DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES
Recueil d'Exercices PROF. ALAIN PECKER Equipe Enseignante CHARISIS T. CHATZIGOGOS SANDRINE JUSTER‐LERMITTE NICOLAS GREFFET LUCA LENTI PIERRE‐ALAIN NAZE IOANNIS POLITOPOULOS Année Académique 2009 ‐ 2010
Table des matières Preface ............................................................................................................................................. 5 Dynamique des Structures .............................................................................................................. 6 1 Systèmes à un degré de liberté ................................................................................................... 7 1.1 Poutre sur des appuis simples .............................................................................................. 7 1.2 Poutres sans masse avec surcharge ..................................................................................... 8 1.3 Chute de masse sur oscillateur simple ................................................................................. 9 1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdeale ................................................................ 10 1.5 Modèle de frottement de Coulomb ................................................................................... 12 1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives .............................................................. 13 1.7 Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie ............................................... 14 1.8 Portique soumis à un chargement sismique ..................................................................... 15 1.9 Notions de transfert de spectres........................................................................................ 17 1.10 Etude d'un portique avec pont roulant* ......................................................................... 19 1.11 Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales .............................................. 20 2 Systèmes à N degrés de liberté ................................................................................................. 21 2.1 Equation de mouvement de bâtiment rigide .................................................................... 21 2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts ........................................................................................ 22 2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture ...... 24 2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses* ................................................. 26 2.5 Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique ............................... 27 2.6 Prise en compte de l'interaction sol‐structure .................................................................. 30 2.7 Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur de faible masse * .................................. 33 2.8 Comportement sismique de structure asymétrique * ...................................................... 35 Dynamique des Ouvrages .............................................................................................................. 37 1 Vibrations des poutres ‐ systèmes continus ............................................................................. 38 1.1 Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu ........................ 38 1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique ................. 40 1.3 Etude d'une poutre à masse répartie avec une section variable ...................................... 42 1.4 Modes propres de poutres uniformes ............................................................................... 44 1.5 Chute de poutre en rotation .............................................................................................. 45 1.6 Modes propres de la Terre ................................................................................................. 46 1.7 Mode de vibration fondamental de pile de pont .............................................................. 47 1.8 Tassement de pile de pont* ............................................................................................... 48 1.9 Calcul de cheminée avec interaction sol‐structure ........................................................... 49 2 Propagation d'ondes .................................................................................................................. 50 2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres ...................................... 50 2.2 Propagation d'ondes sphériques ....................................................................................... 51 2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH) ................................................. 52 2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) ............................................. 54 2.5 Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide* ........................................ 55 2.6 Ondes réfractées dans une membrane * ........................................................................... 56 3 Interaction Sol‐Structure ........................................................................................................... 57
3.1 Fondation de machines tournantes ................................................................................... 57 3.2 Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide ................................................. 60 4 Interaction Fluide‐Structure ...................................................................................................... 62 4.1 Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide ............. 62 4.2 Calcul d'une barre partiellement immergée ...................................................................... 64
Preface Ce receuil d'exercices est destiné aux élèves participant aux cours Dynamique des Structures et Dynamique des Ouvrages de l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil seront étudiés et résolus par les élèves eux‐mêmes lors des séances des petites classes. Pour cette raison, on n'en fournit pas la solution détaillée mais uniquement quelques indications sur la démarche à suivre ainsi que les résultats finaux. Les exercices qui sont annotés avec une étoile ont servi comme sujets d'examen antérieurs.
Partie I Dynamique des Structures
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1 Systèmes à un degré de liberté
1.1 Poutre sur des appuis simples I. Ecrire les équations du mouvement du système rerpésenté sur la Figure 1. En supposant la poutre sans masse, le système présente un seul degré de liberté défini par la déflexion u sous poids propre P . La rigidité de flexion de la poutre est EI et sa longueur L .
Figure 1: Vibrations de poutres sans masse avec surcharge. II. Déterminer la fréquence propre d'un poids P suspendu à un ressort au milieu d'une poutre sur appuis simples (cf. Figure 2). La rigidité de flexion de la poutre est EI et sa longueur vaut L . Elle est supposée sans masse. La raideur du ressort vaut k .
Figure 2: Poids suspendu à une poutre sans masse par un ressort. Eléments de réponse 48 EI I. k = 3 L P 48 EIk II. ω = avec m = 3 m(48EI + L k ) g
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1.2 Poutres sans masse avec surcharge Refaire l'exercice précédente avec : I. Le système représenté sur la Figure 3. II. Le système représenté sur la Figure 4.
Figure 3: Poutre console sans masse avec surcharge.
Figure 4: Poutre biencastrée sans masse avec surcharge. Eléments de réponse 3EI I. k = 3 L II. k =
192 EI L3
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1.3 Chute de masse sur oscillateur simple Une masse m1 est suspendue à un ressort k et se trouve en équilibre statique. Une deuxième masse m2 chute d'une hauteur h et s'accole à m1 sans rebond (figure 5). I. Déterminer le mouvement u (t ) autour de la position d'équilibre statique de la masse m1 .
Figure 5: Chute d'une masse sur un système masse‐ressort en équilibre statique. Eléments de réponse 2 gh m2 mg I. u (t ) = 2 (1 − cos ωt ) + sin ωt ω m1 + m2 k
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1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdeale Question A. Une automobile est modélisée de façon simplifiée par une masse concentrée m reposant sur un système ressort‐amortisseur (Figure 6). L'automobile se déplace à vitesse constante v sur une route dont la rugosité est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route. I. Déterminer l'équation du mouvement.
Figure 6: Mouvement idéalisé d'une automobile sur une route.
Figure 7: Mouvement d'une automobile sur un pont à plusieurs travées. Question B. Cette automobile se déplace maintenant sur un pont à plusieurs travées dont les piles sont distantes de 35m (cf. Figure 7). Le fluage à long terme du pont a provoqué une déflexion de 15cm en milieu de chaque travée. Le profil de la chaussée peut être approché par une sinusoïdee d'amplitude 15cm et de période 35m. La masse de l'automobile en charge est de 800kg, la raideur de son système de suspension est de 60000N/m et le coefficient d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du système vaut 40%. Déterminer :
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II. L'amplitude ut ,0 du mouvement vertical ut (t ) quand l'automobile se déplace à 70km/h. III. La vitesse du véhicule qui conduirait à une résonance pour ut ,0 . Eléments de réponse I. Travailler avec la méthode de formulation directe de l'équation d'équilibre. II. ut ,0 = 0.175m III. v = 155.1km/h
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1.5 Modèle de frottement de Coulomb Des systèmes utilisés pour limiter les effets des séismes sur les structures permettent de dissiper l'énergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est réglé pour fonctionner sous un effort de précontrainte constant N et un coefficient de frottement μ . Un essai de vibration libre (ou de lâcher) est effectué pour mesurer la fréquence propre fondamentale et le coefficient de frottement (cf. Figure 8). I. Montrez que la décroissance de l'amplitude entre 2 cycles consécutifs (ui − ui +1 ) est N constante et donnez sa valeur en fonction de u f = où K est la raideur de la structure. K II. Calculez la fréquence fondamentale et u f d'après la Figure 8.
Figure 8: Réponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'énergie par frottement. Eléments de réponse I. Etudier la vibration forcée du système sous la force de frottement. II. f = 2Hz, u f = 0.38cm
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1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives Calculer les spectres de réponses des sollicitations suivantes : I. L'impulsion simple représentée sur la Figure 9. II. L'impulsion sinusoïdeale de la Figure 10 en considérant ξ = 0 et T < 2s
Figure 9: Impulsion simple.
Figure 10: Impulsion sinusoïdeale. Eléments de réponse −
P I. S d (ξ , T ) = Te 2π P ⎛ β2 II. S d (T ) = 02 ⎜ π ⎝1− β
ξ 1−ξ 2
cos −1ξ
⎞ T 2π n , pour β = < 1 ⎟ sin 2 ⎠ 1+ β
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1.7 Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie Montrer que la transformée de Fourier F (ω ) d'un accélérogramme ug (t ) et l'énergie totale H(td ) introduite dans l'oscillateur élémentaire non‐amorti sont liées par la relation: 2H(td ) m La quantité td représente la durée totale de l'accélérogramme. Eléments de réponse Ecrire l'énergie totale comme la somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans l'oscillateur.
F (ω ) =
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1.8 Portique soumis à un chargement sismique On désire dimensionner un portique en béton armé situé en zone sismique. Le portique est représenté sur la Figure 11. On ne considérera que la composante horizontale du mouvement sismique. Les caractéristiques du portique sont les suivantes : • Hauteur des poteaux : H = 10m • Portée de la poutre : L = 8m • Largeur des poteaux : l = 0.40m • Hauteur de la poutre : b = 0.60m • Epaisseur des poteaux et de la poutre: t = 0:25m. La masse est supposée concentrée sur la poutre supérieure et vaut m = 50t. On prendra un module d'Young du béton de E = 30000MPa.
Figure 11: Portique en béton armé.
Figure 12: Spectre de réponse élastique PS92 15
I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences de la structure (horizontale et verticale). II. Si on considére le spectre de réponse des régles PS92 avec an = 2.5m/s 2 (pour un sol dur S0). • Quel est l'effort tranchant global de dimensionnement (à la base de la structure). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • En pensant à la répartition de moment dans un poteau bi‐encastré, donnez la valeur du moment de dimensionnement. • Calculez le déplacement relatif (de la poutre par rapport au sol) imposé par le séisme de dimensionnement. III. Mêmes questions pour le sol S3 (sédiments). Conclusions ? Les valeurs numériques pour la définition du spectre de réponse pour chaque catégorie de sol sont données dans le Tableau suivant.
Type de sol S0 S1 S2 S3
TB [s] 0.15 0.20 0.30 0.45
TC [s] 0.30 0.40 0.60 0.90
TD [s] 2.67 3.20 3.87 4.44
RA 1.0 1.0 0.9 0.8
RM 2.5 2.5 2.25 2.0
La pseudo‐accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = an Re(T ) avec : • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA)
T TB
• Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T Eléments de réponse I. TX = 1.434s, TZ = 0.057s. II. S d = 0.068m, Vmax = 32.75kN, τ max = 490.3kPa, M max = 163.5kNm. III. Sd = 0.163m, Vmax = 78.45kN, τ max = 1176.8kPa, M max = 392.2kNm.
