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Minithèse Dynamique des structures
Amortisseurs de FRAHM…
PALUSSIERE David ICAM site de Vendée
13/10/2009
Amortisseurs de FRAHM Sommaire INTRODUCTION AUX AMORTISSEURS FRAHM .................................................................... 2 Modélisation..............................................................................................................................................4
APPROCHE THÉORIQUE.......................................................................................................... 4 EXEMPLES D’APPLICATION.................................................................................................... 8 Dans les bâtiments...................................................................................................................................8 Dans l’industrie.........................................................................................................................................8 Dans l’automobile.....................................................................................................................................8 Dans les applications modernes et variées............................................................................................8
CONCLUSION............................................................................................................................. 9 Les inconvénients.....................................................................................................................................9 Les avantages...........................................................................................................................................9
BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................................ 9 Livres ........................................................................................................................................................9 Sites Internet.............................................................................................................................................9
ANNEXE I : BREVET DÉPOSÉ PAR HERMAN FRAHM (PATENT # 989958) EN 1911 .......10
Introduction aux amortisseurs FRAHM Introduction aux amortisseurs FRAHM Un système sur lequel agit une force d'alternance régulière et de fréquence constante peut être soumis à des vibrations impactant les performances et la longévité de l'équipement, notamment en condition de résonance. Pour améliorer une telle situation, il existe plusieurs méthodes. La plus logique semble tout d’abord d’essayer d'éliminer la force excitatrice mais la plupart du temps ce n'est pas pratique ou bien impossible. Une autre solution consiste à changer la masse ou la raideur du système afin de le tenir à l'écart de la condition de résonance, mais dans certains cas cela aussi semble peu réaliste. Une troisième possibilité est dans la mise en place d’un amortisseur de FRAHM où d’un absorbeur de vibrations dynamique. C’est cette dernière solution que porte notre étude. On désigne sous le nom de FRAHM un dispositif permettant d’atténuer, sur une gamme de fréquences déterminées, les vibrations d’un système mécanique. Cet amortisseur de vibration dynamique a été inventé en 1909 par Hermann FRAHM (US Patent # 989958, délivré en 1911 : Annexe I). L’optimisation de ce type d’amortisseur est de limiter le mouvement de la masse principale dans une gamme de fréquence aussi large que possible, correspondant aux fréquences d’utilisation. C’est ce que nous allons étudier dans la partie théorique. Je me suis permis d’écrire 7 pages au lieu de 5 car les calculs prennent de la place et je préférais une mise en page aéré. Page 2/18
Amortisseurs de FRAHM
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Amortisseurs de FRAHM Modélisation Dans la figure ci-contre, nous allons assimiler le couplage
k 1 ,
m1
comme
la
représentation
schématique d’une machine ou d’un système à l’étude, avec la force
F 0
sin ω t agissant dessus. L’amortisseur
quand à lui, consiste à un petit système vibrant similaire au précédent mais de couple k 2 , m2 et suspendu à la masse principale. La fréquence naturelle
k / m
du
système secondaire est choisi égale à la fréquence ω de la force d’excitation. FRAHM démontre que le
mouvement de la masse principale est réduite à zéro, et que le petit système de couple k 2 , m2 vibres de tel manière que ses oscillations sont à tout instant égales et opposées à
F 0
sin ω t . Les forces sont
annulées sur la masse principale qui ne vibre plus. En d’autres termes, l’atténuation des vibrations du système principale est obtenue par un transfert d’énergie sur le système auxiliaire. Pour démonter cette affirmation, je vais décrire une approche théorique d’un amortisseur de FRAHM jusqu’à sa représentation graphique.
Approche théorique Approche théorique Principe Fondamental de la Dynamique : Toujours sur la base de la figure ci-dessus et pour correspondre à notre maquette, je vais démontrer l’efficacité « théorique » d’un amortisseur de FRAHM en régime permanent. Tout d’abord, on peut écrire les équations du principe fondamental de la dynamique :
1 m1 x 2 m 2 x
+ k 1 x1 +k 2 +k 2
( x1
Il apparaît uniquement les membres
−
( x1
x2 )
x1 , x1
− x2 =
)
= F
cos( ω t )
0
(1) (2)
2 , x 2 et non les dérivés et x
x1
2 . En effet, une et x
fonction cosinus reste une fonction cosinus après 2 dérivations. On cherche à amortir le système principal ( m1 , k 1 ) en diminuant son amplitude pour sa période de résonance. Pour cela on doit déterminer l’amplitude
A1
).
