SISTEMAS VIBRATORIOS. VIBRATORIOS. Vibración
Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación. El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada, son ejemplos comunes de vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio estudio de los movimientos movimientos oscilatorios oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos. Por lo comn, un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar ener!ía potencial "resorte "res orte o elasticidad#, un medio para conservar la ener!ía cinética "masa o inercia# y un medio por el cual la ener!ía se pierde !radualmente "amorti!uador#. La vibración de un sistema implica la transformación de su ener!ía potencial en ener!ía cinética y de ésta en ener!ía potencial, de manera alterna. $i el sistema se amorti!ua, una parte de su ener!ía se disipa en cada ciclo de vibración estable. Por lo tanto, un sistema vibratorio es todo aquel que posee un movimiento oscilatorio que puede o no ser armónico y que tiene la capacidad de almacenar y transformar ener!ía cinética y potencial. Elementos de sistemas vibratorios
Para que un sistema pueda vibrar debe poseer elementos que puedan adquirir ener!ía cinética y elementos capaces de almacenar ener!ía cinética. El an%lisis cinético es el procedimiento que le si!ue al modelaje matem%tico, es por eso que el estudio e studio de sistemas s istemas din%micos se vuelve esencial es encial para el estudio de las vibraciones mec%nicas.
&n sistema vibra si posee ener!ía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos anula la posibilidad, es por eso que en esta unidad se 'ace un estudio a los sistemas din%micos din%micos desde el punto de vista de la (da ley de )e*ton y de la conservación de la masa. $on tres los elementos b%sicos de un sistema vibratorio+ la masa, elementos el%sticos y elementos absorbedores de ener!ía.
ELEMENTOS PASIVOS Y ACTIVOS Los diferentes métodos que se 'an desarrollados para disminuir las vibraciones, distin!uiendo dos enfoques diferentes, son elementos pasivos y elementos activos de vibraciones. El primero se basa en el uso de elementos pasivos, en el sentido de que no pueden aportar ener!ía al sistema para amorti!uar las oscilaciones. Estos elementos son típi típica came ment ntee resor resorte tes, s, amort amorti! i!ua uador dores es o incl incluso uso masas masas adic adicio ional nales es colo colocad cadas as correctamente. Los Los sist sistem emas as de elem element entos os acti activo voss de vibra vibraci cione oness util utiliz izan an actu actuad adore oress que intr introdu oducen cen ener! ener!ía ía en el sist sistem ema. a. El rendi rendimi mien ento to de los los sist sistem emas as activ activos os es norm normalm alment entee muc' muc'oo mayor mayor que que los los pasiv pasivos, os, sien siendo do capac capaces es de elim elimin inar ar los los comportamien comportamientos tos resonantes sin afectar el comportamient comportamientoo a frecuencias frecuencias m%s altas y sin reducir demasiado la ri!idez del sistema, requiriendo actuadores de alta densidad de potencia, y un diseo equivocado puede provocar inestabilidad del sistema.
GRADOS DE LIBERTAD. Los !rados de libertad "-L# de un sistema, es el nmero de par%metros independientes que se necesitan para definir particularmente su posición en el espacio en cualquier instante. En el plano se requiere de tres par%metros "-L#+ dos coordenadas lineales "x,y# y una coordenada an!ular "/#.
En el espacio se requiere de seis -L+ tres distancias " xyz # y tres %n!ulos "/, 0, 1#
En síntesis, los !rados de libertad son el mínimo nmero de coordenadas requeridas e independientes para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante. Sistemas vibratorios de un grado de libertad sujetos a vibración libre no amortiguada.