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1.9 Notions de transfert de spectres L'objectif de cet exercice est de présenter les notions principales dans la procédure de tranfert des spectres, couramment utilisé dans la pratique pour la justification de la tenue d'équipement secondaire. A cette fin, on examine le portique présenté sur la Figure 13. Le comportement dynamique de cette structure est modélisée par un oscillateur à un degré de liberté, caractérisé par sa masse m0 et sa rigidité k0 . L'amortissement de la structure est négligé. La structure est soumise à une excitation de support impulsive comme suit : ug (t ) = Aδ (t ) Dans l'expression précédente, A représente l'amplitude de l'impact (unités de vitesse) et δ (t ) est la fonction delta de Dirac.
Figure 13: Portique avec créneau. I. Calculer le déplacement horizontal au niveau du toit du portique. II. Déterminer le déplacement horizontal maximal au niveau du toit du portique comme fonction du période propre du portique. III. Dessiner les spectres de réponse en pseudo‐accélération, pseudo‐vitesse et déplacement de l'excitation de support considérée. Partie II. Dans la suite, on va considérer qu'un créneau se trouve suspendu du plafond du portique. La masse du créneau est m1 et est considérée beaucoup plus faible que la masse du portique m0 . Par conséquant, on supposera que la présence du créneau n'altére pas le mouvement du portique. La rigidité de la connection du créneau est k1 et l'amortissement au niveau de la connection ξ1 .
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IV. Calculer le déplacement horizontal du créneau quand le portique est soumis à l'excitation de support considérée. V. Déterminer le déplacement horizontal maximal du créneau comme fonction du période propre du créneau. VI. Dessiner les spectres de réponse en pseudo‐accélération, pseudo‐vitesse et déplacement qui fournissent la réponse maximale du créneau. VII. Comparer les spectres obtenus pour l'excitation de support impulsive avec les spectres de réponse tranférés à la position du créneau. NOTE. Noter que la fonction de Dirac est définie comme suit : ⎧+∞ t = 0 δ (t ) = ⎨ ⎩ 0 t≠0 et
∫
+∞
−∞
δ (t ) dt = 1
La fonction de Dirac et une fonction arbitraire f (t ) satisfont la relation suivante : t
∫ f (t − τ )δ (τ ) dτ = f (t ) 0
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1.10 Etude d'un portique avec pont roulant* Un portique supporte un pont roulant (voir Figure 14) auquel est suspendue une masse M par l'intermédiaire d'un câble souple. Le portique est soumis à une sollicitation sismique ; cette sollicitation se traduit au niveau des poutres de roulement par un mouvement caractérisé par le spectre de réponse donné sur la Figure 15. I. Donner les expressions analytiques des différentes branches du spectre de réponse. II. Etablir l'équation du mouvement de la masse. III. Calculer le déplacement horizontal maximal de la masse.
Figure 14: Portique avec pont roulant.
Figure 15: Spectre de réponse au niveau des poutres de roulement.
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1.11 Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales Considérons la poutre cantilever de la Figure 16 dont la masse par unité de longueur est m( x) et la rigidité en flexion EI ( x) . La poutre est soumise à une charge dynamique p ( x, t ) = f ( x) g (t ) ainsi qu'à une force longitudinale constante N à son extrémité. La déformée de la poutre est approximée par la relation :
u ( x, t ) = ψ ( x) z (t )
(1)
où ψ ( x) est une fonction donnée. I. Utiliser la méthode des puissances virtuelles afin de Déterminer l'équation du mouvement du système. En particulier, montrer que le travail virtuel effectué par la force longitudinale N lors d'un déplacement virtuel δ u = ψ ( x)δ z est donnée par l'expression : l
δ WN = z (t )δ zN ∫ [ψ ′( x)]2 dx
0
II. Déterminer la valeur de la force N , appelée charge critique N cr pour laquelle la rigidité apparente du système est nulle.
Figure 16: Poutre et coordonnée généralisée. Eléments de réponse l
II. N cr
∫ EI ( x)[ψ ′′( x)] dx = ∫ [ψ ′( x)] dx 2
0
l
2
0
20
(2)
2 Systèmes à N degrés de liberté
2.1 Equation de mouvement de bâtiment rigide On considère le bâtiment parfaitement rigide de la Figure 17. Le bâtiment est fondé sur un sol mou au moyen d'un radier de surface a × b . La hauteur du bâtiment est h et sa masse volumique ρ . Le bâtiment est sollicité par un chargement dynamique dans le plan x − z . Le sol est considéré élastique et peut être représenté par des ressorts verticaux ( k z ) , horizontaux ( k x ) et de rotation autour de l'axe y (kφ ) . Déterminer l'équation du mouvement du système en considérant comme degrés de liberté : I. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point A . II. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point A′ . III. Comment est‐ce que l'équation du mouvement est modifiée dans les cas précédents si l'on considère l'effet du poids propre lors de la rotation du bâtiment ?
Figure 17: Bâtiment rigide sur sol mou. Eléments de réponse III. Utiliser l'approximation : cos φ = 1 −
φ2 2!
+ ...
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2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts Une barre de longueur L et de masse uniformément répartie M repose sur 2 ressorts de raideur K1 et K 2 (cf. Figure 18).
Figure 18: Barre sur deux ressorts. I. Après avoir choisi 2 degrés de liberté permettant de décrire le mouvement vertical de la barre, calculer les matrices de masse et de rigidité et écrire les équations de mouvement de ce système. II. Que devient la matrice de masse si on fixe une masse M 0 au 1/3 de la barre. III. Calculer la matrice d'amortissement si on fixe un amortisseur C à la barre. IV. Calculer les fréquences et les modes propres de ce système pour K1 = K2 = K et M 0 = 0. Eléments de réponse 0⎤ ⎡K ⎡ M / 3 M / 6⎤ I. M = ⎢ ,K =⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎣ M / 6 M / 3⎦ ⎣ 0 K2 ⎦
⎡ M / 3 + 4M ′ / 9 II. M = ⎢ ⎣ M / 6 + 2M ′ / 9 ⎡ ⎛ xC ⎞ 2 ⎢ ⎜1 − ⎟ L⎠ ⎝ III. C = ⎢ ⎢ x ⎢⎛⎜ C ⎞⎟ ⎛⎜1 − xC ⎞⎟ L⎠ ⎢⎣⎝ L ⎠ ⎝
M / 6 + 2M ′ / 9⎤ M / 3 + M ′ / 9 ⎥⎦
⎛ xC ⎞⎛ xC ⎜ ⎟⎜1 − L ⎝ L ⎠⎝ ⎛ xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ L⎠
2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥ . ⎥ ⎥ ⎥⎦ 22
IV. Pulsations propres : ω1 =
⎛1⎞ ⎛1⎞ 2K 6K , ω2 = . Modes : Φ1 = ⎜ ⎟ , Φ 2 = ⎜ ⎟ M M ⎝1⎠ ⎝ −1 ⎠
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2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture Question A. On désire vérifier le comportement d'une tuyauterie sous pression d'un circuit primaire d'un réacteur nucléaire à la suite d'une rupture accidentelle. La rupture se produit à la sortie d'un coude à 90 degrés situé à une distance 2 L d'un encastrement. après la rupture, le gaz éjecté exerce sur le tuyau une force parallèle à son axe (au niveau de la rupture) passant brusquement de 0 à F0 = 1.26 P0 S0 ( S0 : section de la brèche et P0 : pression du fluide contenu dans la tuyauterie avant rupture). En première approximation, la tuyauterie est modélisée par une poutre de raideur EI et 2 masses concentrées situées en x = L et x = 2 L de valeurs M 1 = 0.50M tot et M 2 = 0.25M tot où M tot est la masse totale du tronçon de tuyauterie ( M tot = ρ SL = 460kg ) . Les applications numériques se feront avec les caractéristiques suivantes : • 2 L = 6m • E = 210000MPa • R = 12.5cm • e = R /10 = 1.25cm • I = ρ R 3e = 7670cm 4 • S = 2π Re = 98.2cm 2 • S0 = π R 2 = 491cm 2 • ρ = 7.8t/m 3 • P0 = 166bars = 1628kPa
Figure 19: Modélisation simplifiée d'une rupture de tuyauterie sous pression. I. Calculer les matrices de flexibilité et de rigidité. II. Donner les équations du mouvement. 24
III. Calculer les fréquences et modes propres de ce système. IV. Déterminer l'évolution dans le temps des déplacements des points A et B pour ce chargement (cf. Figure 19). Question B. Dans la suite, on ne tiendra compte que d'un seul mode. V. Préciser pour quelle valeur de déplacement la vitesse est maximale. VI. Déterminer les forces statiques équivalentes qui permettent de dimensionner statiquement la tuyauterie. VII. Déterminer les efforts tranchants et moments fléchissants dans les différentes sections en fonction du temps. Eléments de réponse 6 EI ⎡16 −5⎤ I. K = 3 ⎢ 7 L ⎣ −5 2 ⎥⎦ ⎛ 1 ⎞ III. Pulsations propres : ω1 = 40.2 rad/s, ω2 = 207 rad/s. Modes propres : Φ1 = ⎜ ⎟ , ⎝ 3.05 ⎠ ⎛ 1 ⎞ Φ2 = ⎜ ⎟ ⎝ −0.655 ⎠ V. max u yB = 17.9m/s ⎛FA⎞ ⎛ 1.07 ⎞ VI. ⎜ stB ⎟ = F0 ⎜ ⎟ ⎝ 0.816 ⎠ ⎝ Fst ⎠ VII. Venc = 1.886 F0 , M enc = 2.7 F0 L
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2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses* Une poutre cantilever supporte trois masses égales comme il est indiqué sur la Figure 20. Les modes propres de vibration ainsi que les fréquences propres ont été déterminés expérimentalement et sont donnés ci‐dessous : ⎡0.054 0.283 0.957 ⎤ ⎛ 3.61 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ Φ = ⎢0.406 0.870 −0.281⎥ , ω = ⎜ 24.2 ⎟ rad/s ⎜ 77.7 ⎟ ⎢⎣ 0.913 −0.402 0.068 ⎥⎦ ⎝ ⎠ Une charge harmonique est appliquée au noeud 2 P = 3k sin(ωt ) dans laquelle ω = 0.75ω1 .
Figure 20: Poutre cantilever. I. Ecrire l'expression de la réponse stationnaire de la masse m1 , en supposant la structure non amortie. II. Evaluer les déplacements de toutes les masses à l'instant de réponse maximale et tracer la déformée à cet instant. III. Reprendre les questions ci‐dessus avec un amortissement de 10% pour tous les modes.
