Relacion de Orden

Apuntes Apuntes de Matem´ Mate m´ atica atica Discret Discretaa 7. Relaciones de Orden

Franc Fra ncis isco co Jos´ Jo s´ e Gonz´ Go nz´ alez al ez Guti´ Gu ti´ erre er rez z C´ adiz, adiz, Octubre de 2004

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Universidad de C´ adiz

Departamento de Matem´ aticas















Lecci´ on on 7

Relaciones de Orden Contenido 7.1

7.2

7.3

7.4

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.1. 7.1.1 1

Rela Relaci ci´ o ń de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.1. 7.1.2 2

Rela Relaci ci´ o ń de Orden Estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1.3 7.1.3

Proposi Proposici´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1.4 7.1.4

Proposi Proposici´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Conjuntos Or Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.2.1

Elementos Comparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.2.2

Orden Parcial y Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.2.3

Conjuntos Ordenados

Pro ducto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.3.1

Orden del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.3.2 7.3.2

Orden Orden Lexicog Lexicogr´ r´ afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Repres Represen entaci taci´ ´ on Gr Gr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.4.1

Diagrama de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.5 7.5

Orde Ordena naci ci´ ´ on on Topol´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.6 7.6

Elem Elemen ento tos s Carac Caracte ter r´ ısti ıstico cos s de un un Conj Conjun unto to Orde Ordena nado do . . . . . . . . . . . . . 177 177

7.6.1

Elemento Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.6.2

Elemento Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6.3

Existen tencia del Ma Maximal y Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6.4 7.6.4

Algori Algoritmo tmo para para la la Ordena Ordenaci´ ci´ on on Topol´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6. 7.6.5 5

Elem Elemen ento to M´ aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.6.6

Elemento M´ınimo

7.6.7 7.6.7

Unicid Unicidad ad del M´ aximo y el M´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6.8

Cota Sup erior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6.9

Cota Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.6.10 Conjunto Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
















7.1 7.1


Gener General alid idad ades es

Una relación on de orden es una relación on definida en un conjunto que verifica las propiedades reflexiva, antisim´ antis imétrica etri ca y transiti tran sitiva. va. Cuando en un conjunto hayamos definido una relación on de orden, diremos que el conjunto está ordenado con respecto a dicha relación. on. Los ret´ ret´ıculos y las álgebras algebras de Boole son conjunto conjuntoss ordenados ordenados con caracter caracter´´ısticas ısticas especiales. especiales. Estas estructuras algebraicas juegan un importante papel en la teor´ teor´ıa de conjuntos, as´ı como en problemas de ordenación o n y b´ usqueda usqueda (problemas éstos de especial inter´ interés es en la informática), atica), y en particular las algebras de Boole son importantes para la representación de circuitos lógicos. ´ algebras ogicos. Antes de comenzar fijaremos ideas con un par de ejemplos sencillos. Ejemplo 7.1

Dado el conjunto A = {a,b,c}, consideramos la relación on de inclusión on en el conjunto de

las partes de A. P (A) =

{∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a,b,c}}

La inclusión on es una relación on de orden ya que posee p osee las propiedades reflexiva, antisim´ etrica etrica y transitiva. transitiva. Podemos, por tanto, ordenar el conjunto

P (A):

∅ ⊆ {a} ⊆ { a, b} ⊆ {a,b,c} ∅ ⊆ {b} ⊆ {a, b} ⊆ { a,b,c} y as´ as´ı sucesivamente. sucesivamente. Ahora bien, considerando dos elementos de P (A), por ejemplo {a} y {c}, ni {a} est´ a incluido en {c} ni {c} en {a}, luego la relación on de inclusión on no sirve para ordenar todos los elementos  de P (A), diremos en tal caso que este conjunto está parcialmente ordenado.

7.1. 7.1.1 1

Rela Relaci ci´ on o ń de Orden

Una relaci´ on binaria R sobre un conjunto A se dice que es de orden, orden, si es reflexiva, reflexiva, antisim´ etrica etrica y transitiva.

