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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FACULTA DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ING. JORGE LUIS PAREDES ESTACIO
VIBRACIÓN LIBRE
VIBRACIÓN LIBRE
VIBRACIÓN LIBRE
EXCITACIÓN ARBITRARIA
EXCITACIÓN ARBITRARIA
EXCITACIÓN ARBITRARIA
EXCITACIÓN EN LA BASE
EXCITACIÓN EN LA BASE
EXCITACIÓN EN LA BASE
EXCITACIÓN EN LA BASE
EXCITACIÓN EN LA BASE
EXCITACIÓN EN LA BASE
IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASA
La segunda ley de Newton relaciona el movimiento de la masa con la fuerza inercial. La masa de una estructura esta distribuida en todos los elementos que la componen, aunque puede ser idealizada como una masa concentrada en los nudos de la estructura discretizada. MATRIX DE UNA MASA DISTRIBUIDA MATRIX DE UNA MASA CONCENTRADA
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
Teniendo en cuenta que un elemento pórtico plano es sometido a aceleraciones en sus extremos representadas por el vector ( ̈ ) . Estas aceleraciones inducen dentro del elemento aceleraciones transversales, ̈ y longitudinales ̈ , en todos sus puntos intermedios entre los extremos. En cualquier diferencial del elemento, dx, con su correspondiente masa diferencial, dm, se presentan unas fuerzas inerciales diferenciales que según la 2° Ley de Newton son iguales a:
Dfy= ̈
dm, para aceleraciones transversales
y a: Dfx= ̈
dm, para aceleraciones longitudinales.
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
Se podría plantear la siguiente ecuación matricial de equilibrio dinámico
El procedimiento para encontrar los términos de la matriz de la ecuación es fijar todos los grados de libertad de los extremos del elemento, excepto uno de ellos, y a este grado de libertad se le impone una aceleración unitaria.
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
Por lo tanto en cada diferencial de masa las fuerzas inerciales diferenciales que se general son las dadas por las ecuaciones anteriores.
Si los elementos tienes sección uniforme por unidad de longitud es m/L donde m es la masa total y L la longitud del elemento se podría llegar a la siguiente matriz de masa:
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA
Para transformar a coordenadas globales la matriz de masa consistente se emplea la siguiente ecuación:
Ejemplo Aplicativo
Encontrar las ecuaciones dinámicas de equilibrio sin amortiguamiento al centro de una viga empotrada en sus dos extremos. La viga tiene las siguientes propiedades: L=10m y su sección b=0.50m de ancho y h=0.50m de alto con un material que tiene una densidad por unidad de volumen γ=2,400kg/m3.
MASA CONCENTRADA
Dentro de un sistema estricto rigor las masas concentradas sólo pueden ser utilizadas en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, no obstante cuando la rigidez de algunos elementos es grande en comparación con la de otros, se realiza la aproximación de considerarlos infinitamente rígidos. Esta aproximación muchas veces puede simplificar la solución del problema dinámico enormemente. En un cuerpo rígido no existe posibilidad de deformación interna alguna, lo cual implica que las propiedades inerciales se pueden expresar en el centro de masa del cuerpo. Para poder explicar este hecho supongamos que tenemos un cuerpo rígido de espesor despreciable, como el que se muestra
MASA CONCENTRADA
MASA CONCENTRADA
Las resultantes de fuerzas inerciales que generan las aceleraciones se evalúan en el origen del sistema coordenado y tiene los siguientes valores:
MASA CONCENTRADA
Este mismo sistema de ecuaciones expresado de forma matricial, es el siguiente:
Lo cual equivale a:
MASA CONCENTRADA
Además evidente que cuando el origen del sistema coordenado se coloca en el centroide del cuerpo rígido, la matriz de masa toma la siguiente forma
La matriz es diagonal ya que las aceleraciones solo inducen fuerzas inerciales en la dirección y sentido de la misma aceleración.
MASA CONCENTRADA
Cuando se tiene un conjunto de cuerpos rígidos unidos entre si por medio de conexiones totalmente rígidas, es posible sumar los efectos de cada uno de ellos, y la forma de la matriz de masa del conjunto es la siguiente
ANÁLISIS DINÁMICO ESTRUCTURAL
Calcular Matriz de Rigidez Calcular Matriz de Masa Hallar las frecuencias naturales y periodos
Determinar los Modos de Vibración de la Estructura Normalizar los Modos de Vibración
ANÁLISIS DINÁMICO ESTRUCTURAL
Desacople de las ecuaciones de movimiento:
Solución de las ecuaciones con condiciones iniciales
ANÁLISIS DINÁMICO ESTRUCTURAL
Calculo de los Factores de Participación (α):
Cálculo de Masa Efectiva (
=
)
ANÁLISIS DINÁMICO ESTRUCTURAL
Elegir los periodos que sumen el 90% de la Masa participante Corregir de ser necesario la cortante basal obtenida de análisis estático corrigiendo el factor de Amplificación con el periodo crítico Determinar el espectro de respuesta y obtener las aceleraciones y desplazamientos máximos.