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2.5 Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique On désire dimensionner un bâtiment de bureaux ou d'habitations R+1 situé en zone sismique (cf. Figure 21). Le bâtiment est formé d'un portique en béton armé ayant les dimensions suivantes : • Hauteur d'un étage: H = H1 = H 2 = 3m • Portée des poutres: L = 6m • Section des poteaux : 25 × 25(cm × cm) La masse est supposée concentrée à chaque plancher, la masse surfacique valant 1t/m 2 soit une masse par étage valant 36t. On prendra un module d'Young du béton de 30000MPa. On rappelle que la force nécessaire pour appliquer un déplacement différentiel à une poutre biencastrée de hauteur H , d'inertie I et de module E vaut : 12 EI Fx = ux H3
Figure 21: Portique en béton armé.
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Figure 22: Spectre de réponse élastique PS92. I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences correspondant aux modes propres horizontaux de la structure. Donnez les déformées modales correspondantes. Calculez le coefficient de participation et la masse modale de chacun des modes. II. Si on ne considère que le premier mode et le spectre S0 des règles PS92 (cf. Figure 14b), quel est l'effort tranchant global de dimensionnement et le déplacement correspondant (on prend an = 2.5m/s 2 ). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • Donnez une valeur approchée du moment de dimensionnement des poteaux. III. Considérez les 2 modes. Quelles sont donc, dans ce cas, les erreurs commises sur les déplacements et l'effort tranchant à la base en négligeant le second mode ? On précisera la méthode utilisée pour la recombinaison des modes. La pseudo‐accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = an Re(T ) avec : T • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA) TB • Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T 28
Type de sol S0 S1 S2 S3
TB [s] 0.15 0.20 0.30 0.45
TC [s] 0.30 0.40 0.60 0.90
TD [s] 2.67 3.20 3.87 4.44
RA 1.0 1.0 0.9 0.8
Eléments de réponse
⎛ −0.62 ⎞ ⎛ 1 ⎞ I. ω1 = 9.61r/s, ω2 = 25.1r/s, Φ1 = ⎜ ⎟ ⎟ , Φ 2 = ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0.62 ⎠ Coefficients de participation : a1 = 1.17, a2 = 2.75.
⎛ u 2 = 3.66cm ⎞ II. U = ⎜ ⎟ , Vdim = 99kN, M dim = 148kNm, τ max = 2.38MPa ⎝ u1 = 2.25cm ⎠ III. max u2 = 3.67cm.
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RM 2.5 2.5 2.25 2.0
2.6 Prise en compte de l'interaction sol‐structure L'objectif de cet exercice est de mettre en évidence les effets de l'interaction sol‐ structure sur le comportement dynamique et le dimensionnement des structures. L'exercice est inspiré par les deux centrales nucléaires situées à San Onofre en Californie qui sont présentés sur la Figure 23(a). Il est connu que le période propre des centrales en considérant des conditions de base encastrée est environ 0.15s alors que le période propre en prenant en compte de la fléxibilité du sol de fondation vaut environ 0.5s. On étudie la réponse des centrales dans la direction horizontale avec le modèle simplifié présenté sur la Figure 23(b). La superstructure est modélisée comme un oscillateur à un degré de liberté de masse mS et de rigidité kS .
Figure 23: (a) Centrales nucléaires de San Onofre, Californie et (b) modèle simplifié pour analyse dynamique Les centrales sont fondées au moyen d'un radier circulaire très rigide de rayon r et de masse mF sur la surface d'un sol considéré comme milieu élastique homogène et isotrope avec module de cisaillement G , coefficient de Poisson ν , masse volumique ρ et épaisseur H = 2r . Suivant la couche de sol, on rencontre le substratum rocheux, celui‐ci considéré comme une assise parfaitement rigide. La présence du sol est prise en compte dans le modèle avec un ressort équivalent de rigidité K F qui dépend linéairement de la fréquence comme présenté sur la Figure ??. La dépendence sur la fréquence est introduite au moyen du paramètre adimensionnel α défini par la relation suivante : ωr α= Vs
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Dans l'expression précédente, ω est la pulsation de l'excitation et Vs la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol. La rigidité du ressort équivalent pour une fréquence d'excitation tendant vers zero (cas statique) est donnée par la relation suivante : 8Gr ⎛ r ⎞ K F ,st = ⎜1 + 0.5 ⎟ H⎠ 2 −ν ⎝ On considère que la structure est soumise à une excitation sismique caractérisée par le specte de réponse présenté sur la Figure 25, défini à 5% d'amortissement avec les valeurs suivantes : TB [s] 0.25
TC [s] 0.45
TD [s] 3.0
RA 1.0
RM 2.5
La pseudo‐accélération vaut : PSA = an Re(T ) avec : T • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA) TB • Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T
Figure 24: Variation de K F par rapport à la fréquence.
31
PGA 2.5
Figure 25: Spectre de réponse de dimensionnement. I. Calculer l'effort tranchant maximal développé à la base de la structure en considérant des conditions de base encastrée. II. Calculer l'effort tranchant maximal à la base de la structure en tenant en compte de la souplesse du sol de fondation et en ne considérant que le mode fondamental du système sol‐ superstructure. Afin de prendre en compte de l'incertitude sur les propriétés mécaniques du sol de fondation, on considérera un paramétrage pour la valeur du module de cisaillement G avec 2 3 valeur moyenne Gmoy = G , valeur minimale Gmin = G et valeur maximale Gmax = G . Les 3 2 amortissements modaux sont égaux à 5%. La rigidité du ressort équivalent K F doit être calibré de manière à correspondre au mode propre du système sol‐fondation‐superstructure. III. Refaire la question précédente en considérant la contribution des deux modes. Paramètres numériques. Les calculs seront effectués avec les valeurs numériques suivantes: • mS = 100kt • kS = 175000MN/m • r = 12.0m • mF = 0.2 mS • G = 500MPa • ν = 0.3 • ρ = 0.002 kt/m 3
32
2.7 Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur de faible masse * Question A. La dalle de la figure 26, considérée comme étant infiniment rigide est sollicitée par un moment harmonique M e (par exemple à cause d'une machine tournante présentant un balourd). On suppose que les mouvements horizontaux de la dalle sont bloqués et on étudie les petits mouvements dans le plan vertical x O y autour de la position d'équilibre statique. La dalle est appuyée sur un support souple qui peut être modélisé par une densité de raideur verticale (l'effort linéique dans le sol est : f = k s v ou ks est la densité de raideur et v est le déplacement vertical).
Figure 26: Dalle sur sol élastique. I. Choisir comme degrés de liberté la rotation et le déplacement vertical du centre de la dalle. Montrer que les deux pulsations propres de la dalle sont égales. Calculer leur valeur, et l'amplitude de la réponse stationnaire quand la fréquence de l'excitation est respectivement ωe ω0 , ωe = ω0 et ωe ω0 . On considérera que le taux d'amortissement critique est ξ 1 . On notera m la masse linéique de la dalle et L sa longueur. Question B. On ajoute au système un pendule inversé rigide (figure 27). Il est attaché au milieu de la dalle par l'intermédiaire d'un ressort de rotation de raideur kθ . La masse de la tige est négligée. On note M et H la masse à l'extrémité et la hauteur respectivement.
Figure 27: Dalle sur sol élastique avec oscillateur de faible masse.
33
II. Ecrire les équations de mouvement linéarisées de ce système couplé. Donner l'expression des matrices de raideur et de masse. On considère que MgH kθ ( g étant l'accélération de pesanteur). Montrer que dans ce cas on peut négliger le poids propre du pendule. Question C. En plus de la relation ci‐dessus, la masse et la hauteur ont été choisies de 12MH 2 = ε 1 et la raideur kθ est telle que la fréquence du pendule seul est égale à sorte que mL3 la raideur de la dalle, ω0 . III. Calculer les modes propres (pulsations propres et déformées modales) du système couplé. IV. Calculer l'amplitude de la réponse établie de la dalle et du pendule quand la fréquence de l'excitation est ωe ω0 , ωe = ω0 , ωe = ω1 et ωe = ω2 où ω1 , ω2 sont les pulsations propres du système. On fera l'hypothèse que le taux d'amortissement critique modal ξ , est le même pour les deux modes propres et que ξ 2 ε . Tracer qualitativement la courbe de l'amplitude de la réponse établie en fonction de la pulsation de l'excitation. Comparer par rapport à la réponse de la dalle seule en supposant que le taux d'amortissement critique est le même dans les deux cas.
34
2.8 Comportement sismique de structure asymétrique * On considère la structure de la Figure 28, qui se compose d'une plaque carrée en béton armé de dimensions L × L et de masse totale M , supportée par quatre poteaux en béton armé de hauteur h . La section des poteaux est carrée : les sections des poteaux 1 et 2 sont de dimensions a × a et celles des poteaux 3 et 4 de dimensions b × b . On considère que la rigidité de la plaque est très élevée par rapport à celle des poteaux. On peut donc supposer que la plaque se comporte comme corps rigide. De plus, on néglige les déformations axiale et de cisaillement dans les poteaux. On considère finalement que la masse de la plaque est uniformément repartie dans son volume. La masse des poteaux est négligée.
Figure 28: Structure étudiée. I. Calculer la rigidité K de chaque poteau (rapport de force horizontale sur déplacement horizontale en tête de chaque poteau). II. En choisissant comme degrés de liberté les déplacements du centre de la plaque u x ,
u z et sa rotation autour de l'axe vertical ϕ , écrire les équations linéarisées du mouvement. Donner l'expression des matrices de rigidité K et de masse M . III. Calculer les fréquences propres et les déformées modales. Tracer les déformées modales. IV. On suppose que tous les modes ont le même taux d'amortissement critique ξ = 5% et que la donnée de l'aléa sismique est le spectre de la Figure 29. Calculer les maxima des moments M x , M y dans le poteau 2 dus à un séisme suivant y pour chacun des modes. V. En appliquant les règles de recombinaison des réponses modales SRSS calculer les maxima des M x et M y .
35
On effectuera les calculs avec les données suivantes : Spectre d'aléa sismique : La pseudo‐accélération spectrale à 5% d'amortissement vaut PSA = an Re(T ) avec : T • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA) TB • Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T Paramètres numériques : • Dimension de la plaque L = 5m. • Hauteur des poteaux h = 3m. • Dimension de la section des poteaux 1 et 2 a = 0.3m. • Dimension de la section des poteaux 3 et 4 b = 0.5m. • Masse totale de la plaque M = 25t. • Module d' Young du béton E = 30000MPa.
Paramètres pour la définition du spectre : • Accélération maximale du sol an = 1.5m/s 2 . • Paramètre RA = 1.0. • Paramètre RM = 2.5. • Paramètre TB = 0.06s. • Paramètre TC = 0.40s. • Paramètre TD = 2.50s.