Los ordenes órdenes más as comunes son las relaciones  y  en Z y en R. Por Por esta raz´ raz´ on cuando nos refiramos on en general a una relación on de orden en un conjunto A, usaremos lo s´ımbolos  y  para R . Esto Estoss son similares a los  y  que seguiremos utilizando cuando el conjunto sea Z o R. Si  es una relación on de orden sobre un conjunto A, entonces a  b se lee “a “ a precede a b” o “a es anterior a b”. Si a  b y a  = b, emplearem emplearemos os a  b y diremos que “a “a precede precede estrictam estrictament entee a b” o “a es estrictamente anterior a b”. a  b se lee “a “ a sucede a b” o “a es posterior a b” a  b se lee “a “ a sucede estrictamente a b” o “a es estrictamente posterior a b” .

















Matem´ atica Discreta

Francisco Jos´ e Gonz´ alez ale z Guti´ Gut i´ errez erre z

o lo que es igual a  b ⇐⇒ b − a ∈ Z0+ es decir, a  b ⇐⇒ ∃ k ∈ Z0+ : b − a = k Veamos si esta relación on cumple las condiciones exigidas. Reflexividad . En efecto, sea a elegido arbitrariamente en el conjunto de los enteros. Entonces,

a = a =⇒ a − a = 0; 0 ∈ Z0+ =⇒ a  a Antis Ant isim imet etr´ r´ıa ıa . Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces,

a  b ⇐⇒ ∃k1 ∈ Z0+ : b − a = k1 y b  a ⇐⇒ ∃k2 ∈ Z0+ : a − b = k2 por lo tanto,

 

=⇒ k1 = −k2 , con k1 y k2 en Z0+ =⇒ k1 = k2 = 0

b−a =0 y a−b =0 es decir, a=b y, consecuentemente, la relación es antisim´ antis imétrica. etri ca. Transitividad . En efecto, si a, b y c son tres n´ umeros enteros cualesquiera. Entonces umeros

a  b ⇐⇒ ∃k1 ∈ Z0+ : b − a = k1 y bc

⇐⇒ ∃k2 ∈ Z0+ : c − b = k2

 

=⇒ b − a + c − b = k1 + k2 k1 , k2 ∈ Z0+ =⇒ c − a = k, k = k1 + k2 ∈ Z0+ =⇒ a  c.

Por lo tanto, la relación es transitiva.

7.1. 7.1.2 2

Rela Relaci ci´ o on ń de Orden Estricto

Una relaci´ on R sobre un conjunto A se dice que es de orden estricto si es asim´ etrica etrica y transitiva. transitiva. Ejemplo 7.3

Probar que la relación on “menor que” es una relación on de orden estricto en Z.

Soluci´ on on Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces,

















Asim As imet etr´ r´ıa ıa . En efecto, si a y b son dos enteros cualesquiera.

a< b

⇐⇒ ∃k ∈ Z+ : b − a = k ⇐⇒ ∃k ∈ Z+ : a − b = −k ⇐⇒ a − b ∈ / Z+ ⇐⇒ a − b  = k ; ∀k ∈ Z+ =⇒

ba

Por lo tanto, la relación propuesta propuest a es asimétrica. etrica. umeros enteros cualesquiera. Entonces umeros Transitividad . En efecto, si a, b y c son tres n´

a< b

⇐⇒ ∃k1 ∈ Z+ : b − a = k1

y b< c

⇐⇒ ∃k2 ∈ Z+ : c − b = k2

 

=⇒ b − a + c − b = k1 + k2 k1 , k2 ∈ Z+ =⇒ c − a = k, k = k1 + k2 ∈ Z+ =⇒ a < c.

Por lo tanto, la relación es transitiva.



