2 ≥10,000 este es rendimiento mínimo que se espera si se invierte $X1 al 10% y si se invierte $X2 al 25% anual. También hay otra restricción que dice que se invertirá no más del 60% de la inversión total en acciones de alta tecnología. X2≤ 0.60( Ahora formalizamos el modelo matemático: Min z= $X1 + $X2 s.a: 0.10X1 + 0.25X2 ≥10,000 -0.60X1 + 0.40X2 ≤ 0 X1≥0 X2≥0
-0.60X1 + 0.40X2≤0
3. Solución del modelo matemático
La solución del modelo: Hay que invertir X1= $21,053 como mínimo en las acciones de primera clase, para tener un rendimiento de 0.10x21,053= $2105.3 al año. Hay que invertir un mínimo de X2= $31,579 en acciones de alta tecnología, para tener un rendimiento de 0.25x31579= $7894.75 al año. Puede verse que $2105.3 + $7894.75 =$10,000.05 >$10,000 Por lo tanto satisface los rendimientos esperado por el inversionista con capital total de $52,632.00 de inversión, repartido en las dos tipos de acciones señaladas.
II.
Wild West produce dos tipos de sombreros tejanos. El sombrero tipo 1 requiere el doble de mano de obra que el tipo 2. Si toda la mano de obra disponible se dedica sólo al tipo 2, la compañía puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al día. Los límites de mercado respectivos para el tipo 1 y el tipo 2 son de 150 y 200 sombreros por día, respectivamente. La utilidad es de $8 por sombrero tipo 1, y de $5 por sombrero tipo 2. Determine la cantidad de sombreros de cada tipo que maximice la utilidad. Solución: 1. Definición del problema: Se elaboran dos tipos de sombreros: Tipo 1 y Tipo 2. Si toda la mano de obra se dedica al tipo 2 se producen 400 sobreros al día. El sombrero tipo 1 requiere el doble de mano de obra del tipo 2. La demanda del mercado del sombrero tipo 1 es 150 sobreros por día y 200 sobreros del tipo 2. Las utilidades del sobrero tipo 1 es $8 y del tipo 2 es $5.
Determine la cantidad de sobreros tipo 1 y tipo 2 a fabricar para maximizar la utilidad.
2. Formular el modelo matemático del problema: Las variables de decisión son X1 y X2 donde X1: el número de sobreros tipo 1 que se deben fabricar y X2: el número de sombreros tipo 2 que se deben fabricar para maximizar las utilidades. Por la función objetivo es: Max Z= 8X1 + 5X2 Sujeto a las siguientes restricciones: X1 ≤ 150 sombreros X2 ≤ 200 sombreros Como el sombrero tipo 1 requiere el doble de mano de obra que el tipo 2 y si solo se elabora tipo 2 se podrían hacer 400. La restricción para la elaboración de ambos sombreros tomando en cuenta esa relación es: 2X1 + X2 = 400 Por lo que el modelo final resulta ser: Max Z= 8X1 + 5X2 s.a: 2X1 + X2 = 400 X1 ≤ 150 sombreros X2 ≤ 200 sombreros X1≥0 X2≥0 3. Solución del Modelo matemático.
La solución óptima es: X1=100, es decir, elaborar 100 sombreros del tipo 1, que generarán 8x100 = $800. También se obtuvo que X2=200, es decir, elaborar 200 sombreros del tipo 2, que generarán 5x200=$1000. Para una utilidad máxima de $1800.