Figure 29: Spectre d'aléa sismique
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Partie II Dynamique des Ouvrages
37
1 Vibrations des poutres ‐ systèmes continus
1.1 Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu On désire étudier les vibrations longitudinales (traction‐compression) d'une masse attachée à un câble (cf. Figure 30). On note les quantités suivantes : • Longueur du câble : 2 L • Section du câble : S • Caractéristiques du câble : E , ν , ρ . • Masse du télécabine : M
Figure 30: Masse attachée à un câble horizontal tendu.
Figure 31: Masse attachée à un câble vertical. I. Rappeler l'équation de la dynamique de ce système. II. Ecrire les conditions aux limites. Quelles seraient les conditions aux limites pour la Figure 31 ?
38
III. Donner l'expression permettant de calculer la fréquence fondamentale. IV. Donner les fréquences et les déformées des premiers modes lorsque M ρ LS et M ρ LS . V. Dans ce dernier cas, vérifier l'orthogonalité des 2 premiers modes propres. Eléments de réponse ⎛ ω L ⎞ 2 ρ SL ωL tan ⎜ = III. . ⎜ c ⎟⎟ cp M ⎝ p ⎠ 0< x
39
1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique On se propose de calculer l'ordre de grandeur des efforts engendrés par un impact d'avion sur une tour de grande hauteur. Les caractéristiques de la tour étudiée sont les suivantes : • Hauteur totale : H = 400m • Section de la base : S = 60 × 60 (m × m) • Masse totale : M = 300000t La structure de la tour est tubulaire et l'épaisseur du tube vaut 10cm. On prendra un module d'Young de l'acier égal à E = 200000MPa. La tour sera considérée comme une poutre de section constante ayant une masse uniformément répartie sur la hauteur de la poutre.
Figure 32: Evolution temporelle de la force d'impact : chargement simplifié.
Figure 33: Chargements réels pour plusieurs types d'avion.
40
I. Rappeler l'équation de la dynamique pour ce système. II. Donner les équations permettant de calculer les fréquences propres et montrer que l'existence d'une solution non nulle conduit à une équation du type : cos k cosh k + 1 = 0 où on précisera la signification du facteur k . EI est une pulsation propre. III. Montrez que ω1 = (1.875) 2 ρ SH 4 IV. A l'aide de la méthode de Rayleigh, donner une valeur approchée de la première fréquence propre. V. On suppose qu'un avion d'une masse de M avion = 300t volant à une vitesse vavion = 100m/s impacte la tour à mi‐hauteur. L'impact est modélisé par le chargement représenté sur la Figure 32 avec : 1 Fimp ΔT = M avion vavion 3 En considérant la déformée approchée du premier mode, Déterminer la masse et la raideur généralisées puis calculer les données suivantes: • Le vecteur force généralisée • Le déplacement en tête • L'effort tranchant global en pied • Le moment de flexion global en pied Comparer la contrainte axiale maximale induite par la flexion à la contrainte sous poids propre. Eléments de réponse IV. Considérer la déformée de la poutre sous chargement uniforme. Il s'ensuit : EI ω 2 = (1.878) 4 ρ SH 4 V. Le chargement généralisé : if = 0.771Fimp , umax = 0.095, M dim = umax EIψ ′′(0) ⇒ M dim = 6.79GNm, Vdim = −umax EIψ ′′′(0) ⇒ Vdim = 33.9MN.
41
1.3 Etude d'une poutre à masse répartie avec une section variable On considère une cheminée en béton armé de hauteur 180m, de section circulaire creuse avec le rayon extérieur de 15m à la base et de 7.5m en tête. La structure de la cheminée est tubulaire et l'épaisseur e du tube (qui est constante sur toute la hauteur) vaut 0.75m (cf. Figure 34). On prendra un module d'Young du béton armé égal à 25000MPa. Le poids volumique de béton armé est égal à 24kN/m 3 . On suppose que l'accélération de la pesanteur vaut g = 10m/s 2 . La cheminée est considérée encastrée à la base et l'amortissement sera pris égal à 5%. Le rayon moyen et le moment d'inertie peuvent être donnés par les relations suivantes : 3.75 Rmoy = 7.125 − x 180
3 I ( x) = π eRmoy ( x)
La déformée est approchée par la fonction suivante : 3x 2 x3 ϕ ( x) = 2 − 3 2L 2L où L est la hauteur de la cheminée et x est mesuré à partir de la base. La cheminée sera considérée comme une poutre de section variable ayant une masse répartie sur la hauteur de la poutre en fonction de x .
Figure 34: Schéma de la cheminée.
42
Figure 35: Spectre de réponse. En considérant la déformée approchée donnée ci‐dessus : I. Déterminer la masse et la raideur généralisées ainsi que la charge généralisée induite par un tremblement de terre. écrire l'équation d'équilibre en faisant intervenir la pulsation propre du système ω et le pourcentage d'amortissement critique ξ . II. Calculer la première fréquence propre. III. Sous un chargement défini à partir du spectre de réponse donné sur la Figure 35 avec une accélération maximale de 0.25 g , calculer : • Le déplacement en tête. • L'effort tranchant et le moment de flexion en pied et à mi‐hauteur de la cheminée. Eléments de réponse i = 4087000kg, Raideur généralisée : k = 7464600N/m Charge I. Masse généralisée : m généralisée : ip = ‐6966100 ug (t ) . II. f = 0.215Hz. III. umax = 0.799m. IV. Calculés par les dérivées de la déformée : M (0) = 1.58GNm, M (90) = 0.32GNm, V (0) = 22.5MN, V (90) = 7.2MN. Calculés en fonction des forces d'inertie en considérant l'équilibre dynamique en vibration libre, avec amortissement nul : M (0) = 1.27GNm, M (90) = 1.147GNm, V (0) = 10.1MN, V (90) = 8.18MN.
43
1.4 Modes propres de poutres uniformes I. Calculer les trois premières fréquences propres de vibration et les modes propres associés d'une poutre uniforme encastrée à ses deux extrémités. On appellera EI , m la rigidité en flexion et la masse au mètre linéaire de la poutre de longueur L . On négligera les termes d'inertie en rotation. II. Reprendre le problème précédent en libérant une des extrémités de la poutre et en y attachant une masse ponctuelle M . Eléments de réponse EI I. ωi = ki , k1 = 22.37, k2 = 61.7, k3 = 120.6. mL4 II. Pour la condition aux limites à l'extrémité libre de la poutre, considérer l'équilibre de forces en y ajoutant la force d'inertie due à la masse ajoutée.
44
1.5 Chute de poutre en rotation La poutre représentée sur la Figure 36 se pivote librement autour de son support A et chute sur son support B d'une hauteur h (sans rebond). Calculer la vibration de la poutre.
Figure 36: Chute d'une poutre supportée à son extrémité. Eléments de réponse ⎞ 2 3 gh ⎛ 1 πx 1 2π x u ( x, t ) = sin ω1t − sin sin ω2t + ... ⎟ ⎜ sin L L π ⎝ ω1 2ω2 ⎠
45
1.6 Modes propres de la Terre L'objectif de cet exercice est de réaliser une analyse simplifiée des modes propres de la Terre. Pour ce faire, l'ensemble du globe est assimilé à une sphère élastique homogène isotrope caractérisée par : • le rayon R = 6400 km • la célérité des ondes P : cL = 11km/s • la célérité des ondes S : cT = 4km/s On considère de plus que les mouvements sont purement radiaux et ne dépendent que de r , soit : u = u ( r )e r On explicitera successivement : I. La forme générale des modes. II. Les conditions aux limites. III. L'équation caractérisant les pulsations propres (on calculera quelques solutions et on Déterminera notamment la période propre du premier mode). IV. Quels sont les autres modes possibles dans le cas réel ? Eléments de réponse d ⎛ f (r ) ⎞ B ω I. ur (r ) = ⎜ ⎟ = 2 (kr cos kr − sin kr ) , k = dr ⎝ r ⎠ r cL II. σ rr ( R ) = 0 kR ω III. tan kR = , k = . λ + 2μ 2 2 cL k R 1− 4μ
46
1.7 Mode de vibration fondamental de pile de pont Pour la conception parasismique d'un pont à plusieurs travées on désire estimer le premier mode de vibration de la pile typique du pont. Il s'agit d'une pile en béton armé de section circulaire, modélisée avec le modèle simplifié qui est représenté sur la Figure 37. Le modèle présente une masse concentrée m0 à la tête de la pile et une masse repartie m le long de la pile. La pile est considérée encastrée à la base. L'inertie en rotation du tablier est considérée nulle. On adoptera une poutre de type Euler ‐ Navier pour la modélisation de la pile (déformations de cisaillement négligées).
Figure 37: Pile de pont étudié. Le système met en évidence les caractéristiques suivantes : • Hauteur h = 13m. • Diamètre de la pile D = 2m. • Masse concentrée m0 = 1200t. • Masse volumique du béton ρ = 2.5t/m3. • Module élastique du béton E = 30000MPa. • Amortissement du béton armé ξ = 5%. I. Calculer la fréquence du premier mode de vibration de la pile. Eléments de réponse I. f = 0.856Hz.
47
1.8 Tassement de pile de pont* On considère la poutre de la Figure 38. La poutre modélise un pont en béton avec deux travées de longueur L .
Figure 38: Tassement de pile de pont à deux travées. La rigidité en flexion et la masse linéique du pont sont uniformes le long de la poutre. L'appui B du pont subit à l'instant t0 un déplacement donné par l'expression : u ( L, t ) = u0 sin ω (t − t0 ) I. Calculer la réponse verticale du pont : u ( x, t ) pour x ∈ [0, 2 L] et t ∈ [t0 , t0 +
π ] . On 2ω
négligera la déformation axiale et la déformation de cisaillement. DONNEES • Masse linéique de la poutre m . • Module d'Young du béton E . • Moment d'inertie de la section I . • Pulsation du déplacement induit en B, ω . • Amplitude du déplacement induit u0 . Eléments de réponse I. Ecrire la réponse de la poutre comme la somme d'un terme correspondant au déplacement statique de la poutre et un terme correspondant à l'effet dynamique.
48
1.9 Calcul de cheminée avec interaction sol‐structure La cheminée de la Figure est modélisée avec un modèle de poutre de caractéristiques de masse et de rigidité uniformément réparties sur la hauteur de la cheminée.
Figure 39: Cheminée en interaction sol‐structure Afin de prendre en compte l'interaction sol‐structure, on introduit à la base de la cheminée une masse ponctuelle représentant la masse de la fondation et deux ressorts reproduisant l'impédance de translation de la fondation suivant l'axe x et l'impédance de rotation autour de l'axe y . On étudiera le mouvement horizontal de la cheminée suivant l'axe x . On négligera les déformations axiales et de cisaillement de la poutre. On négligera aussi l'inertie en rotation de la fondation. I. Fournir l'expression permettant le calcul de la valeur exacte de la fréquence propre de la cheminée. DONNEES. • Hauteur de la cheminée H . • Masse linéique de la cheminée m . • Module d'Young du matériau de la cheminée E . • Moment d'inertie de la section de la cheminée I . • Masse de la fondation M F . • Raideur du ressort de translation K x . • Raideur du ressort de rotation K yy .
