Universidad del Cauca Laboratorio de Vibraciones y ondas Departamento de Física
UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE FISICA LABORATORIO DE VIBRACIONES Y ONDAS 2015
ANILLOS VIBRATORIOS RESUMÉN En esta práctica se pretende comprobar las leyes del péndulo físico, como también analizar el periodo de oscilación de los anillos en función de las dimensiones de los anillos Para lograr el objetivo de la práctica con el anillo ya ya descrito, se desplaza desplaza un ángulo armónico para posteriormente soltarlo y tomar el tiempo que tarda en realizar determinado número de oscilaciones. En su desarrollo notamos que este tiempo varía de acuerdo al diámetro con respecto al centro de masa. Un péndulo es un dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. No necesariamente consiste en un hilo sin masa con un punto material en su extremo. Cuando el objeto objeto colgado y en oscilación tiene otra forma, se le llama péndulo físico. Este es un caso muy importante, un objeto de cualquier forma puede ser un péndulo físico, e incluso se puede hacer variar el punto del cual se cuelga. El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, es un sistema integrado por un sólido de forma irregular, móvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila solamente por acción de su peso.
MARCO TEORICO Se considera un péndulo físico o compuesto a cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que pasa por su centro de masa, el sistema oscilara cuando se desplace de su posición de equilibrio. 2
I Ecuación (1)
ml
12
Universidad del Cauca Laboratorio de Vibraciones y ondas Departamento de Física El péndulo físico, o péndulo compuesto es un cuerpo rígido capaz de oscilar alrededor de un eje fijo. La diferencia con el péndulo simple, que es solo una idealización, el péndulo físico es un objeto real, no puntual. El equivalente de la segunda ley de Newton, para los cuerpos en rotación es:
Ecuación (2)
Donde: • es el ángulo de rotación; J es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación es el momento o torque aplicado al objeto. Para la practica realizada se consideraba un péndulo físico, que consiste de un aro metálico y delgado de densidad uniforme y espesor constante el cual está suspendido en un punto O; El punto O está localizado a una distancia R del centro de masa, donde R el radio del anillo. Cada anillo que es ubicado es desplazado una amplitud angular θ (siendo el valor de esta amplitud angular pequeña), este oscilara alrededor de su posición de equilibrio con un movimiento
mgd
Ecuación (3)
T
2
Ecuación (4)
I I mgd
Podemos calcular el momento de inercia I de las ecuaciones anteriores utilizando el teorema de ejes paralelos; lo podemos describir así: Ecuación (5)
I
I o
I
mk
2
2
ml
2
ml
Ecuación (6)
Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, la gravedad ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la
Universidad del Cauca Laboratorio de Vibraciones y ondas Departamento de Física energía potencial se transforma en emergía cinética. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa esta en movimiento, continuará y pasara del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa
La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial hasta que la masa se para. Entonces, el proceso vuelve a comenzar en dirección opuesta. Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo.
Nº de Diámetro observacion promedio
t1(s)
t2 (s)
t3 (s)
t prom T (s)
T^2
1
21.8
4.45
4.50
4.27
4.40
0.88
0,774
2
25.1
4.84
4.92
4.95
4.90
0.98
0,960
3
29.55
5.46
5.24
5.34
1.068
1,140
4
34.8
5.79
5.76
5.96
5.83
1.166
1,359
5
39.2
6.37
6.10
6.21
6.22
1.244
1,547
6
41.1
6.46
6.47
6.48
6.47
1.294
1,674
7
44.7
6.88
6.69
6.95
6.84
1.368
1,871
8
49-2
7.16
6.99
7.01
7.05
1.41
1,988
9
53.8
7.47
7.54
7.53
7.51
1.502
2,256
10
55.1
7.69
7.75
7.75
7,73
1.546
2,390
5.33
ANALISIS Y CALCULOS Un aro delgado está suspendido de un punto que pasa por su perímetro justo en la vertical sobre su centro geométrico y realiza pequeñas oscilaciones cuyo periodo es T. Un aro suspendido por un punto de su perímetro oscilando en el plano definido por el propio aro se comporta como un péndulo físico, cuyo periodo para pequeñas oscilaciones es:
Universidad del Cauca Laboratorio de Vibraciones y ondas Departamento de Física T
2
Ecuación (4)
I mgd
