466
CAPÍTULO 6 Esfuerzos en vigas (temas avanzados) Los esfuerzos máximos de tensión y compresión en las tapas de aluminio se determinan con la ecuación (6.6a):
(s 1)máx
M (h/2)( E 1) E 1 I 1
E 2 I 2
(3.0 kN m)(8 m)(80 0 mm)(72 mm)(72 GPa) GPa) 2
910 91 0 200 200 N m
19.0 MPa
Las cantidades correspondientes para el núcleo de plástico (de la ecuación 6.6b) son (s 2)máx
M (hc /2)( E 2) E 1 I 1
E 2 I 2
(3.0 kN m)(75 mm)(800 MPa) 910 200 N m2
0.198 MPa
Los esfuerzos máximos en las caras son 96 veces mayores que los esfuerzos máximos en el núcleo, debido principalmente a que el módulo de elasticidad del aluminio es 90 veces mayor que el del plástico. (b) Esfuerzos normales calculados con la teoría aproximada para vigas com puestas. En la teoría aproximada ignoramos los esfuerzos normales en el núcleo y suponemos que las caras transmiten todo el momento flexionante. Luego, los esfuerzos máximos de tensión y compresión en las caras se pueden encontrar con las ecuaciones (6.9a) y (6.9b), como sigue: (s 1)máx
Mh 2I1
(3.0 kN m)(80 mm) 12.017
106 mm4
20.0 MPa
Como se esperaba, la teoría aproximada proporciona esfuerzos ligeramente mayores en las caras que la teoría general para vigas compuestas.
6.3 MÉTODO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA El método de la sección transformada es un procedimiento alternativo para analizar esfuerzos de flexión en una viga compuesta. El método se basa en las teorías y ecuaciones desarrolladas en la sección anterior, y por lo tanto está sujeto a las mismas limitaciones limitaci ones (por ejemplo, sólo es válido para materiales linealmente elásticos) y proporciona los mismos resultados. Si bien el método de la sección transformada no reduce el trabajo de cálculo, muchos diseñadores consideran que proporciona una forma conveniente para visualizar y organizar los cálculos. El método consiste en transformar la sección transversal de una viga compuesta en una sección transversal equivalente de una viga imaginaria que está hecha sólo con un material. Esta nueva sección transversal se denomina sección transformada. Luego la viga imaginaria con la sección
SECCIÓN 6.3 Método de la sección transformada
467
transformada se analiza de la manera usual para una viga de un material. Como paso final, los esfuerzos en la viga transformada se convierten en los de la viga original.
Eje neutro y sección transformada
b1
Para que la viga transformada sea equivalente a la viga original, su eje neutro debe estar ubicado en el mismo lugar y su capacidad de resistencia de momento debe ser la misma. Para demostrar cómo se cumplen estos requisitos, considere de nuevo una viga compuesta de dos materiales (figura 6.9a). El eje neutro de la sección transversal se obtiene con la ecuación (6.3), que se repite a continuación:
y 1
z 2
E 1 y dA
E 2 y dA
1
2
0
(6.11)
O b2 (a)
En esta ecuación, las integrales representan los momentos estáticos de las dos partes de la sección transversal con respecto al eje neutro. Ahora introducimos la notación
b1
E 2
n
E 1
(6.12)
y
donde n es la razón modular. Con esta notación, podemos rescribir la ecuación (6.11) en la siguiente forma:
1
z 1
O nb2
y dA 1
yn dA
0
(6.13)
2
(b)
FIGURA 6.9
Viga compuesta de dos materiales: (a) sección transversal real y (b) sección transformada que consiste sólo del material 1.
Como las ecuaciones (6.11) y (6.13) son equivalentes, la ecuación anterior muestra que el eje neutro no cambia si cada elemento de área dA en el material 2 se multiplica por el factor n, siempre que la coordenada y para cada elemento de área no cambie. Por tanto, podemos crear una sección transversal que consista sólo de dos partes: (1) área 1 con sus dimensiones sin cambiar y (2) área 2 con su ancho (es decir, su dimensión paralela al eje neutro) multiplicada por n. Esta nueva sección transversal (la sección transformada) se muestra en la figura 6.9b para el caso en que E 2 > E 1 (y por tanto n > 1). Su eje neutro está en la misma posición que el eje neutro de la viga original. (Observe que todas las dimensiones perpendiculares al eje neutro permanecen iguales.) Puesto que el esfuerzo en el material (para una deformación unitaria dada) es proporcional al módulo de elasticidad (s = E ) , observamos que al multiplicar el ancho del material 2 por n = E 2 / E 1 equivale a transformarlo en el material 1. Por ejemplo, suponga que n = 10. Entonces, el área de la parte 2 de la sección transversal ahora es 10 veces más ancho que antes.
