INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2
EJERCICIOS DE CASOS ESPECIALES DE PROGRAMACIÓN BINARIA
EJERCICIO 1: El área metropolitana de Lima, ha recibido una donación para construir un conjunto de instalaciones nuevas para el tratamiento de drogadictos. Para ello se ha dividido el área en siete zonas y están considerando cinco posibles lugares para ubicar los centros de tratamiento de drogadictos. La siguiente tabla muestra las regiones, los posibles centros y los costos estimados para construir cada centro de tratamiento. Zonas I II III IV V VI VII Costos ($)
Surquillo x Si Si x Si x Si 400000
Comas x Si x Si x Si Si 250000
Barranco x x Si x Si x x 350000
Ate Si x Si x x Si x 200000
La Victoria x x x x x Si x 500000
SOLUCIÓN: Variables de decisión Xj: decisión de construir o no un centro en el distrito j Donde j = 1, 2, 3, 4, 5 (1 = Surquillo, 2 = Comas, 3 = Barranco, 4 = Ate, 5 = La Victoria) Función Objetivo Minimizar los costos de construcción de los centros Minimizar Z = 400 X1 + 250 X2 + 350 X3 + 200 X4 + 500 X5 Restricciones Zonas de construcción de los centros X4 >= 1 X1 + X2 >= 1 X1 + X3 + X4 >= 1 X2 >= 1 X1 + X3 >= 1 X2 + X4 + X5 >= 1 X1 + X2 >=1 Rango de existencia Xj = 0 ó 1 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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EJERCICIO 2: Hospital Estatal de la ciudad de Lima: paciente con una dieta especial que consta de dos alimentos. Requerimientos nutritivos mínimos por día: 1,000 unidades del nutriente A, 2,000 unidades del nutriente B y 1,500 unidades del nutriente C. Una onza del alimento 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Una onza del alimento 2 contiene 200 unidades del nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. El alimento 1 cuesta $6.00 por libra y el alimento 2 cuesta $8.00 por libra. Los costos de los pedidos para el alimento 1 son $5.00 y para el alimento 2 son $7.50.
SOLUCIÓN: Variables de decisión Xj: cantidad de onzas del alimento j que debe consumir diariamente el paciente Yj: decisión de utilizar o no el alimento j Donde j = 1, 2 Función objetivo Minimizar costos de preparación y envío de alimentos Minimizar Z = 0.375 X1 + 0.5 X2 + 5 Y1 + 7.50 Y2 Restricciones Requerimiento mínimo del nutriente A 100 X1 + 200 X2 >=1000 Requerimiento mínimo del nutriente B 400 X1 + 250 X2 >= 2000 Requerimiento mínimo del nutriente C 200 X1 + 200 X2 >= 1500 Disponibilidad de los alimentos X1 – M Y1 <=0 X1 – Y1 >=0 X2 – M Y2 <= 0 X2 – Y2 >= 0 Rango de existencia Xj >=0 y enteros Yj = 0 ó 1
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EJERCICIO 3: Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de ganado para su granja con el objeto de maximizar las utilidades provenientes de las ventas de los animales. Puede comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja necesita un acre de pasto y $15.00 de alimentación y tratamiento. Una oveja cuesta $25.00 y puede venderse en $60.00. Para las reses, estos valores son 4 acres, $30.00, $40.00 y $100.00. Y para las cabras, estos valores son 0.5 acres, $5.00, $10.00 y $20.00. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2500 para comprar y mantener su ganado. Por último, el granjero ha fijado un límite inferior al número de animales que desea adquirir, si es que compra alguno de cada tipo. Este límite inferior es de 50 para las ovejas, 25 para las reses y 100 para las cabras.