49
2 Propagation d'ondes
2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres On laisse tomber depuis une hauteur H chute une barre B1 de hauteur H1 , module E1 , section S1 et masse volumique ρ1 sur une seconde barre B2 de hauteur H 2 , module E2 , section S2 et masse volumique ρ 2 qui est sur un support fixe. On étudiera le cas particulier : E1 = E2 S1 = S2 ρ1 = ρ 2 H 2 = 10 H1
Figure 40: Impact de 2 barres. I. Rappeler l'équation de propagation des ondes de compression et les conditions aux limites dans chacune des 2 barres. II. Ecrire les conditions initiales au moment de l'impact des 2 barres. III. Analyser la propagation d'ondes dans les 2 barres avant qu'elles n'atteignent l'extrémité de chacune des barres. IV. Décrire la réflexion aux extrémités des barres et caractériser le champ d'ondes qui en résulte. Eléments de réponse v01 III. Il s'agit de deux ondes de compression écrites : N = − ES 2c p 50
2.2 Propagation d'ondes sphériques Un milieu infini elastique homogene isotrope (masse volumique ρ et coefficients de Lame λ , μ ) est soumis a une sollicitation harmonique ponctuelle. On se placera donc en coordonnees spheriques. I. Ecrire l'equation indefinie du mouvement. II. En ne conservant que les termes radiaux des tenseurs de contrainte et de deformation σ rr , ε rr et du champ de deplacement ur , donner la forme simplifiee de l'equation indefinie du mouvement et en deduire la solution du probleme en deplacement. III. En ne conservant que le terme radial du champ de deplacement ur mais en considerant tous les termes des tenseurs de contrainte et de deformation (sans toutefois de dependance en θ , ϕ ), donner la forme plus complete de l'equation indefinie du mouvement. Montrer alors que la solution en deplacement s'ecrit comme la somme d'un terme de ((champ proche)) et d'un terme de ((champ lointain)). On se donne la divergence d'un tenseur de deuxieme ordre en coordonnees spheriques : ∂σ rϕ ∂σ rr ∂σ rθ 1 ∇ (σ ) ⋅ e r = + + + (2σ rr − σ θθ − σ ϕϕ + σ rθ cot θ ) ∂r r ∂θ r sin θ∂ϕ r
∇ (σ ) ⋅ eθ =
∂σ θϕ ∂σ θ r ∂σ θθ 1 + + + [(σ θθ − σ ϕϕ ) cot θ + 3σ rθ ] r ∂θ r sin θ∂ϕ r ∂r
∇ (σ ) ⋅ eϕ =
∂σ ϕ r ∂r
+
∂σ ϕθ
r ∂θ
+
∂σ ϕϕ
1 + (3σ ϕ r + 2σ ϕθ cot θ ) r sin θ∂ϕ r
Eléments de réponse u ρ II. u (r , t ) = 0 ei( kr −ωt ) , k = ω r λ + 2μ u ⎛ 1⎞ III. u (r , t ) = 0 ⎜ ki − ⎟ ei( kr −ωt ) r ⎝ r⎠
51
2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH) Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique ρ , module de cisaillement μ ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique ρ ′ , module de cisaillement μ ′ ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la propagation d'une onde plane harmonique (SH) écrite :
⎧⎪ u1 = u2 = 0 ⎨ i( kx −ωt ) ⎪⎩u3 = u0 e 1
Les coefficients Ri et Ti représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission. Dans les questions qui suivent, on adoptera les notations suivantes : μ ′k ′ α= μk
e + = eik ′h
e − = e − ik ′h
T ′ = T2 eik ′h
Figure 41: Propagation d'ondes SH dans un milieu stratifié. I. Déterminer le coefficient de transmission T0 de l'onde à travers la couche rigide en fonction des grandeurs α , e + , e − . 52
II. Déterminer l'épaisseur de la couche conduisant au coefficient de transmission T2 minimal et donner l'expression analytique de ce dernier. III. Quel est le résultat lorsque la couche rectiligne est moins rigide que le milieu infini et 1 que le facteur α vaut α1 = ?
α
Eléments de réponse 4α I. T ′ = 2 − (1 + α ) e − (1 − α ) 2 e+ 2α II. T ′ = 1+ α 2
53
2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique ρ , coefficients de Lamé λ et μ ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique ρ ′ , coefficients de Lamé λ ′ et μ ′ ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la propagation d'une onde plane harmonique de compression P . Les coefficients Ri , Ti , Ri′ et Ti′ représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission en onde P et en onde SV (respectivement). I. Déterminer le vecteur contrainte normale aux interfaces. II. Ecrire les équations de continuité en déplacement et en contrainte normale. Quelles autres relations faut‐il écrire pour résoudre le problème ? III. Que deviennent ces équations lorsque l'onde P a une incidence normale ?
Figure 42: Propagation d'ondes P et SV dans un milieu stratifié.
⎧u1 = u0 cos θ ei( k1x + k2 y −ωt ) ⎪⎪ i( k x + k y −ωt ) ‐ Onde incidente P : ⎨u2 = u0 sin θ e 1 2 ⎪ u3 = 0 ⎪⎩ ⎧u1 = T2′u0 cos θT ′ ei( K1x + K2 y −ωt ) 2 ⎪ i( K x + K y −ωt ) ⎪ ‐ Onde résultante SV : ⎨u2 = T2′u0 sin θT ′ e 1 2 2 ⎪ u3 = 0 ⎪⎩
54
2.5 Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide* Un milieu elastique assimilable a un semi espace de caracteristiques ρ , CS , CP (masse volumique, celerites des ondes de cisaillement et de compression) est surmonté par un fluide parfait de caracteristiques ρ w , CF ,. Ce semi espace est le siège d'une onde de compression harmonique se propageant avec un angle θ 0 par rapport a la verticale.
Figure 43: Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide. I. Determiner dans chaque milieu les differents types d'fondes, directions de propagations et amplitudes lorsque l'onde incidente heurte l'interface entre les deux milieux.
55
2.6 Ondes réfractées dans une membrane * Un semi espace élastique est recouvert d'une membrane tendue comme indiqué sur la figure ci‐dessous. L'équation de vibration de la membrane soumise à une charge q ( x1 , x3 , t ) par unité de surface est : ∂ 2 u 2 ∂ 2 u 2 q ρ ∂ 2 u2 + 2 + = ∂x12 ∂x3 T T ∂t 2 Une onde longitudinale harmonique plane, d'amplitude A et de pulsation ω , heurte la surface du semi espace ; en admettant un contact parfait entre la membrane et le milieu et en supposant la membrane infiniment rigide dans son plan, Déterminer les amplitudes des ondes réfractées.
Figure 44: Onde longitudinale heurtant à une membrane élastique.
56
3 Interaction Sol‐Structure
3.1 Fondation de machines tournantes On désire estimer le mouvement vibratoire d'un radier supportant une machine tournante comportant un léger balourd (turboalternateur). La machine étant fixée directement à un radier rigide, ceci nécessite de Déterminer l'impédance du sol situé sous le radier. Pour cela, un modèle simplifié dit de cône est adopté : le sol est représenté par un cône d'angle α et de caractéristiques mécaniques homogènes E , ν , ρ . De plus, on suppose que le sol possède un amortissement de type hystérétique, i.e. que les contraintes peuvent s'écrire dans le domaine fréquentiel : τ = G (1 + 2iζ )γ Le radier est de géométrie circulaire de rayon R . On suppose que le cône se déforme en traction ‐ compression lorsque le mouvement du radier est vertical et en cisaillement pur lorsque le mouvement est horizontal. La machine tournante applique au radier une force tournante s'exprimant sous la forme : ⎧⎪ f x = md Ω 2 cos Ωt ⎨ 2 ⎪⎩ f y = md Ω sin Ωt La machine tourne à une vitesse nominale de 50tour/s. Les grandeurs m et d représentent respectivement la masse et l'excentrement du balourd. On étudiera les phases de montée et de descente en négligeant les phases transitoires et en ne regardant que le régime forcé : 0 < Ω < 50 × 2π = 100π Les masses de la machine et du radier valent respectivement M 1 = 100t et M 2 = 1000t. L'amortissement matériel du sol sera négligé dans les questions I et II. I. Donnez les équations différentielles régissant le mouvement horizontal et le mouvement vertical d'une tranche de sol situé à la profondeur z . Comparez les. Partie 2. Par la suite, seul le mouvement horizontal sera étudié. II. Donnez les conditions aux limites. Déduisez‐en l'impédance du sol (raideur et amortissement) si l'amortissement hystérétique du sol ζ est négligé. Les résultats seront adimensionnés par rapport à la raideur statique horizontale d'une fondation circulaire de rayon 8GR R ( K st = ). Donnez la valeur de l'angle α qui vous semble la plus cohérente. 2 −ν 57
III. Donnez l'impédance du sol lorsque l'amortissement hystérétique du sol n'est plus négligé. IV. Comparez le modèle de cône ( α > 0) et le modèle 1D ( α = 0). V. Donnez l'équation du mouvement du radier supportant la machine tournant fonctionnant à la vitesse Ω . Discutez l'amplitude et la phase du mouvement selon les valeurs de la vitesse de rotation de la machine. On négligera l'amortissement hystérétique du sol. VI. On isole maintenant la machine du radier à l'aide d'un support élastique de raideur K ′ et d'amortissement C ′ . Donnez l'équation régissant les mouvements du radier et de la machine.
Figure 45: Modélisation simplifiée du sol avec modèle de cône.
Figure 46: Modélisation simplifiée du sol avec modèle 1D .
58
Eléments de réponse (2 −ν )π ⎞ ωR ⎛ II. K (ϖ ) = K st ⎜1 + i ϖ ⎟ , où ϖ = . 8 c ⎝ ⎠ ⎛ (2 −ν )πζϖ ⎞ ⎛ A(2 −ν )π 2ζ + III. K (ϖ ) = K st ⎜1 − ⎟ + iϖ K st ⎜ 8A 8 ϖ ⎝ ⎠ ⎝ IV. Modèle 1D : K (ϖ ) = GRπϖ i 1 + 2ζ i . ⎛ 1 (2 −ν )πΩR M ⎞ V. u x (t ) = f x , A = K st ⎜1 + i − Ω 2 2 ⎟ . A 8c K st ⎠ ⎝ VI. Travailler avec un système à deux degrés de liberté.