468
CAPÍTULO 6 Esfuerzos en vigas (temas avanzados) Si imaginamos que esta parte de la viga ahora es el material 1, vemos que soportará la misma fuerza que antes debido a que su módulo se reduce por un factor de 10 (de E 2 a E 1) al mismo tiempo que su área se aumenta por un factor de 10. Por tanto, la sección nueva (la sección transformada) consiste sólo de material 1.
Relación momento-curvatura La relación momento-curvatura para la viga transformada puede ser la misma que para la viga original. Para demostrar que en efecto este es el caso, observamos que los esfuerzos en la viga transformada (ya que consiste sólo de material 1) están dados por la ecuación (5.7) de la sección 5.5: E 1k y
s x
Al utilizar esta ecuación y también siguiendo el mismo procedimiento que para la viga de un material (consulte la sección 5.5), podemos obtener la relación momento-curvatura para la viga transformada:
M
y dA
y dA
s x A
s x
1
2
E 1k y2 dA
E 1k y 2 dA
1
2
o
y dA
s x
M
k
( E 1 I 1
k
E 2 I 2)
( E 1 I 1
E 1 nI 2)
(6.14)
Esta ecuación es la misma que la ecuación (6.4) lo que demuestra que la relación momento-curvatura para la viga transformada es igual que la de la viga original.
Esfuerzos normales Como la viga transformada consiste sólo de un material, los esfuerzos normales (o esfuerzos de flexión) se pueden determinar con la fórmula estándar de la flexión (ecuación 5.13). Por tanto, los esfuerzos normales en la viga transformada para el material 1 (figura 6.9b) son
M y s x 1
I T
(6.15)
donde I T es el momento de inercia de la sección transformada con respecto al eje neutro. Al sustituir en esta ecuación, podemos calcular los esfuerzos en cualquier punto de la viga transformada. (Como se explica más adelante, los esfuerzos en la viga transformada concuerdan con los de la viga original en la parte de ésta que consiste de material 1; sin embargo, en la parte de la viga original que consiste de material 2, los esfuerzos son diferentes de los de la viga transformada.)
SECCIÓN 6.3 Método de la sección transformada
469
Es fácil verificar la ecuación (6.15) al observar que el momento de inercia de la sección transformada (figura 6.9b) está relacionado con el momento de inercia de la sección original (figura 6.9a) mediante la siguiente relación: I T
I 1
nI 2
E 2
I 1
E 1
I 2
(6.16)
Al sustituir esta expresión por I T en la ecuación (6.15) da M yE 1
s x 1
E 1 I 1
(a)
E 2 I 2
que es la misma que la ecuación (6.6a), demostrando así que los esfuerzos en el material 1 en la viga original son iguales que los esfuerzos en la parte correspondiente de la viga transformada. Como se mencionó con anterioridad, los esfuerzos en el material 2 en la viga original no son iguales que los esfuerzos en la parte correspondiente de la viga transformada. En cambio, los esfuerzos en la viga transformada (ecuación 6.15) se deben multiplicar por la razón modular n para obtener los esfuerzos en el material 2 de la viga original: M y s x 2
I T
n
(6.17)
Podemos verificar esta fórmula observando que cuando la ecuación (6.16) para I T se sustituye en la ecuación (6.17), obtenemos s x 2
M ynE 1 E 1 I 1
E 2 I 2
M yE 2 E 1 I 1
E 2 I 2
(b)
que es igual a la ecuación (6.6b).
Comentarios generales En este análisis del método de la sección transformada elegimos transformar la viga original en una viga formada por completo de material 1. También es posible transformar la viga en el material 2. En ese caso los esfuerzos en la viga original en el material 2 serán iguales que los esfuerzos en la parte correspondiente de la viga transformada. Sin embargo, los esfuerzos en el material 1 en la viga original se deben obtener multiplicando los esfuerzos en la parte correspondiente de la viga transformada por la razón modular n, que en este caso se define como n = E 1 / E 2. También es posible transformar la viga original en un material que tenga cualquier módulo de elasticidad arbitrario E , en cuyo caso todas las partes de la viga se deben transformar en el material ficticio. Por supuesto, los cálculos son más simples si transformamos en uno de los materiales originales. Por último, con un poco de ingenuidad es posible ampliar el método de la sección transformada a vigas compuestas por más de dos materiales.