Observemos que la relación on de orden definida en Z como “menor o igual” puede definirse a través es de la relaci´ rela ción on de orden estricto “menor que”. En efecto, si a y b son dos enteros arbitrarios,

Nota 7.1

a  b ⇐⇒ a < b ∨ a = b

y tambi ta mbi´én en



















menor o igual que b o b no es menor o igual que a. En efecto,

0 a = b ⇐⇒ b − a = ⇐⇒ b − a ∈ Z \ {0} ⇐⇒ b − a ∈ Z ∪ Z+ −

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

         

b−a ∈Z

−

∨ b − a ∈ Z+ b−a ∈Z

−

∨ a−b∈Z

−

b−a  = k ; ∀k ∈ Z+

∨ a−b = k ; ∀k ∈ Z+ ba

∨ ab ba

∨ ab 

A continuación on veremos que a partir de una relación on de orden puede definirse una de orden estricto y viceversa.

7.1. 7.1.3 3

Propo Proposi sici ci´ on o ń

Sea  una relaci´ on de orden definida sobre un conjunto A y sea  otra relaci´ on sobre A definida en



















lo cual es imposible. Por lo tanto,  es asim´ as imétric et rica. a. Transitiva. En efecto, sean a, b y c tres elementos arbitrariamente elegidos en A. Pues bien, si ab ∧ bc por (7.1), tendremos que (a  b ∧ a  = b) ∧ (b  c ∧ b  = c) es decir, (a  b ∧ b  c) ∧ (a  =b ∧ b = c) . Veamos que si a  =b ∧ b = c, entonces a  = c. En efecto, si fuese a = c, tendr´ ten dr´ıamos ıam os (a  b ∧ b  a) ∧ (a  =b ∧ b = a) lo cual, por la antisimetr´ a ntisimetr´ıa ıa de  nos llevar´ llevar´ıa a la contradicción, a=b ∧ a = b. As´ı pues pu es,, ( a  b ∧ b  c) ∧ a  =c y por la transitividad de , resulta ac ∧ a =c es decir, ac y, consecuentemente,  es transitiva.

7.1. 7.1.4 4



Propo Proposi sici ci´ on o ń

Sea  una relaci´ relaci´ on de orden orden estricto estricto definida definida sobre sobre un conjun conjunto to A y sea  otra relaci´ on sobre sobre A definida en la forma a  b si, y s´ olo si a  b ´ o a = b. Entonces  es una relaci´ on de orden sobre A.

Demostraci´ on on



















entonces, por (7.2), (a  b ∨ a = b) ∧ (b  a ∨ a = b) ∧ (a  = b) es decir, [(a [(a  b ∧ b  a) ∨ (a = b)] ∧ (a  = b) pero a  b y b  a contradice la asimetr´ıa ıa de , luego (a = b) ∧ (a  = b) lo cual es una contradicción, on, por lo tanto  es antisim´ antis imétrica. etri ca. Transitiva. En efecto, sean a, b y c tres elementos arbitrarios de A. Pues bien, si ab ∧ bc entonces por (7.2), (a  b ∨ a = b) ∧ (b  c ∨ b = c) de aqu´ı que qu e (a  b ∧ b  c) ∨ (a  b ∧ b = c) ∨ (a = b ∧ b  c) ∨ (a = b ∧ b = c) y por ser  transitiva, transiti va, nos quedar´ıa ıa que (a  c) ∨ (a  c) ∨ (a  c) ∨ (a = c) es decir, ac ∨ a=c por lo tanto, y de nuevo por (7.2), a  c. 

7.2 7.2 7.2.1 7.2.1

Conj Conjun untos tos Ordena Ordenados dos Elemen Elementos tos Comparab Comparables les

Dados dos elementos a y b de un conjunto A sobre el que se ha definido una relaci´ on de orden , diremos diremos que son comp compar arables ables si uno de ellos es anterior anterior al otro. otro. En caso contra contrario rio se dice dice que a y b son “no comparables”.

