59
⎞ 2 ⎟ , où A = 0.5 1 + 4ζ . ⎠
3.2 Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide On considère un radier rectangulaire parfaitement rigide de dimensions L × D . Le radier est sollicité par une onde incidente uniforme dans la direction x , qui se propage dans la direction y avec une vitesse Vα et induit un déplacement dans la direction x . Alors le mouvement du sol peut s'écrire comme intégrale de Fourier:
1 ugx ( y, t ) = 2π
∫
+∞
−∞
A(iω )e
iω ( t −
y ) dω Vα
Ce mouvement est transmise sur le radier et le met en vibration. Alors il peut s'écrire aussi comme : ∞
ugx ( y, t ) = ∑aix (t )γ i ( y )
1
où les fonctions γ i ( y ) sont les modes propres du radier qui satisfont la condition d'orthogonalité :
∫
D
0
γ i ( y )γ k ( y ) dy = 0, i ≠ k
Figure 47: Radier rectangulaire de grandes dimensions. I. Ecrire la fonction γ 1 ( y ) qui correspond au premier mode rigide (translation) du radier et la fonction γ 2 ( y ) qui correspond au deuxième mode rigide du radier (rotation rigide autour de l'axe z ). 60
II. En utilisant la condition d'orthogonalité calculer les coefficients a1x (t ) et a2 x (t ) . III. En ne retenant que le premier mode rigide du radier et en considérant une onde incidente monochromatique, calculer le rapport entre l'amplitude du mouvement libre du sol par rapport à l'amplitude du mouvement transmise au radier. Eléments de réponse A 1 ωD III. radier = . 2(1 − cos k ) , k = Vα Asol k
61
4 Interaction Fluide‐Structure
4.1 Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide On desire calculer la matrice de masse ajoutee du systeme forme de 2 cylindres rigides de rayons respectifs R1 et R2 initialement concentriques. L'espace entre les 2 cylindres est rempli d'un fluide de masse volumique ρ . Partie 1 I. Rappeler les equations que doivent verifier les champs de pression et de vitesse du fluide. II. Rappeler les conditions aux interfaces entre le fluide et chacun des cylindres. III. Montrer que le champs de pression peut s'écrire sous la forme: c d p(r , θ ) = ar cos θ + br sin θ + cos θ + sin θ r r IV. Déterminer les constantes a , b , c , d à partir des accélérations de chacun des cylindres. V. En déduire les forces exercées par le fluide sur chacun des cylindres et la matrice de masse ajoutée. Partie 2 Donner la matrice de masse ajoutée pour les cas particuliers suivants : I. Réservoir cylindrique rempli de fluide. II. Pile de pont de rayon R plonge dans un fluide. III. Palier d'une machine tournante (épaisseur du film d'huile mince devant le rayon du cylindre central et le rayon du cylindre extérieur).
62
Figure 48: système de deux cylindres rempli de liquide. Eléments de réponse I‐IV.
a=
b=
ρ R22
2 − ρ R1 U U x ,2 x ,1 R12 − R22 R12 − R22
ρ R22
2 − ρ R1 U U y ,2 y ,1 R12 − R22 R12 − R22
ρ R12 R22 (U x,2 − Ux,1 )
c=
ρ R12 R22 d= 2 U − Uy ,1 ) 2 ( y ,2
R12 − R22
R1 − R2
63
4.2 Calcul d'une barre partiellement immergée Utiliser les résultats précédents pour calculer les fréquences et modes propres d'une barre de hauteur H = 1m, de masse M = 1kg et de section S = 5cm 2 fixée à ces 2 extrémités à 2 ressorts horizontaux de raideur K = 10kN/m et immergée sur une hauteur de 50cm.
Figure 49: Barre partiellement immergée.
64
DYNAMIQUE DES STRUCTURES Année 2011
Séance 1 (01 Mars) Amphi 1 : Généralités sur la Dynamique des ouvrages Les différents types d’actions : exemples d'application et caractérisation Harmonique, périodique Impulsive Entretenue Aléatoire Les méthodes de mise en équation d'un problème de dynamique : Equilibre des efforts Equations de Lagrange Méthode des Puissances virtuelles Aperçu sur les méthodes de résolution
Amphi 2 : Oscillateur linéaire à 1 DDL Présentation générale : relation force - déplacement ; amortissement : origine et modélisation Vibration libre : amortie, non amortie Vibration forcée harmonique et fonction de transfert. Réponse impulsive : spectre de choc
Séance 2 (08 Mars) Amphi 3 : Oscillateur linéaire à 1 DDL Réponse à une sollicitation quelconque : périodique (analyse fréquentielle par transformation de Fourier), quelconque (intégrale de Duhamel). Réponse sismique: spectre de réponse. Oscillateur généralisé à 1 DDL: fonction de forme du déplacement; méthode de Rayleigh.
PC1 Vibration libre: amortie, non amortie Vibration forcée harmonique
Séance 3 (15 Mars) Amphi 4 : Oscillateur linéaire à N DDL Equation d'équilibre: discrétisation (exemple portique N étages), forces élastiques, amortissement, inertie. Détermination et propriétés des matrices masse, raideur
Vibration libre système linéaire non amorti: fréquences propres, modes propres, méthode du quotient de Rayleigh pour mode fondamental. Propriétés des vecteurs propres
PC2 Réponse sismique: spectre de réponse.
Séance 4 (22 Mars) Amphi 5 : Oscillateur linéaire à N DDL Vibration libre d'un système linéaire amorti: origine et modélisation de l'amortissement d'une structure: modal, orthogonal (Rayleigh, Caughey), non orthogonal (modes complexes). Réponse dynamique de l'oscillateur linéaire: analyse modale, calcul des efforts, déplacements, accélérations. Critère de choix du nombre de modes.
PC3 Vibration libre système linéaire non amorti: fréquences propres, modes propres,
Séance 5 (05 Avril) Amphi 6 : Oscillateur linéaire à N DDL Réponse sismique de l'oscillateur linéaire: définition du chargement effectif, analyse modale - spectrale, analyse modale temporelle. Excitation multi-supports
PC4 Vibration libre d'un système linéaire amorti Réponse dynamique de l'oscillateur linéaire: analyse modale, calcul des efforts.
Séance 6
(12 Avril)
Amphi 7 : Vibrations des poutres Mise en équation générale de l'équilibre dynamique des poutres Vibration longitudinale des barres: modes propres Propagation d'ondes dans une barre élastique: modélisation des frontières absorbantes.
PC5 Réponse sismique de l'oscillateur linéaire
Examen : Mardi 26 Avril (8h30-11h30)
Contrôle des connaissances: •
Contrôle continu en petite classe (15% participation)
•
Devoir à rendre (1) (25%)
•
Examen final (3 heures) (60%)
Validation du module: moyenne pondérée supérieure ou égale à 10.
Séance
1ère Partie Amphi
1
(1) Généralités
2
(3) Oscillateur 1 DDL : Sollicitation quelconque Oscillateur généralisé
3 4 5 6
2ème Partie Petite Classe
Amphi (2) Oscillateur 1 DDL : Vibrations libres et forcées
Petite Classe
(1) Oscillateur 1 DDL
(4) Oscillateur N DDL: Modes propres (5) Oscillateur N DDL: Système amorti (6) Oscillateur N DDL: Réponse sismique
(3) Oscillateur N DDL
(7) Poutres Vibration longitudinale
(5) Oscillateur N DDL
7
(2) Oscillateur 1 DDL
(4) Oscillateur N DDL
Examen
Equipe enseignante: Alain PECKER, Charisis CHATZIGOGOS, Nicolas GREFFET, Sandrine JUSTERLERMITTE, Luca LENTI, Pierre Alain NAZE, Ioannis POLIPOTOULOS.
Nombre d’élèves : 104 Documents Pédagogiques: • •
Livre: Dynamic of Structures ; Clough et Penzien (John Wiley) Polycopié 2011
Devoir à faire chez soi : Remis aux élèves le 15 Mars, rendu par les élèves le 5 avril
DYNAMIQUE DES OUVRAGES Année 2011
Séance 1 (03 Mai) Amphi 1 : Vibrations des poutres Poutre en flexion et poutre en torsion: modes propres, vibrations forcées harmoniques.
PC1 Vibrations longitudinales des poutres
Séance 2 (10 Mai) Amphi 2 : Propagation d'ondes dans le sol Milieu infini: équation de propagation; identification des ondes S et P (théorème de Poisson); Ondes monochromatiques planes. Milieu stratifié: conditions de réflexion et réfraction (loi de Snell); polarisation. Mono-couche: cas particulier des ondes SH; modes propres, fonction de transfert.
PC2 Vibration de flexion des poutres
Séance 3 (17 Mai) Amphi 3 : Propagation d'ondes dans le sol / Interaction sol-structure Ondes de Love et Rayleigh. Vitesse de phase et vitesse de groupe. Ondes sphériques: condition de Sommerfeld, amortissement radiatif Influence de l'interaction sol structure sur la réponse d'un ouvrage Formulation d'un problème d'ISS : interaction inertielle et interaction cinématique
PC3 Propagation des ondes planes
Séance 4 (24 Mai) Amphi 4 : Interaction sol-structure Méthode de sous- structuration; théorème de superposition de Kausel. Impédances des fondations: définition, forme générale, modèles analogiques (modèles de cône). Résolution pratique d'un problème d'ISS: analyse modale; analyse fréquentielle.
PC4 Ondes SH en milieu stratifié; fonction de transfert.
Séance 5 (31 Mai) Amphi 5 : Interaction fluide-structure Formulation du problème: équation de propagation dans le fluide. Solide totalement immergé: calcul des pressions hydrodynamiques et mise en évidence de la notion de masses d'eau ajoutées; résonateur de Helmotz Plan d'eau avec surface libre: pressions hydrodynamiques le long du parement; solution de Westergaard.
PC5 Impédances des fondations
Séance 6 (07 Juin) Amphi 6 : Oscillateur non linéaire Ductilité; spectre de réponse non linéaire; Analyse sismique d'un système non linéaire: analyse temporelle; méthode push-over et diagramme de capacité
PC6 Interaction sol-structure
Séance 7 Journée pédagogique Æ Bureau d'études Date 1 : 14 Juin (8h30 -12h)
Séance 1 2 3
1ère Partie Amphi
Petite Classe
Amphi
(1) Poutres: Vibration flexion et torsion
2ème Partie Petite Classe (1) Poutres
(2) Propagation ondes Ondes planes (3) Propagation d'ondes Ondes sphériques Interaction sol-structure
(2) Poutres (3) Ondes planes
4
(4) Interaction sol-structure
(4) Ondes planes en milieu stratifié
5
(5) Interaction fluide-structure
(5) Impédances fondations
6
(6) Oscillateur 1 DDL: Réponse non linéaire
(6) Interaction sol-structure
7
½ Journée pédagogique
Contrôle des connaissances: •
Contrôle continu en petite classe (20% participation)
•
Bureau d'études (3 heures) (80%)
Equipe enseignante: Alain PECKER, Charisis CHATZIGOGOS, Nicolas GREFFET, Sandrine JUSTERLERMITTE, Luca LENTI, Pierre Alain NAZE, Ioannis POLIPOTOULOS.