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en fonction du système secondaire ( m2 , k 2
Amortisseurs de FRAHM Equation différentielle Les déplacements en régime permanents sont des fonctions harmoniques de même pulsation que la force excitatrice. On peut écrire : ) x1 = X 1 cos( ω t − ϕ 1 x2
= X 2
(3)
cos( ω t − ϕ 2 )
(4)
La solution la plus simple consiste à rechercher les déplacements
x1 et
x 2 dont
X 1
et X 2 sont les
parties réelles. On obtient : j (ω t −ϕ 1 )
x1
=
X 1.e
x2
=
X 2 .e j
(ω t −ϕ 2 )
On peut dire que la force complexe est f
X 1.e
=
X 2 .e jω t
F .e
=
−
=
jϕ 1
−
×
jϕ 2
e
×
jω t
e j
ω t
jω t
=
A1.e
=
A2 .e j
ω t
(5) (6)
. A partir de cela et des équations (1),(2) et (5),(6),
il est possible d’écrire les relations suivantes : ² m1 A1
− ω
+ k 1 A1 + k 2
− ω ² m2 A2 + k 2 ( A1 −
( A1
− A2
)
= F
A2 ) = 0
(7) (8)
*Rq : Les parties imaginaires apparaitraient si on avait un amortissement. Ces équations permettent de déterminer les nombres complexes X 1
A1
et A2 , et donc les amplitudes
et X 2 . L’amortisseur de Frahm consiste à diminuer l’amplitude du mouvement de la masse
principale, soit diminuer A1 . A partir de l’équation (7), on peut écrire : A1 = F
(k 2 (( k 1
−
ω ² m1 )( k 2
ω ² m2 ) − ω ² m2 ) − ω ² m2 k 2 )
−
Simplification de l’expression On va ensuite modifier l’expression précédente avec les équations ci-dessous afin de pouvoir exprimer l’amplitude pour faire ressortir les termes qui nous intéressent, a savoir F , k 1 , α , β , ε .
ε
=
m2
ω 1
=
ω 2
=
α
Rapport entre la masse de l’amortisseur et la masse principale
m1
=
β =
k 1 m1 k 2 m2
ω 2 ω 1
Pulsation propre de l’oscillateur principal
Pulsation propre de l’amortisseur auxiliaire
Rapport entre les pulsations propres
ω Rapport entre la pulsation forcé et la pulsation de l’oscillateur principal ω 1
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Amortisseurs de FRAHM X 1 s
µ =
F =
Déplacement statique de la masse principale
k 1
X 1
Facteur d’amplification dynamique du mouvement de la masse principale
X 1 s
Avec les différentes équations précédentes, il est possible de retranscrire l’amplitude A1 de la façon suivante : A1
F =
k 1
.
(α ² ((α ²
−
β ²)( 1
β ²) β ²) ε α ² β ²)
−
−
−
On peut ensuite chercher le facteur d’amplification dynamique de la masse principale μ F
µ
=
k 1
.
(α ²
((α ²
−
β ²) β ²)(1 β ²) ε α ² β ²) −
−
−
F
et µ
=
(α ² ((α ²
−
β ²)(1
β ²) β ²) ε α ² β ²)
−
−
−
k 1
Tracer µ (β ) Prenons pour valeur : α = 1 ,
ce qui signifie que la pulsation propre de l’amortisseur est égale à celle de l’oscillateur principal.
ε = 0.005
, ce qui signifie que la masse de l’oscillateur est 20 fois plus faible que la masse principale
On obtient ainsi la courbe suivante
μ P
Q
β *Rq : Cas d’un système sans amortisseur de FRAHM (courbe marron) A1
F =
k 1
.
1 (1
−
m1ω ²)
et µ
1
=
(1
−
β ²)²
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Amortisseurs de FRAHM La courbe marron pointillée montre la réaction du déplacement de la masse principale non amortis seule. Notons que lorsque la fréquence d’excitation correspondant à la fréquence propre, la réponse est infinie.
La courbe bleue correspond au système amorti (déplacement de la masse principale,
après que l'absorbeur dynamique ait été attaché). Notons que la masse principale à un déplacement nul à la fréquence d’excitation d'origine. Remarquez également qu'il ya maintenant deux fréquences de résonance nouvelles correspondant aux deux modes propres de vibration du système. Dans le mode de fréquence inférieure (β<1) les masses se déplacent dans la même direction, en phase avec l’une avec l'autre. Dans le mode de fréquence le plus élevée (β>1), les deux masses se déplace en direction opposée, en opposition de phase. Lorsque (β=1), le système est amorti.
Optimisation Les paramètres α et ɛ ayant une valeur constante (respectivement 1 et 0.005), les points P et Q ont une position fixe. Ces points peuvent varier en fonction des paramètres influents que sont les facteurs α et ε.