Universidad de C´ adiz Ejemplo 7.4


Probar que la relación on de orden “menor o igual” definida en el conjunto Z de los n´ umeros umeros

enteros es total. Soluci´ on on En efecto, sean a y b dos enteros cualesquiera, veamos que a  b o b  a, es decir, todos los números umeros enteros son comparables por la relación. on. Como a y b est´ an arbitrariamente elegidos, puede ocurrir que sean iguales o distintos. Pues bien, an

0 a=b ∨ a = b ⇐⇒ a = b ∨ b − a = ⇐⇒ a = b ∨ b − a ∈ Z \ {0} ⇐⇒ a = b ∨ b − a ∈ Z ∪ Z+ −

         

⇐⇒ a = b ∨

⇐⇒ a = b ∨

⇐⇒ a = b ∨

∃k ∈ Z : b − a = k −

∨ ∃k ∈ Z+ : b − a = k a − b = −k, con − k ∈ Z+

∨ b − a = k, con k ∈ Z+ b< a

∨ a< b

a = b ∨ b< a

⇐⇒

∨

a = b ∨ a< b

ba

⇐⇒

∨

ab

Por tanto, la relación on de orden “menor o igual” definida en el conjunto de los números umeros enteros es total. 



















luego,

∃k ∈ Z+ : a = a · k de aqu´ı que





∀a a ∈ Z+ =⇒ a  a es decir, la relación on de divisibil divisibilidad idad es, en efecto, reflexiva . Antis Ant isim´ imétri et rica ca . Sean a y b dos elementos cualesquiera de

ab ∧ ba

   

Z+ , entonces

∃k1 ∈ Z+ : b = a · k1 ∧ ∃k2 ∈ Z+ : a = b · k2

⇐⇒

si ahora sustituimos la segunda ecuación on en la primera, primera, tendremos tendremos b = b · k1 · k2 ⇐⇒ k1 · k2 = 1 ⇐⇒ k1 = k2 = 1 consecuentemente, a = b. De aqu´ı que

∀a, b ∈ Z (a  b ∧ b  a =⇒ a = b) es decir, la relación on propuesta es anti an tisi sim´ m´ etri et rica ca . umeros enteros arbitrarios. umeros Transitiva . Sean a, b y c tres n´ ab ∧ bc

    ⇐⇒

∃k1 ∈ Z+ : b = a · k1 ∧ ∃k2 ∈ Z+ : c = b · k2

Sustituyendo la segunda ecuación on en la primera, tendremos que c = a · k1 · k2 : k1 · k2 ∈ Z luego, ac o sea,

∀a,b,c ∈ Z (a  b ∧ b  c =⇒ a  c) la relación, on, por tanto, es transitiva .





















(a) A = Z y a R b ⇐⇒ a = 2b 2b umero entero, entonces 1 = umero  2 · 1, luego 1 R / 1, de aqu´ı que Reflexiva . Consideremos el 1, n´

∃a : a ∈ Z ∧ a R /a La relación on propuesta no es, por tanto, reflexiva y, consecuentemente, no es de orden. (b) A = Z y a R b ⇐⇒ a2 |2b umero entero 3, entonces Reflexiva . Consideremos el número 32 no divide a 2 · 3 de aqu´ı que 3 R / 3, es decir,

∃a : a ∈ Z ∧ a R /a por tanto, al igual que en el apartado anterior, la relación propuesta es no reflexiva y, consecuentemente, no es de orden. (c) A = Z y a R b ⇐⇒ ∃ k ∈ Z : a = bk umero umero entero a, se verifica que a = a1 , luego Reflexiva . Dado cualquier n´

∃k ∈ Z+ (k = 1) : a = ak de aqu´ı que

∀a (a ∈ Z =⇒ a R a)





















Por tanto, la relación on es de orden. Veamos de que tipo es. Tomando los enteros 2 y 3, se verifica que

 3 k , ∀k ∈ Z+ y 3 =  2 k , ∀k ∈ Z+ 2= luego, 2 R / 3 ∧ 3 R /2 es decir,

∃a, b ∈ Z : (a ( a R / b ∧ a R / b) es decir, existen en Z elementos no comparables con la relación on propuesta, de aqu´ aqu´ı que esta sea de  orden parcial . Determinar si la relación on de inclusión on definida en el conjunto A = P (S ), ), donde S es un conjunto cualquiera es una relación on de orden total.