Nombre d’élèves : ?? Documents Pédagogiques: • • •
Livres: Dynamic of Structures ; Clough et Penzien (John Wiley) Introduction à la Dynamique des Structures ; Le Tallec (Ed. Ellipse) Polycopié 2011
Devoir à faire chez soi Remis aux élèves le 17 mai; remis par les élèves le 14 juin lors de la journée pédagogique. Possibilité pour les élèves de s'associer par 2 mais issus du même groupe de TD.
Énoncé du devoir de dynamique des ouvrages Année 2010-2011 Un Exemple d’Atténuation de Vibrations par Couplage Antirésonant
L’atténuateur de vibrations par couplage anti-résonant (Tuned Mass Damper, TMD) est un moyen de diminution de vibrations largement utilisé dans l’industrie. L’article ci-joint présente quelques exemples d’application de ce type de dispositif à des structures de génie civil. Nous allons illustrer son effet sur le comportement dynamique d’une structure en étudiant l’exemple suivant, inspiré de la tour Trump World Tower à New York présentée dans l’article ci-joint (pages 2,3). Il s’agit d’une tour de hauteur H=260 m. Ses dimensions dans le plan horizontal sont 50m x 25m. Nous allons étudier son comportement dynamique quand elle est excitée par le vent dans la direction de sa petite dimension. À cause de son élancement elle peut être modélisée, en première approximation, comme une poutre console de rigidité EI = 3.13 × 1013 Nm2 et de masse uniformément répartie m=82400 kg/m. On considère que le taux d’amortissement critique des deux premiers modes est égal à 2% et que la matrice d’amortissement peut se mettre sous la forme proposée par Raleigh (combinaisons linéaire des matrices de masse et de rigidité). On suppose que le vent excite la tour avec une force horizontale uniformément répartie dont l’amplitude maximale est p=200N/m2.
H=260 p 50 m 25 m
Figure 1 : Modèle simplifié du Trump World Tower
1) Calculer les fréquences propres et les déformées modales pour des 3 premiers modes 2) Calculer la fonction de transfert entre l’excitation du vent et le déplacement en tête de la tour dans la plage de fréquences entre 0 et 2Hz. Interpréter ces résultats à partir des résultats de la question 1. 3) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er mode de la tour ? Pour atténuer les vibrations induites par le vent on suspend au toit un pendule dont la fréquence est égale à la fréquence du 1er mode de la tour. Sa masse est égale à 2.8% de la masse totale de la tour et son amortissement est de 2%. 4) Déterminer la longueur du pendule 5) Calculer les fréquences propres et les déformées modales pour des 3 premiers modes (sans amortissement) 6) Calculer les fonctions de transfert entre l’excitation du vent et i) le déplacement en tête de la tour et ii) le déplacement du pendule, dans la plage de fréquences entre 0 et 2Hz. 7) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er mode de la tour seule?
8) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er mode de la tour seule si l’on augmente l’amortissement du pendule à 10%? 10) i) Déterminer les caractéristiques (raideur, masse et amortissement) d’un modèle à 2 DDL qui constitue une très bonne approximation de la tour avec le pendule. Comparer les fonctions de transfert de ce modèle avec le modèle à plusieurs DDL.
Force d'excitation
M
m
Figure 2 : Modèle à 2 DDL
ii) Expliquer l'allure des fonctions de transfert du modèle précédent à 2 DDL à partir d'un calcul analytique en supposant que m / M = ε << 1 . Pour simplifier, vous pouvez faire l’hypothèse que le taux d’amortissement critique modal, ξ, est le même pour les deux modes propres du système et que ξ = O(ε )
On peut démontrer que dans le cas d’une excitation aléatoire dont le contenu fréquentiel est uniforme (bruit blanc) l’amplitude maximale de la réponse stationnaire est approximativement proportionnelle à la grandeur suivante : ∞
σ=
∫ H( f )
2
df
0
où H ( f ) est la fonction de transfert pour la grandeur qui nous intéresse. 11) Comparer les amplitudes du déplacement en tête de la tour soumise à une telle excitation (avec une répartition spatiale uniforme) dans le cas sans pendule et avec pendule en considérant les deux valeurs d’amortissement du pendule ci-dessus (2% et 10%).
Good Vi
'
l
Damping systems are gaining popularity as an alternative means of controlling the vibrations of civil structures by improving the structures' ability to dissipate dynamic energy. By Brian Breukelman, P.Eng., and
evor Haskett
s advances in material technology and structural effiOne example of a passive damping system em be seen in ciency find reflection in structures that arc lighter, the Belbgio bridges~two pedestrian bridges constructed to n1.ore slender, and more daring Jrchitecturally, design connect Las Vegas's Bellagio resort with others nearby. The teams must focus more than ever on contro]Jing vibration to main spans of the bridges are 151 and 125 ft: (46 and 38 m) ensure safe, cornfortable conditions. Engineers have tradition- long. Supporting the bridges at their midpoints was not conally controlled the vibrations of civil structures using a combi- sidered a possibility. Additionally, the architectural schemenation of stiffi1ess and mass. combined with the required cle::trRecently, it has become popular ances for traffic and elevations of the abutments----forced the architect, to control the vibrations of struchues by another means: by improvMarnell Corrao Associates, of Las ing a structure's ability to dissipate Vegas, and the structural engineer, dynamic energy. This abilitY is Martin & Peltyn, also of Las Vegas, to referred to as damping. For ease of use a shallow bridge girder, about 5 use, the coefficient of damping is ft (2 m) deep. usually expressed in a nondimenThe vertical natural fiequencies sional form as a percentage referred of the pedestrian bridges, as deterto as the damping ratio. For steel mined by the structural engineers, structures a 1 percent damping ratio were in the range where pedestrians is often used, while a value closer to could have excited the bridges to 2 percent might be appropriate for resonance. The project team came to concrete buildings. As a rule of Rowan Williams Davies & Irwin thumb, a 1 percent damping ratio in (RWDI), Inc., of Guelph, Ontario, a sister company of Motioneering, a structure would cause the amplitude of an initial deflection to be Inc., also of Guelph, to determine reduced by half within 11 cycles. the acceptability of the vibration There are three basic types of levels under normal pedestrian damping systems: passive, semimovements. Studies by RWDI deteractive, and active. Typical passive mined that the bridge users would damping systems include tuned mass at times sense the motion of the A massive steel sphere that will be installed in the Taipei dampers (TMDs), tuned sloshing Financial Center in 2002, shown in the model above, transbridge deck. Under certain circumwater dampers, tuned liquid column forms the building's damping system into a prominent stances, such ~1s festivals or holiday dampers (n.cos), and viscous architectural feature. gatherings, large amplitudes of dampers. By making one of the bridge motion would be possible. parameters of a passive system active-by controlling a TMD TO absorb the energy resulting from such a situation, a \:Vith variable tuning by means of a computer and instrumenta- damping system consisting of six TMDS, each weighing 3,000 tion system, for example-a semlactive damper is produced. lb (1,360 kg), was designed and installed in each bridge. In "f-ully active dampers make use of computers to control sensors addition to its mass, each TMD comprises springs and a visand ach1ators on the structure to produce forces that counteract cous damper. It dis.~ip,'ltC."i the vibration energy experienced by the bridge through the viscous damper. the extcrnrtlly applied forces.
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55
After the bridges \Vcrc lifted into pbce the vertical fiequencics \Vere measured, and the T,\HJS vvere then fine-tuned to 1.vork for those frequencies.1bts on the bridges :lfter the TMDS were operational indicated that the damping ratio of the bridges had been incre::tsed more than tenfold, fiom 0.6 percent to more than 8 percent. The TMDS 1.vere installed within the space envelope of the bridge girders, so they arc hidden fi.·om the bridge users. The cornponents used in the design and construction vvill require little maintenance and \.Vere chosen for their lmv friction characteristics. This vv~1s amply demonstrated when a lone construction \Vorker crossing the bridge caused all of the TMDS to begin moving. The cost of the damping system was comparable to that of increasing the depth of the bridge girders, which was not :1 viable solution for these two bridges because of other design constraints. The TMDS have been operational on these bridges since J 999. Another type of damping system is the TLCD. This damper operates on essentially the same theory as a TMD, except that the mass used for the system is water. AU-shaped tank is used to m::ttch the dynamic characteristics of the moving water to the requirements of [he structure. A dam.ping system of this type was recently commissioned for One Wall Centre, the tallest building in Vancouver, British Columbia ("Water Tanks Damp Motion in Vancouver High-Rise," Civil Engineering, June 2001). The 48-story multiuse building has t\VO specially shaped tanks, each containing about 50,000 gal (189,250 L) of water, in the tower's mechanical penthouse. Wind tunnel testing by RWDI of the aerodynamic behavior of the tower showed that the elliptical shape of the building and the fact that the stronger winds tended to approach the narrO\V "front" of the building combined to produce high across-wind accelerations on the narrow axis of the tower. The structural engineer, Glotman Simpson Consulting Engineers, and the architect, Busby+ Associates, both oNancouver, investigated a number of options that might obviate the need for a damping system. A series of structural models were produced with variations in both mass and stiffi1ess, and a number of shape changes were tested in the wind tunnel, but a desirable and cost-effective solution could not be found that would not conflict with other project criteria by, for example, changing the shape of the building's shadow or altering the views from the windows. At the suggestion of Mal Sacks of Toronto-based TACET Engineering, RWDI proceeded to develop a TLCD concept for
tbc project. Given that the higher-than-desired accelerat-ions resulted primarily from motion in one direction and that there was a generous arnount of space available, the engineers determined that a TLCD would be an effective and econornical solution. A TLCD enjoys higher volumetric efficiency with respect to a given amount of liquid, and its behavior is more consistent across a wide range of excitation levels. It "\Vas also desirable to combine the damping system with the J 00,000 gal (378,500 L) of water that was required for fire suppression. If the water was needed for a fire, the TLCD \Vould become inoperative, but it was felt that the resulting reduction in occupant comfort would not be vie\\red negatively during a fire. The mechanical engineers dlso considered using the tanks for storing chilled water, but this idea did not prove to be viable for this project. The TLCD tanks require the proper internal level of energy dissipation for optimum performance, and a vertical sluice gate located in the center of each horizont::tl channel was chosen for this purpose. A 1:8 scale model of the TLCD \.Vas fabricated and tested in RWDt's laboratories to ensure that the theoretical b:.1sis for the numerical modeling of the TLCDstructure interaction matched the physical behavior of the water in the tank. The effect of various sluice gate openings was also investigated. Another prominent structure employing a damping system is the 850 ft (260 m) high Trump World Tower, recently constructed in New York City on the former site of the United Engineering Center, which until 1997 housed ASCE's headquarters. The building is rectangular in plan and nearly twice as long as it is wide. The principal direction of response was across the narrow face. The response to wind was accentuated by the building's slenderness ratio-the ratio of its height to the width of its narrowest face-which is"'almost 11. The architectural vision limited the aerodynamic modifications that could be employed to control the building accelerations. A strong frame underpins the towering structure, but because of the slenderness of the design, the building's response to wind gusts is similar to that of a cantilevered beam. Consequently, during strong wind events, significant movement at the top of the building could occur, reflecting higher levels of acceleration than desired. The accelerations determined for the upper occupied floors were found to be beyond the serviceability requirements generally adopted for residential apartments.