470
CAPÍTULO 6 Esfuerzos en vigas (temas avanzados)
Ejemplo 6.3 La viga compuesta que se muestra en la figura 6.10a está formada de una viga de madera (con dimensiones reales 4.0 in × 6.0 in) y una placa de refuerzo de acero (ancho de 4.0 in y espesor de 0.5 in). La viga está sometida a un momento flexionante positivo M = 60 k-in. Utilizando el método de la sección transformada, calcule los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la madera (material 1) y los esfuerzos máximo y mínimo de tensión en el acero (material 2) si E 1 = 1500 ksi y E 2 = 30,000 ksi. Nota: es la misma viga que analizó antes en el ejemplo 6.1 de la sección 6.2.
1
y
1
4 in
A
A
y h1
FIGURA 6.10
Ejemplo 6.3. Viga compuesta del ejemplo 6.1 analizada mediante el método de la sección transformada: (a) sección transversal original de la viga y (b) sección transformada (material 1).
z h2 2
h1
6 in
O
z
C B
4 in
6 in 0.5 in
O
h2
C
80 in
0.5 in 1
(a)
B
(b)
Solución Sección transformada. Transformaremos la viga original en una viga de material 1, lo que significa que la relación modular se define como n
E 2
30,000 k si
E 1
1500 k si
20
La parte de la viga hecha de madera (material 1) no se altera pero la parte hecha de acero (material 2) tiene su ancho multiplicado por la razón modular. Por tanto, el ancho de esta parte de la viga se convierte en (4 in)
n
20(4 in)
80 in
en la sección transformada (figura 6.10b). Eje neutro. Como la viga transformada consiste sólo de un material, el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal. Por tanto, con el borde superior de la sección sirviendo como una línea de referencia y con la distancia y1 medida positiva hacia abajo, podemos calcular la distancia h1 hasta el centroide como se muestra: h1
yi Ai
(3 in)(4 in)(6 in)
Ai 322.0 in 3 64.0 in 2
(4 in)(6 in)
(6.25 in)(80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)
5.031 in continúa
SECCIÓN 6.3 Método de la sección transformada
471
Además, la distancia h2 desde el borde inferior de la sección hasta el centroide es h2
6.5 in
h1
1.469 in
De esta manera determinamos la ubicación del eje neutro. Momento de inercia de la sección transformada. Al emplear el teorema del eje paralelo (consulte la sección 12.5 del capítulo 12), podemos calcular el momento de inercia I T de toda el área de la sección transversal con respecto al eje neutro como sigue:
I T
1 (4 in)(6 in) 3 12 1 12
(80 in)(0.5 in) 3
171.0 in4
h1
6 in s 1 A
z
O
h2
C
231.3 in4
1310 psi
M y
(60 k-in)( 0.969 in)
I T
231.3 in4
251 psi
4 in
Estos son los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la madera (material 1) en la viga original. El esfuerzo s1 A es de compresión y el esfuerzo s1C es de tensión. Esfuerzos normales en el acero (material 2). Los esfuerzos máximo y mínimo en la placa de acero se determinan multiplicando los esfuerzos correspondientes en la viga transformada por la razón modular n (ecuación 6.17). El esfuerzo máximo ocurre en el borde inferior de la sección transversal ( B) y el esfuerzo mínimo se tiene en el plano de contacto ( C ):
A
M y
6 in
s 2 B
0.5 in
80 in
FIGURA 6.10
I T
0.5
4 in
O
1
(60 k-in)(5.031 in)
B
h1
h2
0.25 in) 2
231.3 in4
M y
s 1C
y
z
(80 in)(0.5 in)( h2
Esfuerzos normales en la madera (material 1). Los esfuerzos en la viga transformada (figura 6.10b) en la parte superior de la sección transversal ( A) y en el plano de contacto entre las dos partes ( C ) son los mismos que en la viga original (figura 6.10a). Estos esfuerzos se pueden determinar a partir de la fórmula de la flexión (ecuación 6.15), como sigue:
A
1
60.3 in 4
3 in) 2
y
1
2
(4 in)(6 in)( h1
(b)
(Repetida.)
C
I T M y
s 2C
I T
n
n
(60 k-in)( 1.469 in) 231.3 in4 (60 k-in)( 0.969 in) 231.3 in 4
(20)
7620 psi
(20)
5030 psi
B
Los dos esfuerzos son de tensión. Observe que los esfuerzos calculados mediante el método de la sección transformada concuerdan con los determinados en el ejemplo 6.1 por aplicación directa de las fórmulas para una viga compuesta.