Ejemplo 7.7

Soluci´ on on A = P (S ), ), donde S es un conjunt conjunto o cualquier cualquiera a y R la inclusión on de conjuntos. Esta relación on es claramente reflexiva, antisim´ a ntisimétrica etrica y transitiva tran sitiva (ver lecci´ l ección de teor´ teor´ıa de conjuntos), luego es de orden. El siguiente ejemplo prueba que el orden es parcial. En efecto, sea S = {a,b,c} y P (S ) =

{∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {a,b,c}}




















7.3.1 7.3.1


Orden Orden del del Produ Producto cto

Si (A, 1 ) y (B, 2 ) son dos conjuntos parcialmente ordenados, entonces {A × B, } tambi´ tam bién en lo es con el orden definido por 







(a, b)  (a , b ) ⇐⇒ a 1 a ∧ b 2 b Demostraci´ on on

Veamos que la relación on definida cumple las tres condiciones condiciones que caracteriz caracterizan an las relaciones relaciones de orden. orden. (a, b) un elemento arbitrario de A × B . Entonces Reflexiva . Sea (a, (a, b) ∈ A × B

⇐⇒ a ∈ A ∧ b ∈ B =⇒

a 1 a ∧ b 2 b {Reflexividad en (A, (A, 1 ) y {B, 2 }}

⇐⇒ (a, b)  (a, b) luego,

∀(a, b) [(a, [(a, b) ∈ A × B =⇒ (a, b)  (a, b)] es decir, la relación on propuesta es, en efecto, reflexiva. (a, b) y (a , b ) dos elementos cualesquiera de A × B . Entonces, Antis Ant isim´ imétri et rica ca . Sean (a, 

(a, b)  (a , b ) ∧ (a , b )  (a, b) 







 

⇐⇒



  

a 1 a ∧ b 2 b ∧ a 1 a ∧ b 2 b 







a 1 a ∧ a 1 a en A 























Por tanto, la relación on  definida en el producto cartesiano A × B es de orden. Lo llamaremos llamaremos el orden  del producto. Ejemplo 7.9

En Z+ × Z+ y definimos la siguiente relación: 





(a, b)  (a , b ) ⇐⇒ a |a ∧ b  b



donde  es el orden usual. Demuestre que  es de orden. Soluci´ on on Recordemos que la relación on de divisibilidad “ |” sobre el conjunto de los enteros positivos, es de orden parcial. Veamos si la relación on propuesta es de orden. (a, b) un elemento arbitrario de A × A. Entonces, Reflexiva . Sea (a, a |a , por ser “|” reflexiva ∧ b  b, por ser “” reflexiva luego, (a, b)  (a, b) es decir,

∀(a, b) ((a, ((a, b) ∈ A × A =⇒ (a, b)  (a, b)) o sea,  es reflexiva . ( a, b) y (a b ) cualesquiera de A × A Antis Ant isim´ imétri et rica ca . Sean (a, 























As´ı pues pu es,, 























∀(a, b), (a , b ), (a , b ) ∈ A × A ((a, ((a, b)  (a , b ) ∧ (a , b )  (a , b ) =⇒ (a, b)  (a , b )) es decir,  es transitiva .

Consecuentemente, la relación on propuesta es de orden, siendo éste parcial por serlo la relación on de divisi bilidad.