En la práctica se utilizó un aro a manera de péndulo físico, en el cual se buscó obtener un movimiento armónico simple por ello se realizaron las oscilaciones a partir de amplitud de 8 grados. En general los péndulos físicos están formados por un cuerpo rígido cualquiera en este caso el aro metálico en el cual el grosor del aro teniendo en cuenta las dimensiones reales de todos los demás elementos fue despreciado y también su masa debido a que en la ecuación (1) m es la masa del aro, I es su momento de inercia respecto del punto de suspensión, g es la aceleración debida a la gravedad terrestre y d es la distancia entre el centro de masa del aro y el punto de suspensión; como I ∝ m, las masas del numerador y del denominador en la expresión de T se cancelan mutuamente, por lo tanto el periodo de un péndulo físico no depende de su masa (de manera análoga a como ocurre con el péndulo simple). Este aro se encuentra en la experiencia suspendido de un eje horizontal o soporte con el cual se generan fuerzas de rozamiento las cuales fueron despreciadas por fines prácticos, el aro se encuentra en libertad de oscilar libremente alrededor de una posición de equilibrio por esto decimos que es un péndulo y a su ves al no estar toda la masa concentrada en un solo punto sino que se encuentra distribuida a lo largo del sistema se considera como un péndulo físico. En la práctica varían los tamaños de los discos, esto genera cambios en el periodo del péndulo, en general se observa como al aumentar el diámetro del 1aro el tiempo en realizar un mismo número de oscilaciones aumenta. Esto se puede prever en base a la ecuación: T Ecuación (7)
=
2
R g
Y puesto que vemos como el periodo que es el tiempo que tarda en realizar un número de oscilaciones en un tiempo determinado aumenta con el aumento en R , que es la distancia entre el centro de masas y el punto respecto del cual oscila, este es mas grande conforme el disco aumenta su tamaño , esto sucede por que el periodo es directamente proporcional a R. Puede comprobarse que cualquier porción de aro suspendida por un punto de su perímetro equidistante de sus extremos oscila con el mismo periodo A partir de las ecuaciones que describen este tipo de movimiento se pueden llegar a determinar experimentalmente algunos valores como la gravedad ,
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aunque este valor solo puede ser aproximado teniendo en cuenta que se están despreciando fuerzas reales presentes en el sistema como lo son las fuerzas de rozamiento que existen entre el eje de rotación y el aire, aun así es inútil tratar de compararla con el valor estándar puesto que dependiendo del punto geográfico y teniendo en cuenta que la tierra no es redonda este valor cambia dependiendo de la posición geográfica, a lo largo del planeta . A un así este experimento es una forma muy útil y sencilla de estudiar sistemas como el péndulo simple y llegar a determinar valores aproximados a los de la gravedad con tan solo conocer número de oscilaciones tiempo y diámetros. Puede comprobarse que cualquier porción de aro suspendida por un punto de su perímetro equidistantes de sus extremos oscila con el mismo periodo, ecuación (7) independiente del ángulo subtendido por su arco. Como vemos, el aro completo y cualquier porción del mismo oscilan isócronamente, ya que este depende del diámetro y no del ángulo aclarando que se debe mantener un ángulo de 8° para que continúe siendo un M.A.S. Grafica de periodo Vs diámetro.
T Vs D 2 1.5 T
1
y = 0.019x + 0.495 R² = 0.994
0.5 0 0
10
20
30
40
50
D
Grafica de periodo al cuadrado Vs diámetro
60
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T CUADRADO VS D 3 2.5 O D 2 A R D1.5 A U C 1 T
T
y = 0,0466x - 0,2422 R² = 0,9955
0.5
Linear (T)
0 0
20
40
60
D
T
2
R
g=
g
4π2 D
4π2
2∗T2
pendiente
=
=
4π2 0,0466
=847.17 cm/ s
g=8.4717m/s
%error relativo=
%error=
.−,. ..
∗
.−, ,
∗ = 13.55 %
La curva T vs D, representa la relación que se presenta entre el periodo en el cual oscila el aro, y el diámetro; entre los cuales, se presenta una relación directamente proporcional, ambos aumentan a medida que transcurre el tiempo, se muestra una curva con una linealización que arroja la pendiente de la gráfica, la cual depende en gran medida del diámetro, el cual no es perfecto, estas pequeñas variaciones, arrojan un valor de gravedad que no es exacto, además de esto la medición del tiempo es un paso crucial para el cálculo de la gravedad, ya que este permite encontrar el período de oscilación del anillo.
Escriba la ecuación (3) en función del diámetro y compare esta expresión con la relación que hallo al linealizar la curva.
La ecuación (3) en función del diámetro sería la siguiente: R: radio del anillo D: diámetro del anillo D: 2R I = I0 + m (2*R)2 I = I0 + m (D)2
Universidad del Cauca Laboratorio de Vibraciones y ondas Departamento de Física La expresión hallada con respecto a la obtenida cuando se realizó la linealización de la curva difiere pues por medio de la gráfica obtenemos una aproximación, la limitación estaría dada en gran parte en la cantidad de datos tomados para que la curva sea la más adecuada, mientras que la expresión obtenida de la ecuación (3), es el valor teórico.
CONCLUSIONES Se comprueban las leyes del péndulo físico, por medio del estudio de los anillos vibratorios como también analizar el periodo de oscilación de los anillos en función de las dimensiones de los mismos.
BIBLIOGRAFIA I. R. Serway, Física Vol, Mc GrawHill, segunda edición. Pag 333,307.
