Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden Ejemplo: Considere un circuito RLC con R=50ohms(Ω), L=0.1henry(H) R=50ohms(Ω), L=0.1henry(H) y C=5×104farad(F) . En el tiempo t=0, cuando tanto I(0) como Q (0) son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 110Volts,60Hz. Encuéntrese la corriente en el circuito. Hallar la corriente I(1). Considere h=1
Donde, los elementos mostrados son: 1. 2. 3. 4.
Un resistor con una resistencia R ohms Un inductor con una inductancia de L henries, Un capacitor con una capacitancia de C faradios, Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje E(t)de 110 V a 60 Hz, en el tiempo t.
Elementos del circuito
Símbolo Caída de Voltaje(representación Voltaje(representación diferencial)
Inductor
L
Resistor
R
iR
Capacitor
C
1
Fuente de corriente alterna
E(t)
Voltaje suministrado en el tiempo t
Valores
100 mH 50 Ω 500 μF 110 V a 60Hz
La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie. Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de E(t) en el tiempo xt, como lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto provoca una corriente I(t) en amperes en el circuito y una carga Q(t) en coulombs en el capacitor en el tiempo t. La relación entre las funciones I y Q es: () =
La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por unidad de tiempo que recorre un material. Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se obtienen de la experimentación. Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1, utilizamos una de las leyes de Kirchoff -la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos. Ley de Kirchoff (mallas) La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.
De modo que, sumando las caídas de voltaje e igualándolas al voltaje de la fuente de corriente alterna, tenemos:
+ +
1
= ()
Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una función como incógnita (digamos QQ), obtenemos: 1 + + = () Esto sería igual a: Si tomamos: = = ’ ’ = (0) = 0 = Y (0)
=
() +
’ = ’’
’ =
+ () Q (0) = 0 = X (0)
RESOLUCION POR METODO DE RUNGE KUTTA DE 4TO ORDEN PARA SISTEMAS ′ = (,,)
′ = (,,)
(,,) =
+
()
=
′
.
.∗∗
+
()
(,,) = Una frecuencia de 60Hz significa que ω=(2π)(60)rad/segω, ya que ω=2πf. Lo cual equivale a ω=377rad/seg. (, (), ()) =
′
.
dy/dx = f(x, y(x), z(x)), dz/dx = g(x, y(x), z(x)),
.∗∗
+
.() .
y(x0) = y0 z(x0) = z0
k 1 = h · f(xn, yn, zn) l1 = h · g(xn, yn, zn) k 2 = h · f(xn + h/2, yn + k 1/2, zn + l1/2) l2 = h · g(xn + h/2, yn + k 1/2, zn + l1/2) k 3 = h · f(xn + h/2, yn + k 2/2, zn + l2/2) l3 = h · g(xn + h/2, yn + k 2/2, zn + l2/2) k 4 = h · f(xn + h, yn + k 3, zn + l3) l4 = h · g(xn + h, yn + k 3, zn + l3) k = 1/6 · (k 1 + 2 · k 2 + 2 · k 3 + k 4) l = 1/6 · (l1 + 2 · l2 + 2 · l3 + l4) xn+1 = xn + h yn+1 = yn + k zn+1 = zn + l
Como h=1 k 1 = f(xn, yn, zn) =
.
+
.∗∗
.() .
= 377*11= 4147
l1 = g(xn, yn, zn) = y = 0
k 2 = f(xn + h/2, yn + k 1/2, zn + l1/2) = f(1/2, 4147/2, 0/2) =
.
∗
+
.()
.∗∗
.
= -1036750 -
∗ ∗
+ 4147 = -1042603
l2 = g(xn + h/2, yn + k 1/2, zn + l1/2) = g(1/2, 4147/2, 0) = 4147/2 = 2073.5 k 3 = f(xn + h/2, yn + k 2/2, zn + l2/2) = f(1/2, -1042603/2, 2073.5/2) =
.
∗
−
∗
∗
-
+ 4147 = 260644897
l3 = g(xn + h/2, yn + k 2/2, zn + l2/2) = g(1/2, -1042603/2, 2073.52) = - 521301.5 k 4 = f(xn + h, yn + k 3, zn + l3) = f(1, 260644897, - 521301.5) =
.
∗ 260644897 -
∗
+ 4147 = -130322464353
l4 = h · g(xn + h, yn + k 3, zn + l3) = g(1, 260644897, - 521301.5) = 260644897 k = 1/6 · (k 1 + 2 · k 2 + 2 · k 3 + k 4) = 1/6 · (4147 + 2 * -1042603+ 2 * 260644897 -130322464353) K = -21633875936.333332 l = 1/6 · (l1 + 2 · l2 + 2 · l3 + l4) = 1/6 · (2 *2073.5 + 2 * - 521301.5+ 260644897) I = 43267740.166666664
X1= x0 + h = 1 Y1 = y0 + k = -21633875936.333332
Y’1=Z1 = z0 + l = 43267740.166666664 POR LO TANTO: I (1) = -21633875936.333332