7.3.2

Orden Lexicogr´ afico afico

Un orden muy ´ util en el producto A × B , siendo (A, 1 ) y (B, 2 ) dos conjuntos parcialmente ordenados, es el definido de la forma siguiente: 









(a, b)  (a , b ) ⇐⇒ a 1 a ∨ (a = a ∧ b 2 b ) =a. donde a 1 a si a 1 a y a  





Demostraci´ on on Veamos que esta relación on es, en efecto, una relación on de orden























( a, b), (a , b ) y (a , b ) tres elementos cualesquiera de A × B . Entonces, Transitiva . Sean (a, 



(a, b)  (a , b ) 



∧ (a , b )  (a , b ) 









 



⇐⇒

⇐⇒

      

a 1 a ∨ (a = a ∧ b 2 b ) 





∧ a 1 a 



∨ (a = a 



∧ b 2 b ) 



(a 1 a ∧ a 1 a ) 





∨ (a 1 a ) ∧ (a = a 





∧ b 2 b ) 



∨ (a = a ∧ b 2 b ) ∧ (a 1 a ) 

∨





























En efecto, sean (a, ( a, b) y (a , b ) cualesquiera de A × B . Como 1 es de orden total 







a 1 a ∨ a 1 a es decir, 







(a 1 a ∨ a = a ) ∨ (a 1 a ∨ a = a) luego 





a 1 a ∨ a 1 a ∨ a = a . Pues bien, si a 1 a , entonces (a, (a, b)  (a , b ) 





si a 1 a, entonces (a (a , b )  (a, b) 





si a = a , entonces como 2 es de orden total 

 

b 2 b , luego (a, (a, b)  (a , b ) 





∨ 

luego (





)

(

)























El ordenamiento lexicográfico afico puede extenderse fácilmente acilmente al producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An en la forma siguiente:

Nota 7.4







(a1 , a2 , . . . , an )  (a1 , a2 , . . . , an ) ⇐⇒

     

a1  a1 ∨ a1 = a1 ∧ a2  a2 ∨ a1 = a1 ∧ a2 = a2 ∧ a3  a3 ∨ ············ ∨ a1 = a1 ∧ a2 = a2 ∧ · · · ∧ an 















−1

= an 

−1

∧ an  an 

La primera coordenada predomina excepto para la igualdad, en cuyo caso se examina la segunda coordenada. Si la igualdad igualdad se mantiene mantiene nuevamen nuevamente, te, se pasar´ pasará a la siguiente coordenada y as´ as´ı sucesivamente. sucesivamente. 

{

}























amando  amante ∗

en Σ ya que amando  amante en Σ6 . Obs´ Obs érves erv esee que ama  amando y






















7.4 7.4 7.4.1 7.4.1


Repr Represe esen ntaci taci´ on o ń Gr´ afica afica Diagr Diagram ama a de Hasse Hasse

Dada una relaci´ on de orden, , sobre un conjunto A, un diagrama de Hasse es un grafo dirigido de la misma simplificado seg´ un los criterios siguientes:

1. Dado que toda relación on de orden es reflexi reflexiv va, en cada punto punto de su digraf digrafo o habr´ habrá un bucle. Simplificaremos el dibujo eliminándolos todos. 2. Como toda toda relaci´ relación on de orden es transitiva, suprimimos todos los arcos del digrafo que se obtenga al hallar el cierre cierre transitivo transitivo de los restantes. restantes. De esta forma, forma, si a  b y b  c, se sigue que a  c. En este caso omitiremos la arista que va desde a hasta c y mantendremos las que van desde a hasta b y desde b a c. 3. Al igual que en un digrafo, cada punto de A lo representamos por un punto del plano, aunque

























y el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado {P (A), ⊆} es:

{a,b,c}























a •

4 •

• 5






















Departamento de Matem´ aticas 

Describir las parejas ordenadas de la relación determinada por el siguiente diagrama de Hasse de en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.

Ejemplo 7.17























5 •

4

5 •

4 •






















30 •


32 •

72 •

16 •

36 •

60 • 12

• 30



















































































































































































































































































Relacion de Orden

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