En su forma m%s !eneral, un sistema vibratorio est% constituido por elementos que tienen propiedades m%sicas o de inercia, el%sticas y de disipación de ener!ía. 2n cuando las propiedades de disipación de ener!ía est%n siempre presentes en cualquier sistema vibratorio, desde un punto de vista matem%tico, un sistema capaz de vibrar puede e3istir sin que el sistema disipe ener!ía4 estos sistemas se denominan como no amorti!uados. 5ambién, en !eneral, las propiedades m%sicas o de inercia, el%sticas y de disipación de ener!ía est%n distribuidas de manera continua a lo lar!o del sistema vibratorio, de manera que todos los sistemas vibratorios son continuos, las 'erramientas matem%ticas necesarias para abordar este tipo de sistemas son las ecuaciones diferenciales parciales y, para apro3imaciones numéricas, el método del elemento finito o al!una de sus variaciones. 2fortunadamente, es posible modelar, con é3ito, sistemas vibratorios en los que se asume que las propiedades m%sicas o de inercia, el%sticas y de disipación de ener!ía est%n distribuidas de manera discreta4 es decir, en estos sistemas se supone que al!unos elementos del sistema nicamente tiene propiedades m%sicas o de inercia, otros elementos del sistema nicamente tienen propiedades el%sticas y al!unos otros m%s nicamente disipan ener!ía. ebe ser evidente, que estos sistemas vibratorios, denominados discretos, constituyen una abstracción o apro3imación de los sistemas vibratorios reales4 sin embar!o, por un lado, las 'erramientas matem%ticas necesarias para abordar estos
sistemas son las ecuaciones diferenciales ordinarias bastante menos demandantes que las ecuaciones diferenciales parciales y por otro lado, un buen modelo discreto de un sistema vibratorio real proporciona resultados suficientemente cercanos al comportamiento real del sistema que, en muc'os casos, 'ace innecesario la formulación continua del mismo sistema. &no de los conceptos fundamentales en el estudio de cualquier sistema, es el concepto de !rados de libertad, de manera muy simple, el nmero de !rados de libertad de un sistema vibratorio es el nmero mínimo y suficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado del sistema. En el caso de sistemas mec%nicos, conocer el estado del sistema es sinónimo de conocer la posición del sistema4 es decir, la posición de todos y cada uno de los elementos del sistema. &n sistema vibratorio continuo, como una vi!a, tiene un nmero infinito de !rados de libertad, esto en virtud de que la posición de una vi!a se determina por una función continua y diferenciable, al menos 'asta la cuarta derivada, y esta función es equivalente a conocer la posición de un continuo de partículas de la vi!a. 2 diferencia de los sistemas continuos, un sistema vibratorio discreto tiene un nmero finito, que en al!unos casos, como la apro3imación mediante el método del elemento finito, puede ser muy elevado. En estas notas, se tratara e3clusivamente con sistemas discretos de un nico !rado de libertad, es decir, en los sistemas considerados, es necesario conocer una nica variable para determinar la posición del sistema vibratorio. &n ejemplo de esta clase de sistemas se muestra en las fi!ura (, donde la variable que determina la posición del sistema se denomina 6 y” y es en !eneral una función del tiempo, denotada por y(t). En estos sistemas, e3iste un elemento m%sico o de inercia que se supone que es totalmente rí!ido y que no disipa ener!ía, e3isten también un elemento el%stico, un resorte, que se supone de masa despreciable y que tampoco disipa ener!ía, finalmente, en el sistema ilustrado en la fi!ura 7, e3iste un elemento disipador de ener!ía, un amorti!uador, que se supone de masa despreciable
y totalmente rí!ido. Este es un ejemplo de la discretización de las propiedades continuas de un sistema vibratorio real.
8i!ure 7+ $istema 9ibratorio de un -rado de Libertad 2morti!uado.
Análisis de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibrac ión libre no amortiguada.
El modelo m%s simple y probablemente uno de los m%s importantes en el estudio de las vibraciones mec%nicas, es el de un sistema vibratorio de un !rado de libertad sujeto a vibración libre no amorti!uada "fi!ura (#. El sistema est% formado por una masa y un resorte, la masa permite almacenar ener!ía potencial y ener!ía cinética mientras que el resorte permite almacenar ener!ía potencial debida a la deformación del resorte, la vibración libre de este sistema vibratorio puede interpretarse como el resultado del intercambio de la ener!ía entre estos dos elementos. Las suposiciones de este modelo son+
8i!ura (+ $istema vibratorio de un !rado de libertad no amorti!uado.