En faisant varier α, je constate que les courbes de µ obtenues sont identiques mais varient suivant l’axe des abscisses, si on veut optimiser l’amortisseur il faut une courbe symétrique par rapport à l’axe β=1 et pour avoir ce résultat il faut un α légèrement inférieur à 1.
En faisant varier ε, je remarque sur les différentes courbes de µ obtenues que la modification du rapport entre les masses modifie l’allure de la courbe par rapport à son point de symétrie. Plus le rapport ɛ est grand, plus les fréquences de résonnances du système 1 seul sont éloignées de la fréquence de résonnance du système 1 amorti. Le rapport des masses sera à dimensionner à partir du système.
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Amortisseurs de FRAHM Quelques exemples d’application Exemples d’application
Dans les bâtiments Le principe de l’amortisseur de FRAHM a été utilisé avec succès pour supprimer les vibrations induites par le vent et la réponse sismique dans les bâtiments. Le déplacement d’une masse en haut des bâtiments de grandes hauteurs permet de créer un contre effort dans le sens des vibrations pour établir un équilibre. On retrouve aussi des amortisseurs dynamiques sur des cheminées, tours, éolienne…
Dans l’industrie Il est principalement utilisé dans l’industrie afin de supprimer les vibrations causées par une condition de résonance dans les machines. Puisqu’il est en quelque sorte « externe » au système, sa mise en place est aisée. Par exemple, le fournisseur de perceuses et marteau-burineurs Makita utilise ce concept. Il affirme diminuer de 50% les vibrations dans ses outils.
Dans l’automobile En Formule 1, le constructeur Renault à réussi à mettre au point le « mass damper » basé su le principe de l’amortisseur FRAHM. Il s’agit d’une masse suspendue par des ressorts située dans le nez de la voiture et à l’arrière. Ce système absorbe les vibrations et permet un meilleur comportement de la monoplace (plus de stabilité sur les vibreurs et les bosses). Le gain est estimé à environ 3-4 dixièmes et ce, en fonction des circuits. Ce n'est donc pas négligeable ! Pour l’histoire, au début de la saison 2006 le « Mass dampers » de Renault était au départ parfaitement légal. L'équipe McLaren avait voulue le copier... Mais n’arrivait pas à le faire fonctionner. C'est alors que le constructeurs a soufflé à la FIA que le Mass dampers de Renault était une infraction au règlement sportif de la F1 (considéré comme élément aérodynamique mobile).
Dans les applications modernes et variées Dans des applications modernes, l'objectif est d'assurer la performance au sein des spécifications sur une large gamme de fréquences, tout en minimisant la taille de l'appareil. On va pouvoir en retrouver sur les rasoirs électriques, le porte avion Charles de Gaulles pour lutter contre le roulis des vagues…
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Amortisseurs de FRAHM Conclusion Conclusion
Les inconvénients Puisqu’il introduit un degré de liberté supplémentaire au système initial, l’amortisseur de FRAHM introduit un mode supplémentaire, et déplace le mode initial. Dans la pratique, il provoque une amplification des vibrations dans deux zones fréquentielles voisines en deçà et au-delà de la fréquence F0. De ce fait, et compte tenu des fortes amplitudes vibratoires qu’il doit accepter en fonctionnement nominal, sa conception est compliquée même si son principe et ses équations de base sont simple. De plus, l’amortisseur, en régime permanent, ne fonctionne idéalement qu’à une fréquence donnée. Il est souvent considéré par beaucoup d'ingénieurs en tant que périphérique à fréquence unique.
Les avantages L’amortisseur de FRAHM a certains avantages sur d'autres méthodes de suppression des vibrations. Il est externe à la structure de la machine, donc pas de réinstallation de l'équipement est nécessaire. Contrairement aux modifications structurelles, lors de l'effet final est inconnue jusqu'à masse des propriétés élastiques des composants de la machine ont été modifiés, d'un amortisseurs de FRAHM peut être conçu et testé avant l'installation. Il peut être ajusté dans l'environnement de laboratoire avec des résultats prévisibles sur le terrain. Dans de nombreux scénarios, il offre une solution économique de réduction de vibration.
Bibliographie Bibliographie
Livres Mécanique vibratoire, Michel Del Pedro et Pierre Pahud Mechanical vibration, J.P. Den Hartog
Sites Internet •
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/absorber/DynamicAbsorber.html
•
http://www.peerlessxnet.com/documents/459.pdf
•
http://www.beirens.fr/rech_proj_renov_vibr.asp
•
http://www.makita.fr/page.asp?page=109
•
http://www.planeterenault.com/news-1493-Le+Mass-damper+de+retour+chez+Renault.html
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Amortisseurs de FRAHM Annexe I : Brevet d’Herman Frahm 1911 Annexe I : Brevet déposé par Herman FRAHM (Patent # 989958) en 1911
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