Architectural and engineering design constraints created a need for a damping system to absorb the energy from pedestrian movements on the Bel!agio bridges. Three tuned mass dampers were installed within the girders on each side of each span.
! 56
Civil
hnginccrin.~
DECEMBER 2001
Mechanical Penthouse Cross Section
The TMD that W;ls designed to bring the acceleration levels \Vithin a comfortable range ·weighs in at a precedent-setting 600 tons (544 Mg), equal to about 2.8 percent of the relevant model mass. For reasons of f1tigue design and ease of maintenance, the design is based on a pendulum configuration, which largely avoids the use of components tbat entail a large measure of contact friction, such as bearings. Because of the relatively long fundament;ll period of this structure-6.2 seconds-the required pendulum length was greater th;m the vertical clear space available. Therefore a stJcked, or doublehung, pendulum approach was taken. Llrgc hydraulic cyhnders, much like autonwbile shock absorbers, are positioned around the mass to dissipate, as heat, the energy evidenced as the velocity of the floor slab with respect to the TMD. To limit excessive amplitudes under low-probability wind events (storms with a mean recurrence greater than 30 years), a secondary system becomes engaged beyond predefined displacements, which includes yet another set of shock absorbers, called snubbers. The TMD is located at the roof level and is enclosed in a dedic1ted reinforced-concrete room. During the commissiolling phase of the damper, response time histories were recorded for both the building and the TMD to an initial TMD displacement. Calculations with these results confirmed that the system was capable of dissipating vibration energy at a level approaching a damping ratio of 7 percent, up from the lone building's equivalent damping ratio of 2 percent. Probably Motioneering's most exciting project so far has been the Taipei Fin::mcial Center project, in Taipei, Taiwan. This commercial office building, at a planned height of 1,667 ft (508 m), is expected to be the next "world's tallest buiJding." Results ofnwm's wind engineering studies indicated th~1t accelerations of the building's upper floors vmuld be 30 to 40 percent higher than desired for this office building. A passive damping system was viewed as a cost-effective means of de;Jling with the high accelerations. When the architect, C.Y. Lee & Partners, ofTaipei, revie\Ned some of the pre-
DECEMBER
2001
Ci11if .Engineering
At One Wall Centre, the water contained in two specially shaped tanks, seen in cross section, above left, provides the mass for the building's tuned liquid column damper and doubles as a fire suppression system.
liminary suggestions about how to envelop a large mass of steel near the top of the tower, creative ideas began to proliferate. The architect wondered whether the mass had to be of a particular shape, but the design team responded that it could in fact take any shape at all, the only caveat being that a mass of unusuJl shape might cost more. In the end, a unique concept was proposed: turn the 730 ton (660 Mg) TMD into an ~rchitectural component with a sculptural dimension: a sphere suspended by flexible steel cables that would be surrounded by three levels of restaurants, bars, and observation decks.
57
Motionecring was asked to provide the complete damping system for this design/build project, and it spent several months performing the detailed engineering of the TMD, which included determining the behavior of this passive system eluting cxrremc seismic events. The comptmy worked closely vvith the building's structural engineers, Evergreen Consulting Engineering, of Taipei, rtnd Thornton-TOrnrtsetti Engineers, of New York City. The drtmping system \Nill be installed and commissioned in 2002. In addition to designing and supplying the 'J"MD fOr the tnwer itself Motioneering is designing a TMD for the 197 ft (60 m) spire of the same project. As with many spires, btigue is the prevailing design issue. Dy increasing the level of energy dissipation in the spire by a significmt margin, it is expected that the fatigue life of the spire will be brought into line with the design lifC of the building itself A control mechanism may be introduced next to a basic tuned damper device, coupled through sensors and actuators, to increase the level of energy dissipation that may be Jchieved for a given amount of rnass. One of the basic tenets of supplementary TMD dampers is that the level of damping that can be added to the systern. is directly (but not linearly) related to the mass of the add-on system. This holds true for levels of added mass up to several percent of the generalized mass of a fundamental structural sway mode, but with diminishing returns. Beyond that point, the theory fails to account for the significant level of interaction between the two systems. By adding an intelligent control algorithm to a passive tuned darnper, the nature of its operation can be substantially altered. For example, such individual design parameters as the damping constant and the restoring stiffness can be modified to take into account various external factors, among them the amplitude of TMD oscillation and the accelerations of the uppermost floors. This sort of application is called semiactive, indicating that the device operates in much the same way as a spring-mass damper-like that in the Bellagio bridges-but that some level of online continuous optimization exists to increase its efiCctiveness. The control objectives might not be purely those of occupant comfort. An additional goal might be to minimize TMD motion during calm conditions to reduce both the frequency of maintenance cycles and fatigue wear on the mechanical components. However, the dis~1dvantages of this semiactive approach tend to nullify any potential gains of a well-chosen control
scheme. Every additioual working component bc)''cmd the bare minimum required for a basic TMD or Tl.CD brings with it :m additional cost and the potential for untimely hilure. Even the simplest control scheme requires sensors, a control module, and actuators of some type. With fevv exceptions, these devices require electric energy. TherefOre, in the event of a power loss, the semiactive components cease to operate. The passive damper system may sti.U \:Vork, but its performance may be f::J.r from optim:ll for the given conditions; ironically, the potential for a blackout is higher during the very storms for which the supplementary damper is designed. What is more, the mainten::mce of semiactive cornponellts and controllers \Vill probably require cross-disciplinary experience in electrical, systems, and contputer engineering, in addition to the req-· uisite mechanical and civil capabilities. The remaining category of damper is that of a fully active system, and the number of permutations is limited only by the creativity of the engineer. A ftrst logical step is to begin with a basic TMD but include hydraulic rams or other leveraged mechanical actuators to f"iJrce the mass to move. Then the
The extreme slenderness of the Trump World Tower causes it to respond to wind gusts in much the same way as a cantilevered beam.
Ciuil .Enginccrhtif
DECUMBEH 2001
The Trump World Tower's tuned mass damper is enclosed in a reinforced-concrete room at the roof level.
forces that are determined to be appropri:1te by the control algorithm arc applied to the building. The only limitation is the relative displacement betv/een the darnpcr mass and the floor slab on which it is installed.An active tuned mass damper has the benefit th;lt it could still function as a passive TMD when electric energy is not supplied to the system. Of course, there need not be a damper mass at all if the control force can be applied to the building by some other means. Alternatives include components of the base isolation type that counteract seismic excitation (with perhaps some effectiveness against wind) and active diagonal braces in the core structural system. Either way, the motivation for using an active damper usually reflects a desire to use less (or no) massthat is, less space. Unfortunately, this intent can be difficult to realize in practice. The space reguired for a hydraulic power system, backup energy source, and other components freguently approaches that of the original passive system, although it might be possible to locate much of this eguipment elsewhere at a reduced opportunity cost. Access for maintenance-and the cost of nuintenancecan also be an issue. Passive components (for exam.ple, the hydraulics on fire safety doors) tend to enjoy a nlllch longer service life than similarly styled active devices (automated doors for handicapped access). Thus the engineer who prescribes an active darnping solution is also selling, knowingly or otherwise, a lengthy service contract for the upkeep of the system. One of the challenges in the supply of a damping system is the dimensional tolerance that must be achieved. A damping system is a machine with moving parts, and its continued func·tion depends on the sustained operation of those parts. Despite the f.1ct th:1t a TMD is coupled to a civil structure, the tolerances
are not those of the concrete fonnwork or steel skeleton of the building but rather those of m~H:hine parts. It is one thing to have a d:~mpcr package bid on by contractors \:vho may knO\v of this tighter toler:mce; it is quite another to request that the contractors responsible for the concrete form\·vork in the vicinity of the TMD achieve toler:~nccs that might be only a 1Oth of those to \:vhich they are accustomed. Experience has t;mght that this issue needs to be discussed in detail beforehand to avoid dlfficulties late in the installation process. Before a tllned damper may be considered operationJl, it must be fine-tuned to the fi·equency of the completed buikl· ing. Increased aw:ucness of the availability of these supplem.entary damping systems has allmved structural engineers to consider them. early in the desif.,>n-an important development if space is to be allowed. The best time to install a damper is when the cranes arc still on-site to lift several hundred tons of mass to the top of the building. During these early design stages, only ;m estimate of the natural frequencies of the building is possible. Because the performance of a tuned damper depends heavily on how well tuned the dam.per is, differences bet\veen predicted and actual structural frequencies can mean signific:~nt efficiency losses. If the damping device can be designed to allow on-site fi·equency adjustments, then a visit to the completed structure wilJ allow proper tuning to be implemented. The dissipation level of the damper may be nonlinear either by nature, as in a TLCD, or by design, for example, to control relative mass displacement in extreme wind events. Dampers can be tested on-site to ensure that the proper amount of damping force is present. This is a good check on the analytical models used in the design. Damping systems are becoming increasingly acceptable and useful tools in the hands of both structural engineers and architects. The ability to consider the energy dissipation of a structure in addition to its mass and stifFness will continue to pay dividends in designing dynamically sensitive structures. It is likely that many new types of damping systems will be developed and that ingenious methods of combining structures with damping systems will em.erge. •
Bn'an Brcukclman, M.E,Sc., P.Eng., A1.ASCE, ~~~ the gcncralllta/IL~I;t'l' and 1/'evor Haskett, M.A .sc., a senior tedmical coordinatorjOr A4orioneering, Inc., in Guelph, Ontario.
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