7. La masa del sistema es constante y totalmente rí!ida, se denomina :. (. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir el resorte mediante una nica constante, denominada la constante del resorte, k . e manera que la relación entre la fuerza y la deformación del resorte est% dada a la vez por+ 8 ; < =, "7# donde 8 es la fuerza del resorte y = es la deformación del resorte. >. )o 'ay amorti!uamiento presente en el sistema. ?. El movimiento de la masa es translación rectilínea. 2 fin de lo!rar que la traslación de la masa sea rectilínea, es frecuente que el sistema emplee !uías, en cuyo caso debe suponerse que las !uías est%n completamente libres de fricción. Es conveniente mostrar las diferentes etapas de la formación de este sistema vibratorio, "fi!ura >#. En una primera etapa, el resorte y la masa est%n separados y la lon!itud del resorte en esta posición se denomina la lon!itud libre del resorte.
En una se!unda etapa, el resorte y la masa ya est%n unidos y en una posición de equilibrio est%tico. Entonces, es posible recurrir
8i!ura >+ 5res etapas en la formación de un sistema vibratorio de un !rado de libertad no amorti!uado.
a las ecuaciones de la est%tica para determinar la deformación est%tica del resorte, =est, para tal fin+ @8A ; B M g D k .=est ; B, por lo tanto,
=est ;
M g k
Sistemas vibratorios de un grado de libertad sujetos a vibración libre amortiguada.
Consideremos un sistema vibratorio de un !rado de libertad sujeto a vibración libre amorti!uada, "fi!ura 7#. Este modelo incluye adem%s de una masa y un elemento el%stico, que almacenan ener!ía, un amorti!uador que disipa ener!ía. e manera que este modelo predice que un sistema vibratorio sujeto a vibración libre amorti!uada, eventualmente re!resa a su posición de equilibrio, un fenómeno que se observa en la realidad, de manera que los resultados que predice este modelo, son m%s realistas que en el caso de un sistema vibratorio sujeto a vibración libre no amorti!uada.
8i!ura 7+ $istema 9ibratorio de un -rado de Libertad 2morti!uado.
7. La masa del sistema es constante y totalmente rí!ida, se denomina :. (. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir el resorte mediante una nica constante, denominada la constante del resorte, <. e manera que la relación entre la fuerza y la deformación del resorte est% dada por+ 8;<= donde 8 es la fuerza del resorte y = es la deformación del resorte.
>. El amorti!uamiento presente en el sistema es de masa despreciable, totalmente rí!ido, y lineal, por lo tanto es posible describir el amorti!uador mediante una nica constante, denominada la constante del amorti!uador c. e manera que la relación entre la fuerza y la diferencia de velocidad entre las terminales del amorti!uador est% dada por+ 8;cv donde "8# es la fuerza del amorti!uador y v es la velocidad entre las terminales del amorti!uador. ?. El movimiento de la masa es translación rectilínea.
2 fin de lo!rar que la translación de la masa sea rectilínea, es frecuente que el sistema emplee !uías, en cuyo caso debe suponerse que las !uías est%n completamente libres de fricción o bien, en este caso, la fricción es lineal y su efecto est% ya incluido en el coeficiente c considerado en el punto >. 2 fin de obtener la ecuación del movimiento del sistema, se parte de posición de equilibrio est%tico del sistema. En esta posición, la deformación est%tica del resorte est% dada por+
=est ;
M g k
COORDENADAS GENERALIZADAS. $e denominan informalmente coordenadas !eneralizadas a un conjunto cualquiera de par%metros numéricos que sirven para determinar de manera particular, la confi!uración de un mecanismo o sistema mec%nico con un nmero finito de !rados de libertad. :%s formalmente, las coordenadas !eneralizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de confi!uración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de confi!uración o el espacio de fases de la mec%nica cl%sica. El nmero mínimo de coordenadas !eneralizadas para definir el estado del sistema se conoce como coordenadas independientes. En este conte3to, las coordenadas pueden ser absolutas "referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo se mueve#4 o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.