SOLUCIÓN: Variables de decisión Xi: cantidad de animales tipo i que se comprarán Donde i = 1, 2, 3 (1=oveja, 2=res, 3=cabra) Yi: decisión de comprar o no animales tipo i para la granja Donde i = 1, 2, 3 (1=oveja, 2=res, 3=cabra) Función Objetivo Maximizar las utilidades Maximizar Z = 20 X1 + 30 X2 + 5 X3 Restricciones Disponibilidad de tierra 1 X1 + 4 X2 + 0.5 X3 <= 300 Disponibilidad de dinero 40 X1 + 70 X2 + 15 X3 <= 2500 Cantidad mínima de animales a comprar X1 <= M Y1 50 – X1 <= M (1 – Y1) X2 <= M Y2 25 – X2 <= M (1 – Y2) X3 <= M Y3 100 – X3 <= M (1 – Y3) Rango de existencia Xi >= 0 y enteros Yi = 0 ó 1
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EJERCICIO 4: La Compañía DYNAMIX se encuentra en proceso de planear nuevas instalaciones de producción, y de desarrollar un diseño más eficiente de su sistema de distribución. Actualmente, la compañía ya cuenta con una planta en Chincha, cuya capacidad es de 30,000 unidades. Cuatro nuevos lugares potenciales para plantas: Ica, Arequipa, Chimbote y Trujillo. Costos Unitarios de Transporte ($ / und) Ica Arequipa Chimbote Trujillo Chincha Demanda Máxima (und)
Lima
Huancayo
Cuzco
5 4 9 10 8
2 3 7 4 4
3 4 5 2 3
30000
20000
20000
Capacidad de Planta (und) 10000 20000 30000 40000 30000
Costo Fijo ($) 175000 300000 375000 500000 -
SOLUCIÓN: Variables de decisión Yi: decisión de construir o no la planta i Donde i = 1, 2, 3, 4 (1 = Ica, 2 = Arequipa, 3 = Chimbote, 4 = Trujillo) Xij: Cantidad de unidades enviadas de la planta i a la ciudad destino j Donde i = 1, 2, 3, 4, 5 (1 = Ica, 2 = Arequipa, 3 = Chimbote, 4 = Trujillo, 5 = Chincha); j = 1, 2, 3 (1 = Lima, 2 = Huancayo, 3 = Cuzco) Función Objetivo Minimizar costos Minimizar Z = 5 X11 + 2 X12 + 3 X13 + 4 X21 + 3 X22 + 4 X23 + 9 X31 + 7 X32 + 5 X33 + 10 X41 + 4 X42 + 2 X43 + 8 X51 + 4 X52 + 3 X53 + 175000 Y1 + 300000 Y2 + 375000 Y3 + 500000 Y4 Restricciones Capacidad mínima y máxima de las plantas X11 + X12 + X13 – 10000 Y1 <= 0 X11 + X12 + X13 – Y1 >= 0 X21 + X22 + X23 – 20000 Y2 <= 0 X21 + X22 + X23 – Y2 >= 0 X31 + X32 + X33 – 30000 Y3 <= 0 X31 + X32 + X33 – Y3 >= 0 X41 + X42 + X43 – 40000 Y4 <= 0 X41 + X42 + X43 – Y4 >= 0 X51 + X52 + X53 <= 30000 Demanda de las ciudades X11 + X21 + X31 + X41 + X51 >= 30000 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 >= 20000
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X13 + X23 + X33 + X43 + X53 >= 20000 Rango de existencia Xij >= 0 y enteros Yi = 0 ó 1
EJERCICIO 5: La compañía DYNAMIX tiene tres alternativas para ubicar un nuevo almacén que dé servicio a la parte norte de Perú. Existen 5 clientes importantes en esta región. En la siguiente tabla se muestran los datos pertinentes de oferta, demanda y costos de transporte (dólares por tonelada). Capacidad del Almacén (miles de toneladas) Piura 50000 200 Trujillo 30000 150 Chimbote 90000 300 Pronóstico de la demanda (miles de tonelada)
Ubicación Costo de del Ubicación Almacén ($)
Ubicación del Cliente Tumbes Cajamarca Pacasmayo Huaraz Casma 20 30 5
20 40 25
40 15 30
45 20 35
35 45 35
75
50
35
75
35
SOLUCIÓN: Variables de decisión Xij: cantidad de miles de unidades que se envían desde almacén i hasta el cliente j Yi: decisión de utilizar o no el almacén i Donde i = 1, 2, 3 (1 = Piura, 2 = Trujillo, 3 = Chimbote); j = 1, 2, 3, 4, 5 (1 = Tumbes, 2 = Cajamarca, 3 = Pacasmayo, 4 = Huaraz, 5 = Casma) Función Objetivo Minimizar costos Minimizar Z = 20 X11 + 20 X12 + 40 X13 + 45 X14 + 35 X15 + 30 X21 + 40 X22 + 15 X23 + 20 X24 + 45 X25 + 5 X31 + 25 X32 + 30 X33 + 35 X34 + 35 X35 + 50000 Y1 + 30000 Y2 + 90000 Y3 Restricciones Requerimientos de los clientes X11 + X21 + X31 = 75 X12 + X22 + X32 = 50 X13 + X23 + X33 = 35 X14 + X24 + X34 = 75 X15 + X25 + X35 = 35 Disponibilidad de los almacenes DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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X11 + X12 + X13 + X14 + X15 – 200 Y1 <= 0 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 – Y1 >= 0 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 – 150 Y2 <= 0 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 – Y2 >= 0 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 – 300 Y3 <= 0 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 – Y3 >= 0 Ubicación de un nuevo almacén Y1 + Y2 + Y3 = 1 Rango de existencia Xij >= 0 y enteros Yi = 0 ó 1
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