ECUACIONES DE RESTRICCIÓN. El punto crucial de cualquier método de an%lisis cinem%tico y din%mico de mecanismos es la definición de las coordenadas del mecanismo. ic'as coordenadas vienen constituidas por un conjunto de par%metros no independientes que definen unívocamente la posición de todos y cada uno de sus elementos4 no son independientes porque cualquier conjunto de par%metros cuyo nmero sea superior al nmero de !rados de libertad del mecanismo, deber% satisfacer ciertas ecuaciones de compatibilidad !eométrica adicionales, que se conocen con el nombre de ecuaciones de restricción. Las ecuaciones de restricción jue!an un papel de fundamental importancia en el an%lisis de estos sistemas, y se corresponden estrec'amente con el tipo de coordenadas ele!ido. Por otra parte, se definen las coordenadas !eneralizadas de un mecanismo como un conjunto de coordenadas independientes, cuyo nmero coincide con el nmero de !rados de libertad del mismo. Las coordenadas !eneralizadas no determinan la posición de todos los elementos del mecanismo sino a través de la resolución del problema de posición, que es un problema no lineal que puede tener varias soluciones. Por esta razón, las coordenadas !eneralizadas no se pueden utilizar por sí solas para definir la posición, sino que se suelen usar para definir las velocidades y aceleraciones de los elementos de entrada, o para la inte!ración numérica de las ecuaciones diferenciales del movimiento.
2sí pues, la definición de las coordenadas del mecanismo y de las ecuaciones de restricción constituyen el ncleo de todo método numérico de an%lisis cinem%tico y din%mico de mecanismos.
MODO DE VIBRACIÓN. &n modo de vibración es un patrón o forma característica en el que vibrar% un sistema mec%nico. La mayoría de los sistemas tienen muc'os modos de vibración y es la tarea del an%lisis modal determinar la forma de esos modos. La vibración de una estructura es siempre una combinación o una mezcla de todos los modos de vibración. Pero no todos est%n e3citados al mismo !rado. Por ejemplo, si se toca una campana suavemente lo primero que se va oír es el modo fundamental de vibración, pero si se la toca m%s fuerte, otros modos son e3citados y se oyen los parciales superiores del tono.
MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS. 2ntes de dar un modelo de un sistema físico debemos identificar lo que es una vibración mec%nica el cual es el movimiento de vaivén de las moléculas de su cuerpo o sistema debido a que posee características ener!éticas cinéticas y potenciales. El modelo es la representación !r%fica de cualquier fenómeno físico que produzca una vibración en cualquiera que sea el caso, podemos decir que la e3citación es el suministro de ener!ía. Como ejemplos de e3citación instant%nea tenemos el !olpeteo de una placa, el ras!ueo de las cuerdas de una !uitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, entre otros.
Como ejemplo de una e3citación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una e3citación constante para el sistema vibratorio de un automóvil. 2 continuación se ilustra un modelo de un tipo de vibración.
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA VIBRATORIO DE UN GRADO DE LIBERTAD. Los !rados de libertad son el nmero mínimo de velocidades !eneralizadas independientes necesarias para definir el estado cinem%tico de un mecanismo o sistema mec%nico. El nmero de !rados de libertad coincide con el nmero de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. La si!uiente fi!ura muestra este modelo un sistema de masa FmG y una constante el%stica F
:odelo típico de un sistema libre no amorti!uado.
$upon!amos tres casos como se muestra en la fi!ura.
En la fi!ura se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa FmG y el resorte sufre una deformación Hs que llamaremos deformación est%tica4 de aquí+ 8< ; I.Hs
Diagrama de cuerpo libre, análisis estático.
El dia!rama de cuerpo libre est%tico nos revela que+ $ 8y ; B m! J I.Hs ; B m! ; I.Hs "Ec.>.># 2'ora ima!inemos que estiramos la masa una distancia H y lue!o lo soltamos y aquí comenzamos 'acer el an%lisis.
La fi!ura nos muestra el dia!rama de cuerpo libre como consideramos H D 7 por lo tanto 3 y 3 ser%n positivos 'acia abajo. &tilizando la (da ley de )e*ton+ m.! J I.Ht ; m.3 "Ec. >.?# Como I.5 ; Hs D 3K la ecuación se convierte en+ :.! J I.Hs J I 3 ; m.3 "Ec. >.# &tilizando la ecuación >.> como en la ecuación >. aparecen como constantes se pueden eliminar, por lo tanto+
Mx + k.x = 0 2 la ecuación se le conoce como la ecuación diferencial del movimiento de un sistema libre no amorti!uado. Vibraciones Libres Amortiguadas de un Grado de Libertad.
En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa ener!ía mec%nica debido a al!n tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amorti!uado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la ener!ía mec%nica disminuyen con el tiempo. La ecuación diferencial que describe el movimiento es m xMMDc xMDk x ; B4 la ecuación característica es mr( D cr D < ; B, cuyas raíces son+
$e presentan tres casos posibles+
Amo!"#$%m"&'!o ($)& *!"*o,
Las raíces r7 y r( son reales y distintas. La solución de esta ecuación, amorti!uada pero no armónica, es de la forma+
onde C7 y C( son las constantes de inte!ración. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el amorti!uamiento, m%s tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio.
Amo!"#$%m"&'!o *!"*o,
La raíz de la ecuación característica es doble e i!ual a+
La solución, amorti!uada pero no armónica, es de la forma+
El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo m%s breve posible sin oscilación. El amorti!uamiento crítico tiene una importancia especial porque separa los movimientos aperiódicos "no oscilatorios# de los oscilatorios amorti!uados. Es decir, el valor crítico es la menor cantidad de amorti!uamiento para que el sistema no oscile. En muc'as aplicaciones pr%cticas se utiliza un amorti!uamiento crítico, o pró3imo al crítico, para evitar vibraciones y conse!uir que el sistema alcance el equilibrio r%pidamente.
Amo!"#$%m"&'!o ($-*!"*o,
y la frecuencia de la vibración amorti!uada es+
La solución es de la forma+
N)5O&CCNQ) La razón principal para analizar y dia!nosticar el estado de una m%quina es determinar las medidas necesarias para corre!ir la condición de vibración, reducir el nivel de las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. e manera que, al estudiar los datos, el interés principal deber% ser la identificación de las amplitudes predominantes de la vibración, la determinación de las causas, y la corrección del problema que ellas representan. &n sistema vibratorio es todo aquel que posee un movimiento oscilatorio que puede o no ser armónico y que tiene la capacidad de almacenar y transformar ener!ía cinética y potencial. En su forma m%s !eneral, un sistema vibratorio est% constituido por elementos que tienen propiedades m%sicas o de inercia, el%sticas y de disipación de ener!ía, aun cuando las propiedades de disipación de ener!ía est%n siempre presentes en cualquier sistema vibratorio. &n sistema vibra si posee ener!ía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos anula la posibilidad, es por eso que este trabajo se 'ace un estudio a los sistemas din%micos des el punto de vista de la se!unda ley de )e*ton y de la conservación de la masa. El si!uiente material muestra los diferentes elementos de un sistema vibratorio "pasivos y activos#, coordenadas !eneralizadas, ecuaciones de restricción, modelado de sistemas físicos, ecuaciones del movimiento para un solo !rado de libertad, lo cual nos ayudar% enormemente para interpretar los datos que podamos obtener, determinando así el tipo de vibración que se presenta y buscar así la debida corrección de las mismas.
C)CL&$N)E$ Las vibraciones se encuentran estrec'amente relacionadas con tolerancias de mecanización, desajustes, movimientos relativos entre superficies en contacto, desbalances de piezas en rotación u oscilación4 es decir, todo el campo de la técnica. Lo antes mencionado es producido también casi siempre un desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable ori!inando una vibración mec%nica. Como consecuencias, la mayor parte de las vibraciones mec%nicas en estructuras y maquinas en una industria del actual mundo, son como casi indeseables ya que aumentan los esfuerzos, las tensiones y por las pérdidas de ener!ía que las acompaan. 2dem%s, son fuente de des!aste de materiales, de daos por fati!a y de movimientos y ruidos molestos en dic'as maquinas. $in embar!o la mayoría de los fallos en las m%quinas, son causa de la falla de naturaleza mec%nica o eléctrica, que !eneran vibraciones a una específica frecuencia. Esta vibración puede corresponder a fallas como desalineamiento, cavitación, defectos en las correas o correas flojas, aflojamiento en la cementación o base, daos en los rodamientos y muc'os otros defectos. &n sistema vibratorio est% formado por una masa y un resorte. La masa permite almacenar ener!ía potencial y ener!ía cinética mientras que el resorte permite almacenar ener!ía potencial debida a la deformación del resorte. La vibración libre de este sistema vibratorio puede interpretarse como el resultado del intercambio de la ener!ía entre estos dos elementos.
